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CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 ELT1 – ELETRICIDADE APLICADA 1 CAPACITORES INTRODUÇÃO Ao contrário do resistor, o capacitor e o indutor exibem seu comportamento característico apenas quando ocorrem variações de tensão ou corrente no circuito em que se encontram. Além disso, considerando-os ideais, não dissipam energia como o resistor, mas a armazenam de uma forma que podem retorná-la ao circuito sempre que necessário de acordo com o projeto deste. CAMPO ELÉTRICO Já foi visto que existe uma força de atração e repulsão entre dois corpos carregados e que há um campo elétrico que existe na região em torno de qualquer corpo carregado. Este campo elétrico é representado por linhas de campo, que serão traçadas para indicar a intensidade deste campo em qualquer ponto em torno do corpo carregado, ou seja, quanto maior a densidade das linhas de campo mais intenso é o campo elétrico. Na XFigura 1X, a intensidade do campo elétrico é maior na posição a do que na posição b porque as linhas de campo são mais densas em a do que em b. Figura 1 – Distribuição de linhas de campo em torno de uma carga positiva isolada. O fluxo por unidade de área (densidade de fluxo) é dado por: D A ϕ= (fluxo/unidade de área) [1] Onde φ é o campo elétrico e A é a área. Quanto maior a carga em coulombs, maior é o número de linhas de campo por unidade de área, independentemente do meio em que esta se encontra. Uma carga Q com o dobro do valor produzirá o dobro de linhas de campo por unidade de área (D). Portanto se podem considerar as duas grandezas como sendo equivalentes. Por definição, a intensidade de campo elétrico em um ponto é a força que atua em uma carga unitária positiva neste ponto, ou seja: F Q Ε = (newtons / coulomb) [2] A força exercida sobre uma carga positiva unitária Q2 igual a 1 C, por uma carga Q1 situada a r metros de distância, conforme determinada pela lei de Coulomb, é: 9 21 2 1 1 2 2 2 k Q Q k Q 1 k QF F (k 9 1 r r r ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = → = = × ⋅0 N m / C) (newtons) [3] NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 1 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 A substituição da equação 3 na equação 2 para determinar a intensidade do campo elétrico à qual a carga Q1 estará sujeita em relação à carga Q2 de 1 C, conduz a: 2 1 22 k Q r k Q Q r ⋅ ⋅Ε = = 1 (newtons / coulomb) [4] A atração e repulsão entre cargas agora podem ser explicadas em termos do campo elétrico e suas linhas de força (ver XFigura 2X). Normalmente quanto mais próximas as cargas, maior a atração ou a repulsão entre elas devido ao aumento da intensidade do campo elétrico. Figura 2 – Distribuição de linhas de campo: (a) cargas de mesmo tipo; (b) cargas de tipos opostos. CAPACITÂNCIA Na XFigura 3X duas placas para- lelas, feitas de um material condutor e separadas por um espaço vazio, estão conectadas a uma bateria por meio de um resistor e uma chave. Se as placas estão inicialmente des- carregadas e a chave está aberta, nenhuma carga, positiva ou ne- gativa, será encontrada nelas. Entretanto, no momento em que Figura 3 – Circuito simples de carga com duas placas. a chave é fechada, elétrons são atraídos da placa superior para o terminal positivo da bateria passando pelo resistor. Ocorrerá inicialmente um surto de corrente limitada pelo valor da resistência presente. A intensidade desta corrente diminuirá com o passar do tempo. Isso produz uma carga positiva na placa superior. Os elétrons são repelidos pelo terminal negativo em direção à placa inferior, pelo condutor inferior, com a mesma velocidade com que eles são atraídos pelo terminal positivo da bateria. Essa transferência de elétrons continua até que a diferença de potencial entre as placas seja exatamente igual à tensão da bateria O resultado final é uma carga positiva na placa superior e uma carga negativa na placa inferior, muito semelhantes, sob vários aspectos, às cargas esféricas da XFigura 2X(b). Este elemento, constituído apenas por duas placas condutoras paralelas, separadas por um material isolante (neste caso, o ar), é denominado capacitor. Capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas placas, em outras palavras, é sua capacidade de armazenamento. Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em suas placas por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas. NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 2 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 Na prática o farad é uma unidade muito grande para a maioria das aplicações; assim, é mais comum o uso do microfarad (10-6) ou picofarad (10-12). Expressa em forma de equação, a capacitância é definida por: QC V = (farads) [5] Onde: C = capacitância, em farads. Q = carga, em coulombs. V = tensão, em volts. Uma vista em corte das placas paralelas com a distribuição das linhas de campo aparece na XFigura 4X(a). O número de linhas de campo por unidade de área (D) entre as duas placas é bastante uniforme. Nas bordas, as linhas de campo apresentam uma deformação para fora das placas, este fenômeno é conhecido como efeito de borda, como mostra a XFigura 4X(b). Este efeito pode ser ignorado na maioria das aplicações práticas. Figura 4 – Distribuição de linhas de campo na região entre as placas de um capacitor: (a) incluindo o efeito de borda; (b) ideal. Se uma diferença de potencial de V volts é aplicada entre duas placas separadas por uma distância d, a intensidade do campo elétrico na região entre as placas é dada por: V d Ε = (volts/metro) [6] Diferentes valores de capacitância podem ser obtidos do mesmo par de placas paralelas inserindo-se certos materiais isolantes entre elas. Na XFigura 5X(a), foi colocado um material isolante entre as duas placas paralelas submetidas a uma diferença de potencial de V volts. Como o material é isolante, os elétrons não conseguem deixar seus átomos e migrar e migrar para a placa positiva. As partículas positivas (prótons) e negativas (elétrons) de cada átomo se deslocam, entretanto (como mostra a XFigura 5X(b)), para formar dipolos. Quando os dipolos se alinham, como na XFigura 5X(a), o material está polarizado. Um exame mais minucioso do interior deste material polarizado indica que as partículas negativas e positivas dos dipolos adjacentes se cancelam (região sombreada na XFigura 5X(a)). Entretanto as cargas positivas na superfície mais próxima da placa negativa do capacitor e as cargas negativas na superfície mais próxima da placa positiva do capacitor não se cancelam, o que resulta no aparecimento de um campo elétrico no interior do isolante (Εdielétrico) na XFigura 5X(b). O campo elétrico total entre as placas é menor devido à inserção do dielétrico (Εtotal = Εar – Εdielétrico). Portanto o objetivo do dielétrico é criar um campo elétrico que opões ao campo NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 3 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 elétrico criado pelas cargas livres das placas. Por essa razão diz-se que o material isolante é um dielétrico. Figura 5 – Efeito dielétrico sobre a distribuição do campo na região entre as placas de um capacitor: (a) alinhamento dos dipolos no dielétrico; (b) componentes do campo elétrico entre as placas de um capacitor quando um dielétrico está presente. Com a colocação de diferentes matérias entre as placas do mesmo capacitor, diferentes quantidades de carga serão depositadas nas placas. Acontece que φ ≡ Q, de maneira que o dielétrico determina também o número de linhas de campo entre as duas placas e, conseqüentemente, a densidade de fluxo D, já que A não varia. A razão entre a densidade de fluxo e a intensidadedo campo elétrico no dielétrico é chamada de permissividade do dielétrico: Dε = Ε (farads/metro) [7] A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico permite o estabelecimento de linhas de campo no seu interior. Quanto maior este valor, maior a quantidade carga depositada nas placas e, conseqüentemente, maior a densidade de fluxo para uma área constante. Para o vácuo, o valo de ε (representado por εo) é 8,85 × 10-12 F / m. A razão entre a permissividade de qualquer dielétrico e a permissividade do vácuo é denominada permissividade relativa, εr: r o εε = ε [8] A permissividade relativa ou constante dielétrica é fornecida na XTabela 1X para alguns materiais dielétricos. Substituindo D e Ε na equação 7, tem-se: D A Q A Q V d V d V A ϕ ⋅ε = = = =Ε d ⋅ mas, portanto, C d A ⋅ε = e AC d= ε [9] NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 4 QC V = ou 12 o r r A AC 8,85 10 d −= ε ⋅ ε = × ⋅ ε d (farads) [10] Onde A é a área das placas em metros quadrados, d é a distância entre as placas em metros e εr é a permissividade relativa. CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 Tabela 1 – Permissividade relativa (constante dielétrica de várias substâncias) Dielétrico εr (valores médios) Vácuo 1,0 Ar 1,0006 Teflon 2,0 Papel parafinado 2,5 Borracha 3,0 Mica 5,0 Porcelana 6,0 Baquelite 7,0 Água destilada 80,0 EXEMPLO NUMÉRICO 1. Para o capacitor da XFigura 6X. a) Determinar a capacitância. b) Determinar a intensidade do campo elétrico entre as placas se 450 V forem aplicados nas placas. c) Determinar a carga resultante em cada placa. Solução: Figura 6 – Capacito do exemplo 1. a) 2 12 12 o o 3 A 0,01mC (8,85 10 F / m) 59,0 10 F 59pF d 1,5 10 m − − −= ε = × ⋅ = × =× b) 33 V 450V 300 10 V / m d 1, 5 10 m− Ε = = = ×× c) 12 9 QC Q C V 59,0 10 F 450V 26,55 10 26,55nC V − −= → = ⋅ = × ⋅ = × = RIGIDEZ DIELÉTRICA Tabela 2 – Rigidez dielétrica de alguns materiais Dielétrico Rigidez dielétrica (Volts/mm) εr Ar 2593 1,0006 Titanato de bário e estrôncio 2593 7,5 Porcelana 7874 6,0 Óleo transformador 15748 4,0 Baquelite 15748 7,0 Borracha 27559 3,0 Papel parafinado 51181 2,5 Teflon 59055 2,0 Vidro 118110 7,5 Mica 196850 5,0 NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 5 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrará ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. A tensão por unidade de comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma condução em um dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada tensão de ruptura. Quando a ruptura ocorre o capacitor passa a ter características muito semelhantes às de um condutor. Um exemplo típico de ruptura de dielétrico é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial entre uma nuvem e a terra se torna tão grande que pode haver escoamento de carga de uma para outra pela atmosfera, que se comporta como o dielétrico. A rigidez dielétrica média para diversos dielétricos aparece na XTabela 2X. A permissividade relativa aparece entre parênteses para enfatizar a importância de considerar os dois fatores no projeto de capacitores. EXEMPLO NUMÉRICO 2. Determinar a tensão máxima que pode ser aplicada aos terminais de um capacitor de 0,2 μF com área de placa de 0,3 m2. O dielétrico é a porcelana. Considerar uma relação linear entre a rigidez dielétrica e a espessura do dielétrico. Solução: NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 6 12 3r o r 12 12 6 8,85 AA 8,85 6 0,3C 8,85 10 d d 79,65 10 mm d 10 C 10 0,06 10 − − − ⋅ε ⋅ ⋅ ⋅= × ⋅ε → = = → = ×⋅ ⋅ × Rigidez dielétrica = 7874 V / mm. Portanto: 37874V 79,65 10 mm 627,16V mm −⋅ × = CORRENTE DE FUGA No caso ideal ocorre o fluxo de elétrons em um dielétrico apenas quando a tensão de ruptura é alcançada. Na realidade, existem elétrons livres em todos os dielétricos devido a elementos de impureza no material. Quando é aplicada uma tensão en- tre as placas de um capacitor, uma cor- rente de fuga, devido aos elétrons livres, flui de uma placa para outra. Normal- mente, esta corrente é tão pequena que pode ser ignorada na maioria das apli- cações práticas. Este efeito é represen- tado por um resistor em paralelo com o capacitor na XFigura 7X(a), cujo valor é, ti- picamente, maior que 100 MΩ. Alguns tipos de capacitores, como os eletrolíti- cos, têm correntes de fuga relativamente Figura 7 – Demonstração do efeito da corrente de fuga. altas. Quando carregados e depois desconectados do circuito, esses capacitores perdem a carga num tempo, na ordem de segundos, devido ao fluxo de cargas (corrente de fuga) de uma placa para a outra (ver XFigura 7X(b)). TIPOS DE CAPACITORES Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas categorias; fixos e variáveis. CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 Como exemplo de construção, tem- se na XFigura 8X um capacitor cerâmico. Uma base cerâmica é revestida dos dois lados com um metal, como o cobre ou a prata, funcionando como as duas placas. Os terminais são conectados às placas pelos eletrodos. Aplica-se em seguida, uma camada isolante de cerâmica ou plás- tico sobre as placas e o dielétrico. Os ca- pacitores cerâmicos possuem corrente de fuga muito baixa e podem ser usados em circuitos CA ou CC. Podem ser encontra- dos na faixa de alguns picofarads até 2 μF e com tensões de trabalho até 5000 V. O capacitor eletrolítico é usado nor- malmente nas situações em que capaci- tância da ordem de um a milhares de microfarads são necessárias. São usados em circuitos CC porque apresentam boas características de isolamento quando a tensão é aplicada com certa polaridade, mas se comportam como um condutor quando a tensão é aplicada com a polari- dade oposta. Mas, também existem capa- citores eletrolíticos que podem ser usados em circuitos CA ou quando a tensão apli- cada ao capacitor muda de polaridade por curtos períodos de tempo. A construção básica de um capaci- tor eletrolítico consiste em um rolo de fo- lha de alumínio com uma face revestida por óxido de alumínio, sendo o alumínio a placa positiva, e o óxido o dielétrico. Uma camada de papel ou gaze saturada de ele- trólito é colocada sobre o óxido de alumí- nio. Outra folha de alumínio sem o reves- timento de óxido é então colocada sobre esta camada para formar a placa negativa. Na maioria dos casos, a placa negativa é Figura 8 – Capacitor de cerâmica multicamadas com terminais radiais Figura 9 – Capacitores eletrolíticos: (a) com terminais radias; (b) com terminais axiais. conectada diretamente ao invólucro de alumínio, que serve como terminal negativo para conexões externas. Devido ao tamanho do rolo de folha de alumínio, a área total desse capacitor é grande. E, devido ao uso de um óxido como dielétrico, a distância entre as placas é extremamente pequena. Outras especificações importantes dos capacitores eletrolíticos são a tensão de trabalho (tensão que pode ser aplicada entre os terminais do capacitor por longos períodos de tempo sem que ocorra ruptura) e a tensão NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 7 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 de pico (máxima tensão contínua que pode ser aplicada por curtos períodos de tempo). Os capacitores eletrolíticos possuem baixas tensões de ruptura e corrente de fuga relativamente elevadas. Podem ser encontrados em valores na faixa de alguns microfarads até milhares de microfarads e com tensão de trabalho de até 500 V A XFigura 10Xilustra outros tipos de capacitores, indicando suas principais características e aplicações. Eletrolítico miniatura axial Silver Mica Eletrolítico miniatura radial Papel de Mylar Disco de cerâmica Usado em partida de motores Tântalo (sólido e úmido) Variável de ajuste Montado em superfície (SMD) Variável de sintonia Figura 10 – Diversos tipos de capacitores. MÉTODOS DE MARCAÇÃO Em geral o tamanho do capacitor é a primeira indicação do seu valor. As unidades menores são tipicamente em picofarads (pF) e as unidades maiores, em microfarads (μF). Nas unidades maiores a capacitância geralmente vem impressa no invólucro, juntamente com a tolerância e a máxima tensão de trabalho. Nas unidades menores é utilizado algum tipo de abreviação, como as que aparecem na XFigura 11X(a), o valor é reconhecido imediatamente como sendo em picofarads, sendo a letra ‘K’ um indicador de uma