4 FISICA1 Trabalho e Energia Mecanica

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Para problemas que envolvem ca´lculos de integrais, utilize a expressa˜o∫
xndx =
xn+1
n+ 1
, para n 6= −1
1. Uma u´nica forc¸a age sobre um objeto de 3,0 kg, que pode ser tratado como uma part´ıcula, de
tal forma que a posic¸a˜o do objeto em func¸a˜o do tempo e´ dada por x = 3, 0t− 4, 0t2 + 1, 0t3,
com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado sobre o objeto pela forc¸a
de t = 0 ate´ t = 4, 0 s. (Sugesta˜o: Quais sa˜o as velocidades nesses tempos?)
2. Na Figura 1, uma corda passa por duas roldanas de massas e atrito desprez´ıveis; uma lata
cil´ındrica de massa m = 20 kg esta´ pendurada em uma das roldanas. Se voceˆ exercer uma
forc¸a ~F sobre a extremidade livre da corda,
Figura 1: Problema 2
(a) qual deve ser a intensidade de ~F a fim de que a lata seja suspensa com velocidade
constante?
(b) Para supender a lata 2, 0 cm, quantos cent´ımetros voceˆ deve puxar a extremidade livre
da corda?
(c) Durante esse levantamento, qual e´ o trabalho realizado sbre a lata pela forc¸a (transmitida
via corda) e
(d) pela forc¸a gravitacional sobre a lata?
(Sugesta˜o: Quando uma corda passa em volta e uma roldana como mostrado, ela puxa a
roldana com um forc¸a resultante que e´ o dobro da trac¸a˜o na corda.)
1
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
3. Um bloco de gelo de 45 kg desce deslizando um plano inclinado liso de 1,5 m de comprimento
e 0,91 m de altura. Um trabalhador aplica uma forc¸a para cima contra o bloco de gelo
na direc¸a˜o paralela ao plano inclinado, para que o bloco desc¸a deslizando com velocidade
constante.
(a) Encontre a intensidade da forc¸a do trabalhador.
(b) Quanto trabalho e´ realizado sobre o bloco pela forc¸a do trabalhor?
(c) Quanto trabalho e´ realizado sobre o bloco pela forc¸a gravitacional?
(d) Quanto trabalho e´ realizado sobre o bloco pela forc¸a normal a` superf´ıcie do plano incli-
nado?
(e) Quanto trabalho e´ realizado sobre o bloco pela forc¸a resultante?
4. Um helico´ptero eleva uma astronauta de 72 kg verticalmente por 15 m a partir do oceano
por meio de cabo. A acelerac¸a˜o da astronauta e´
g
10
.
(a) Quanto trabalho e´ realizado sobre a astronauta pela forc¸a do helico´ptero?
(b) Quanto trabalho e´ realizado sobre a astronauta pela forc¸a gravitacional agindo sobre
ela?
(c) Quais sa˜o a energia cine´tica e a velocidade da astronauta imediatamente antes de ela
alcanc¸ar o helico´ptero?
5. Uma equipe de resgate em cavernas suspende bem na vertical um espeleo´logo ferido para fora
de um sumidouro por meio de um cabo tracionado por um motor. O ic¸amento e´ realizado
em treˆs etapas:
(a) o espeleo´logo inicialmente em repouso, e´ acelerado ate´ uma velocidade de 5,00 m/s;
(b) ele e´ enta˜o suspenso a uma velocidade constante de 5,00 m/s;
(c) finalmente ele e´ desacelerado ate´ voltar ao repouso.
Quanto trabalho e´ realizado sobre o espeleo´logo resgatado de 80,0 kg pela forc¸a que o sus-
pendeu durante cada etapa?
