OndaElet.Plana

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Ondas Eletromagnéticas em Plano Uniforme
 Campos elétricos e magnéticos em propagação;
 Inicia por cargas e correntes senoidais de alta frequência;
 Propriedades das ondas conforme se propagam para longe de suas fontes;
 O estudo é feito em um meio ilimitado;
 O estudo começa com as equações da onda tridimensionais dos campos elétrico e magnético, para analisar o comportamento das ondas no vácuo e em meios materiais;
 Aplicadas em sistemas de radiocomunicação, propagação sem fio, comunicação por radares, etc;
 Importante para compreensão de todas as ondas eletromagnéticas, guiadas (cabo coaxial) e radiação eletromagnética (antenas);
Equações da Onda
Seja uma onda eletromagnética cujos vetores campo elétrico e magnético são E e H , respectivamente, em uma região ilimitada preenchida com um material linear, homogêneo e sem perdas, de permissividade  e permeabilidade  e a região não contém fontes geradoras. Sem perdas   = 0 e sem fontes  v = 0.
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A dedução é feita aplicando o rotacional em ambos os lados da primeira e segunda equação e substituindo uma pela outra
Para a primeira equação:
Para a segunda:
Equações da onda tridimensionais
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A velocidade de propagação dessas ondas em meios materiais homogêneos, sem perdas, de certa permeabilidade e permissividade, sem fontes, é::
Conversão das equações das ondas anteriores para o domínio da frequência:
Onde:
O mesmo é válido para qualquer campo vetorial daqui para frente
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Exemplo: Para uma onda eletromagnética, cujos vetores dos campos elétricos e magnéticos do domínio da frequência são expressos como funções das coordenadas cartesianas e do meio de propagação sem perdas, mostrar que cada uma das duas equações vetoriais de Helmholtz reduz para três equações diferenciais parciais escalares com componentes individuais cartesiano de E e H como incógnitas
Observa-se que há separação em três equações escalares de Helmholtz, o mesmo válido para a intensidade do campo magnético H
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Aproximação das ondas planas uniformes
Distribuição qualquer com fontes de alta frequência (variação rápida no tempo ), de correntes e cargas, em um meio ilimitado linear, homogêneo e sem perdas
Longe da fonte no volume v, as ondas eletromagnéticas esféricas elementares, geradas pelas fontes elementares, dv e Jdv, em v, formam uma frente de onda esférica abrangente unificada em relação ao centro de v
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Frente de onda esférica e onda plana
A onda eletromagnética esférica não uniforme, produzida (irradiada) pelas fontes elementares, quando considerada em um ponto receptor longe das fontes, pode ser analisada como uma onda plana uniforme.
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 Esta onda possui frentes de ondas planares e distribuições uniformes (constantes) dos campos sobre cada plano perpendicular à direção de propagação da onda;
 Podemos remover por completo a onda esférica a partir da análise e supor que uma onda plana uniforme esteja presente em todo o espaço;
Análise no domínio do tempo das ondas planas uniformes
Suponhamos estas ondas propagando em meios ilimitados e sem perdas e a análise é feita considerando o sistema de coordenadas retangulares com a direção de propagação da onda na direção de + z
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E esta na direção de x e tem coordenadas apenas em z, resultando na equação da onda
A solução de E é feita utilizando a equação:

