Apostila Calculo I

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Universidade Federal de Uberlândia
Campus Monte Carmelo
APOSTILA DE MATEMÁTICA 1
Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Sumário
1 Aula 1 6
1.1 Conjuntos Numéri
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Aula 2 9
2.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Polin�mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Fatoração de polin�mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Aula 3 13
3.1 Coordenadas 
artesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Distân
ia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Aula 4 16
4.1 Razão de se
ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Coordenadas do ponto divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Aula 5 19
5.1 Equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Interse
ção de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Posições relativas de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Aula 6 22
6.1 Formas da equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Coe�
iente angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
SUMÁRIO 2
6.3 Cál
ulo de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.4 Equação de um reta passando por P (x0, y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.5 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Aula 7 26
7.1 Cir
unferên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Ponto e 
ir
unferên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Aula 8 29
8.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.3 Igualdade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.4 Operações de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.5 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Aula 9 33
9.1 Vetor de�nido por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2 Produto es
alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3 Módulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.4 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.5 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Aula 10 36
10.1 Vetores paralelos e ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.2 Vetores no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.4 Interpretação geométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.5 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Aula 11 40
11.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Aula 12 43
12.1 Funções espe
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
SUMÁRIO 3
13 Aula 13 46
13.1 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13.2 Funções trigonométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
14 Aula 14 54
14.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15 Aula 15 57
15.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.2 Limites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
15.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16 Aula 16 59
16.1 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.2 Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
17 Aula 17 62
17.1 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
17.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
17.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18 Aula 18 65
18.1 Reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.2 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
18.3 Derivada de uma função em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
18.4 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
19 Aula 19 67
19.1 Derivada de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
19.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
19.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
20 Aula 20 71
20.1 Derivadas su
essivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
20.2 Apli
ações da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
20.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
SUMÁRIO 4
21 Aula 21 75
21.1 Máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
21.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
22 Aula 22 77
22.1 Funções 
res
entes e de
res
entes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
22.2 Critérios para determinar extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
22.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
23 Aula23 80
23.1 Con
avidades e pontos de in�exão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
23.2 Esboço de grá�
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
23.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
24 Aula 24 82
24.1 Regras de L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
24.2 Problemas de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
24.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
25 Aula 25 85
25.1 Integral inde�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
25.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
26 Aula 26 88
26.1 Mudança de variável para integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
26.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
27 Aula 27 90
27.1 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
27.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
28 Aula 28 92
28.1 Integração de funções ra
ionais: 1
o
aso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
28.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
29 Aula 29 93
29.1 Integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
29.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
SUMÁRIO 5
30 Aula 30 97
30.1 Cál
ulo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
30.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 1
Aula 1
1.1 Conjuntos Numéri
os
Toda a teoria que será estudada no 
urso de Matemáti
a 1 se referirá a 
onjuntos de números
reais. Estudaremos funções que são de�nidas e assumem valores no 
onjunto dos números reais.
Assim, ao estudarmos limite, 
ontinuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os
fatos elementares a respeito dos números reais.
Vejamos os 5 
onjuntos numéri
os:
• Números Naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
• Números Inteiros: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
• Números Ra
ionais: Q =
{m
n
: m,n,∈ Z, n 6= 0
}
.
Pergunta: Por que na representação de Q exige-se n 6= 0?
• Números Irra
ionais: Q′ é 
onjunto dos números que não podem ser es
ritos na forma m
n
.
Por exemplo:
√
2, pi, etc.
• Números Reais: R = Q ∪Q′
Podemos ver abaixo que o 
onjunto dos números reais pode ser representado por uma reta,
hamada de reta real.
Ou seja, dada uma reta r, qualquer ponto P de r representa um número real.
6
1.2. MÓDULO 7
Propriedade 1.1. Sejam a, b, c ∈ R.
1. Fe
hamento: ∃! número a+ b e ∃! número a.b;
2. Comutativa: a+ b = b+ a e a.b = b.a
3. Asso
iativa: a+ (b+ c) = (a+ b) + c e a.(b.c) = (a.b).c
4. Distributiva: a.(b+ c) = a.b+ a.c
5. Elemento Neutro: a+ 0 = a e 1.a = a
6. Elemento Simétri
o: ∃ − a ∈ R : a+ (−a) = 0
7. Elemento Inverso: Se a 6= 0⇒ ∃1
a
∈ R : a.1
a
= 1
8. Subtração: a− b = a+ (−b)
9. Divisão:
a
b
= a · 1
b
1.2 Módulo
De�nição 1.1. O módulo, ou valor absoluto, de a ∈ R, denotado por |a|, é de�nido por
|a| =
 a, se a ≥ 0−a, se a < 0
Considerando a reta real, a distân
ia de a até a origem é dada por |a|.
Exemplo 1.1. Cal
ule o módulo dos números: 3,−3, 0, 15,−1
3
Exemplo 1.2. Resolva a seguinte equação: |x+ 4| = 9.
Propriedade 1.2.
1. |x| < a⇔ −a < x < a, onde a > 0.
2. |x| > a⇔ x > a ou x < −a, onde a > 0.
3. Se a, b ∈ R⇒ |a.b| = |a|.|b|.
4. Se a, b ∈ R, 
om b 6= 0 então
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| .
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1.3. EXERCÍCIOS 8
1.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 1.1. Sem o uso da 
al
uladora, efetue as seguintes 
ontas:
a) 175 × 12 b) 37× 25 
) 11% de 85
d) 122 × 99 e) 52× 15 f) 33% de 150
Exer
í
io 1.2. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades
abaixo.
a) 3x < 4
b) 2x+ 2 > 1
) 3− x < 5 + 3x
Exer
í
io 1.3. Resolva as equações e inequação abaixo:
a) |5x− 3| = 12 b) |9x+ 7| = −7 
) | − 4 + 12x| = 7
d) |7x− 2| < 4 e) |x+ 12| < 7 f) |5− 6x| ≥ 9
Exer
í
io 1.4. Três amigos estão em um restaurante e de
idiram �ra
har� a 
onta de R$108, 00.
Sem utilizar a 
al
uladora, qual o valor que 
ada amigo deverá pagar?
Exer
í
io 1.5. Três amigos foram 
omer num restaurante e no �nal a 
onta �
ou em R$25,00.
Cada amigo deu dez reais. Do tro
o de R$5,00, de
idiram dar R$2,00 ao garçom e dividir o
restante entre eles. Ao saírem do restaurante, um dos amigos disse: "Espere um pou
o! Cada
um de nós deu R$10,00, um total de R$30,00, e re
ebeu R$1,00 de tro
o. Logo, gastamos R$27,00.
om os R$2,00 do garçom são R$29,00. onde foi parar o outro R$ 1,00 ??? (Problema adaptado
do livro "O homem que 
al
ulava", de Malba Tahan.)
Exer
í
io 1.6. Leia o tre
ho retirado do livro "O homem que 
al
ulava", de Malba Tahan, e
es
reva os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 utilizando quatro 4 e as quatro operações bási
as.
"Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:
− Julgo lou
ura 
omprar esse luxo. Estamos 
om pou
o dinheiro e ainda não pagamos a
hospedaria.
− Não é o turbante que me interessa − retorquiu Beremiz −. Repare que a tenda desse
mer
ador é intitulada "Os Quatro Quatros". Há nisso tudo espantosa 
oin
idên
ia digna de
atenção.
− Coin
idên
ia? Por que?
− Ora bagdali − retorquiu Beremiz −, a legenda que �gura nesse quadro re
orda uma das
maravilhas do Cál
ulo: podemos formar um número qualquer empregando quatro quatros!
E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz expli
ou, ris
ando na areia
�na que 
obria o 
hão:"
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Capítulo 2
Aula 2
2.1 Intervalos
Intervalos são 
onjuntos in�nitos de números reais das seguintes formas:
1. Intervalo aberto: {x ∈ R : a < x < b}. Denota-se (a, b) ou
2. Intervalo fe
hado: {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Denota-se [a, b] ou
3. Intervalo semi-aberto: {x ∈ R : a < x < b}. Denota-se (a, b) ou
i) Aberto à esquerda e fe
hado à direita: {x ∈ R : a < x ≤ b}. Denota-se (a, b] ou
ii) Fe
hado à esquerda e aberto à direita: {x ∈ R : a ≤ x < b}. Denota-se [a, b) ou
Exemplo 2.1. Represente algebri
amente os intervalos abaixo:
a) (1, 3)
b) [2, 4]
) (1, 3]
d) [2, 4)
4. Intervalos in�nitos
i) {x ∈ R : x > a} denota-se (a,+∞) ou
ii) {x ∈ R : x ≥ a} denota-se [a,+∞) ou
iii) {x ∈ R : x < b} denota-se (−∞, b) ou
iv) {x ∈ R : x ≤ b} denota-se (−∞, b] ou
Exemplo 2.2. Represente algebri
amente os intervalos abaixo:
a) (2,+∞)
9
2.2. POLINÔMIOS 10
b) [5,+∞)
) (−∞, 0)
d) (−∞,−2]
2.2 Polin�mios
De�nição 2.1. Um polin�mio em x é qualquer expressão que pode ser es
rita na forma:
anx
n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x+ a0,
onde n ∈ N e an 6= 0. Os números an, an−1, an−2,..., a1 e a0 são 
hamados de 
oe�
ientes.
Dizemos que n é o grau do polin�mio.
Na adição e subtração de dois polin�mios, agrupamos os termos semelhantes e, então, os
ombinamos.
Exemplo 2.3. Resolva a seguinte soma de polin�mios:
(2x3 − 3x2 + 4x− 1) + (x3 + 2x2 − 5x+ 3)
Exemplo 2.4. Resolva a seguinte diferença de polin�mios:
(4x2 + 3x− 4)− (2x3 + x2 − x+ 2)
No produto de dois polin�mios, utilizamos a propriedadedistributiva e, então, agrupamos
e 
ombinamos os termos semelhantes.
Exemplo 2.5. Resolva o seguinte produto de polin�mios:
(3x+ 2)× (x2 + 4x+ 5)
2.2.1 Fatoração de polin�mios
Quando es
revemos um polin�mio 
omo um produto de dois ou mais fatores polinomiais, estamos
fatorando um polin�mio. Um polin�mio que não pode ser fatorado usando 
oe�
ientes inteiros
é um polin�mio irredutível.
Dizemos que um polin�mio está fatorado se estiver es
rito 
omo um produto de seus
fatores irredutíveis.
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2.3. EXERCÍCIOS 11
Exemplo 2.6. Seja p(x) = 9x2 − 64. Es
revendo p(x) 
omo
p(x) = (3x− 8)(3x + 8)
temos que p(x) está fatorado.
O primeiro passo na fatoração de um polin�mio é remover e 
olo
ar em evidên
ia fatores
omuns de seus termos usando a propriedade distributiva.
Exemplo 2.7. Coloque em evidên
ia os fatores em 
omum nas expressões abaixo:
a) x3 − 9x =
b) 2x3 + 2x2 − 6x =
) u3v + uv3 =
Vejamos uma lista de alguns produtos notáveis e suas apli
ações na fatoração de polin�mios.
