Avaliação de Algoritmos na Otimização de um Riser de Produção

Prévia do material em texto

Avaliação dos Parâmetros dos Algoritmos PSO e DE na Otimização de um 
Riser de Produção em Configuração Lazy-Wave 
Victor de Queiroz Alves 
 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao Curso 
de Engenharia Naval e Oceânica, Escola 
Politécnica, da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos 
necessários à obtenção do título de 
Engenheiro Naval e Oceânico. 
 
Orientadores: Carl Horst Albrecht 
Bruno da Fonseca Monteiro 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Agosto de 2017
 
 
 
i 
 
AVALIAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS ALGORITMOS “PSO” E “DE” NA 
OTIMIZAÇÃO DE UM RISER DE PRODUÇÃO EM CONFIGURAÇÃO LAZY-
WAVE 
Victor de Queiroz Alves 
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO 
DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS 
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE 
ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO. 
Examinado por: 
 
_______________________________________________ 
Carl Horst Albrecht, D.Sc. 
 
________________________________________________ 
Prof. Bruno da Fonseca Monteiro, D.Sc. 
 
________________________________________________ 
Prof. Marcelo Igor Lourenço de Souza, D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL. 
AGOSTO DE 2017 
 
 
 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alves, Victor de Queiroz 
Avaliação dos Parâmetros dos Algoritmos PSO e DE 
na Otimização de um Riser de Produção em Configuração 
Lazy-Wave/ Victor de Queiroz Alves. - Rio de Janeiro: UFRJ 
/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2017. 
IX, 44 p.: il.; 29,7 cm 
Orientadores: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca 
Monteiro 
Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Engenharia 
Naval e Oceânica, 2017. 
Referências Bibliográficas: p.43-44. 
1. Algoritmos Evolutivos. 2. PSO. 3.DE. 4. Riser de 
Produção Offshore. I Carl Horst Albrecht, Bruno da Fonseca 
Monteiro. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola 
Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. 
Título. 
 
 
 
 
iii 
 
Agradecimentos 
 
Agradeço a toda minha família e amigos pela união e carinho, toda jornada é 
mais simples sabendo que posso contar com vocês. Em especial, gostaria de agradecer 
aos meus pais, Edson e Andréa, por me ensinarem sobre a vida com um belo equilíbrio 
entre amor e disciplina. Sou grato também aos meus irmãos, Fábio e Lucas, pelos 
conselhos, amizade e confiança. 
Também dirijo meus agradecimentos à UFRJ e aos meus orientadores, Carl e 
Bruno, pela paciência, suporte e oportunidade de trabalhar com um tema tão 
interessante. Aos tão unidos estudantes de Engenharia Naval da UFRJ, especialmente a 
turma de 2011.1, a turma de intercâmbio de 2014.1, e aos colegas como Laveglia, 
Palanowski, Schimpf, Romar, Jonas, Pedro, Gassen, Fellipe, Daniel, Lucas, Sales, 
Diogo.... Este curso teria sido mais difícil e certamente menos divertido sem vocês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
 
 
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como 
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval. 
 
AVALIAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS ALGORITMOS “PSO” E “DE” NA 
OTIMIZAÇÃO DE UM RISER DE PRODUÇÃO EM CONFIGURAÇÃO LAZY-
WAVE 
 
Risers de produção offshore são uma parte fundamental de sistemas de 
exploração de petróleo em águas profundas e ultra profundas, já que permitem a 
conexão entre as instalações submersas e as unidades de produção. O projeto desse tipo 
de estrutura requer um balanço complexo entre fatores de segurança e custo, o que 
motiva o uso de técnicas de otimização. Nesse contexto, este trabalho analisa a 
performance dos algoritmos Enxame de Partículas (PSO) e Evolução Diferencial (DE) 
na otimização de um riser de produção offshore em configuração “Lazy - Wave”. Os 
algoritmos e seus melhoramentos são brevemente descritos e um estudo paramétrico é 
realizado para ajustar os coeficientes ao problema de otimização do riser. Finalmente, 
ambos os algoritmos são comparados quanto a velocidade de convergência e melhor 
solução encontrada. Os resultados mostram que o PSO apresenta melhor velocidade de 
convergência enquanto o DE encontra resultados ligeiramente melhores. 
Victor de Queiroz Alves 
Agosto/2017 
Orientadores: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca Monteiro 
 
Curso: Engenharia Naval e Oceânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
Palavras-chave: PSO, DE, Algoritmos Evolutivos, Riser de Produção Offshore 
 
 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfilment of 
the requirements for the degree of Marine Engineer. 
PARAMETER ANALYSIS OF “PSO” AND “DE” ALGORITHMS FOR THE 
OPTIMIZATION OF A PRODUCTION RISER IN LAZY – WAVE 
CONFIGURATION 
Offshore Risers are a fundamental part of deepwater and ultra-deepwater oil production 
systems, as they are the connection between the subsea field developments and 
production facilities. The design of such structures requires a complex balance of safety 
and cost factors, motivating the use of optimization techniques. In this context, this 
work analyses the performance of the Particle Swam Optimization (PSO) and 
Differential Evolution (DE) algorithms for the optimization of an offshore Riser in 
Lazy-Wave Configuration. The algorithms and their enhancements are briefly 
described and a parametric analysis is carried out to tune them for the riser optimization 
problem. Finally, both algorithms are compared considering convergence speed and 
best solution found. The results show that PSO has a better convergence speed while 
DE yields slightly better solutions. 
 
 
Victor de Queiroz Alves 
August/2017 
Advisors: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca Monteiro 
 
Graduation: Marine Engineering 
 
 
 
 
 
vi 
 
Keywords: PSO, DE, Evolutionary Algorithms, Offshore Risers 
 
 
 
vii 
 
SUMÁRIO 
ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................. IX 
ÍNDICE DE TABELAS ............................................................................. X 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 1 
1.1 Contexto e Motivação ........................................................................................ 1 
1.2 Objetivos............................................................................................................. 2 
1.3 Organização ....................................................................................................... 3 
2 RISERS ................................................................................................. 4 
3 MODELAGEM DO PROBLEMA.............................................................. 6 
3.1 Variáveis de Projeto .......................................................................................... 7 
3.2 Restrições de projeto ......................................................................................... 8 
3.3 Função de Custo ................................................................................................ 9 
3.4 Fitness ou Função Objetivo ............................................................................ 10 
4 ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO EVOLUTIVOS .................................. 11 
4.1 Introdução ........................................................................................................ 11 
4.2 Enxame de Partículas ...................................................................................... 13 
4.2.1 AlgoritmoBásico .................................................................................................... 13 
4.2.2 Variação do Coeficiente de Inércia (ω) ................................................................... 15 
4.2.3 Variação dos parâmetros social (C1) e cognitivo (C2) ............................................. 17 
4.3 Evolução Diferencial ....................................................................................... 18 
4.3.1 Inicialização dos vetores ......................................................................................... 18 
 
 
 
viii 
 
4.3.2 Mutação com a Diferença Entre Vetores ................................................................ 19 
4.3.3 “Crossover” ............................................................................................................. 20 
4.3.4 Seleção .................................................................................................................... 21 
5 ESTUDO DE CASO .............................................................................. 23 
5.1 Definição do Problema .................................................................................... 24 
5.2 Escolha da População ...................................................................................... 25 
5.3 Análise paramétrica PSO ............................................................................... 28 
5.4 Análise Paramétrica DE ................................................................................. 34 
5.5 Comparação de Desempenho entre DE e PSO ............................................. 37 
6 COMENTÁRIOS FINAIS ...................................................................... 41 
7 REFERÊNCIAS .................................................................................... 43 
 
 
 
 
 
ix 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura 1: Riser rígido (à esquerda) e riser flexível (à direita). 4 
Figura 2: Configurações aplicáveis a risers de produção. 5 
Figura 3: Variáveis de projeto no problema do riser em configuração lazy-wave. 7 
Figura 4: Fitness médio vs Número de Indivíduos (PSO) 25 
Figura 5: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (PSO). 26 
Figura 6: Fitness Médio versus Número de Indivíduos (DE). 27 
Figura 7: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (DE). 27 
Figura 8: Fitness médio e desvio padrão em função de C1 e C2. 30 
Figura 9: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0 (linear) e ω0 (não linear). 30 
Figura 10: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente n. 31 
Figura 11: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2 Lineares. 32 
Figura 12: Fitness médio e Desvio Padrão em Função de Cr e CF. 35 
Figura 13: Fitness Médio e desvio padrão em função de Cr e F Variando Juntos. 35 
Figura 14: Fitness médio e desvio padrão para combinações de Cr e F variando inversamente.
 36 
Figura 15: Evolução dos valores máximos e mínimos do fitness médio dos algoritmos DE e 
PSO e seus respectivos desvios padrões por geração. 38 
Figura 16: Diferença percentual entre o fitness médio máximo entre PSO e DE ao longo das 50 
gerações. 39 
 
 
 
