Aula 6

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22/02/2018
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ELETRICIDADE APLICADA – aula 6
Correntes e tensões alternadas 
Senoidais
Mauricio Q. Antolin
Introdução
• Até o momento, só analisamos circuitos de 
corrente contínua;
• Nesses circuitos, as tensões e correntes não 
variam;
• Agora vamos nos voltar para circuito em que a 
tensão e a corrente variam;
• Esses circuitos são chamados de corrente 
alternada (AC ou CA)
Introdução
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Introdução
• Os circuitos de corrente alternada senoidal é o 
tipo de corrente gerado nas usinas elétricas;
• Além de serem utilizados em vários sistemas 
elétricos, eletrônicos, de comunicação e 
industriais;
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Geração:
Geradores elétricos (alternadores)
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Geração:
• Ao geradores acima são construídos de forma 
que um imã gira um rotor, em torno de uma 
bobina (estator) para gerar corrente definida 
pela lei de Faraday
𝜖 = 𝑁
𝑑𝜙
𝑑𝑡
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Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Geração:
• Usando um gerados projetado
apropriadamente obteremos nos terminais de
saída uma tensão alternada senoidal que
pode ter sua amplitude aumentada
consideravelmente para se distribuída através
das linhas de transmissão.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Valor instantâneo: Amplitude de uma forma 
de onda em um instante qualquer (e1, e2);
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Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Amplitude de pico: Valor máximo de uma 
forma de onda em relação ao valor médio (Em);
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Valor de pico: Valor máximo de uma função 
medido a partir do nível zero
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Valor pico a pico: Diferença entre os valores dos 
picos positivos e negativos, isto é, a soma dos 
módulos das amplitudes positivas e negativas 
(Ep-p ou Vp-p)
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Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Período (T): Intervalo de tempo entre 
repetições sucessivas de uma onda periódica
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Ciclo: Parte de uma forma de onda contida em 
um intervalo de tempo igual a um período
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Ciclo: Parte de uma fonte de onda contida em 
um intervalo de tempo igual a um período
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Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• Frequência (f): Número de ciclos que ocorrem 
em 1 s. A unidade de frequência é o Hertz (Hz)
1Hz = 1 ciclo por segundo (c/s)
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Definições:
• A frequência (f) é inversamente proporcional 
ao período
𝑓 =
1
𝑇
Com 𝑓 em Hertz(Hz) e T em segundos (s)
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Exemplo: Calcule o período da uma forma de 
onda periódica cuja frequência é
a) 60 Hz
b) 1000 Hz
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Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Exemplo: Calcule o período da uma forma de 
onda periódica cuja frequência é
a) 60 Hz
b) 1000 Hz
Sol.
a) 𝑇 = ଵ
௙
= ଵ
଺଴
≈ 0,01667 𝑠 𝑜𝑢 16,67 𝑚𝑠
b) 𝑇 = ଵ
௙
= ଵ
ଵ଴଴଴
= 1𝑚𝑠
Exemplo: Determine a frequência da forma de 
onda da figura abaixo.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Exemplo: Determine a frequência da forma de 
onda da figura abaixo.
𝑇 = 25 − 5 = 20 𝑚𝑠
𝑓 =
1
𝑇
=
1
20 × 10ିଷ
= 50 𝐻𝑧
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
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Definições de polaridade.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
A senóide: é a única forma
de onda que não se altera
ao passar em um circuito
contendo resistores,
capacitores e indutores.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
A senóide: é a única forma de onda que não se
altera ao passar em um circuito contendo
resistores, capacitores e indutores.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
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• A velocidade com que o vetor gira em torno do
centro, denominada velocidade angular, é
dado por:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟(𝜔) =
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜(𝛼)
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑡)
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
𝜔 =
𝛼
𝑡
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
𝜔 =
𝛼
𝑡
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
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𝜔 =
𝛼
𝑡
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
𝜔 =
𝛼
𝑡
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Como o tempo para completar um ciclo é T,
podemos escrever
𝜔 = ଶగ
்
ou 𝜔 = 2𝜋𝑓
em rad/s
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
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Como o tempo para completar um ciclo é T,
podemos escrever
𝜔 = ଶగ
்
ou 𝜔 = 2𝜋𝑓
em rad/s
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Exemplo: Determine a frequência e o período da
senoide abaixo.
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
Exemplo: Determine a frequência e o período da
senoide abaixo.
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
500 𝑟𝑎𝑑/𝑠
= 12,57 𝑚𝑠
𝑓 = ଵ
்
= 79,58 𝐻𝑧
Tensão Alternada Senoidal: 
Características
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• A equação geral para uma onda senoidal é
𝐴௠ sin 𝛼
onde Am é o valor de pico da onda
• Como 𝛼 = 𝜔𝑡, podemos escrever
𝐴௠ sin(𝜔𝑡)
• Assim, para tensão e corrente, temos
𝑖 = 𝐼௠ sin(𝜔𝑡)
𝑒 = 𝐸௠ sin(𝜔𝑡)
Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
• A equação geral para uma onda senoidal é
𝐴௠ sin 𝛼
onde Am é o valor de pico da onda
• Como 𝛼 = 𝜔𝑡, podemos escrever
𝐴௠ sin(𝜔𝑡)
• Assim, para tensão e corrente, temos
𝑖 = 𝐼௠ sin(𝜔𝑡)
𝑒 = 𝐸௠ sin(𝜔𝑡)
Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
Valores instantâneos Amplitudes
Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
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Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
Exemplo: Sabendo que 𝑒 = 5 sin 𝛼, determine e
para α=40⁰ e α=0,8 π rad .
Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
Exemplo: Sabendo que 𝑒 = 5 sin 𝛼, determine e
para α=40⁰ e α=0,8 π rad.