1-) Produto de uma soma e uma diferença: (u+ v)(u− v) = u2 − v2
Exemplo 2.8. Fatore as diferenças de dois quadrados.
a)z2 − 49 b) 9y2 − 16
2-) Quadrado de uma soma de dois termos: (u+ v)2 = u2 + 2uv + v2
3-) Quadrado de uma diferença de dois termos: (u− v)2 = u2 − 2uv + v2
Exemplo 2.9. Fatore os trin�mios quadrados perfeitos.
a)y2 + 8y + 16 b) 4z2 − 4z + 1
4-) Soma de dois 
ubos: u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2)
3-) Diferença de dois 
ubos: u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2)
Exemplo 2.10. Fatore a soma ou a diferença de dois 
ubos.
a)y3 + 8 b) 27y3 − 8
2.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 2.1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades
abaixo. Faça, também, a representação grá�
a.
a) 3 + 7x < 8x+ 9
b) 7 < 5x+ 3 ≤ 9
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a 1 - Agronomia
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2.3. EXERCÍCIOS 12
Exer
í
io 2.2. Fatore 
olo
ando o fator 
omum em evidên
ia.
a)5x3 − 20x b) yz3 − 3yz2 + 2yz 
) 2x(x+ 3)− 5(x+ 3)
d)y3 − 4y2 + 5y − 20 e) 2x3 − 3x2 + 2x− 3 f) x6 + 2x4 + x2 + 2
g) 2ac+ 6ad− bc− 3bd h) x6 − 3x4 + x2 − 3 i) 3uw + 12uz − 2vw − 8vz
Exer
í
io 2.3. Fatore os polin�mios abaixo.
a) 64− 25y2 b) 16− (x+ 2)2 
) 36y2 + 12y + 1 d) 9z2 − 24z + 16
e)y3 − 8 f) z3 + 64 g) 1 + z3 h) 64z3 + 27
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Capítulo 3
Aula 3
3.1 Coordenadas 
artesianas
Sejam dois eixos x e y perpendi
ulares no ponto O, 
hamado origem.
O
P
P
P
1
2
As 
oordenadas do ponto P são os números reais xP = OP1 e yP = OP2, indi
ados na
forma (xp, yp).
Exemplo 3.1. Lo
alize os pontos A(2, 0), B(0,−3), C(2, 5), D(−3, 4), E(−7,−3), F (4,−5),
G
(
5
2
,
9
2
)
e H
(
−5
2
,−9
2
)
.
Teorema 3.1. Cada ponto P do plano 
artesiano representa um úni
o par ordenado (xp, yp), e
vi
e-versa.
Observação 3.1. Em geral (a, b) 6= (b, a). Por exemplo, (4, 2) 6= (2, 4).
13
3.2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 14
Posições de um ponto no plano 
artesiano
Os eixos x e y dividem o plano 
artesiano em 4 regiões 
hamadas quadrantes.
Dado o ponto P (xp, yp),
P ∈ 1o quadrante ⇔ xp ≥ 0 e yp ≥ 0
P ∈ 2o quadrante ⇔ xp ≤ 0 e yp ≥ 0
P ∈ 3o quadrante ⇔ xp ≤ 0 e yp ≤ 0
P ∈ 4o quadrante ⇔ xp ≥ 0 e yp ≤ 0
P ∈ eixo das abs
issas ⇔ yp = 0
P ∈ eixo das ordenadas ⇔ xp = 0
P ∈ à bissetriz do 1o e 3o quadrantes ⇔ xp = yp
P ∈ à bissetriz do 2o e 4o quadrantes ⇔ xp = −yp
3.2 Distân
ia entre dois pontos
Dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) 
al
ulemos a distân
ia d entre eles.
1
o
Caso: AB ‖ Ox
2
o
Caso: AB ‖ Oy
3
o
Caso: AB ∦ OX e AB ∦ OY
Exemplo 3.2. Cal
ular a distân
ia entre os pontos A(−2, 5) e B(4,−3).
3.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 3.1. Cal
ular a distân
ia entre os pontos A(1, 3) e B(−1, 4).
Exer
í
io 3.2. Cal
ular a distân
ia do ponto A(−6, 8) à origem do sistema 
artesiano.
Exer
í
io 3.3. Cal
ular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(2, 1), B(−1, 3) e C(4, 2).
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3.3. EXERCÍCIOS 15
Exer
í
io 3.4. Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados:
A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4).
Exer
í
io 3.5. Dados A(x, 5), B(−2, 3) e C(4, 1), obter x de modo que A seja equidistante de
B e C.
Exer
í
io 3.6. Determinar o ponto P , perten
ente ao eixo das abs
issas, sabendo que é equi-
distante dos pontos A(1, 3) e B(−3, 5).
Exer
í
io 3.7. Dados A(−2, 4) e B(3,−1) vérti
es 
onse
utivos de um quadrado, determinar
os outros dois vérti
es.
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Capítulo 4
Aula 4
4.1 Razão de se
ção
Dados três pontos 
olineares A, B e C, 
om A 6= B 6= C, 
hama-se razão de se
ção de AB pelo
ponto C, denotado por (ABC), o número r tal que
r =
AC
CB
.
Exemplo 4.1. Cal
ule as razões abaixo:
a) (ABC) b) (ABD) 
) (ABE)
d) (ABF ) e) (ABG) f) (AIG)
Propriedade 4.1.
I) r > 0⇔ C é interior a AB
II) r < 0⇔ C é exterior a AB
III) r = 0⇔ C = A
IV) r = 1⇔ C é o ponto médio de AB
V) ∀ C, r 6= −1.
Pergunta 1: Como 
al
ular r quando são dadas as 
oordenadas de A, B e C?
Para responder a esta pergunta, pre
isamos do Teorema de Tales.
16
4.2. COORDENADAS DO PONTO DIVISOR 17
Teorema 4.1 (de Tales). Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos
propor
ionais. Ou seja, na �gura abaixo temos que
AB
BC
=
DE
EF
.
A
B
C
D
E
F
Vejamos agora, os 3 
asos para se 
al
ular r. Sejam os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e
C(x3, y3)
1
o
Caso: AB não é paralelo ao eixo x e nem ao eixo y
2
o
Caso: AB é paralelo ao eixo x
3
o
Caso: AB é paralelo ao eixo y
Exemplo 4.2. Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13), 
al
ule a razão (ABC).
4.2 Coordenadas do ponto divisor
Pergunta 2: Dados A(x1, y1), B(x2, y2) e r, onde r 6= −1, quais as 
oordenadas de C(x3, y3)
que divide AB na razão r?
Resposta:
r =
x1 − x3
x3 − x2 ⇒ x3 =
x1 + rx2
1 + r
r =
y1 − y3
y3 − y2 ⇒ y3 =
y1 + ry2
1 + r
Exemplo 4.3. Obter as 
oordenadas do ponto C que divide AB na razão r = 2, onde A(1, 5) e
B(4, 17).
Observação 4.1. No 
aso de C ser o ponto médio, então r = 1 e
x3 =
x1 + x2
2
e y3 =
y1 + y2
2
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4.3. EXERCÍCIOS 18
4.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 4.1. Cal
ular a razão (ABC) sendo dados os pontos A(2, 3), B(1,−2) e C
(
4
2
,−1
3
)
.
Exer
í
io 4.2. Obter o ponto médio do segmento AB onde A(7,−1) e B(−3, 11).
Exer
í
io 4.3. Dados A(4, 2) e B(2, 1), seja C a interse
ção da reta AB 
om o eixo das abs-
issas. Cal
ular a razão (ABC).
Exer
í
io 4.4. Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais sendo A(−1,−3)
e B(23, 33).
Exer
í
io 4.5. Num triângulo ABC são dados:
1. A(2, 0)
2. M(−1, 4) ponto médio de AB
3. dAC = 10
4. dBC = 10
√
2
Obter o vérti
e C do triângulo.
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Capítulo 5
Aula 5
5.1 Equação da reta
Teorema 5.1. Três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são 
olineares se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Exemplo 5.1. Mostre que os pontos A(−1, 1), B(1, 3) e C(7, 9) são 
olineares.
Exemplo 5.2. Para quais valores de x os pontos A(x, x), B(3, 1) e C(7,−3) são 
olineares?
Teorema 5.2. A toda reta r do plano 
artesiano está asso
iada ao menos uma equação da forma:
ax+ by + c = 0, onde a, b, c ∈ R, a 6= 0 ou b 6= 0 e (x, y) representa um ponto qualquer de r.
Exemplo 5.3. Obter a equação da reta que passa por Q(4, 3) e R(0, 7).
Exemplo 5.4. Construir o grá�o da reta r : x+ 2y − 6 = 0.
Observação 5.1. Seja r : ax+ by + c = 0
1. a = 0⇔ r ‖ x,
2. b = 0⇔ r ‖ y,
3. c = 0⇔ (0, 0) ∈ r.
19
5.2. INTERSEC�O DE DUAS RETAS 20
5.2 Interse
ção de duas retas
Sejam as retas r : a1x + b1y + c1 = 0 e s : a2x+ b2y + c2 = 0. Um ponto P (x0, y0) perten
e às
duas retas se, e somente se, for solução do sistema:
S :
 a1x+ b1y + c1 = 0a2x+ b2y + c2 = 0
Exemplo 5.5. Obter a interse
ção das retas: r : x− y + 1 = 0 e s : 2x+ y − 2 = 0.
5.3 Posições relativas de duas retas
Duas retas r : a1x+ b1y + c1 = 0 e s : a2x+ b2y + c2 = 0 podem o
upar apenas três posições no
plano 
artesiano:
1. r e s são 
on
orrentes (r × s).
Neste 
aso, o sistema S tem solução úni
a. Além disso,
a1
a2
6= b1
b2
2. r e s são paralelas e distintas (r ∩ s = ∅).
Neste 
aso, o sistema S não tem solução. Além disso,
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
3. r e s são paralelas e 
oin
identes (r ≡ s).
Neste 
aso, o sistema S tem in�nitas soluções. Além disso,
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Exemplo 5.6. Classi�que as retas abaixo em 
on
orrentes, paralelas distintas ou 
oin
identes.
a) r : x+ 2y + 3 = 0 e s : 2x+ 3y + 4 = 0
b) r : x+ 2y + 3 = 0 e s : 3x+ 6y + 1 = 0
) r : x+ 2y + 3 = 0 e s : 2x+ 4y + 6 = 0
d) r : x− 2 = 0 e s : y + 4 = 0
Exemplo 5.7. Estude as retas r : x+ y +m = 0 e s : x+ y + 2 = 0.
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5.4. EXERCÍCIOS 21
5.4 Exer
í
ios
Exer
í
io 5.1. Determinar a equação da reta de�nida pelos pontos A
(
7
2
,
5
2
)
e B
(
−5
2
,−7
2
)
Exer
í
io 5.2. Dados A(1, 1) e B(10,−2), obter o ponto em que a reta AB inter
epta o eixo
das abs
issas.
Exer
í
io 5.3. Desenhar no plano 
artesiano as retas 
ujas equações são dadas abaixo:
a) y = 2x
b) x+ y = 5
) x− y + 5 = 0
d) x+ y + 3 = 0
e) 2y + x = 0
f) x− y − 4 = 0
Exer
í
io 5.4. Determinar a interse
ção das retas x+ 2y = 3 e 2x+ 3y = 5.
Exer
í
io 5.5. Determinar a para que as retas de equações x+ 2y − 2a = 0, ax− y − 3 = 0 e
2x− 2y − a = 0 sejam 
on
orrentes no mesmo ponto.
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Capítulo 6
Aula 6
6.1 Formas da equação da reta
1-) Forma geral: ax+ by + c = 0.
2-) Forma reduzida: y = mx+ q.
Exemplo 6.1. Qual é a equação reduzida da reta que passa por A(0, 3) e B(−1, 0)?
3-) Forma segmentaria:
x
p
+
y
q
= 1.
Exemplo 6.2. Qual é a equação na forma segmentaria da reta r : 7x+ 11y + 3 = 0?
4-) Forma paramétri
a:
Forne
e as 
oordenadas (x, y) de um ponto da reta em função de uma ter
eira variável, t.
Ou seja,
x = f1(t) e y = f2(t).
Exemplo 6.3. Qual é a equação geral da reta onde x =
t+ 1
2
e y = 3t− 2?
6.2 Coe�
iente angular
Dada uma reta r, de�nimos o ângulo α 
omo sendo:
• α = 0, se r ‖ x;
• o ângulo formado por r e o eixo x, no sentido anti-horário a partir de x.
22
6.3. CÁLCULO DE M 23
Como 
onsequên
ia, temos que 0 ≤ α < pi.
De�nição 6.1. De�nimos 
oe�
iente angular de uma reta r, r ∦ y, 
omo sendo m, tal que
m = tg(α).
Da de�nição a
ima, podemos veri�
ar que:
i) 0 < α <
pi
2
⇒ m > 0;
ii)
pi
2
< α < pi ⇒ m < 0;
iii) α = 0⇒ m = 0;
iv) α =
pi
2
⇒ m = ∄;
6.3 Cál
ulo de m
Sejam A(x1, y1), B(x2, y2) e r a reta que passa por A e B.
m =
y2 − y1
x2 − x1
Sempre que uma reta estiver na equação reduzida, (y = mx + q), o 
oe�
iente de x é o
oe�
iente angular m.
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6.4. EQUA�O DE UM RETA PASSANDO POR P (X0, Y0) 24
Exemplo 6.4. A reta 2x− 7y + 1 tem 
omo equação reduzida
y =
2
7
x+
1
7
,
logo m =
2
7
.
6.4 Equação de um reta passando por P (x0, y0)
Dados P (x0, y0) e uma reta r que passa por P , então podem o
orrer dois 
asos:
1
o
Caso: r não é perpendi
ular ao eixo x. Neste 
aso,
m =
y − y0
x− x0 ⇒ y − y0 = m(x− x0);
2
o
Caso: r é perpendi
ular ao eixo x. Neste 
aso,
x = x0.
Exemplo 6.5. Qual a equação da reta que passa por P (5, 4) e forma 
om o eixo x um ângulo
de
a) α = 45o
b) α = 90o
) α = 60o
Teorema 6.1. Duas retas r e s, não verti
ais, são paralelas entre si, se, e somente se, mr = ms.
Teorema 6.2. Duas retas r e s são perpendi
ulares entre si, se, e somente se, mr ·ms = −1.
6.5 Exer
í
ios
Exer
í
io 6.1. Determinar a equação reduzida da reta AB quando A(−1, 1) e B(7, 25).
Exer
í
io 6.2. Determinar a equação geral das retas abaixo
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6.5. EXERCÍCIOS 25
Exer
í
io 6.3. Dadas as equações paramétri
as de uma reta r, x = 5t − 3 e y = 2t + 4, obter
sua equação segmentaria.
Exer
í
io 6.4. A
har as 
oordenadas do ponto de interse
ção das retas r e s 
om equações
paramétri
as:
r
 x = 3ty = 2t t ∈ R e s
 x = 3− uy = 2 + u u ∈ R
Exer
í
io 6.5. Qual é a posição relativa das retas r :
x
2
+
y
4
= 1 e s : x = 8t, y = 1− 16t?
Exer
í
io 6.6. Cal
ular o 
oe�
iente angular das retas.
a) x− 3y + 4 = 0 d) x = 4t; e y = 1− 7t
b) y = −3x+ 4 e) x = 11
)
x
5
+ y−2 = 1 f) A reta que 
ontém os pontos A(1, 2) e B(2, 1)
Exer
í
io 6.7. Determinar a equação da reta que passa por P (−5, 2) e é paralela à reta de�nida
por A
(
1
2
,
6
5
)
e B
(
3
2
,−4
5
)
Exer
í
io 6.8. Dentre os pares de retas abaixo, qual não é formado por retas paralelas ou
perpendi
ulares?
a) 3x− 5y + 4 = 0 e x
3
+
y
5
= 1
b)
 x = 4t− 1y = 4− 2t e 4x− 2y + 7 = 0
) 3x+ 4 = 0 e 5y − 3 = 0
d) x =
√
3 e x =
√
2
Exer
í
io 6.9. Determinar a equação da reta s que 
ontém P (3, 4) e é perpendi
ular à reta
r : 2x+ 3y = 0.
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Capítulo 7
Aula 7
7.1 Cir
unferên
ia
Dados C(x0, y0) e r > 0, 
hama-se 
ir
unferên
ia o 
onjunto dos pontos do plano 
uja distân
ia
até C é, exatamente, r.
A fórmula √
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r (7.1)
é 
hamada equação reduzida da 
ir
unferên
ia.
Exemplo 7.1. A equação (x− 5)2 + (y + 2)2 = 9 representa uma 
ir
unferên
ia 
om C(5,−2)
e r = 3.
Desenvolvendo a expressão em (7.1) obtemos a equação normal de uma 
ir
unferên
ia:
x2 + y2 − 2x0x− 2y0y + (x20 + y20 − r2) = 0. (7.2)
Pergunta: Quais as 
ondições para que uma equação do tipo
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0 (7.3)
represente uma 
ir
unferên
ia?
Vamos 
omparar as equações (7.2) e (7.3).
x2 + y2 − 2x0x − 2y0y + (x20 + y20 − r2) = 0
x2 +
B
A
y2 +
C
A
xy +
D
A
x +
E
A
y +
F
A
= 0
Resposta: Para que (7.3) represente uma 
ir
unferên
ia, devemos ter?
1. A 6= 0;
2. A = B;
3. C = 0;
26
7.2. PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 27
4. x0 = − D
2A
;
5. y0 = − E
2A
;
6. D2 + E2 − 4AF > 0
Observação 7.1. As 
oordenadas do 
entro e o valor do raio são dados por:
C(x0, y0) = C
(
− D
2A
,− E
2A
)
e r =
√
D2 + E2 − 4AF
2|A| .
Exemplo 7.2. Qual das equações abaixo representa uma 
ir
unferên
ia?
a) x2 + 3y2 − 5x− 7y − 1 = 0
b) x2 + y2 + xy − 4x− 6y − 9 = 0
) 3x2 + 3y2 + 4x− 6y + 15 = 0
d) 2x2 + 2y2 − 4x− 6y − 3 = 0
7.2 Ponto e 
ir
unferên
ia
Dados P (x1, y1) e uma 
ir
unferên
ia de 
entro C(x0, y0) e raio r, três 
asos podem o
orrer:
1
o
Caso: P perten
e a 
ir
unferên
ia.
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 − r2 = 0
2
o
Caso: P é exterior a 
ir
unferên
ia.
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 − r2 > 0
3
o
Caso: P é interior a 
ir
unferên
ia.
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 − r2 < 0
Exemplo 7.3. Qual é a posição dos pontos em relação às 
ir
unferên
ias abaixo:
a) P (2, 3) e x2 + y2 − 4x = 0
b) P (0, 0) e x2 + y2 −√3x+√2y = 0
) P (0, 1)e 2x2 + 2y2 + 5x+ y − 11 = 0
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7.3. EXERCÍCIOS 28
7.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 7.1. Determinar a equação da 
ir
unferên
ia de 
entro C e raio r nos seguintes 
asos:
a) C(0, 0) e r = 3.
b) C(−1,−2) e r = 5.
) C
(
1
2
,
3
2
)
e r = 4.
Exer
í
io 7.2. Qual é a equação da 
ir
unferên
ia de 
entro C(1, 2) que passa por P (5, 5)?
Exer
í
io 7.3. Determinar o 
entro e o raio das seguintes 
ir
unferên
ias:
a) x2 + y2 − 6x+ 4y − 12 = 0
b) x2 + y2 − 8x+ 7 = 0
) x2 + y2 + 8y + 6x = 0
Exer
í
io 7.4. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma 
ir
unferên
ia?
mx2 + y2 + 4x+ 6y + k = 0.
Exer
í
io 7.5. Determinar a posição de P em relação à 
ir
unferên
ia λ nos seguintes 
asos:
a) P (2, 1) e λ : 2x2 + 2y2 = 9
b) P (−4,−5) e λ : x2 + y2 + 2x+ 2y − 2 = 0
) P (0, 0) e λ : x2 + y2 −√3x+ piy − 1 = 0
Exer
í
io 7.6. Resolver as seguintes inequações:
a) x2 + y2 ≤ 9
b) x2 + y2 ≥ 4
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a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 8
Aula 8
8.1 Parábola
De�nição 8.1. Dados um ponto F , uma reta r, onde F /∈ r, e p uma distân
ia entre F e d,
de�nimos parábola 
omo sendo o 
onjunto dos pontos que estão a mesma distân
ia de F e de r.
Prin
ipais elementos:
• F é 
hamado de fo
o;
• r é 
hamada de reta diretriz;
• p é 
hamado de parâmetro;
• V é 
hamado de vérti
e e dV F = p
2
;
29
8.2. VETORES 30
Equação reduzida
Utilizando o plano 
artesiano para desenhar a parábola, as 
oordenadas do fo
o são
F
(p
2
, 0
)
e a diretriz tem equação x = −p
2
.
A equação reduzida de uma parábola é dada por y2 = 2px.
Exemplo 8.1. Uma parábola 
om p = 2 tem equação y2 = 4x, ou y2 = −4x.
De forma análoga, podemos veri�
ar as seguintes equações:
1. Se a parábola apresentar fo
o no eixo y:
x2 = 2py.
2. Se a parábola apresentar fo
o e vérti
e paralelos ao eixo x, onde (x0, y0) são as 
oordenadas
de vérti
e:
(y − yo)2 = 2p(x− x0).
3. Se a parábola apresentar fo
o e vérti
e paralelos ao eixo y, onde (x0, y0) são as 
oordenadas
de vérti
e:
(x− xo)2 = 2p(y − y0).
Exemplo 8.2. En
ontre a equação reduzida da parábola 
om vérti
e V (1, 1) e fo
o F (1, 2).
8.2 Vetores
São grandezas 
ara
terizadas por direção, módulo (ou intensidade) e sentido.
Exemplo 8.3. Força de 4N formando um ângulo de α =
pi
3
om a horizontal.
Todo vetor v =
−−→
AB possui um representante (�e
ha) 
om iní
io na origem do plano 
arte-
siano.
Assim, o ponto P (x, y) 
ara
teriza o vetor v e es
revemos v = (x, y).
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8.3. IGUALDADE DE VETORES 31
8.3 Igualdade de vetores
Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2.
Exemplo 8.4. Para quais valores de x e y os vetores u = (y − 1, 2) e v = (1, x) são iguais?
8.4 Operações de vetores
Sejam os vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) e α ∈ R. De�ne-se:
• Soma de vetores: u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)
• Multipli
ação de vetor por es
alar: α · u = (α · x1, α · y1)
Exemplo 8.5. Sejam u = (1, 1) e v = (−1, 1). Cal
ule:
a) u+ v
b) 2 · u
8.5 Exer
í
ios
Exer
í
io 8.1. A
har as 
oordenadas do fo
o F e a equação da diretriz da parábola y2 = −8x.
Exer
í
io 8.2. Determinar o fo
o e o vérti
e da parábola (y − 3)2 = 8(x− 1).
Exer
í
io 8.3. Obter a equação da parábola 
uja diretriz é d : x = 0 e 
ujo fo
o é F (2, 2).
Exer
í
io 8.4. Dada a parábola de equação x = y2 − 6y + 8, determinar as 
oordenadas do
vérti
e.
Exer
í
io 8.5. Faça a representação grá�
a, em um plano 
artesiano, dos seguintes vetores:
v1 = (0, 1), v2 = (−1, 0), v3 = (1,−1), v4 = (−2,−1), v5 =
(
−1
2
,
3
4
)
.
Exer
í
io 8.6. Cal
ule os valores de x e y para que os vetores abaixo sejam iguais.
a) u = (5− y, 2 + x) e v = (1, 3x);
b) u = (x2 − 3x, 1) e v = (−2, y2);
) u = (x2, y − x) e v = (4, 2y);
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8.5. EXERCÍCIOS 32
Exer
í
io 8.7. Dados os vetores u = (3,−1) e v = (−1, 2), determinar o vetor w tal que
a) 4(u− v) + 1
3
w = 2u− w;
b) 3w − (2v − u) = 2(4w − 3u).
Exer
í
io 8.8. Dados os vetores u = (2,−4), v = (−5, 1) e w = (−12, 6), determinar k1 e k2
tais que w = k1 · u+ k2 · v.
Exer
í
io 8.9. Sejam os vetores u = (1, 3), v = (−2, 5) e w = (1,−2). Cal
ule o vetor t onde
a) t = u+ 2(v − 3w);
b) v − t = 2u− 5w;
) t =
1
3
v + 2w;
d)
2
3
t = w − 5v.
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Capítulo 9
Aula 9
9.1 Vetor de�nido por dois pontos
Dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) podemos en
ontrar as 
oordenadas do vetor v =
−−→
AB
fazendo
v =
−−→
AB = B −A = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1).
Exemplo 9.1. Se A(−1, 2) e B(2,−2) então o vetor v = −−→AB é dado por v = B−A = (2,−2)−
(−1, 2) = (3,−4).
9.2 Produto es
alar
Chama-se produto es
alar de dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), denota-se u • v, o número
real
u • v = x1 · x2 + y1 · y2.
Exemplo 9.2. O produto es
alar entre u = (2, 3) e v = (4,−1) é
u • v = (4) · (2) + (3) · (−1) = 5
9.3 Módulo de um vetor
Dado o vetor v = (x, y), de�nimos módulo de v, representado por |v|, o número
|v| = √v • v =
√
x2 + y2.
Exemplo 9.3. Seja o vetor v = (3,−4), então, |v| =√(3)2 + (−4)2 = 5.
Propriedade 9.1. Dados os vetores u, v e w, e α ∈ R, tem-se
i) u • u ≥ 0 e u • u = 0 se, e somente se, u = (0, 0);
33
9.4. ÂNGULO ENTRE VETORES 34
ii) u • v = v • u;
iii) u • (v + w) = u • v + u • w
iv) (α · u) • v = α · (u • v)
v) u • u = |u|2.
Observação 9.1. Como 
onsequên
ia das propriedades a
ima, temos
1. |u+ v|2 = |u|2 + 2 · u • v + |v|2.
2. |u− v|2 = |u|2 − 2 · u • v + |v|2.
9.4 Ângulo entre vetores
Sejam os vetores u 6= 0 e v 6= 0. O ângulo θ formado por u e v pode ser 
al
ulado pela fórmula
cos(θ) =
u • v
|u| · |v| . (9.1)
Exemplo 9.4. Dados u = (−2,−2) e v = (0,−2), 
al
ule o ângulo formado por estes dois
vetores.
9.5 Exer
í
ios
Exer
í
io 9.1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, 5), sabendo
que sua origem é o ponto A(−1, 3).
Exer
í
io 9.2. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1), determinar o ponto D tal que
−−→
DC =
−−→
BA.
Exer
í
io 9.3. Dados os pontos A(2,−3) e B(4, 5), determinar o ponto p tal que −→AP = −−→PB.
Exer
í
io 9.4. Dados os pontos A(−1, 2) e B(4,−2), determinar o ponto p tal que −→AP = 3−−→AB.
Exer
í
io 9.5. Cal
ule o produto es
alar entre os vetores u e v onde
a) u = (1, 3) e v = (3, 1);
b) u = (−1, 2) e v = (−2,−2);
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9.5. EXERCÍCIOS 35
Exer
í
io 9.6. Dos vetores abaixo, qual possui mesmo módulo que o vetor v = (2, 2)?
a) ( ) u = (−2, 4);
b) ( ) u = (1, 1);
) ( ) u = (2, 0);
d)( ) u = (3, 1);
e) ( ) u = 2(
√
2, 0).
Exer
í
io 9.7. Cal
ule o ângulo formado pelos vetores u e v onde
a) u = (1, 1) e v = (−1,−1);
b) u = (1, 0) e v = (0,−2);
) u = (1, 0) e v = (1, 1);
d) u = (−5.2, 3) e v = (0, 2);
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Capítulo 10
Aula 10
10.1 Vetores paralelos e ortogonais
Sejam os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Dizemos que u e v são paralelos se
x1
x2
=
y1
y2
.
Exemplo 10.1. Os vetores u = (−2, 3) e v = (−4, 6) são paralelos, pois
−2
−4 =
1
2
=
3
6
.
Sejam u e v dois vetores tais que o ângulo θ, formado por u e v, seja igual a
pi
2
. De a
ordo
om a fórmula (9.1), se cos(θ) = cos
(pi
2
)
⇒ cos(θ) = 0. Assim, dizemos que u e v são ortogonais
se u • v = 0.
Exemplo 10.2. Os vetoresu = (2, 3) e v = (−3, 2) são ortogonais, pois
u • v = 0.
10.2 Vetores no R3
O 
onjunto R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} é interpretado 
omo sendo o espaço 
artesiano. Podemos
estender os resultados de vetores no R2 para os vetores no R3:
36
10.3. PRODUTO VETORIAL 37
x
y
z
x
y
1
2
2
P(1,2,2)
z
1. o ponto P (x, y, z) representa o vetor v =
−−→
OP , es
revemos v = (x, y, z);
2. u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2;
3. u+ v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);
4. α · u = (α · x1, α · y1, α · z1);
5. u • v = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2;
6. |u| =
√
x21 + y
2
1 + z
2
1 ;
7. u ‖ v ⇔ x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
;
8. u ⊥ v ⇔ u • v = 0.
Exemplo 10.3. Represente os vetores abaixo em um espaço R3
a) u = (1, 2, 2);
b) v = (1, 2, 0);
) w = (1, 0, 2).
10.3 Produto Vetorial
Sejam os vetores u e v. O produto vetorial de u por v é o vetor, indi
ado por ûv, tal que
1. se u e v são paralelos então ûv = 0;
2. Se u e v não são paralelos e θ é o ângulo entre u e v, então
i) |ûv| = |u| · |v| · sen(θ);
ii) ûv é ortogonal a u e a v.
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10.4. INTERPRETAÇ�O GEOMÉTRICA 38
Proposição 10.1. Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), então
ûv =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
onde
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1).
Exemplo 10.4. Dados os vetores u = (1, 2, 3) e v = (−1, 1, 2) 
al
ule ûv.
Propriedade 10.1. Sejam u, v e w vetores e α ∈ R
i) ûv = −v̂u;
ii) û(αv) = (αu)̂v = α(ûv);
iii) û(v +w) = ûv + ûw;
10.4 Interpretação geométri
a
Se os vetores u e v não são paralelos, o módulo de ûv é a área do paralelogramo na �gura
abaixo.
10.5 Exer
í
ios
Exer
í
io 10.1. Determine x de modo que os vetores u e v sejam ortogonais.
a) u = (x, 3) e v = (1, 3);
b) u = (x, 10) e v = (−9, x);
) u = (x+ 1, 1) e v = (x− 1,−1);
) u = (x, x) e v = (4, x).
Exer
í
io 10.2. Determine x e y de modo que os vetores u = (4, 1) e v = (6, x) sejam paralelos.
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10.5. EXERCÍCIOS 39
Exer
í
io 10.3. Faça a representação grá�
a dos seguintes vetores: u1 = (0, 1, 1), u2 = (2, 3, 1)
e u3 = (1, 1, 1).
Exer
í
io 10.4. Cal
ule os valores de x e y para que os vetores abaixo sejam iguais.
a) u = (5− y, 6, 2 + x) e v = (1, 3z, 2x);
b) u = (z, 2x2 − 8x, 2) e v = (0,−6, y2);
Exer
í
io 10.5. Sejam os vetores u = (1, 3, 0), v = (1,−2, 5) e w = (1, 0,−2). Cal
ule o vetor
t onde
a) t = u+ v − w;
b) t = u− 2w + v;
Exer
í
io 10.6. Cal
ule ûv e v̂u nos 
asos:
a) u = (6,−2,−4) e v = (−1,−2, 1);
b) u = (7, 0,−5) e v = (1, 2,−1);
) u = (1,−3, 1) e v = (1, 1, 4);
d) u = (2, 1, 2) e v = (4, 2, 4).
Exer
í
io 10.7. Cal
ule a área do paralelogramo ABCD, sendo
−−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD =
(2, 1, 4).
Exer
í
io 10.8. Cal
ule a área do triângulo ABC, sendo
−−→
AB = (−1, 1, 0) e −→Ac = (0, 1, 3).
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Capítulo 11
Aula 11
11.1 Funções
De�nição 11.1. Sejam A,B ⊂ R. Uma função f : A → B é uma regra que a 
ada elemento
x ∈ A faz 
orresponder um úni
o y ∈ B. O 
onjunto A é 
hamado de domínio de f , denotado
por D(f), e B é 
hamado de 
ontra-domínio de f . Es
revemos,
f : A → B
x → y = f(x)
Assim, para 
ada valor real de x, existe um úni
o valor 
orrespondente y = f(x). Por isso,
dizemos que f(x) é uma variável dependente de x e x é uma variável independente.