 
 
 
x 
 
ÍNDICE DE TABELAS 
Tabela 1: Propriedades físicas e geométricas do Riser. .............................................................. 24 
Tabela 2:Intervalo das variáveis livres. ...................................................................................... 24 
Tabela 3: Restrições. ................................................................................................................... 24 
Tabela 4: Fitness médio e tempo de execução em função do número de indivíduos para o PSO.
 .................................................................................................................................................... 26 
Tabela 5: Fitness médio para e tempo de execução em função do número de indivíduos para o 
DE. .............................................................................................................................................. 26 
Tabela 6: Resumo dos experimentos realizados com o PSO. ..................................................... 29 
Tabela 7: Resumo dos experimentos realizados com os melhores parâmetros obtidos na análise 
paramétrica para o PSO .............................................................................................................. 33 
Tabela 8: Resumo das combinações dos experimentos realizados para o DE. ........................... 34 
Tabela 9: Resumo das Melhores Combinações para o DE. ........................................................ 36 
Tabela 10: Combinações dos algoritmos PSO e DE escolhidos para comparação juntamente 
com os valores de fitness médio e desvio padrão. ...................................................................... 37 
 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Contexto e Motivação 
A produção de petróleo em águas profundas cresceu aproximadamente 25% na 
última década (incluindo-se condensados e gases de hidrocarbonetos em estado 
líquido). Além disso, a fatia de produção oriunda de plataformas fixas foi de 64% em 
2015, a menor já registrada até então. Tais fenômenos estão ligados a mudanças na 
economia, a exaustão da exploração em águas rasas, e a descobertas de reservas em 
águas mais profundas. Como resultado, os produtores se dirigem à exploração em 
águas de elevada profundidade (EIA 2016). 
 Nesse contexto, a exploração das reservas de petróleo é feita por sistemas 
flutuantes de produção (Floating Production Systems – FPS). Estes, estão conectados a 
risers, espécie de tubulação que liga os poços de exploração no leito marinho as 
unidades flutuantes na superfície. O projeto de risers exige um equilíbrio entre fatores 
de custo e segurança que resultam em um problema formal de otimização e síntese. De 
fato, a aceitação de uma determinada configuração depende de intensivas análises 
dinâmicas não-lineares, as quais demandam tempo devido ao elevado custo 
computacional. Com o objetivo de reduzir tal custo, diversos autores desenvolveram 
procedimentos que utilizam algoritmos evolutivos na otimização de risers de produção 
como em Vieira (2008) e Lima et al (2005). Além disso, algoritmos evolutivos também 
foram utilizados por Albrecht (2005) e Monteiro (2008) em procedimentos de 
otimização de linhas de ancoragem. 
O crescente interesse por algoritmos evolutivos nos diversos ramos da ciência é 
justificado por sua versatilidade, simplicidade e capacidade de gerar boas soluções. 
Todavia, eles são dependentes do problema abordado e devem ser ajustados de acordo 
com cada caso de aplicação. Sendo assim, este trabalho é motivado pelas vantagens 
obtidas sobre problemas de otimização de risers ao se identificar características de 
desempenho de dois famosos algoritmos evolutivos: Enxame de Partítculas (PSO) e 
Evolução Diferencial (DE). 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1.2 Objetivos 
Este trabalho possui dois objetivos. O Primeiro é ajustar os parâmetros dos algoritmos 
evolutivos PSO e DE para um problema de otimização de riser em configuração lazy-
wave. O segundo consiste em aplicar os algoritmos ajustados a um caso de estudo e 
compará-los quanto a velocidade de convergência e melhor solução alcançada. Desse 
modo, espera-se identificar qual deles é mais apropriado para procedimentos de 
otimização de risers em configuração lazy-wave. 
 
 
 
3 
 
1.3 Organização 
No Capítulo 2 há uma descrição do riser de produção analisado neste trabalho, 
o Steel Catenary Riser. Os principais tópicos cobrem sua aplicação, composição e 
configurações. 
No capítulo seguinte discute-se a modelagem do problema, incluindo as 
variáveis livres consideradas,suas restrições e a função objetivo. 
No quarto capítulo há uma breve introdução sobre os algoritmos evolutivos. Em 
seguida, PSO, DE e algumas de suas variantes são discutidos mais a fundo. 
Os algoritmos são ajustados no quinto capítulo através de uma análise 
paramétrica realizada em cima de um caso de estudo definido na seção 5.1. Nesse 
capítulo também se define a população utilizada nos algoritmos. Na última seção foi 
feita a comparação de desempenho entre PSO e DE, ajustados para o caso de estudo. 
Os dois últimos capítulos, 6 e 7, contêm as conclusões finais e as referências 
bibliográficas, respectivamente. 
 
 
 
 
4 
 
2 RISERS 
Risers de produção offshore, de modo geral, realizam o transporte vertical de 
matéria entre as instalações do leito marinho e os sistemas flutuantes ou de perfuração, 
na superfície oceânica. O transporte pode ocorrer em ambos os sentidos e os fluidos 
transportados são hidrocarbonetos, fluídos de injeção e controle, etc. 
Os risers estão sujeitos a diversas cargas devido à ação da correnteza, das 
ondas, dos movimentos do sistema flutuante e vibração induzida por vórtices. Sendo 
assim, a preocupação com a integridade mecânica no projeto desses componentes é 
crucial e fatores como a tensão equivalente e fadiga devem ser analisados. 
Existem dois tipos básicos de riser: o flexível e o rígido. O primeiro, mais 
complexo, é composto por diversas camadas de aço e plástico e normalmente é 
utilizado em profundidades de até 1000 m. Acima desta, as cargas ambientais tornam 
inviáveis a aplicação do riser flexível, o qual precisaria de um diâmetro muito grande 
para suportá-las. 
 O riser rígido, estudado nesse trabalho, pode ser utilizado em profundidades 
superiores a 1000 m. Eles são formados por estruturas tubulares mais simples 
composta de aço, titânio ou compósitos; podendo contar com apêndices para aliviar seu 
peso e alterar sua configuração de equilíbrio. Devido a sua simplicidade de produção e 
fácil adaptação a maiores profundidades através do aumento de sua espessura, os risers 
rígidos vem sendo empregado com sucesso em águas ultra profundas. 
 
 
Figura 1: Riser rígido (à esquerda) e riser flexível (à direita). 
 
 
 
5 
 
Configurações típicas dos risers de produção estão apresentadas na Figura 2: 
Catenária Livre (a): Trata-se da configuração mais simples possível. O riser se 
estende livremente até o fundo assumindo uma configuração de catenária. Como não há 
a presença de flutuadores para aliviar o peso, podem existir grandes esforços na 
conexão entre o riser e o sistema flutuante. 
Lazy-S e Steep-S (b e c): Estas configurações apresentam um arco sustentado 
por flutuadores que aliviam o peso do riser e contribuem para as forças de restauração 
da plataforma no plano horizontal. 
Lazy Wave, Steep Wave e Pliant Wave (d, e, f): Estas configurações apresentam 
comportamento semelhante ao Lazy-S e Steep-S. Entretanto, a instalação dos 
flutuadores é feita diretamente nos riser, o que simplifica a operação. 
 
Figura 2: Configurações aplicáveis a risers de produção. 
 
 
 
6 
 
3 MODELAGEM DO PROBLEMA 
Nesta seção, tem-se a descrição do problema que será atacado pelos algoritmos 
evolutivos PSO e DE, baseando-se na descrição apresentada em Pina (2009). Ambos os 
algoritmos foram implementados no software ProgOtim desenvolvido no Laboratório 
de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore – LAMCSO (COPPE-UFRJ). O 
programa permite dois tipos de análises. A primeira é baseada na análise dinâmica não-
linear no domínio do tempo de Elementos Finitos (EF). Já a segunda se baseia num 
método de solução analítico de catenária. Embora esta última seja demasiadamente 
simples para ser aplicada a um projeto real de riser, ela é extremamente rápida se 
comparada a análise baseada em EF. Isso permite que várias combinações dos 
parâmetros dos EAs (algoritmos evolutivos, do inglês, evolutionary algorithms) possam 
ser analisadas, o que não seria viável utilizando o método numérico devido à restrição 
de tempo ou capacidade de processamento. Considerando ainda que é necessário a 
realização de um grande número de experimentos para garantir a confiabilidade 
estatística dos resultados e que uma das principais propostas deste trabalho é comparar 
o desempenho dos EAs (e não prosseguir com um projeto de riser), a análise baseada 
em solução analítica se mostra a melhor opção. 
 
 
 
7 
 
3.1 Variáveis de Projeto 
As variáveis de projeto presentes no problema de otimização estão apresentadas 
na Figura 3. 
 
Figura 3: Variáveis de projeto no problema do riser em configuração lazy-wave. 
Onde: 
L1: Comprimento do segmento superior do riser. 
L2: Comprimento do segmento com flutuadores distribuídos. 
L3: Comprimento do segmento inferior do riser. 
α: Ângulo de topo, isto é, o ângulo entre o riser e o eixo vertical na conexão 
com o sistema flutuante em equilíbrio. 
z: Profundidade da conexão entre o riser e o sistema flutuante em equilíbrio. 
P: Projeção do riser no plano horizontal. 
Lf: Comprimento do flutuador. 
HDf: Diâmetro do flutuador. 
Esp: Espaçamento entre flutuadores. 
Vieira (2008) mostrou que os parâmetros necessários para a análise se reduzem 
a: L1, L2, L3, HDf, Lf, e Esp. Isso ocorre porque z e P são determinados pelo sistema 
flutuante enquanto o ângulo α depende da projeção P e do comprimento total (L1 + L2 
+ L3). Assim, as variáveis livres se reduzem às 6 explicitadas anteriormente. Vale notar 
que o número de flutuadores não é fixo, ele depende do comprimento do segmento dos 
flutuadores (L2), o comprimento dos flutuadores (Lf) e o espaçamento entre os 
mesmos (Esp). 
 
