Gabarito.P1.4827.CalculoI.T02

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UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME 1 4827 - Ca´lculo I T02 (2014-2)
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA 27 de outubro de 2014.
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a: Cristiane Oliveira de Faria
Aluno:
P1 DE CA´LCULO I
1. (2.5 pt) Determine o domı´nio de definic¸a˜o da expressa˜o abaixo e simplifique-a:(
1 +
2/x
1− x
)
 x− 2
2− x
1 + x

2. (2.5 pt) Resolva a inequac¸a˜o
x + 1
|x2 − 1| ≥ x−
1
x− 1
3. (3.0 pt) Calcule o limite, caso exista. Caso contra´rio, justifique:
(a) lim
x→0
√
x + 2 +
√
x + 6−√6−√2
x
(b) lim
x→+∞
(x + 1)(x + 2) · · · (x + 10)
(x2 + 1)5
4. (2.0 pt) Seja f definida por
f(t) =

3
√
t− 6 + 2
t2 − 4 se t 6= ±2
− 1
48
se t = −2
0 se t = 2
(a) A func¸a˜o f esta´ definida em R? Justifique.
(b) Deˆ os pontos onde f e´ cont´ınua. Justifique.
(c) Deˆ os pontos onde f e´ descont´ınua. Justifique.
(d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique.
GABARITO
1. Sabemos que para uma frac¸a˜o existir o denominador deve ser diferente de zero. Enta˜o, temos que
o domı´nio da expressa˜o E(x) e´,
DE(x) = {x ∈ R|x 6= 0 e 1− x 6= 0 e x− 2
2− x1+x
6= 0 e 2− x
1 + x
6= 0 e 1 + x 6= 0}
Isso so´ sera´ satisfeito quando,
(i)
x− 2
2− x1+x
6= 0⇔ x− 2x+2
1+x
6= 0⇔ (x− 2)(x + 1)
(x + 2)
6= 0⇔ x 6= 2 e x 6= −1 e x 6= −2, e
(ii)
2/x
1− x 6= 0⇔
2
x(1− x) 6= 0⇔ x(1− x) 6= 0⇔ x 6= 0 e x 6= 1.
Assim, DE(x) = {x ∈ R|x 6= 0 e x 6= ±1 e x 6= ±2} = R − {0,±1,±2}. Agora, vamos simplificar a
expressa˜o. Temos que:
E(x) =
1 +
2/x
1− x
x− 2
2− x
1 + x
=
1 +
2
x(1− x)
(x− 2)(1 + x)
2(1 + x)− x
=
x(1− x) + 2
x(1− x)
(x− 2)(1 + x)
2(1 + x)− x
=
x− x2 + 2
x(1− x)
(x− 2)(1 + x)
2 + 2x− x
=
(x + 1)(x− 2)
x(1− x)
(x− 2)(1 + x)
(2 + x)
=
x + 2
x(1− x)
2. Da definic¸a˜o do mo´dulo e pelo fato de que ele esta´ num denominador de uma frac¸a˜o, temos que:
|x2 − 1| =
{
x2 − 1, se x2 − 1 > 0 ⇒ x < −1 ou x > 1
−x2 + 1, se x2 − 1 < 0 ⇒ −1 < x < 1 pois -−1
b
1
b+ + − − − + +
1a parte: x < −1
x+1
x2−1 ≥ x − 1x−1 ⇔ 2x−1 − x ≥ 0 ⇔ 2−x
2+x
x−1 ≥ 0. Da ana´lise dos sinais nas retas, e lembrando
que estamos considerando o intervalo (∞,−1), temos que
-
−1
b
2
b− − + + + + − − −
-
1
b− − − − + + + + +
-
−1
b
1
b
2
b+ + − − + + − − ⇒ S1 = (−∞,−1).
2a parte: −1 < x < 1
x+1
−(x2−1) ≥ x − 1x−1 ↔ −1x−1 − x + 1x−1 ≥ 0 ↔ −x(x−1)x−1 ≥ 0. Da ana´lise dos sinais nas retas, e
lembrando que estamos considerando o intervalo (−1, 1), temos que
-
0
b
1
b− − + + + + − − −
-
1
b− − − − − − − + +
-
0
b
1
b+ + − − − − − − − ⇒ S2 = (−1, 0].
3a parte: x > 1
x+1
x2−1 ≥ x− 1x−1 ↔ 2−x
2+x
x−1 ≥ 0. Da ana´lise de sinais feita na 1a parte, temos que S3 = (1, 2].
Assim, a soluc¸a˜o e´: S = (−∞,−1) ∪ (−1, 0] ∪ (1, 2].
3. (a) lim
x→0
√
x + 2 +
√
x + 6−√6−√2
x
= lim
x→0
1
x
(√
x + 2−
√
2 +
√
x + 6−
√
6
)
= lim
x→0
1
x
(
(
√
x + 2−
√
2) ·
(√
x + 2 +
√
2√
x + 2 +
√
2
)
+ (
√
x + 6 +
√
6) ·
(√
x + 6 +
√
6√
x + 6 +
√
6
))
= lim
x→0
1
x
(
x√
x + 2 +
√
2
+
x√
x + 6 +
√
6
)
=
1
2
√
2
+
1
2
√
6
=
3
√
2 +
√
6
12
(b) lim
x→+∞
(x + 1)(x + 2) · · · (x + 10)
(x2 + 1)5
= lim
x→+∞
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6)(x + 7)(x + 8)(x + 9)(x + 10)
(x2 + 1)5
= lim
x→+∞
x10(1 + 1x )(1 +
2
x ) · · · (1 + 10x )
(x2)5(1 + 1x2 )
5
= lim
x→+∞
(1 + 1x )(1 +
2
x ) · · · (1 + 10x )
(1 + 1x2 )
5
= 1
4. (a) Sim, ela esta´ definida em R. f(t) e´ uma func¸a˜o por partes, formada por uma func¸a˜o polinomial
no denominador e uma func¸a˜o racional no numerador. A restric¸a˜o do domı´nio de
3
√
t−6+2
t2−4 sa˜o
os pontos t 6= ±2, onde foi definido valores em f(t).
Para ∀t 6= ±2: Temos que f(t) e´ cont´ınua, pois ela e´ uma func¸a˜o racional e toda func¸a˜o racional e´
cont´ınua em seu domı´nio.
Para t = ±2: Manipulando a expressa˜o, chegamos que: 3
√
t−6+2
t2−4 · (
3
√
t−6)2−2 3√t−6+4)
( 3
√
t−6)2−2 3√t−6+4) =
1
(t−2)( 3√t−6)2−2 3√t−6+4) .
Para t = −2, o lim
t→−2
1
(t− 2) ( 3√t− 6)2 − 2 3√t− 6 + 4) = − 148 = f(−2). Para t = 2, o
lim
t→2−
1
(t− 2) ( 3√t− 6)2 − 2 3√t− 6 + 4) = −∞ e limt→2+ 1(t− 2) ( 3√t− 6)2 − 2 3√t− 6 + 4) = +∞.
Logo, f(t) e´ cont´ınua em t = −2, mas na˜o e´ cont´ınua em t = 2.
(b),(c),(d) Concluindo, a func¸a˜o e´ cont´ınua em R−{2} e descont´ınua em {2}. Ela na˜o e´ cont´ınua
em R.