Exemplo 11.1. Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5} e a função f : A→ B dada por y = x+1.
Exemplo 11.2. Considerando que o quilo de superfosfato simples 
uste R$4, 00, en
ontre uma
função que represente o 
usto para se 
omprar x quilos deste produto.
Contra-exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {João, Bia, Pedro} e f : A → B que asso
ia 1
para sexo mas
ulino e 2 para sexo feminino. Neste 
aso, f não é uma função de A em B por
dois motivos:
1) 3 ∈ A e não possui 
orrespondente em B;
2) 1 ∈ A e possui dois 
orrespondentes em B.
De�nição 11.2. Seja f : A→ B uma função.
i) Dado x ∈ A, dizemos que y = f(x) ∈ B é a imagem de x.
ii) O 
onjunto de todos os valores que a função f pode assumir é 
hamado de 
onjunto imagem
de f , denotado por Im(f).
40
11.2. EXERCÍCIOS 41
Exemplo 11.3. Sejam A = {1; 2; 3; 4; 5; 5, 6}, B = Z e f : A→ B, onde y = 2x.
Exer
í
io 11.1. En
ontrar o domínio e a imagem das funções abaixo:
a) f(x) =
1
x
b) f(x) =
√
x
) f(x) = −√x− 1
d) g(x) = |x|
De�nição 11.3. Dadas duas funções f e g, de�nimos a função 
omposta de g 
om f , denotada
por g ◦ f , 
omo sendo
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
O domínio de g ◦ f é o 
onjunto dos x ∈ D(f) tal que f(x) está no domínio de g.
Exemplo 11.4. Sejam A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5} e C = {4, 9, 16, 25}. De�nimos as funções
f : A→ B, onde f(x) = x+1, e g : B → C, onde g(x) = x2. En
ontre a expressão de (g ◦f)(x).
11.2 Exer
í
ios
Exer
í
io 11.2. Seja f(x) =
x2 − 4
x− 1 . Cal
ule:
a) f(0)
b) f(−2)
) f
(
1
2
)
d) f(t2)
e) f(x− 2)
f)
5f(−1)− 2f(0) + 3f(5)
7
Exer
í
io 11.3. Exprimir 
omo função de x:
a) A área de uma esfera de raio x.
b) A área de um 
ubo de aresta x.
) A área total de uma 
aixa de volume dado V , sabendo-se que a base é quadrada de lado x.
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11.2. EXERCÍCIOS 42
Exer
í
io 11.4. Determine o domínio das seguintes funções:
a) y =
1
x− 4
b) f(x) =
√
x− 2
) y =
√
4− x2
d) y =
4√
x+ 5
Exer
í
io 11.5. Sejam f(x) = x2 − 2x+ 3 e g(x) = 3x. Cal
ule:
a) g ◦ f
b) f ◦ g
) g ◦ g
d) f ◦ f
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Capítulo 12
Aula 12
12.1 Funções espe
iais
1-) Função Constante: f(x) = k, onde k ∈ R.
Exemplo 12.1. Faça o grá�
o de f(x) = 2.
O grá�
o de uma função 
onstante, f(x) = k, é uma reta paralela ao eixo x, passando por
y = k. Além disso, D(f) = R e Im(f) = {k}.
2-) Função do 1o Grau: f(x) = ax+ b, onde a, b ∈ R e a 6= 0.
O grá�
o de f(x) = ax+ b é uma reta. Além disso,
• D(f) = R e Im(f) = R;
• a é 
hamado de 
oe�
iente angular;
• b é 
hamado de 
oe�
iente linear;
• f(x) é dita 
res
ente se a > 0;
• f(x) é dita de
res
ente se a < 0;
• x = − b
a
é a raiz de f(x), ou seja, é o ponto onde o grá�
o de f(x) 
orta o eixo x.
Exemplo 12.2. Considerando que o quilo de 
al
ário 
uste R$2, 00 e que o quilo de superfosfato
simples 
uste R$4, 00, quantos quilos de 
al
ário e de superfosfato simples podemos 
omprar 
om
R$40, 00?
3-) Função Módulo: f(x) = |x| ou f(x) =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0.
Para a função módulo, temos que D(f) = R e Im(f) = [0,+∞).
4-) Função do 2o Grau: f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b, c ∈ R e a 6= 0.
43
12.1. FUNÇÕES ESPECIAIS 44
O grá�
o de uma função do segundo grau é uma parábola. Para fazermos o esboço do
grá�
o de uma função do segundo grau en
ontraremos as seguintes informações preliminares:
a) Se a > 0 (ou a < 0), a parábola tem a 
on
avidade voltada para 
ima (ou para baixo);
b) Raízes da função: seja ∆ = b2 − 4ac, 
aso:
• ∆ > 0, então f(x) possui duas raízes: x1 = −b+
√
∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
;
• ∆ = 0, então f(x) possui uma raiz: x1 = −b
2a
;
• ∆ < 0, então f(x) não possui raízes.
Abaixo temos os tipos de grá�
os que poderemos obter:
As 
oordenadas do vérti
e da parábola são
Xv = − b
2a
e Yv = −∆
4a
.
• Se a > 0, então Im(f) = [Yv,+∞) e, neste 
aso, dizemos que Yv é um ponto de mínimo;
• Se a < 0, então Im(f) = (−∞, Yv ] e, neste 
aso, dizemos que Yv é um ponto de máximo;
• D(f)= R.
Toda função do tipo f(x) = ax2 + bx+ c, 
om ∆ ≥ 0, pode ser es
rita na forma:
f(x) = a(x− x1)(x− x2),
onde x1 e x2 são as raízes de f(x).
Exemplo 12.3. Faça o grá�
o de f(x) = 2x2 − 6x+ 4.
5-) Função Polinomial: f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x1 + a0, onde an 6= 0 e n ∈ R.
O domínio de uma função polinomial é sempre D(f) = R.
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12.2. EXERCÍCIOS 45
Exemplo 12.4. Faça o grá�
o de f(x) = 4x5 − 7x3 + 3x2 + 2.
6-) Função Ra
ional: f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p(x) e q(x) são polin�mios e q(x) 6= 0.
O domínio de uma função polinomial é sempre D(f) = R− {x : q(x) = 0}.
Exemplo 12.5. Faça o grá�
o de f(x) =
x− 1
x+ 1
.
Exemplo 12.6. Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do 
res
imento
de uma planta (
m) pode ser dada por
f(x) =
20x
x+ 5
,
onde x > 0 é a quantidade de fertilizantes adi
ionada, esbo
e o grá�
o desta função.
12.2 Exer
í
ios
Exer
í
io 12.1. Construir o grá�
o das funções abaixo:
a) f(x) = 2x− 4
b) f(x) = −x+ 3
) f(x) = x+ 1
d) f(x) = −x− 1
e) f(x) = x2 − 3x+ 2
f) f(x) = 4x2 − 4x+ 1
g) f(x) = x2
Exer
í
io 12.2. Faça o grá�
o das funções abaixo no Geogebra.
a) f(x) = x3
b) f(x) =
x− 1
x+ 4
) f(x) =
√
x
Exer
í
io 12.3. Sabendo que f(x) é uma função do 1o grau e que f(−1) = 2 e f(2) = 3,
en
ontre a expressão de f(x).
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 13
Aula 13
13.1 Funções elementares
1-) Função Exponen
ial: f(x) = ax, onde 0 < a e a 6= 1.
Propriedade 13.1. Para toda função exponen
ial do tipo f(x) = ax, 
om 0 < a 6= 1 valem as
seguintes propriedades:
• x = 0⇒ f(0) = a0 = 1.
• A função f(x) é 
res
ente (de
res
ente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1).
• D(f) = R e Im(f) = (0,+∞).
Exemplo 13.1. Construa o grá�
o das seguintes funções exponen
iais:
a) f(x) = 2x.
b) f(x) =
(
1
2
)x
.
Solução:
1
1
8
2 3
2
4
-3 -2 -1
x y = 2x (x, y)
−3 1
8
(
−3, 1
8
)
−2 1
4
(
−2, 1
4
)
−1 1
2
(
−1, 1
2
)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
46
13.1. FUNÇÕES ELEMENTARES 47
b)
1
1
8
2 3
2
4
-3 -2 -1
x y =
(
1
2
)x
(x, y)
−3 8 (−3, 8)
−2 4 (−2, 4)
−1 2 (−1, 2)
0 1 (0, 1)
1
1
2
(
1,
1
2
)
2
1
4
(
2,
1
4
)
3
1
8
(
3,
1
8
)
De�nição 13.1. Dados a e b números reais positivos, 
om a 6= 1, 
hama-se logaritmo de b na
base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potên
ia ax seja igual a b. Isto é,
loga b = x⇔ ax = b,
onde a, b ∈ R, 0 < a 6= 1 e 0 < b.
Na expressão loga b = x dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o
logaritmo.
Exemplo 13.2.
a) log2 8 = 3, pois 2
3 = 8;
b) log3
1
9
= −2, pois 3−2 = 1
9
;
2-) Função Logarítmi
a: f(x) = logxa, onde 0 < a e a 6= 1.
Propriedade 13.2. Para toda função logarítmi
a valem as seguintes propriedades:
• x = 1⇒ f(1) = loga 1 = 0.
• A função f(x) é 
res
ente (de
res
ente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1).
• D(f) = R∗+ e Im(f) = R.
Para 
onstruir o grá�
o de uma função logarítmi
a na base a, f(x) = loga x podemos
onstruir uma tabela auxiliar para a função exponen
ial de base a, g(x) = ax, e tro
ar os valores
de x 
om os valores de y.
Exemplo 13.3. Construa o grá�
o das seguintes funções logarítmi
as:
a) f(x) = log2 x.
b) f(x) = log(1
2
) x.
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13.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 48
Solução:
a)
1
1 8
2
3
2 4
-3
-2
-1
x y = 2x
−3 1
8
−2 1
4
−1 1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = log2 x (x, y)
1
8
−3
(
1
8
,−3
)
1
4
−2
(
1
4
,−2
)
1
2
−1
(
1
2
,−1
)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
b)
1
1 8
2
3
2 4
-3
-2
-1
x y =
(
1
2
)x
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
x y = log(1
2
) x (x, y)
8 −3 (8,−3)
4 −2 (4,−2)
2 −1 (2,−1)
1 0 (1, 0)
1
2
1
(
1
2
, 1
)
1
4
2
(
1
4
, 2
)
1
8
3
(
1
8
, 3
)
Observação 13.1. Funções que se desta
am nas mais diversas áreas de pesquisa e apli
ação:
• f(x) = ex;
• f(x) = ln(x) = loge x;
• f(x) = log(x) = log10 x
13.2 Funções trigonométri
as
De�nição 13.2. Dizemos que uma função f(x) é periódi
a se existir T ∈ R, onde T 6= 0, tal
que
f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ D(f).
O menor valor de T que satisfaz a 
ondição a
ima é 
hamado de período de f(x).