tolerância de ± 10 %. Frequentemente, a letra ‘K’ também pode ser interpretada como um multiplicador por 103, e a capacitância é lida como sendo de 20000 pF ou 20 nF. No caso da XFigura 11X(b) a letra minúscula ‘n’ é uma indicação NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 8 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 clara de que esse capacitor é de 200 nF. A letra ‘J’ indica uma tolerância de ± 5 %. Para capacitores como o da XFigura 11X(c), os dois primeiros dígitos representam o valor da capacitância, enquanto o terceiro é o expoente da potência de 10 do multiplicador. O ‘F’ representa a tolerância de ± 1 %. Na marcação da XFigura 11X(d), o multiplicador é o número’9’ que representa 0,1. Se fosse usado o número’8’ o multiplicador seria 0,01. Já a letra ‘M’ significa uma tolerância de ± 20 %. Figura 11 – Métodos de marcação para capacitores pequenos. TRANSIENTES EM CIRCUITOS CAPACITIVOS Serão analisados a tensão e a corrente no circuito mostrado na XFigura 12X, depois que a chave é fechada, dando início à fase de carga e, quando a chave é colocada na posição 2, que inicia a fase de descarga. Fase de Carga Colocando a chave na posição 1 faz com a bateria comece a remover elétrons da placa superior e depositá-los na placa inferior. A transferência de elétrons é muito rápida no Figura 12 – Circuito simples para carregar um capacitor. início, ficando mais lenta à medida que a tensão entre os terminais do capacitor se aproxima da tensão da bateria. Quando a tensão entre os terminais do capacitor se iguala à tensão da bateria, cessa o movimento de elétrons. Nesse momento, as placas terão uma carga dada por Q = C·VC = C·E. Um gráfico indicando o que acontece com a tensão e a corrente é mostrado na XFigura 13X. (a) (b) Figura 13 – (a) iC durante a fase de carga e (b) vC durante a fase de carga. Quando a chave é fechada em t = 0 s, a corrente salta para um valor limitado apenas pela resistência do circuito e em seguida começa a diminuir em direção a zero à medida que as placas se carregam. Na XFigura 13X(a) nota-se a rápida diminuição no valor da corrente, revelando que a quantidade de carga depositada nas placas por NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 9 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 unidade de tempo também decai rapidamente. Como a tensão entre as placas está relacionada diretamente à carga das placas pela equação vC = q / C, a rapidez com que a carga é inicialmente depositada nas placas resulta em um rápido aumento de vC (XFigura 13X(b)). Nota-se que quando a taxa de escoamento de cargas diminui, a tensão aumenta mais devagar. Quando o fluxo de cargas cessar, a corrente será zero e a tensão não mudará mais de valor, indicando que a fase de carga terminou. Neste ponto o capacitor adquire características de um circuito aberto: existe uma tensão entre as placas sem que haja corrente entre elas. Nos circuitos de corrente contínua, os capacitores podem ser substituídos por circuitos abertos uma vez que a fase de carga tenha terminado. Já no momento em que a chave é fechada, pode-se concluir também que o capacitor se comporta nesse instante como um curto-circuito. A corrente de carga pode ser calculada pela seguinte equação: (t RC) C Ei e R −= ⋅ [11] O fator e-(t/RC) é uma função exponencial da forma e-x, em que x = -t/RC e e = 2,71828... O fator RC na equação 11 é chamado constante de tempo do sistema e tem dimensão de tempo: QV Q VR C t I V Q / t V ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Seu símbolo é a letra grega tau (τ) e sua unidade de medida é o segundo. Assim: R Cτ = ⋅ (segundos) [12] Substituindo τ = R·C na função exponencial e-t/RC, obtém-se e-t/τ. Portanto, decorrido uma constante de tempo, ou seja t = 1τ, a função exponencial vale e-1 = 0,3679, isto é a função é igual a 36,79 % do seu valor máximo. Um gráfico universal de constantes de tempo é mostrado na XFigura 14X. Ele permite estimativas mais precisas do valor da função e-t para um número específico de constantes de tempo. Na equação 11 o valor máximo que a corrente iC pode alcançar é dado por E/R, pois, quando t = 0, o termo exponencial e-t/RC vale 1. Como mostra a XFigura 15X para valores crescentes de t os valores de iC diminuem e como o valor de iC é menor de 1 % do valor máximo após cinco constantes de tempo, supõe-se que, em um circuito capacitivo de corrente contínua, iC é praticamente zero após terem se passado cinco constantes de tempo na fase de carga. Já a tensão vC entre os terminais do capacitor durante a fase de carga é dada pela seguinte equação: (t RC) Cv E (1 e −= ⋅ − ) [13] Verifica-se que a tensão vC também possui um comportamento exponencial dado pela expressão (1 – e-t/RC), que também pode se vista na XFigura 14X. Note-se que a tensão nos terminais do capacitor aumenta na medida em que o tempo avança. O valor máximo que vC poderá alcançar é o valor multiplicativo na equação 13, isto é a tensão E. A XFigura 16X ilustra o comportamento de vC. Na verdade uma capacitância é também uma medida do quanto o circuito se opõe NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 10 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 à mudança da tensão entre os seus terminais. Quanto maior a capacitância, maior a constante de tempo e mais tempo será necessário para que a tensão atinja o valor final. Figura 14 – Gráfico universal de constantes de tempo. Figura 15 – iC em função de t durante a fase de carga. Figura 16 – vC em função de t durante a fase de carga. A tensão sobre o resistor, vR, no circuito da XFigura 12X é dada pela aplicação da lei de Ohm, o seja: (t RC) (t RC) R R C R Ev R i R i R e v E e R − −= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ → = ⋅ [14] EXEMPLO NUMÉRICO 3. Determinar as expressões matemáticas para o comportamento transitório de vC, iC e vR para o circuito mostrado na XFigura 17X quando a chave é colocada na posição 1. Plotar as curvas de vC, iC e vR. Determinar também o tempo necessário para que iC seja aproximadamente zero e vC seja máximo. Figura 17 – Circuito do exemplo 3. NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 11 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 Solução: 3 6 3 R C (8 10 ) (4 10 ) 32 10 s 32ms − − τ = ⋅ = × ⋅ × → τ = × = Pela equação 13: (t RC) C 3(t 32 10 C v E (1 e ) v 40 (1 e − −− × = ⋅ − → = ⋅ − ) Pela equação 11: (t RC) C 3(t (32 10 ) C 3 33 (t (32 10 ) C Ei e R 40i e 8 10 i 5 10 e − −− × −− − × = ⋅ → = ⋅× = × ⋅ → Pela equação 14: 3(t RC) (t (32 10 ) Rv E e 40 e −− −= ⋅ = ⋅ × As curvas são apresentadas ao lado. Uma vez que a tensão entre os terminais do capacitor se torna igual à tensão da bateria E, o capacitor estátotalmente carregado e permanece neste estado se não forem feitas mudanças no circuito. Se a chave do circuito da XFigura 17X for aberta, o capacitor conservará sua carga por um período de tempo determinado pela corrente de fuga. Fase de Descarga O circuito da XFigura 12X foi projetado para carregar e descarregar o capacitor. Quando a chave é colocada na posição 1, o capacitor se carrega com a tensão da fonte. Em qualquer instante do processo de carga, se a chave for movida para a posição 2, o capacitor começará a se descarregar com a mesma constante de tempo τ = RC. A tensão estabelecida pela carga entre os terminais do capacitor dá origem a uma corrente elétrica que eventualmente descarrega por completo o capacitor. Note-se que a corrente agora irá circular em sentido contrário, o que muda a polaridade da tensão entre os terminais de R. Se o capacitor for carregado até a tensão entre seus terminais ser igual á tensão da bateria, a equação para a tensão entre os terminais do capacitor, vC, na fase de descarga e, consequentemente sobre o resistor, vR, será a seguinte: (t RC) C Rv v E e −= = ⋅ [15] Durante a fase de descarga, a corrente iC também diminui com o tempo, de acordo com a seguinte equação: (t RC) C Ei e R −= ⋅ [16] NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 12 