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Aula 11: Indutância Curso de Física Geral III F-328 1o semestre, 2014 F328 – 1S2014 1 Auto-Indutância e Indutância Mútua Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos condutores: F328 – 1S2014 2 Qlivre = εo ! E ⋅ nˆ dA"∫ ΔV = − ! E ⋅d ! l∫ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ⇒Qlivre = CV Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss (para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas: φB = ! B ⋅ nˆ dA∫ ienv = ! B ⋅d ! l"∫ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ⇒φn = Ln,mim Ln,n = Auto-Indutância; Lm,n = Indutância Mútua; Solenoide: Indutância Mútua 3 Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações: i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2: ! B1 = µ0 N1 l i1zˆ φ2, (1) = N2 ! B1 ⋅ nˆ dA = N2B1A1 A2 ∫ 1 2 21 0 1 N NL A l µ= i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1: 2 2 0 2 ˆ NB z l iµ= r φ1, (2) = N1 ! B2 ⋅ nˆ dA = N1B2A1 A1 ∫ 1(2) 12 2iLφ = 112 120 N NL A l µ= 12 21L L= Note que apesar de L12 =L21 não se obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2. 1H = 1T ⋅m 2 A = 1Wb A A unidade SI de indutância é o henry (H): 2(1) 21 1L iφ = Solenoide: Auto-Indutância 4 iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1: ! B1 = µ0 N1 l i1zˆ φ1, (1) = N1 ! B1 ⋅ nˆ dA = N1B1A1 A1 ∫ 1(1) 11 1iLφ = 2 1 11 0 1 NL A l µ= iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2: ! B2 = µ0 N2 l i2 zˆ φ2, (2) = N2 ! B2 ⋅ nˆ dA = N2B2A2 A2 ∫ 2(2) 22 2iLφ = 2 2 22 0 2 NL A l µ= F328 – 1S2014 Solenoide ideal: (Indutância por unidade de comprimento) 2 2 0 0L A N Ll n A l l µ µ→⎛= =⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Auto-Indutância e Indutância Mútua 5 Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo total é então proporcional a estas correntes e às auto- indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de superposição podemos escrever esta relação na forma matricial como: φ1 φ2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = L11 L12 L21 L22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ i1 i2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ F328 – 1S2014 Observações: 1) As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais positivas diferente de zero; 2) A indutância mútua pode assumir qualquer valor real (menor, maior ou igual a zero); 3) Ambas dependem apenas de fatores geométricos N espiras r Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é: r iN B π µ 2 0= ==== ∫ ∫∫ b a B r iNhdrBhdrdAnB π µφ 2 ˆ. 0 ! ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= a biNh ln 2 0 π µ Então: ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛== a bhN i NL B ln 2 2 0 π µφ Indutância de um toroide F328 – 1S2014 6 ( = fluxo concatenado) Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por: fem induzida em indutores dt Nd B L )( φε −= LiN B =φ Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente: ou: i NL Bφ= Então: dt diL dt Lid L −=−= )(ε (fem auto-induzida) (L: auto-indutância) O sentido de é dado pela lei de Lenz: ela deve se opor à variação da corrente que a originou (figura). i crescendo i decrescendo BNφ BNφ Lε F328 – 1S2014 7 Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por unidade de comprimento desse sistema é: ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −= a ad l L ln0 π µ Despreze o fluxo no interior dos cilindros. Exemplo 01 O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre os dois fios é dado por: 0 0 1 1) 2 ˆ ˆ( ln a E d T D a B ndA B ndA r iB Ldr d r L d ia a µφ π µ π − ⎛ ⎞⋅ ⋅ += = + ⎜ ⎟⎝ ⎠ = − −= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ urr r F328 – 1S2014 8 ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −= a ad l L ln0 π µ Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm? Exemplo 02 2122122121 ABNNAB =→= φφa) 1 1 2 2210 212 2 i R RNN N πµφ = mH m mmHM 29,2 )015(2 )011,0)(1200)(1200)(/104( 27 = × × = −ππb) M i N M == 1 212 21 φ 1 2 2210 2R RNN M πµ = Então: 1 10 11 2R iNB µ= Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores. Circuito básico para analisar correntes em um indutor. a) Fechando-se a chave S, no instante t = 0, estabelece-se uma corrente crescente no resistor . Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t) que satisfaça à equação: 0=−− dt diLRiε i Lε Circuito RL )(00)0(0 titit ⇒≠→=⇒= F328 – 1S2014 10 Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter: (I : corrente máxima, assintótica) L i L R dt di ε=+ Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante, como se o indutor fosse um fio de ligação comum. : voltagem no indutor A equação anterior fica: Circuito RL R I R L eItie R ti L tLRt L ετ ε τ == −=⇒−= −− e onde),1()()1()( // ( : constante de tempo indutiva) Lτ Lε a b F328 – 1S2014 11 Circuito RL t L R L eL L dt diLV − == ε LRt L eV /−= ε εε εε 37,0 63,0)1( 1 1 == =−= − − eV R e R i L Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo RiVR = e →== máximo,0 LVt Interpretação de : : R Lt L ==τPara equivalente a um circuito aberto Lτ circuitocurtoumaeequivalent0, −→=>> LL Vt τ F328 – 1S2014 12 Ao lado, temos gráficos das tensões Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações a) e b). b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a equação das quedas de potencial será: A solução desta equação é: Variações das voltagens com o tempo: Circuito RL 0=+ dt diLRi i F328 – 2S20123 13 LtLRt eIe R ti τε /0 /)( −− == F328 – 1S2014 13 Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto é: Energia armazenada no campo magnético LididU dt diLi dt dU B B =→= ∫∫ = iU B LididU B 00 2 2 1 iLUB = Do circuito abaixo tem-se: dtdiLiiRi dt diLiR +=→+= 2εε a b F328 – 1S2014 14 Densidade de energia do campo magnético A densidade de energia será dada por: Lembrando que resulta que: inB 0µ= É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A, transportando uma corrente i. 22 0 2 0 2 2 1Como 2 1 inulAnL Al Li Al Uu B B B µµ =→= == 0 2 2µ BuB = (densidade de energia magnética) F328 – 1S2014 15 Indutância mútua Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e vice-versa. Indução mútua 2121 ML → 1 212 21 i N M φ = dt di M dt d NouNiM 121 21 2212121 == φφ dt di M 1212 −=εA fem induzida na bobina 2: A fem induzida na bobina 1: dt di M 2121 −=ε dt di M dt di M 1 2 2 1 −= −= ε ε A indução é de fato mútua MMM == 2112 Pode-se provar que: F328 – 2S20123 16 Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) Lista de exercícios do Capítulo 30 F328 – 1S2014 17
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