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13.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 49
De�nição 13.3. Seja um plano 
artesiano 
om eixos u e v. De�nimos 
i
lo trigonométri
o
a 
ir
unferên
ia de 
entro na origem e raio r = 1 
onforme �gura (a) abaixo.
V
1
1
U
O
P
V
1
1
U
x
P
P
O 2
1
(a) (b)
1-) Função Seno: Seja x ∈ R. Mar
amos um ângulo 
om medida x radianos no 
i
lo trigono-
métri
o, 
onforme �gura (b) da de�nição 13.3, e denominamos seno de x, indi
ado por sen(x), a
ordenada OP1 do ponto P . De�nimos, então, a função seno por f(x) = sen(x).
Analisando o 
i
lo trigonométri
o para a função f(x) = sen(x) podemos identi�
ar as
seguintes propriedades:
1. D(f) = R, Im(f) = [−1, 1];
2. Se x perten
e ao primeiro ou ao segundo quadrante, então sen(x) > 0;
3. Se x perten
e ao ter
eiro ou ao quarto quadrante, então sen(x) < 0;
4. A função seno é periódi
a e seu período é 2pi.
Para fazer o grá�
o de sen(x), façamos x per
orrer o intervalo [0, 2pi] e vejamos o que
a
onte
e 
om a função. Se o ponto P (imagem de x) dá uma volta 
ompleta no 
i
lo, no sentido
anti-horário, a ordenada de P varia segundo a tabela abaixo.
x 0
pi
2
pi
3pi
2
2pi
sen(x) 0 
res
e 1 de
res
e 0 de
res
e −1 
res
e 0
(x, y) (0, 0
(pi
2
, 1
)
(pi, 0)
(
3pi
2
,−1
)
(2pi, 0)
Agora, em plano 
artesiano, mar
amos os pontos obtidos na última linha da tabela e 
om
as informações da segunda linha podemos traçar o grá�
o de f(x) = sen(x).
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13.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 50
Exemplo 13.4. Determinar o período, a imagem e esboçar o grá�
o de um período 
ompleto
das funções abaixo:
a) f(x) = −sen(x)
b) f(x) = sen(2x)
Solução: a) Vamos 
onstruir uma tabela em três etapas:
1. atribuímos valores a x;
2. asso
iamos a 
ada x o valor de sen(x);
3. multipli
amos sen(x) por −1, pois y = −sen(x).
x sen(x) y (x, y)
0
pi
2
pi
3pi
2
2pi
x sen(x) y (x, y)
0 0
pi
2
1
pi 0
3pi
2
−1
2pi 0
x sen(x) y (x, y)
0 0 0 (0, 0)
pi
2
1 −1
(pi
2
,−1
)
pi 0 0 (pi, 0)
3pi
2
−1 1
(
3pi
2
, 1
)
2pi 0 0 (2pi, 0)
Com esta tabela, obtemos 5 pontos do grá�
o, que é simétri
o ao da senoide em relação
ao eixo x. Do grá�
o, veri�
amos que o período de f(x) é igual a 2pi, enquanto Im(f) = [−1, 1].
b) Vamos 
onstruir uma tabela em três etapas:
1. atribuímos valores a t = 2x;
2. asso
iamos a 
ada 2x o 
orrespondente valor de sen(2x);
3. 
al
ulamos x, onde x =
t
2
.
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13.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 51
x t = 2x y = sen(2x) (x, y)
0 0
pi
2
1
pi 0
3pi
2
−1
2pi 0
x t = 2x y = sen(2x) (x, y)
0 0 0 (0, 0)
pi
4
pi
2
1
(pi
4
,−1
)
pi
2
pi 0
(pi
2
, 0
)
3pi
4
3pi
2
−1
(
3pi
4
,−1
)
pi 2pi 0 (pi, 0)
Com esta tabela, obtemos 5 pontos do grá�
o. Podemos observar que o grá�
o deve
apresentar para 
ada x umaordenada y que é o seno de 2x. Além disso, para sen(t) 
ompletar
um período é ne
essário que t = 2x per
orra o intervalo [0, 2pi], ou seja, que x per
orra o intervalo
[0, pi]. Logo, o período de f(x) é igual a pi. Observando o grá�
o, vemos que Im(f) = [−1, 1].
2-) Função Cosseno: Seja x ∈ R. Mar
amos um ângulo 
om medida x radianos no 
i
lo
trigonométri
o, 
onforme �gura (b) da de�nição 13.3, e denominamos 
osseno de x, indi
ado por
cos(x), a abs
issa OP2 do ponto P . De�nimos, então, a função 
osseno por f(x) = cos(x).
Analisando o 
i
lo trigonométri
o para a função f(x) = cos(x), e 
omparando 
om a função
sen(x), podemos identi�
ar as seguintes propriedades:
1. D(f) = R, Im(f) = [−1, 1];
2. Se x perten
e ao primeiro ou ao quarto quadrante, então cos(x) > 0;
3. Se x perten
e ao ter
eiro ou ao ter
eiro quadrante, então cos(x) < 0;
4. A função 
osseno é periódi
a e seu período é 2pi.
Para fazer o grá�
o de cos(x), façamos x per
orrer o intervalo [0, 2pi] e vejamos o que
a
onte
e 
om a função. Se o ponto P (imagem de x) dá uma volta 
ompleta no 
i
lo, no sentido
anti-horário, a abs
issa de P varia segundo a tabela abaixo.
x 0
pi
2
pi
3pi
2
2pi
cos(x) 1 de
res
e 0 de
res
e −1 
res
e 0 
res
e 1
(x, y) (0, 0
(pi
2
, 1
)
(pi, 0)
(
3pi
2
,−1
)
(2pi, 0)
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13.3. EXERCÍCIOS 52
Agora, em plano 
artesiano, mar
amos os pontos obtidos na última linha da tabela e 
om
as informações da segunda linha podemos traçar o grá�
o de f(x) = cos(x).
Para desenharmos o grá�
o da função f(x) = −cos(x), ou da função f(x) = cos(2x)
devemos utilizar o mesmo ra
io
ínio utilizado no exemplo (13.4).
13.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 13.1. Seja f(x) = 2x, mostrar que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2
f(x).
Exer
í
io 13.2. Construir o grá�
o das seguintes funções:
a) f(x) = 3x b) f(x) =
(
1
3
)x
) f(x) = 10
1
x
d) f(x) = e−x
2
e) f(x) = ln(−x) f) f(x) = ln(x+ 1)
Exer
í
io 13.3. Sob 
ertas 
ondições, o número de ba
térias B de uma 
ultura, em função do
tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de ba
térias 6 dias após
a hora zero?
Exer
í
io 13.4. Após o iní
io de um experimento o número de ba
térias de uma 
ultura é dado
pela expressão:
N(t) = 1200 · 20,4t
Quanto tempo após o iní
io do experimento a 
ultura terá 19200 ba
térias?
Exer
í
io 13.5. Uma 
erta substân
ia se de
ompõe segundo a lei m(t) = k × 2−0,5t,em que k
é uma 
onstante, t indi
a o tempo em minutos e m(t), a massa da substân
ia em gramas. No
instante ini
ial havia 2.048 gramas. Essa quantidade de
ai para 512 gramas após t minutos. Com
base nessas informações, determine os valores de k e de t.
Exer
í
io 13.6. Construa o grá�
o e 
al
ule o período das seguintes funções trigonométri
as.
a) f(x) = sen
(x
2
)
b) f(x) = cos
(x
2
)
) f(x) = sen
(
x+
pi
2
)
d) f(x) = sen(3x) e) f(x) = cos(3x) f) f(x) = cos
(
x− pi
2
)
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13.3. EXERCÍCIOS 53
Exer
í
io 13.7. Uma equipe de agr�nomos 
oletou dados da temperatura (oC) do solo em uma
determinada região, durante três dias, a 
ada intervalo de 1 hora. A medida da temperatura
omeçou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois
(t = 72). Os dados puderam ser aproximados pela função:
f(t) = 15 + 5 · sen
( pi
12
t+ 3
pi
2
)
,
em que (t) indi
a o tempo em horas e f(t),a temperatura em oC. Determine:
a) a temperatura máxima do solo e o instante em que essa temperatura o
orreu;
b) o instante em que essa temperatura máxima o
orreu no primeiro dia de observação.
Exer
í
io 13.8. As marés são fen�menos periódi
os que podem ser des
ritos, de uma forma
mais simples, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a variação da altura
da lâmina d'água em função das horas do dia seja
h(t) = 10 + 4 · sen
( pi
12
t
)
e que um navio tenha 
alado (parte do navio que �
a sob as águas) de 12 m. Pergunta-se:
a) Em que período do dia o navio pode permane
er no porto, ou seja, h(t) > 12?
b) Qual o período dessa maré
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Capítulo 14
Aula 14
14.1 Limites
Vamos analisar as sequên
ias abaixo:
1.
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, ...
}
2. {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
3. {0,−1,−2,−3,−4,−5, ...}
Na sequên
ia (1) os termos tornam-se 
ada vez mais próximos de zero. Dizemos que x
onverge para 0 e denotamos por x→ 0.
Na sequên
ia (2), dado um número real, podemos en
ontrar um número maior na sequên
ia.
Dizemos que x tende ao in�nito e denotamos por x → ∞. De forma análoga, na sequên
ia (3)
dizemos que x tende à menos in�nito e denotamos por x→ −∞.
Exemplo 14.1. Seja y = 1− 1
x
. Se x→∞, y 
onverge para qual número?
Exemplo 14.2. No instante t = 0 um 
orpo ini
ia um movimento em linha reta. Sua posição
no instante t é dada pela função s(t) = 16t− t2.
a) Qual a velo
idade média no intervalo de tempo [2, 4]?
b) Qual a velo
idade no instante t = 2?
Proposição 14.1. Seja a,m, n ∈ R então
lim
x→a
(mx+ n) = ma+ n
Exemplo 14.3. lim
x→2
3x− 1
54
14.2. EXERCÍCIOS 55
Propriedade 14.1. Se lim
x→a f(x) e limx→a g(x) existem, e c ∈ R, então
1. lim
x→a[f(x)± g(x)] = limx→a f(x)± limx→a g(x);
2. lim
x→a cf(x) = c limx→a f(x);
3. lim
x→a[f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x);
4. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a f(x)
lim
x→a
g(x)
, desde que lim
x→a g(x) 6= 0 ;
5. lim
x→a[f(x)]
n =
[
lim
x→a f(x)
]n
, para qualquer inteiro positivo n;
6. lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a f(x), se limx→a f(x) > 0 e n inteiro ou se limx→a f(x) < 0 e n inteiro
positivo ímpar;
7. lim
x→a
sen[f(x)] = sen
[
lim
x→a
f(x)
]
;
8. lim
x→a
cos[f(x)] = cos
[
lim
x→a
f(x)
]
;
9. lim
x→a
ln[f(x)] = ln
[
lim
x→a
f(x)
]
, se lim
x→a
f(x) > 0;
10. lim
x→a e
f(x) = e
lim
x→a
f(x)
;
Exemplo 14.4. Cal
ule os limites abaixo:
a) lim
x→2
(x2 + 3x+ 5)
b) lim
x→−2
√
x4 − 4x+ 1
14.2 Exer
í
ios
Exer
í
io 14.1. Cal
ule os limites abaixo usando as propriedades de limites.
a) lim
x→0
(3− 7x− 5x2);
b) lim
x→3
(3x2 − 7x+ 2);
) lim
x→−1
(−x5 + 6x4 + 2);
d) lim
x→ 1
2
(2x+ 7);
e) lim
x→−1
[
(x+ 4)3 · (x+ 2)−1];
f) lim
x→0
[
(x− 2)10 · (x+ 4)];
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14.2. EXERCÍCIOS 56
g) lim
x→2
x+ 4
3x− 1 ;
h) lim
t→2
t+ 3
t+ 2
;
i) lim
t→2
t2 + 5t+ 6
t+ 2
;
j) lim
x→4
3
√
2x+ 3;
l) lim
x→7
(3x+ 2)2/3;
m) lim
x→
√
2
2x2 − x
3x
;
n) lim
x→2
x
√
x−√2
3x− 4 ;
o) lim
x→pi
2
[2sen(x)− cos(x)];
p) lim
x→4
(ex + 4x);
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Capítulo 15
Aula 15
15.1 Limites laterais
Também podemos 
al
ular limites de função analisando o grá�
o de uma função. Vejamos o
exemplo abaixo.
