Teor.dePoynting

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Teorema de Poynting
 Deduz expressões para a energia e potência associadas ao campo eletromagnético e suas fontes;
 Estas expressões matemáticas estabelecem o princípio da conservação de energia aplicada aos campos eletromagnéticos;
 Deduzidas diretamente das equações de Maxwell, no domínio do tempo ou da frequência, e podem ser utilizadas nas condições estáticas;
 O teorema mostra o equilíbrio da potência para os campos e suas fontes em uma região de interesse, incluindo a transferência de potência eletromagnética para dentro e para fora da região.
 A dedução é feita considerando um domínio espacial qualquer de volume v com correntes de densidade J, densidade volumétrica de cargas v, e vetores campos eletromagnéticos E, H, D e B, variáveis no tempo ,em alta frequência;
 O domínio é preenchido com um material linear, isotrópico, geralmente não homogêneo, com perdas, de condutividade , permissividade  e permeabilidade ;
 As fontes volumétrica de energia elétrica externa (excitações) são representadas por um campo elétrico impresso Ei (semelhante a uma fonte de tensão ideal) ou densidade de corrente impressa Ji (semelhante a uma fonte de corrente ideal);
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Fontes volumétricas de Energia Elétrica Externa e Geradores
Uma fonte de tensão externa (por exemplo, uma bateria) é necessária para manter a corrente contínua em um condutor, criando um aumento de potencial no circuito e uma diferença de potencial entre as extremidades do condutor. 
Fi – força externa, não elétrica, que atua sobre os portadores de cargas e separa as cargas positivas e negativas e Ei é chamado de campo elétrico impresso
Ei não depende de J
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Usando o produto escalar nas equações 01 com H na primeira e –E na segunda e somando resulta:
Usando a identidade vetorial:
Resultando:
(01)
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Daí:
Multiplicando ambos os membros da equação anterior por dv, integrando no volume e emseguida, aplicando o teorema da divergência no último termo do lado direito da equação tem-se:
Teorema de Poyting
S é a superfície fechada que envolve o volume v
Termo da esquerda - potência instantânea total gerada, Pi , das fontes no domínio v
Segundo termo a direita – potência instantânea total referente as perdas Joule
Segundo termo a direta - taxa de variação no tempo da energia total localizada no campo eletromagnético no volume v
O último termo a direita da equação é a energia líquida total instantânea que sai do domínio através da superfície S
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O último termo a direita da equação é a energia líquida total instantânea que sai do domínio através da superfície S
Energia eletromagnética armazenada no volume v
Vetor Poynting (W/m2)
Também pode utilizar 
= S
É a energia líquida instantânea que sai do domínio através da superfície S encerrando-a,
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 O vetor Poynting é perpendicular a E e H
O fluxo externo líquido do vetor Poynting através de qualquer superfície fechada é igual à potência instantânea que sai do domínio fechado v
0   </2  a quantidade de energia deixa o domínio v;
/2 <    fluxo de energia que entra na superfície para dentro do volume
Fluxo de potência através de uma superfície fechada S (W)
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A direção do vetor Poynting, em um ponto, coincide com a direção do fluxo de energia naquele ponto e a magnitude do vetor Poynting é igual à densidade máxima de potência transferida a partir de um ponto na superfície
Para excitações em v representas por uma corrente volumétrica impressa de densidade Ji tem-se:
Primeiro membro a esquerda  fonte de energia instantânea
Teorema de poynting na forma condensada
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Pi(t) < 0  as fontes geradoras recebem energia do campo eletromagnético em v ;
dWem /dt < 0  a energia eletromagnética em v diminui, ou seja, o campo em v oferece um pouco de sua energia armazenada para as fontes em v e/ou para a região fora de S, além suprir as perdas Joule no volume;
Pf(t)  < 0 o fluxo de potência líquida instantânea é direcionado a partir do espaço exterior para o interior de v, onde a energia é recebida em parte pelas fontes e / ou campo, e em parte, dissipada como calor em v;
Aplicações do teorema de Poynting:
 - Se no volume v o campo eletromagnético é invariante no tempo, o termo dWem/dt desaparece e os termos restantes são constantes;
 - Quando a região v não contém fontes geradoras Pi(t) = 0;
 Se a região no volume for sem perdas , PJ(t) = 0 ;
 Se o volume for delimitado por uma superfície CEP, condutor elétrico perfeito, (  = ), Pf(t) = 0 em qualquer instante de tempo e em qualquer distribuição de campo, porque o campo eletromagnético em um CEP é sempre zero em condições não estáticas, portanto, não pode haver troca de energia através de S com um ambiente CEP;
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Exemplo: Um cabo coaxial constituído de condutores perfeitos e um dielétrico imperfeito de condutividade d e permeabilidade o é conectado em uma extremidade a um gerador de tensão contínua ideal de fem  , enquanto a outra extremidade do cabo é aberta, conforme mostra a figura abaixo. Os raios dos condutores interno e externo são, respectivamente, a e b, e o comprimento do cabo é l. Encontre o fluxo do vetor Poynting através do corte transversal do cabo.