6. Um bloco de 250 g e´ solto sobre uma mola vertical indeformada que possui uma constante
de mola k = 2, 5 N/cm (Figura 3). O bloco passa a ficar preso a` mola comprimindo-a 12 cm
antes de parar por um instante. Enquanto a mola estiver sendo comprimida, qual e´ o trabalho
realizado sobre o bloco
(a) pela forc¸a gravitacional que age sobre ele e
(b) pela forc¸a da mola?
2
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Figura 2: Problema 6
(c) Qual e´ a velocidade do bloco imediatamente antes de ele acertar a mola? (Suponha que
o atrito seja desprez´ıvel).
(d) Se a velocidade no impacto for duplicada, qual sera´ a compressa˜o ma´xima da mola?
7. A u´nica forc¸a atuante sobre um corpo de 2,0 kg enquanto ele move-se ao longo do sentido
positivo do eixo x possui uma componente x igual a Fx = −6x N, onde x esta´ em metros. A
velocidade do copor em x = 3, 0 m e´ de 8,0 m/s.
(a) Qual a velocidade do corpo em x = 4, 0 m?
(b) Em qual valor positivo de x o corpo tera´ uma velocidade de 5,0 m/s?
8. Um bloco de 5,0 kg move-se em linha reta sobre uma superf´ıcie horizontal lisa sob a influeˆncia
de uma forc¸a que varia com a posic¸a˜o, como mostrado na Figura 3. a escala do eixo vertical
da vigura e´ tomada por Fs = 10, 0 N. Quanto trabalho esta forc¸a realiza para mover o bloco
da origem ate´ a posic¸a˜o x = 8, 0 m?
Figura 3: Problema 8
3
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
9. Um tijolo de 10 kg move-se ao longo de um eixo x. Sua acelerac¸a˜o em func¸a˜o da sua posic¸a˜o
e´ mostrada na Figura 4. Na figura a escala do eixo vertical e´ dada por as = 20, 0 m/s
2. Qual
o trabalho resultante realizado sobre o tijolo pela forc¸a que causa a acelerac¸a˜o do tijolo ao
se mover de x = 0 ate´ x = 8, 0 m?
Figura 4: Problema 9
10. A u´nica forc¸a atuante sobre um bloco de 2,0 kg enquanto este se move ao longo do eixo x
varia como mostrado na Figura 5. No gra´fico, a escala vertical e´ tal que Fx = 4, 0 N. A
velocidade do corpo em x = 0 e´ de 4,0 m/s.
Figura 5: Problema 10
(a) Qual a energia cine´tica do corpo em x = 3, 0 m?
(b) Para que valor de x o corpo tera´ ma energia cine´tica de 8,0 J?
(c) Qual a energia cine´tica ma´xima alcanc¸ada pelo bloco entre x = 0 e x = 5, 0 m?
11. A forc¸a sobre uma part´ıcula esta´ dirigida ao longo de um eixo x e e´ dada por
F =
F0
x
x0
− 1
.
4
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Determine o trabalho realizado pela forc¸a ao mover a part´ıcula de x = 0 ate´ x = 2x0,
(a) plotando F (x) e medindo o trabalho a partir do gra´fico e
(b) por integrac¸a˜o de F (x)
12. Um bloco de 1,5 kg esta´ inicialmente em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal lisa quando
uma forc¸a horizontal no sentido positivo de um eixo x e´ aplicada ao bloco. A forc¸a e´ dada
por
~F (x) = (2, 5− x2)ˆı N ,
onde x e´ dado em metros e a posic¸a˜o inicial do bloco e´ x = 0.
(a) Qual a energia cine´tica do bloco ao passar por x = 2, 0 m?
(b) Qual a energia cine´tica ma´xima do bloco entre x = 0 e x = 2, 0 m?
13. Um bloco de 100 kg e´ puxado com velocidade constante de 5,0 m/s sobre um piso horizontal
por uma forc¸a aplicada de 122 N que forma um aˆngulo de 37◦ em relac¸a˜o ao plano horizontal.
Qual a taxa com que a forc¸a realiza trabalho sobre o bloco?