Exemplo 15.1. Seja y =
1
x
. Se x→ 0, y 
onverge para qual número?
Observando o grá�
o de y =
1
x
, notamos que y →∞ quando x→ 0, 
om valores maiores
que 0, e que y → −∞ quando x → 0, 
om valores menores que 0. Neste 
aso, estamos nos
referindo aos limites laterais:
lim
x→0+
1
x
= ∞ limite lateral à direita;
lim
x→0−
1
x
= −∞ limite lateral à esquerda;
Se lim
x→a+
f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela direita. Usamos
o símbolo x → a+ para indi
ar que os valores de x são sempre maiores do que a. De maneira
análoga, se lim
x→a−
f(x)= L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela esquerda.
Usamos o símbolo x→ a− para indi
ar que os valores de x são sempre menores do que a.
Observação 15.1. As propriedades de limites, vistas anteriormente 
ontinuam válidas se subs-
tituirmos x→ a por x→ a+ ou x→ a−.
Exemplo 15.2. Cal
ule os limites laterais abaixo, se possível.
a) lim
x→3+
(1 +
√
x− 3).
b) lim
x→3−
(1 +
√
x− 3).
) lim
x→0
|x|.
57
15.2. LIMITES INDETERMINADOS 58
15.2 Limites indeterminados
De�nição 15.1. Quando 
al
ulamos o limite de uma função e obtemos um dos resultados abaixo,
0
0
;
∞
∞ ; ∞−∞ ; 0×∞ ; 0
0 ; ∞0 ; 1∞,
dizemos que este é um limite indeterminado.
Neste 
aso, devemos utilizar algum artifí
io algébri
o para eliminar esta indeterminação.
Exemplo 15.3. Resolva o limite indeterminado abaixo utilizando a fatoração.
lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x2 − 1
Exemplo 15.4. Resolva o limite indeterminado abaixo utilizando a ra
ionalização.
lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
Exemplo 15.5. Resolva o limite indeterminado abaixo utilizando a mudança de variável.
lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
15.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 15.1. Para 
ada uma das seguintes funções abaixo 
al
ule lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 .
a) f(x) = 3x2;
b) f(x) = x3.
Exer
í
io 15.2. Cal
ule os limites indeterminados abaixo.
a) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1 ; b) limt→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3) ;
) lim
x→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2 ; d) limt→ 5
2
2t2 − 3t− 5
2t− 5 ;
e) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
; f) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 ;
g) lim
t→0
√
25 + 3t− 5
t
; h) lim
h→1
√
h− 1
h− 1 ;
i) lim
x→0
√
1 + x− 1
−x ; j) limx→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 ;
k) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
.
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 16
Aula 16
16.1 Limites no in�nito
Teorema 16.1. Seja f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0, 
om an 6= 0 e n ∈ N, então
i) lim
x→+∞
xn = +∞
ii) lim
x→−∞
xn =
 +∞, n é par;−∞, n é ímpar;
iii) lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
anx
n
iv) lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
anx
n
Exemplo 16.1. Cal
ule:
a) lim
x→+∞
(4x2 − 7x+ 3)
b) lim
x→+∞
(−3x3 + 2x2 − 5x+ 3)
) lim
x→−∞
(5x3 − 4x2 − 3x+ 2)
Teorema 16.2. Seja n ∈ N, então
i) lim
x→+∞
1
xn
= 0
ii) lim
x→−∞
1
xn
= 0
Exemplo 16.2. Cal
ule os limites no in�nito abaixo:
a) lim
x→+∞
2x− 5
x+ 8
b) lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
) lim
x→∞
2x+ 5√
2x2 − 5
59
16.2. LIMITES INFINITOS 60
16.2 Limites in�nitos
Teorema 16.3. Seja n ∈ N, então
i) lim
x→0+
1
xn
= +∞
ii) lim
x→0−
1
xn
=
 +∞, se n é par−∞, se n é ímpar
Exemplo 16.3. Cal
ule os limites abaixo:
a) lim
x→2+
3
x− 2
b) lim
x→2+
−3
x− 2
) lim
x→3−
x
(x− 3)3
d) lim
x→2+
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
e) lim
x→2−
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
f) lim
x→2
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
16.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 16.1. Cal
ule os limites no in�nito abaixo.
a) lim
x→+∞
(3x3 + 4x2 − 1);
b) lim
x→+∞
(
2− 1
x
+
4
x2
)
;
) lim
t→+∞
t+ 1
t2 + 1
;
d) lim
x→−∞
t+ 1
t2 + 1
;
e) lim
x→+∞
t2 − 2t+ 3
2t2 + 5t− 3 ;
f) lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7 ;
g) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2 ;
h) lim
t→+∞
−5x3 + 2
7x3 + 3
;
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
16.3. EXERCÍCIOS 61
Exer
í
io 16.2. Cal
ule os limites in�nitos abaixo.
a) lim
x→3+
x
x− 3 ;
b) lim
x→3−
x
(x− 3)3 ;
) lim
x→5+
11
−2 · (x− 5)2 ;
d) lim
x→−2−
−2
(x+ 2)2(x+ 1)
;
e) lim
x→2+
x
x2 − 4 ;
f) lim
x→2−
x
x2 − 4 ;
g) lim
x→4+
3− x
x2 − 2x− 8 ;
h) lim
x→4−
3− x
x2 − 2x− 8 .
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 17
Aula 17
17.1 Limites fundamentais
Proposição 17.1.
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
Exemplo 17.1.
a) lim
x→0
sen(2x)
x
b) lim
x→0
sen(3x)
sen(4x)
Proposição 17.2.
lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e
onde e ≈ 2, 7182...
Exemplo 17.2. Mostre que lim
x→0
(1 + x)
1
x = e.
Proposição 17.3.
lim
x→0
ax − 1
x
= ln(a),
onde a > 0 e a 6= 1.
Exemplo 17.3. Cal
ule lim
x→0
2x − 1
x
62
17.2. CONTINUIDADE 63
17.2 Continuidade
De�nição 17.1. Dizemos que f(x) é uma função 
ontínua no ponto x = a se forem satisfeitas
as seguintes 
ondições:
i) f(x) é de�nida em x = a;
ii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Exemplo 17.4. Veri�que se as funções abaixo são 
ontínuas em x = 1.
a) f(x) =
x2 − 1
x− 1
b) f(x) =

x2 − 1
x− 1 , se x 6= 1
1, se x = 1
Propriedade 17.1. Sejam f(x) e g(x) funções 
ontínuas em x = a, então
1. Se f(x) é uma função polinomial, então f(x) é 
ontínua em ∀x ∈ R,
2. As funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são 
ontínuas em ∀x ∈ R.
Proposição 17.4. Se f(x) é 
ontínua em x = a e g é 
ontínua em f(a), então (g◦f) é 
ontínua
em x = a.
Exemplo 17.5. (g ◦ f)(x) = sen(x2) é 
ontínua em x = 0.
17.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 17.1. Cal
ule os limites abaixo apli
ando os limites fundamentais.
a) lim
x→0
sen(9x)
x
;
b) lim
x→0
sen(4x)
3x
;
) lim
x→0
sen(10x)
sen(7x)
;
d) lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n+5
;
e) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
;
f) lim
x→+∞
(
x
1 + x
)x
;
g) lim
x→2
10x−2 − 1
x− 2 ;
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
17.3. EXERCÍCIOS 64
h) lim
t→−3
4
x+ 3
5 − 1
x+ 3
;
i) lim
x→2
5x − 25
x− 2 ;
j) lim
x→2
e−ax − e−bx
x
.
Exer
í
io 17.2. Veri�que se as funções são 
ontínuas nos pontos indi
ados.
a) f(x) =
 x
3 + 8x2 − 4, x 6= 0
−4, x = 0
em x = 0.
b) f(x) =

x2 − 1
x− 1 , x 6= 1
−4, x = 1
em x = 1.
) f(x) =

x2 − 4
x− 2 , x 6= 2
3, x = 2
em x = 2.
d) f(x) =

x3 − 8
x2 − 4 , x 6= 2
3, x = 2
em x = 2.
e) f(x) =

sen(x)
x
, x 6= 0
0, x = 0
em x = 0.
Exer
í
io 17.3. Cal
ule p de modo que as funções abaixo sejam 
ontínuas
a) f(x) =

x2 − 1
x− 1 , x 6= 1
p, x = 1
;
b) f(x) =
 2x+ 5, x ≤ 2p2, x > 2 ;
) f(x) =
 x+ 2p, x ≤ −1p2, x > −1 ;
d) f(x) =
 x2 + p x+ 2, x 6= 33, x = 3 .
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 18
Aula 18
18.1 Reta tangente
Sejam y = f(x), P (x0, y0) e Q(x1, y1) dois pontos distintos do grá�
o de y = f(x). Seja s a reta
se
ante que passa por P e Q. De�nimos 
oe�
iente angular de s 
omo sendo
tg(α) =
y1 − y0
x1 − x0 =
∆y
∆x
.
Agora, mantendo P �xo e movendo Q sobre a 
urva em direção a P , obtemos a seguinte
de�nição,
De�nição 18.1. Seja y = f(x) e P (x0, y0) um ponto do grá�
o de f(x). A in
linação da reta
r tangente ao grá�
o de f(x) no ponto P é dado por
m(x0) = lim
Q→P
∆y
∆x
= lim
x1→x0
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
ou
m(x0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
quando o limite existe, onde ∆x = x1 − x0.
A equação desta reta r é
r : y − f(x0) = m(x0) · (x− x0),
se o limite na de�nição 18.1 existe, ou simplesmente
r : x = x0,
se o limite na de�nição 18.1 for igual à ∞.
