Gab tarefa 2

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Universidade Federal de Ouro Preto 
Centro de Educação Aberta e a Distância 
EAD547 - Introdução à Álgebra Linear 
 
 
CRITÉRIOS DE CORREÇÃO 
TAREFA 2 – MÓDULO 2 
 
Questão 1: Classifique as proposições seguintes F (falsas) ou V (verdadeiras). 
 
a) O conjunto A = {0,0,0)}, munido da adição e multiplicação escalar usuais em R3, é 
um espaço vetorial sobre R. 
Verdadeira 
b) O conjunto B = {(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)}, munido da adição e multiplicação escalar 
usuais em R3, é um espaço vetorial sobre R. 
Falsa 
c) O conjunto C = {(x, y)  R2: x = y}, munido da adição e multiplicação escalar 
usuais em R2, é um espaço vetorial sobre R. 
Verdadeira 
d) O conjunto C = {(x, y, z)  R3: x = 0}, munido da adição e multiplicação escalar 
usuais em R3, é um espaço vetorial sobre R. 
Verdadeira 
e) O conjunto das matrizes de ordem 2x3, munido da adição e multiplicação escalar 
usuais no conjunto das matrizes, é um espaço vetorial sobre R. 
Verdadeira 
f) O conjunto Z dos números inteiros, munido da adição e multiplicação por um real, 
não é um espaço vetorial sobre R. 
Falsa 
g) O conjunto P dos polinômios de grau menor ou igual a 3, munido da adição e 
multiplicação escalar usuais no conjunto dos polinômios, não é um espaço 
vetorial. 
Falsa 
h) A trípleta (Z, +, • ) é um espaço vetorial sobre R, onde Z é o conjunto dos números 
inteiros. 
Falsa 
i) O conjunto dos números naturais não nulos, munido da adição e multiplicação 
escalar, é um espaço vetorial sobre R. 
Falsa 
j) Qualquer subconjunto não vazio de R2 é espaço vetorial sobre R para as 
operações usuais de adição e multiplicação escalar. 
Falsa 
 
Questão 2: Considere o conjunto S = {(x,y)  R2: y =1}. Mostre que S não é um espaço 
vetorial sobre R para as operações usuais de adição e multiplicação escalar em R2. 
Solução: Pode-se mostrar que o conjunto considerado não é espaço vetorial sobre R2 
mostrando simplesmente ou que a adição não tem a propriedade do fechamento em S 
ou que a multiplicação escalar não é fechada em S. 
 
a) Verificando se a adição é fechada em S: 
Consideremos os pares (2,1) e (3,1)  S. Temos que (2,1) + (3,1) não pertence a S. 
De fato, (2,1) + (3,1) = (5,2) que não pertence a S, pois y não é igual a 1. 
Conclusão, a adição não é fechada em S; portanto, S = {(x,y)  R2: y =1} não é um 
espaço vetorial sobre R. 
 
b) Verificando se a multiplicação escalar é fechada em S: 
Consideremos α = 3  R e o par ( 2,1)  S. Temos que 3. (2,1) não pertence a S. 
De fato, 3.(2,1)=(6, 3) não pertence a S, pois y ≠ 1. 
Conclusão, a multiplicação escalar não é fechada em S; portanto, S = {(x,y)  R2: y 
=1} não é um espaço vetorial sobre R. 
 
Questão 3: O conjunto P = = {(x,y,z)  R3: y  2} não é um espaço vetorial sobre R para 
as operações usuais de adição e multiplicação escalar em R3. Justifique. 
 
Solução: Da mesma forma que na questão anterior, se adição não é fechada em P ou se 
a multiplicação escalar não é fechada em P, então P não é um espaço vetorial sobre R. 
 
a) Verificando se a adição é fechada em P: 
Consideremos as trípletas (2,1,3) e (4,1,5)  P. 
Então: (2,1,3) + (4,1,5) = (6, 2, 8) não pertence a P, pois y não é menor que 2. 
Conclusão, a adição não é fechada em P; portanto, P não é um espaço vetorial sobre 
R. 
 
b) Verificando se a multiplicação escalar é fechada em P: 
Considerando α = 4 e a trípleta (2,1,3)  P. 
Então: α .(2,1,3) = 4. (2,1,3) = (8,4,3) não pertence a P, pois y=4 não é menor que 2. 
Conclusão, a multiplicação escalar não é fechada em P; portanto, P não é um 
espaço vetorial sobre R. 
 
Questão 4: Considere o conjunto R2 com as operações de adição e multiplicação escalar 
definidas do seguinte modo: 
(a, b)+ (c,d) = (a+d, b-c) e  (a,b) = (a, b). 
Verifique se as propriedades seguintes são satisfeitas: 
 
a) Comutatividade da adição: 
Solução: 
Vamos considerar (a,b)R2 e (c,d) R2 . 
Usando a definição de soma dada, devemos mostrar (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b). 
(a, b) + (c, d) = (a+d, b-c) 
  (a+d, b-c) ≠ (c+b, d-a) 
(c, d) + (a, b) = (c+b, d-a) 
 
Conclusão: Como (a+d, b-c) ≠ (c+b, d-a), a adição considerada não é comutativa. 
 
b) Distributividade da multiplicação escalar com relação à soma de vetores. 
Solução: 
Vamos considerar (a,b)R2 e (c,d)R2. Usando as definições de soma e de multi-
plicação escalar dadas, devemos mostrar que  [(a, b) + (c, d)] = (a, b) +  (c, d)] 
 
 [(a, b) + (c, d)] =  (a+d, b-c) = (a+d, b - c) (I) 
(a,b) + (c,d) = (a, b) + (c, d) = (a+d, b - c) (II) 
Comparando (I) e (II), temos que  [(a, b) + (c, d)] = (a, b) +  (c, d)]. 
Conclusão: A multiplicação escalar considerada é distributiva com relação à soma 
de vetores. 
 
Questão 5: O conjunto T = {(x,y,z,w)  R4: x = 0 } não é um subespaço vetorial de R3. 
Justifique. 
Para que T seja um subespaço de R3, T deve ser um subconjunto de R3 e, além 
disso, as três condições seguintes devem ser verificadas: 
 
1o) V1 ≠  
2o) Dados u, v  V1, a soma u+v também pertence a V1 (isto é, a adição é uma 
operação é fechada em V1 ) . 
3o) Dados uV1, e  R, o produto e  u  V1. (isto é, a multiplicação escalar é 
euma operação fechada em V1. 
 
Solução: T é um conjunto de quádruplas ordenadas, enquanto R3 é um conjunto de 
trípletas ordenadas. Portanto T  R3, ou seja, T não é um subconjunto de R3. As três 
outras condições não precisam ser verificadas. 
Conclusão: T não é um subespaço de R3.