14. (a) Em um certo instante, um objeto, que pode ser considerado uma part´ıcula, sofre a ac¸a˜o
de uma forc¸a
~F = (4, 0 N )ˆı− (2, 0 N )ˆ + (9, 0 N )kˆ ,
enquanto possui uma velocidade
~v = −(2, 0 m/s )ˆı + (4, 0 m/s )kˆ .
Qual a taxa instantaˆnea com que a forc¸a realiza trabalho sobre o objeto?
(b) Em um outro instante, a velocidade apresenta apenas uma componente na direc¸a˜o y.
Se a forc¸a na˜o foi alterada, e a poteˆncia instantaˆnea e´ de −12 W, qual a velocidade do
objeto neste exato momento?
15. Um esquiador e´ puxado para cima de uma rampa de esqui lisa, que faz um aˆngulo de 12◦ com
a horizontal, por meio de uma corda de reboque. A corda move-se paralelamente a` rampa
com uma velocidade constante de 1,0 m/s.A forc¸a da corda realiza um trabalho de 900 J
sobre o esquiador enquanto ele se moveu uma distaˆncia de 8,0 m para cima da rampa.
5
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(a) Se a corda moveu-se com velocidade constante de 2,0 m/s, quanto trabalho a forc¸a da
corda realizaria sobre o esquiador quando ele se movesse uma distaˆncia de 8,0 m para
cima da rampa?
(b) Qual a taxa com que a forc¸a da corda esta´ realizando trabalho sobre o esquiador quando
a corda move-se com uma velocidade de 1,0 m/s?
(c) idem para 2,0 m/s.
16. A cabine de um elevador de cargas, completamente carregado e que se move lentamente,
possui uma massa total de 1200 kg que precisa ser elevada 54 m em 3 minutos, partindo
e retornando ao repouso. O contrapeso do elevador possui uma massa de apenas 950 kg;
portanto o motor do elevador tem que ajudar a puxar a cabine para cima. Qual a poteˆncia
me´dia exigida da forc¸a que o motor exerce sobre a cabine, por meio do cabo?
17. Uma concha de 0,30 kg deslizando sobre uma superf´ıcie horizontal lisa e´ presa a uma extre-
midade de uma mola horizontal (com k = 500 N/m) que possui a outra extremidade fixa. A
concha possui uma energia cine´tica de 10 J ao passar pela sua posic¸a˜o de equil´ıbrio (o ponto
no qual a forc¸a da mola e´ nula).
(a) Qual a taxa com que a mola realiza trabalho sobre a concha quando esta passa pela sua
posic¸a˜o de equil´ıbrio?
(b) Qual a taxa com que a mola realiza trabalho sobre a concha quando a mola esta´ com-
primida 0,10 m e a concha esta´ se afastando da posic¸a˜o de equil´ıbrio?
18. A forc¸a (mas na˜o a poteˆncia) necessa´ria para rebocar um barco com velocidade constante
e´ proporcional a` velocidade. Se uma velocidade e´ de 4,0 km/h requer 7,5 kW, qual sera´ a
poteˆncia necessa´ria para uma velocidade de 12 km/h?
19. Um objeto de 2,0 kg inicialmente em repouso, e´ acelerado horizontal e uniformemente ate´
uma velocidade de 10 m/s em 3,0 s.
(a) Nesse intervalo de 3,0 s, quanto trabalho a forc¸a de acelerac¸a˜o realiza sobre o objeto?
(b) Qual a poteˆncia instantaˆnea devida a essa forc¸a ao final do intervalo
(c) e ao final da primeira metade do intervalo?
20. Ao se exercitar em uma barra, levando o queixo ate´ a barra, o corpo de um homem se eleva
0,40 m.
(a) Qual e´ o trabalho realizado pelo homem por quilograma de massa de seu corpo?