 
 
8 
 
3.2 Restrições de projeto 
As restrições de projeto incorporam os limites geométricos e estruturais do riser 
ao problema de otimização. Elas são verificadas através do método de solução analítico 
de catenária e estão listados a seguir: 
▪ A tensão equivalente de Von Mises não deve superar a tensão permitida 
para garantir que o riser opere no regime elástico de deformação. 
▪ O ângulo máximo entre o riser e o eixo vertical da conexão com a 
plataforma não deve ultrapassar um valor de segurança. 
▪ Há uma variação máxima permitida do ângulo de built-in, medida no 
topo do eixo do riser, entre as configurações de equilíbrio estático (sem 
cargas ambientais) e instantâneas. 
▪ Tensão máxima no topo do riser. 
▪ Tensão mínima na parte inferior do riser, que evite o encurvamento e 
colapso de uma seção. 
Uma vez que as restrições são especificadas, pode-se optar por penalizar ou 
excluir qualquer solução candidata que as desrespeite. Neste trabalho foi definida uma 
função de penalidade para todas as cinco restrições: 
 
𝑃 = {
𝑘 × (1 − 𝑥3), 𝑠𝑒 𝑥 < 1
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 
 
(
1) 
Onde: 
▪ x é a razão entre o limite da restrição e o valor calculado. 
▪ k é um fator para se admitir soluções que violem as restrições. 
 
 
 
 
9 
 
3.3 Função de Custo 
Raros são os casos em que os projetistas não precisam se preocupar com a 
viabilidade econômica do projeto ou com a escassez de recursos disponíveis para 
executá-lo. Sendo assim, a função de custo é uma forma de medir e comparar o custo 
de diversas soluções a um determinado problema de projeto. Ela faz parte da função 
fitness (função objetivo) que mede a qualidade de uma solução candidata. 
Naturalmente, espera-se que as melhores soluções alcancem todas as restrições de 
projeto com o menor custo possível. 
No caso do riser abordado neste trabalho, a função de custo é descrita por: 
 
𝑓 =
𝑓𝑚𝑖𝑛
(∑ 𝐼𝐶𝑖 × 𝐿𝑖) + (𝑉𝑓𝑙𝑢𝑡 × 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑡)
𝑛
𝑖=1(2) 
 
Onde: 
▪ 𝑓𝑚𝑖𝑛 é o menor custo possível, utilizado para normalizar f no intervalo 
[0,1]. 
▪ 𝐼𝐶𝑖 é o índice de custo associado ao segmento de riser i. 
▪ 𝐿𝑖 é o comprimento do segmento de riser i. 
▪ 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑡 é o volume do flutuador. 
▪ 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑡 é o índice de custo associado ao volume do flutuador. 
 
 
 
 
 
10 
 
3.4 Fitness ou Função Objetivo 
A Função Objetivo, no contexto da otimização, pode ser entendida como a 
função que se deseja maximizar ou minimizar. No contexto dos algoritmos evolutivos, 
mais especificamente, ela também é chamada de fitness (do inglês, “aptidão”). Tal 
termo, como vários outros, foi apropriado do campo da teoria da evolução biológica, a 
qual diz que os indivíduos mais aptos sobrevivem e passam adiante seu material 
genético. Portanto, a função fitness deve englobar todas as variáveis livres pertinentes 
ao problema de otimização para ser capaz de medir a “aptidão” de uma solução e 
explicitar o quão próxima ela está do desejado. 
Deseja-se maximizar o seguinte fitness para o problema de otimização do riser: 
 
F = 100 × [
𝑓
1,0 + ∑𝑃𝑗
] 
(3) 
 
Onde: 
▪ 𝑃𝑗 corresponde a penalidade relativa a violação do j-ésimo critério de 
restrição de projeto. 
▪ 𝑓 é a função de custo (Equação 2). 
▪ O fator 100 é usado como fator de escala. 
 
 
 
11 
 
4 ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO 
EVOLUTIVOS 
4.1 Introdução 
De modo geral, o processo de otimização é a busca pela melhor solução 
possível dado um conjunto de critérios e restrições de um determinado problema. A 
busca tem como objetivo encontrar o ponto ótimo da função que modela o problema, o 
qual pode ser mínimo ou máximo, dependendo do contexto do mesmo. Esse ponto, ou 
apenas uma boa aproximação dele, é alvo de interesse nos mais diversos campos de 
estudo desde a engenharia de projetos até a tomada de decisões gerenciais em 
investimentos de longo prazo. 
 Se a função de interesse puder ser descrita matematicamente por uma função 
contínua e diferenciável, o ponto ótimo pode ser encontrado analiticamente calculando-
se os pontos críticos da função. Entretanto, é mais comum que a função a ser otimizada 
seja descontínua ou não possa ser descrita matematicamente. Nesse caso, pode-se 
utilizar a otimização numérica, a qual consiste em iterações e aproximações sucessivas 
em busca do ponto ótimo no espaço de solução (ALBRECHT 2005). 
Os Algoritmos Evolutivos (EA, do inglês Evolutionary Algorithms) se 
enquadram na otimização numérica e apresentam características importantes que os 
diferenciam de outros métodos. Primeiramente, como o próprio nome sugere, os EAs se 
inspiram em comportamentos e processos de evolução observados na natureza como, 
reprodução, mutação, recombinação, movimento de enxames, e seleção natural (AL-
SALAMI 2009). Esses comportamentos e processos, ao serem implementados 
computacionalmente, incorporam elementos de aleatoriedade ao código evitando a 
convergência prematura para máximos e mínimos locais. Por esse motivo, os EAs 
também são conhecidos como métodos de otimização estocástica. Outra característica 
marcante, é o uso de uma população de indivíduos os quais são avaliados de acordo 
com uma função de qualidade (fitness) e modificados sucessivamente. Os indivíduos de 
melhor qualidade são registrados e interagem com o restante da população transmitindo 
as características que contribuem para boas soluções. O teste intensivo dos diversos 
candidatos é uma ferramenta útil na solução de problemas não estruturados já que, a 
 
 
 
12 
 
primeira vista, não se conhece uma metodologia para encontrar uma boa solução e, 
muito menos, o formato da mesma. No entanto, a qualidade de todos os indivíduos 
pode ser avaliada pela função objetivo e uma boa solução pode ser facilmente 
identificada (LUKE 2013). 
As características acima fazem com que EAs sejam indicados para problemas 
complexos ainda não resolvidos por outras técnicas computacionais. Eles podem ser 
implementados em poucas linhas de código e são facilmente adaptáveis a problemas de 
diversas áreas (GABRIEL 2008). Vale ressaltar, no entanto, que não há a garantia de 
uma solução ótima em um intervalo finito de tempo e são necessários ajustes de 
parâmetros e elevado gasto computacional para o seu efetivo funcionamento. (AL-
SALAMI 2009). 
 
 
 
 
13 
 
4.2 Enxame de Partículas 
O conceito de otimização pelo Método de Enxame de Partículas (PSO, do inglês 
Particle Swarm Optimization) foi proposto por Kennedy e Eberhart em 1995. 
Inicialmente, o interesse era simular comportamentos sociais como visto em enxames, 
cardumes e bandos de pássaros (KENNEDY e RUSSEL 1995). No entanto, não 
demorou até que seu potencial para aplicação em otimização fosse reconhecido. 
4.2.1 Algoritmo Básico 
Como é comum em Algoritmos Evolutivos, o PSO se inicia com uma população 
aleatória de indivíduos (partículas). Em seguida a trajetória de cada partícula evolui 
após cada iteração de acordo com sua velocidade atual, sua própria experiência 
(componente cognitiva) e o progresso das outras partículas da população (componente 
social). Desse modo, pode-se distinguir 3 etapas básicas em um algoritmo PSO: i) 
geração de uma população aleatória onde cada indivíduo possuí uma posição e 
velocidade; ii) atualização das velocidades; e iii) atualização das posições 
(MONTEIRO, ALBRECHT e JACOB 2011) . 
Cada partícula é representada por três vetores de dimensão N igual ao espaço de 
busca. Eles são: a posição atual - 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗, a melhor posição já visitada - 𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ e a velocidade -
𝒗𝒊⃗⃗ ⃗. Após cada iteração, os vetores 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗ e 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗ são atualizados e o mesmo ocorre com o 
vetor 𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ se tal posição for melhor que todas as posições visitadas anteriormente. Desse 
modo, a tendência é que o vetor 𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ seja melhorado progressivamente. A melhor 
posição visitada por qualquer uma das partículas também é armazenada em um vetor 
𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ para futuras comparações (Pina 2009) 
O “voo” de uma partícula é expresso da seguinte forma: 
 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡 + 1) = 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡) + 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡 + 1) × ∆𝑡 (4) 
Onde: 
▪ 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡 + 1) é a posição futura da partícula; 
▪ 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡) é a posição atual da partícula; 
▪ 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡 + 1) é a velocidade atualizada da partícula. 
▪ ∆𝑡 é a variação temporal unitária 
 
 
 
14 
 
 
 Ou seja, a posição futura da partícula é dada pela soma dos vetores posição atual 
e velocidade. O algoritmo trabalha ajustando 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗ o qual pode ser encarado como um 
tamanho de passo (POLI, KENNEDY e BLACKWELL 2007). O ajuste ocorre 
conforme a seguinte equação: 
 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡 + 1) =
𝐶1
∆𝑡
∗ 𝑟𝑛𝑑 (𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕)) +
𝐶2
∆𝑡
∗ 𝑟𝑛𝑑(𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝑡)) + ω[𝒗𝒊⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑡)] (5) 
 Onde: 
▪ 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕 + 𝟏) é a velocidade atualizada; 
▪ 𝐶1 é o coeficiente para o controle da componente social; 
▪ 𝐶2 é o coeficiente para o controle da componente cognitiva; 
▪ 𝑟𝑛𝑑 é um número aleatório entre 0 e 1, segundo uma distribuição uniforme; 
▪ (𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕)) é o termo de aceleração pela distância em relação a melhor 
posição já visitada por qualquer partícula; 
▪ (𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕)) é o termo de aceleração pela distância em relação a melhor 
posição já visitada pela própria partícula; 
▪ ω é o parâmetro de peso de inércia; 
▪ 𝒗𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕) é velocidade a ser atualizada. 
A primeira parcela a direita da equação representa a componente social, já que 
modela a interação entre um indivíduo do enxame e os demais. Já a segunda parcela 
representa a componente cognitiva por envolver a melhor posição visitada 
anteriormente pelo indivíduo.Os termos (𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕)) e (𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗ ⃗(𝒕)) são definidos 
como aceleração pela distância (KENNEDY e RUSSEL 1995), já que modificam a 
velocidade com base na distância entre a melhor posição já visitada por todas as 
partículas e a melhor posição visitada pela própria partícula, respectivamente. Esses 
termos são multiplicados por uma amostra rnd de distribuição aleatória uniforme de 
intervalo [0,1] gerada em cada iteração, conferindo o caráter de otimização estocástica 
do algoritmo. 
O coeficiente C1 e C2 são parâmetros que controlam o grau de influência das 
componentes social e cognitivas na variação da velocidade, respectivamente. Esses 
parâmetros são importantes para a obtenção de bons resultados e devem ser calibrados 
de acordo com o problema a ser resolvido. 
 