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 A descarga completa ocorre, para todos os efeitos práticos, após cinco constantes de tempo. Se a chave for alternadamente colocada nas posições 1 e 2 a cada cinco constantes de tempo, as curvas de vC, vR e iC terão o aspecto da XFigura 18X. Como a polaridade de vC é a mesma nas fases de carga e descar- ga, toda a curva está acima do eixo horizontal. A corrente iC muda de sentido quando o capacitor começa a se descarregar, produzindo um pulso negativo para a corrente e para a voltagem vR. Observa-se que a tensão vC nunca varia instantaneamente. Quando a fase de carga é interrompida antes de a tensão da fonte ser atingida, a tensão entre os terminais do capacitor é menor, sendo que a equação para a tensão de descarga terá a forma: (t RC) C iv V e −= ⋅ [17] onde Vi é a tensão no início da fase de descarga. A equação para a cor- Figura 18 – Ciclos de carga e descarga de um capacitor a cada cinco constantes de tempo. rente de descarga, iC, também é modificada simplesmente substituindo E por Vi. VALORES INICIAIS Até agora sempre foi considerado que o capacitor está completamente descarregado antes de ser fechada a chave. Caso exista uma tensão V = Q / C entre as placas no instante em que a chave é fechada, esta tensão é chamada de valor inicial da tensão, como mostra a XFigura 19X. Uma vez a chave fechada, começa a fase do transitório, que só termina para efeitos práticos, após cinco constan- Figura 19 – Regiões associadas a uma resposta transitória. tes de tempo. A região de valores relativamente fixos e que se segue à resposta transitória é denominada estado estacionário ou regime permanente, e o valor da tensão nessa região é denominado valor estacionário ou valor final. O valor estacionário é determinado substituindo-se o capacitor por um circuito aberto e determinando-se a tensão entre placas. Usando a equação para o transitório, uma equação para vC pode ser NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 13 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 escrita considerando todo o intervalo de tempo da XFigura 19X, ou seja: (t RC) C i f 1v V (V V ) (1 e −= + − ⋅ − ) [18] Entretanto, multiplicando e reagrupando os termos tem-se: (t RC) C f i fv V (V V ) e −= + − ⋅ [19] EQUIVALENTE DE THÉVENIN: τ = RTh·C Em algumas situações será necessário primeiro determinar o circuito equivalente de Thévenin do circuito externo ao capacitor. ETh será então a tensão da fonte E das equações anteriores e RTh será a resistência R. A constante de tempo será τ = RThC. EXEMPLO NUMÉRICO 4. Para o circuito da XFigura 20X: a) Determinar a expressão matemática para o comportamento transitório de vC e iC em função do tempo após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0 s). b) Determinar a expressão matemática para o comportamento transitório de vC e iC em função do tempo se a chave for colocada na posição 2 em t = 9 ms. c) Desenhe as formas de onda de tensão e corrente, para os itens (a) e (b), no mesmo eixo. Figura 20 – Circuito do exemplo 4. Solução: a) Aplicando o teorema de Thévenin ao capacitor de 0,2 μF, obtém-se o circuito visto na XFigura 21X Figura 21 – Aplicação do teorema de Thévenin ao circuito da XFigura 20X. Th 1 2 3 Th 60 30R R || R R 10 R 30k 90 ⋅= + = + → = Ω 2 Th Th 2 1 R E 30 21E E 7 V R R 30 60 ⋅ ⋅= = → =+ + O circuito equivalente de Thévenin com o capacitor recolocado no circuito é visto na XFigura 22X. Usando a equação 19 e fazendo Vi = 0 e Vf = ETh, tem-se: Figura 22 – Circuito equivalente de Thévenin do circuito da XFigura 20X. NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 14 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 (t RC) C f i fv V (V V ) e −= + − ⋅ → 3 6[t (30 10 0,2 10 )]Cv 7 7 e −− × ⋅ ×= − ⋅ 3t (6 10 ) Cv 7 (1 e −− ×= ⋅ − ) Para a corrente: 3 3(t RC) (t 6 10 ) 3 (t 6 10 )Th C C3 E 7i e e i 0,233 10 e R 30 10 − −− − × − −= ⋅ = ⋅ → = × ⋅× × b) Em t = 9 ms 3t (6 10 ) C 3 3[ 9 10 6 10 ] C [ 1,5] C v 7 (1 e ) v 7 (1 e v 7 (1 e ) 5,44V −− × − −− × × − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ) A corrente em t = 9 ms será: 33 (t 6 10 ) C 3 [1,5] C i 0,233 10 e i 0,233 10 e 0,052mA −− − × − − = × ⋅ == × ⋅ = Usando a equação 19 com Vf = 0 e Vi = 5,44 V (t R C)4C f i f 3 6[(t (10 10 0,2 10 )] C 3[(t (2 10 )] C v V (V V ) e v 0 (5,44 0) e v 5,44 e − −− × ⋅ × −− × = + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ Pela equação 16, fazendo E = Vi tem-se: Figura 23 – Formas de onda para o circuito da XFigura 20X. 3 3(t RC) [t 0,2 10 ] 3 [t 0,2 10 ]i C C3 V 5,44i e e i 0,54 10 e R 10 10 − −− − × − −= ⋅ = ⋅ = × ⋅× × d) Ver XFigura 23X. A CORRENTE iC A corrente iC associada a uma capacitância C está relacionada à tensão entre os terminais do capacitor pela equação: C C dvi C dt = [20] Onde dvC / dt é uma medida da taxa de variação de vC em um curto período de tempo. Se não houver variação da tensão em um determinado momento, então: Cdv 0 dt = e CC dvi C dt= = 0 Portanto, se a tensão vC entre os terminais do capacitor não varia com o tempo, a corrente iC associada ao capacitor é nula. Essa equação também mostra que quanto mais rápida a variação da tensão entre os terminais do capacitor, maior a corrente resultante. NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 15 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO Os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo. Um aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os capacitores em paralelo, enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série No caso de capacitores conectados em série, a carga é a mesma em todos os capacitores (ver XFigura 24X): T 1 2Q Q Q Q= = = 3 [21] Aplicando a LKT ao longo da malha, tem-se: 1 2E V V V= + + 3 , mas Figura 24 – Capacitores em série. QV C = , de forma que: 3T 1 2 T 1 2 QQ Q Q C C C C = + + 3 , usando a equação 21 e dividindo os dois lados por Q, tem-se: T 1 2 1 1 1 C C C C = + + 3 1 [22] No caso de capacitores em paralelo, tensão é a mesma entre os terminais de todos os capacitores e a carga total é a soma das cargas dos capacitores; T 1 2Q QQ Q= + + 3 [23] T 1 1 2 2 3 3C E C V C V C V⋅Sabe-se que Q = C·V, portanto: = ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 3 , mas . Assim 1 2E V V V= + + T 1 2C C C C= + + [24] ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR O capacitor ideal não dissipa a energia que lhe é fornecida, mas a armazena na forma de campo elétrico entre suas superfícies condutoras. A XFigura 25X mostra a variação com o tempo da tensão, corrente e potência associada a um capacitor durante a fase de carga; A curva da potência pode ser obtida, para cada instante, calculando- se o produto da tensão pela corrente Figura 25 – Potência fornecida a um elemento capacitivo durante o transitório. nesse mesmo instante. A energia armazenada no capacitor está representada pela região sombreada abaixo da curva da potência. Usando cálculo integral, pode-se determinar a área sob a curva, obtendo-se o seguinte resultado: 2 C 1W C 2 = ⋅ Cv (joules) [24] CAPACITÂNCIAS PARASITAS Existem capacitâncias chamadas de parasitas resultantes da existência de duas NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 16 CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 superfícies condutoras relativamente pró- ximas. Dois fios condutores no mesmo circuito apresentam um efeito capacitivo, como mostra a XFigura 26X(a). Nos circuitos eletrônicos existem capacitâncias entre as superfícies de condução de um transistor, como ilustrado na XFigura 26X(b). Um outro componente ainda não estudado, denominado indutor, apresenta efeitos capacitivos entre suas espiras (XFigura 26X(c)). As capacitâncias parasitas podem causar sérios problemas se não forem consideradas no projeto de um circuito. Figura 26 – Exemplos de capacitâncias parasitas. BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Capítulo 10. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 17
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