6
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b) Os mu´sculos envolvidos nesse movimento podem produzir 70 J de trabalho por quilo-
grama de massa do mu´sculo. Se o homem consegue fazer a elevac¸a˜o de 0,40 m no limite
de seu esforc¸o ma´ximo, qual e´ o percentual da massa de seu corpo constitu´ıdo por esses
mu´sculos? (Para comparac¸a˜o, e´ cerca de 43% a porcentagem total de mu´sculos de um
homem de 70 kg com 14% de gordura.)
(c) Repita os ca´lculos da parte (b) para o filho jovem do homem, cujos brac¸os possuem a
metade do comprimento do seu pai pore´m com mu´sculos que podem produzir 70 J de
trabalho por quilograma de massa do mu´sculo.
(d) Adultos e crianc¸as possuem aproximadamente a mesma porcentagem de mu´sculos em
seus corpos. Explique por que uma crianc¸a pode fazer uma flexa˜o mais facilmente do
que seu pai.
21. Uma senhora esta´ em pe´ parada em um elevador que sobe com acelerac¸a˜o constante enquanto
ele se desloca a uma distaˆncia vertical de 18,0 m. Durante o deslocamento de 18,0 m, a forc¸a
normal exercida pelo piso do elevador realiza sobre ela um trabalho de 8,25 kJ e a gravidade
realiza sobre ela um trabalho de –7,35 kJ.
(a) Qual e´ a massa dessa senhora?
(b) Qual e´ a forc¸a normal exercida pelo piso do elevador sobre ela?
(c) Qual e´ a acelerac¸a˜o do elevador?
22. Um pacote de 5,00 kg desliza para baixo de uma rampa inclinada de 12, 0◦ abaixo da hori-
zontal. O coeficiente de atrito cine´tico entre o pacote e a rampa e´ µc = 0, 310. Calcule
(a) o trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito;
(b) o trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade;
(c) o trabalho realizado sobre o pacote pela forc¸a normal;
(d) o trabalho total realizado sobre o pacote.
(e) Se o pacote possui uma velocidade de 2,20 m/s no topo da rampa, qual e´ sua velocidade
depois de descer 1,50 m ao longo da rampa?
23. Um objeto e´ atra´ıdo para a origem com uma forc¸a dada por Fx = − k
x2
. (As forc¸as ele´tricas
e as gravitacionais possuem esse tipo de dependeˆncia com a distaˆncia).
(a) Calcule o trabalho realizado pela forc¸a Fx quando o objeto se desloca ao longo do eixo
Ox de x1 a x2. Se x2 > x1, verifique se o trabalho realizado por Fx e´ positivo ou
negativo.
7
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b) A u´nica forc¸a, ale´m dessa, e´ a forc¸a que a sua ma˜o exerce sobre o objeto para desloca´-lo
lentamente de x1 a x2. Qual trabalho voceˆ realiza? Se x2 > x1, o trabalho realizado
por voceˆ e´ positivo ou negativo?
(c) Explique as semelhanc¸as e as diferenc¸as entre suas respostas das partes (a) e (b).
24. Considere uma certa mola que na˜o obedece a lei de Hooke muito rigorosamente. Uma das
extremidades da mola e´ mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de um
distaˆncia x, e´ necessa´rio aplicar uma forc¸a na extremidade livre da mola ao longo do eixo
Ox com mo´dulo dado por Fx = kx − bx2 + cx3. Aqui k = 100 N/m, b = 700 N/m2 e
c = 12.000 N/m3. Note que para x > 0 a mola esta´ esticada e para x < 0 a mola esta´
comprimida.
(a) Qual o trabalho necessa´rio para esticar essa mola 0,050 m a partir do seu comprimento
sem deformac¸a˜o?
(b) Qual o trabalho necessa´rio para comprimir essa mola 0,050 m a partir do seu compri-
mento sem deformac¸a˜o?
(c) E´ mais fa´cil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que em termos da de-
pendeˆncia de Fx com x. (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo
modo.)
25. Um pro´ton com massa igual a 1, 67× 10−27 kg e´ impulsionado com uma velocidade incial de
3, 00× 105 m/s diretamente contra um nu´cleo de uraˆnio situado a uma distaˆncia de 5,00 m.
O pro´ton e´ repelido pelo nu´cleo de uraˆnio com uma forc¸a com mo´dulo Fx =
α
x2
, onde x e´ a
distaˆncia entre as duas part´ıculas e α = 2, 12× 10−26 Nm2. Suponha que o nu´cleo de uraˆnio
permanec¸a em repouso.
(a) Qual e´ a velocidade do pro´ton quando ele esta´ a uma distaˆncia de 8, 00 × 10−10 m do
nu´cleo de uraˆnio?
(b) A` medida que o pro´ton se aproxima do nu´cleo de uraˆnio, a forc¸a de repulsa˜o faz sua
velocidade diminuir ate´ ele ficar momentaneamente em repouso, depois que ele passa a
se afastar do nu´cleo de uraˆnio. Qual e´ a distaˆncia mı´nima entre o pro´ton e o nu´cleo de
uraˆnio?
(c) Qual e´ a velocidade do pro´ton quando ele esta´ novamente a uma distaˆncia de 5,00 m do
nu´cleo de uraˆnio?
26. Uma forc¸a resultante de mo´dulo (5, 00N/m2)x2 formando um aˆngulo constante de 31, 0◦ com
o eixo +Ox atua sobre um objeto de massa 0, 250 kg que se desloca ao longo do eixo Ox.
Qual e´ a velocidade do objeto para x = 1, 50 m, sabendo-se que ele possu´ıa uma velocidade
de 4,00 m/s para x = 1, 00 m?
8
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
27. Uma forc¸a orientada no sentido positivo do eixo +Ox possui mo´dulo F =
b
xn
, onde be n sa˜o
constantes.
(a) Para n > 1, calcule o trabalho realizado por essa forc¸a sobre uma part´ıcula que se move
ao longo do eixo Ox desde x = x0 ate´ o infinito.
(b) Mostre que para 0 < n < 1, embora F se anule quando x se torna muito grande, uma
quantidade infinita de trabalho e´ realizado por F quando a part´ıcula se move desde
x = x0 ate´ o infinito.
28. Uma espingarda de mola possui massa desprez´ıvel e a constante de mola e´ dada por k =
400 N/m. A mola e´ comprimida 6,0 cm e uma bala de massa 0,0300 kg e´ colocada no cano
horizontal contra a mola comprimida. A seguir a mola e´ liberada, e a bala recebe um impulso,
saindo do cano da arma. O cano possui 6,0 cm de comprimento, de modo que a bala deixa
o cano no mesmo ponto onde ela perde o contato com a mola. A arma e´ mantida de modo
que o cano fique na horizontal.
(a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade da bala ao deixar o cano da arma.
(b) Calcule a velocidade com que a bala deixa o cano da arma quando uma forc¸a resistiva
constante de 6,00 N atua sobre ela enquanto ela se move ao longo do cano.
(c) Para a sistuac¸a˜o descrita no item (b), em que posic¸a˜o ao longo do cano a bala possui
sua velocidade ma´xima e qual e´ essa velocidade? (Nesse caso, a velocidade ma´xima na˜o
ocorre na extremidade do cano.)
29. Sua gata Mimi (massa 7,00 kg) esta´ tentando subir uma rampa sem atrito de 2,00 m de
comprimento e inclinada de 30, 0◦ acima da horizontal. Como a pobre gata na˜o encontra
trac¸a˜o na rampa, voceˆ a empurra durante toda a extensa˜o da rampa, exercendo sobre ela
uma forc¸a constante de 100 N paralela a` rampa. Supondo que Mimi comece a correr de modo
a estar com velocidade de 2,40 m/s na base da rampa, qual sera´ sua velocidade no topo da
rampa?