 
 
15 
 
A última parcela à direita da equação (5) incorpora a inércia da partícula através 
do parâmetro peso de inércia (ω). Seu objetivo é ajustar o balanço entre busca global e 
local (SHI e EBERHART 1998). 
A velocidade máxima (�⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙) possível é limitada com base nos limites 
inferiores (�⃗⃗� 𝒎𝒊𝒏) e superiores (�⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙) que podem ser alcançados pela partícula no 
espaço de solução. Isso evita que a velocidade cresça indefinidamente (EBERHART e 
KENNEDY 1995). Desse modo: 
 �⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙 = �⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙 − �⃗⃗� 𝒎𝒊𝒏 (6) 
 
Assim, as etapas básicas de execução do PSO podem ser escritas da seguinte 
forma (ALBRECHT 2005) (PINA 2010). 
 
Início 
 Inicializa a população aleatória inicial P (posição e velocidade) 
 Avalia todas as partículas 
 Atualiza 𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ 
 Repita 
 Atualiza velocidades 
 Atualiza posições 
 Avalia indivíduos 
 Atualiza 𝒑𝒈⃗⃗ ⃗⃗ e 𝒑𝒊⃗⃗ ⃗ 
 Até que o critério de parada seja satisfeito 
 Fim 
 
 Diversas modificações foram feitas no algoritmo básico PSO ao longo dos 
últimos anos com o objetivo de melhorar seu desempenho. A seguir serão apresentadas 
as modificações utilizadas nesse trabalho através do software ProgOtim desenvolvido 
no Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore - LAMCSO. 
4.2.2 Variação do Coeficiente de Inércia (ω) 
Normalmente, o PSO apresenta rápida convergência nas primeiras iterações mas 
demonstra estagnação nas iterações finais. O coeficiente de inércia ω possui grande 
 
 
 
16 
 
influência sobre esse comportamento. Maiores valores de ω contribuem para uma busca 
global e para a exploração de novas áreas do espaço de solução, enquanto valores 
menores ω favorecem a busca local, o que é interessante quando as partículas estão 
próximas de uma boa solução. 
Assim, pesquisadores propuseram um ω variável em detrimento do ω constante. 
Eberhart e Shi (2000) sugeriram um coeficiente de inércia que varie linearmente ao 
longo das iterações: 
 𝜔 (𝑡) = 𝜔 0
(𝑁 − 𝑡)
𝑡
 (7) 
 
 
 Onde: 
▪ 𝜔 0 é o peso de inércia inicial; 
▪ N é o número máximo de iterações; 
▪ t é a iteração atual. 
 Com o intuito de melhorar ainda mais o desempenho nas iterações finais, 
Chatterjee e Siarry (2006) utilizaram uma variação não linear para a adaptação de 𝜔: 
 
 𝜔 (𝑡) = [
(𝑁 − 𝑡)𝑛
𝑁𝑛
] (𝜔𝑖𝑛𝑖 − 𝜔𝑓𝑖𝑛) + 𝜔𝑓𝑖𝑛 (8) 
Onde: 
▪ n é o expoente de não linearidade; 
▪ 𝜔𝑖𝑛𝑖 é o peso de inércia inicial; 
▪ 𝜔𝑓𝑖𝑛 é o peso de inércia final. 
Uma versão alternativa foi implementada no ProgOtim: 
 𝜔 (𝑡) = 𝜔0 [1 −
(𝑡 − 1)𝑛
𝑁𝑛
] (9) 
 
Onde: 
▪ n é o expoente de não linearidade; 
▪ 𝜔 0 é o peso de inércia inicial. 
 
 
 
17 
 
4.2.3 Variação dos parâmetros social (C1) e cognitivo (C2) 
Ratnaweera, Halgamuge e Watson (2004) estenderam a ideia de variação linear 
ao longo das iterações também para os parâmetros C1 e C2 para se beneficiar de uma 
busca global nas iterações iniciais e uma busca local nas finais: 
 
 𝐶1(𝑡) = (𝐶1𝑓𝑖𝑛−𝐶1𝑖𝑛𝑖)
𝑡
𝑁
+ 𝐶1𝑖𝑛𝑖 (10) 
 𝐶2(𝑡) = (𝐶2𝑓𝑖𝑛−𝐶2𝑖𝑛𝑖)
𝑡
𝑁
+ 𝐶2𝑖𝑛𝑖 (11) 
Onde: 
▪ Ciini é o valor inicial de Ci ; 
▪ Cifin é o valor final de Ci. 
 
 
 
18 
 
4.3 Evolução Diferencial 
O algoritmo de Evolução Diferencial (DE, do inglês Differential Evolution) 
realiza uma otimização estocástica implementando processos naturais observados na 
evolução biológica como seleção por aptidão, mutação e cruzamento. O DE, proposto 
por Storn e Price (1995), opera de forma similar aos demais algoritmos evolutivos. No 
entanto, diferentemente de EAs tradicionais, DE perturba os indivíduos de sua 
população utilizando uma diferença escalada entre membros aleatórios da mesma. 
Portanto, não há a necessidade de uma função de probabilidade utilizada especialmente 
para gerar os descendentes. Nas últimas décadas o DE ganhou uma popularidade 
expressiva na comunidade científica devido sua simplicidade de implementação, 
flexibilidade e bom desempenho quando aplicado a problemas de difícil otimização 
(CHENG e HWANG 2002). 
O algoritmo DE pode ser dividido em 4 etapas básicas (DAS e SUGANTHAN 
2011): i) Inicialização dos vetores; ii) Mutação baseada entre diferenças entre os 
vetores; iii) Recombinação (Crossover) e iv) Seleção. 
4.3.1 Inicialização dos vetores 
O DE se inicia com uma população aleatória de NP indivíduos representados na 
forma de vetores, cada um sendo uma solução multidimensional para o problema de 
otimização. Cada vetor possui dimensão D e as variáveis que os compõem representam 
as características do problema a ser modelado. As gerações são denotadas por G=0, 1, 
..., Gmax. Como os vetores podem sofrer mudanças ao longo das gerações usa-se a 
seguinte notação para representá-los: 
 �⃗⃗� 𝑖,𝐺 = [𝑥1,𝑖,𝐺 , 𝑥2,𝑖,𝐺 , … , 𝑥𝐷,𝑖,𝐺] (12) 
 
Onde: 
▪ �⃗⃗� 𝑖,𝐺 é o i-ésimo vetor da população da geração G. 
As componentes de cada vetor representando um indivíduo podem ainda serem 
restringidas por limites inferiores e superiores, para representar aspectos físicos do 
problema (por exemplo: grandezas como massa e comprimento não podem assumir 
valores negativos). Os limites são estabelecidos da seguinte forma (PAIVA 2011): 
 
 
 
19 
 
 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛 + 𝑟𝑛𝑑𝑗,𝑖 × (𝑥𝑗,𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛) (13) 
 
 
Onde: 
▪ 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 é a componente j do indivíduo i na geração G; 
▪ 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛 é o menor valor que pode ser assumido pela componente j; 
▪ 𝑥𝑗,𝑚𝑎𝑥 é o maior valor que pode ser assumido pela componente j; 
▪ 𝑟𝑛𝑑𝑗,𝑖 é um número aleatório entre 0 e 1, segundo uma distribuição 
uniforme. 
4.3.2 Mutação com a Diferença Entre Vetores 
No campo da biologia, mutação significa uma mudança no material genético de 
um organismo. No contexto dos Algoritmos Evolutivos, a mutação é representada 
como uma perturbação envolvendo um elemento aleatório. O algoritmo DE básico 
utiliza três vetores para realizar a mutação (DAS e SUGANTHAN 2011): 
▪ Vetor Alvo: é o indivíduo da geração atual que será o pai para a próxima 
geração; 
▪ Vetor Doador: é o indivíduo obtido pela operação de mutação por diferença; 
▪ Vetor Teste: é o descendente da combinação entre os vetores Alvo e 
Doador. 
O DE cria um Vetor Doador para cada indivíduo (Vetor Alvo) da população 
atual usando três outros vetores, �⃗⃗� 𝒓𝟏𝒊
, �⃗⃗� 𝒓𝟐𝒊
 e �⃗⃗� 𝒓𝟑𝒊 
. Os índices 𝑟1
𝑖 , 𝑟2
𝑖 e 𝑟3
𝑖 são números 
inteiros mutualmente excludentes obtidos aleatoriamente do intervalo [1, NP]. Eles 
também são diferentes do vetor base i. Em seguida, a diferença entre quaisquer dois 
vetores dos três escolhidos é multiplicada por um fator de perturbação (F), 
normalmente pertencente ao intervalo [0,4;1,0]. Essa diferença é somada ao terceiro 
vetor obtendo-se o Vetor Doador (DAS eSUGANTHAN 2011): 
 �⃗⃗� 𝑖,𝐺 = �⃗⃗� 𝑟1𝑖 ,𝐺 + 𝐹 × (�⃗⃗� 𝑟2𝑖 ,𝐺 − �⃗⃗� 𝑟3𝑖 ,𝐺) 
(14) 
 
Onde: 
 
 
 
20 
 
▪ �⃗⃗� 𝒊,𝑮 é o i-ésimo Vetor Doador obtido de outros 3 vetores aleatórios na geração 
G; 
▪ �⃗⃗� 𝒓𝟏𝒊 ,𝑮
 é o vetor aleatório 1 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na 
geração G; 
▪ �⃗⃗� 𝒓𝟐𝒊 ,𝑮
 é o vetor aleatório 2 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na 
geração G; 
▪ �⃗⃗� 𝒓𝟑𝒊 ,𝑮
 é o vetor aleatório 3 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na 
geração G; 
▪ 𝐹 é o fator de perturbação, normalmente escolhido entre [0,4;1,0], ou seja, real e 
constante. 
4.3.3 “Crossover” 
Para aprimorar a diversidade da população, Storn e Price (1995) propuseram a 
operação de crossover. Tal processo é bem conhecido na biologia e consiste na troca de 
material genético entre dois cromossomos para aumentar a diversidade dos 
descendentes. O objetivo da operação é gerar o Vetor Teste (�⃗⃗� 𝒊.𝑮) resultante da 
combinação entre os vetores Doador e Alvo. 
 �⃗⃗� 𝒊.𝐺 = [𝑢1,𝑖,𝐺 , 𝑢2,𝑖,𝐺 , … , 𝑢𝐷,𝑖,𝐺] (15) 
 
O crossover pode ocorrer principalmente de duas formas, exponencial ou 
binomial (implementado no ProgOtim). No caso exponencial, são escolhidos dois 
números inteiros para delimitar a faixa de troca de componentes entre o Vetor Alvo e o 
Doador. O primeiro é o número inteiro n pertencente ao intervalo [1; D] e define o 
ponto de partida para o crossover. O segundo é o inteiro L, também pertencente ao 
intervalo [1; D], que estipula quantas componentes o Vetor Doador irá compartilhar 
com o Vetor Alvo. Com n e L definidos, as componentes do Vetor Teste são obtidas da 
seguinte maneira: (PRICE, STORN e LAMPINEN 2006). 
 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑣𝑗,𝑖,𝐺; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 𝑛, (𝑛 + 1),… , (𝑛 + 𝐿 − 1) (16) 
 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑗 ∈ [1, 𝐷] (17) 
Onde: 
▪ 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Teste na geração G; 
 
 
 
21 
 
▪ 𝑣𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Doador na geração G; 
▪ 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Alvo na geração G. 
O inteiro L que limita o número de componentes a sofrerem crossover é obtido 
segundo o seguinte pseudo-código: 
L = 0; DO 
{ 
L = L + 1; 
} WHILE ((rnd(0, 1) ≤ Cr) AND (L ≤ D)) 
Portanto, a operação de crossover depende fortemente do fator Cr, denominado 
taxa de crossover. Cr é um parâmetro a ser ajustado no algoritmo DE, assim como o 
fator de perturbação F. 
No caso do cruzamento binomial todas as componentes são analisadas. A troca 
entre as componentes dos Vetores Doador e Alvo é feita se Cr for maior que um 
número gerado aleatoriamente entre 0 e 1 (PAIVA 2011). Ou seja: 
 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑣𝑗,𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑟𝑛𝑑(0,1) ≤ 𝐶𝑟, 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑜𝑎𝑑𝑜𝑟 
(18) 
 
 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑟𝑛𝑑(0,1) ≥ 𝐶𝑟, 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐴𝑙𝑣𝑜 
(19) 
Onde: 
▪ 𝑟𝑛𝑑(0,1) é um valor aleatório entre 0 e 1, novo para cada componente 
analisada; 
▪ Cr é a taxa de crossover 
4.3.4 Seleção 
Por fim, a função objetivo é calculada para os Vetores Teste e Alvo para que o 
melhor seja selecionado e ocupe um lugar na próxima geração. O menos apto é 
eliminado já que o número de indivíduos deve ser constante. (CHENG e HWANG 
2002). A operação de seleção é feita da seguinte forma: 
 �⃗⃗� 𝑖,𝐺+1 = �⃗⃗� 𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑓(�⃗⃗� 𝑖,𝐺) ≥ 𝑓(�⃗⃗� 𝑖,𝐺) (20) 
 �⃗⃗� 𝑖,𝐺+1 = �⃗⃗� 𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑓(�⃗⃗� 𝑖,𝐺) ≤ 𝑓(�⃗⃗� 𝑖,𝐺) (21) 
Onde: 
 
 
 
22 
 
▪ 𝑓(�⃗⃗� ) é a função objetivo a ser otimizada (minimizada no exemplo acima). 
Portanto, a população tende a melhorar ou permanecer com o mesmo fitness e 
os descendentes nunca serão piores em termos de qualidade da função objetivo se 
comparados aos pais. 
 
 
 
23 
 
5 ESTUDO DE CASO 
Com o objetivo de realizar uma comparação de desempenho entre os algoritmos 
DE e PSO, efetuou-se uma análise paramétrica sistemática para encontrar uma 
combinação de parâmetros que retorne bons resultados da função objetivo. Essa análise 
foi feita em cima do problema definido na seção 5.1. Ele consistiu basicamente em 
executar experimentos nos quais variou-se um determinado parâmetro mantendo-se os 
demais constantes de modo a verificar seu impacto na qualidade dos resultados. O 
passo de variação adotado foi 0,1 e cada experimento foi rodado 30 vezes para garantir 
robustez estatística. 
 A qualidade de cada experimento foi medida com base na média dos fitness 
médios populacionais, calculada com base nas 30 rodadas (nesta seção, a média dos 30 
fitness médios populacionais será referenciada somente como fitness médio por 
simplicidade). Também foi analisada a média dos desvios padrões calculados para cada 
uma das 30 rodadas (referenciada somente como desvio padrão). 
O procedimento foi realizado para cada parâmetro individualmente, além disso, 
combinações propostas por outros autores também foram testadas. Os experimentos 
admitiram um número máximo de 50 gerações o qual assegurou a convergência de 
ambos os algoritmos. 
 
 
 
 
24 
 
5.1 Definição do Problema 
Um estudo de caso foi proposto com o objetivo de comparar as melhores 
soluções e convergência dos algoritmos DE e PSO. A configuração de riser “Lazy 
Wave” será otimizada para uma profundidade de 1290 metros e uma projeção 
horizontal de 2000 metros. As propriedades físicas e geométricas do mesmo se 
encontram na Tabela 1 a seguir. As Tabela 2 Tabela 3 apresentam os intervalos das seis 
variáveis livres e as restrições admitidas, respectivamente. O segmento com flutuadores 
possui uma razão de custo (C2/C1) igual a 2, o que significa que seu custo supera em 
duas vezes o do riser convencional. 
Tabela 1: Propriedades físicas e geométricas do Riser. 
MATERIAL 
Densidade 7800 kg/m3 
Peso Específico 77 kN/m3 
Limite de Escoamento 413 MPa 
Tensão Admissível 277 MPa 
Módulo de Elasticidade 207800 MPa 
Razão de Custo C2/C1 2.0 
GEOMETRIA 
Espessura 0.01985 m 
Diâmetro Externo 0.21908 m 
Diâmetro Interno 0.18098 m 
Peso do Flutuador 0.162 ton/m 
Flutuabilidade do Flutuador 0.3175 ton/m 
Diâmetro Externo do Flutuador 0.568 m 
 
Tabela 2:Intervalo das variáveis livres. 
VARIÁVEIS LIVRES MIN(m) MAX(m) 
Segmento de Riser (L1) 800 2000 
Segmento de Riser (L2) 400 800 
Segmento de Riser (L3) 800 2000 
Diâmetro do Flutuador (HDf) 1.2 3 
Comprimento do Flutuador(Lf) 0.8 3 
Espaçamento entre Flutuadores 
(Esp) 
0.5 3 
 
Tabela 3: Restrições. 
RESTRIÇÕES VALOR 
Tensão de Von Mises 415.5 MPa 
Angulo de Topo Máximo 18º 
Angulo de Topo Mínimo 5º 
Variação de ângulo Built-in 5º 
Tração Máxima no Topo 1000 kN 
Tração Mínima 300 kN 
 
 
 
 
25 
 
5.2 Escolha da População 
A escolha da população deve ser feita com base em um balanço entre custo 
computacional e qualidade das soluções. Além disso, para fins de comparação, o 
mesmo número de indivíduos deve ser utilizado nos experimentos com DE e PSO, já 
que populações maiores implicam em um maior número de candidatos à solução 
objetivo e, portanto, uma probabilidade maior de se encontrar boas soluções. Assim, 
experimentos foram realizados variando-se a população com incrementos de 10 ou 5 
indivíduos para o PSO e para o DE com o intuito de identificar o ponto em que o 
aumento de esforço computacional não melhora significativamente o fitness médio. 
Para isso, foram utilizadas combinações default, sendo [C1 = C2 1,7 e ω = 0,6] para o 
PSO e [Cr=0,2 e F = 0,8] para o DE (TRELEA 2002) (PEDERSEN 2010). Omesmo 
PC foi utilizado em ambos os casos para garantir a igualdade de capacidade de 
processamento entre DE e PSO. Os resultados estão representados na Tabela 4 e Tabela 
5 a seguir. Elas foram utilizadas para plotar os gráficos da Figura 4 e Figura 5 abaixo. 
 