O rotacional de E está apenas na direção +ay, resultando para H
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Resumo das propriedades básicas das ondas eletromagnéticas planas uniformes, independentemente de qualquer sistema de coordenadas
Pelas equações anteriores uma onda plana uniforme consiste de campos elétricos e magnéticos que são uniformes em planos perpendiculares à direção de propagação da onda, pertencem a esses planos e são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
Onda TEM (Transverse Electromagnetic) , E e H são transversais à direção de propagação
E e H se propagam com a velocidade c na direção de +z dada por:
Para a solução de H podemos usar
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Esta relação pode ser escrita para qualquer sistema de coordenadas, n é o vetor unitário que indica o sentido da direção de propagação da onda
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Verifica-se a partir das equações anteriores que a energia eletromagnética da onda é distribuída igualmente entre os campos elétrico e magnéticos.
Portanto:
Impedância intrínseca do vácuo
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O vetor Poynting descreve a relação no tempo com que a energia eletromagnética transportada pela onda flui através do espaço .
Sua direção coincide com a direção da propagação da onda e sua magnitude instantânea, , é igual à densidade de potência superficial transportada pela onda, potência por unidade de área da frente de onda (plano perpendicular ao vetor unitário) , em um determinado ponto do espaço e em um instante de tempo
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Expressões do campo para uma onda plana uniforme com vetor intensidade de campo elétrico orientado na direção +x, mas de propagação na direção negativa do eixo z
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Exemplo: A partir do rotacional das equações de Maxwell unidimensionais, na forma escalar relacionada para uma onda eletromagnética plana uniforme com os componentes dos campos Ex(z,t) e Hy(z,t) propagando-se em um meio homogêneo, sem perdas ,de permissividade  e permeabilidade , conforma a figura abaixo, obtenha as equações da onda na forma unidimensional, apenas com Ex e Hy como incógnitas.
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Ondas planas uniformes harmônicas no tempo e análise no domínio da frequência
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Para outros meios a velocidade não é constante, mas depende da frequência
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As expressões nas equações no domínio da frequência dos campos são as soluções das equações de Helmholtz, bem como das equações de Maxwell correspondentes. O fator + z indica propagação na direção negativa do eixo .
Intensidade do campo elétrico e magnético no domínio da frequência
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As potências médias no tempo bem como as energias e as densidades de potência, para um meio linear, variáveis no tempo, podem ser obtidas por meio de expressões similares constantes no tempo, se forem usados os valores eficazes das grandezas envolvidas.
Densidade de energia eletromagnética média de tempo total da onda
Ao contrário das densidades de energia instantânea da onda que dependem da coordenada espacial z, os valores médios são constantes em todo o espaço
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Exemplo: Prove que as expressões para a intensidade do campo elétrico de uma onda eletromagnética plana uniforme variável no tempo, propagando em um meio sem perdas de parâmetros  e , dadas nas equações abaixo, são soluções da onda eletromagnética de Helmholtz.
Vetor Poynting de uma onda plana do domínio da frequência
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No domínio do tempo, as densidades parciais de segunda ordem em z e t da intensidade do campo elétrico Ex(z,t) vem a ser:
O que satisfaz a equação
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No domínio da frequência 
Exemplo: Os vetores campo elétrico e magnético de uma onda plana uniforme variável no tempo e no espaço oscilam numa velocidade angular W. Com que velocidade angular oscila o vetor de Poynting da onda?
Das equações:
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O vetor Poynting oscila no tempo com o dobro da frequência angular da oscilação do campo e o mesmo não varia no tempo e, portanto, seu valor médio é diferente de zero.
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O Espectro eletromagnético
As ondas eletromagnéticas descritas pelas equaçôes de Maxwell são válidas e utilizadas em frequências que vão desde cc até óptica ou astrofísica, para tamanhos de sistemas que vão de subatômicos a intergalácticos e para uma ampla gama de áreas de aplicação.
Exemplos: antenas, circuitos RF/microondas, sistemas de comunicação sem fio, eletrônicos, radares, sensoriamento remoto, compatibilidade eletromagnética, etc
As frequências variam de uma fração de Hz até 1030 Hz, e a gama de comprimento da onda no espectro eletromagnético , para 1 Hz é 300000 Km e em F = 1024 Hz é 0,3 fm (um milionésimo do diâmetrode um átomo tipico), independente da frequência, todas as ondas se propagam no vácuo na velocidade da luz.
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Ondas TEM uniformes direcionadas aleatoriamente
Para mais de uma onda plana uniforme propagando em direções diferentes é impossível escolher um sistema de coordenadas cartesianas de tal forma que a direção de propagação de cada onda coincida com um dos eixos (x, y ou z) do sistema.
Desta forma precisamos de expressões que descrevam uma onda TEM uniforme ,cuja direção de propagação é escolhida em relação a um dado sistema de coordenadas.
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Intensidade de campo elétrico de uma onda TEM escolhido em uma direção
Para a intensidade de campo magnético tem-se:
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Como as expressões anteriores dependem das coordenadas x, y e z do ponto P escreve-se os vetores r e n, onde as componentes de n definem a direção de propagação da onda.
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Exemplo: Uma onda plana uniforme variável no tempo de frequência f = 300 MHz, se propaga na direção definida pelo vetor ax + ay em um sistema de coordenadas cartesianas. O vetor intensidade de campo elétrico complexo da onda na origem do sistema de coordenadas é Eo = (1+j)az V/m e o meio é o ar. Encontre as expressões para os vetores campo elétrico e magnético e para vetor Poynting da onda em um ponto qualquer do espaço P(x, y, z), especificamente, para x = 10 m, y = 1 m e z = 5 m.
Da equação:
 = 2 rad/m
Vetor unitário de propagação

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