30. Considere um sistema formado por dois blocos. Um dos blocos possui massa de 8,00 kg e
esta´ sobre o topo de uma mesa cujo o coeficiente de atrito cine´tico e´ µc = 0, 250. Este bloco
e´ ligado por uma corda de massa desprez´ıvel e que passa por uma pequena polia sem atrito a
um outro bloco suspenso de massa 6,00 kg. Os blocos sa˜o liberados do repouso. Use me´todos
de energia para calcular a velocidade do bloco de 6,00 kg no momento em que ele desceu 1,50
m.
31. Em um dia de inverno em uma cidade que neva muito, o trabalhador de um armaze´m esta´
empilhando caixas sobre uma rampa rugosa inclinada de um aˆngulo α acima da horizontal.
9
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
A rampa esta´ parcialmente coberta de gelo e na sua base existe mais gelo do que no seu topo,
de modo que o coeficiente de atrito aumenta com a distaˆncia x ao longo da rampa: µ = Ax,
onde A e´ uma constante positiva e a base da rampa corresponde a x = 0. (Para essa rampa,
o coeficiente de atrito cine´tico e´ igual ao coeficiente de atrito esta´tico: µc = µe = µ.) Uma
caixa e´ empurrada para cima da rampa, de modo que ela sobe a partir da base com uma
velocidade inicial v0. Mostre que quando a caixa atingir momentaneamente o repouso ela
continuara´ em repouso se
v20 ≥
3gsen 2α
A cosα
32. Uma fo´rmula teo´rica para a energia potencial associada a` forc¸a nuclear entre dois pro´tons,
dois neˆutrons, ou um neˆutron e um pro´ton e´ o potencial de Yukawa [ Hideki Yukawa (1907-
1981) – preˆmio Nobel em F´ısica em 1949 por sua previsa˜o da existeˆncia de me´sons baseada
em trabalho teo´rico sobre forc¸as nucleares ],
U(r) = −U0
(a
r
)
e−r/a,
onde U0 e a sa˜o constantes positivas e r e´ a distaˆncia de separac¸a˜o entre os dois nu´cleos.
(a) Determine a forc¸a em func¸a˜o da distaˆncia de separac¸a˜o dos dois nu´cleos.
(b) Calcule a raza˜o entre o valor da forc¸a para as distaˆncias r = 2a e r = a.
(c) Calcule a raza˜o entre o valor da forc¸a para as distaˆncias r = 5a e r = a.
33. A forc¸a Fx, atuante sobre uma part´ıcula e´ mostrada como func¸a˜o de x na Figura 6. Determine
o trabalho realizado pela forc¸a quando a part´ıcula se move de x = 0 ate´ os seguintes valores
de x : −4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 e 4 m.
Figura 6: Problema 33
10
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
34. Nas palavras de Richard Feynman (1918-1988) – preˆmio Nobel em F´ısica em 1965 por seu
trabalho fundamental em eletrodinaˆmica quaˆntica, com consequ¨eˆncias profundas para a f´ısica
de part´ıculas elementares –, um dos maiores f´ısicos do se´culo XX, “Se, em um cataclisma, todo
o conhecimento cient´ıfico fosse destru´ıdo e apenas uma frase fosse passada para a pro´xima
gerac¸a˜o, . . . qual a afirmativa que conteria a informac¸a˜o mais importante em menos palavras?