Figura 4: Fitness médio vs Número de Indivíduos (PSO) 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
49
49,5
50
50,5
51
51,5
52
52,5
Número de Indivíduos
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio vs N. de Indivíduos (PSO)
 
 
 
26 
 
Tabela 4: Fitness médio e tempo de execução em função do número de indivíduos para 
o PSO. 
População Fitness Médio Tempo de Execução (hh:mm) 
20 49,435 02:05 
30 51,431 03:04 
40 51,594 05:39 
50 51,529 06:40 
60 51,703 06:09 
70 51,735 07:39 
80 51,263 09:45 
90 51,989 10:48 
 
 
Figura 5: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (PSO). 
Tabela 5: Fitness médio para e tempo de execução em função do número de indivíduos 
para o DE. 
População Fitness Médio Tempo de execução (h) 
5 49,748 00:26:55 
10 53,455 00:48:42 
15 53,944 01:14:48 
20 53,999 01:59:18 
30 54,007 02:45:40 
40 54,032 03:30:23 
 
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T
em
p
o
 d
e 
E
x
ec
u
çã
o
 (
h
)
Número de Indivíduos
Tempo de Execução vs N. de Indivíduos (PSO)
 
 
 
27 
 
 
Figura 6: Fitness Médio versus Número de Indivíduos (DE). 
 
Figura 7: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (DE). 
Como se pode perceber das Tabelas e Figura 6, o PSO atinge a convergência 
para 30 indivíduos enquanto o DE converge em torno de 15 indivíduos. Portanto a 
população escolhida para comparar os dois algoritmos foi de 30 indivíduos. 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
49
50
51
52
53
54
55
Número de Indivíduos
F
it
n
es
s
M
éd
io
Fitness Médio vs N. de Indivíduos (DE)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Número de Indivíduos
T
em
p
o
 d
e 
E
x
ec
u
çã
o
 (
h
)
Tempo de Execução vs N. de Indivíduos
 
 
 
28 
 
5.3 Análise paramétrica PSO 
O algoritmo PSO possui parâmetros que controlam sua capacidade de busca 
local, global e de interação entre os indivíduos que compõem o enxame. Desse modo, a 
qualidade dos resultados depende fortemente da seleção dos parâmetros que controlam 
os algoritmos. 
Os parâmetros analisados foram apresentados na seção 4.2. O incremento 
utilizado na variação de todos os parâmetros foi de 0,1 enquanto um parâmetro era 
variado os demais eram mantidos constantes segundo uma combinação default sugerida 
por Trelea (2002): C1 = C2 1,7 e ω = 0,6. 
 C1 e C2 variaram de 1 a 2; variou-se o coeficiente de inércia ω de 0,3 a 0 1,2 
para seu comportamento fixo; ω0 variou de 0,3 a 1,2 para o caso linear e de 0,3 a 1,2 
para o não linear. O expoente n utilizado na variação não linear de ω também foi 
analisado para um intervalo de 0,6 a 1,8 (adotou-se um intervalo maior para esse 
parâmetro devido ao comportamento instável do fitness médio em função do mesmo). 
Por fim, testou-se combinações de C1 e C2 com pelo menos um deles variando 
linearmente: C1=1,7 e C2 de 1 a 2; C1 de 1 a 2 e C2 = 1,7; C1 de 1 a 2 e C2 de 2 a 1; 
C1 de 2 a 1 e C2 de 1 a 2; C1 de 1 a 2,5 e C2 de 2,5 a 1. 
Os experimentos estão resumidos na Tabela 6 seguir. Nela, o conjunto {i a j} 
representa todas as combinações possíveis para o incremento de 0,1. Por exemplo: {1 a 
2} = {1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0}. Já a representação i : j (linear) 
significam que um único experimento foi feito, no qual os coeficientes C1 e C2 são 
variados linearmente de i a j. 
 
 
 
29 
 
Tabela 6: Resumo dos experimentos realizados com o PSO. 
Número de 
Indivíduos 30 
 
Número de 
Gerações 50 
 
Incremento 0,1 
 
Experimento C1 C2 ω (fixo) 
ω0 
(variação 
Linear) 
ω0 
(variação 
não 
linear) n 
1 {1 a 2} 1,7 0,6 n/a n/a n/a 
2 1,7 {1 a 2} 0,6 n/a n/a n/a 
3 1,7 1,7 {0,3 a 1,2} n/a n/a n/a 
4 1,7 1,7 n/a {0,3 a 1,2} n/a n/a 
5 1,7 1,7 n/a n/a 
{0,3 a 
1,2} 1,2 
6 1,7 1,7 n/a n/a 0,6 
{0,5 a 
1,8} 
7 2 : 1 (linear) 1,7 0,6 n/a n/a n/a 
8 1,7 
1 : 2 
(linear) 0,6 n/a n/a n/a 
9 2 : 1 (linear) 
1 : 2 
(linear) 0,6 n/a n/a n/a 
10 1 : 2 (linear) 
2 : 1 
(linear) 0,6 n/a n/a n/a 
11 
2,5 : 0,5 
(linear) 
0,5 : 2,5 
(linear) 0,6 n/a n/a n/a 
Os resultados estão plotados a seguir. A Figura 8 mostra a relação entre C1 e C2 
(fixos), o fitness médio e o desvio padrão. A Figura 9 demonstra a influência dos 
coeficientes de inercia fixo, linear e não linear sobre as médias da função objetivo e 
desvio padrão. O mesmo foi feito na Figura 10 para o coeficiente n, utilizado na 
variação não linear do coeficiente de inércia. Finalmente, na Figura 11 pode-se 
visualizar as combinações de C1 e C2 não lineares e seus respectivos fitness médio e 
desvio padrão. 
 
 
 
 
30 
 
 
Figura 8: Fitness médio e desvio padrão em função de C1 e C2. 
 
Na Figura 8 pode-se perceber um comportamento inversamente proporcional 
entre fitness médio e o desvio padrão. Este último apresentou leves variações em torno 
de 8. Além disso vemos uma tendência de diminuição fitness médio com o aumento dos 
coeficientes C1 e C2, sendo que os maiores fitness médios obtidos ocorreram para os 
pontos [C1 = 1,2; fitness médio = 51,249] e [C2 = 1,1; fitness médio = 51,520]. 
 
Figura 9: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0 (linear) e ω0 (não 
linear). 
Da Figura 9, pode-se inferir que o aumento do coeficiente de inércia (ω) tem um 
impacto negativo expressivo sobre o fitness médio. O mesmo não ocorre para ω0 
(linear) o qual demonstra uma melhora inicial em torno de 0,5, seguido por uma queda 
e recuperação somente em 1,1. Já ω0 (não linear), apresentou uma oscilação no 
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
40,00
42,00
44,00
46,00
48,00
50,00
52,00
54,00
1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2
C2 C1 STD médio C2 STD médio C1
0
5
10
15
20
25
30
37
39
41
43
45
47
49
51
53
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0 
(linear) e ω0 (não linear)
ω (fixo) ω0 (linear) ω0 (não linear)
STD médio ω STD médio ω0 (linear) STD médio (não linear)
 
 
 
31 
 
intervalo estudado em torno de um fitness médio igual a 51. O desvio padrão médio de 
ω aumentou significativamente para maiores valores do coeficiente de inércia enquanto 
os demais se mantiveram quase constantes em torno de 7. Os maiores valores de fitness 
médio ocorreram para os pontos [ω= 0,3; fitness médio = 51,764], [ω0 (linear) = 0,5; 
fitness médio = 51,555] e [ω0 (não linear) = 0,5; fitness médio = 51,865]. 
Na Figura 10 a seguir, pode-se visualizar o comportamento do fitness médio em 
função do coeficiente n. 
 
Figura 10: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente n. 
Como mostra Figura 10, o aumento coeficiente n tem um comportamento 
oscilatório sobre a Média da Função Objetivo, apresentando resultados de fitness médio 
que oscilam em torno de 51,5. O desvio padrão médio, entretanto, se manteve 
relativamente constante com o aumento de n. O maior fitness médio observado ocorreu 
no ponto [n = 1,5; fitness médio = 52,223]. 
Na Figura 11, estãorepresentadas as combinações com C1 e C2 variando 
linearmente. 
0
5
10
15
20
25
30
48
48,5
49
49,5
50
50,5
51
51,5
52
52,5
0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente 
n
Coeficiente n STD médio n
 
 
 
32 
 
 
Figura 11: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2 Lineares. 
Espera-se melhores resultados de fitness médio para combinações em que o C1 
inicia-se com grande valor e decaí para valores menores, enquanto C2 inicia-se 
pequeno. Tal comportamento favorece a busca global no início da execução do 
algoritmo e a busca local nas últimas gerações. Essa expectativa foi correspondida já 
que o melhor resultado ocorreu para a combinação de C1 variando linearmente de 2,5 a 
0,5 e C2 de 0,5 a 2,5 a qual retornou um fitness médio de 51,234. O desvio padrão 
médio apresentou pequenas variações em torno de 8. 
Com a análise paramétrica feita, foram realizados experimentos com as 
melhores combinações utilizando os melhores parâmetros encontrados. Elas estão 
resumidas na Tabela 7 abaixo e contemplam as 3 combinações com C1 = 2,5 a 0,5 e 
C2= 0,5 a 2,5 variando linearmente e os coeficientes de inércia estático (ω = 0,3), linear 
(ω0 = 0,5) e não linear (ω0 = 0,5 com n = 1,5). Analogamente, mais três combinações 
foram feitas para combinações de C1 e C2 estáticos e os três tipos de coeficiente de 
inércia. Finalmente, as combinações propostas por Trelea (2002) também foram 
testadas, elas são: [C1 = C2 = 1,7 e 𝜔 = 0,6]; [C1 = C2 = 1,494 e 𝜔 = 0,729]. 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
45
46
47
48
49
50
51
52
C1 de 2,5 a 0,5 e
C2 de 0,5 a 2,5
C1 de 2 a 1 e C2
de 1 a 2
C1 de 2 a 1 e C2
= 1,7
C1 de 1 a 2 e C2
de 2 a 1
C1 = 1,7 e C2 de
1 a 2
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2 
Lineares
C STD médio n
 