Exemplo 18.1. En
ontre a equação da reta tangente ao grá�
o y = x2− 2x+1 no ponto x = 3
65
18.2. RETA NORMAL 66
18.2 Reta normal
Sejam f(x) e o ponto (x, f(x)). Dizemos que a reta n é normal ao ponto x = a, no grá�
o de f ,
se n for perpendi
ular à reta t tangente ao grá�
o em x = a. Neste 
aso, devemos ter
mn(x0) ·mt(x0) = −1⇒ mn(x0) = −1
mt(x0)
.
Exemplo 18.2. En
ontre a equação da reta normal ao grá�
o de y = x2 em x = 2.
18.3 Derivada de uma função em um pontoDe�nição 18.2. A derivada de f(x) no ponto x = x1, denotada por f
′(x1) é de�nida por
f ′(x1) = m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
quando este limite existe.
Exemplo 18.3. Dada a função f(x) = 5x2 + 6x− 1, en
ontre f ′(2).
18.4 Exer
í
ios
Exer
í
io 18.1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes 
urvas, nos pontos indi
a-
dos. Esboçar o grá�
o em 
ada 
aso.
a) f(x) = x2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ R.
b) f(x) = x2 − 3x+ 6; x = −1, x = 2.
Exer
í
io 18.2. En
ontre as equações das retas tangente e normal de f(x) = x2 − 3x + 6 nos
pontos
a) x = −1;
b) x = 2.
Exer
í
io 18.3. Dadas as funções f(x) = 5− 2x e g(x) = 3x2 − 1, determinar:
a) f ′(1) + g′(1) b) 2f ′(0) − g′(−2)
) f(2)− f ′(2) d) [g′(0)]2 + 1
2
g′(0) + g(0)
e) f
(
5
2
)
−
f ′
(
5
2
)
g′
(
5
2
)
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a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 19
Aula 19
19.1 Derivada de uma função
De�nição 19.1. A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ′(x), de�nida
por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
quando este limite existe.
Exemplo 19.1. Dada a função f(x) = 5x2 + 6x− 1, en
ontre f ′(x).
Observação 19.1.
1. Dizemos que f(x) é derivável se existir f ′(x) para ∀x ∈ D(f).
2. Outras notações: y′,
dy
dx
, Dx,
df
dx
.
Teorema 19.1. Se f(x) é derivável em x1, então f(x) é 
ontínua em x1.
Tabela de derivadas:
i. y = c ⇒ y′ = 0
ii. y = x ⇒ y′ = 1
iii. y = c · x ⇒ y′ = c
iv. y = u± v ⇒ y′ = u′ ± v′
v. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
vi. y =
u
v
⇒ y′ = u
′ · v − u · v′
v2
vii. y = xα, α 6= 0 ⇒ y′ = αxα−1
Exemplo 19.2. Derive as funções abaixo:
a) y = 2 b) y = 3x
) y = 3x+ 2 d) y = 5x4 + x+ 2
e) f(x) = (7x− 1)(x+ 4) f) f(t) = t− 1
t+ 1
67
19.2. REGRA DA CADEIA 68
19.2 Regra da Cadeia
Proposição 19.1. Sejam y = g(u) e u = f(x), ou seja, y = g(f(x)). Se
dy
du
e
du
dx
existem então
a derivada de y é dada por:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
ou y′(x) = g′(u) · f ′(x).
Exemplo 19.3. Derive as funções abaixo:
a) y = (x2 + 5x+ 2)7
b) y = (5x4 + x+ 2)2
Tabela de derivadas:
1. y = c ⇒ y′ = 0
2. y = x ⇒ y′ = 1
3. y = c · u ⇒ y′ = c · u′
4. y = u+ v ⇒ y′ = u′ + v′
5. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
6. y =
u
v
⇒ y′ = u
′ · v − u · v′
v2
7. y = uα, α 6= 0 ⇒ y′ = α · uα−1 · u′
Derivadas elementares:
8. y = au ⇒ y′ = au · ln(a) · u′, a > 0, a 6= 1
9. y = eu ⇒ y′ = eu · u′
10. y = logua ⇒ y′ =
u′
u
· logea
11. y = ln(u) ⇒ y′ = u
′
u
12. y = uv ⇒ y′ = v · uv−1 · u′ + uv · ln(u) · v′, u > 0
Derivadas trigonométri
as:
13. y = sen(u) ⇒ y′ = cos(u) · u′
14. y = cos(u) ⇒ y′ = −sen(u) · u′
15. y = tg(u) ⇒ y′ = sec2(u) · u′
Exemplo 19.4. Cal
ule a derivada das funções abaixo.
a) f(x) = 32x
2+3x−1
b) f(x) = ex
) f(x) = e3x
5−x2
d) log2(3x
2 + 7x− 1)
e) g(x) = ln(x) f) f(x) = ln(x2 + 2)
g) g(x) = (x2 + 1)3x
3−2x+1
h) g(x) = sen(x)
i) y = cos(x2) j) y = cos
(
1
x
)
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
19.3. EXERCÍCIOS 69
Tabela geral de derivadas.
1. y = c ⇒ y′ = 0
2. y = x ⇒ y′ = 1
3. y = c · u ⇒ y′ = c · u′
4. y = u+ v ⇒ y′ = u′ + v′
5. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
6. y =
u
v
⇒ y′ = u
′ · v − u · v′
v2
7. y = uα, α 6= 0 ⇒ y′ = αuα−1 · u′
8. y = au ⇒ y′ = au · ln(a) · u′, a > 0, a 6= 1
9. y = eu ⇒ y′ = eu · u′
10. y = logua ⇒ y′ =
u′
u
· logea
11. y = ln(u) ⇒ y′ = u
′
u
12. y = uv ⇒ y′ = v · uv−1 · u′ + uv · ln(u) · v′, v > 0
13. y = sen(u) ⇒ y′ = cos(u) · u′
14. y = cos(u) ⇒ y′ = −sen(u) · u′
15. y = tg(u) ⇒ y′ = sec2(u) · u′
19.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 19.1. Usando a de�nição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1− 4x2;
b) f(x) = 2x2 − x− 1;
) f(x) =
1
x+ 2
;
Exer
í
io 19.2. Seja f(x) = (3x2 + 5) · (x3), en
ontre f ′(x) de duas formas: multipli
ando os
parênteses e depois derivando; utilizando a regra do produto. O que se observa?
Exer
í
io 19.3. Cal
ule a derivada das funções abaixo.
a) f(x) = 3x2 + 6x− 10 b) f(r) = pir
) f(w) = aw2 + b d) f(x) = 14− 1
2
x−3
e) f(x) = (2x+ 1)(3x2 + 6) f) f(x) = (x− 1)(x+ 1)
g) f(x) = (3x5 − 1)(2 − x4) h) f(x) = 2x+ 4
3x− 1
i) f(x) =
3
x4
+
5
x5
j) f(x) = 14− 1
2
x4 +
2
x6
Exer
í
io 19.4. Dada a função f(t) = 3t3 − 4t+ 1, en
ontre f(0)− tf ′(0).
Exer
í
io 19.5. En
ontrar a equação da reta tangente à 
urva y =
2x+ 1
3x− 4 no ponto de abs
issa
x = −1.
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
19.3. EXERCÍCIOS 70
Exer
í
io 19.6. Cal
ule a derivada das funções abaixo.
a) f(x) = e2x+1 b) f(x) = 2e3x
2+6x+7
) f(x) =
1
3
e3−x d) f(s) = (7s2 + 6s− 1)3 + 2e−3s
e) f(t) =
e−t
2
+ 1
t
f) f(x) = sen(2x+ 4)
g) f(u) = cos
(pi
2
− u
)
h) f(θ) = 2cos(2θ2 − 3θ + 1)
i) f(θ) = sen2(θ) + cos2(θ) j) f(x) = e2x cos(3x)
k) f(x) =
sen(x+ 1)
ex
l) f(t) = e2 cos(2t)
Exer
í
io 19.7. Cal
ular f ′(0), onde f(x) = e−xcos(3x).
Exer
í
io 19.8. Dada f(x) = e−x, 
al
ular f(0) + xf ′(0).
Exer
í
io 19.9. Mostrar que a função y = xe−x satisfaz a equação xy′ = (1− x)y.
Exer
í
io 19.10. Mostrar que a função y = xe−x
2/2
satisfaz a equação xy′ = (1− x2)y.
Apostila de Matemáti
a 1 - Agronomia
Danilo Elias de Oliveira
Capítulo 20
Aula 20
20.1 Derivadas su
essivas
De�nição 20.1. Seja f(x) derivável. Se f ′(x) for derivável, então a sua derivada é 
hamada
derivada segunda de f e é representada por f ′′(x) ou
d2y
dx2
.
Exemplo 20.1. Cal
ule as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
a) f(x) = 3x2 + 8x+ 1
b) f(x) = sen(x2 + 1)
Observação 20.1. Se f ′′(x) é derivável, sua derivada, f ′′′(x), é 
hamada derivada ter
eira de
f . A derivada de ordem n, fn(x), é obtida derivando a derivada fn−1(x).
20.2 Apli
ações da derivada
De�nição 20.2. Taxa média de variação
Sejam f(x) e (a, b) um intervalo em x. De�nimos taxa média de variação de y em relação
a x 
omo sendo
∆y
∆x
=
f(b)− f(a)
b− a
De�nição 20.3. Taxa instantânea de variação
A derivada f ′(x) é a taxa de instantânea de variação, ou simplesmente, taxa de variação
de y em relação a x.
Exemplo 20.2. No instante t = 0 um 
orpo ini
ia um movimento em linha reta. Sua posição
no instante t é dada pela função s(t) = 16t− t2.
a) Qual a velo
idade média no intervalo de tempo [2, 4]?
71
20.3. EXERCÍCIOS 72
b) Qual a velo
idade no instante t = 2?
) Qual a a
eleração média no intervalo [0, 4]?
d) Qual a a
eleração no instante t = 4?
Exemplo 20.3. Seja um quadrado de lado l. En
ontre:
a) a taxa média de variação da área quando l varia de 2, 5 para 3 m;
b) a taxa de variação da área quando l mede 4m
Exemplo 20.4. Uma 
idade X é atingida por uma moléstia epidêmi
a. Os setores de saúde
al
ulam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias
a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
f(t) = 64t− t
3
3
.
a) Qual a razão da expansão da epidemia quando t = 4 dias?
b) Qual a razão da expansão da epidemia quando t = 8 dias?
) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5o dia?
20.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 20.1. Cal
ule as derivadas su
essivas até a ordem n indi
ada.
a) f(x) = 3x4 − 2x; n = 5 b) f(x) = 3− 2x2 + 4x5; n = 10
) y = e2x+1; n = 3 d) y = ln(2x); n = 2
e) y =
1
ex
; n = 4 f) y = −2 cos
(x
2
)
; n = 5
Exer
í
io 20.2. A
har a derivada de ordem 100 das funções:
a) y = sen(x) b) y = cos(x)
Exer
í
io 20.3. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis até 3a ordem. Mostrar que:
a) (fg)′′ = gf ′′ + 2f ′g′ + fg′′;
b) (fg)′′′ = gf ′′′ + 3f ′′g′ + 3f ′g′′ + fg′′′.
Apostila