Eu acredito que a afirmativa seria — que todas as coisas sa˜o feitas de a´tomos — pequenas
part´ıculas . . . atra´ıdas entre si quando separadas por uma pequena distaˆncia, pore´m repelidas
quando comprimidas entre si” [ Richard P. Feynman, Matthew L. Sands e Robert B. Leighton,
The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, p. 1.1. Boston: Addison-Wesley (1970).]. Ao
analisar as forc¸as entre os a´tomos, os f´ısicos modernos e os qu´ımicos geralmente modelam
suas interac¸o˜es pelo chamado potencial “6–12” (potencial de Lennard-Jones), onde a func¸a˜o
energia potencial entre dois a´tomos e´ dada pela func¸a˜o
U(r) =
a
r12
− b
r6
onde r e´ a distaˆncia entre os nu´cleos atoˆmicos e a e b sa˜o constantes que podem ser determi-
nadas espectroscopicamente. Uma vez que eles na˜o formam fronteiras atoˆmicas, os a´tomos
dos gases nobres possuem func¸o˜es energia potencial que podem ser bem modeladas por um
potencial 6–12 e medidos com razoa´vel precisa˜o.
(a) Determine a distaˆncia de separac¸a˜o (ponto de mı´nimo) entre os a´tomos.
(b) Determine o valor mı´nimo da energia potencial (comparada com a situac¸a˜o em que os
a´tomos sa˜o separados de uma grande distaˆncia).
(c) A distaˆncia obtida do item a) e´ um ponto de mı´nimo. Esse ponto refere-se a um equil´ıbrio
esta´vel ou insta´vel. EXPLIQUE.
35. Um bloco de massa m repousa em um plano inclinado de inclinac¸a˜o θ, com o coeficiente
de atrito esta´tico conhecido µe, conforme mostrado na Figura 7. Uma mola de constante
ela´stica k esta´ ligada a uma roldana, de massa desprez´ıvel, e e´ puxada para baixo com forc¸a
Figura 7: Problema 35
11
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
gradualmente aumentada. Determine a energia potencial U da mola no momento em que o
bloco comec¸a a se mover em func¸a˜o de m, θ, k, µe e g.
36. A Figura 8 mostra um bloco de gelo escorrega para baixo em uma rampa sem atrito de
inclinac¸a˜o θ ao mesmo tempo em que e´ puxado para cima com uma forc¸a ~Fc (por meio de uma
corda) que esta´ dirigida para cima ao longo da rampa. Quando o bloco desliza uma distaˆncia d
ao longo da rampa, sua energia cine´tica aumenta por um valor T0. Determine qua˜o maior seria
esta energia cine´tica se a corda na˜o estivesse presa ao bloco. Justifique a sua resposta.
Figura 8: Problema 36
37. Uma massa m desliza de cima para baixo por um plano ligeiramente inclinado e sem atrito
a partir de uma altura vertical h, formando um aˆngulo α com a horizontal.
(a) O trabalho realizado por uma forc¸a e´ a soma do trabalho realizado pelos componentes
da forc¸a. Considere os componentes da gravidade paralela e perpendicular a` superf´ıcie
do plano. Determine o trabalho realizado sobre a massa para cada um dos componentes
e use esses resultados para mostrarque o trabalho realizado pela gravidade e´ exatamente
o mesmo, caso a massa tivesse ca´ıdo diretamente de cima para baixo pelo ar, de uma
altura h.
(b) Use o teorema do trabalho-energia para provar que a velocidade escalar da massa na
base da inclinac¸a˜o seria a mesma, caso tivesse sido solta da altura h, independentemente
do aˆngulo α da inclinac¸a˜o. Explique como essa velocidade escalar pode ser independente
do aˆngulo de inclinac¸a˜o.
12
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
RESPOSTAS
1. 528 J
2. (a) 98 N
(b) 4,0 cm
(c) 3,92 J
(d) -3,92 J
3. (a) 2, 7× 102 N
(b) −4, 0× 102 J
(c) 4, 0× 102 J
(d) nulo
(e) nulo
4. (a) 1, 2× 104 J
(b) −1, 1× 104 J
(c) 1, 0× 103 J e 5,3 m/s
5. (a) 8, 84× 103 J
(b) 7, 84× 103 J
(c) 6, 84× 103 J
6. (a) -0,29 J
(b) -1,8 J
(c) 3,5 m/s
(d) -0,23 m
7. (a) 6,6 m/s
(b) 4,7 m
8. 25 J
9. 800 J
10. (a) 12 J
(b) 4,0 m
(c) 18 J
11. o trabalho e´ nulo
12. (a) 2,3 J
(b) 2,6 J
13. 487 W
14. (a) 28 W
(b) 6, 0ˆ m/s
15. (a) 9, 0× 102 J
(b) 1, 1× 102 W
(c) 2, 3× 102 W
16. 735 W
17. (a) 0 W
(b) -350 W
18. 6, 8× 104 W
19. (a) 1, 0× 102 J
(b) 6, 7× 10 W
(c) 3, 3× 10 W
20. (a) 3,9 J/kg
(b) 5,6%
(c) 1,96 J/kg e 2,8%
(d) Se ambos, o adulto e a crianc¸a, po-
dem fazer o trabalho a uma taxa de
70 J/kg e, se a crianc¸a precisa uti-
lizar apenas 1,96 J/kg ao inve´s de
3,92 J/kg, enta˜o a crianc¸a teria ca-
pacidade de realizar mais trabalho.
21. (a) 41,7 kg
13
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b) 458 N
(c) 408 N
(d) 1,20 m/s2
22. (a) −22, 3 J
(b) 15,3 J
(c) nulo
(d) −7, 00 J
(e) 1,43 m/s
23. (a) k
(
1
x2
− 1
x1
)
. A forc¸a e´ atrativa,
pois F < 0, logo k > 0. Se x2 >
x1 =⇒W < 0
(b) O deslocamento lento subtende-se
velocidade constante, a forc¸a sobre
o objeto (resultante) e´ nula, enta˜o a
forc¸a aplicada pelas ma˜oes e´ oposta
a Fx e o trabalho realizado e´ o ne-
gativo daquele encontrado no item
anterior, ou seja, o trabalho para
levar o objeto de x2 ate´ x1. As-
sim k
(
1
x1
− 1
x2
)
que e´ positivo se
x2 > x1.
(c) As respostas possuem o mesmo
mo´dulo, mas com sinais trocados.
Isto era esperado, ja´ que, o trabalho
resultante e´ nulo.
24. (a) 0,12 J
(b) 0,17 J
(c) E´ mais fa´cil esticar a mola.
25. (a) 2, 41× 105 m/s
(b) 2, 82× 10−10 m
(c) 3, 00× 105 m/s
26. 6,57 m/s
27. (a)
b
n− 1
1
xn−10
(b) Mostre!
28. (a) 6,93 m/s
(b) 4,90 m/s
(c) 0,0150 m e 5,20 m/s
29. 6,58 m/s
30. 2,90 m/s
31. Mostre!
32. (a)
−U0e−r/a
(
a
r2
+
1
r
)
(b)
3
8
e−1
(c)
3
25
e−1
14
Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Unidade VI – Trabalho e Energia Mecaˆnica
FIS121 – F´ısica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
33.
x1 → x2 (m) Wx1→x2 (J)
0→ −4 (−3− 1)
2
(4) +
4 + 2
2
(−1) = −11
0→ −3 W0→−4 −W−3→−4 = −11−
[2
2
(−1)] = −10
0→ −2 W0→−3 −W−2→−3 = −10−
[4 + 2
2
(−1)] = −7
0→ −1 W0→−2 −W−1→−2 = −7−
[
(4)(−1)] = −3
0→ 0 0
0→ 1 2
2
(1) = 1
0→ 2 W0→1+W1→2 = 1 + 12 (−2) = 0
0→ 3 W0→2 +W2→3 = 0 + (−2)(1) = −2
0→ 4 W0→3 +W3→4 = −2 + 1
2
(−2) = −3
34. (a)
6
√
2a
b
(b) − b
2
4a
(c) Equil´ıbrio esta´vel.
35.
[mg(sen θ + µe cos θ)]
2
2k
36. Fcd
37. (a) Mostre!
(b) Mostre!
15