 
 
33 
 
Tabela 7: Resumo dos experimentos realizados com os melhores parâmetros obtidos na 
análise paramétrica para o PSO 
Combinação C1 C2 ω 
Tipo de 
Variação 
de ω 
Fitness 
Médio 
Desvio 
Padrão 
1 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,3 estático 51,568 7,047 
2 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,5 linear 49,908 7,1045 
3 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,5 
não linear 
(n=1,5) 50 7,124 
4 1,2 1,1 0,3 estático 49,795 7,181 
5 1,2 1,1 0,5 linear 50,203 7,255 
6 1,2 1,1 0,5 
não linear 
(n=1,5) 51,035 7,342 
7 1,7 1,7 0,6 estático 50,272 8,906 
8 1,494 1,494 0,729 estático 50,210 7,94 
 
 Como pode ser visto na Tabela 7, o maior fitness médio foi obtido para a 
combinação 1. Portanto, esta combinação será utilizada para comparação de 
desempenho com uma combinação do algoritmo DE que passará por um processo 
similar de análise paramétrica. 
 
 
 
34 
 
5.4 Análise Paramétrica DE 
A análise paramétrica para o algoritmo DE também foi realizada com um 
incremento de 0,1 para os coeficientes apresentados na seção 4.3. O intervalo analisado 
para o Fator de Perturbação (F) foi [0,1 a 1] segundo (PAIVA 2011) e para a Taxa de 
Crossover (Cr) foi [0,1 a 1] segundo Storn (1995). 
Para uma população de 30 indivíduos e 50 gerações, foram realizados 4 tipos de 
variação. O primeiro com Cr variando de 0,1 a 1 e F constante igual a 0,8; o segundo 
com F variando de 0,1 a 1 e Cr constante igual a 0,2. Também foi feita uma análise 
com Cr e F variando juntos de 0,2 a 1 e, por fim, variando de maneira inversa da 
seguinte forma: Cr variando de 0,9 a 0,2 enquanto F varia de 0,1 a 0,8. As combinações 
dos experimentos estão resumidas na Tabela 8 a seguir. 
 
Tabela 8: Resumo das combinações dos experimentos realizados para o DE. 
População 30 
 Número máximo de gerações 50 
 
Incremento 0,1 
 Tipo de variação Cr F 
Variação com F constante {0,1 a 1} 0,8 
Variação com Cr constante 0,2 {0,2 a 1} 
Variação Conjunta {0,2 a 1} {0,2 a 1} 
Variação Inversa {0,9 a 0,2} 
{0,1 a 
0,8} 
 
 
A seguir encontram-se os gráficos do fitness médio e do desvio padrão em 
função dos coeficientes Cr e F para as variações com Cr constante, F constante, ambos 
variando de forma conjunta e inversa. 
 
 
 
 
35 
 
 
Figura 12: Fitness médio e Desvio Padrão em Função de Cr e CF. 
Na Figura 12 acima, vemos a tendência do fitness médio em aumentar com o 
aumento de Cr (F mantido constante) e diminuir com o aumento de F (Cr mantido 
constante). O desvio padrão de Cr se comporta de maneira inversamente proporcional 
ao seu fitness médio e um comportamento similar é observado para o desvio padrão de 
F. Os melhores fitness médio ocorreram para os pontos [ Cr = 1 e F = 0,8; fitness 
médio = 53,328 ], no caso da análise de Cr e [Cr = 0,2 e F= 0,2; fitness médio = 
51,770] no caso de F. 
 
 
Figura 13: Fitness Médio e desvio padrão em função de Cr e F Variando Juntos. 
A Figura 13 mostra um leve aumento na média da função objetivo para Cr e F 
variando simultaneamente. O melhor resultado ocorreu para a combinação [Cr = F = 
0,6; fitness médio = 52,805], a partir desse ponto, a média da função objetivo tende a 
piorar com o aumento conjunto de Cr e F. Mais uma vez, o desvio padrão demonstra 
um comportamento inverso em relação ao fitness médio. 
0
2
4
6
8
10
40
42
44
46
48
50
52
54
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
m
éd
io
 
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de Cr e F
Cr F STD médio Cr STD médio F
0
2
4
6
8
10
40
42
44
46
48
50
52
54
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de Cr e F 
Variando Juntos
Cr e F Variando Juntos STD médio Cr e F
 
 
 
36 
 
 
 
Figura 14: Fitness médio e desvio padrão para combinações de Cr e F variando 
inversamente. 
A Figura 14 mostra que pode-se obter bons resultados para valores de Cr e F 
próximos, na faixa de 0,4 a 0,6. No entanto, o melhor fitness médio ocorreu no ponto 
[Cr = 0,8 e F = 0,2; fitness médio = 53,651]. Os menores desvios padrão ocorreram 
para os maiores valores da média da função objetivo. 
Após a análise paramétrica, foram realizados experimentos combinando os 
melhores parâmetros encontrados. Eles estão resumidos na Tabela 9 abaixo e totalizam 
4 combinações. A combinação 1 utiliza os valores de Cr e F resultantes da análise feita 
com um parâmetro variando (Cr ou F) enquanto o outro era mantido constante. A 
combinação 2 foi escolhida com base no tamanho da população e número de avaliações 
da função objetivo, segundo recomendado por Pedersen (2010). As combinações 3 e 4 
resultaram da análise de Cr e F variando inversamente e juntos, respectivamente. 
 
Tabela 9: Resumo das Melhores Combinações para o DE. 
Combinação C F Fitness Médio STD Médio 
1 1,000 0,200 52,336 0,950 
2 0,943 0,661 51,642 1,094 
3 0,800 0,200 53,651 0,040 
4 0,500 0,500 52,808 0,688 
 
Como pode ser visto na Tabela 9, a combinação 3 resultou no melhor fitness 
médio. Assim, essa combinação será utilizada para a comparação de desempenho em 
relação a combinação encontrada para o PSO. 
0
2
4
6
8
10
30
35
40
45
50
55
Cr = 0,9 e
F = 0,1
Cr = 0,8 e
F = 0,2
Cr = 0,7 e
F = 0,3
Cr = 0,6 e
F = 0,4
Cr = 0,5 e
F = 0,5
Cr = 0,4 e
F = 0,6
Cr = 0,3 e
F = 0,7
Cr = 0,2 e
F = 0,8
S
T
D
 m
éd
io
F
it
n
es
s
M
éd
io
 
Fitness Médio Para Combinaçõesde Cr e F Variando 
Inversamente
Cr e F Variando Inversamente STD médio Cr e F variando Inversamente
 
 
 
37 
 
5.5 Comparação de Desempenho entre DE e PSO 
Utilizando as combinações resultantes da análise paramétrica, realizou-se uma 
comparação de velocidade de convergência entre DE e PSO aplicado a um caso de 
estudo de riser em configuração “lazy-wave”. Foram executadas 30 rodadas para fazer 
média com os maiores fitness registrado em cada uma das 50 gerações. Ou seja, foi 
possível acompanhar a evolução do melhor fitness médio encontrado pelos algoritmos 
ao longo das gerações, evidenciando qual convergiu primeiro e qual alcançou melhores 
valores de fitness. As combinações comparadas estão reiteradas na Tabela 10 e são 
apresentadas em conjunto com o fitness médio do melhor indivíduo na 50ª geração, seu 
desvio padrão, o fitness médio populacional (registrado na seção anterior) e o desvio 
padrão médio populacional. A evolução do fitness médio máximo está representada na 
Figura 15 para ambos os algoritmos; assim como a evolução do menor valor da função 
objetivo e desvio padrão da média dos melhores valores. A Figura 16 mostra a 
diferença percentual entre o fitness médio máximo do PSO e DE ao longo das 50 
gerações. 
Tabela 10: Combinações dos algoritmos PSO e DE escolhidos para comparação 
juntamente com os valores de fitness médio e desvio padrão. 
Algoritmo Parâmetros 
Fitness 
Médio do 
Melhor 
Indivíduo 
Desvio Padrão 
do Melhor 
Indivíduo 
Fitness 
Médio 
Populacional 
Desvio Padrão 
Médio 
Populacional 
PSO 
C1 = 2,5 : 0,5 
(linear); C2 = 0,5 : 
2,5 (linear); ω 
= 0,3 (estático) 
53,677 0,941 51,568 7,047 
DE C = 0,8; F = 0,2 53,730 0,940 53,651 0,040 
 
 
 
38 
 
 
Figura 15: Evolução dos valores máximos e mínimos do fitness médio dos algoritmos DE e PSO e seus respectivos desvios padrões por 
geração. 
 
