Resoluções de Algumas Questões, Chiang.

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Lista de Resoluções de Algumas Questões; MATEMÁTICA PARA 
ECONOMISTAS – Alfha C. Chiang. 
Resoluções; 
2)Encontre yc, yp, a solução geral e a solução definida: ( No livro, exercício 15.1, 1° 
questão, pág;459 ) 
 
Formulas utilizadas; ( Obs1 ; também utilizadas na questão 3.) 
Y(t) = Ae-at + ௕
௔
 Solução Geral, para caso não-homogêneo com 
coeficiente e termo constantes. 
Yc = Ae-at Yp = ௕
௔
 
 
 Y(t) = [ Y(0) - ௕
௔
 ]e-at + ௕
௔
 Solução Definida, para caso não-homogêneo 
com coeficiente e termo constantes. 
 
 Y(t) = Ae-at Solução geral, para caso homogêneo com 
coeficiente e termo constantes. 
Yc = Ae-at yp = 0 
 
Y(t) = Y(0) e-at Solução Definida, para caso homogêneo 
com coeficiente e termo constantes. 
a) ௗ௬
ௗ௧
 + 4y = 12; a = 4 b = 12 y(0) = 2 não-homogêneo 
 
y(t) = Ae-4t + ଵଶ
ସ
 
y(t) = Ae-4t + 3 ( Solução Geral ) 
 
yc = Ae-4t yp = 3 
 
y(t) = [ 2 - ଵଶ
ସ
 ]e-4t + ଵଶ
ସ
 
y(t) = [ 2 -3]e-4t + 3 
y(t) = -1e-4t + 3 
y(t) = -e-4t + 3 ( Solução Definida ) 
b) ௗ௬
ௗ௧
 -2y = 0; a = -2 b = 0 y(0) = 9 Homogêneo 
y(t) = Ae- ( -2t ) 
y(t) = Ae2t ( Solução Geral) 
 
yc= Ae2t yp = 0 
 
y(t) = 9 * e- ( -2t ) 
y(t) = 9e2t ( Solução Definida) 
 
 
c) ௗ௬
ௗ௧
 + 10y = 15 a = 10 b = 15 y(0) = 0 não-homogêneo 
 
y(t) = Ae-10t + ଵହ
ଵ଴
 
y(t) = Ae-10t + 
ଷ
ଶ
 ( Solução Geral) 
 
yc = Ae-10t yp = ଷ
ଶ
 
 
y(t) = [ 0 - 32 ]e
-10t +
ଷ
ଶ
 
y(t) = - ଷ 
ଶ
 e-10t + ଷ
ଶ
 ( Solução Definida) 
 
d) 2ௗ௬
ௗ௧
 + 4y = 6 Divide-se a equação por 2; 
 
ଶ೏೤೏೟
ଶ
 + ସ௬
ଶ
 = ଺
ଶ
 
Então obtemos; 
ௗ௬
ௗ௧
 +2y = 3 a = 2 b = 3 y(0) = 1 12 não - homogêneo 
 1 + 0,5 = 1,5 → ଷ
ଶ
 y(0) = ଷ
ଶ
 
y(t) = A e-2t + 
ଷ
ଶ
 ( Solução Geral ) 
yc = A e-2t yp = 
ଷ
ଶ
 
 
 
y(t) = [ ଷ
ଶ
 - ଷ
ଶ
 ]e-2t +ଷ
ଶ
 
y(t) = 0 * e-2t + 
ଷ
ଶ
 
y(t) = 
ଷ
ଶ
 ( Solução Definida ) 
 
3) Encontre a solução de cada uma das seguintes equações utilizando uma fórmula 
adequada desenvolvida no texto; ( No livro, Exercicío 15.1, 3° questão, pág;459 ) 
 
a) ௗ௬
ௗ௧
+ 𝑦 = 4; a = 1 b = 4 y(0) = 0 
 
y(t) = [ 0 – ସ
ଵ
 ]𝑒ିଵ௧ + ସ
ଵ
 
y(t) = −4𝑒ି௧+4 ( Solução Definida) 
 
b) ௗ௬
ௗ௧
= 23 a = 0 b = 23 y(0) = 1 
 
y(t) = y (0) + bt 
 
y(t) = 1 + 23t ( Solução definida) 
 
 
c) ௗ௬
ௗ௧
− 5𝑦 = 0 a = -5 b = 0 y(0) = 6 
 
y(t) = ቂ 6 − ଴
ିହ
 ቃ 𝑒ି (ିହ௧) + ଴
ିହ
 
y(t) = 6𝑒ାହ௧ ( Solução Definida) 
 
d) ௗ௬
ௗ௧
+ 3𝑦 = 2 a = 3 b = 2 y(0) = 4 
 
y(t) = ቂ 4 − ଶ
ଷ
 ቃ 𝑒ିଷ௧ + ଶ
ଷ
 
y(t) = ଵ଴
ଷ
𝑒ିଷ௧ + ଶ
ଷ
 ( Solução Definida ) 
 
 
 
 
e) ௗ௬
ௗ௧
− 7𝑦 = 7 a = -7 b = 7 y(0) = 7 
 
y(0) = ቂ 7 − ଻
ି଻
 ቃ 𝑒ି( ି଻ )௧ + ଻
ି଻
 
y(0) = [7 + 1 ] 𝑒଻௧ − 1 
y(t) = 8𝑒଻௧ − 1 ( Solução Definida) 
 
f) 3 ௗ௬
ௗ௧
+ 6𝑦 = 5 Divide-se a equação por 3; 
 
ଷ𝑑𝑦
𝑑𝑡
ଷ
+ ଺௬
ଷ
= ହ
ଷ
 Então obtemos; 
 
ௗ௬
ௗ௧
+ 2𝑦 = ହ
ଷ
 a = 2 b = ହ
ଷ
 y(0) = 0 
 
y(t) = ቈ 0 −
ఱ
య
ଶ
 ቉ 𝑒ିଶ௧ +
ఱ
య
ଶ
 
y(t) = − ହ
଺
 𝑒ିଶ௧ + ହ
଺
 ( Solução Definida) 
4) Sejam as demanda e a oferta; ( No livro, exercício 15.2, 4° questão, pág; 463 ) 
𝑄𝑑 = 𝛼 − 𝛽𝑃 + 𝜎 ௗ௣
ௗ௧
 ( 𝛼, 𝛽 , 𝛾 , 𝛿 > 0 ) e que 
𝑄𝑠 = −𝛾 + 𝛿𝑃 ௗ௣
ௗ௧
= 𝑗( 𝑄𝑑 − 𝑄𝑠 ) 
a) Supondo que a taxa de variação do preço ao longo do tempo é diretamente 
proporcional ao excesso de demanda, encontre a trajetória temporal P (t) 
(solução geral). 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑗 { 𝛼 − 𝛽𝑃 + ൬𝜎
𝑑𝑃
𝑑𝑡
൰ − [ −𝛾 + 𝛿𝑃]} 
 
