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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m. Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a TERCEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37, pa´gina 316] 2 37.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma Lista Proviso´ria – (1/2) . . . . . 2 37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos – (3/5) . . . . . . . . . . . . . . 2 37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15) . . . . . . . . . . . . . . 3 37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista Completa – (16/20) . . . . . . . 4 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista3.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m. 37 As Equac¸o˜es de Maxwell – [Capı´tulo 37, pa´gina 316] 37.1 Questo˜es Q 37-3. Por que e´ ta˜o fa´cil mostrar que “um campo magne´tico varia´vel produz um campo ele´trico”, mas e´ ta˜o difı´cil mostrar de um modo simples que “um campo ele´trico varia´vel produz um campo magne´tico”? � Porque os campos magne´ticos devidos a campos ele´tricos varia´veis sa˜o extremamente fracos. Isto deve- se ao coeficiente ������� � � � do termo ����������� na lei de Ampe`re-Maxwell ser muito pequeno em relac¸a˜o ao outro termo da equac¸a˜o. A constante � representa a ve- locidade da luz. 37.2 Problemas e Exercı´cios 37.2.1 As Equac¸o˜es de Maxwell: Uma Lista Pro- viso´ria – (1/2) E 37-1. Verifique o valor nume´rico da velocidade escalar da luz usando a Eq. 37-1 e mostre que a equac¸a˜o esta´ dimen- sionalmente correta. (Veja o Apeˆndice B.) � No Apeˆndice B, pa´g. 321, encontramos que ����� ff�fiffifl��� ! �"$#&%� 'ff)(*",+-ff�%/.10 H/m 2 3 � � 4'fi 4*�5(6ff�4$#&4'ff7#& *fl8+-ff�%/. :9 F/m fi Portanto, �;� < ff ������� �=fl/fi >�>�#?>�"$�6+-ff�%*@ m/s fi O Apeˆndice B informa que o valor experimental de � e´ �;�Afl'fi >*>$#?>$fl5(B��4,+CffD%�@ m/s fi Na˜o deixe de fazer a ana´lise dimensional pedida! E 37-2. (a) Mostre que E � � �5� � �F"$#�#HG . (Esta grandeza e´ chamada de “impedaˆncia do va´cuo”.) (b) Mostre que a frequ¨eˆncia angular correspondente a *% Hz e´ igual a "$#*# rad/s. (c) Compare os itens (a) e (b). Voceˆ acha que esta coincideˆncia tenha influido ma escolha de �% Hz para os geradores de corrente alternada? Lembre-se de que na Europa usam ��% Hz. � (a) < � � ��� � < ff�fiffifl��� ! �"$#;%� IffJ(*"8+-ff�% .10 H/m 4'fi 4*��(Kff�4�#?4'ff5#? *fl8+-ff�% . L9 F/m � "�#5 'fiM#5"*%;GNfi (b) O 0 �N�Afl�PNQ �=fl5PR �%K�="$#� 'fi >�>Iff Hz fi Por outro lado, O�SL�B�T"'ffU(VfiWff7��> Hz fi (c) Espac¸o reservado para sua resposta: 37.2.2 Campos Magne´ticos Induzidos – (3/5) E 37-3. Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, quais as possı´veis distaˆncias onde o campo magne´tico induzido se reduz a` metade do seu valor ma´ximo? � Seja X o raio da placa do capacitor e Y a distaˆncia a partir do eixo do capacitor. Para pontos tais que Y[ZAX a magnitude do campo magne´tico e´ dada por \H] Y�^�� ���D���_Y fl �$` ��� enquanto que para Y8abX ela e´ dada por \[] Y5^�� � � � � X 9 fl5Y �$` ��� fi O campo magne´tico ma´ximo ocorre nos pontos em que YR�TX sendo enta˜o seu valor dado por qualquer uma das