Sol.
Para α=40⁰
𝑒 = 5 sin 40° = 3,214 𝑉
Para α=0,8 π rad
𝛼 =
180
𝜋
0,8𝜋 = 144°
𝑒 = 5 sin 144° = 2,939𝑉
Utilizar o valor 
dado pela 
calculadora!
Expressão geral para Tensões ou 
corrente senoidais
• O ângulo associado a um valor de tensão ou
corrente é dado por:
𝛼 = sinିଵ
𝑒
𝐸௠
Para a tensão, e
𝛼 = sinିଵ
𝑖
𝐼௠
Para a corrente
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Valor médio
• Para tensão e corrente, o calculo do valor
médio (G) é calculado através de:
𝐺 =
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎
Valor médio
Exemplo: Determine o valor médio das formas
de onda abaixo:
a) 𝐺 = ଵ଴ȉଵ ିଵ଴ȉଵ
ଶ
= 0𝑉 b) 𝐺 = ଵସȉଵି଺ȉଵ
ଶ
= 4𝑉
Valor médio
• A área do semiciclo positivo (ou negativo) de
uma senóide é igual a 2Am, pois:
Á𝑟𝑒𝑎 = න 𝐴௠ sin 𝛼 𝑑𝛼
గ
଴
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴௠ − cos 𝛼 ቚ଴
గ
= 2𝐴௠
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Valor médio
• Portanto o valor médio para um semiciclo da
senóide como:
𝐺 =
2𝐴௠
𝜋
• Já para um ciclo completo, temos
𝐺 =
2𝐴௠
2ൗ
2𝜋
=
2𝐴௠
𝜋
• Ou seja, a média é a mesma para um ciclo
completo.
Valor médio
• Portanto o valor médio para um semiciclo da
senóide como:
𝐺 =
2𝐴௠
𝜋
• Já para um ciclo completo, temos
𝐺 =
2𝐴௠
2ൗ
2𝜋
=
2𝐴௠
𝜋
• Ou seja, a média é a mesma para um ciclo
completo.
Valor médio
• Exemplo: Determine o valor médio para a
forma de onda vista na figura abaixo
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Valor médio
• Exemplo: Sol.
O valor de pico a
pico é 18 mV. A
amplitude de pico
É, 18mV/2 = 9mV,
Assim o valor médio é obtido Subtraindo9mV
de 2mV (ou somando 9mV com 16mV).
Portanto, o valor médio é -7mV.
Valor médio
• Determine o valor médio para a forma de
onda vista na figura abaixo.
𝐺 =
2𝐴௠ + 0
2𝜋
=
2 ȉ 10
2𝜋
≈ 3,18 𝑉
Valor Eficaz
• Como é possível uma corrente alternada
fornecer potência ao circuito se seu valor
médio é nulo, ao longo de um ciclo?
Acontece que um resistor irá dissipar
potência independentemente do sentido da
corrente que o percorre.
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Valor Eficaz
• A potência dissipada pela fonte de corrente
alternada é dada por:
𝑃௖௔ = 𝑖௖௔ ଶ𝑅 = 𝐼௠ sin 𝜔𝑡 ଶ𝑅
𝑃௖௔ = 𝐼௠ଶ sinଶ(𝜔𝑡) 𝑅
Ou
𝑃௖௔ =
𝐼௠ଶ 𝑅
2
−
𝐼௠ଶ 𝑅
2
cos (2𝜔𝑡)
Onde utilizamos:
sinଶ 𝜔𝑡 =
1
2
1 − cos 𝜔𝑡
Valor Eficaz
• A potência média corresponde apenas ao
primeiro termo, uma vez que o valor médio do
cosseno é zero.
• Igualando a potência média, fornecida pela
fonte de corrente alternada, à potencia pela
fonte de corrente contínua, temos:
𝑃௠௘ௗ௜௢೎ೌ = 𝑃௖௖
𝐼௠ଶ
2
= 𝐼௖௖ଶ 𝑅 ∴ 𝐼௖௖ =
𝐼௠
2
= 0,707𝐼௠
Valor Eficaz
• Ou seja, o valor equivalente CC de uma tensão
ou corrente senoidal vale 0,707 do seu valor
máximo.
• O valor da corrente contínua equivalente é
chamado de valor eficaz.
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Valor Eficaz
• O valor eficaz de qualquer grandeza, cuja a
variação com o tempo é conhecida, pode ser
calculado como:
𝐼௘௙௙ =
∫ 𝑖ଶ 𝑡 𝑑𝑡்଴
𝑇
Ou
𝐼௘௙௙ =
á𝑟𝑒𝑎 𝑖ଶ 𝑡
𝑇
Valor Eficaz
• As expressões acima, nos dá outra designação
para o valor eficaz, chamada de valor médio
quadrático (rms – root mean square).
• Que é o termo utilizado na prática, tanto no
meio educacional quanto no industrial.
Valor Eficaz
• Exemplo: Calcule os valores eficazes para as
formas de onda senoidais abaixo.
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Valor Eficaz
• Exemplo: Calcule os valores eficazes para as
formas de onda senoidais abaixo.
a) 𝐼௥௠௦ = 0,707 12 × 10ିଷ = 8,484 𝑚𝐴
Valor Eficaz
• Exemplo: Calcule os valores eficazes para as
formas de onda senoidais abaixo.
b) 𝐼௥௠௦ = 0,707 12 × 10ିଷ = 8,484 𝑚𝐴
Valor Eficaz
• Exemplo: Calcule os valores eficazes para as
formas de onda senoidais abaixo.
c) 𝑉௥௠௦ = 0,707 169,7 ≈ 120 𝑉