ௗ௉
ௗ௧
= 𝑗 ቂ 𝛼 + 𝛾 − 𝛽𝑃 − 𝛿𝑃 + ቀ𝜎 ௗ௣
ௗ௧
ቁ ቃ 
 
ௗ௣
ௗ௧
= 𝑗 ( 𝛼 + 𝛾 ) − 𝑗( 𝛽 + 𝛿 )𝑃 + 𝑗 ቀ𝜎 ௗ௣
ௗ௧
ቁ 
1
𝑑𝑝
𝑑𝑡
− 𝑗𝜎
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑗 ( 𝛼 + 𝛾 ) − 𝑗( 𝛽 + 𝛿 )𝑃 
1 − 𝑗𝜎 ൬
𝑑𝑝
𝑑𝑡
൰ = 𝑗 ( 𝛼 + 𝛾 ) − 𝑗( 𝛽 + 𝛿 )𝑃 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 
𝑗( 𝛼 + 𝛾 )
1 − 𝑗𝜎
−
𝑗( 𝛽 + 𝛿 )
1 − 𝑗𝜎
𝑃 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+ 
𝑗( 𝛽 + 𝛿 )
1 − 𝑗𝜎
 𝑃 = 
𝑗( 𝛼 + 𝛾 )
1 − 𝑗𝜎
 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑜; 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎𝑦 = 𝑏 
 
Então a solução geral será, 𝐴𝑒ି௔௧ + ௕
௔
 ; 
 
𝑃(𝑡) = 𝐴𝑒൤ି 
௝(ఉାఋ)
ଵି௝ఙ ௧൨ +
( 𝛼 + 𝛾 )
( 𝛽 + 𝛿 )
 
 
 
 
5) Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem; se for dada 
uma condição inicial, defina a constante arbitrária: ( No livro, exercício 15.3, pág;465) 
Fórmulas utilizadas; 
 
𝑌(𝑡) = 𝐴 𝑒ି ∫ ௨ௗ Solução Geral, para caso homogêneo 
com coeficiente e termo variáveis. 
𝑌(𝑡) = 𝑒ି ∫ ௨ௗ௧ ∗ ( 𝐴 + ∫ 𝑤 𝑒∫ ௨ௗ௧ 𝑑𝑡) Solução Geral, para caso não-homogêneo 
com coeficiente e termo variáveis. 
 
a) ௗ௬
ௗ௧
+ 5𝑦 = 15 u = 5 w = 15 não-homogêneo 
Obs 2 ; Também é possível resolvê-lo pela formula A𝑒ି௔௧ + ௕௔, 
𝑌(𝑡) = 𝑒ି ∫ ହௗ௧ ∗ ( 𝐴 + න 15 𝑒∫ ହௗ௧ 𝑑𝑡) 
𝑌(𝑡) = 𝑒ିହ௧ ∗ ( 𝐴 + ∫ 15 𝑒ହ௧ 𝑑𝑡) 
𝑌(𝑡) = 𝑒ିହ௧ ∗ ( 𝐴 + 15 ∗ ଵ
ହ
𝑒ହ௧) 
𝑌(𝑡) = 𝑒ିହ௧ ∗ ( 𝐴 + 3𝑒ହ௧) 
𝑌(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑒ିହ௧ + (𝑒ିହ௧ ∗ 3𝑒ହ௧) 
𝑌(𝑡) = 𝐴𝑒ିହ௧ + 3 ( Solução Geral) 
 
b) ௗ௬
ௗ௧
+ 2𝑡𝑦 = 0 u = 2t w = 0 Homogêneo 
 
Y(t) = 𝐴𝑒ି ∫ ଶ௧ௗ௧ 
Y(t) = 𝐴𝑒ି௧మ ( Solução Geral) 
 
 
 
c) ௗ௬
ௗ௧
+ 2𝑡𝑦 = 𝑡 u = 2t w = t y(0) = ଷ
ଶ
 não-homogêneo 
 
𝑦(𝑡) = 𝑒ି ∫ ଶ௧ௗ௧ ∗ ( 𝐴 + න 𝑡 𝑒∫ ଶ௧ௗ௧ 𝑑𝑡) 
𝑦(𝑡) = 𝑒ି௧మ ∗ ( 𝐴 + න 𝑡 𝑒௧మ𝑑𝑡) 
න 𝒕 𝒆𝒕𝟐𝒅𝒕 = 
 