fo´rmulas acima: \ max � ��������X fl �$` ��� fi http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m. Existem dois valores de Y para os quais \H] Y�^c� \ max ��fl : um menor do que X e um maior. O valor menor do que X pode ser encontrado resolvendo-se em termos de Y a equac¸a˜o \H] Y�^)� � � � � Y fl �$` �*� � � � � � X ( �*` �*�ed � \ max fl f fi O resultado e´ Y-�gXK��flh�i�*�*��flh�ifl*#/fi � mm fi O valor que e´ maior do que X e´ obtido resolvendo-se para Y a equac¸a˜o \H] Y�^)� ��������X 9 fl5Y �*` �*� � ��������X ( �$` ��� fi O resultado e´ YR�Afl�X=�=fl8+j���R�kff*ff�% mm fi 37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15) E 37-6. Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita como l:m �An ��o ��� fi � A corrente de deslocamento e´ dada por lpm �T����q �*` �*� 2 onde q e´ a a´rea de uma das placas e ` e´ a magnitu- de do campo ele´trico entre as placas. O campo entre as placas e´ uniforme, de modo que `r�so��5� , onde o e´ a diferenc¸a de potencial entre as placas e � e´ a separac¸a˜o das placas. Portanto l m � ���Dq � ��o ��� �Tn ��o �*� 2 uma vez que ���DqN�5� e´ a capacitaˆncia n de um capacitor de placas paralelas “cheio de va´cuo”. E 37-7. Dispo˜e-se de um cacitor de placas paralelas de fft� F. Co- mo seria possı´vel obter uma corrente de deslocamento (instantaˆnea) de ff A no espac¸o entre as placas? � Para tanto basta variar o potencial entre as placas a uma taxa de ��o ��� � l:m n � ff A ff�% .u0 F �vff�% 0 V/s fi E 37-8. Para a situac¸a˜o do Exemplo 37-1, mostre que a densida- de de corrente de deslocamento w m para Y[ZxX , e´ dada por w m �T��� �*` �*� fi � Considere uma a´rea q , normal a um campo ele´trico y . A densidade de corrente de deslocamento e´ uniforme e normal a` a´rea. Sua magnitude e´ dada por w m � l m �zq . Nesta situac¸a˜o temos l:m �T���Dq �$` ��� 2 de modo que w m � ff q ����q �*` ��� �A��� �$` ��� fi P 37-14. Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir di- retamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamen- to l:m entre as placas de um capacitor de placas paralelas, submetido a uma diferenc¸a de potencial alternada, como esta´ sugerido na Fig. 37-1. Ele usou placas circulares cujo raio efetivo era de (*% cm e cuja capacitaˆncia era de ffD%�% pF. A diferenc¸a de potencial aplicada tinha um valor ma´ximo oI{ de ff5#7( kV na frequ¨eˆncia de ��% Hz. (a) Qual foi a corrente de deslocamento ma´xima obtida entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferenc¸a de potencial ta˜o elevada? (A delicadeza destas medidas e´ tal que elas so´ foram realizadas diretamente mais de 60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito de corrente de deslocamento!) � (a) Use os resultados do Exercı´cio 37-6, com oc� o { sin ] fl5P|Ou�L^ . A derivada em relac¸a˜o ao tempo e´ ��o������c� fl�P|O�o {C}_~$ ] fl�P|Ou�L^ , de modo que l:m � fl�P|O�nRo {C}_~$ ] fl�P|Ou�L^ , sendo a corrente de deslocamen- to ma´xima dada por l m max � fl5P|O�nRoV{ � fl5P ] ��%*^ ] ffD%�%+CffD%/. L9 ^ ] ff7#5(+CffD%�U^ � �/fi (�#6+-ff�% .1 A fi (b) A corrente de deslocamento ma´xima e´ diretamente proporcional a` ma´xima diferenc¸a de potencial aplicada. Um valor grande de o { produz um valor de l:m max mais facilmente mensura´vel do que com oV{ menor. P 37-15. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m. O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas cir- culares de raio Xi�ffD4 cm esta´ ligado a uma fonte de fem �F/{ senQJ� , onde �{�fl�fl�% V e Q�eff�"*% rad/s. O valor ma´ximo da corrente de deslocamento e´ l:m �#�fi � A. Despreze a distorc¸a˜o do campo ele´trico nas bordas das placas.(a) Qual e´ o valor ma´ximo da corrente l ? (b) Qual e´ o valor ma´ximo de �����?�5�*� , onde ��� e´ o fluxo ele´trico na regia˜o entre as placas? (c) Qual e´ a separac¸a˜o � entre as placas? (d) Determine o valor ma´ximo do mo´dulo de Ł entre as placas a uma distaˆncia YK�kff*ff cm do centro. � (a) Para qualquer instante � , a corrente de desloca- mento l:m existente no espac¸o entre as placas e´ igual a` corrente conduc¸a˜o l nos fios. Portanto max � l m max �=#/fi �� A. (b) Como l:m �T��� ] �/���������L^_2 d �/� � ��� f max � l m max � � � #�fi ,+CffD% .u0 A 4'fi 4*�+-ff�% . :9 F/m � 4'fiffi��>8+-ff�% S V m/s fi (c) De acoˆrdo com o Exercı´cio 37-6 l:m � ����q � �$o �*� fi Na situac¸a˜o em questa˜o, a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor coincide em magnitude com a fem do gerador, de modo que o � { sen QJ� e ��o��5�*�� QJ/{ }U~* QJ� . Portanto l:m � � � q&QJ/{ � z [ max }U~* QJ�zfi donde se tira facilmente que � � � � q&QJ/{ l m max � ] 4'fi 4*�8+-ff�% . L9 ^P ] %'fiff�4$^ 9 ] ff�"*%*^ ] fl�fl�%*^ #/fi 8+-ff�% .u0 � "Ifi "*>8+CffD% .u m 2 onde usamos o fato que q=�PX 9 . (d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell na forma 8ŁsD�$K� � � m , onde o caminho de integrac¸a˜o e´ um cı´rculo de raio Y entre as placas, paralelo a elas. m e´ a corren- te de deslocamento atrave´s da a´rea limitada pelo ca- minho de integrac¸a˜o. Como a densidade da corren- te de deslocamento e´ uniforme entre as placas, temos m � ] Y 9 ��X 9 ^ l m , onde l m e´ a corrente de deslocamen- to total entre as placas e X e´ o raio da placa. As li- nhas de campo sa˜o cı´rculos no eixo das placas, de modo que B e´ paralelo ao vetor �* . A magnitude do campo e´ constante ao longo da trajeto´ria circular, de modo que 8ŁkD�*N�Tfl5P�Y \ . Logo, fl�P�Y \ ���� d Y 9 X 9 f l:m dando \ � � � l m Y fl�PX 9 fi O campo magne´tico ma´ximo e´ dado por \ max � � � l m max Y fl�PX 9 � ] (�P-+-ff�% .1 ^ ] #�fi ,+-ff�% .10 ^ ] %'fiff�ff7^ fl5P ] %'fiff�4$^ 9 � �/fiff� 8+CffD% . :9 T fi 37.2.4 Equac¸o˜es de Maxwell: a Lista Completa – (16/20) P 37-20. Uma longa barra cilı´ndrica condutora, de raio X , esta´ centrada ao longo do eixo como mostra a Fig. 37-11. A barra possui um corte muito fino em �T . Uma cor- rente de conduc¸a˜o l , aumentando no tempo e dada por l �k¡¢� , percorre a barra da esquerda para a direita; ¡ e´ uma constante de proporcionalidade (positiva). No ins- tante �J�A% na˜o existe cargas nas faces do corte pro´ximo a h�x . (a) Determine o mo´dulo da carga nessas faces em func¸a˜o do tempo. (b) Use a Eq. I da Tabela 37-2 para determinar ` no intervalo entre as faces em func¸a˜o do tempo. (c) Esboce as linhas de Ł para YH£=X , onde Y e´ a distaˆncia ao eixo . (d) Use a Eq. IV da Tabela 37- 2 para determinar \[] Y�^ no intervalo entre as faces para YCZsX . (e) Compare a resposta do item (d) com \[] Y�^ na barra para YZ¤X . � (a) No instante � a carga na face direita e´ dada por ¥ �A¦ § � l �*�)�A¦ § � ¡¢�¨�*�J� ff fl ¡¢� 9 fi Para o mesmo instante, o valor da carga na face esquerda e´ ©;¡|� 9 ��fl . (b) Use uma superfı´cie Gaussiana com a forma de um cilindro, conceˆntrica com a barra condutora, com um extremo dentro do intervalo onde existe o corte e o outro http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:14 a.m. dentro da barra a` esquerda do corte, (conforme ilustra- do na figura a` direita). O campo ele´trico esta´ na direc¸a˜o positiva do eixo de modo que precisamos apenas con- siderar as faces do cilindro. A magnitude do campo ele´trico na face esquerda e´ dado por ªIw , onde ª e´ a re- sistividade da barra e w e´ a densidade de corrente. Denotemos por ` a magnitude do campo na face direita. Ale´m disto, suponhamos que a densidade de corrente e´ uniforme na face esquerda e que o campo ele´trico e´ uni- forme na face direita. Neste caso, « y D�*¬r�v©&ªIwq®®`KqK2 onde q e´ a a´rea de uma das faces. No´s supomos ainda que a resistividade e´ ta˜o pequena que nos permita des- prezar o termo acima no qual ela aparece. A lei de Gauss fica `Kqx�A¯�5��� , onde ¯ e´ a carga na barra e dentro da superfı´cie Gaussiana. A a´rea da face do cilindro Gaus- siano e´ q°�sP�Y 9 , onde Y e´ o raio, e a carga englobada pela Gaussiana e´ ¯� ] Y 9 �5X 9 ^ ¥ , onde ¥ e´ a carga na face da barra. Portanto `v� ¥ P� � X 9 � ¡¢� 9 fl5P�±X 9 2 onde o resultado obtido no item (a), ¥ �A¡|� 9 ��fl , foi usa- do. (c) As linhas de campo magne´tico formam cı´rculos que sa˜o conceˆntricos com o eixo da barra (eixo ), estando em planos paralelos a`s faces da barra. (d) Use a lei de Ampe`re-Maxwell: « ŁvU�$B�T��� l ²���D�³� ��� � �*� fi Como caminho de integrac¸a˜o escolha um cı´rculo que coincida com uma linha de campo magne´tico. Suponha que o raio do caminho de integrac¸a˜o seja Y (com Y£X ) e que \ seja a magnitude do campo para pontos sobre o caminho. Enta˜o Łx��*B� \ fl�P�Y . Na regia˜o do corte a corrente e´ zero e apenas a corrente de deslocamento con- tribui no lado direito da equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell. Como temos �/��� �*� �Tq �*` �*� �P�Y 9 ¡¢� P� � X 9 � ¡¢�pY 9 � � X 9 2 a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell nos fornece \ fl�P�Y´�T������� ¡|�pY 9 � � X 9 fi Portanto \ � ����¡¢�pY fl�PX 9 fi O campo magne´tico dentro da barra, a uma distaˆncia Y do seu eixo, e´ dado exatamente pela mesma expressa˜o. Neste caso, somente a corrente de conduc¸a˜o contribui no lado direito da lei de Ampe`re-Maxwell. Tome o ca- minho de integrac¸a˜o como sendo um cı´rculo centrado no eixo e paralelo a`s faces da barra. A corrente atrave´s do cı´rculo e´ ] Y 9 �5X 9 ^ l e a equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell fornece \ fl�P�Y´�T� � Y 9 X 9 l 2 de modo que \ � � � l Y fl�PX 9 � � � ¡¢�pY fl5PX 9 2 onde substituimos l por ¡¢� . http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 5
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