 
 
39 
 
 
Figura 16: Diferença percentual entre o fitness médio máximo entre PSO e DE ao longo das 50 gerações. 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
A partir da Tabela 10 percebe-se que, embora o DE apresente um desvio padrão 
muito menor que o PSO para o fitness médio da população, o desvio padrão do fitness 
médio do melhor indivíduo é praticamente igual. Ou seja, a população do DE tende a se 
concentrar mais em torno do indivíduo de melhor fitness enquanto a população de PSO 
tende a estar mais espalhada pelo espaço de soluções. Além disso, a Tabela 10 mostra 
que o DE foi capaz de encontrar configurações ligeiramente melhores que o PSO ao 
fim das 50 gerações. 
A Figura 15 demonstra que o PSO possui maior capacidade de convergência 
quanto ao fitness do melhor indivíduo se comparado ao DE. Isso fica mais claro na 
Figura 16, a qual apresenta a diferença percentual entre os fitness médios máximos do 
PSO e DE ao longo das 50 gerações (valores positivos indicam superioridade do PSO). 
Na primeira geração os melhores indivíduos produzidos pelo PSO apresentam fitness 
médio 12% maiores que os indivíduos do DE. Tal superioridade cai drasticamente até a 
quinta geração na qual o fitness médio do PSO é 1% maior que DE. Essa diferença 
decai levemente até que finalmente DE e PSO se equiparam na geração de número 40. 
 A Figura 15 mostra ainda que os indivíduos de menor fitness médio do 
algoritmo DE se aproximam rapidamente dos indivíduos de maior fitness médio até a 
geração de número 15. Já os indivíduos de menor fitness médio do PSO melhoram 
somente até a décima geração, o que justifica seu elevado desvio padrão médio 
populacional. 
 
 
 
41 
 
6 COMENTÁRIOS FINAIS 
Conclusões 
Neste trabalho foram realizadas análises e comparações de desempenho entre 
dois algoritmos evolutivos, PSO e DE, na otimização de um riser em configuração 
“lazy-wave”. 
 Através de um estudo paramétrico, foi possível investigar a sensibilidade dos 
algoritmos em relação a cada um de seus parâmetros para o problema do riser. No caso 
do PSO, percebe-se um maior impacto no fitness médio com a variação dos 
coeficientes social (C1), cognitivo (C2) e do coeficiente de inércia (ω) nos casos em 
que estes não variam ao longo das gerações. Ou seja, coeficientes que apresentam 
algum tipo de variação ao longo das gerações penalizam menos o fitness médio caso o 
intervalo de variação deles seja “mal selecionados”, se comparado aos coeficientes 
“estáticos”. A melhor combinação observada para o PSO foi [C1 = 2,5 : 0,5 (linear); 
C2 = 0,5 : 2,5 (linear) e ω = 0,3 (estático)]. 
No caso do DE, não foram consideradas variações nos parâmetros ao longo das 
gerações. Mesmo assim, a taxa de cross over (Cr) foi o parâmetro que apresentou maior 
impacto sobre o fitness médio se comparado ao fator de perturbação (F). 
A Figura 15 evidencia a superioridade quanto a velocidade de convergência do 
PSO se comparado ao DE. Já a Tabela 10 mostra que o DE é capaz de encontrar 
soluções um pouco melhores que o PSO. Vale ressaltar, que o processo de análise 
paramétrico do DE foi muito menos trabalhoso que o do PSO, já que este último contou 
com algumas alterações que aumentaram as possibilidades de análise paramétrica, mas 
que não melhoraram significativamente o fitness médio populacional. 
 
Trabalhos Futuros 
A comparação entre PSO e DE pode ser continuada utilizando uma análise 
dinâmica não-linear no domínio do tempo de Elementos Finitos (EF). Tal tarefa, 
validaria as configurações encontradas por cada um dos algoritmos e colocaria a prova 
a comparação feita neste trabalho utilizando o modelo analítico de catenária. 
Outros algoritmos evolutivos também poderiam passar pelo mesmo processo de 
comparação apresentado neste trabalho com a finalidade de encontrar o mais indicado 
para o problema do riser. Na ferramenta ProgOtim, inclusive, estão implementados 
 
 
 
42 
 
algoritmos como: Algoritmo Genético, Sistema Imunológico Artificial e “Invasive 
Weed Optimization”. 
 
 
 
43 
 
7 REFERÊNCIAS 
ALBRECHT, CARL HORST. Algoritmos Evolutivos Aplicados à Síntese e Otimização de 
Sistemas de Ancoragem (pp. 69-76). Tese de Doutorado, Rio de Janeiro: Universidade 
Federal do Rio de Janeiro, 2005. 
AL-SALAMI, NADA M. A. “Evolutionary Algorithm Definition .” American J. of 
Engineering and Applied Sciences, 2009: 789-791. 
CHATTERJEE, A., e P. SIARRY. “Nonlinear inertia weight variation for dynamic adaptation 
in particle swarm optimization.” Computers & Operations Research 33. 2006. 859–
871. 
CHENG, SHIH-LIAN, e CHYI HWANG. “Optimal approximation of linear systems by a 
differential evolution algorithm.” IEEE Transactions on Systems, Man, and 
Cybernetics - Part A: Systems and Humans. IEEE, 2002. 698 - 707. 
DAS, SWAGATAM, e PONNUTHURAI NAGARATNAM SUGANTHAN. “Differential 
Evolution: A Survey of the State-of-the-Art.” IEEE TRANSACTIONS ON 
EVOLUTIONARY COMPUTATION. IEEE, 2011. 4-31. 
EBERHART, R. C., e Y. SHI. “Comparing Inertia Weights and Constriction Factors in Particle 
Swarm Optimization.” Proceedings of the 2000 Congress on Evolutionary 
Computation. La Jolla, CA, USA: IEEE, 2000. 84-88. 
EBERHART, RUSSEL, e JAMES KENNEDY. “A New Optimizer Using Particle Swarm 
Theory.” Sixth International Symposium on. IEEE, 1995. 39-43. 
EIA, U.S. Energy Information Administration. “Offshore production nearly 30% of global 
crude oil output in 2015.” TODAY IN ENERGY, 2016. 
GABRIEL, PAULO HENRIQUE RIBEIRO. Fundamentos de Algoritmos Evolutivos (pp. 1-4). 
São Paulo: ICMC-USP, 2008. 
KENNEDY, JAMES, e EBERHART RUSSEL. “Particle Swarm Optimization.” IEEE 
International Conference on Neural Networks. IEEE, 1995. 1942-1946. 
LIMA, BEATRIZ DE SOUZA LEITE PIRES DE, BRENO PINHEIROJACOB, e NELSON 
FRANSICO FAVILLA EBECKEN. “A hybrid fuzzy/genetic algorithm for the design 
of offshore oil production risers.” International Journal for Numerical Methods in 
Engineering. 2005. 1459-1482. 
“What is a Metaheuristic?” Em Essentials of Metaheuristics, por SEAN LUKE, 9-31. 
Arlington: Lulu, 2013. 
MONTEIRO, BRUNDO DA FONSECA. Aplicação do Método de Enxame de Partículas na 
Otimização de Sistemas de Ancoragem de Unidades Flutuantes para a Explotação de 
Petróleo Offshore . Dissertação de Mestrado de Engenharia Civil , Rio de Janeiro: 
COPPE/UFRJ, 2008. 
 
 
 
44 
 
MONTEIRO, BRUNO F., CARL H. ALBRECHT, e BRENO P. JACOB. “An Enhanced 
Particle Swarm Optimization Method For The Design Of Oil Production Risers.” 
Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia. Coimbra, 2011. 2-3. 
PAIVA, ANA LÚCIA DE OLIVEIRA. Aplicação do Método de Evolução Diferencial à 
Otimização de um Cíclo de Refrigeração por Compressão de Vapor de Dois Estágios 
Através da Análise Exergética. Tese de Doutorado, Rio de Janeiro: COPPE UFRJ, 
2011, 60-65. 
PEDERSEN, MAGNUS ERIK HVASS. Good Parameters for Differential Evolution. Hvass 
Laboratories, 2010. 
PINA, ALINE APARECIDA DE. Metodologias de Análise, Síntese e Otimização de Sistemas 
Para a Produção de Petróleo Offshore Através de Metamodelos e Enxames de 
Partículas (pp. 37-46). Tese de Doutorado, Rio de Janeiro: UFRJ/ COPPE, 2010. 
Pina, Aline Aparecida de. “Tailoring the particle swarm optimization algorithm for the design 
of offshore oil production risers.” Springer, 2009. 5-7. 
POLI, RICCARDO, JAMES KENNEDY, e TIM BLACKWELL. “Particle swarm optimization 
An Overview .” Swarm Intell. Springer Science, 2007. 33-57. 
Em Differential Evolution - A Pratical Approach to Global Optimization, por KENNETH V. 
PRICE, RAINER M. STORN e JOUNI A. LAMPINEN, 37-134. Springer, 2006. 
RATNAWEERA, ASANGA, SAMAN K. HALGAMUGE, e HARRY C. WATSON. “Self-
Organizing Hierarchical Particle Swarm Optimizer With Time-Varying Acceleration 
Coefficients.” IEEE Transactions on Evolutionary Computation. IEEE, 2004. 250-255. 
SHI, YUHUI, e RUSSELL EBERHART. “A Modified Particle Swarm Optimizer.” IEEE, 
1998. 69-71. 
Storn, Rainer. “On the Usage of Differential Evolution for Function Optimization.” 1995. 
STORN, RAINER, e KENNETH PRICE. “Differential Evolution – A Simple and Efficient 
Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces.” Journal of Global 
Optimization. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1995. 341 - 358. 
STREICHERT, FELIX. Introduction to Evolutionary Algorithms. University of Tuebingen, 
2002. 
TRELEA, IOAN CRISTIAN. The particle swarm optimization algorithm: convergence 
analysis and parameter selection. Elsevier Science, 2002. 
VIEIRA, LUCIANO TARDELLI. Otimização de Sistemas de Risers Para Explotação de 
Petróleo Offshore Através de Algoritmos Genéticos Paralelos. Tese de Doutorado, Rio 
de Janeiro: COPPE/UFRJ, 2008.