Z = 𝒕𝟐 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒕 → 𝒅𝒕 = 𝒅𝒛
𝟐𝒕
 
 
∫ 𝒕 𝒆𝒛 𝒅𝒛𝟐𝒕 → ∫ 𝒕 𝒆
𝒛 𝒅𝒛
𝟐𝒕
=≫ ∫ 𝒆
𝒛
𝟐
𝒅𝒛 =≫ 𝟏
𝟐
 ∫ 𝒆𝒛 𝒅𝒛 =≫ 𝟏𝟐 𝒆
𝒛 =≫ 𝟏
𝟐
𝒆𝒕𝟐 
 
y (t) = A * 𝑒ି௧మ + 𝑒ି௧మ ∗ ଵ
ଶ
𝑒௧మ 
y (t) = 𝐴𝑒 ି௧మ + ଵ
ଶ
 ( Solução Geral) 
 
Encontrar a constante arbitrária ‘A’; 
y (0) = 𝐴𝑒ି଴మ + ଵ
ଶ
 
ଷ
ଶ
 = 𝐴 + ଵ
ଶ
 
𝐴 =
3
2
−
1
2
 
𝐴 = 1 
 
Y(0) = 1 ∗ 𝑒ି௧మ + ଵ
ଶ
 
Y(0) = 𝑒ି௧మ + ଵ
ଶ
 ( Solução Definida ) 
 
 
d) ௗ௬
ௗ௧
+ 𝑡ଶ𝑦 = 5𝑡ଶ u = 𝑡ଶ w = 5𝑡ଶ y(0) = 6 não-homogêneo 
y (t) = 𝑒ି ∫ ௧మௗ௧ ∗ ( 𝐴 + ∫ 5𝑡ଶ 𝑒∫ ௧
మௗ௧ 𝑑𝑡 ) 
y (t) =𝑒ି
೟య
య ∗ ( 𝐴 + ∫ 5𝑡ଶ 𝑒
೟య
య 𝑑𝑡 
න 𝟓𝒕𝟐 𝒆
𝒕𝟑
𝟑 𝒅𝒕 = 
Z = 𝒕
𝟑
𝟑
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝒕𝟐 → 𝒅𝒕 = 𝒅𝒛
𝒕𝟐
 
න 𝟓𝒕𝟐𝒆𝒛
𝒅𝒛
𝒕𝟐
 =≫ 𝟓 න 𝒆𝒛 𝒕𝟐 
𝒅𝒛
𝒕𝟐
 =≫ 𝟓 න 𝒆𝒛 𝒅𝒛 =≫ 𝟓𝒆𝒛 =≫ 𝟓𝒆
𝒕𝟑
𝟑 
 
Y (t) = 𝑒ି
೟య
య ∗ ( 𝐴 + 5𝑒
೟య
య ) 
Y (t) = 𝐴 ∗ 𝑒−
𝑡3
3 + 𝑒−
𝑡3
3 ∗ 5𝑒+
𝑡3
3 ) 
Y (t) = 𝐴𝑒−
𝑡3
3 + 5 ( Solução Geral ) 
 
Encontrar a constante arbitrária ‘A’; 
y (0) = 𝐴𝑒ି
బయ
య + 5 
6 = 𝐴 + 5 
𝐴 = 6 − 5 
𝐴 = 1 
 
Y (0) = 1 * 𝑒ି 
೟య
య + 5 
Y(0) = 𝑒ି 
೟య
య + 5 ( Solução Definida ) 
 
e) 2 ௗ௬
ௗ௧
+ 12𝑦 = −2𝑒௧ Divide-se a equação por 2 
 
2 𝑑𝑦𝑑𝑡
2
+
12𝑦
2
= −
2𝑒௧
2
 
 
Então obtemos; 
 
ௗ௬
ௗ௧
+ 6𝑦 = −𝑒௧ u = 6y w = −𝑒௧ y(0) = ଺
଻
 
𝑦 (𝑡) = 𝑒ି ∫ ଺ௗ௧ ∗ ( 𝐴 + න −𝑒௧ 𝑒∫ ଺ௗ௧ 𝑑𝑡 ) 
y (t) = 𝑒ି଺௧ ∗ ( 𝐴 + ∫ −𝑒௧ 𝑒଺௧ 𝑑𝑡 ) 
y (t) = 𝑒ି଺௧ ∗ ( 𝐴 + ∫ −𝑒଻௧ 𝑑𝑡 ) 
y (t) = 𝑒ି଺௧( 𝐴 − ଵ
଻
𝑒଻) 
y (t) = 𝐴 ∗ 𝑒ି଺௧ + 𝑒ି଺௧ ∗ − ଵ
଻
𝑒଻௧ 
y (t) = 𝐴𝑒ି଺௧ − ଵ
଻
𝑒௧ ( Solução Geral) 
 
Encontrar a constante arbitrária ‘A’; 
y (0) = 𝐴𝑒ି଺∗଴ − ௘
బ
଻
 
଺
଻
 = 𝐴 − ଵ
଻
 
𝐴 =
6
7
 + 
1
7
 
𝐴 = 1 
 
Y (0) = 1 ∗ 𝑒ି଺௧ − ଵ
଻
𝑒௧ 
Y (0) = 𝑒ି଺௧ − ଵ
଻
𝑒௧ ( solução Definida.) 
 
f) ௗ௬
ௗ௧
+ 𝑦 = 𝑡 u = 1 w = t 
 
𝑦 (𝑡) = 𝑒ି ∫ ଵௗ௧ ∗ ( 𝐴 + න 𝑡 𝑒∫ ଵௗ௧ 𝑑𝑡 ) 
𝑦 (𝑡) = 𝑒ି௧ ∗ ( 𝐴 + න 𝑡 𝑒௧ 𝑑𝑡 ) 
 
න 𝑡 𝑒௧ 𝑑𝑡 = 
 
i. Nomear “ u” e “dv”; 
u = t 
dv = 𝑒௧ 
 
 
 
ii. Achar du ; 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 1 → 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑡 
 
iii. Achar “v”; 
න 𝑒௧ 𝑑𝑡 =≫ 𝑒௧ 
iv. Aplicar na fórmula “ = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 “ ; 
 
∫ 𝑡 𝑒௧ 𝑑𝑡 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
∫ 𝑡 𝑒௧ 𝑑𝑡 = 𝑡 ∗ 𝑒௧ − ∫ 𝑒௧ dt 
∫ 𝑡 𝑒௧ 𝑑𝑡 = 𝑡𝑒௧ − 𝑒௧ 
 
𝑦 (𝑡) = 𝑒ି௧ ∗ [ 𝐴 + 𝑒௧ ( 𝑡 − 1 )𝑑𝑡 ] 
y (t) = A * 𝑒ି௧ + 𝑒ି௧ ∗ 𝑒௧ ( 𝑡 − 1 ) 
y (t) = A𝑒ି௧ + 𝑒଴ ( 𝑡 − 1 ) 
y (t) = A𝑒ି௧ + 1 ( 𝑡 − 1 ) 
y (t) = A𝑒ି௧ + 𝑡 − 1 ( Solução Geral) 
 
6) Verifique se cada uma das seguintes equações diferenciais é exata 
e resolva pelo procedimento em quatro etapas; ( No livro, exercício 
15.4, 1° questão, pág;471) 
 
1° Condição de Exatidão. 
 డெ
డ௧
= డே
డ௬
 
 
2° Procedimento de quatro etapas. 
I. 𝐹 = ∫ 𝑀 𝑑𝑦 + 𝜑 
II. డி
డ௧
+ 𝜑′(𝑡) = 𝑁 
III. 𝜑(𝑡) = ∫ 𝜑 ′(𝑡)𝑑𝑡 
IV. Combinar ( I ) e ( III ) 
 
 
 
 
a. 2𝑦𝑡ଷ 𝑑𝑦 + 3𝑦ଶ𝑡ଶ 𝑑𝑡 = 0 
 
డெ
డ௧
= 3 ∗ 2𝑦𝑡ଷିଵ డே
డ௬
= 2 ∗ 3𝑦ଶିଵ 𝑡ଶ 
 = 6𝑦𝑡ଶ = 6𝑦𝑡ଶ 
 
É exata. 
 
I. 𝐹 = ∫ 2𝑦𝑡ଶ 𝑑𝑦 + 𝜑(𝑡) 
𝐹 = 𝑦ଶ𝑡ଷ + 𝜑(𝑡) 
 
II. 3𝑦ଶ𝑡ଶ + 𝜑′(𝑡) = 3𝑦ଶ𝑡ଶ 
𝜑ᇱ(𝑡) = 3𝑦ଶ𝑡ଶ − 3𝑦ଶ𝑡ଶ 
𝜑′(𝑡) = 0 
 
III. 𝜑(𝑡) = ∫ 0 𝑑𝑡 
𝜑(𝑡) = 𝑘 ( Simplesmente uma constante. ) 
 
IV. F(y,t) = 𝑦௧𝑡ଷ + 𝑘 
Solução Geral; 
𝑦ଶ𝑡ଷ = 𝑐 
 
b) 3𝑦ଶ𝑡 𝑑𝑦 + ( 𝑦ଷ + 2𝑡) = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 3𝑦ଶ 𝑡ଵିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 3 ∗ 𝑦ଷିଵ 
 = 3𝑦ଶ = 3𝑦ଶ 
É exata. 
 
I. 𝐹 = ∫ 3𝑦ଶ𝑡 𝑑𝑦 + 𝜑(𝑡) 
𝐹 = 𝑦ଷ𝑡 + 𝜑 (𝑡) 
 
II. 𝑦ଷ + 𝜑′(𝑡) = 𝑦ଷ + 2𝑡 
𝜑ᇱ(𝑡) = 𝑦ଷ − 𝑦ଷ + 2𝑡 
𝜑ᇱ(𝑡) = 2𝑡 
 
III. 𝜑(𝑡) = ∫ 2𝑡 𝑑𝑡 
𝜑(𝑡) = 𝑡ଶ 
 
IV. F(y,t) = 𝑦ଷ𝑡 + 𝑡ଶ 
Solução Geral 
𝑦ଷ𝑡 + 𝑡ଶ = 𝑐 
 
c) 𝑡(1 + 2𝑦)𝑑𝑦 + 𝑦(1 + 𝑦 )𝑑𝑡 = 0 
Ou 
(𝑡 + 2𝑦𝑡)𝑑𝑦 + (𝑦 + 𝑦ଶ)𝑑𝑡 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 𝑡ଵିଵ + 2𝑦𝑡ଵିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 𝑦ଵିଵ + 2𝑦ଶିଵ 
 = 1 + 2𝑦 = 1 + 2𝑦 
É exata. 
 
I. 𝐹 = ∫ 𝑡 + 2𝑦𝑡 𝑑𝑦 + 𝜑(𝑡) 
𝐹 = 𝑦𝑡 + 𝑦ଶ𝑡 + 𝜑(𝑡) 
 
II. 𝑦 + 𝑦ଶ + 𝜑′(𝑡) = 𝑦 + 𝑦ଶ 
𝜑ᇱ(𝑡) = 𝑦 − 𝑦 + 𝑦ଶ − 𝑦ଶ 
𝜑ᇱ(𝑡) = 0 
 
III. 𝜑(𝑡) = ∫ 0 𝑑𝑡 
𝜑(𝑡) = 𝑘 (Simplesmente uma constante) 
 
IV. 𝐹(𝑦, 𝑡) = 𝑦𝑡 + 𝑦ଶ𝑡 + 𝑘 
 
Solução Geral; 
𝑦𝑡 + 𝑦ଶ𝑡 = 𝑐 
 
d) ௗ௬
ௗ௧
+ ଶ௬
ర௧ାଷ௧మ
ସ௬య௧మ
= 0 
Ou 
(4𝑦ଷ𝑡ଶ)𝑑𝑦 + (2𝑦ସ𝑡 + 3𝑡ଶ)𝑑𝑡 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 2 ∗ 4𝑦ଷ 𝑡ଶିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 4 ∗ 2𝑦ସିଵ𝑡 
 = 8𝑦ଷ𝑡 = 8𝑦ଷ𝑡 
É exata. 
 
I. 𝐹 = ∫ 4𝑦ଷ𝑡ଶ𝑑𝑦 + 𝜑(𝑡) 
𝐹 = 𝑦ସ𝑡ଶ + 𝜑(𝑡) 
 
II. 2𝑦ସ𝑡 + 𝜑ᇱ(𝑡) = 2𝑦ସ𝑡 + 3𝑡ଶ 
𝜑ᇱ(𝑡) = 2𝑦ସ − 2𝑦ସ + 3𝑡ଶ 
𝜑ᇱ(𝑡) = 3𝑡ଶ 
 
III. 𝜑(𝑡) = ∫ 3𝑡ଶ 𝑑𝑡 
𝜑(𝑡) = 𝑡ଷ 
 
IV. 𝐹(𝑦, 𝑡) = 𝑦ସ𝑡ଶ + 𝑡ଷ 
Solução Geral; 
𝑦ସ𝑡ଶ + 𝑡ଷ = 𝑐 
 
7) As seguintes equações diferenciais são exatas? Se não forem, 
experimente t, y e 𝑦ଶ como possíveis fatores integrantes. 
a) 2(𝑡ଷ + 1)𝑑𝑦 + 3𝑦𝑡ଶ𝑑𝑡 = 0 
ou 
(2𝑡ଷ + 2)𝑑𝑦 + (3𝑦𝑡ଶ)𝑑𝑡 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 3 ∗ 2𝑡ଷିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 3𝑦ଵିଵ𝑡ଶ 
 = 6𝑡ଶ = 3𝑡ଶ 
Não exata. 
 
Fator Integrante; 
𝑦 ∗ (2𝑡ଷ + 2) 𝑑𝑦 + 𝑦 ∗ (3𝑦𝑡ଶ)𝑑𝑡 = 0 
(2𝑦𝑡ଷ + 2𝑦)𝑑𝑦 + (3𝑦ଶ𝑡ଶ)𝑑𝑡 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 3 ∗ 2𝑦𝑡ଷିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 2 ∗ 3𝑦ଶିଵ𝑡ଶ 
 = 6𝑦𝑡ଶ = 6𝑦𝑡ଶ 
É exata. O fator integrante é “ y ”. 
 
b) 4𝑦ଷ𝑡 𝑑𝑦 + (2𝑦ସ + 3𝑡)𝑑𝑡 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 4𝑦ଷ𝑡ଵିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 4 ∗ 2𝑦ସିଵ 
 = 4𝑦ଷ = 8𝑦ଷ 
Não exata. 
 
Fator Integrante. 
𝑡 ∗ (4𝑦ଷ𝑡)𝑑𝑦 + 𝑡 ∗ (2𝑦ସ + 3𝑡)𝑑𝑡 = 0 
(4𝑦ଷ𝑡ଶ)𝑑𝑦 + (2𝑦ସ𝑡 + 3𝑡ଶ) = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑡
= 2 ∗ 4𝑦ଷ𝑡ଶିଵ 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 4 ∗ 2𝑦ସିଵ𝑡 
 = 8𝑦ଷ𝑡 = 8𝑦ଷ𝑡 
É exata. O fator integrante é " 𝑡 ". 
 
 
 
 
 
Resolvida por CASTRO, A. W. P.