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Condutor perfeito  = , a densidade de corrente é radial, dada pela equação:
onde
Relacionando E com V tem-se:
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A partir da corrente a intensidade do campo magnético é:
O vetor Poynting é:
Fluxo do vetor Poynting
A direção do vetor Poynting que, coincide com a direção do fluxo de potência através do dielétrico, entre os condutores do cabo, é, naturalmente, do gerador para o resto do cabo.
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Tensão e corrente instantânea sobre uma impedância
Potência Aparente
 =  - 
P(t)  oscila periodicamente no tempo sobre o valor constante V I cos, que representa a potência média da carga no tempo
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Vetor de Poynting dentro de um solenoide com corrente em baixa frequência.
Observa-se que apenas a diferença de fase  entre a tensão e a corrente, e não as fases individuais iniciais  e , é relevante tanto para as potências ativa e reativa da carga, e é por isso que a corrente na definição de potência aparente é definida na forma conjugada complexa, que permite  e , serem substituídos  =  - 
Valores eficazes
Vetor Poynting no domínio da frequência
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O tempo médio do vetor Poynting instantâneo ,e igual à parte real do vetor Poynting no domínio da frequência
A parte imaginária representa o fluxo de potência reativa por unidade de área
Expressa o princípio geral da conservação da potência complexa em sistemas eletromagnéticos harmônicos no tempo
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Exemplo: Um cabo coaxial sem perdas com raios de condutor a e b (a < b) está conectado em uma extremidade a um gerador de tensão ideal de fem em baixa frequência harmônica no tempo eg(t) = 2 cos (w.t), e a outra extremidade do cabo é terminada em um capacitor de capacitância C. Encontre o fluxo do vetor de Poynting através de um corte transversal do cabo
Como a frequência é baixa, podemos desprezar os efeitos de propagação ao longo do cabo e supor a mesma tensão v(t) = eg(t), entre os condutores e a mesma intensidade de corrente.
Pelas equações já definidas para os campos elétrico e magnético tem-se:
OBS: r = 
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O vetor Poynting no domínio da frequência no dielétrico, tem apenas um componente axial
Como o vetor Poynting no domínio da frequência de pende apenas dependência de r e não de z (coordenada axial), seu fluxo através de qualquer corte transversal do cabo (Sz) é obtido como:
De V e I anteriores:
O fluxo de potência, no domínio da frequência, ao longo do cabo do gerador para a carga é puramente reativo, porque não há perdas no cabo e a carga é puramente reativa (capacitiva), expressão também válida para o caso de alta frequência
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Exemplo: Considere um circuito RLC em série com um gerador detensão ideal eg(t) de baixa frequência, conforme a figura abaixo. Aplique o teorema de Poynting para uma superfície que encerra a carga RLC e discuta os termos individuais na equação de equilíbrio de potência.
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Para eg(t) é em baixa frequência, realizaremos aqui a análise no domínio do tempo.
Aplicando o teorema de Poynting, na forma condensada na superfície S da figura, Pi = 0 , o gerador esta fora de S, PJ é a potência instantânea de perdas Joule no resistor e Wem é:
O fluxo do vetor Poynting fluindo para fora de S (Pf) multiplicado por -1, é igual a potência fornecida através de S do gerador para a carga.
Potência instantânea gerada pela fem eg
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Da potência instantânea do gerador, parte supri as perdas Joule na resistência e a outra representa as que são gastas para alterar (aumento se positivo, diminuição se negativo ) a energia elétrica armazenada no capacitor e energia magnética armazenada no indutor.
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Os campos E e H estão na superfície do resistor e o produto vetorial S aponta para o eixo do cilindro.
Considerando o cilindro resistivo de raio r percorrido por uma corrente I, na figura abaixo, obtém-se a expressão para a energia dissipada no resistor.
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O fluxo do vetor de Poynting na superfície lateral do resistor vale:
A lei de Ampère e a lei de Ohm nos dão:
Substituindo:
Podemos interpretar que a energia transformada em calor dentro do resistor entrou pela superfície lateral sob a forma de energias elétrica e magnética, t ransportadas pelos repectivos campos.
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Para o capacitor da figura ao lado, depreze o efeito de bordas, e calcule o fluxo do vetor Poynting que aponta para o interior do capacitor.
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A diferença de potencial vale v = El
Substituindo: