Apostila de Concreto Armado I UFPR 2017

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CCoonnccrreettoo AArrmmaaddoo ddaa UUFFPPRR 22001166 
Dalledone & Marino 
Esta publicação visa atender os alunos das disciplinas TC037 Estruturas de Concreto I e TC040 Estruturas de Concreto II do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Paraná. É de responsabilidade dos Professores Roberto Dalledone Machado e Marcos Antonio Marino (aposentado). Agradecemos aos antigos e atuais professores das citadas disciplinas pela colaboração prestada na elaboração deste trabalho. 
M. A. Marino (marino@ufpr.br) R. Dalledone M. (rdm@ufpr.br) 
1-1 2016 tc037 
 
11 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
1.1 Introdução 
Basicamente, as estruturas de concreto armado apresentam bom desempenho porque, sendo o concreto de ótima resistência à compressão, este ocupa as partes comprimidas ao passo que o aço, de ótima resistência à tração, ocupa as partes tracionadas. É o caso das vigas de concreto armado (Figura 1.1). 
Figura 1.1 - Viga de concreto armado 
Sendo o aço também de boa resistência a compressão, o mesmo pode colaborar com o concreto em regiões comprimidas. É o caso dos pilares de concreto armado (Figura 1.2). 
Figura 1.2 - Pilar de concreto armado 
Os projetos de obras de concreto estrutural, no Brasil, são regidos, basicamente, pela Norma Brasileira ABNT NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento, terceira edição de 29 de abril de 2014, validade a partir 29 de maio de 2014. Esta Norma estabelece os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas de concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, pesado ou outros especiais (ABNT NBR 6118 - 1.1). A ABNT NBR 6118 é aplicada às estruturas de concretos normais, identificados por massa específica seca maior do que 2 000º kg/m3, não excedendo 2 800 kg/m3, do grupo I de resistência (C20 a C50) e do grupo II de resistência (C55 a C90), conforme classificação da ABNT NBR 8953. Entre os concretos especiais excluídos desta Norma estão o concreto-massa e o concreto sem finos (ABNT NBR 6118 - 1.2). Por outro lado, a ABNT NBR 6118 não inclui requisitos exigíveis para evitar os estados-limites gerados por certos tipos de ação, como sismos, impactos, explosões e fogo. Para ações sísmicas, consultar a ABNT NBR 15421; para ações em situação de incêndio, consultar a ABNT NBR 15200 (ABNT NBR 6118 - 1.4). 
A 
A 
M M 
armadura tracionada 
concreto comprimido
Corte AA 
A A 
N 
Corte AA 
concreto comprimido
armadura comprimida
N 
armadura comprimida
1-2 2016 tc037 
 
No caso de estruturas especiais, como de elementos pré-moldados, pontes e viadutos, obras hidráulicas, arcos, silos, chaminés, torres, estruturas off-shore, ou estruturas que utilizam técnicas construtivas não convencionais, como formas deslizantes, balanços sucessivos, lançamentos progressivos e concreto projetado, as condições da ABNT NBR 6118 ainda são aplicáveis, devendo, no entanto, ser complementadas e eventualmente ajustadas em pontos localizados por Normas Brasileiras específicas (ABNT NBR 6118 - 1.5). 
1.2 Histórico 
É atribuída ao francês Lambot a primeira construção de concreto armado: um barco que foi construído em 1855. Outro francês, Coignet, publicou em 1861 o primeiro trabalho descrevendo aplicações e uso do concreto armado1. 
1.3 Viabilidade do concreto armado 
O sucesso do concreto armado se deve, basicamente, a três fatores: - aderência entre o concreto e a armadura; - valores próximos dos coeficientes de dilatação térmica do concreto e da armadura; e - proteção das armaduras feita pelo concreto envolvente. O principal fator de sucesso é a aderência entre o concreto e a armadura. Desta forma, as deformações nas armaduras serão as mesmas que as do concreto adjacente, não existindo escorregamento entre um material e o outro. É este simples fato de deformações iguais entre a armadura e o concreto adjacente, associado à hipótese das seções planas de Navier, que permite quase todo o desenvolvimento dos fundamentos do concreto armado. A proximidade de valores entre os coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto torna praticamente nulo o deslocamento relativo entre a armadura e o concreto envolvente, quando existe variação de temperatura. Este fato permite que se adote para o concreto armado o mesmo coeficiente de dilatação térmica do concreto simples. Finalmente, o envolvimento das barras de aço por concreto evita a oxidação da armadura fazendo com que o concreto armado não necessite cuidados especiais como ocorre, por exemplo, em estruturas metálicas. 
1.4 Termos e definições2 
1.4.1 Concreto estrutural 
Concreto estrutural: termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto como material estrutural. Elementos de concreto simples estrutural: elementos estruturais elaborados com concreto que não possuem qualquer tipo de armadura, ou que a possuem em quantidade inferior ao mínimo exigido para o concreto armado. Elementos de concreto armado: aqueles cujo comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência. Armadura passiva: qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, isto é, que não seja previamente alongada. Armadura ativa (de protensão): armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada à produção de forças de protensão, isto é, na qual se aplica um pré-alongamento inicial. Junta de dilatação: qualquer interrupção do concreto com a finalidade de reduzir tensões internas que possam resultar em impedimentos a qualquer tipo de movimentação da estrutura, principalmente em decorrência de retração ou abaixamento de temperatura. 
1.4.2 Estados-limites 
Estado-limite último - ELU: estado-limite relacionado ao colapso, ou qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 
 1 Para melhor conhecimento da história do concreto armado, ver O CONCRETO NO BRASIL, Vol. 1, A. C. Vasconcelos, edição patrocinada por Camargo Corrêa S.A., 1985. 2 Como apresentados na ABNT NBR 6118 - 3. 
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Estado-limite de formação de fissuras - ELS-F: estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado-limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,f. Estado-limite de abertura das fissuras - ELS-W: estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados. Estado-limite de deformações excessivas - ELS-DEF: estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal. Estado-limite de vibrações excessivas - ELS-VE: estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção. 
1.5 Propriedades do concreto 
O concreto, assim como outro material, tem coeficiente de dilatação térmica, pode ser representado por um diagrama tensão-deformação, possui módulo de elasticidade (módulo de deformação), etc. Apresenta, também, duas propriedades específicas: retração e fluência (deformação lenta). 
1.5.1 Concretos da ABNT NBR 6118 
Segundo a ABNT NBR 8953, os concretos a serem usados estruturalmente estão divididos em dois grupos, classificados de acordo com sua resistência característica3 à compressão (fck), como apresentado na Tabela 1.1. A letra C representa classe de concreto seguida da resistência característica à compressão, em MPa4. 
 Tabela 1.1 - Classes de concreto estrutural 
A dosagem do concreto, para obtenção da sua resistência característica (fck) e conseqüente definição da sua classe (C__x), deverá ser feita de acordo com a ABNT NBR 12655. A composição de cada concreto deve ser definida em dosagem racional e experimental, com a devida antecedência em relação ao início da obra. O controle tecnológico deve ser feito de acordo com a ABNT NBR 12654. A ABNT NBR 6118 é aplicada a concretoscompreendidos nas classes de resistência dos grupos I e II da ABNT NBR 8953, até a classe C90. A classe C20, ou superior, se aplica ao concreto com armadura passiva5 e a classe C25, ou superior, ao concreto com armadura ativa6. A classe C157 pode ser usada apenas em obras provisórias ou concreto sem fins estruturais, conforme ABNT NBR 8953 (ABNT NBR 6118 - 8.2.1). 
1.5.2 Massa específica 
A ABNT NBR 6118 se aplica aos concretos de massa específica normal, que são aqueles que, depois de secos em estufa, têm massa específica (c) compreendida entre 2 000 kg/m3 e 2 800 kg/m3. Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor 2 400 kg/m3 e para o concreto armado, 2 500 kg/m3 (ABNT NBR 6118 - 8.2.2). 
1.5.3 Coeficiente de dilatação térmica 
Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5/ºC (ABNT NBR 6118 - 8.2.3). 
 3 Resistência característica do concreto como apresentada em 3.8.1.1, página 3-27. 4 Equivalência: 1 MPa = 0,1 kN/cm2 = 10 kgf/cm2. 5 Armadura passiva como apresentada em 1.4.1, página 1-2 (armadura para concreto armado). 6 Armadura ativa como apresentada em 1.4.1, página 1-2 (armadura para concreto protendido). 7 Classe C15 não mostrada na Tabela 1.1 (página 1-3). 
Grupo I fck Grupo II fck C20 20 MPa C55 55 MPa C25 25 MPa C60 60 MPa C30 30 MPa C70 70 MPa C35 35 MPa C80 80 MPa C40 40 MPa C90 90 MPa C45 45 MPa C50 50 MPa 
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1.5.4 Resistência à compressão 
As prescrições da ABNT NBR 6118 referem-se à resistência à compressão obtida em ensaios de corpos de prova cilíndricos moldados segundo a ABNT NBR 5738 e rompidos como estabelece a ABNT NBR 5739 (ABNT NBR 6118 - 8.2.4). Quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28 dias. A estimativa da resistência à compressão média, fcmj, correspondente a uma resistência fckj especificada, deve ser feita conforme indicado na ABNT NBR 12655. A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados em 3.8.2.2, página 3-28. 
1.5.5 Resistência à tração 
A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas de ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente (ABNT NBR 6118 - 8.2.5). A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio (fct,m) ou característico (fctk) por meio das equações seguintes: - para concretos de classes até C50: 
3 2ckmct,supctk,
3 2ckmct,infctk,
3 2ckmct,ctk
f0,39f 1,3f
MPa em
 valoresf0,21f 0,7f
f0,3ff



 Equação 1.1
- para concretos de classes C55 até C90:  
 
 ckmct,supctk,
ckmct,infctk,
ckmct,ctk
f11,01ln756,2f 1,3f MPa em
 valoresf11,01ln484,1f 0,7f
f11,01ln12,2ff



 Equação 1.2
Sendo fckj  7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias. O fctk,sup é usado para a determinação de armaduras mínimas. O fctk,inf é usado nas análises estruturais. 
1.5.6 Módulo de elasticidade 
O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade. Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir (ABNT NBR 6118 - 8.2.8). - para fck de 20 MPa a 50 MPa:   MPa em valoresf 600 5E ckEci  Equação 1.3
- para fck de 55 MPa a 90 MPa: 
MPa em valores25,110f50021E 3 ckEci 


 

  Equação 1.4
sendo: 
E = 1,2 para basalto e diabásio E = 1,0 para granito e gnaisse E = 0,9 para calcário E = 0,7 para arenito 
1-5 2016 tc037 
 
O módulo de deformação secante (Ecs) pode ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão: 
MPaemvalores
E
E80f2,08,0minE
ci
cick
cs









 

 
 Equação 1.5
A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, especificamente da natureza dos agregados. Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs. O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a seguir: 
- para concreto com fck de 20 MPa a 45 MPa: 
ci
5,0
c
cci Ef )t(f)t(E 

 

 Equação 1.6
- para concretos com fck de 50 MPa a 90 MPa: 
ci
3,0
c
cci Ef )t(f)t(E 

 

 Equação 1.7
onde: 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 28 dias; fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o módulo de elasticidade; fc é a resistência à compressão do concreto na idade de 28 dias, na mesma unidade de fc(t); e Eci é o módulo de elasticidade do concreto na idade de 28 dias. 1.5.7 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o coeficiente de Poisson  pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a Ecs/2,4 (ABNT NBR 6118 - 8.2.9). 1.5.8 Diagrama tensão-deformação - compressão 
1.5.8.1 Tensões de compressão menores que 0,5 fc Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, a ABNT NBR 6118 - 8.2.10, admite uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante como apresentado em 1.5.6, página 1-4. 
1.5.8.2 Concretos de diferentes dosagens Uma característica do concreto é não apresentar, para diferentes dosagens, um mesmo tipo de diagrama tensão-deformação. Os concretos mais resistentes têm um "pico" de resistência em torno da deformação 2‰. Já os concretos menos resistentes apresentam um "patamar" de resistência que se inicia entre as deformações 1‰ e 2‰ Observa-se, também, que os concretos mais resistentes apresentam deformações de ruptura inferiores às dos concretos menos resistentes (Figura 1.3). 
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Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação de concretos diversos 
1.5.8.3 Efeito Rüsch Outra característica do concreto é apresentar diferentes diagramas tensão-deformação para ensaios de corpos-de-prova com diferentes velocidades de carregamento, como mostrado na Figura 1.4. Para durações maiores de tempo de carregamento, a tensão de ruptura (c) tende para valores próximos de 80% da resistência obtida com carregamento de curta duração (fc). Esta característica do concreto é conhecida como efeito Rüsch. 
Figura 1.4 - Efeito Rüsch 
Deve ser levado em conta que cargas permanentes em estruturas podem ser aplicadas rapidamente e manterem-se constante ao longo do tempo, de tal forma a permitir o desenvolvimento do fenômeno da fluência (deformação contínua do concreto que ocorre ao longo do tempo sob ação de carga permanente - 1.5.10.1). Assim, se o nível de tensão inicial for superior à resistência de longo prazo (ponto A da Figura 1.4) poderá, após certo tempo, ocorrer o colapso do elemento estrutural por ter sido atingido o limite de ruptura (ponto B da Figura 1.4). Por outro lado, se o carregamento inicial provocar uma tensão inferior à resistência de longo prazo (ponto C da Figura 1.4) não haverá ruptura, mesmo com o desenvolvimento do fenômeno da fluência (ponto D da Figura 1.4). Desta forma, para que não ocorra ruína, é necessário que o limite de fluência seja atingido antes do limite de ruptura.Isto pode ser feito limitando a resistência do concreto a um valor inferior à resistência obtida em ensaios de curta duração. A ABNT NBR 6118 - 8.2.10.1 impõe, para a máxima resistência de cálculo do concreto, o valor 0,85 fcd.(Figura 1.5, página 1-7) Este valor leva em conta não só o efeito Rüsch, como também o ganho de resistência do concreto ao longo do tempo e a influência da forma cilíndrica do corpo de prova. 
1.5.8.4 Estado limte último Para análises no estado-limite último (ELU)8, podem ser empregados o diagrama tensão-deformação idealizado, como apresentado na Figura 1.5 (ABNT NBR 6118 - 8.2.10.1). A resistência de cálculo9 fcd corresponde ao valor da resistência característica fck minorada por um coeficiente de segurança; c2 é a deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico; e cu é a deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura. 
 8 Estado-limite último (ELU) como apresentado em 1.4.2, página 1-3. 9 Resistência de cálculo do concreto como apresentada em 3.8.2.2, página 3-28. 
c 
c 
1‰ 2‰ 3‰ 4‰ 
A 
c/fc 
c 
8‰ 
0,8 B 
C D 
limite de ruptura 
limite de fluência 
fluência 
 2 minutos 20 minutos 100 minutos 3 dias 
duração do carregamento: 
1,0
1 2 
3 4 
1 
2 
3 
4 
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Figura 1.5 - Diagrama tensão-deformação da ABNT NBR 6118 - ELU 
Os valores de n, c2 e cu correspondem a: - para concretos de classes até C50: 
‰5,3
‰0,2
2n
cu
2c 


 
- para concretos de classes C55 até C90:  
 
  4ckcu
ck53,0ck2c
4ck
100f-9035‰‰6,2
MPaemf50f0,085‰‰0,2
100f904,234,1n






 
 
A Tabela 1.2 apresenta os valores de n, c2 e cu para diferentes classes de concreto. Pode ser observado que os concretos do grupo II (C55 a C90) têm seus patamares (cu - c2) diminuídos à medida que aumenta a classe, chegando ao limite da inexistência deste patamar para o C90 (cu - c2 = 2,6‰ -2,6‰ = 0‰). 
Classe 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 
n 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,75 1,59 1,44 1,40 1,40 
c2 (‰) 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,20 2,29 2,42 2,52 2,60 
cu (‰) 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,13 2,88 2,66 2,60 2,60 
Tabela 1.2 - Valores de n, c2 e cu para diferentes classes de concreto 
A Figura 1.6 mostra diagramas tensão-deformação idealizados para alguns concretos dos grupos I e II da ABNT NBR 8953. Observar que o diagrama do concreto classe C90 não apresenta patamar. 
Figura 1.6 - Diagramas idealizados 








 n
2c
ccdc 11f85,0 
c 
c 
c2 cu 
0,85 fcd 
C50 
C20 
C90 
c 
c 
1‰ 2‰ 3‰ 4‰ 
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1.5.9 Diagrama tensão-deformação - tração 
Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bilinear de tração, indicado na Figura 1.7 (ABNT NBR 6118 - 8.2.10.2). 
Figura 1.7 - Diagrama - tração 
1.5.10 Fluência e retração 
1.5.10.1 Fluência A fluência é uma deformação que depende do carregamento. Corresponde a uma contínua (lenta) deformação do concreto, que ocorre ao longo do tempo, sob ação de carga permanente. Um panorama do comportamento das deformações de peças de concreto, carregadas e descarregadas, é mostrado na Figura 1.8. 
Figura 1.8 - Deformação de bloco de concreto carregado e descarregado 
1.5.10.2 Retração A retração do concreto é uma deformação independente de carregamento. Corresponde a uma diminuição de volume que ocorre ao longo do tempo devido à perda d'água que fazia parte da composição química da mistura da massa de concreto. A curva que representa a variação da retração ao longo do tempo tem o aspecto mostrado na Figura 1.9. 
Figura 1.9 - Retração do concreto 
s cs(t,t0) 
= 

s cs 
t 
t t0 
c 
t 
fluência - cc(t,t0) 
recuperação deformação elástica recuperação da fluência 
deformação elástica inicial - c(t0) 
sem carga carga 
c(t0) 
cc(t,t0) 
c 0 

0 
= t0 
c 
0= t 
ct 
ct 
0,15‰ 
fctk0,9 fctk
Eci 
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1.5.10.3 Deformação total A deformação total do concreto, decorrido um espaço de tempo após a aplicação de um carregamento permanente, corresponde a: 
)t,t()t,t()t(E )(t)t(E )t()t( 0cs
)t,t(
00ci
0c
)t(
0ci
0cc
0cc0c

   
 
  )t,t()t,t(1)t(E )t()t( 0cs00ci 0cc  Equação 1.8onde: 
c(t) é a deformação (encurtamento) específica total do concreto no instante t; c(t0) é a deformação específica imediata (t0) do concreto devida ao carregamento; cc(t,t0) é a deformação específica do concreto devida à fluência no intervalo de tempo t - t0; cs(t,t0) é a deformação específica do concreto devida à retração no intervalo de tempo t - t0; c(t0) é a tensão atuante no concreto no instante (t0) da aplicação da carga permanente (negativa para compressão); Eci(t0) é o módulo de elasticidade (deformação) inicial no instante t0; e (t,t0) é o coeficiente de fluência correspondente ao intervalo de tempo t - t0. 
Umidade ambiente (%) 40 55 75 90 
Espessura fictícia 2(Ac/u) (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 
(t,t0) Concreto das classes C20 a C45 
t0 (dias) 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
(t,t0) Concreto das classes C50 a C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
cs(t,t0) (‰) 
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15 
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15 
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15 
Tabela 1.3 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração cs(t,t0) e do coeficiente de fluência (t,t0) 
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais (t) do coeficiente de fluência (t,t0) e da deformação específica de retração cs(t,t0) do concreto, submetidos a tensões menores que 0,5 fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da Tabela 1.3. A Tabela fornece o valor do coeficiente de fluência (t,t0) e da deformação específica de retração cs(t,t0) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2 (Ac/u), onde: Ac: área da seção transversal u: perímetro da seção em contato com a atmosfera 
1.6 Propriedades do aço - armadura passiva 
O aço, assim como outro material, tem coeficiente de dilatação térmica, pode ser representado por um diagrama tensão-deformação, possui módulo de elasticidade, etc. Apresenta, também, uma propriedade específica, que é o coeficiente de aderência. 
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1.6.1 Categoria dos aços de armadura passiva 
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela ABNT NBR 7480, com o valor característico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-6010 (ABNT NBR 6118 - 8.3.1). Estes aços, e respectivas resistências características à tração (fyk), estão mostrados na Tabela 1.4. 
Tabela 1.4 - Aços de armadura passiva 
Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os estabelecidos na ABNT NBR 7480. 
1.6.2 Coeficiente de aderência 
Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. A capacidade aderente entre o aço e o concreto está relacionada ao coeficiente 1, cujo valor é apresentado na Tabela 1.5 (ABNT NBR 6118 - 8.3.2). 
Tabela 1.5 - Coeficiente de aderência 
1.6.3 Massa específica 
Pode-se adotar para massa específica do aço de armadura passiva o valor de 7 850 kg/m3 (ABNT NBR 6118 - 8.3.3). 
1.6.4 Coeficiente de dilatação térmicaO valor 10-5/ºC pode ser considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC (ABNT NBR 6118 - 8.3.4). 
1.6.5 Módulo de elasticidade 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa (ABNT NBR 6118 - 8.3.5). 
1.6.6 Diagrama tensão-deformação, resistência ao escoamento e à tração 
O diagrama tensão-deformação do aço e os valores característicos da resistência ao escoamento fyk, da resistência à tração fstk e da deformação na ruptura uk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a ABNT NBR ISO 6892-1. O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2‰ (ABNT NBR 6118 - 8.3.6). Para o cálculo no estado-limite último (ELU), pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na Figura 1.10, para os aços com ou sem patamar de escoamento. Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão (ABNT NBR 6118 - 8.3.6). O valor da resistência de cálculo11 fyd corresponde ao valor da resistência característica fyk minorada por um coeficiente de segurança. Figura 1.10 - Diagrama tensão-deformação do aço 10 CA corresponde a concreto armado e o número associado representa 1/10 da resistência característica em MPa. 11 Resistência de cálculo do aço como apresentada em 3.8.2.3, página 3-30. 
Tipo de superfície 1 
Lisa 1,00 
Entalhada 1,40 
Nervurada 2,25 
Categoria fyk 
CA-25 250 MPa 
CA-50 500 MPa 
CA-60 600 MPa 
Es 
s 
s 
fyd 
1-11 2016 tc037 
 
1.6.7 Características de dutilidade 
Os aços CA-25 e CA-50, que atendam aos valores mínimos de fst/fy e uk indicados na ABNT NBR 7480, podem ser considerados de alta dutilidade. Os aços CA-60 que obedeçam também às especificações dessa Norma podem ser considerados como de dutilidade normal (ABNT NBR 6118 - 8.3.7). 
1.6.8 Soldabilidade 
Para que um aço seja considerado soldável, sua composição deve obedecer aos limites estabelecidos na ABNT NBR 8965. A emenda de aço soldada deve ser ensaiada à tração segundo a ABNT NBR 8548. A força de ruptura mínima, medida na barra soldada, deve satisfazer o especificado na ABNT NBR 7480 e o alongamento sob carga deve ser tal que não comprometa a dutilidade da armadura. O alongamento total plástico medido na barra soldada deve atender a um mínimo de 2% (ABNT NBR 6118 - 8.3.9). 
1.6.9 Classificação - armadura ativa 
Os aços a serem usados em estruturas de concreto armado serão classificados (ABNT NBR 7480 - 4.1): - como barras, se possuírem diâmetro nominal igual ou superior a 5 mm e forem obtidos exclusivamente por laminação à quente; e - como fios, se possuírem diâmetro nominal igual ou inferior a 10 mm e forem obtidos por trefilação ou processo equivalente. De acordo com a categoria, as barras e fios de aço serão classificados conforme mostrado na Tabela 1.6. 
 
Tabela 1.6 - Barras e fios de aço 
As características das barras (CA-25 e CA-50) e fios (CA-60), definidas pela ABNT NBR 7480, estão mostradas na Tabela 1.7 e na Tabela 1.8. 
Barras 
Diâmetro Nominal (mm) 
Massa Nominal12 (kg/m) 
Área da Seção (cm2) 
Perímetro (cm) 
5 0,154 0,196 1,57 
6,3 0,245 0,312 1,98 
8 0,395 0,503 2,51 
10 0,617 0,785 3,14 
12,5 0,963 1,227 3,93 
16 1,578 2,011 5,03 
20 2,466 3,142 6,28 
22 2,984 3,801 6,91 
25 3,853 4,909 7,85 
32 6,313 8,042 10,05 
40 9,865 12,566 12,57 
Tabela 1.7 - Características das barras de aço para concreto armado 
 12 A densidade linear de massa, em kg/m, é obtida pelo produto da área da seção nominal em m2 por 7 850 kg/m3. 
Categoria Classificação 
CA-25 Barras CA-50 
CA-60 Fios 
1-12 2016 tc037 
 
Fios 
Diâmetro Nominal (mm) 
Massa Nominal (kg/m) 
Área da Seção (cm2) 
Perímetro (cm) 
2,4 0,036 0,045 0,75 
3,4 0,071 0,091 1,07 
3,8 0,089 0,113 1,19 
4,2 0,109 0,139 1,32 
4,6 0,130 0,166 1,45 
5,0 0,154 0,196 1,57 
5,5 0,187 0,238 1,73 
6,0 0,222 0,283 1,88 
6,4 0,253 0,322 2,01 
7,0 0,302 0,385 2,22 
8,0 0,395 0,503 2,51 
9,5 0,558 0,709 2,98 
10,0 0,617 0,785 3,14 
Tabela 1.8 - Características dos fios de aço para concreto armado 
1.7 Referências normativas13 
Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação da ABNT NBR 6118. Para referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se as edições mais recentes do referido documento (incluindo emendas). ABNT NBR 5674 Manutenção de edificações - Requisitos para o sistema de gestão de manutenção ABNT NBR 5732 Cimento Portland comum - Especificação ABNT NBR 5733 Cimento Portland de alta resistência - Especificação ABNT NBR 5735 Cimento Portland de alto-forno - Especificação ABNT NBR 5736 Cimento Portland pozolânico - Especificação ABNT NBR 5737 Cimento Portland resistente a sulfatos - Especificação ABNT NBR 5738 Concreto - Procedimento para moldagem e cura de corpos de prova ABNT NBR 5739 Concreto - Ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos ABNT NBR 6004 Arames de aço - Ensaio de dobramento alternado - Método de ensaio ABNT NBR 6120 Cargas para cálculo de estruturas de edificações - Procedimento ABNT NBR 6123 Forças devidas ao vento em edificações - Procedimento ABNT NBR 6153 Produtos metálicos - Ensaio de dobramento semi-guiado - Método de ensaio ABNT NBR 6349 Barras, cordoalhas e fios de aço para armaduras de protensão - Ensaio de Tração ABNT NBR 7222 Concreto e argamassa - Determinação da resistência à tração por compressão diametral de corpos de prova cilíndricos ABNT NBR 7480 Aço destinados a armaduras para concreto armado - Especificação ABNT NBR 7481 Tela de aço soldada - Armadura para concreto - Especificação ABNT NBR 7482 Fios de aço para concreto protendido - Especificação 
 13 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 2. 
1-13 2016 tc037 
 
ABNT NBR 7483 Cordoalhas de aço para concreto protendido - Especificação ABNT NBR 7484 Barras, cordoalhas e fios de aço destinados a armaduras de protensão - Método de ensaio de relaxação isotérmica ABNT NBR 8522 Concreto - Determinação do módulo estático de elasticidade à compressão ABNT NBR 8548 Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda mecânica ou por solda - Determinação da resistência à tração - Método de ensaio ABNT NBR 8681 Ações e segurança nas estruturas - Procedimento ABNT NBR 8953 Concreto para fins estruturais - Classificação pela massa específica, por grupos de resistência e consistência ABNT NBR 8965 Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade destinadas a armaduras para concreto armado - Especificação ABNT NBR 9062 Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado ABNT NBR 11578 Cimento Portland composto - Especificação ABNT NBR 12142 Concreto - Determinação da resistência à tração na flexão de corpos de prova prismáticos ABNT NBR 12654 Controle tecnológico de materiais componentes do concreto - Procedimento ABNT NBR 12655 Concreto de cimento Portland - Preparo, controle e recebimento - Procedimento ABNT NBR 12989 Cimento Portland branco - Especificação ABNT NBR 13116 Cimento Portland de baixo calor de hidratação - Especificação ABNT NBR 14859-2 Laje pré-fabricada - Requisitos - Parte 2: Lajes bidirecionais ABNT NBR 14931 Execução de estruturas de concreto - Procedimento ABNT NBR 15200 Projeto de estruturas de concreto em situação de incêndio ABNT NBR 15421 Projeto de estruturas resistentes a sismos - Procedimento ABNT NBR 15577-1 Agregados - Reatividade álcali-agragado - Parte 1: Guia para avaliação da reatividade potencial e medidas preventivas para uso de agregados em concreto ABNT NBR ISO 6892-1 Materiais metálicos - Ensaio de tração - Parte 1: Método de ensaio à temperatura ambiente ABNT NBR NM 67 Concreto - Determinação da consistênciapelo abatimento do tronco de cone 
1.8 Simbologia14 
A simbologia adotada na ABNT NBR 6118, no que se refere a estruturas de concreto, é constituída por símbolos-base (mesmo tamanho e no mesmo nível do texto corrente) e símbolos subscritos. Os símbolos-base, utilizados com mais freqüência, encontram-se estabelecidos em 1.8.1 e os símbolos subscritos em 1.8.2 (página 1-16). As grandezas representadas pólos símbolos devem sempre ser expressas em unidades do Sistema Internacional (SI) (ABNT NBR 6118 - 4.1). 
1.8.1 Símbolos base 
1.8.1.1 Letras minúsculas a distância ou dimensão menor dimensão de um retângulo deslocamento máximo (flecha) b largura dimensão ou distância paralela à largura menor dimensão de um retângulo 
 14 Como apresentada na ABNT NBR 6118 - 4. 
1-14 2016 tc037 
 
bw largura da alma de uma viga 
c cobrimento da armadura em relação à face do elemento 
d altura útil dimensão ou distância e excentricidade de cálculo oriunda dos esforços solicitantes MSd e NSd distância f resistência h dimensão altura hora i raio de giração mínimo da seção bruta de concreto da peça analisada k coeficiente 
 altura total da estrutura ou de um lance de pilar comprimento vão n número número de prumadas de pilares r raio de curvatura interno do gancho rigidez s espaçamento entre barras da armadura t comprimento do apoio paralelo ao vão da viga analisada tempo u perímetro w abertura de fissura x altura da linha neutra z braço de alavanca distância 
1.8.1.2 Letras maiúsculas 
A área da seção cheia Ac área da seção transversal de concreto As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração A's área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão D diâmetro dos pinos de dobramento das barras de aço E módulo de elasticidade EI rigidez F força ações G ações permanentes Gc módulo de elasticidade transversal do concreto H altura altura total da estrutura Ic momento de inércia da seção de concreto K coeficiente M momento momento fletor M1d momento fletor de 1ª ordem de cálculo M2d momento fletor de 2ª ordem de cálculo MRd momento fletor resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo Nd força normal de cálculo 
1-15 2016 tc037 
 
NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Q ações variáveis R reação de apoio Rd esforço resistente de cálculo Sd esforço solicitante de cálculo T temperatura momento torçor TRd momento torçor resistente de cálculo TSd momento torçor solicitante de cálculo VRd força cortante resistente de cálculo VSd força cortante solicitante de cálculo 
1.8.1.3 Letras gregas 
 ângulo parâmetro de instabilidade coeficiente fator que define as condições de vínculo nos apoios 
c parâmetro de redução da resistência de cálculo na compressão E parâmetro em função da natureza do agregado que influencia o módulo de elasticidade 
 ângulo coeficiente 
c coeficiente de ponderação da resistência do concreto f coeficiente de ponderação das ações m coeficiente de ponderação das resistências p coeficiente de ponderação das cargas oriundas da protensão s coeficiente de ponderação da resistência do aço  coeficiente de redistribuição deslocamento 
 deformação específica 
c deformação específica do concreto p deformação específica da armadura ativa s deformação específica do aço da armadura passiva  rotação ângulo de inclinação desaprumo 
 índice de esbeltez 
 coeficiente momento fletor reduzido adimensional 
 coeficiente de Poisson força normal reduzida adimensional 
 taxa geométrica de armadura longitudinal de tração 
c massa específica do concreto mín taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas e pilares p taxa geométrica da armadura de protensão s taxa geométrica de armadura aderente passiva c tensão à compressão no concreto ct tensão à tração no concreto 
1-16 2016 tc037 
 
p tensão no aço de protensão Rd tensão normal resistente de cálculo s tensão normal no aço de armadura passiva Sd tensão normal solicitantes de cálculo Rd tensão de cisalhamento resistente de cálculo Sd tensão de cisalhamento de cálculo usando o contorno adequado ao fenômeno analisado 
Td tensão de cisalhamento de cálculo, por torção wd tensão de cisalhamento de cálculo, por força cortante  diâmetro das barras da armadura 
 diâmetro das barras de armadura longitudinal de peça estrutural n diâmetro equivalente de um feixe de barras p diâmetro nominal de fio ou cordoalha t diâmetro das barras de armadura transversal vibr diâmetro da agulha do vibrador  coeficiente de fluência 
1.8.2 Símbolos subscritos 
1.8.2.1 Letras minúsculas apo apoio c concreto cor corrigido d valor de cálculo e equivalente ef efetivo eq equivalente f feixe fad fadiga fic fictícia g ações permanentes h horizontal i número seqüencial inf inferior j idade (referente à cura do concreto) k valor característico número seqüencial lim limite m média máx máximo mín mínimo nec necessário nom nominal p aço de armadura ativa q ações variáveis r radial s aço de armadura passiva sec secante ser serviço 
1-17 2016 tc037 
 
sup superior t tração transversal tot total u último ruptura v vertical viga vig viga w alma transversal x direção ortogonal y direção ortogonal escoamento do aço 
1.8.2.2 Letras maiúsculas 
R resistências S solicitações 
1.8.3 Números 
0 início instante de aplicação de carga 28 aos 28 dias 
1.9 Simbologia específica desta seção 
fc resistência à compressão do concreto fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fc(t) resistência à compressão do concreto aos t dias fck resistência característica à compressão do concreto fckj resistência característica à compressão do concreto aos j dias fcmj resistência média à compressão do concreto aos j dias fct resistência do concreto à tração direta fctk resistência característica à tração do concreto fctk,inf resistência característica inferior à tração do concreto fctk,sup resistência característica superior à tração do concreto fct,m resistência média à tração do concreto fct,f resistência do concreto à tração na flexão fct,sp resistência do concreto à tração indireta fst resistência à tração do aço da armadura passiva fstk resistência característica à tração do aço da armadura passiva fy resistência ao escoamento do aço da armadura passiva fyd resistência de cálculo do aço da armadura passiva fyk resistência característica ao escoamento do aço da armadura passiva 
 altura de bloco de concreto n potência de expressão matemática t tempo t0 início de contagem de tempo t final da contagem de tempo u perímetro da seção em contato com a atmosfera Ac área da seção transversal Eci módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial do concreto 
1-18 2016 tc037 
 
Eci(t) módulo de elasticidade (deformação) do concreto aos t dias (7 ≤ t ≤ 28) Eci(t0) módulo de elasticidade (deformação) inicial do concreto Ecs módulo de elasticidade (deformação) secante do concreto Es módulo de elasticidade do aço da armadura passiva Gc módulo de elasticidade transversal do concreto M momento fletor N força normal 
E parâmetro em função da natureza do agregado que influencia o módulo de elasticidade 
c deformação específica do concreto cc deformação específica do concreto devida à fluência cs deformação específica do concreto devida à retração ct deformação específica do concreto à tração cu deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura c2 deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico c(t) deformação específica total do concreto no instante t c(t0) deformação específica imediata do concreto devida à aplicação de carga cc(t,t0) deformação específica do concreto devida à fluência entre os instantes t0 e t cs(t,t0) deformação específica do concreto devida à retração entre os instantes t0 e t cs(t,t0) deformação específica do concreto devida à retração entreos instantes t0 e t s deformação específica do aço da armadura passiva uk deformação específica do aço na ruptura yd deformação específica do aço no início do patamar plástico 1 coeficiente de aderência (t,t0) coeficiente de fluência no instante t, provocado por carregamento aplicado em t0 (t,t0) limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0  coeficiente de Poisson 
c massa específica do concreto c tensão à compressão no concreto c(t0) tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0 ct tensão à tração no concreto s tensão normal no aço da armadura passiva 
c encurtamento do concreto devido à fluência 
s encurtamento do concreto devido à retração 
0 encurtamento inicial do concreto devido à aplicação de carga 1.10 Exercícios 
Ex. 1.1: Complete o quadro abaixo. Considerar brita proveniente de rocha basáltica. 
Concreto fck (MPa) fctk,inf (MPa) fctk,sup (MPa) Eci (MPa) Ecs (MPa) C30 C60 C90 
1-19 2016 tc037 
 
Ex. 1.2: Considerando estado-limite último (ELU), defina os diagramas tensão-deformação idealizados (compressão) para os concretos C25, C40, C55, C70 e C90. Complete o quadro abaixo e desenhe os diagramas usando as seguintes escalas: deformação: 1 cm = 1‰ tensão: 1 cm = 5 MPa 
c c (MPa) 
0,00‰ 0,25‰ 0,50‰ 0,75‰ 1,00‰ 1,25‰ 1,50‰ 1,75‰ 2,0‰ c2 cu 
Ex. 1.3: Considerando estado-limite último (ELU), defina o diagrama tensão-deformação para o aço CA-50. Complete o quadro abaixo e desenhe o diagrama usando as seguintes escalas: deformação: 1 cm = 1‰ tensão: 1 cm = 100 MPa 
s s (MPa) 
0,0‰ yd 10,0‰ 
4,1ff ckcd 
s
ydyd
ykyd
E
f
15,1
ff


2-1 2016 tc037 
 
22 
QUALIDADE DA ESTRUTURA CONFORMIDADE DO PROJETO DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS CRITÉRIOS DE PROJETO VISANDO A DURABILIDADE 
2.1 Requisitos gerais de qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto1 
2.1.1 Requisitos da qualidade da estrutura 
As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, durante sua construção e serviço, e aos requisitos adicionais estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto estrutural e o contratante. 
2.1.1.1 Capacidade resistente 
Consiste basicamente na segurança à ruptura. 
2.1.1.2 Desempenho em serviço 
Consiste na capacidade da estrutura manter-se em condições plenas de utilização durante sua vida útil, não podendo apresentar danos que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foi projetada. 
2.1.1.3 Durabilidade 
Consiste na capacidade da estrutura resistir às influências ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e o contratante, no início dos trabalhos de elaboração do projeto. 
2.1.2 Requisitos da qualidade do projeto 
2.1.2.1 Qualidade da solução adotada 
A solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura. A qualidade da solução adotada deve ainda considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas (ver ABNT NBR 14931), estruturais, e de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar-condicionado e outros), explicitadas pelos responsáveis técnicos de cada especialidade, com a anuência do contratante. 
2.1.2.2 Condições impostas ao projeto Todas as condições impostas ao projeto devem ser estabelecidas previamente e em comum acordo entre o autor do projeto estrutural e o contratante. Para atender aos requisitos de qualidade impostos às estruturas de concreto, o projeto deve atender a todos os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 6118 e em outras complementares e específicas, conforme o caso. As exigências relativas à capacidade resistente e ao desempenho em serviço deixam de ser satisfeitas quando são ultrapassados os respectivos estados limites. As exigências de durabilidade deixam de ser atendidas quando não são observados os critérios de projeto definidos na ABNT NBR 6118 - 7. 
 1 Como apresentados na ABNT NBR 6118 - 5. 
2-2 2016 tc037 
 
Para tipos especiais de estruturas, devem ser atendidas exigências particulares estabelecidas em Normas Brasileiras específicas. Exigências particulares podem, por exemplo, consistir em resistência a explosões, ao impacto, aos sismos, ou ainda relativas à estanqueidade, ao isolamento térmico ou acústico Exigências suplementares podem ser fixadas em projeto. 
2.1.2.3 Documentação da solução adotada O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto. As especificações e os critérios de projeto podem constar nos próprios desenhos ou constituir documento separado. Os documentos relacionados devem conter informações claras, corretas, consistentes entre si e com as exigências estabelecidas na ABNT NBR 6118. O projeto estrutural deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura. São necessários projetos complementares de escoramento e fôrmas, que não fazem parte do projeto estrutural. 
2.1.3 Avaliação da conformidade do projeto 
A avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada por profissional habilitado, independente e diferente do projetista, requerida e contratada pelo contratante, e registrada em documento específico, que acompanhará a documentação do projeto como citada em 2.1.2.3. Entende-se que o contratante pode ser o proprietário da obra, em uma primeira instância, desde que este tenha condições de compreender o que está se propondo e acertado neste contrato, cujo conteúdo pode versa sobre termos técnicos, específicos da linguagem do engenheiro. Nesse caso, entende-se que o proprietário tenha conhecimentos técnicos e compreenda todo o teor do contrato e o autorize. O contratante pode ser também um representante ou preposto do proprietário, respondendo tecnicamente pelo eu há de cunho técnico neste contrato, substituindo este último nas questões exigidas, ou seja, nas responsabilidades próprias e definidas pela ABNT NBR 6118. O contratante também definirá em comum acordo com o projetista, as demais prerrogativas, exigências e necessidades para o atendimento a ABNT NBR 6118, sempre que alguma tomada de decisão resultar em responsabilidades presentes e futuras de ambas as partes. A avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada antes da fase de construção e, de preferência, simultaneamente com a fase de projeto. A ABNT NBR 6118 - 5 estabelece os critérios do projeto, do recebimento do concreto e aço e da confecção do manual de utilização, inspeção e manutenção. 
2.2 Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto2 
As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto, conservem sua segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o prazo correspondente à sua vida útil. 
2.2.1 Vida útil do projeto 
Por vida útil de projeto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas de concreto, sem intervenções significativas, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, conforme 7.8 e 25.3 da ABNT NBR 6118, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais. O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Desta forma, determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil diferente do todo, com, por exemplo, aparelhos de apoio e juntas de movimentação. A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e atitudes coordenadas de todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização, devendo, como mínimo, ser seguido o que estabelece a ABNT NBR 12655, sendo também obedecidas as disposições da ABNT NBR6118 - 25.3 com relação às condições de uso, inspeção e manutenção. 
 2 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 6. 
2-3 2016 tc037 
 
2.2.2 Mecanismos de envelhecimento e deterioração 
Os mecanismos de envelhecimento e deterioração são referentes ao concreto, a armadura e a estrutura propriamente dita. 
2.2.2.1 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto 
2.2.2.1.1 Lixiviação É o mecanismo responsável por dissolver e carrear os compostos hidratados da pasta de cimento por ação de águas puras, carbônicas agressivas, ácidas e outras. Para prevenir a ocorrência, recomenda-se restringir a fissuração, de forma a minimizar a infiltração de água, e proteger as superfícies expostas com produtos específicos, como hidrófugos. 
2.2.2.1.2 Expansão por sulfato É a expansão por ação de águas ou solos que contenham ou estejam contaminados com sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado. A prevenção pode ser feita pelo uso de cimento resistente a sulfatos, conforme ABNT NBR 5737. 
2.2.2.1.3 Reação álcali-agregado É a expansão por ação das reações entre os álcalis do concreto e agregados reativos. O projetista deve identificar no projeto o tipo de elemento estrutural e sua situação quanto à presença de água, bem como deve recomendar as medidas preventivas, quando necessárias, de acordo com a ABNT NBR 15577-1. 
2.2.2.2 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura 
2.2.2.2.1 Despassivação por carbonatação É a despassivação por cabonatação, ou seja, por ação do gás carbônico da atmosfera sobre o aço da armadura. As medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso dos agentes agressivos ao interior do concreto. O cobrimento das armaduras e o controle da fissuração minimizam este efeito, sendo recomendável um concreto de baixa porosidade. 
2.2.2.2.2 Despassivação por ação de cloretos Consiste na ruptura local da camada de passivação, causada por elevado Téo de íon-cloro. As medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso de agentes agressivos ao interior do concreto. O cobrimento das armaduras e o controle da fissuração minimizam este efeito, sendo recomendável um concreto de pequena porosidade. O uso de cimento composto com adição de escória ou material pozolânico é também recomendável nestes casos. 
2.2.2.3 Mecanismos de deterioração da estrutura propriamente dita São todos aqueles relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica, impactos, ações cíclicas, retração, fluência e relaxação, bem como as diversas ações que atuam sobre a estrutura. Sua prevenção requer medidas especificas, que devem ser observadas em projeto, de acordo com a ABNT NBR 6118 e Normas Brasileiras específicas. Alguns exemplos de medidas preventivas são: - barreiras protetoras em pilares (de viadutos, pontes e outros) sujeitos a choques mecânicos; - período de cura após a concretagem (para estruturas correntes, ver ABNT NBR 14931); - juntas de dilatação em estruturas sujeitas a variações volumétricas; e - isolamentos térmicos, em casos específicos, para prevenir patologias devidas a variações térmicas. 
2.2.3 Agressividade do ambiente 
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas. Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 2.1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes. 
2-4 2016 tc037 
 
Classe de agressividade ambiental Agressividade 
Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto 
Risco de deterioração da estrutura 
I Fraca Rural Insignificante Submersa 
II Moderada Urbana a, b Pequeno 
III Forte Marinha a Grande Industrial a, b 
IV Muito Forte Industrial a, c Elevado Respingos de maré 
a Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). b Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde raramente chove. c Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
Tabela 2.1 - Classes de agressividade ambiental 
O responsável pelo projeto estrutural, de posse de dados relativos ao ambiente em que será construída a estrutura, pode considerar classificação mais agressiva que a estabelecida na Tabela 2.1. 
2.3 Critérios de projeto visando a durabilidade3 
2.3.1 Drenagem 
Deve ser evitada a presença ou acumulação de água proveniente de chuva ou decorrente de água de limpeza e lavagem, sobre as superfícies das estruturas de concreto. As superfícies expostas horizontais, como coberturas, pátios, garagens, estacionamentos e outras, devem ser convenientemente drenadas, com disposição de ralos e condutores. Todas as juntas de movimento ou de dilatação, em superfícies sujeitas à ação de água, devem ser convenientemente seladas, de forma a tornarem-se estanques à passagem (percolação) de água. Todos os topos de platibandas e paredes devem ser protegidos. Todos os beirais devem ter pingadeiras e os encontros em diferentes níveis devem ser protegidos por rufos. 
2.3.2 Formas arquitetônicas e estruturais 
Disposições arquitetônicas ou construtivas que possam reduzir a durabilidade da estrutura devem ser evitadas. Deve ser previsto em projeto o acesso para inspeção e manutenção de partes da estrutura com vida útil inferior ao todo, como aparelhos de apoio, caixões, insertos, impermeabilizações e outros. Devem ser previstas aberturas para drenagem e ventilação em elementos estruturais onde há possibilidade de acúmulo de água. 
2.3.3 Qualidade do concreto de cobrimento 
A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação 
 3 Como apresentados na ABNT NBR 6118 - 7. 
2-5 2016 tc037 
 
água/cimento e a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos mínimos expressos na Tabela 2.24. 
Concreto a Classe de agressividade (Tabela 2.1) I II III IV 
Relação água/cimento em massa  0,65  0,60  0,55  0,45 
Classe de concreto (ABNT NBR 8953)  C20  C25  C30  C40 
a O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655. 
Tabela 2.2 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
Não é permitido o uso de aditivos à base de cloreto em estruturas de concreto, devendo ser obedecidos os limites estabelecidos na ABNT NBR 12655. O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado. Isto constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais,estabelecidos na Tabela 2.35 para c = 10 mm. Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. 
Componente ou elemento 
Classe de agressividade ambiental (Tabela 2.1) 
I II III IV c 
Cobrimento nominal (cnom) 
Laje b 20 mm 25 mm 35 mm 45 mm 
Viga / Pilar 25 mm 30 mm 40 mm 50 mm 
Contato com o solo d 30 mm 30 mm 40 mm 50 mm 
b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo cobrimento nominal referente à barra ou feixe (cnom  barra ou cnom  feixe), respeitado um cobrimento nominal maior ou igual a 15 mm (cnom  15 mm). c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter cobrimento nominal maior ou igual a 45 mm (cnom  45 mm). 
Tabela 2.3 - Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para c = 10 mm 
Os requisitos das Tabela 2.2 e Tabela 2.3 são válidos para concretos executados com cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das ABNT NBR 5732, ABNT NBR 5733, ABNT NBR 5735, ABNT NBR 5736, ABNT NBR 5737, ABNT NBR 11578, ABNT NBR 12989 ou ABNT NBR 13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com a ABNT NBR 12655. 
 4 Tabela válida somente para estruturas de concreto armado. 5 Tabela válida somente para estruturas de concreto armado. 
2-6 2016 tc037 
 
Quando houver um controle adequado de qualidade e limites rígidos de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 2.3, em 5 mm. Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo (Figura 2.1). 
Figura 2.1 - Cobrimentos de barras longitudinais e transversais 
O cobrimento nominal de uma determinada barra ( ou t da Figura 2.1) ou de um feixe de barras (Figura 2.2) deve sempre ser: 
nc
c
nfeixenom
barranom 
 Equação 2.1
 
Figura 2.2 - Feixe de barras 
A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento (Figura 2.3). 
 
Figura 2.3 - Dimensão máxima do agregado 
nommax c 1,2d  Equação 2.2
c 
t c  cnom   ct  cnom  t 
 ct 
 = barra 
n = feixe 
n = 3 
n =  3 
cnom  n 
n 
cnom  n 
dmax Cnom 
2-7 2016 tc037 
 
No caso de elementos estruturais pré-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das armaduras (Tabela 2.3, página 2-4) devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062. 
2.3.4 Detalhamento da armadura 
As barras devem ser dispostas dentro do componente ou elemento estrutural, de modo a permitir e facilitar a boa qualidade das operações de lançamento e adensamento do concreto. Para garantir bom adensamento, é necessário prever no detalhamento da disposição das armaduras espaço suficiente para entrada da agulha do vibrador. 
2.3.5 Controle da fissuração 
O risco e a evolução da corrosão do aço na região das fissuras de flexão transversais à armadura principal dependem essencialmente da qualidade e da espessura do concreto de cobrimento da armadura. Aberturas características limites de fissuras na superfície do concreto, dadas na ABNT NBR 6118 - 13.4.2, em componentes ou elementos de concreto armado, são satisfatórias para as exigências de durabilidade. 
2.3.6 Medidas especiais 
Em condições de exposição adversas, devem ser tomadas medidas especiais de proteção e conservação do tipo: aplicação de revestimentos hidrofugantes e pinturas impermeabilizantes sobre as superfícies de concreto, revestimentos de argamassas, de cerâmicas ou outros sobre a superfície do concreto, galvanização da armadura, proteção catódica da armadura e outros. 
2.3.7 Inspeção e manutenção preventiva 
O conjunto de projetos relativos a uma obra deve orientar-se sob uma estratégia explícita que facilite procedimentos de inspeção e manutenção preventiva da construção. O manual de utilização, inspeção e manutenção deve ser produzido conforme consta na ABNT NBR 6118 - 25.3. 
2.4 Simbologia específica 
2.4.1 Símbolos base 
c cobrimento de barra de armadura longitudinal cmin cobrimento mínimo de armadura cnom cobrimento nominal de armadura (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução) ct cobrimento de barra de armadura transversal (estribo) dmax dimensão máxima característica do agregado graúdo n número de barras que constituem um feixe  diâmetro das barras que constituem um feixe barra diâmetro da barra feixe diâmetro equivalente de um feixe de barras  diâmetro da barra de armadura longitudinal n diâmetro equivalente de um feixe de barras (diâmetro nominal) t diâmetro da barra de armadura transversal (estribo) c tolerância de execução para o cobrimento da armadura 
2.5 Exercícios 
Ex. 2.1: Determinar a menor classe possível de concreto (menor fck), bem como o maior fator possível água/cimento (maior A/C) para as seguintes construções: - construção urbana, ambiente interno seco; - construção industrial, ambiente externo seco; e - construção marinha, ambiente externo. Ex. 2.2: Determinar o cobrimento nominal a ser adotado para as barras das vigas e pilares das seguintes construções: - construção urbana, ambiente interno seco; - construção industrial, ambiente externo seco; e - construção marinha, ambiente externo. 
2-8 2016 tc037 
 
Ex. 2.3: Determinar os valores de a e b do estribo abaixo representado. A viga será construída em local de classe de agressividade ambiental II, as barras longitudinais superiores tem diâmetro 10 mm, as barras longitudinais inferiores tem diâmetro 16 mm e o estribo será constituído por barras de 6,3 mm. Considerar valores inteiros (em centímetros) para as dimensões a e b, barras mais próximas possível das faces e ignorar as curvaturas dos cantos do estribo. 
Ex. 2.4: Determinar as coordenadas dos eixos das barras longitudinais mostradas na figura abaixo. A viga será construída em local de classe de agressividade ambiental I, as barras longitudinais superiores tem diâmetro 16 mm, as barras longitudinais inferiores tem diâmetro 25 mm e o estribo será constituído por barras de 8 mm. Considerar as barras mais próximas possível das faces. 
 
x 
30 cm 
50 cm 
y 
20 cm 
40 cm 
a 
b 
3-1 2016 tc037 
 
33 
SEGURANÇA E ESTADOS-LIMITES AÇÕES RESISTÊNCIAS 
3.1 Segurança e estados-limites1 
3.1.1 Critérios de segurança 
Os critérios de segurança adotados na ABNT NBR 6118 baseiam-se na ABNT NBR 8681. 
3.1.2 Estados-limites 
Para os efeitos da aplicação da ABNT NBR 6118, devem ser considerados: - estados-limite últimos; e - estados-limites de serviço. 
3.1.3 Estados-limites últimos - ELU 
As seguranças das estruturas de concreto deve sempre ser verificada em relação aos seguintes estados-limites últimos: - estado-limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; - estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação plástica definida na ABNT NBR 6118 - 14, e admitindo-se, em geral, as verificaçõesseparadas das solicitações normais e tangenciais; todavia, quando a interação entre elas for importante, ela estará explicitamente indicada na ABNT NBR 6118. - estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; - estado-limite último provocado por solicitações dinâmicas; - estado-limite último de colapso progressivo; - estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme ABNT NBR 15200; - estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando ações sísmicas, de acordo com a ABNT NBR 15421; e - outros estados-limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais. 
3.1.4 Estados-limites de serviço - ELS 
Estados-limites de serviço são aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade, aparência, e boa utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas. Em construções especiais pode ser necessário verificar a segurança em relação a outros estados-limites de serviço não definidos na ABNT NBR 6118. 
 1 Como apresentados na ABNT NBR 6118 - 10. 
3-2 2016 tc037 
 
3.2 Ações2 
3.2.1 Ações a considerar 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. As ações a considerar classificam-se de acordo com a ABNT NBR 8681 em: - permanentes; - variáveis; e - excepcionais. 
3.2.2 Ações permanentes 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas permanentes as ações que aumentam no tempo, tendendo a um valor-limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
3.2.2.1 Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são constituídas pelo: - peso próprio da estrutura; - pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes; e - empuxos permanentes. 
3.2.2.1.1 Peso próprio Nas construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado considerando a massa especifica do material conforme estabelecido em 1.5.2 (página 1-3). 
3.2.2.1.2 Peso dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes As massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas com base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. Os pesos das instalações permanentes são considerados com os valores nominais indicados pelos respectivos fornecedores. 
3.2.2.1.3 Empuxos permanentes Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis. Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk,sup ou Fk,inf conforme a ABNT NBR 8681. 
3.2.2.2 Ações permanentes indiretas As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: - retração do concreto; - fluência do concreto; - deslocamentos de apoio; - imperfeições geométricas; e - protensão. 
3.2.2.2.1 Retração do concreto A deformação específica de retração do concreto pode ser calculada conforme indicado na ABNT NBR 6118 - Anexo A. Na grande maioria dos casos, permite-se que a retração seja calculada simplificadamente através da Tabela 1.3 (página 1-9), por interpolação. Essa Tabela fornece o valor característico 
 2 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 11. 
3-3 2016 tc037 
 
superior da deformação específica de retração entre os instantes t0 e t, cs(t,t0), em algumas situações usuais. Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na ABNT NBR 6118, o valor de cs(t,t0) pode ser adotado igual a -15 x 10-5. 
‰15,01015-)t,t( -50cs   Equação 3.1
Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiental não inferior a 75%. O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. Nos elementos estruturais permanentes submetidos a diferentes condições de umidade em faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura do elemento estrutural entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces. As deformações impostas uniformes nas peças, como aquelas decorrentes de retração, bem como temperatura e fluência do concreto, devem ser verificadas. Os efeitos devidos a essas deformações podem ser minimizados pela criação de juntas de concretagem ou dilatação. A consideração de deformações impostas diferenciais dentro da mesma peça, decorrentes, por exemplo, de partes com espessuras muito diferentes, devem ser sempre verificadas. 
3.2.2.2.2 Fluência do concreto As deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado na ABNT NBR 6118 - Anexo A. 
Nos casos em que a tensão c(t0) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 


   )28(E )t,t()t(E 1)t( )t,t( ci 00ci0c0c Equação 3.2
onde: 
c(t,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t; c(t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; (t,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0; Eci(t0) é o módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0; e Eci(28) é o módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias. O valor de (t,t0) pode ser calculado por interpolação da Tabela 1.3 (página 1-9). Essa Tabela fornece o valor característico superior de (t,t0) em algumas situações usuais. O valor característico inferior de (t,t0) é considerado nulo. 
3.2.2.2.3 Deslocamentos de apoio Os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida. O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do material de fundação correspondente. Como representativo desses deslocamentos, devem ser considerados os valores característicos superiores, ksup, calculados com avaliação pessimista da rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil 5% da respectiva distribuição de probabilidade. Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. O conjunto desses deslocamentos constitui-se em uma única ação, admitindo-se que todos eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. 
3.2.2.2.4 Imperfeições geométricas Na verificação do estado-limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: 
3-4 2016 tc037 
 
- imperfeições globais, como consideradas em 9.5.1 (página 9-9); e - imperfeições locais, como consideradas em 9.5.2 (página 9-11). 
3.2.2.2.5 Protensão A ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão. O valor da força de protensão deve ser calculado considerando a força inicial e as perdas de protensão conforme estabelecido na ABNT NBR 6118 - 9.6.3. Os esforços solicitantes gerados pela ação dessa protensão podem ser calculados diretamente a partir de excentricidade do cabo na seção transversal do elemento estrutural e da força de protensão ou através de um conjunto de cargasexternas equivalentes, ou ainda através da introdução de deformações impostas correspondentes ao pré-alongamento das armaduras. 
3.2.3 Ações variáveis 
3.2.3.1 Ações variáveis diretas 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas: - cargas acidentais previstas para o uso da construção; e - ação do vento e da chuva. Todas as ações devem respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas. 
3.2.3.1.1 Cargas acidentais previstas para o uso da construção As cargas acidentais correspondem normalmente a: - cargas verticais de uso da construção; - cargas móveis, considerando o impacto vertical; - impacto lateral; - força longitudinal de frenação ou aceleração; e - força centrífuga Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por Normas Brasileiras específicas. 
3.2.3.1.2 Ação do vento Os esforços solicitantes relativos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 
3.2.3.1.3 Ação da água O nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão, considerando apenas o coeficiente f = f3 =1,2, como considerados em 3.2.6 (página 3-6) e 3.2.7 (página 3-9). Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela construção. 
3.2.3.1.4 Ações variáveis durante a construção As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta, devem ter incluídas no projeto as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final. A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. Além disso, devem ser consideradas as cargas acidentais de execução. 
3.2.3.2 Ações variáveis indiretas 
3.2.3.2.1 Variações uniformes de temperatura A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. 
3-5 2016 tc037 
 
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: - para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; - para elementos estruturais maciços ou ocos, com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; e - para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm, admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas pela ABNT NBR 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura da construção. 
3.2.3.2.2 Variações não uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. 
3.2.3.2.3 Ações dinâmicas Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a ABNT NBR 6118 - 23. 
3.2.4 Ações excepcionais 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras específicas. 
3.2.5 Valores das ações 
3.2.5.1 Valores característicos 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de suas intensidades. 
3.2.5.1.1 Ações permanentes Para as ações permanentes, os valores característicos, Fgk, devem ser adotados iguais aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores ou inferiores. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso específico de materiais de construção, correspondem a: blocos de argamassa ..................................................................................... 22 kN/m3 lajotas cerâmicas ........................................................................................... 18 kN/m3 tijolos furados ................................................................................................. 13 kN/m3 tijolos maciços ................................................................................................ 18 kN/m3 argamassa de cal, cimento e areia ................................................................. 19 kN/m3 argamassa de cimento e areia ....................................................................... 21 kN/m3 concreto simples ............................................................................................ 24 kN/m3 concreto armado ............................................................................................ 25 kN/m3 
3.2.5.1.2 Ações variáveis Os valores característicos das ações variáveis, Fqk, estabelecidos por consenso e indicados em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de 
3-6 2016 tc037 
 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, o que significa que o valor característico Fqk é o valor com período médio de retorno de 174 a 117 anos, respectivamente. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mínimos de cargas verticais, correspondem a: ginásios de esportes ..................................................................................... 5,0 kN/m2 lojas .............................................................................................................. 4,0 kN/m2 restaurantes .................................................................................................. 3,0 kN/m2 escritórios ...................................................................................................... 2,0 kN/m2 forros ............................................................................................................. 0,5 kN/m2 edifícios residenciais dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ........................................... 1,5 kN/m2 despensa, área de serviço e lavanderia ............................................... 2,0 kN/m2 escadas com acesso ao público ......................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público ......................................................................... 2,5 kN/m2 
3.2.5.2 Valores representativos As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: - valores característicos conforme definido em 3.2.5.1 (página 3-5);- valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações excepcionais; - valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: - verificações de estados-limites últimos, quando a ação considerada combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pela expressão 0 Fk, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes, como apresentado em 0; e - verificações de estados-limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pelas expressões 1 Fk e 2 Fk, que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que acompanha a ação principal. 
3.2.5.3 Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação f. De modo simplificado, tem-se:   i,ki,fd FF Equação 3.3
onde: Fd representa o valor de cálculo do conjunto de ações; 
Fk,i corresponde aos valores representativos (característicos ou excepcionais) do conjunto de ações permanentes e variáveis; e 
f,i considera as incertezas dos valores de Fk,i (f,i > 1,0 para ações que atuam de modo desfavorável em elementos estruturais e f,i < 1,0 para uma, ou mais, ações variáveis que venham a atuar simultaneamente com outra ação variável considerada principal). 
3.2.6 Coeficientes de ponderação das ações 
As ações devem ser ponderadas pelo coeficiente f. É considerado que: 
3f2f1ff  Equação 3.4onde: 
f1 considera a variabilidade das ações; 
f2 considera a simultaneidade de atuação das ações; e 
3-7 2016 tc037 
 
f3 considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. 
3.2.6.1 Coeficientes de ponderação das ações no estado-limite último - ELU 
Os valores-base para verificação são os apresentados na Tabela 3.1 e na Tabela 3.2 para f1.f3 e f2, respectivamente. Para elementos estruturais esbeltos críticos para a segurança da estrutura, como pilares e pilares-parede com espessura inferior a 19 cm e lajes em balanço com espessura inferior a 19 cm, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento n, como apresentado em 3.2.6.1.1 e 3.2.6.1.2. 
Combinações de ações 
Ações 
Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) Recalques de apoio e retração 
D F G T D F D F 
Normais 1,4 a 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0,0 
Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0,0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0,0 1,2 0,9 0,0 0,0 
onde 
D é desfavorável, F é favorável, G representa as cargas variáveis em geral e T é a temperatura. 
a Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
Tabela 3.1 - Coeficientes f = f1.f3 - ELU 
Ações variáveis atuando simultaneamente f2 0 
Cargas acidentais de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas b 
0,5 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas c 
0,7 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 
b Edifícios residenciais. 
c Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. 
Tabela 3.2 - Coeficientes f2 = 0 - ELU 
Os valores das Tabela 3.1 e Tabela 3.2 podem ser modificados em casos especiais aqui não contemplados, de acordo com a ABNT NBR 8681. 
3-8 2016 tc037 
 
O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido. 
3.2.6.1.1 Pilares com dimensão menor que 19 cm A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo (Fd como obtido em 3.2.7.1) a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional n (coeficiente de ajustamento) apresentado na Tabela 3.3. Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal inferior a 360 cm2. 
Pilares e pilares-parede 
b (cm)  19 18 17 16 15 14 
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
onde: 
n = 1,95 - 0,05b b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em cm (cm). 
nota: o coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento. 
Tabela 3.3 - Coeficientes n - ELU 
3.2.6.1.2 Lajes em balanço com espessura menor que 19 cm No dimensionamento das lajes em balanço, com altura (espessura) entre 19 cm e 10 cm, os esforços solicitantes de cálculo (Fd como obtido em 3.2.7.1) a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional n (coeficiente de ajustamento) de acordo com o indicado na Tabela 3.4. 
Lajes em balanço 
h (cm)  19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 
onde: 
n = 1,95 - 0,05h h é a altura (espessura) da laje, expressa em cm (cm). 
nota: o coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço quando de seu dimensionamento. 
Tabela 3.4 - Coeficientes n - ELU 
3.2.6.2 Coeficientes de ponderação das ações no estado-limite de serviço - ELS Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados-limites de serviço é dado pela expressão: 
2ff  Equação 3.5onde: f2 = 1,0 para combinações raras; f2 = 1 para combinações freqüentes; e f2 = 2 para combinações quase permanentes. 
Os valores-base de f2, para verificação, são os apresentados na Tabela 3.5. 
3-9 2016 tc037 
 
Ações variáveis atuando simultaneamente f2 1 a 2 
Cargas acidentais de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas b 
0,4 0,3 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas c 
0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,7 0,6 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,3 0,0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,5 0,3 
a Para os valores de 1 relativos às pontes e principalmente para os problemas de fadiga, aplicar o disposto na ABNT NBR 6118 - 23. 
b Edifícios residenciais. 
c Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. 
Tabela 3.5 - Coeficientes f2 - ELS 3.2.7 Combinações de ações 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a verificação da segurança em relação aos estados-limites últimos e aos estados-limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente. 
3.2.7.1 Combinações últimas Uma combinação última pode ser classificada em: - normal; - especial ou de construção; e - excepcional. 
3.2.7.1.1 Combinações últimas normais Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seusvalores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. De modo geral, as combinações últimas usuais de ações deverão considerar: - o esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado; e - a perda do equilíbrio como corpo rígido. 
3.2.7.1.1.1 Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais A equação para o cálculo de solicitações considerando o possível esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado pode ser representada por: 
qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF    Equação 3.6
3-10 2016 tc037 
 
onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. Fgk representa as ações permanentes diretas: - peso próprio da estrutura; - peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e - empuxos permanentes. 
Fgk representa as ações permanentes indiretas: - retração do concreto; - fluência do concreto; - deslocamentos de apoio; - imperfeições geométricas; e - protensão. Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal. Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal: - cargas verticais de uso da construção; - cargas móveis, considerando o impacto vertical; - impacto lateral; - força longitudinal de frenação ou aceleração; - força centrífuga; - ação do vento; e - ação da água. 
Fqk representa as ações variáveis indiretas: - variações uniformes de temperatura; e - variações não uniformes de temperatura. 
g representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas. g representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas. q representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas. q representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas. 0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas. 0 representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas. 
Os valores de f (g, g, q e q) e de f2 (0) estão apresentados na Tabela 3.6 e na Tabela 3.7. 
ELU - Combinações últimas normais Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais Coeficientes de ponderação f 
Permanentes Variáveis 
Diretas g Indiretas g Diretas g Indiretas g 
D F D F D F D F 
1,4 a 1,0 1,2 0,0 1,4 0,0 1,2 0,0 
onde 
D é desfavorável e F é favorável. a Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
Tabela 3.6 - Coeficientes f - Combinações últimas normais - ELU 
3-11 2016 tc037 
 
ELU - Combinações últimas normais Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais Fatores de redução de combinações f2 = 0 
f2 
0 
Cargas acidentais de edifícios 
Edifícios residenciais b 0,5 
Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos c 0,7 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 
b Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas. 
c Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas. 
Tabela 3.7 - Coeficientes f2 - Combinações últimas normais - ELU 
No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de g = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios3 essas combinações que consideram g reduzido (g = 1,0) não precisam ser consideradas (ABNT NBR 6118 - Tabela 11.3). 
Exemplo 3.1: Estabelecer as equações de cálculo das ações para a combinação última normal (Fd) de estruturas de edifícios comerciais onde os carregamentos são resultantes de combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). Considerar o esgotamento da capacidade resistente para: - carregamentos gerais desfavoráveis; e - efeito favorável das cargas permanentes. 
Solução: Para a combinação última normal, deverão ser usados, para a Equação 3.6, os valores da Tabela 3.6 e Tabela 3.7. Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta - carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta - vento) g: 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
 q: 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável) 
 0: 0,7 (carga acidental de edifício comercial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício comercial - favorável) 
 0: 0,6 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) 
a) Ação permanente direta desfavorável (g =1,4) 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF    
 Fd = 1,4 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk)  Fd = 1,4 Gk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk)  Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk ◄ 
 3 A ABNT NBR 8118 - 11.8.2.4 não apresenta definição clara do significado “estruturas usuais de edifícios”. 
3-12 2016 tc037 
 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk)  Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk)  Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk)  Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ b) Ação permanente direta favorável (g =1,0) 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF    
 Fd = 1,0 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk)  Fd = 1,0 Gk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk)  Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk)  Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk)  Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk)  Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ c) Observações  Vento Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinações possíveis de ações (carregamentos) para o item a e mais 14 combinações para o item b. O total corresponderia a 28 possíveis combinações de ações (carregamentos) para a consideração do estado-limite último - combinação normal. 
  Estruturas usuais de edifícios Caso a estrutura venha a ser considerada como “usual”, os efeitos decorrentes das ações permanentes diretas favoráveis (g =1,0) não precisam ser considerados. Isto vale dizer que todo o item b poderia ser desconsiderado. 
  Carregamentos obrigatórios em estruturas As ações (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes, cargas acidentais e vento) constituem as ações obrigatórias de serem consideradas em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ação do vento tem que ser considerada. 
3.2.7.1.1.2 Cargas de Fundações A capacidade de carga4 de fundações superficiais (sapatas) ou de fundações profundas (estacas ou tubulões), de modo geral, são definidas por tensões admissíveis (fundações superficiais) ou cargas admissíveis (fundações profundas). Essas tensões ou cargas admissíveis 
 4 A ABNT NBR 6122 estabelece dois modos de verificação de segurança. O cálculo empregando fator de segurança global (tensões e cargas admissíveis) e o cálculo empregando fatores de segurança parciais (estado limite último). O primeiro é quase que o único utilizado. 
planta de pilares da estrutura 
Wk1 
Wk3 
Wk2 
WK4 
3-13 2016 tc037 
 
incluem coeficientes (fatores) de segurança que minoram as resistências dos elementos defundação. Segundo a Tabela 1 da ABNT NBR 6122, os fatores de segurança globais mínimos correspondem a: capacidade de carga de fundações superficiais ....................................................... 3,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões sem prova de carga ........................... 2,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões com prova de carga ........................... 1,6 Os valores das solicitações correspondentes às reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação, decorrentes das combinações de ações estabelecidas pela Equação 3.6, página 3-9 (estado-limite último), consideram coeficientes de ponderação (majoração) variáveis de acordo com a natureza das ações. Se as reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação, definidas pela Equação 3.6 do estado-limite último, forem usadas diretamente nos projetos de fundações superficiais ou profundas, baseados no critério das tensões ou cargas admissíveis, haverá um confronto de critérios de segurança, pois: - o critério do estado-limite último usa coeficientes de segurança diferenciados tanto para as solicitações (ações) como para as resistências dos materiais; e - o critério das tensões ou cargas admissíveis usa um único coeficiente de segurança global envolvendo tanto as solicitações (ações) com as resistências dos materiais. Portanto, para que não ocorra confronto entre critérios de segurança, a aplicação do critério das tensões ou cargas admissíveis nas fundações superficiais ou profundas implica na necessidade das solicitações resultantes das combinações de ações atuantes na estrutura serem consideradas sem coeficientes de ponderação (majoração). Por outro lado, a probabilidade de ocorrência simultânea de diferentes ações variáveis (cargas acidentais, vento, temperatura, etc.), representadas pelo coeficiente 0, deve ser considerada. Desta forma, a equação para a definição das reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação superficiais ou profundas, que empregam fator se segurança global (tensões ou cargas admissíveis), corresponde a: 
qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF    Equação 3.7
A Figura 3.1 mostra as solicitações decorrentes das diversas combinações de ações, a serem usadas na verificação da capacidade do terreno de fundação superficial (sapata). A força normal Nz, sendo de compressão, tem o sentido indicado na Figura. Os momentos fletores Mx e My, bem como as forças horizontais Hx e Hy dependem das combinações das ações (direção do vento, por exemplo) e podem assumir tanto valores positivos como negativos. 
Figura 3.1 - Solicitações em sapatas de concreto armado 
Deve-se tomar muito cuidado com a manipulação da Equação 3.6 (página 3-9) e da Equação 3.7. No caso específico da Figura 3.1, a Equação 3.6 deve ser usada para o dimensionamento da sapata de concreto armado, ao passo que a Equação 3.7 seria a usada para a verificação da capacidade do terreno de fundação. 
My Hy 
Nz 
Mx Hx 
3-14 2016 tc037 
 
Exemplo 3.2: Estabelecer as equações de cálculo das ações para a serem usadas em projeto de fundação direta (Fd,fund) de estruturas de edifícios comerciais onde os carregamentos são resultantes de combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). 
Solução: Para o projeto de fundação direta deverão ser usados, para a Equação 3.7, os valores da Tabela 3.7 (página 3-11). Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta - carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta - vento) 0: 0,7 (carga acidental de edifício comercial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício comercial - favorável) 
 0: 0,6 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) a) Ação para projeto de fundação direta 
 qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF    
 Fd = Gk + 0,0 (Qk + Wk)  Fd = Gk ◄ Fd = Gk + (Qk + 0,0 Wk)  Fd = Gk + Qk ◄ Fd = Gk + (Qk + 0,6 Wk)  Fd = Gk + Qk + 0,6 Wk ◄ Fd = Gk + (Wk + 0,0 Qk)  Fd = Gk + Wk ◄ Fd = Gk + (Wk + 0,7 Qk)  Fd = Gk + Wk + 0,7 Qk ◄ b) Observações  Vento Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinações possíveis de ações (carregamentos) para o item a. 
  Verificação da fundação direta A planilha para fornecimento das ações possíveis de atuarem nos elementos de fundação, para cada um deles (cada pilar), tem o aspecto mostrado a seguir. É importante observar que as 14 combinações de ações, individualmente, têm que ser verificadas. A combinação de valores da tabela, como, por exemplo, valores máximos, não deve ser incluída como outros casos possíveis de combinação de ações. 
planta de pilares da estrutura 
Wk1 
Wk3 
Wk2 
WK4 
3-15 2016 tc037 
 
 
 Gk: carga permanente Qk: carga acidental Wk: vento 
  Carregamentos obrigatórios em estruturas As ações (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes, cargas acidentais e vento) constituem as ações obrigatórias de serem consideradas em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ação do vento tem que ser considerada. Incluindo a definição dos carregamentos nos elementos de fundação, são necessárias 42 combinações de ações para o projeto estrutural de um edifício de concreto armado (28 combinações do Exemplo 3.1, página 3-11, mais 14 deste exemplo). A consideração de ações indiretas (fluência, retração, recalques de apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mais este valor. 
3.2.7.1.1.3 Perda de equilíbrio como corpo rígido A equação para a verificação da perda de equilíbrio como corpo rígido pode ser representada por: 
   
min,sqsjkj0k1qnkgnnd
dskgssd
ndsd
Q)QQ(GF
RGF
FSFS



 Equação 3.8
onde: S(Fsd) é o valor de cálculo das solicitações estabilizantes. S(Fnd) é o valor de cálculo das solicitações não estabilizantes. Fsd representa as ações estabilizantes. Fnd representa as ações não estabilizantes. Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver. Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante. Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante. Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal. Qjk é o valor característico da ação variável instabilizante. Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 
gs representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas estabilizante (Tabela 3.6, página 3-10 - efeito favorável). 
Sapata (Bloco) nº .... Nz Mx My Hx Hy Gk Gk + Qk Gk + Qk + 0,6 Wk1 Gk + Qk + 0,6 Wk2 Gk + Qk + 0,6 Wk3 Gk + Qk + 0,6 Wk4 Gk + Wk1 Gk + Wk2 Gk + Wk3 Gk + Wk4 Gk + Wk1 + 0,7 Qk Gk + Wk2 + 0,7 Qk Gk + Wk3 + 0,7 Qk Gk + Wk4 + 0,7 Qk 
3-16 2016 tc037 
 
gn representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas instabilizante (Tabela 3.6 - efeito desfavorável). 
q representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizante (Tabela 3.6 - efeito desfavorável). 
qs representa o coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante (usar o valor que conduza ao máximo Fnd). 0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis instabilizantes (usar valores que levem em conta a simultaneidade das ações, como apresentados na Tabela 3.7, página 3-11). 
Exemplo 3.3: Verificar as condições de segurança quanto ao tombamento da barragem de rejeito abaixo representada.Considerar: - massa específica do concreto da barragem igual a 2 200 kg/m3; e - massa específica do material de rejeito igual 1 300 kg/m3. 
Solução: Deverá ser verificada a condição de perda de equilíbrio como corpo rígido da barragem. Para tal deverão ser calculados o momento estabilizante [S(Fsd)] e o momento não estabilizantes [S(Fnd)] em relação ao pé da barragem (ponto A). A barragem será segura se [S(Fsd)]  [S(Fnd)]. Deverão ser usados, para a Equação 3.8, as seguintes notações e os seguintes valores para as ações e coeficientes (Tabela 3.6, página 3-10): Gsk: Gpp,bar (peso próprio da barragem - ação característica estabilizante) Q1k: Erej (empuxo - material de rejeito - ação característica instabilizante) Fsd: gs Gpp,bar (valor de cálculo da ação estabilizante Fnd: q Erej (valor de cálculo da ação instabilizante gs: 1,0 (coeficiente de ponderação - ação estabilizante - favorável) q: 1,4 (coeficiente de ponderação - ação instabilizante - desfavorável) a) Massas específicas e pesos específicos do concreto e do material de rejeito (valores característicos) 
 conc = 2 200 kg/m3 = 22 000 N/m3 = 22 kN/m3 rej = 1 300 kg/m3 = 13 000 N/m3 = 13 kN/m3 b) Ação permanente estabilizante (peso próprio da barragem) 
B 
H = 54 m 
1 1,8 
A Gsk 
1H 1,8V 
51 m 54 m 
0 m A 
3-17 2016 tc037 
 
 m 301,854B  
 kN/m 820,0 17222 54302HBGG concbar,ppsk  kN/m 820,0 17820,0 171,0GF skgssd  c) Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito) 
 kN/m 906,5 16132512HEQ
2
rej
2
rej1k  
 kN/m 1,66923905,5 161,4QF 1kqnd  d) Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A) 
   kNm/m 400,0 3563302820,0 173B2FMFS barsdA barpp,d,sd  
   kNm/m 7,3744023511,669233HFMFS rejndA rejemp,d,nd  e) Condição de segurança 
     segura não barragemFSFS
)7,274402(
nd
)0,400356(
sd   f) Alterando o talude da barragem para 1:1,5 f.1) Ação permanente estabilizante (peso próprio da barragem) 
H = 51 m Q1k 
A 
Bbar = 30 m 
Fsd 
Fnd Hrej = 51 m 
A 
B 
H = 54 m 
1 1,5 
A Gsk 
3-18 2016 tc037 
 
 m 361,554B  
 kN/m 384,0 21222 54362HBGG concbar,ppsk  kN/m 384,0 21384,0 211,0GF skgssd  
 f.2) Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A) 
   kNm/m 216,0 5133362384,0 213B2FMFS barsdA barpp,d,sd  
   kNm/m 7,3744023511,669233HFMFS rejndA rejemp,d,nd  
 f.3) Condição de segurança 
     segura barragemFSFS
)7,274402(
nd
)0,216513(
sd   
 
3.2.7.1.2 Combinações últimas especiais ou de construção Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. A equação para o cálculo de solicitações decorrentes de combinações últimas especiais ou de construção é a mesma equação usada para o cálculo de solicitações considerando o possível esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado, ou seja, a Equação 3.6 (página 3-9), reproduzida a seguir. 
qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF    Equação 3.6
Os valores de f (g, g, q e q) estão apresentados na Tabela 3.8. 
ELU - Combinações últimas especiais ou de construção Coeficientes de ponderação f 
Permanentes Variáveis 
Diretas g Indiretas g Diretas g Indiretas g 
D F D F D F D F 
1,3 1,0 1,2 0,0 1,2 0,0 1,2 0,0 
onde 
D é desfavorável e F é favorável. 
Tabela 3.8 - Coeficientes f - Combinações últimas especiais ou de construção - ELU 
Bbar = 36 m 
Fsd 
Fnd Hrej = 51 m 
A 
3-19 2016 tc037 
 
Os valores de f2 (0) estão apresentados na Tabela 3.7 (página 3-11). Quando Fq1k atuar em tempo muito pequeno ou tiver probabilidade de ocorrência muito baixa, 0j pode ser substituído por 2j (Tabela 3.5, página 3-9). 
3.2.7.1.3 Combinações últimas excepcionais Em cada combinação devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional (Fq1exc), quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo e incêndio. A equação para o cálculo de solicitações decorrentes de combinações últimas excepcionais pode ser representada por: 
qk0qqjkj0qexc1qgkggkgd FFFFFF    Equação 3.9
Os valores de f (g, g, q e q) estão apresentados na Tabela 3.9. 
ELU - Combinações últimas excepcionais Coeficientes de ponderação f 
Permanentes Variáveis 
Diretas g Indiretas g Diretas g Indiretas g 
D F D F D F D F 
1,2 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 
onde 
D é desfavorável e F é favorável. 
Tabela 3.9 - Coeficientes f - Combinações últimas excepcionais - ELU 
Os valores de f2 (0) estão apresentados na Tabela 3.7 (página 3-11). Quando Fq1exc atuar em tempo muito pequeno ou tiver probabilidade de ocorrência muito baixa, 0j pode ser substituído por 2j (Tabela 3.5, página 3-9). Este pode ser o caso para ações sísmicas e situação de incêndio. 
3.2.7.2 Combinações de serviço 
As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura, podendo ser: - quase permanentes; - freqüentes; e - raras. 
3.2.7.2.1 Combinações quase permanentes São combinações que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado-limite de deformações excessivas. Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes 2 Fqk. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:   qjkj2gikser,d FFF Equação 3.10
onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgik representa as ações permanentes diretas: - peso próprio da estrutura; - peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e - empuxos permanentes. 
3-20 2016 tc037 
 
Fqjk representa as ações variáveis diretas: - cargas verticais de uso da construção; - cargas móveis, considerando o impacto vertical; - impacto lateral; - força longitudinal de frenação ou aceleração; - força centrífuga; - ação do vento; e - ação da água. 
2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para ELS, como apresentados na Tabela 3.5 (página 3-9). 
3.2.7.2.2 Combinações freqüentes São combinações que repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados-limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados-limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente 1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes 2 Fqk. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:   qjkj2k1q1gikser,d FFFF Equação 3.11
onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgik representa as ações permanentes diretas: - peso próprio da estrutura; - peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e - empuxos permanentes. Fq1k é o valor característico da ação variável principal direta. Fqjk representa as ações variáveis diretas: - cargas verticais de uso da construção; - cargas móveis, considerando o impacto vertical; - impacto lateral; - força longitudinal de frenação ou aceleração; - força centrífuga; - ação do vento; e - ação da água. 
1 é o fator de redução de combinaçãofreqüente para ELS, como apresentado na Tabela 3.5 (página 3-9). 
2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para ELS, como apresentados na Tabela 3.5. 
3.2.7.2.3 Combinações raras São combinações que ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado-limite de formação de fissuras. Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fq1k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes 1 Fqk. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:   qjkj1k1qgikser,d FFFF Equação 3.12
onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgik representa as ações permanentes diretas: - peso próprio da estrutura; - peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
3-21 2016 tc037 
 
- empuxos permanentes. Fq1k é o valor característico da ação variável principal direta. Fqjk representa as ações variáveis diretas: - cargas verticais de uso da construção; - cargas móveis, considerando o impacto vertical; - impacto lateral; - força longitudinal de frenação ou aceleração; - força centrífuga; - ação do vento; e - ação da água. 
1j representa o fator de redução de combinação freqüente para ELS, como apresentado na Tabela 3.5 (página 3-9). 
Exemplo 3.4: Definir as equações cálculo das ações para as combinações de serviço (Fd,ser) de estruturas de edifícios residenciais onde os carregamentos são resultantes de combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). Solução: Deverá ser usada a Equação 3.10 para a combinação quase permanente, a Equação 3.11 para a combinação freqüente e a Equação 3.12 para a combinação rara. Os valores de 1 e 2 são os constantes da Tabela 3.5 (página 3-9). Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta - carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta - vento) 1: 0,4 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
 2: 0,3 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
 1: 0,3 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) 
 2: 0,0 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) 
a) Combinação quase permanente   qjkj2gikser,d FFF Fd,ser = Gk + 0,3 Qk + 0,0 Wk  Fd,ser = Gk + 0,3 Qk ◄ 
b) Combinação freqüente   qjkj2k1q1gikser,d FFFF Fd,ser = Gk + 0,4 Qk + 0,0 Wk  Fd,ser = Gk + 0,4 Qk ◄ Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk  Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk ◄ 
c) Combinação rara   qjkj1k1qgikser,d FFFF Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk  Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk ◄ Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk  Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk ◄ 
d) Observação Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 5 combinações possíveis de ações (carregamentos) para a combinação freqüente e 8 combinações possíveis para a combinação rara. 
3-22 2016 tc037 
 
3.2.8 Solicitações e tensões de cálculo 
As solicitações (esforços), decorrentes das ações atuantes em elementos estruturais, classificam-se em: - solicitações normais, caracterizadas pelos momentos fletores (M) e forças normais de (N), e - solicitações de cisalhamento, caracterizadas pelos momentos torçores (T) e forças cortantes (V). As tensões, também decorrentes das ações, classificam-se em: 
- tensões normais (), relacionadas aos momentos fletores (M) e forças normais (N), e 
- tensões de cisalhamento (), relacionadas aos momentos torçores (T) e forças cortantes (V). Como as ações a serem consideradas no projeto estrutural correspondem às ações de cálculo (ações combinadas), as solicitações e as tensões deverão, também, ser representadas pelos seus valores de cálculo. Desta, forma, para efeito de dimensionamento e verificação de elementos estruturais os valores das solicitações e tensões a serem considerados são: - solicitações e tensões normais: MSd momento fletor solicitante de cálculo; NSd força normal solicitante de cálculo; e Sd tensão normal solicitante de cálculo. - solicitações e tensões de cisalhamento: TSd momento torçor solicitante de cálculo; VSd força cortante solicitante de cálculo; e Sd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo. 
Exemplo 3.5: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando ações diretas, estado-limite último, combinações últimas normais e peso próprio desprezível. Admitir: a. estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas; e b. estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) não precisam ser consideradas (ver 3.2.7.1.1.1, página 3-9). 
Solução: Deverão ser usados, para a Equação 3.6 (página 3-9), os seguintes valores para as ações e coeficientes (Tabela 3.6, página 3-10 e Tabela 3.7, página 3-11): 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF    
 Fgk = Gk = 10 kN (valor característico - ação permanente direta) Fq1k = Qk = 5 kN (valor característico - ação variável direta principal) g = 1,4 (combinação normal - ação permanente direta desfavorável) g = 1,0 (combinação normal - ação permanente direta favorável) q = 1,4 (combinação normal - ação variável direta desfavorável) q = 0,0 (combinação normal - ação variável direta favorável) 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN (variável) 
3-23 2016 tc037 
 
 Para o caso a, deverão ser consideradas as seguintes combinações: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + variável favorável) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável) Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk (permanente favorável + variável favorável) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk (permanente favorável + variável desfavorável) 
 Para o caso b, deverão ser consideradas as seguintes combinações: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + variável favorável) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável) 
a) Consideração do efeito favorável da ação permanente 
 a.1) Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
 a.2) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk 
 a.3) Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk 
 a.4) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,0 x 10 = 10 kN 1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = +04 kNm MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = -00 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,0 x 10 = 10 kN 0,0 x 5 = 0 kN 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = -10 kNm MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm 
3-24 2016 tc037 
 
 a.5) envoltória MSd 
b) Não consideração do efeito favorável da ação permanente b.1) Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
 b.2) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk 
 b.3) envoltória MSd 
c) Observações Deve ser observado que a consideração ou não do efeito favorável da carga permanente define a existência ou não de momentos positivos atuando na viga. A envoltória MSd mostrada no item a.5 mostra um momento positivo máximo de 4 kNm, enquanto que a envoltória MSd mostrada no item b.3 não apresenta momentos positivos. Em princípio, deve-se acreditar que o efeito favorável da carga permanente deva ser sempre considerado nas combinações de ações, e quea envoltória apresentada no item a.5 é a única correta. Na realidade a opção mostrada em 3.2.7.1.1.1 (página 3-9), onde a ABNT NBR 6118 estabelece: "No caso de estruturas usuais de edifícios, essas combinações que consideram g reduzido (1,0) não precisam ser consideradas" não pode ser usada isoladamente. A ABNT NBR 6118 estabelece, também: 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = -00 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
-14 kNm
-28 kNm 
-14 kNm
-28 kNm 
+4 kNm 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN 
MSd,A = -00 kNm MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
3-25 2016 tc037 
 
 "14.6.6 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas 14.6.6.1 Vigas contínuas Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais: a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; Portanto, ao diagrama (envoltória) apresentado no item b.3, deve-se acrescentar o diagrama de momentos fletores para o seguinte carregamento: 
 Desta forma, embora o efeito favorável da ação permanente não tenha sido considerado nas combinações últimas, a envoltória MSd apresenta momentos positivos, como mostrado no diagrama seguinte. 
 
3.3 Resistências5 
3.3.1 Valores característicos 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é menor que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm. Para ABNT NBR 6118, a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material (Figura 3.2). 
Figura 3.2 - Valor característico de resistência 
 5 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 12. 
-28 kNm 
-14 kNm
+8,75 kNm 
den
sida
de d
e 
prob
abil
idad
e 
resistências fm fk,inf 
5% distribuição normal 
B C 
A 
4 m 4 m 
1,4 x 5 = 7 kN MSd,A = -0,00 kNm MSd,B = +8,75 kNm MSd,C = -10,5 kNm 
3-26 2016 tc037 
 
3.3.1.1 Resistência característica do concreto O concreto, quer preparado no canteiro quer pré-misturado, deverá apresentar uma resistência característica fck, compatível com a adotada no projeto. Conforme mostrado na Tabela 1.1 (página 1-3), ao se definir a classe do concreto, fica estabelecido o valor da sua resistência característica (por exemplo, para o concreto classe C25, o valor de fck corresponde a 25 MPa). A especificação pura e simples da classe não é suficiente para a caracterização do concreto. A ABNT NBR 6118 exige, também, que seja fixado um valor máximo para a relação água/cimento, conforme mostrado na Tabela 2.2 (página 2-5). Outras características do concreto, tais como dimensão máxima do agregado graúdo, slump, etc. podem também ser requeridas. Em casos específicos, o consumo mínimo de cimento por metro cúbico de concreto pode vir a ser solicitado. Outro fator importante que deve ser estabelecido pelo profissional responsável pelo projeto é a data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. Etapas construtivas, tais como, retirada de cimbramento, manuseio de pré-moldados, e outras, definem valores da resistência característica do tipo fck,14, fck,90, fck,180, onde o número posterior à vírgula corresponde à data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. A não indicação da data significa que o concreto foi dosado para atingir sua resistência característica aos 28 dias (fck = fck,28). 
3.3.1.2 Resistência característica do aço 
Conforme mostrado na Tabela 1.3 (página 1-9), ao se definir a categoria do aço, fica estabelecido o valor da sua resistência característica (por exemplo, para o aço CA-25, o valor de fyk corresponde a 250 MPa). 3.3.2 Valores de cálculo 
3.3.2.1 Resistência de cálculo 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
m
kd ff  Equação 3.13
onde: fd resistência de cálculo; fk resistência característica; e m coeficiente de ponderação (minoração) da resistência. 
3.3.2.2 Coeficientes de ponderação das resistências 
As resistências devem ser ponderadas (minoradas) pelo coeficiente m. É considerado que: 
3m2m1mm  Equação 3.14
onde: 
m1 considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos; m2 considera a diferença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura; e 
m3 considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências. 
3.3.2.3 Resistência de cálculo do concreto 
3.3.2.3.1 Estado-limite último - ELU 
3.3.2.3.1.1 Verificação do concreto em data igual ou superior a 28 dias Quando a verificação da resistência do concreto se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a expressão: 
f fcd ckc  Equação 3.15
3-27 2016 tc037 
 
onde: fcd resistência de cálculo do concreto; fck resistência característica do concreto; e c coeficiente de ponderação (minoração) da resistência do concreto. 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto. Os valores de c para verificação no estado-limite último estão indicados na Tabela 3.10. 
Combinações c Normais 1,4 
Especiais ou de construção 1,2 
Excepcionais 1,2 
Tabela 3.10 - Valores de c 
Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente c deve ser multiplicado por 1,1. Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados deve ser consultada a ABNT NBR 9062. 
Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de c por 1,1. 
3.3.2.3.1.2 Verificação do concreto em data inferior a 28 dias Quando a verificação da resistência do concreto se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: 
c
ck1c
ckjcd fff  Equação 3.16
onde: fcd resistência de cálculo do concreto; fck resistência característica do concreto aos 28 dias; fckj resistência característica do concreto aos j dias (j < 28 dias); 1 fator que leva em conta o tipo de cimento e a data da verificação da resistência do concreto; e 
c coeficiente de ponderação (minoração) da resistência do concreto. 
Para valores de 1, a ABNT NBR 6118 - 12.3.3 estabelece: 
ARI-CPV decimento concreto parae
CPII e CPI cimento de concreto parae
CPIV e CPIII cimento de concreto parae
t2810,201
t2810,251
t2810,381



 

 






 



 

 



 Equação 3.17
3-28 2016 tc037 
 
Na Equação 3.17, t corresponde a idade efetiva do concreto, em dias. Alguns valores de 1 estão na Tabela 3.11 o os aspectos das curvas 1 estão mostrados na Figura 3.3. 
Tabela 3.11 - Valores de 1 
Figura 3.3 - Curvas 1 
A verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 dias. O controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas etapas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de fckj e fck adotados no projeto. 
3.3.2.3.2 Estado-limite de serviço - ELS Os limites estabelecidos para os estados-limites de serviço não necessitam de minoração, de tal forma que: m = c = 1,0. Portanto, para estados-limites deserviço, têm-se: 
ckckc
ckcd f0,1fff  Equação 3.18
Exemplo 3.6: Definir o valor de fcd para o concreto classe C25. Considerar combinação de ações normais para estado-limite último, cimento CPIV e concreto solicitado aos 10 e 28 dias. Considerar, também, o estado-limite de serviço. Solução: A fixação da classe do concreto automaticamente define o valor da resistência característica fck, conforme mostrado na Tabela 1.1 (página 1-3). A obtenção do valor da resistência de cálculo fcd aos 28 dias é feita pela Equação 3.15, com valores de c obtidos da Tabela 3.10. Para a determinação do valor da resistência de cálculo fcd aos 10 dias deverão ser usadas a Equação 3.16 e Equação 3.17. Para estado-limite de serviço, usar a Equação 3.18. 
a) Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELU 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f  1,4 c 
 2c
ckcd kN/cm 1,791,42,5
ff  ◄ 
b) Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELS 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f  1,0 c 
 2c
ckcd kN/cm 2,501,02,5
ff  ◄ c) Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELU 2ck kN/cm 2,5MPa 25f  1,4 c dias 10t  cimento = CPIV 
1 
Dias CPIII CPIV CPI CPII CPV ARI 3 0,46 0,60 0,66 7 0,68 0,78 0,82 14 0,85 0,90 0,92 21 0,94 0,96 0,97 28 1,00 1,00 1,00 0,2
1,0
0,6
0,8
0,4 CPIII e CPIV 
CPI e CPII 
CPV e ARI 
28 
dias 
1 
3 7 14 21 
3-29 2016 tc037 
 
 0,774ee 10
2810,38t
2810,38
1  





 





  
 2
c
ck1cd,10 kN/cm 1,381,42,5774,0
ff  ◄ d) Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELS 2ck kN/cm 2,5MPa 25f  1,0 c dias 10t  cimento = CPIV 
 0,774ee 10
2810,38t
2810,38
1  





 





  
 2
c
ck1cd,10 kN/cm 1,941,02,5774,0
ff  ◄ 
 
3.3.2.4 Resistência de cálculo do aço 
3.3.2.4.1 Estado-limite último - ELU O valor da resistência de cálculo fyd é definido pela expressão: 
s
ykyd
ff  Equação 3.19
onde: fyd resistência de cálculo do aço; fyk resistência característica do aço; e s coeficiente de ponderação (minoração) da resistência do aço. Os valores de s para verificação no estado-limite último estão indicados na Tabela 3.12. 
Combinações s Normais 1,15 Especiais ou de construção 1,15 Excepcionais 1,00 
Tabela 3.12 - Valores de s 
Admite-se, nas obras de pequena importância, o emprego do CA-25 sem a realização do controle de qualidade estabelecido na ABNT NBR 7480, desde que o coeficiente de ponderação para o aço seja multiplicado por 1,1. 
3.3.2.4.2 Estado-limite de serviço - ELS Os limites estabelecidos para os estados-limites de serviço não necessitam de minoração, de tal forma que: m = s = 1,0. Portanto, para estados-limites de serviço, têm-se: 
ykyks
ykyd f0,1
fff  Equação 3.20
Exemplo 3.7: Definir o valor de fyd para o aço CA-50. Considerar combinação de ações normais para o estado-limite último e estado-limite de serviço. Solução: A fixação da categoria do aço automaticamente define o valor da resistência característica fyk, conforme mostrado na Tabela 1.4 (página 1-9). A obtenção do valor da resistência de cálculo fyd é feita pela Equação 3.19, com valor de s obtido da Tabela 3.12. Para estado-limite de serviço, usar a Equação 3.20. 
a) Valor de fyk para o aço CA-50 – ELU 2yk kN/cm 50MPa 500f  1,15 s 
3-30 2016 tc037 
 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  ◄ 
b) Valor de fyk para o aço CA-50 – ELS 2yk kN/cm 50MPa 500f  1,0 s 
 2
s
ykyd kN/cm 50,01,050
ff  ◄ 
 
3.3.3 Esforços resistentes de cálculo 
Os esforços resistentes de cálculo decorrem da distribuição de tensões (resistentes) atuantes numa dada seção do elemento estrutural. Desta forma, assim como para as solicitações e tensões de cálculo, os esforços e as tensões resistências de cálculo a serem consideradas são: - esforços e tensões normais: MRd momento fletor resistente de cálculo; NRd força normal resistente de cálculo; e Rd tensão normal resistente de cálculo. - esforços e tensões de cisalhamento: TRd momento torçor resistente de cálculo; VRd força cortante resistente de cálculo; e Rd tensão de cisalhamento resistente de cálculo. 3.4 Verificação da segurança6 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas: - as condições construtivas; e - as condições analíticas de segurança. 
3.4.1 Condições construtivas de segurança 
Para as condições construtivas de segurança devem ser atendidas as exigências estabelecidas: - nos critérios de detalhamento constantes na ABNT NBR 6118 - 18 e ABNT NBR 6118 - 20; - nas normas de controle dos materiais, especialmente a ABNT NBR 12655; e - no controle de execução da obra, conforme ABNT NBR 14931 e Normas Brasileiras específicas. 
3.4.2 Condições analíticas de segurança 
As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não podem ser menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados-limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada, ou seja deve ser respeitada a condição 
dd SR  Equação 3.21
onde: Rd esforços resistentes de cálculo; e Sd solicitação de cálculo. Para a verificação do estado-limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido, Rd e Sd devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabilizantes respectivamente. 
Uma condição analítica de segurança pode ser representada no trecho  de uma viga de concreto armado, mostrada na Figura 3.4. 
 6 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 12.5 
3-31 2016 tc037 
 
 
Figura 3.4 - Solicitações e resistências em viga de concreto armado 
Na Figura 3.4, as dimensões, áreas, deformações, tensões, esforços e solicitações correspondem a: MSd solicitação de cálculo obtida da envoltória MSd (ações características - permanentes, variáveis, dinâmicas ou excepcionais - ponderadas pelos coeficientes f e combinadas entres si definem a envoltória MSd, como mostrado no Exemplo 3.5, página 3-22); MRd esforço resistente de cálculo, binário dado pelo produto Rcd z ou Rsd z; c encurtamento (deformação) do concreto provocado pelo momento fletor solicitante de cálculo MSd; s alongamento (deformação) da armadura provocado pelo momento fletor solicitante de cálculo MSd; c tensão de compressão atuante na região de concreto comprimido decorrente do encurtamento (deformação) c; x posição da linha neutra (distância compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e a linha neutra); z braço de alavanca (distância entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd); d altura útil da viga (distância compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e o centro de gravidade da seção geométrica da armadura tracionada); bw largura da viga; h altura da viga; As área da seção transversal da armadura tracionada: Rcd esforço resistente de cálculo, atuante na região de concreto comprimido, igual a cdA; Rsd esforço resistente de cálculo, atuante na armadura tracionada, igual a s As (s obtido do diagrama tensão-deformação do aço, através s). 
Na Figura 3.4, confrontando os valores de MSd e MRd, conclui-se: - MRd >>> MSd 
O trecho  é seguro (Rd > Sd), com excesso de materiais. A seção transversal da viga não é econômica. - MRd > MSd 
O trecho  é seguro (Rd > Sd), com sobra de materiais. A seção transversal da viga estará mais próxima da econômica quanto menor for à sobra de material. 
h z 
c 
 
Rsd s 
c 
MSd 
bw 
d 
As 
Rcd MRd 
esforços resistentes de cálculo ("interno") 
solicitação de cálculo ("externa") 
x 
3-32 2016 tc037 
 
- MRd = MSd 
O trecho  atinge o limite de segurança (Rd = Sd), com uso adequado de materiais. A seção transversal da viga mais econômica será aquela em que o balanço dos materiais (concreto e aço)atingir o menor custo. - MRd < MSd 
O trecho  não é seguro (Rd < Sd), com falta de materiais. A seção transversal da viga tem que ser redimensionada. 
O redimensionamento da seção transversal do trecho  da viga pode ser feito alterando, de forma isolada ou combinada, os valores d, bw ou As. A alteração das resistências do concreto ou do aço, embora possa ser feita, não constitui prática comum nos projetos de estrutura de concreto armado. 
3.4.3 Esforços resistentes de cálculo 
Os valores de cálculo dos esforços resistentes são determinados a partir dos valores de cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo, como definido em 3.3.2.1 (página 3-26). 
3.4.4 Esforços solicitantes de cálculo 
As solicitações de cálculo são calculadas para a combinação de ações consideradas, de acordo com a análise estrutural, como apresentada na ABNT NBR 6118 - 14. 
3.5 Simbologia específica 
3.5.1 Símbolos base 
b menor dimensão da seção transversal de pilar ou pilar-pareder bw largura da alma de viga d altura útil de viga fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias fd resistência de cálculo fk resistência característica fk,inf resistência característica inferior fk,sup resistência característica superior fm resistência média fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo fyk resistência ao escoamento do aço característica gk valor característico da ação permanente h altura de viga espessura de laje 
 vão qk valor característico da ação variável t tempo t0 início de contagem de tempo t final da contagem de tempo x altura da linha neutra z braço de alavanca As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração B base Bbar base da barragem D efeito desfavorável das ações Eci(t0) módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0 
3-33 2016 tc037 
 
Eci(28) módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias Erej ação variável instabilizante - empuxo do devido ao material de rejeito ELS estado-limite de serviço ELU estado-limite último F ações efeito favorável das ações Fd valor de cálculo das ações Fd,fund valor de cálculo das ações a serem considerados em projetos de fundações, quando nesses projetos será usado o método das tensões ou cargas admissíveis Fd,ser valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fgik valor característico das ações permanentes diretas Fgk valor característico das ações permanentes diretas Fk valor característico das ações Fk,i valor característico das ações Fk,inf valor inferior característico das ações Fk,sup valor superior característico das ações Fnd valor de cálculo das ações não estabilizantes Fqjk valor característico das ações variáveis diretas Fqk valor característico das ações variáveis Fqk,acid valor característico de ação variável direta - carga acidental Fqk,vento valor característico de ação variável direta - carga do vento Fq1 valor da ação variável direta principal Fq1exc valor característico da ação variável transitória excepcional Fq1k valor característico da ação variável direta principal Fsd valor de cálculo das ações estabilizantes Fgk valor característico das ações permanentes indiretas Fqk valor característico das ações variáveis indiretas G representa as cargas variáveis em geral Gk valor característico da ação permanente direta Gnk valor característico da ação permanente instabilizante Gpp,bar ação permanente estabilizante - peso próprio da barragem Gsk valor característico da ação permanente estabilizante H altura horizontal Hrej altura do material de rejeito Hx força horizontal na direção x Hy força horizontal na direção y M momento fletor Md,emp,rej momento desestabilizante devido ao empuxo do material de rejeito Md,pp,bar momento estabilizante devido ao peso próprio da barragem Mx momento fletor na direção x My momento fletor na direção y MRd momento fletor resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo N força normal Nz força normal na direção z NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo P força 
3-34 2016 tc037 
 
Qjk valor característico da ação variável instabilizante Qk valor característico de ação variável direta - carga acidental Qs,min valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante Q1k valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal Rcd esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rd esforço resistente de cálculo esforço resistente considerado como estabilizante Rsd esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada Sd solicitação de cálculo S(Fnd) valor de cálculo das solicitações não estabilizantes S(Fsd) valor de cálculo das solicitações estabilizantes T momento torçor representa os efeitos de temperatura TRd momento torçor resistente de cálculo TSd momento torçor solicitante de cálculo V força cortante Vertical VRd força cortante resistente de cálculo VSd força cortante solicitante de cálculo Wk valor característico de ação variável direta devida ao vento 1 coeficiente referente à resistência do concreto a j dias k,sup deslocamento de apoio (valor característico superior) c deformação específica do concreto c(t,t0) deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t cs(t,t0) deformação específica do concreto devida à retração entre os instantes t0 e t s deformação específica do aço à tração c coeficiente de ponderação da resistência do concreto f coeficiente de ponderação das ações f,i coeficiente de ponderação das ações f1 parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera a variabilidade das ações 
f2 parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera a simultaneidade de atuação das ações 
f3 parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações 
g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas gn coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas instabilizantes gs coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas estabilizantes m coeficiente de ponderação das resistências m1 parte do coeficiente de ponderação das resistências m que considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos 
m2 parte do coeficiente de ponderação das resistências m que considera a diferença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura 
m3 parte do coeficiente de ponderação das resistências m que considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências 
3-35 2016 tc037 
 
n coeficiente de ajustamento (multiplicador de f) que considera o aumento de probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção (aplicado a pilares, pilares-parede e lajes com espessura inferior a 19 cm) 
q coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizantes 
qs coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 
s coeficiente de ponderação da resistência do aço g coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas q coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (t,t0) limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0 conc massa específica do concreto rej massa específica do material de rejeito  tensão normal 
c tensão à compressão no concreto c(t0) tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0 Sd tensão normal solicitante de cálculo Rd tensão normal resistente de cálculo  tensão de cisalhamento 
Sd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo Rd tensão de cisalhamento resistentede cálculo 0 fator de redução de combinação para ações variáveis - ELU 0j fator de redução de combinação para ações variáveis diretas - ELU fator de redução de combinação para ações variáveis diretas instabilizantes 
0 fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas - ELU 1 fator de redução de combinação freqüente - ELS 1j fator de redução de combinação freqüente - ELS 2 fator de redução de combinação quase permanente - ELS 2j fator de redução de combinação quase permanente - ELS 
 trecho de viga 3.6 Exercícios 
Ex. 3.1: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama das forças cortantes solicitantes de cálculo (VSd), considerando ações diretas, estado-limite último, combinações últimas normais e peso próprio desprezível. Admitir: - estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas; e - estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) não precisam ser consideradas. 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN (variável) 
3-36 2016 tc037 
 
Ex. 3.2: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando - combinação última normal; - combinação última especial (Qk corresponde ao carregamento especial); - combinação última excepcional (Qk corresponde ao carregamento excepcional); - combinação quase permanente de serviço; - combinação freqüente de serviço; e - combinação rara de serviço. A viga, cujo peso próprio pode ser desprezado, é parte de uma estrutura usual de edifício residencial, cujas ações (cargas) são provenientes de: - peso de elementos construtivos (Gk); - carga acidental (Qk); e - vento (Wk). 
Ex. 3.3: Determinar as solicitações de cálculo (NSd) atuantes na barra AD. A estrutura é de um edifício residencial, cujas ações (cargas) são provenientes de: - peso próprio da viga AC mais elementos construtivos (gk); e - carga acidental (qk). Considerar: - estado-limite último, combinações últimas normais, e - estado-limite de serviço, combinação quase permanente. 
Ex. 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) e a envoltória do diagrama das forças cortantes solicitantes de cálculo (VSd). O carregamento gk (carga permanente) corresponde a uma ação permanente direta e os carregamentos q1k e q2k (cargas acidentais de mesma natureza7) correspondem a ações variáveis diretas independentes, ou seja, podem atuar simultaneamente ou não. Considerar: - estado-limite último, combinações últimas normais, e - estrutura de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas. 
 7 As cargas q1k e q2k são de mesma natureza. Isto vale dizer que ambas representam a ação variável direta considerada como principal (ambas correspondem ao índice 1 da Equação 3.6 (página 3-9), dependendo qual delas esteja sendo considerada). Mesmo que as cargas possam atuar simultaneamente, não se implica o fator 0 pois as cargas são de mesma natureza. 
C A 
B D 2 m 4 m 4 m 
Gk = 10 kN Qk = 5 kN Wk = 5 kNm 
qk = 50 kN/m 
gk = 10 kN/m 
8 m 10 m 
D 
C B A 
3-37 2016 tc037 
 
 
Ex. 3.5: Deseja-se dimensionar a viga de concreto armado abaixo indicada. Para tanto, é necessário determinar os momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) nas seções A (apoio do balanço) e C (meio do vão AB). Levando-se em consideração os coeficientes de ponderação das ações estabelecidos na ABNT NBR-6118, por meio de uma combinação de carregamentos, determine a envoltória de solicitações e avalie os momentos fletores solicitantes de cálculo nas seções A e C. Considerar: - estado-limite último, combinações últimas normais; 
 ações permanentes diretas desfavoráveis: ................... g = 1,4 ações variáveis diretas desfavoráveis: .......................... q = 1,4 ações variáveis diretas favoráveis: ................................ q = 0,0 - cargas variáveis diretas8 Q1k e Q2k correspondendo a cargas acidentais de mesma natureza (não considera 0), independentes, podendo atuar simultaneamente ou não; e - carga permanente direta gk atuando simultaneamente ao longo de toda viga. Obs: 
- não considerar ação permanente direta favorável (g = 1,0); e - apresentar a envoltória de modo esquemático, destacando, apenas, os valores exatos dos momentos fletores em A e C. 
Ex. 3.6: Determinar, para a viga abaixo indicada, os máximos momentos solicitantes de cálculo (positivo e negativo) na seção do meio do vão AB, considerando as possíveis combinações de cálculo, os coeficientes de ponderação, e os fatores de redução de combinações de ações segundo a ABNT NBR 6118. 
A viga está submetida a uma ação permanente direta uniformemente distribuída gk igual a 20 kN/m e a duas ações variáveis diretas, quais sejam, Qk igual a 180 kN e Wk igual a 300 kNm. As ações variáveis, por serem de diferentes naturezas (independentes), atuam simultaneamente ou não. A viga, é parte de uma estrutura cujas ações (cargas) são provenientes de: 
 8 Para as cargas Q1k e Q2k valem as observações (rodapé) apresentadas para as cargas q1k e q2k do Ex. 3.4. 
8 m 3 m 
q2k = 70 kN/m q1k = 90 kN/m 
gk = 25 kN/m 
2,0 m 
Q1k = 40 kN Q2k = 30 kN 
C 4,0 m 4,0 m A B 
gk = 20 kN/m 
3-38 2016 tc037 
 
- peso de elementos construtivos, inclusive peso próprio da viga (gk); - carga acidental (Qk); e - vento (Wk). Considerar: - combinações normais, 
- coeficientes de ponderação de ações (f): ações permanentes diretas favoráveis: ......................... g = 1,0 ações permanentes diretas desfavoráveis: ................... g = 1,4 ações variáveis diretas favoráveis: ................................ q = 0,0 ações variáveis diretas desfavoráveis: .......................... q = 1,4 - fatores de redução de combinações de ações (0): carga acidental (Qk): .................................................. 0 = 0,70 vento (Wk): ................................................................. 0 = 0,60 
Ex. 3.7: Determinar, para a viga abaixo indicada, os máximos momentos solicitantes de cálculo (positivo e negativo) na seção do meio do vão AB, considerando as possíveis combinações de cálculo, os coeficientes de ponderação, e os fatores de redução de combinações de ações segundo a ABNT NBR 6118. 
A viga está submetida a uma ação permanente direta uniformemente distribuída gk igual a 20 kN/m e a duas ações variáveis diretas, quais sejam, Qk igual a 180 kN e Wk igual a 300 kNm. As ações variáveis, por serem de diferentes naturezas (independentes), atuam simultaneamente ou não. A viga, é parte de uma estrutura cujas ações (cargas) são provenientes de: - peso de elementos construtivos, inclusive peso próprio da viga (gk); - carga acidental (Qk); e - vento (Wk). Considerar: - combinações normais, 
- coeficientes de ponderação de ações (f): ações permanentes diretas favoráveis: ......................... g = 1,0 ações permanentes diretas desfavoráveis: ................... g = 1,4 ações variáveis diretas favoráveis: ................................ q = 0,0 ações variáveis diretas desfavoráveis: .......................... q = 1,4 - fatores de redução de combinações de ações (0): carga acidental (Qk): .................................................. 0 = 0,70 vento (Wk): ................................................................. 0 = 0,60 
A B 2 m 8 m 
gk = 20 kN/m 
Qk = 180 kN
Wk = 300 kNm 
3-39 2016 tc037 
 
 
Ex. 3.8: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) e do diagrama de forças cortantes solicitantesde cálculo (VSd), admitindo: 
- ações diretas; - estado-limite último; 
- combinações normais, (g = 1,4 e q = 1,4); e - peso próprio desprezível. Considerar: - cargas Q1k e Q2k como acidentais9 (valores característicos) de mesma natureza (não considera 0); e - cargas Q1k e Q2k como independentes (atuam simultaneamente ou não); 
Ex. 3.9: Certa ponte de concreto armado deve ser projetada para suportar as passagens eventuais, simultâneas ou não, de dois veículos de carga, tal como ilustrado na figura. Sabe-se que as rodas dos veículos transmitem à estrutura cargas concentradas de 75 kN cada uma (valor característico). Para a posição indicada na figura, determine, no estado-limite último, as reações de apoio máxima e mínima (valores de cálculo) sobre o apoio correspondente à viga V01 
 9 Para as cargas Q1k e Q2k valem as observações (rodapé) apresentadas para as cargas q1k e q2k do Ex. 3.4. 
32P22 32P13 
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m 
Q1k = 16 kN 
Q2k = 32 kN 
/2 /2  
P 
32P3 
A B 2 m 8 m 
gk = 20 kN/m 
Qk = 180 kN
Wk = 300 kNm 
3-40 2016 tc037 
 
(apoio A). Considere as combinações de carregamento exigidas para a situação e os coeficientes de ponderação recomendados pela ABNT NBR 6118, tanto no sentido favorável quanto no sentido desfavorável das ações atuantes. 
Considerar: - carga permanente uniformemente distribuída: 40 kN/m (valor característico); e - coeficientes de ponderação para as ações da ABNT NBR-6118, combinações normais: 
 ações permanentes diretas favoráveis: ......................... g = 1,0 ações permanentes diretas desfavoráveis: ................... g = 1,3 ações variáveis diretas favoráveis: ................................ q = 0,0 ações variáveis diretas desfavoráveis: .......................... q = 1,4 Obs: - os pesos próprios das partes da estrutura estão incluídos nos carregamentos. 
 
1,4 m 1 m 
1,3 m B A 1,3 m 2,0 m 
1 m 1,4 m 
75 kN 75 kN 75 kN 75 kN 
V02 V01 
40 kN/m 
4-1 2016 tc037 
 
44 
FLEXÃO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA 
4.1 Introdução 
Uma viga reta, desde que não possua carregamentos horizontais ou inclinados, será solicitada por momentos fletores e forças cortantes, como mostrado na Figura 4.1. 
Figura 4.1 - Solicitações em viga 
Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as forças cortantes são responsáveis pela existência de dois tipos de armadura (Figura 4.2): - longitudinal, para resistir aos momentos fletores; e - transversal, para resistir às forças cortantes. 
Figura 4.2 - Armaduras de viga de concreto armado 
Neste capítulo só serão estudadas as armaduras longitudinais, ou seja, as armaduras necessárias para resistir aos momentos fletores. Segundo a ABNT NBR 6118 - 18.3.1, as vigas ficam caracterizadas quando: 
- /h  2 para vigas isostáticas; e 
- /h  3 para vigas contínuas. onde: 
 é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço); e h é a altura total da viga. 
Vigas com relações /h menores devem ser tratadas como vigas-parede. 
força cortante 
momento fletor 
A 
A 
corte AA 
armadura para momento fletor 
armadura para momento fletor armadura para força cortante 
4-2 2016 tc037 
 
4.2 Vãos efetivos de vigas 
Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.6.2.4, o vão efetivo de vigas (Figura 4.3) pode ser calculado pela seguinte expressão: 
210ef aa   Equação 4.1
com: 






h3,0
t5,0mina
h3,0
t5,0mina
22
11
 
onde: 
ef vão efetivo da viga; 
0 distância entre faces de dois apoios consecutivos; t largura do apoio paralelo ao vão da viga analisada; e h altura da viga. 
Figura 4.3 - Vão efetivo de viga 
4.3 Estado-limite último1 
O dimensionamento das armaduras longitudinais deve conduzir a um esforço resistente (MRd) igual ou superior ao esforço solicitante (MSd) determinado na análise estrutural. 4.3.1 Hipóteses básicas 
Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: a. as seções transversais se mantém planas após a deformação; b. a deformação das barras passivas aderentes, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu contorno; c. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas; d. a distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com definido em 1.5.8 (página 1-5), com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 3.3.2.3 (página 3-27), podendo este diagrama ser substituído pelo retângulo (Figura 4.4) de profundidade y = x, onde o valor do parâmetro pode ser tomado igual a: 
 1 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 17.2.2. 
h 
t2 t1 
0 
ef 
viga 
pilar 
4-3 2016 tc037 
 







 


MPa50f40050f8,0
MPa50f8,0
ckck
ck
 Equação 4.2
e onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada como sendo (c = c fcd)2, de tal forma que: 







 


MPa50f20050f185,0
MPa50f85,0
ckck
ck
c Equação 4.3
 
Figura 4.4 - Distribuição de tensões no concreto comprimido 
e. a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, (Figura 4.5) com valores de cálculo definidos em 3.3.2.4 (página 3-29); 
Figura 4.5 - Diagrama tensão-deformação do aço 
f. o estado-limite é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.6. 
 2 No caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida, a tensão no concreto deve ser tomada como sendo c = c fcd. Caso contrário, como na Figura 4.4, c = 0,9 c fcd. 
c = 0,9 c fcd (ver nota de rodapé) 
y 
 s 
MSd x 
c c 
Rsd 
MRdd 
As 
Rcd 
y = x 
10‰ yd 
s 
s 
fyd
MPa000210E
E
f
E
f
s
ss
yk
s
ydyd

 
4-4 2016 tc037 
 
 
Figura 4.6 - Domínios da ABNT NBR 6118 
4.3.2 Domínios 2, 3 e 4 
De uma análise mais detalhada dos domínios apresentados em 4.3.1.f (Figura 4.6), é possível concluir que as vigas de concreto armado solicitadas somente por momento fletor seriam possíveis apenas nos domínios 2, 3 e 4, com a linha neutra posicionada dentro da seção geométrica da viga (0 ≤ x ≤ d), como mostrado na Figura 4.7. 
 
Figura 4.7 - Domínios possíveis para vigas de concreto armado 
10‰ yd 
cu 
sub- armada super-armada
x 
s 
dxx  
MSd 
x 
10‰ yd 
s 
c 
4 
2 
3 d 
As 
fyd
3 4 
2 
x,23 x,34 1,000 
0,000 
x,23 
1,000 
x,34 
s 
s 
encurtamentos
c 
5 
4 
2 
1 
c2 cu d’ 
alongamentos 
yd 4a 
3 d 
As 
a 
b 
A’s 
h 
10‰ 
4-5 2016 tc037 
 
Da Figura 4.7, tem-se: 
- no domínio 2 [0,000 ≤ x ≤ x,23] (seção subarmada),  o concreto não chegou ao seu encurtamento limite (cu), possuindo, ainda, certa reserva de capacidade resistente;  o aço chegou ao seu alongamento máximo (10‰), tendo esgotado sua capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de fissuração intenso devido ao excessivo alongamento da armadura (e do concreto adjacente). 
- no domínio 3 [x,23 ≤ x ≤ x,34] (seção subarmada),  o concreto chegou ao seu encurtamento limite (cu), tendo esgotado sua capacidade resistente; 
 o aço tem seu alongamento compreendido entre yd e 10‰, possuindo, ainda, uma boa reserva de capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de fissuração expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto adjacente)apresentar alongamento considerável. 
- no domínio 4 [x,34 ≤ x ≤ 1,000] (seção superarmada),  o concreto pode estar próximo de ultrapassar seu encurtamento limite (cu), tendo esgotado, por inteiro, sua capacidade resistente; 
 o aço tem seu alongamento compreendido entre 0‰ e yd, possuindo uma grande reserva de capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, não deve apresentar um quadro de fissuração tão perceptível quanto aos dos domínios 2 e 3 devido ao pequeno alongamento da armadura (e do concreto adjacente). As vigas, quando dimensionadas no domínio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma eventual sobrecarga imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frágil, sem aviso prévio, pois o concreto rompe bruscamente antes da armadura esgotar sua capacidade resistente. As vigas dimensionadas nos domínios 2 e 3 (subarmadas) têm, devido a condições mais adequadas da posição da linha neutra, garantida boas condições de dutilidade, sendo conduzidas, para uma condição adversa de carregamento, a rupturas com aviso prévio, pois a armadura escoa antes do rompimento do concreto mostrando um quadro visível de deterioração da viga. O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada3, fica definido pela passagem do domínio 3 para o domínio 4 (Figura 4.7), que corresponde à reta cu - yd. Considerando um estado de deformação qualquer, dentro dos domínios 2, 3 ou 4 (Figura 4.8), tem-se: 
 
Figura 4.8 - Deformações em seção longitudinal de vigas 
 3 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (daí o super, no sentido de excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas têm uma distribuição mais equilibrada de materiais (daí o sub, no sentido de menos quantidade de armadura). 
sc
cx dx   Equação 4.4
s 
x 
c 
d h 
4-6 2016 tc037 
 
Para c igual a cu e s igual a 10‰, que representa a passagem do domínio 2 para o 3 (Figura 4.7), tem-se: 
‰10cu cux,23 
 Equação 4.5
Tendo em vista que a ABNT NBR 6118 estabelece valores de cu em função da classe do concreto, como mostrado em 1.5.8 (página 1-5), o valor de x,23, para diferentes tipos de concreto, pode ser dado por: 
 
 
















MPa50f
‰10100f-9035‰‰6,2
100f-9035‰‰6,2
MPa50f‰10‰5,3 ‰5,3
ck4ck
4ck
ck
x,23 Equação 4.6
Para diferentes tipos de concreto, a Tabela 4.1 mostra os valores de x,23 calculados pela Equação 4.6. 
x,23 
≤ C50 C55 C60 C70 C80 C90 
0,259 0,238 0,224 0,210 0,207 0,206 
Tabela 4.1 - Valores de x,23 para diferentes concretos 
Para c igual a cu e s igual a yd, que representa a passagem do domínio 3 para o 4 (Figura 4.7), tem-se: 
ydcu
cux,34 
 Equação 4.7
Tendo em vista que a ABNT NBR 6118 estabelece valores de cu em função da classe do concreto, como mostrado em 1.5.8 (página 1-5), e yd é dependente da categoria do aço, como apresentado na Figura 4.5 (página 4-3), o valor de x,34, para diferentes tipos de concreto e aço, pode ser dado por: 
 
 

























MPa50f
‰210
f
100f-9035‰‰6,2
100f-9035‰‰6,2
MPa50f
‰210
f‰5,3
‰5,3
ck
s
yk4ck
4ck
ck
s
yk
x,34 Equação 4.8
Para diferentes tipos de concreto e aço, a Tabela 4.2 mostra os valores de x,34 calculados pela Equação 4.8, onde s foi considerado como sendo igual a 1,15. 
4-7 2016 tc037 
 
 x,34 
 ≤ C50 C55 C60 C70 C80 C90 
CA-25 0,772 0,751 0,736 0,720 0,716 0,715 
CA-50 0,628 0,602 0,582 0,562 0,557 0,557 
CA-60 0,585 0,557 0,537 0,517 0,512 0,511 
Tabela 4.2 - Valores de x,34 para diferentes concretos e aços - s = 1,15 4.3.3 Recomendações da ABNT NBR 6118 
ABNT NBR 6118 - 16.2.3: “Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança adequada, isto é, uma probabilidade suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários.” 
ABNT NBR 6118 - 17.2.3: “Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites da posição da linha neutra (x/d) dados em 14.6.4.3, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 
ABNT NBR 6118 - 14.6.4.3: “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
x/d  0,45 para concretos com fck  50 MPa; e x/d  0,35 para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.” 
Desta forma, de modo a garantir as condições de dutilidade de elementos estruturais solicitados por momento fletor, a linha neutra deve ser posicionada nos domínios 2 ou 3, respeitados os limites estabelecidos na ABNT NBR 6118 - 14.6.4.3, como mostrado na Figura 4.9. Da mesma forma que a linha neutra pode ser representada de modo adimensional, através do parâmetro x, as tensões de tração na armadura também podem ser representadas de modo adimensional, através de: 
yd
ss f Equação 4.9
Desta forma, na Figura 4.9, o eixo das tensões está representado de forma adimensional, através do parâmetro s. 
4-8 2016 tc037 
 
 
Figura 4.9 - Condições de dutilidade da ABNT NBR 6118 
A obediência à ABNT NBR 6118 - 14.6.4.3, que estabelece o adequado comportamento dútil de vigas e lajes, pode ser representada por: 






MPa50f350,0
MPa50f450,0
ck
ck
dtlx, Equação 4.10
4.4 Variáveis adimensionais - ELU 
4.4.1 Elementos geométricos de seções retangulares 
Seja a Figura 4.10 onde são mostrados, dentre outros: - os esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd); - a posição da linha neutra (x); - a altura do retângulo de tensões de compressão (y); - a distância entre os esforços resistentes de cálculo (z); e - a altura útil da viga (d). 
s fyd 
frágil 
10‰ yd s 
x 
s = 
dxx  
MSd 
x 
10‰ yd 
s 
c 
4 
2 
d 
As 
1,0
4 
2 
1,000 
0,000 
1,000 
x,dtl 
dútil 
3 
x,dtl 
3 
cu 
0,000 
4-9 2016 tc037 
 
 
Figura 4.10 - Solicitação e esforços resistentes em vigas de concreto armado 
Da Figura 4.10, tem-se: - posição da linha neutra, como estabelecida pela Equação 4.4 (página 4-5) 
sc
cx dx   
- altura do retângulo de tensões c 


 dxdxy 
xy dy  - braço de alavanca entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd y5,0dz   x5,0dz  


  dx5,01dz 
xz 5,01dz  
Agrupando todas as variáveis geométricas , e criando a variável auxiliar c, tem-se: 
  auxiliar variável5,01
R e R entre alavanca de braço5,01dz
 tensões de retângulo do alturady
neutra linha da posiçãodx
xxczxcc
sdcdxz
cxy
sc
cx





 Equação 4.11
A Equação 4.11 mostra que as variáveis adimensionais y, z e c são funções diretas de x,  e c. Como mostrado nas Equação 4.2 e Equação 4.3 (página 4-3), as variáveis  e c são funções diretas da classe do concreto através de fck. Desta forma, da Equação 4.11 resultam: 
c = c fcd 
 
s 
MSd 
esforçosresistentes de cálculo solicitação de cálculo 
x 
c 
Rsd 
MRdd 
bw 
As 
z h 
y =  x 0,5 y Rcd 
4-10 2016 tc037 
 
- concreto classe igual ou inferior a C50 (fck ≤ 50 MPa) 
zxzxcc
xz
ck
xy
sc
cx
68,0
4,01dz
MPa50f
8,0dy
dx






 Equação 4.12
- concreto classe superior a C50 (fck > 50 MPa) 
zxckckzxcc
xckz
ck
xcky
sc
cx
20050f108540050f8,0
40050f8,05,01dz
MPa50f400
50f8,0dy
dx


 

 

 


 

 



 


 Equação 4.13
Desta forma, uma vez conhecida a posição da linha neutra (x), todos os demais elementos geométricos (y, z e c) ficam igualmente definidos, para cada classe de concreto. A Equação 4.12 e a Equação 4.13 permitem agrupar os valores de  como mostrado na Tabela 4.3. 
≤ C50 C90 x y z c x y z c 0,100 0,080 0,960 0,065 0,100 0,070 0,965 0,046 0,200 0,160 0,920 0,125 0,200 0,140 0,930 0,089 0,250 0,200 0,900 0,153 0,250 0,175 0,913 0,109 
 0,300 0,240 0,880 0,180 0,300 0,210 0,895 0,128 
 0,350 0,280 0,860 0,205 0,350 0,245 0,878 0,146 0,450 0,360 0,820 0,251 0,450 0,315 0,843 0,180 Tabela 4.3 - Valores de y, z, e c como função da classe do concreto e x 4.4.2 Diagrama adimensional tensão-deformação do aço 
Considerando o diagrama tensão-deformação do aço como apresentado na Figura 4.5 (página 4-3), e, agora, considerando também as deformações de encurtamento (compressão), chega-se a Figura 4.11. Nesta Figura, assim como na Figura 4.9 (página 4-8), optou-se por apresentar o diagrama de forma adimensional, com a introdução dos valores de s e ’s. 
4-11 2016 tc037 
 
 
Figura 4.11 - Diagrama adimensional tensão-deformação do aço 
Os valores de s e ’s, no trecho inclinado, são dados por: 
0,1f Ef Ef
0,1f Ef Ef
yk
ss'syd
s's
yd
's's
yk
sssyd
ss
yd
ss


 


 
 Equação 4.14
Seja a Figura 4.12 onde são mostrados, dentre outros: - a posição da linha neutra (x); - a altura útil da viga (d); - a posição da armadura comprimida (d’); 
- o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c); - o encurtamento da armadura comprimida (’s); e - o alongamento da armadura tracionada (s). 
 
Figura 4.12 - Alongamento e encurtamento da armadura 
Os valores de s e ’s, necessários para a determinação de s e ’s pela Equação 4.14, só são possíveis se forem conhecidos os valores de x, d, d’ e c, como mostrados na Figura 4.12. Sendo c dependente dos domínios da ABNT NBR 6118, a determinação de s e ’s fica, também, dependente destes domínios. 
yd
sss f E 
yd 
yd
's's f
yd
ss f
's 
s 
1,0
1,0 
10‰ 
yd 
Es = 210 000 MPa 
cu 
d' c 
Rcd y 
 
s 
MSd 
esforços resistentes de cálculo solicitação de cálculo 
x 
c 
Rsd 
MRdd 
As 
R’sd A’s 
’s 
4-12 2016 tc037 
 
4.4.2.1 Armadura tracionada 
4.4.2.1.1 Domínios 2 e 3 Considerando a Figura 4.7 (página 4-4) e a Figura 4.9 (página 4-8), observa-se, para os domínios 2 e 3 (0,000 ≤ x ≤ x,34), que o valor de s é sempre igual a 1,0, como apresentado na Figura 4.13. Observa-se, também, na referida Figura que uma viga subarmada pode ser caracterizada com a imposição de s igual a 1,0. 
Figura 4.13 - Domínios 2 e 3 - (s = 1,0) 
Desta forma, para os domínios 2 e 3, o valor de s, dado pela Equação 4.14, corresponde a: 
34,xxs 000,0000,1  Equação 4.15
4.4.2.1.2 Domínio 4 
Da Figura 4.13, pode ser observado que o valor de s é menor que 1,0 somente no domínio 4 (x,34 ≤ x ≤ 1,000). Por outro lado, no domínio 4, o encurtamento do concreto corresponde ao valor último, ou seja, cu (Figura 4.14). 
Figura 4.14 - Domínio 4 - (s < 1,0) 
cu 
s fyd s = 
yd 
yd 
sub- armada super-armada
10‰ 
s 
d 
As 
1,0
0,000 
x,34 
s 
4 
s < 1,0 
10‰ 
s fyd s = 
yd 
10‰ yd 
cu 
sub- armada super-armada
10‰ 
s 
c 
2 
d 
As 
1,0 
0,000 
x,34 
s 
s = 1,0 
x 
3 
4 
4-13 2016 tc037 
 
Da Figura 4.12 (página 4-11), tem-se: 
cucs
dx
dx1x xd 






 

  (c = cu no domínio 4) 
dxx  (Equação 4.4, página 4-5) 
cux
xs 1 


 
0,1f Eyk ssss 

  (Equação 4.14, página 4-11) 
0,1f E1 cuyk ssx xs 

 



 
 







MPa50f100f-9035‰‰6,2
MPa50f3,5‰
ck
4ck
ck
cu (1.5.8, página 1-5) 
- concreto classe igual ou inferior a C50 (fck ≤ 50 MPa) 
MPa50f
1,0‰5,3f E1
000,1
ck
yk
ss
x
xs
xx,34



 




 Equação 4.16
- concreto classe superior a C50 (fck > 50 MPa) 
 
MPa50f
0,1100f-9035‰‰6,2f E1
000,1
ck
4ck
yk
ss
x
xs
xx,34



 



 




 Equação 4.17
4.4.2.2 Armadura comprimida 
4.4.2.2.1 Domínio 2 
Considerando a Figura 4.13, observa-se, para o domínios 2 (0,000 ≤ x ≤ x,23), que o valor de s é igual a 10‰ (Figura 4.15). 
Figura 4.15 - Domínio 2 - (s = 10‰) 
3 
s = 10‰ 
cu 
c 
2 
d 
As 
0,000 
x,23 
x 
4 
4-14 2016 tc037 
 
Da Figura 4.12 (página 4-11), tem-se: 
‰10
dx1
dddxxd dx
'
s
''s 











 (s = 10‰ no domínio 2) 
dxx  (Equação 4.4, página 4-5) 
‰101 d
d
x
'
x's 








 
0,1f Eyk ss
's's 

  (Equação 4.14, página 4-11) 
23,xxyk
ss
x
'
x's 000,00,1‰10f E1 d
d


 









 Equação 4.18
4.4.2.2.2 Domínios 3 e 4 
Considerando a Figura 4.15, observa-se, para o domínios 3 e 4 (x,23 ≤ x ≤ 1,000), que o encurtamento do concreto corresponde ao valor último cu (Figura 4.16). 
Figura 4.16 - Domínios 3 e 4 - (c = cu) 
Da Figura 4.12 (página 4-11), tem-se: 
cu
'
c
''s 
dx
dddx x dx 






 

  (c = cu nos domínios 3 e 4) 
dxx  (Equação 4.4, página 4-5) 
cux
'
x's d
d










 
0,1f Eyk ss
's's 

  (Equação 4.14, página 4-11) 
yd 10‰ 
cu 
3 d 
As 
0,000 
x,23 
s x 
4 1,000 
4-15 2016 tc037 
 
0,1f Ed
d
cuyk
ss
x
'
x's 

 









 
 







MPa50f100f-9035‰‰6,2
MPa50f3,5‰
ck
4ck
ck
cu (1.5.8, página 1-5) 
- concreto classe igual ou inferior a C50 (fck ≤ 50 MPa) 
MPa50f
1,0‰5,3f Ed
d
000,1
ck
yk
ss
x
'
x's
xx,23



 











 Equação 4.19
- concreto classe superior a C50 (fck > 50 MPa) 
 
MPa50f
0,1100f-9035‰‰6,2f Ed
d
000,1
ck
4ck
yk
ss
x
'
x's
xx,23



 



 











 
Equação 4.20
4.4.2.3 Valores tabelados 
Considerando da Equação 4.15 a Equação 4.20, consta-se que os valores de s e ’s são funções de x, da relação d/d’, da classe do concreto (fck), da categoria do aço (fyk) e do coeficiente de segurança do aço (s). Assim como feito para as variáveis y, z, e c (Tabela 4.3, página 4-10), é possível associar os valores s e ’s a valores pré-fixados de x, e outros, como mostrado na Tabela 4.3, feita para o aço CA-25 (s = 1,15) e concreto C704. 
Concreto C70 
Aço CA-25 s =1,15 ’s para (d'/d) = 
x y z c s 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 
 0,100 0,075 0,963 0,055 1,000 0,805 0,537 0,268 
 0,220 0,165 0,918 0,116 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,525 0,233 
 0,320 0,240 0,880 0,162 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,962 0,762 0,561 
 x,dtl 0,263 0,869 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,916 0,733 
 0,450 0,338 0,831 0,215 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Tabela 4.4 - Flexão simples - C70 e CA-25 (s = 1,15) 
 4 As tabelas completas estão apresentadas em 4.13 (página 4-53 em diante). 
4-16 2016 tc037 
 
4.5 Indexação de áreas comprimidas 
Para a caracterização de áreas comprimidas e correspondentes esforços resistentes de cálculo (forças e momentos), será usada a seguinte indexação (Figura 4.17): - índice 1  área de concreto comprimido de largura bw e altura y;  força resistente de cálculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) c; e  momento resistente de cálculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z. - índice 2 ou plica (‘)  área de armadura comprimida (A’s);  força resistente de cálculo (R’sd) definida pelo produto A’s ’s; e  momento resistente de cálculo (MRd2) definido pelo produto R’sd (d - d’). - índice 3  área de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf;  força resistente de cálculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] c; e  momento resistente de cálculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d - hf/2). 
 
Figura 4.17 - Indexação de áreas comprimidas 
4.6 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 
4.6.1 Armadura mínima de tração 
A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup. A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%. 
sup,ctk0,mind fW8,0M  Equação 4.21
onde: W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta do concreto, relativo à fibra mais tracionada; e 
s 
esforços resistentes de cálculo 
Rsd 
MRd 
 bw 
bf d' 
As 
c c 
y x Rcd1 
Rcd3 R’sd2 A’s 
z 
d 
hf
solicitação de cálculo 
MSd h 
1 
3 3 
2 
MRd = MRd1 + MRd2 + MRd3 
’s 
4-17 2016 tc037 
 
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (1.5.5, página 1-4). 
  MPa50ff11,01ln756,2f
MPa50ff0,39f
ckcksupctk,
ck3 2cksupctk,


 Equação 4.22
A taxa de armadura longitudinal mínima (min) é definida como sendo: 
%15,0A
A
c
min,smin  Equação 4.23
onde: As,min corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada determinada pelo dimensionamento da seção transversal do elemento de concreto estrutural, necessária para resistir ao momento fletor Md,min, como estabelecido pela Equação 4.21; e Ac corresponde a área da seção transversal bruta do elemento de concreto que incorpora a armadura As,min. 4.6.2 Armadura máxima 
A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto. A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) não devem ter valor maior que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas. A taxa de armadura longitudinal máxima (max) será dada por: 
%4A AA c
'ssmax  Equação 4.24
onde: As corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada; A’s corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida; e Ac corresponde a área da seção transversal bruta do elemento de concreto que incorpora as armaduras As e A’s. A aplicação direta da Equação 4.24, para seções T, pode conduzir a vigas de difícil concretagem (excesso de armadura). A Figura 4.18 mostra uma seção retangular e uma seção T, de mesma altura (h) e mesma armadura tracionada (As). Admitindo-se que a armadura comprimida (A’s) seja de pequena monta a seguinte situação pode vir a ocorrer:     %4hb AAA AA w 'ssc 'ssret       %4hbbhb AAA AA fwfw 'ssc 'ssT   
Figura 4.18 - Comparativo entre seções retangulares e T 
Como pode ser observado na Figura 4.18, no retângulo bw h as quantidades de armadura são iguais tanto para seção retangular como para a seção T. Isto nos leva a concluir que a verificação da taxa máxima de armadura em seções T deve ser feita tanto para a seção total como para a seção bw h, de tal forma que: 
hf 
bw 
bf 
As 
h 
bw 
As 
A’s A’s 
4-18 2016 tc037 
 
  
 









%4hb AA
%4hbbhb AA
w
'ss
fwfw
'ss
T 
Como a concentração de armadura sempre ocorre no retângulo bw h, a verificação da taxa máxima de armadura em seções retangulares e seções T pode, de modo simplificado, ser feita da seguinte forma: 
%4hb AA w
'ssmax,T  Equação 4.25
4.7 Vigas de seção retangular sem armadura de compressão 
Seja a Figura 4.19 onde são mostrados, dentre outros: - a solicitação de cálculo (MSd); - os esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd); - os elementos geométricos referentes à seção transversal da viga (x, y, z, d, bw e h); - as deformações (c e s); e - a área de armadura (As). 
 
Figura 4.19 - Viga de seção retangular sem armadura de compressão 
Da Figura 4.19 e considerando as equações anteriormente apresentadas, tem-se: - elementos geométricos da seção retangular (Equação 4.11, página 4-9) 
dx x 
dy y 
dz z - valores geométricos adimensionais (Equação 4.11, página 4-9) 
zxcc
xz
xy 5,01



 
- valor adimensional da tensão na armadura tracionada (Equação 4.14, página 4-11) 
ydss f 
- condição de segurança 
SdRd MM  
c = c fcd 
As 
 
s 
MSd 
esforços resistentes de cálculo solicitação de cálculo 
x 
c 
Rsd 
MRd d 
bw 
Rcd 
z h 
y =  x 
4-19 2016 tc037 
 
- esforços resistentes de cálculo 
sdcd RR  - momento fletor (binário) devido aos esforços resistentes de cálculo 
zRzRM sdcdRd  - esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bw   cwcd ybR     cdcywcd fdbR     cdcxwcd fdbR    cdwxccd fdbR  - esforços resistentes de cálculo atuantes nas armaduras tracionadas 
sssd AR  
ydsssd fAR  
ydsssd fAR  
- binário MRd/Rcd zRM cdRd    cdwxccd fdbR  
dz z 
zxcc      dfdbM zcdwxcRd     cd2wzxcRd fdbM  
cd2wcRd fdbM  
cd2w
Rdc fdb
M 
- binário MRd/Rsd zRM sdRd  
ydsssd fAR  
dz z    dfAM zydssRd  
ydsz
Rds fdMA  
- equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo   cdwxccd fdbR  
ydsssd fAR  
cdsd RR    cdwxcydss fdbfA  
xyds
cdwcs fA fdb 

  
4-20 2016 tc037 
 
- condições limites  momento resistente (Equação 4.21, página 4-16) 

















Sd
inf,ctk0
Sd
min,d
Rd M
fW8,0
max
M
M
maxM 
 dutilidade (Equação 4.10, página 4-8) 






MPa50f350,0
MPa50f450,0
ck
ck
dtlx,x 
 armadura (Equação 4.23 e Equação 4.24, página 4-17) 





max,s
min,s
s A
A
A 
- equações de cálculo com uso de tabelas 
xyds
cdwcs
cmax,s
cmin,s
ydsz
Rds
ck
ck
dtlx,xs
z
x
cd2w
Rdc
Sd
sup,ctk0
Sd
min,d
Rd
fA fdb
A%4A
A%15,0A
fdMA
MPa50f350,0
MPa50f450,0
tabfdb
M
M
fW8,0
max
M
M
maxM


 




































 
Equação 4.26
Exemplo 4.1: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm. Dados: - concreto: C35; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
x ≤ x,dtl  não é necessária armadura de compressão 
4-21 2016 tc037 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.26, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm5,3MPa35f  
 MPa50f80,0 ck  
 MPa50f85,0 ckc  
 MPa50f45,0 ckdtlx,  
 MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  
 23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f  
 normal) combinação - (ELU 1,40 c 
 2
c
ckcd kN/cm 50,21,403,5ff  
 2yk kN/cm 50MPa 500f  
 normal) combinação - (ELU 1,15 s 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  
 cm 20bw  cm 45d  cm 50h  
 2wc cm00015020hbA  
 322w0 cm33,3338650206hbW  
 cmkN00,7802417,033,33388,0fW8,0M sup,ctk0min,d  
 kNcm50012kNm125MSd  
 kNcm50012
50012
7802
max
M
M
maxM
Sd
min,d
Rd 















 
 2cmin,s cm50,1000110015,0A%15,0A  
 2cmax,s cm00,4000011004A%4A  
20 cm 
5 cm 
45 cm 
MSd = 125 kNm 
As 
4-22 2016 tc037 
 
b) Determinação de c 
 





 000,1
921,0
197,0
tab123,050,24520
50012
fdb
M
s
z
x
2cd2w
Rdc 
  450,0 dtl,x197,0 x  
c) Cálculo da armadura As 
 





max,s
min,s
ydsz
Rds A
A
fdMA 
 




 2
2
2s cm0,40
cm50,1
cm93,65,43000,145921,0 50012A 
 2s cm 93,6A  ◄ d) Verificação 
 xyds cdwcs fA
fdb 

  
 000,1197,05,4393,6 50,2452085,08,0s 

   
e) Determinação de As sem o uso de tabelas 
 1234568,050,24520
50012
fdb
M
2cd2w
Rdc  
  xxcc 5,01  
   xx 8,05,0185,08,01234568,0  
 04538853,05,2 x2x  
   1970922,02 4538853,045,25,2 2x  
   9211631,01970922,08,05,015,01 xz  
 34,xxs 000,0000,1  
 2
ydsz
Rds cm9322100,65,43000,1459211631,0 50012fdMA  ◄ 
 0000000,11970922,05,439322100,6 50,2452085,08,0fA fdb xyds cdwcs 

  

  ◄ 
 
4-23 2016 tc037 
 
4.8 Disposição da armadura 
A distribuição e o posicionamento corretos das armaduras dentro da seção transversal de uma viga constitui fator de suma importância para a durabilidade das estruturas de concreto. A disposição da armadura dentro da seção transversal da viga não pode obstruir a colocação do concreto fresco, devendo permitir, com relativa folga, a introdução de equipamentos de vibração (Figura 4.20). 
Figura 4.20 - Espaçamento horizontal e vertical de barras longitudinais 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores (ABNT NBR 6118 - 18.3.2.2): - na direção horizontal (ah):  20 mm;  diâmetro da barra, do feixe ou da luva;  1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo; - na direção vertical (av):  20 mm;  diâmetro da barra, do feixe ou da luva;  0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo; 
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: n =   n. Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.” 


















max
v
max
h
d5,0
cm2
maxa
d2,1
cm2
maxa


 Equação 4.27
Exemplo 4.2: Determinar o máximo momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que a viga abaixo representada pode suportar. Dados: - concreto: C70; - aço: CA-50; 
 - armadura longitudinal: 5  16 mm; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e 
ah 
av t 
dmax 
 
4-24 2016 tc037 
 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.26 e Equação 4.27, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-64). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm0,7MPa70f  
 MPa50f40050f8,0 ckck 

  
 75,040050708,0 

  
 MPa50f20050f185,0 ckckc 

  
 765,02005070185,0c 

 

  
 MPa50f35,0 ckdtlx,  
   MPa50ff11,01ln756,2f ckcksupctk,  
    2supctk, cm/kN596,0MPa96,57011,01ln756,2f  
 normal) combinação - (ELU 1,40 c 
 2
c
ckcd kN/cm 00,51,407,0ff  
 2yk kN/cm 50MPa 500f  
 normal) combinação - (ELU 1,15 s 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  
 cm 20bw  cm 54h  
 2wc cm9005420hbA  
 322w0 cm7506645206hbW  
 cm 3cnom  
 cm 1,9mm 19dmax  
 cm63,0mm3,6t  
 cm6,1mm16  
20 cm 
45 cm MSd 
As 
4-25 2016 tc037 
 
 2cmin,s cm35,190010015,0A%15,0A  
 2cmax,s cm00,369001004A%4A  
 





2
2
22ef,s cm00,36
cm35,1
cm05,1046,15A 
 cmkN40,2183596,075068,0fW8,0M sup,ctk0min,d  
b) Verificação de ah e av 
  1n n2c2ba tnomwh    bw largura da viga (20 cm) cnom cobrimento nominal da armadura (3 cm) t diâmetro da armadura transversal (0,63 cm) 
  diâmetro da armadura longitudinal (1,6 cm) n número de barras na camada (3 barras) 
   cm97,313 6,1363,020,3220ah   
 cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm6,1
cm2
max
d2,1
cm2
maxa
maxmax
h 
















  
   cm28,2 min,hcm97,3 cal,h aa  
 cm0,2
cm95,09,15,0d5,0
cm6,1
cm2
max
d5,0
cm2
maxa
maxmax
v 
















  (adotado av = 2,00 cm) 
c) Determinação da altura útil (d)5 
 cm5,4104510hycg  
   si isicg A yAy 
 
 
 
cm4,5cm 44,1
4 6,124 6,13
26,10,226,14 6,120,04 6,13y 22
22
cg 



 

 


 

 



 

 

 


 

 
 
 5 ABNT NBR 6118 - 17.2.4.1: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados no centro de gravidade correspondente, se a distância deste cento de gravidade ao centro da armadura mais afastada, medida normalmente à linha neutra, for menor que 10% de h.” (ver Figura 4.28, página 4-51) 
t 
cnom 
 
av 
ah 
cg 
d 
t 
cnom 
 
ycg 
h 
d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) 
2 cm (av) 
(ycg + 0,5  + t + cnom)
4-26 2016 tc037 
 
 

  nomtcg c2yhd  
 cm13,390,363,026,144,145d 

  
d) Equação de verificação 
 xyds cdwcs fA
fdb 

  
 xxs 135,55,4305,10 00,513,3920765,075,0 

   
 sx 195,0  1ª tentativa 
 195,0x  (admitindo s = 1,000) 
 






000,1
104,0
927,0
tab195,0
s
c
z
x 
 000,1001,1195,0135,5135,5 xs  
  350,0 dtl,x195,0 x  
e) Momento resistente de cálculo(MRd) 
 cd2wcRd fdbM  
 mkN24,159cmkN9241500,513,3920104,0M2Rd  verificação 
 22
ydsz
Rds cm05,10cm09,105,43000,113,39927,0 92415fdMA  
f) Momento solicitante de cálculo(MSd) mkN24,159MM RdSd  ◄ 
 
4.9 Vigas de seção retangular com armadura de compressão 
Conforme mostrado na Equação 4.26 (página 4-20), vigas com dimensões adequadas e sem armadura de compressão, tem comportamento dútil desde que sejam projetadas com a posição da linha neutra satisfazendo a condição de x ≤ x,dtl. A tentativa de sempre dimensionar vigas sem armadura de compressão nem sempre é possível. Momentos fletores solicitantes de maior porte podem necessitar que a posição de linha neutra se aproxime do domínio 4, ou mesmo que se situe neste domínio, de tal forma que a viga passe a ter um comportamento frágil (x > x,dtl). A dutilidade das vigas pode ser sempre garantida com o uso de armadura de compressão, como mostrado na Figura 4.21. Para tal, basta forçar que a linha neutra fique posicionada no domínio 2 ou no domínio 3, impondo que x ≤ x,dtl. Embora possa ser atribuído para x qualquer valor compreendido entre 0,000 e x,dtl, é prática comum adotar para x o valor de x,dtl. Para adoção de valores de x inferiores a x,dtl é conveniente verificar qual deles conduzirá ao dimensionamento mais econômico, ou seja, aquele que levar a menor quantidade total de armadura (menor As + A’s). 
4-27 2016 tc037 
 
 
Figura 4.21 - Vigas de seção retangular com armadura de compressão 
Como mostrado na Figura 4.21, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 (parte superior da Figura) valem todas as considerações apresentadas em 4.7 (página 4-18), em especial, o contido na Equação 4.26 (página 4-20). Desta forma: - binário MRd1/Rcd1 
cd2w
1Rdc fdb
M 
- binário MRd1/Rsd1 
ydsz
1Rd1s fdMA  
- equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd1 e Rsd1 
xyds
cdwc1s f fdbA 



 
No que ser refere a MRd2 (parte inferior da Figura 4.21), tem-se: - esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada 
s2s2sd AR  
yds2s2sd fAR  
yd2ss2sd fAR  
Rsd2 As2 
 
s 
MSd2 
esforços resistentes de cálculo solicitações de cálculo 
x 
c 
MRd2 
d' 
R'sd2 
(d - d’) 
A's 
2 's 
c = c fcd y =  x 
Rsd1As1 
s 
MSd1 
x 
c 
MRd1 d 
bw 
Rcd1
z h 1 
4-28 2016 tc037 
 
- binário MRd2/Rsd2  '2sd2Rd ddRM   'yd2ss2Rd ddfAM  
  yds' 2Rd2s fdd MA  
- esforço resistente de cálculo atuante na armadura comprimida 
's's' 2sd AR  
yd's's' 2sd fAR  
yd's's' 2sd fAR  
- binário MRd2/R’sd2  '' 2sd2Rd ddRM   'yd's's2Rd ddfAM  
  yd's' 2Rd's fdd MA  
- equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo R’sd2 e Rsd2 
yd's's' 2sd fAR  
yd2ss2sd fAR  
yd's'syd2ss fAfA  
'ss
's2s AA  
Considerando a somatória dos esforços solicitantes e resistentes, tem-se: - momento solicitante 
2Sd1SdSd MMM  - momento resistente 
2Rd1RdRd MMM  - armadura tracionada - 1ª consideração 
3s1ss AAA  
  yds' 2Rdydsz 1Rds fdd MfdMA  
  yds'2Rdz 1Rds f1ddMdMA   
- armadura tracionada - 2ª consideração 
2s1ss AAA  
'ss
'sxyds
cdwcs Af fdbA 



 
'ss
'sxyds
cdwcs AAfA fdb 



  
4-29 2016 tc037 
 
- condições limites  momento resistente (Equação 4.21, página 4-16) 

















Sd
inf,ctk0
Sd
min,d
Rd M
fW8,0
max
M
M
maxM 
 dutilidade (Equação 4.10, página 4-8) 






MPa50f350,0
MPa50f450,0
ck
ck
dtlx,x 
 armadura (Equação 4.23 e Equação 4.24, página 4-17) 





max,s
min,s
s A
A
A 
- equações de cálculo com uso de tabelas 
cyds'
2Rd
z
1Rds
1RdRd2Rd
cd2wc1Rd
's
s
c
z
'
x
dtl,xx
dtl,xx
ck
ck
dtlx,x
s
z
x
cd2w
Rdc
Sd
sup,ctk0
Sd
min,d
Rd
A%15,0f1)dd(
MdMA
MMM
fdbM
tab
dd
)soluçãomelhor(
ouadotar
MPa50f350,0
MPa50f450,0
tabfdb
M
M
fW8,0
max
M
M
maxM






















































 
Equação 4.28
x > x,dtl  necessária armadura de compressão 
4-30 2016 tc037 
 
'ss
'sxyds
cdwcs
c'ss
yd's'
2Rd's
AAfA fdb
A%4)AA(
f)dd(
MA




 


 
Exemplo 4.3: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 270 kNm. Dados: - concreto: C35; - aço: CA-50; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 4.26 ou Equação 4.28, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm5,3MPa35f  
 MPa50f80,0 ck  
 MPa50f85,0 ckc  
 MPa50f45,0 ckdtlx,  
 MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  
 23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f  
 normal) combinação - (ELU 1,40 c 
 2
c
ckcd kN/cm 50,21,403,5ff  
 2yk kN/cm 50MPa 500f  
 normal) combinação - (ELU 1,15 s 
20 cm 
50 cm 
MSd = 270 kNm 
As 
4-31 2016 tc037 
 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  
 cm 20bw  cm 45d  (assumido) 
 cm 5d'  (assumido) 
 0,111455dd
'  
 cm 50h  
 2wc cm00015020hbA  
 322w0 cm33,3338650206hbW  
 cm 3cnom  
 cm0,63mm 3,6t  
 cm 1,9mm 19dmax  
 cmkN00,7802417,033,33388,0fW8,0M sup,ctk0min,d  
 kNcm00027kNm270MSd  
 kNcm00027
00027
7802
max
M
M
maxM
Sd
min,d
Rd 















 
 2cmin,s cm50,1000110015,0A%15,0A  
 2cmax,s cm00,4000011004A%4A  
b) Determinação de c 
 





 000,1
805,0
487,0
tab267,050,24520
00027
fdb
M
s
z
x
2cd2w
Rdc 
  450,0 dtl,x487,0 x  
c) Condição de dutilidade 
 450,0dtl,xx  
 















000,1
000,1
251,0
820,0
tab
111,0dd
450,0
's
s
c
z
'
x
 
 kNcm75,4132550,24520251,0fdbM 2cd2wc1Rd  
 kNcm25,586175,4132500,00027MMM 1RdRd2Rd  
 22
yds'
2Rd
z
1Rds cm50,1cm74,165,43000,1 1)545( 25,586145820,0 75,41325f1)dd(
MdMA 





 
x > x,dtl  necessária armadura de compressão 
4-32 2016 tc037 
 
 2
yd's'
2Rd's cm91,05,43000,1)545( 25,5861f)dd(
MA  
 



  



  000,174,1691,0450,05,4374,16 50,2452085,080,0AAfA fdb 'ss
'sxyds
cdwcs 
 000,1 
 











22
2
22
ef,s
cm28,64 0,22mm20 2
cm69,17
cm40,114 2,23mm22 3
A (2 camadas) 
 22' ef,s cm57,1400,12mm102 A  
 22ef'ss cm00,40cm26,1957,169,17)AA(  
 2ef,s2cal,s cm69,17Acm74,16A  
 2' ef,s2' cal,s cm57,1Acm91,0A  
d) Verificação de ah e av 
  1n n2c2ba tnomwh    bw largura da viga (20 cm) cnom cobrimento nominal da armadura (3 cm) t diâmetro da armadura transversal (estribo) (0,63 cm) 
  diâmetro da armadura longitudinal (2,2 cm - 1ª camada) n número de barras na camada (3 barras) 
   cm07,313 2,2363,020,3220ah   
 cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm2,2
cm2
max
d2,1cm2
maxa
maxmax
h 
















  
   cm28,2 min,hcm07,3 cal,h aa  
 cm20,2
cm95,09,15,0d5,0
cm2,2
cm2
max
d5,0
cm2
maxa
maxmax
v 
















  
 cm2,2av  (valor adotado) 
t  
ah 
cnom 
av 
4-33 2016 tc037 
 
e) Determinação da altura útil (d) 
 cm0,5105010hycg  
   si isicg A yAy 
 
 
OKcm5,0cm 53,1
4 0.224 2,23
20,22,222,24 0,220,04 2,23y 22
22
cg 



 

 


 

 



 

 

 


 

 
 
 cm74,430,363,022,253,150c2yhd nomtcg 

 

   
  cm74,43 calcm00,45 adot dd  
f) Determinação de d’ 
 cm13,40,363,0200,1c2d nomt'   
  cm13,4
'cal
cm00,5
'adot dd  
g) Cálculo da armadura para novos valores de d e d’ cm 43,74d  
 cm13,4d'  
 0,09474,4313,4dd
'  
 















000,1
000,1
251,0
820,0
tab
094,0dd
450,0
's
s
c
z
'
x
 
 kNcm50,0102450,274,4320251,0fdbM 2cd2wc1Rd  
 kNcm50,989250,0102400,00027MMM 1RdRd2Rd  
armadura mais próxima do centro de gravidade da seção geométrica  refazer os cálculos com d = 43,74 cm 
armadura mais afastada do centro de gravidade da seção geométrica  não seria necessário refazer os cálculos com d’ = 4,13 cm d' = 0,5  + t + cnom 
d' 
d 
t cnom 
 
h 
cg 
d 
cnom (3,0 cm) 
2,0 cm) 
(ycg + 0,5  + t + cnom) 
h 
d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) 
av (2,2 cm) 
ycg t (0,63 cm) 
2,2 cm) 
4-34 2016 tc037 
 
 
yds'
2Rd
z
1Rds f1)dd(
MdMA 


 
 22s cm50,1cm12,175,43000,1 1)13,474,43( 50,989274,43820,0 50,01024A 

  
 2
yd's'
2Rd's cm74,15,43000,1)13,474,43( 50,9892f)dd(
MA  
 'ss
'sxyds
cdwcs AAfA fdb 



  
 000,1000,112,1774,1450,05,4312,17 50,274,432085,080,0s 



   
 











22
2
22
ef,s
cm28,64 0,22mm20 2
cm69,17
cm40,114 2,23mm22 3
A (2 camadas) 
 22' ef,s cm36,2400,13mm103 A  
 22ef'ss cm00,40cm05,2036,269,17)AA(  
 2ef,s2cal,s cm69,17Acm12,17A  ◄ 
 2' ef,s2' cal,s cm36,2Acm74,1A  ◄ 
h) Resolução para x < x,dtl 400,0x  (valor assumido) cm 43,74d  
 cm26,4d'  
 0,09774,4326,4dd
'  
 















000,1
000,1
228,0
840,0
tab
097,0dd
400,0
's
s
c
z
'
x
 
 kNcm34,8102150,274,4320228,0fdbM 2cd2wc1Rd  
 kNcm66,189534,8102100,00027MMM 1RdRd2Rd  
 
yds'
2Rd
z
1Rds f1)dd(
MdMA 


 
 22s cm50,1cm67,165,43000,1 1)26,474,43( 66,189574,43840,0 34,81021A 

  
 2
yd's'
2Rd's cm02,35,43000,1)26,474,43( 66,1895f)dd(
MA  
d' 
3  10 mm 
precaução para possível uso de barras de 12,5 mm 
4-35 2016 tc037 
 
 'ss
'sxyds
cdwcs AAfA fdb 



  
 000,1002,167,1602,3400,05,4367,16 50,274,432085,080,0s 



   
 











22
2
22
ef,s
cm28,64 0,22mm20 2
cm69,17
cm40,114 2,23mm22 3
A (2 camadas) 
 22' ef,s cm68,3425,13mm12,53 A  
 cm26,40,363,0225,1c2d nomt'   
 22ef'ss cm00,40cm37,2168,369,17)AA(  
 2ef,s2cal,s cm69,17Acm67,16A  ◄ 
 2' ef,s2' cal,s cm68,3Acm02,3A  ◄ 
i) Comparação de resultados (valores de cálculo) 
 
4.10 Vigas de seção T sem armadura de compressão 
4.10.1 Região de concreto comprimido 
A região de concreto comprimido, em uma viga de seção T, pode ocorrer de três modos distintos, como apresentado na Figura 4.22. 
Figura 4.22 - Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T 
y 
bw 
bf 
As 
hf
y < hf 
y 
bw 
bf 
As 
y = hf 
y 
bw 
bf 
As 
y > hf 
x As cm2 A’s cm2 As + A’s cm2  
0,450 17,12 1,74 18,86 4,40% 0,400 16,67 3,02 19,69 
 
d' 
3 12,5 mm 
4-36 2016 tc037 
 
A situação em que toda a mesa está comprimida, corresponde a: 
fhy  Considerando a Equação 4.11 (página 4-9), tem-se: 
dhdy fy  
dhfyx 
 
       2hddhdh5,01dh5,01 f2fcffcxxcc Levando-se em conta as condições estabelecidas na Figura 4.19 (página 4-18), cuja região comprimida é definida pelo retângulo de dimensões bw y, tem-se, pela Equação 4.26 (página 4-20): 
cd2wc1Rd fdbM    cdffwccd2wf2fc1Rd f2hdhbfdb2hddhM    
No caso particular em que bw (da Figura 4.19) for igual a bf (da Figura 4.22), e definindo, para este caso, MRd1 como sendo o momento resistente de cálculo suportado pela mesa comprimida da seção T, tem-se:   cdfffcmesa,Rd1Rd f2hdhbMM   
  cdfffcmesa,Rd f2hdhbM   Equação 4.29
Desta forma, para as regiões de concreto comprimido em vigas de seções T, têm-se: 
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
MMhy
MMhy
MMhy



 Equação 4.30
4.10.2 Seções T sem armadura de compressão: y  hf Seja Figura 4.23 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto somente pelo binário de forças Rcd e Rsd, sem a necessidade de armadura de compressão. 
Figura 4.23 - Vigas de seção T sem armadura de compressão - y  hf 
x 
s 
esforços resistentes de cálculo 
Rsd 
MRd 
 
bf 
As 
c 
Rcd 
z d 
solicitação de cálculo 
MSd h 
c = c fcd y =  x 
bw 
hf
4-37 2016 tc037 
 
Comparando a Figura 4.19 (página 4-18) com a Figura 4.23 pode-se concluir que a viga de seção T sem armadura de compressão, com y  hf, é equivalente a uma viga de seção retangular de base bf. Desta forma, introduzindo valores de bf nos lugares de bw apresentados na Equação 4.26 (página 4-20), e considerando: - a relação entre y e hf (Equação 4.30); - armadura mínima (Equação 4.23 - página 4-17); e - armadura máxima (Equação 4.25 - página 4-18), as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y  hf, podem ser representadas por: 
 
xyds
cdfcs
wmax,s
cmin,s
ydsz
Rds
fy
ck
ck
dtlx,x
s
z
y
x
cd2f
Rdc
mesa,RdRd
cdfffcmesa,Rd
Sd
sup,ctk0
Sd
min,d
Rd
fA fdb
hb%4A
A%15,0A
fdMA
hdy
MPa50f350,0
MPa50f450,0
tabfdb
M
MM
f2hdhbM
M
fW8,0
max
M
M
maxM


 
























 

















 
Equação 4.31
Exemplo 4.4: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 270 kNm. Dados: - concreto: C35; - aço: CA-50; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
MRd ≤ MRd,mesa  vale seção retangular de base bf 
4-38 2016 tc037 
 
 Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.31, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm5,3MPa35f  
 MPa50f80,0 ck  
 MPa50f85,0 ckc  
 MPa50f45,0 ckdtlx,  
 MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  
 23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f 
 normal) combinação - (ELU 1,40 c 
 2
c
ckcd kN/cm 50,21,403,5ff  
 2yk kN/cm 50MPa 500f  
 normal) combinação - (ELU 1,15 s 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  
 cm 20bw  
 cm 06b f  cm 43d  (assumido) cm 50h  
 cm 10h f  
     2fwfwc cm 00411020-605020hbbhbA  
   cm71,30)]1050()2060[()5060[(2 ])1050()2060[()5060()]}hh()bb[()hb{[(2 ])hh()bb[()hb(y 22fwff
2fwf2fw    
 cm29,1971,3050yhy wf  
 2wc3fwf3f yA3 ])hh()bb[(hbI 


  
10 cm 
40 cm
20 cm 
MSd = 270 kNm 
As 
60 cm 
hf 
cg 
bw 
h 
bf 
yf 
yw 
4-39 2016 tc037 
 
 4233 cm32132671,3040013 ])1050()2060[(5060I 


  
 (w) tracionada mais fibrayIWW ww,00  
 30 cm6261071,30 321326W  
 kNcm83,5443417,0626108,0fW8,0M sup,ctk0min,Sd  
 kNcm00027kNm270MSd  
 kNcm00027
00027
83,5443
max
M
M
maxM
Sd
min,d
Rd 















 
 2cmin,s cm10,2400110015,0A%15,0A  
 2wmax,s cm00,4050201004hb%4A  
     cmkN4504850,221043106085,0f2hdhbM cdfffcmesa,Rd    
   45048 mesa,Rd00027 Rd MM  
b) Determinação de c 
 







 000,1
939,0
122,0
152,0
tab097,050,24360
00027
fdb
M
s
z
y
x
2cd2f
Rdc 
  450,0 dtl,x152,0 x  
 cm25,543122,0dy y  
  cm00,10 fcm25,5 hy  
c) Cálculo da armadura As 
 





max,s
min,s
ydsz
Rds A
A
fdMA 
 




 2
2
2s cm0,40
cm10,2
cm37,155,43000,143939,0 00027A 
 2cals, cm 37,15A  ◄ 
 22ef,s cm71,154 0,25mm205 A  d) Determinação da altura útil (d) 
 cm0,5105010hycg    si isicg A yAy 
vale seção retangular de base bf 
y 
bf 
As 
d h 
hf 
4-40 2016 tc037 
 
 
 
  
OKcm5,0cm 60,15
20,20,220,220,03ycg 

 

 
 
 cm77,430,363,020,260,150c2yhd nomtcg 

 

   
 
  cm77,43 calcm00,43 adot dd  
 e) Verificação para valores de cálculo 
 xyds cdfcs fA
fdb 

  
 000,1997,0152,05,4337,15 50,2436085,08,0s 

   
f) Comparação com o Exemplo 4.3 
 
MSd = 270 kNm Seção Retang. Seção T  
Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0% 
Acc 315,0 cm2 315,0 cm2 0,0% 
A’s 2,36 cm2 # # 
As 17,69 cm2 15,37 cm2 -13,1% 
As + A’s 20,05 cm2 15,37 cm2 -23,3% 
 
armadura mais afastada do centro de gravidade da seção geométrica  não é necessário refazer os cálculos com d = 43,77 cm 
7 cm 
10 cm 
33 cm 
20 cm 
As 
60 cm 
5,25 cm 
As = 15,37 cm2 
15,75 cm
20 cm 
As 
A’s 
As = 17,37 cm2 A’s = 2,23 cm2 
av= ℓ = 2,0 cm 
ah= 1,2 dmax = 2,28 cm 
bnec = 2 x 3,00 (cnom) 2 x 0,63 (t) 2 x 2,28 (ah) 3 x 2,00 (ℓ) 17,82 cm cg 
d 
cnom (3,0 cm) 
2,0 cm) 
(ycg + 0,5  + t + cnom) 
h 
d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) 
av (2,0 cm) 
ycg t (0,63 cm) 
4-41 2016 tc037 
 
4.10.3 Seções T sem armadura de compressão: y > hf Seja Figura 4.24 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd (MSd = MSd1 + MSd3) é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd (MRd = MRd1 + MRd3), composto pelos binários das forças Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade de armadura de compressão. 
 
Figura 4.24 - Vigas de seção T sem armadura de compressão - y > hf 
Como mostrado na Figura 4.24, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 (parte superior da Figura) valem todas as considerações apresentadas em 4.7 (página 4-18), em especial, o contido na Equação 4.26 (página 4-20). Desta forma: - binário MRd1/Rcd1 
cd2w
1Rdc fdb
M 
- binário MRd1/Rsd1 
ydsz
1Rd1s fdMA  
- equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd1 e Rsd1 
xyds
cdwc1s f fdbA 



 
No que ser refere a MRd3 (parte inferior da Figura), tem-se: - esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bf - bw    cfwf3cd hbbR  
c =c fcd 
s Rsd1 
MRd1 
bw 
As1 
c 
x 
Rcd1 
z 
d 
MSd1 h 1 
y = x 
c =c fcd hf 
s 
esforços resistentes de cálculo 
Rsd3 
MRd3 
 
bf 
As3 
c 
x Rcd3 
(d - 0,5 hf) 
d 
hf
solicitações de cálculo 
MSd3 h 
3 3 
4-42 2016 tc037 
 
   cdcfwf3cd fhbbR  - binário MRd3/Rcd3 


  2hdRM f3cd3Rd 
  cdffwfc3Rd f2hdhbbM    
- esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada 
s3s3sd AR  
yds3s3sd fAR  
yd3ss3sd fAR  
- binário MRd3/Rsd3 


  2hdRM f3sd3Rd 


  2hdfAM fyd3ss3Rd 
ydsf
3Rd3s f2hd
MA 

  
- equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd3 e Rsd3    cdcfwf3cd fhbbR  
yd3ss3sd fAR     cdfwfcyd3ss fhbbfA    
yds
cdfwfc3s f fhbbA  
Considerando a somatória dos esforços solicitantes e resistentes, tem-se: - momento solicitante 
3Sd1SdSd MMM  - momento resistente 
3Rd1RdRd MMM  - armadura tracionada - 1ª consideração 
3s1ss AAA  
ydsf
3Rd
ydsz
1Rds f2hd
MfdMA 

  
ydsf
3Rd
z
1Rds f12hd
MdMA 









  
- armadura tracionada - 2ª consideração 
3s1ss AAA    
yds
cdfwfcxyds
cdwcs f fhbbf fdbA 



 
4-43 2016 tc037 
 
  


 

 
yds
cdfwfcxyds
cdwcs fA fhbbfA fdb 
- condições limites  momento resistente (Equação 4.21, página 4-16) 

















Sd
inf,ctk0
Sd
min,d
Rd M
fW8,0
max
M
M
maxM 
 dutilidade (Equação 4.10, página 4-8) 






MPa50f350,0
MPa50f450,0
ck
ck
dtlx,x 
 armadura (Equação 4.23 e Equação 4.24, página 4-17) 





max,s
min,s
s A
A
A 
- equações de cálculo com uso de tabelas 
 
 
fy
ck
ck
dtlx,x
s
z
y
x
cd2w
1Rdc
3RdRd1Rd
cdffwfc3Rd
mesa,RdRd
cdfffcmesa,Rd
Sd
sup,ctk0
Sd
min,d
Rd
hdy
MPa50f350,0
MPa50f450,0
tabfdb
M
MMM
f2hdhbbM
MM
f2hdhbM
M
fW8,0
max
M
M
maxM


















 

 



 

















Equação 4.32
MRd > MRd,mesa  cálculo como seção T 
4-44 2016 tc037 
 
  


 

 















 
yds
cdfwfcxyds
cdwcs
wmax,s
cmin,s
ydsf
3Rd
z
1Rds
fA fhbbfA fdb
hb%4A
A%15,0A
f12hd
MdMA
 
Exemplo 4.5: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 460 kNm. Dados: - concreto: C35; - aço: CA-50; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.31 (página 4-37) ou Equação 4.32, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm5,3MPa35f  
 MPa50f80,0 ck  
 MPa50f85,0 ckc  
 MPa50f45,0 ckdtlx,  
 MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  
 23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f normal) combinação - (ELU 1,40 c 
 2
c
ckcd kN/cm 50,21,403,5ff  
 2yk kN/cm 50MPa 500f  
10 cm 
40 cm
20 cm 
MSd = 460 kNm 
As 
60 cm 
4-45 2016 tc037 
 
 normal) combinação - (ELU 1,15 s 
 2
s
ykyd kN/cm 43,51,1550
ff  
 cm 20bw  
 cm 06b f  cm 40d  (assumido) cm 50h  
 cm 10h f  
     2fwfwc cm 00411020-605020hbbhbA  
   cm71,30)]1050()2060[()5060[(2 ])1050()2060[()5060()]}hh()bb[()hb{[(2 ])hh()bb[()hb(y 22fwff
2fwf2fw    
 cm29,1971,3050yhy wf  
 2wc3fwf3f yA3 ])hh()bb[(hbI 


  
 4233 cm32132671,3040013 ])1050()2060[(5060I 


  
 (w) tracionada mais fibrayIWW ww,00  
 30 cm6261071,30 321326W  
 kNcm83,5443417,0626108,0fW8,0M sup,ctk0min,Sd  
 kNcm00046kNm460MSd  
 kNcm00046
00046
83,5443
max
M
M
maxM
Sd
min,d
Rd 















 
 2cmin,s cm10,2400110015,0A%15,0A  
 2wmax,s cm00,4050201004hb%4A  
     kNcm6254450,221040106085,0f2hdhbM cdfffcmesa,Rd    
   62544 mesa,Rd00046 Rd MM  
b) Momentos resistentes 
   cdffwfc3Rd f2hdhbbM    
   kNcm7502950,22104010206085,0M 3Rd    
 kNcm250167502900046MMM 3RdRd1Rd  
hf 
cg 
bw 
h 
bf 
yf 
yw 
cálculo como seção T 
4-46 2016 tc037 
 
c) Determinação de c 
 







 000,1
861,0
277,0
347,0
tab203,050,24020
25016
fdb
M
s
z
y
x
2cd2w
1Rdc 
  450,0 dtl,x347,0 x  
 cm08,1140277,0dy y  
  cm00,10 fcm08,11 hy  
d) Cálculo da armadura As 
 














  max,s
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rds A
A
f12hd
MdMA 
 














  2
2
2s cm00,40
cm10,2
cm39,305,43000,1 121040
7502940861,0 25016A 
 2cals, cm 39,30A  ◄ 
 22ef,s cm36,344 5,27mm25 7A  e) Determinação da altura útil (d) 
 cm0,5105010hycg  
   si isicg A yAy 
       cm20cm19,76 5,2563,020,32bnec  
 
  
cm5,0cm 29,47
25,25,725,2225,25,225,220,03ycg 

 

 

 

 
 
 cm83,400,363,025,229,450c2yhd nomtcg 

 

   
y 
bf 
As 
d h 
hf 
cobrimento 
estribo 
cinco barras (duas virtuais entre três reais) 
bw 
cg 
d 
cnom (3,0 cm) 
2,5 cm) 
(ycg + 0,5  + t + cnom) 
h 
d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) 
av (2,5 cm) 
ycg t (0,63 cm) 
4-47 2016 tc037 
 
  cm83,40 calcm00,40 adot dd  
f) Verificação 
       yds cdfwfcxyds cdwcs fA fhbbfA fdb 
    000,15,4339,30 50,210206085,0347,05,4339,30 50,2402085,08,0s      
g) Observação 
 %4hb AA w
'ssmax,T  
 %44,35020 36,34max,T  Viga com armadura bastante expressiva, com a taxa de armadura (3,44%) muito próxima do limite (4%). Indica que a viga está com pouca altura em relação ao momento solicitante. Por outro lado, como a viga é bastante solicitada por momento fletor, o mesmo deverá acontecer com a força cortante. Dificilmente a viga poderá ser detalhada com estribo de 6,3 mm. O uso de estribo de 8 mm já tornaria impossível abrigar 3 barras de 25 mm em uma mesma camada (bnec resultaria em 20,10 cm superior aos 20 cm de bw). É conveniente aumentar a altura da viga para, pelo menos, 60 cm. 
4.11 Composição de bf 
4.11.1 Conjunto laje-viga 
Nas estruturas de concreto armado, as vigas de seção T aparecem naturalmente pois o conjunto laje-viga define este tipo de seção, como mostrado na Figura 4.25. 
Figura 4.25 - Conjunto laje-viga 
Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexão), a viga de concreto armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na 
hf bw 
bf 
AA 
P4 20 x 20 
P2 20 x 20 
P3 20 x 20 
P1 20 x 20 
V4 
- 20
 x 5
0 
V2 - 20 x 50 
V3 
- 20
 x 5
0 
V1 -20 x 50 
L1 10 cm L2 10 cm 
Corte AA L1 
L2 V3 
V4 
L3 10 cm 
L3 
armadura mais afastada do centro de gravidade da seção geométrica  não é necessário refazer os cálculos com d = 40,83 cm 
4-48 2016 tc037 
 
Figura 4.25, só poderá ser considerada como seção T, quando a mesa estiver comprimida. Caso contrário (mesa tracionada), a viga deverá ser considerada como de seção retangular de base bw. De modo geral, pode se dizer que a seção T, com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), pode ser usada para o dimensionamento da armadura longitudinal positiva (momentos fletores positivos da viga V3 da Figura 4.25). Eventualmente, em construções com lajes rebaixadas (apoiadas na base da viga), é possível configurar-se seções  (T invertido da viga V4 da Figura 4.25). Nestes casos, estas seções poderiam ser usadas no dimensionamento da armadura longitudinal negativa (momentos fletores negativos, se houverem, na viga V4 da Figura 4.25). 
4.11.2 Largura colaborante de vigas de seção T 
4.11.2.1 Distância entre pontos de momentos fletores nulos 
A consideração da largura colaborante da laje associada à viga (Figura 4.25) deve obedecer às prescrições da ABNT NBR 6118. ABNT NBR 6118, item 14.6.2.2: “A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que haja laje colaborante. 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento  do tramo considerado, como se apresenta a seguir: 
viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ; 
viga com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ; 
viga com momento nas duas extremidades: a = 0,60 ; 
viga em balanço: a = 2,00 . Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima.” Os valores de a podem ser estabelecidos como: 
balanço em viga2a
esextremidad duas nas momento com viga60,0a
eextremidad só uma em momento com viga75,0a
apoiada tesimplesmen vigaa








 Equação 4.33
A Figura 4.26 mostra os valores simplificados de a, como estabelecidos pela ABNT NBR 6118. 
 
Figura 4.26 - Distância entre pontos de momento fletor nulo 
a1 = 1 
1 4 3 2 
a2 = 0,75 2 a3 = 0,60 3 a4 = 2,00 4 
I II III IV 
4-49 2016 tc037 
 
Deve ser observado na Figura 4.26 que para a viga isostática (1) só tem sentido o uso de seções T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), pois nesta viga só atuam momentos fletores positivos. Neste caso: 
11aa  
Para a viga contínua (2 + 3 + 4), as seções T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé) podem ser admitidas nos trechos I e III, onde atuam momentos fletores positivos. As seções  com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido) podem ser admitidas nos trechos II e IV, onde atuam momentos fletores negativos. Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 4.26 tiver, em toda sua extensão, seção transversal em forma de T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), na determinação do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores positivos dos trechos I e III), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores: 




33
22 60,0a
75,0aa

 
Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 4.26 tiver, em toda sua extensão, seção transversal em formade  com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido), na determinação do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores negativos dos trechos II e IV), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores: 




43
32 00,220,0
20,025,0a

 
4.11.2.2 Vigas isoladas e painel de vigas 
Na determinação de bf não pode ser apenas considerada a distância a entre os pontos de momento fletor nulo, como apresentado em 4.11.2.1. Algumas disposições decorrentes da própria natureza da viga, ou do conjunto delas, devem ser consideradas, como mostrado na Figura 4.27. 
 
Figura 4.27 - Largura de mesa colaborante 








4
3
2
1
b
a1,0
b
b5,0
a1,0
b
 
bw 
b1 
b2 b4 
b3 
bf 
bw 
c 
b1 c 
conjunto de vigas 
b3 
bf 
bw 
b1 
viga isolada 
4-50 2016 tc037 
 
As relações entre os valores de a mostrados na Figura 4.26 e os valores de bi apresentados na Figura 4.27 correspondem a: 







4
3
2
1 b
a1,0
b
b5,0
a1,0
b Equação 4.34
Exemplo 4.6: Determinar o valor de bf para a viga V2. Considerar vigas simplesmente apoiadas nos pilares. 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.33 e da Equação 4.34. a) Definição de a (vista longitudinal de V2) 
 22 75,0aa  cm58578075,0a  
b) Definição de bf (seção transversal de V2) cm400b2  
 cm120b4  
 

21 b5,0
a1,0b 
 


 cm2004005,0b5,0
cm5,585851,0b
21
 
 

43 b
a1,0b 
L1 
L3 
L2 V3
 V4 
P1 P2 
P3 P4 
V2B V2A 
V1B V1A 
40 
40 
400
 40 740 40 180 
120
 
P4 
P3 
1 = 2 m 2 = 7,8 m 
a2 = 0,75 2 
V2 V1 
bf 
b1 b3 
bw 40 bw b2 b4 400 120 40 
4-51 2016 tc037 
 
 
  cm120
cm5,585851,0b3 
 1w3f bbbb  
 cm1575,58405,58bf  
 cm157b f  ◄ 
 
4.12 Disposições construtivas 
4.12.1 Dimensões limites 
As vigas de concreto armado, de modo geral, não devem possuir largura inferior a 12 cm. ABNT NBR 6118, item 13.2.2: ”A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitado um mínimo absoluto de 10 cm em caso excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: - alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma; - lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931.” 
4.12.2 Concentração de armaduras 
Os esforços nas armaduras, tracionadas ou comprimidas, podem ser considerados concentrados no centro de gravidade correspondente (Figura 4.28), se a distância deste centro de gravidade ao centro da armadura mais afastada, medida normalmente à linha neutra, for menor que 10% h (ABNT NBR 6118 - 17.2.4.1). 
Figura 4.28 - Centro de gravidade de armaduras 
4.12.3 Armadura de tração nas seções de apoio 
Segundo o item 18.3.2.4 da ABNT NBR 6118, as armaduras longitudinais positivas de vigas devem ser prolongadas até os apoios (Figura 4.29), de tal forma que: 
- As,apoio  0,33 As,vão, se Mapoio for nulo ou negativo de valor absoluto Mapoio 0,5 Mvão; ou 
- As,apoio  0,25 As,vão, se Mapoio for negativo de valor absoluto Mapoio> 0,5 Mvão. No caso de apoios intermediários, onde não haja a possibilidade de ocorrência de momentos positivos, as armaduras provenientes do meio do vão deverão se estender, no mínimo, 10  além da face do apoio (item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118). 
ycg cg 
h ycg < 0,1 h 
4-52 2016 tc037 
 
 
Figura 4.29 - Prolongamento de armadura positiva 
4.12.4 Armadura de pele 
A ABNT NBR 6118 - 17.3.5.2.3 indica que a mínima armadura lateral deve ser 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de CA-50 ou CA-60, com espaçamentos não maior que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios, não sendo necessária uma armadura superior a 5 cm2/m por face.(Figura 4.30). 
Figura 4.30 - Armadura de pele 
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada utilização da armadura de pele. 
4.13 Tabelas de Flexão Simples 
s  20 cm h  60 cm 
bw 
As,pele  0,1 bw h (por face) 
As,vão 0,33 As,vão 0,25 As,vão 
10  
6-1 2016 tc037 
 
66 
Flexão Simples Armadura Transversal de viga 
6.1 Tensões principais 
Sejam os elementos 1 e 2, próximos ao apoio de uma viga, dos quais se quer determinar as tensões principais (Figura 6.1). Nesta Figura, o elemento 1 situa-se sobre a linha neutra (máxima tensão tangencial) e o elemento 2 está situado próximo à fibra mais tracionada (máxima tensão normal de tração). 
Figura 6.1 - Tensões normais e tangenciais em peças fletidas 
Da Resistência dos Materiais é sabido que as tensões principais de tração I formam, no elemento 1, um ângulo de 45° com a horizontal (plano diagonal de ruptura), sendo no elemento 2 este ângulo igual a 90° (plano vertical de ruptura), como mostrado na Figura 6.2. 
Figura 6.2 - Tensões principais nos elementos 1 e 2 
V 
M 
xy x 
1 
2 
linha neutra 
fibra mais tracionada 
xy 
xy
xy 
xy 
1 
x 2 x 
I = xy II = xy 
II (compressão) I (tração) 
1 
plano diagonal de ruptura 
45º 
I (tração) I = x 
2 
plano vertical de ruptura 
90º 
6-2 2016 tc037 
 
Ensaios de laboratório têm demonstrado uma boa aproximação com a teoria, já que em vigas de concreto armado o aspecto das fissuras, na região próxima a apoio simples, é como indicado na Figura 6.3 (fissuras perpendiculares às tensões principais de tração, pois o concreto não resiste às mesmas). 
Figura 6.3 - Fissura em viga de concreto armado 
Já foi visto, quando se estudou a armadura longitudinal de vigas (Capítulo 4), que próximo ao elemento 2, onde a fissura é provocada somente pelo momento fletor (xy = 0), a armadura horizontal de tração é colocada perpendicularmente à fissura, isto é na direção da tensão principal I do elemento 2 (Figura 6.4). No elemento 1, onde a fissura é provocada pela força cortante (x = 0), a armadura deveria ser também colocada perpendicularmente à fissura, na direção da tensão principal I do elemento 1 (Figura 6.4). 
Figura 6.4 - Armaduras nas direções das tensões principais de tração 
A idéia de se colocar armadura sempre na direção da tensão principal de tração (perpendicular à fissura) vigorou por muitos anos como princípio básico do concreto armado. Mudanças ocorreram e as teorias atuais, tanto para momento fletor como para força cortante, baseiam-se no principio de se "costurar" as fissuras, respeitando sempre o equilíbrio de forças e a compatibilidade das deformações. É por este motivo que as vigas de concreto armado, em sua grande maioria, são, atualmente, detalhada só com armadura horizontal e vertical (Figura 6.5). As armaduras horizontais "costuram" as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais "costuram" as fissuras provocadas pela força cortante. Evidentemente esta é uma idéia simplista, já que as fissuras, na realidade, são provocadas por tensões de tração provenientes da combinação de momentos fletores e forças cortantes atuando conjuntamente. 
Figura 6.5 - Armadura de momento fletor e força cortante 
V 
M 1 
2 
fissura vertical (90°) na região do elemento 2 
fissura inclinada (45°) na região do elemento 1 
I I 
I 
I 1 2 
I I 
I 
I 1 2  V 
M 
armadura de momento fletor 
armadura de força cortante 
2 
1 
V 
M 
armadura de momento fletor 
armadura de força cortante 
2 
1 
porta estribo 
6-3 2016 tc037 
 
6.2 Analogia da treliça de Morsh 
O verdadeiro comportamento de peças fletidas (peças fissuradas) de concreto armado ainda não é totalmente conhecido. Uma das teorias que procuraexplicar este comportamento é a Analogia da Treliça de Morsh, onde é suposto que os momentos fletores e as forças cortantes devam ser resistidos por uma treliça interna à viga formada por banzos, diagonais e montantes constituídos por barras de concreto comprimido e barras de aço tracionado (Figura 6.6). 
Figura 6.6 - Analogia da treliça de Morsh 
6.2.1 Modelos de ABNT NBR 6118 
Ensaios de laboratório tem demonstrado que o ângulo  mostrado na Figura 6.6, que corresponde à inclinação da fissura mostrada na Figura 6.4, varia entre 30° e 45°. Desta forma, a ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2 e 17.4.2.3 houve por bem adotar dois modelos de cálculo correspondentes à analogia da treliça de Morsh, ou sejam: - Modelo I onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de  = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; e 
- Modelo II onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de  em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30° e 45°. 
6.2.2 Colapso de vigas de concreto armado 
Baseado no mecanismo da treliça pode ser observado que a ruína da viga pode ocorrer de varias maneiras, já que qualquer parte (banzo, diagonal ou montante) pode entrar em colapso. Admitindo-se comportamento de viga sub ou superarmada (Figura 6.7), onde o momento fletor é responsável pelo binário das forças horizontais atuantes nos banzos superior e inferior da treliça, o colapso pode ocorrer por: - ruptura (esmagamento) do concreto comprimido que constitui o banzo superior (viga superarmada); ou - ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada do banzo inferior (viga subarmada). 
Figura 6.7 - Colapso de viga devido ao momento fletor 
 V 
M 
concreto de momento fletor 
concreto de força cortante 
barras de cisalhamento inclinadas 
 90° V 
M 
armadura de momento fletor 
armadura de força cortante 
barras de cisalhamento verticais 
 
M 
ruptura da armadura tracionada (viga subarmada) 
ruptura do concreto comprimido (viga superarmada) 
6-4 2016 tc037 
 
Para evitar a ruptura (esmagamento) do concreto comprimido no banzo superior (ruptura de viga superarmada mostrada na Figura 6.7), duas providências podem ser tomadas: - colocação de armadura na região comprimida; ou - aumento das dimensões da seção transversal da viga. De modo análogo ao das vigas super e subarmadas, onde o momento fletor é o causador do colapso, pode a força cortante também ser responsável pela ruína de uma viga de concreto armado (Figura 6.8). Isto pode acontecer por: - ruptura (esmagamento) da diagonal de concreto comprimido; ou - ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada dos montantes (estribos). 
Figura 6.8 - Colapso de viga devido a força cortante 
O esmagamento do concreto comprimido mostrado na Figura 6.8 só pode ser evitado com o aumento das dimensões da seção transversal da viga. A verificação da necessidade de se aumentar, ou não, as dimensões de uma viga de concreto armado consta na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.a e 17.4.2.3.a, onde são fixados valores limites para força cortante atuante em seções transversais de viga. 
6.3 Valores limites para força cortante - diagonal de compressão 
6.3.1 Equilíbrio da diagonal de compressão de treliça de Morsh 
Seja a Figura 6.9 onde a força cortante resistente de cálculo VRd2 é responsável pelo equilíbrio vertical das forças atuantes no trecho de elemento estrutural (viga). 
Figura 6.9 - Equilíbrio vertical da resultante atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh 
Na Figura 6.9, 
 inclinação da fissura em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, correspondendo à inclinação das bielas de compressão (direção das tensões cw);  inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤  ≤ 90° (ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.5); 
 ângulo do triângulo retângulo BCD (reto em C), equivalente a [( + ) - 90°]; bw menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; 
ruptura da armadura tracionada 
ruptura do concreto comprimido 
V 
VRd2 
Rcw = cw BC bw 
cw 
D 
C 
B A 
 
  
 
z = 0,9 d bw d 
6-5 2016 tc037 
 
z braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante horizontal de compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d (ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b); 
cw tensões normais atuantes na diagonal de compressão da treliça de Morsh (tensões perpendiculares à reta BC); Rcw força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensões cw (perpendicular à reta BC); e VRd21 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto. Do triângulo ABD (Figura 6.9), 
 senzBD
___ 
Do triângulo BCD (Figura 6.9), 
 cosBDBC ______ 
ou ainda, 
zsencosBC
___
 Tendo em vista que    90- 
tem-se:   90    90coscos     90sensen90coscoscos 
 cossensencoscos 
  sen cossensencossencos 
 cossengcotsencos 
  gcotgcotsensencos que levado para a expressão da reta BC, tem-se: 
  gcotgcotsenzBC___ 
Do equilíbrio das forças verticais mostradas na Figura 6.9, 
 senRV cwRd2 ou ainda, 


 senbBCV w___cwRd2 
     senbgcotgcotsenzV wcw2Rd    2wcw2Rd sengcotgcotzbV Tendo em vista que (Figura 6.9) d9,0z  
 1 Notação da ABNT NBR 6118, onde o índice 2 (VRd2) representa vigas e o índice 1 (VRd1) corresponde a lajes. 
6-6 2016 tc037 
 
e tomando para cw um valor em torno de 70% da máxima tensão de compressão de cálculo do concreto 0,85 fcd, necessário pelas incertezas decorrentes da simplificação da analogia de Morsh, tem-se:  cdcw f85,0 
7,04,11  
    2wcd2Rd sengcotgcotd9,0b4,1 f85,0V 
ou ainda,    gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2Rd Equação 6.1
6.3.2 Modelos da ABNT NBR 6118 
6.3.2.1 Modelo I 
O Modelo I da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2 admite diagonais de compressão inclinadas de  = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Desta forma a Equação 6.1 resulta:    45gcotgcot45sendbf54,0V 2wcd2Rd    1gcot5,0dbf54,0V wcd2Rd    1gcotdbf27,0V wcd2Rd  
Se o ângulo  (inclinação das barras de cisalhamento) for tomado igual a 90°, VRd2 assumirá seu valor mínimo, correspondente a: 
dbf27,0V wcd2Rd  Equação 6.2
A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.a, apresenta a Equação 6.2 corrigida do fator v2, função da resistência característica do concreto. Desta forma, a expressão de VRd2, para o Modelo I, resulta: dbf27,0V wcd2v2Rd  
MPaemf250f1 ckck2v  
Equação 6.3
6.3.2.2 Modelo II 
O Modelo II da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3 admite diagonais de compressão inclinadas de  em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30° e 45°. Assim como para o Modelo I, a Equação 6.1 é corrigida pelo fator v2. Desta forma, e como apresentado na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.a, resulta para VRd2:   gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd 
MPaemf250f1 ckck2v  4530  
 9045 
Equação 6.4
6.3.3 Resistência de elemento estrutural - diagonal de compressão 
A resistência do elemento estrutural, em uma determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando for verificada a seguinte condição: 
2RdSd VV  Equação 6.5
onde: VSd força cortante solicitante de cálculo, na seção; e VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os modelos descritos em 6.3.2.6-7 2016 tc037 
 
Nas regiões dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes atuantes nas respectivas faces (Figura 6.10). 
Figura 6.10 - Verificação de força cortante 
Exemplo 6.1: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal de compressão (VRd2). Fazer a verificação para o Modelo I e para o Modelo II admitindo  = 30° e  = 90°. Considerar: - concreto: C25; - d = h - 5 cm; e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4). 
Solução: Na determinação de VRd2, usar a Equação 6.3 para o Modelo I e a Equação 6.4 para o Modelo II. VSd é definida pela Equação 6.5. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN5,2MPa25f  
 4,1c  
 2
c
ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 9,0250251v2  
 cm20bw  cm35540d  
b) Modelo I 
 kN48,304352079,19,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  
 kN304VV 2RdSd  ◄ 
20 cm 
40 cm 
diagrama VSd VSd,face  VRd2 
6-8 2016 tc037 
 
c) Modelo II 
 )4530(30  
 )9045(90  
   gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd 
   30gcot90gcot30sen352079,19,054,0V 22Rd 
     kN68,263732,10,05,0352079,19,054,0V 22Rd  
 kN264VV 2RdSd  ◄ d) Observação No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (304 kN) resultou 15% maior que a correspondente no Modelo II (264 kN). Portanto, no que se refere à diagonal de compressão, o Modelo I tem um melhor comportamento (mais folgado) que o Modelo II. 
6.4 Valores limites para força cortante - diagonal de tração 
6.4.1 Equilíbrio da diagonal de tração de treliça de Morsh 
Seja a Figura 6.11 onde a força cortante resistente de cálculo VRd3 é responsável pelo equilíbrio vertical das forças atuantes no trecho de um elemento estrutural (viga). 
Figura 6.11 - Equilíbrio vertical da resultante atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) 
Na Figura 6.11, 
 inclinação da fissura em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; 
 inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤  ≤ 90° (ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.5); d altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; z braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante horizontal de compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d (ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b); s espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; n número de barras componentes da armadura transversal Asw que corta o plano AC no trecho do elemento estrutural; Asw área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal do elemento estrutural; 
sw tensão normal atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh); Rsw força atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh), resultante do total de barras que corta o plano AC; 
B 
Asw sw Rsw = n Asw sw 
Vc s s 
VRd3 
C 
A   
z = 0,9 d 
Rsw Vsw

Vsw = Rsw sen  
6-9 2016 tc037 
 
VRd32 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; Vsw parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, correspondente à componente vertical da força Rsw; Vc parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh, onde: - Vc é constante e independente de VSd no Modelo I; e - Vc sofre redução com o aumento de VSd no Modelo II. Do triângulo ABC (Figura 6.11) 
  gcotgcotzAB___ 
O número de barras que corta o plano AC (projeção horizontal AB) é dado por     gcotgcotszs gcotgcotzsABn Do equilíbrio vertical de forças atuantes no trecho do elemento estrutural da Figura 6.11, tem-se: 
0VsenRV csw3Rd  ou ainda, 
csw3Rd VsenRV  
swc3Rd VVV  Equação 6.6
Ainda da Figura 6.11,    senAnsenRV swswswsw 
      senAgcotgcotszV swswsw 
      senAgcotgcots d9,0V swswsw 
   sengcotgcotd9,0sAV swswsw Equação 6.7
A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b e 17.4.2.3.b apresenta a Equação 6.7 com fywd no lugar de sw, onde fywd é a tensão na armadura transversal, limitada ao valor fyd no caso de estribo e a 70% desse valor no caso de barra dobrada, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Desta forma a Equação 6.7 resulta: 
   sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
4530  
 9045 
Equação 6.8
6.4.2 Armadura componente das diagonais tracionadas da treliça de Morsh 
As armaduras que compõem as diagonais tracionadas da treliça de Morsh podem ser constituídas por: 
 2 Notação da ABNT NBR 6118. 
6-10 2016 tc037 
 
- estribos; ou - barras dobradas. 
Os estribos devem ser fechados e, preferencialmente, posicionados verticalmente ( = 90°), como mostrado na Figura 6.12. O valor de Asw, a ser usado na Equação 6.8, depende do número de ramos que compõe o estribo. 
Figura 6.12 - Estribos de viga 
As barras dobradas, de modo geral, são posicionadas nas vigas como continuidade das barras horizontais, formando ângulo de 45° com a horizontal (Figura 6.13). 
Figura 6.13 - Barras dobradas de viga 
6.4.3 Modelos da ABNT NBR 6118 
6.4.3.1 Modelo I 
O Modelo I da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2 admite  = 45°. Desta forma a Equação 6.8 resulta: 
  cossenfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
 9045 
Equação 6.9
A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b apresenta o cálculo da armadura transversal de elemento estrutural, para o Modelo I, separado por tipo de solicitação. A força cortante resistente de cálculo VRd3 será dada pela Equação 6.6, Vsw pela Equação 6.9 e Vc definido para cada tipo de solicitação. 
As 
estribo de 2 ramos Asw = 2 As 
As 
estribo de 4 ramos Asw = 4 As 
6-11 2016 tc037 
 
6.4.3.1.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
swc3Rd VVV  
dbf6,0V wctdc  
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 
  cossenfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
 9045 
Equação 6.10 
6.4.3.1.2 Flexo-compressão 
swc3Rd VVV  
0cmax,Sd
00cc V2MM1VV 

  
dbf6,0V wctd0c  
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 
  cossenfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
 9045 
Equação 6.11
Na Equação 6.11, M0 valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de f igual a 1,0; e MSd,max momento fletor de cálculo máximo no trecho, em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado. 
6-12 2016 tc037 
 
6.4.3.1.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção 
swc3Rd VVV  
0Vc  
  cossenfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
ykywd 
 9045 
Equação 6.12
6.4.3.2 Modelo II 
O Modelo II da ABNT NBR 6118 -17.4.2.3 admite para  uma variação livre entre 30° e 45°, de tal forma não ser possível simplificações na Equação 6.8 (página 6-9). A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.b apresenta o cálculo da armadura transversal de elemento estrutural, para o Modelo II, separado por tipo de solicitação. A força cortante resistente de cálculo VRd3 será dada pela Equação 6.6 (página 6-9), Vsw pela Equação 6.8 (página 6-9) e Vc definido para cada tipo de solicitação. 
6.4.3.2.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
swc3Rd VVV  
1cc VV  
0c0c2Rd
Sd2Rd0c1c VVV VVVV  
dbf6,0V wctd0c  
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 
   sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
º4530  
 9045 
Equação 6.13
6-13 2016 tc037 
 
6.4.3.2.2 Flexo-compressão 
swc3Rd VVV  
1cmax,Sd
01cc V2MM1VV 

  
0c0c2Rd
Sd2Rd0c1c VVV VVVV  
dbf6,0V wctd0c  
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 
   sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
º4530  
 9045 
Equação 6.14
Na Equação 6.14, M0 valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de f igual a 1,0; e MSd,max momento fletor de cálculo máximo no trecho, em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado. 
6.4.3.2.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção 
swc3Rd VVV  
0Vc  
   sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw 







dobradasbarrasMPa435f7,0
estribosMPa435f
f
s
yk
s
yk
ywd 
º4530  
 9045 
Equação 6.15
6.4.4 Resistência de elementos estruturais - diagonal tracionada 
A resistência de elementos estruturais, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando for verificada, a seguinte condição: 
3RdSd VV  Equação 6.16
6-14 2016 tc037 
 
onde: VSd força cortante solicitante de cálculo na seção; e VRd3 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, de acordo com os modelos descritos em 6.3.2 (página 6-6). 
Exemplo 6.2: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal tracionada (VRd3). Fazer a verificação para o Modelo I e para o Modelo II ( = 30°), considerando estribos verticais ( = 90°). Considerar: - aço: CA-50; - concreto: C25; - d = h - 5 cm; - estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm; - flexão simples; e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: Na determinação de VRd3, usar a Equação 6.10 (página 6-11) para o Modelo I e a Equação 6.13 (página 6-12) para o Modelo II. VSd é definida pela Equação 6.16 (página 6-13). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 MPa25fck  
 4,1c  
 MPa50ff21,0f ckc
3 2ckctd 
 
 23 2ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f  
 MPa500fyk  
 15,1s  
 estribosMPa435ff
s
ykywd  
 2ywd cm/kN5,43MPa43515,1500f  
 22ssw cm623,0463,02A2A  cm10s  
 cm20bw  cm35540d  
20 cm 
40 cm 
6-15 2016 tc037 
 
b) Modelo I  90 (estribos verticais) 
 kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctdc  
   cossenfd9,0sAV ywdswsw 
   kN37,8590cos90sen5,43359,010623,0Vsw  
 kN13,13937,8576,53VVV swcRd3  
 kN139VV 3RdSd  ◄ c) Modelo II 
 )4530(30  
 )9045(90  (estribos verticais) 
 kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctd0c  
   gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd 
   30gcot90gcot30sen352079,19,054,0V 22Rd 
     kN68,263732,10,05,0352079,19,054,0V 22Rd  
    sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw 
    90sen30gcot90gcot5,43359,010623,0Vsw 
   kN85,14700,1732,100,05,43359,010623,0Vsw  
 0c0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV
VVVV  
 kN76,5376,5368,263 V68,26376,53VV Sd1cc  (Vc1 função de VSd) 
  adimitindo VSd = VRd3, tem-se: swcRd3Sd VVVV  
 sw0c2Rd Sd2Rd0cSd VVV
VVVV  
 



 

 






 





0c2Rd0c
0c
sw
0c2Rd
2Rd
Sd
VV 1V1
VVVV VV 
 kN47,171
76,5368,263 176,531
76,53 85,14776,5368,263 68,263VSd 


 

 

 


 



  
  verificando: 
 kN76,53kN61,2376,5368,263 47,17168,26376,53VV 1cc  
 kN46,17185,14761,23VVV swcRd3  
6-16 2016 tc037 
 
 kN171VV 3RdSd  ◄ d) Observação No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (139 kN) resultou 19% menor que a correspondente no Modelo II (171 kN). Portanto, neste caso, no que se refere à diagonal tracionada (armadura), flexão simples, o Modelo II tem melhor comportamento (mais folgado) que o Modelo I. 
6.5 Armadura mínima 
A ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.1 estabelcele, para elementos lineares submetidos a força cortante, uma armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica dada por: 
ywk
m,ct
w
swsw f
f2,0sensb A  
 





MPa50ff11,01ln12,2
MPa50ff3,0
f
ckck
ck3 2ck
m,ct 
MPa500ff ykywk  
Equação 6.17
onde: 
sw taxa geométrica de armadura transversal; Asw área da seção transversal dos estribos; s espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; 
 inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; bw largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal; e fct,m resistência média à tração do concreto. 
Exemplo 6.3: Determinar a taxa geométrica mínima para a armadura transversal de viga com: - aço: CA-50; e - concreto: C25. 
Solução: Usar a Equação 6.17 para a determinação de sw. a) Dados 
 MPa25fck  
 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  
 MPa56,2253,0f 3 2m,ct  
 MPa500fyk  
 MPa500ff ykywk  
 MPa500fywk  
b) Taxa geométrica 
 %10,050056,22,0f
f2,0
ywk
m,ctsw  ◄ 
 
6.6 Flexão simples - Vigas com estribos verticais 
ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.3: “A armadura transversal (Asw) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela 
6-17 2016 tc037 
 
composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não podem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.” O detalhamento de vigas de concreto armado com estribos verticais, permitido pela ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.3, tem sido o mais usado pela engenharia de estruturas de concreto armado (Figura 6.14). 
Figura 6.14 - Vigas com estribos verticais 
6.6.1 Modelo I 
A adoção do Modelo I, que pode exigir mais da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo 6.1, página 6-7), tem-se mostrado bastante útil no detalhamento de vigas de concreto armado. Levando em consideração apenas as equações estabelecidas em 6.3.2.1 (Equação 6.3, página 6-6), 6.3.3 (Equação 6.5, página 6-6), 6.4.3.1.1 (Equação 6.10, página 6-11), 6.4.4 (Equação 6.16, página 6-13) e 6.5 (Equação 6.17, página 6-16), paraflexão simples, tem-se: 



3Rd
2Rd
Sd V
VV 
dbf27,0V wcd2v2Rd  
MPaemf250f1 ckck2v  
swc3Rd VVV  
dbf6,0V wctdc  
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 
ywdswsw fd9,0sAV 

 
MPa435ff
s
ykywd  
ywk
m,ct
w
swsw f
f2,0sbA  
 





MPa50ff11,01ln12,2
MPa50ff3,0
f
ckck
ck3 2ck
m,ct 
MPa500ff ykywk  
 Equação 6.18 
s s 
2s 
6-18 2016 tc037 
 
Exemplo 6.4: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar. Considerar: - aço: CA-50; - concreto: C25; - d = h - 5 cm; - estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, barras de 6,3 mm; - flexão simples, Modelo I; e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.18. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN5,2MPa25f  
 4,1c  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 9,0250251v2  
 2
c
ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  
 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  
 23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f  
 MPa50ff21,0f ckc
3 2ckctd 
 
 23 2ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f  
 MPa500fyk  
 MPa500ff ykywk  
 MPa500fywk  = 50 kN/cm2 
 15,1s  
 MPa435ff
s
ykywd  
 2ywd cm/kN5,43MPa43515,1500f  
20 cm 
40 cm 
6-19 2016 tc037 
 
 22ssw cm623,0463,02A2A  cm10s  
 cm20bw  cm35540d  
 %10,050256,02,0f
f2,0
ywk
m,ctsw  
 %10,0%31,01020623,0sbAwswsw  b) VRd2 kN48,304352079,19,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  
 kN304V 2Rd  ◄ (ver Exemplo 6.1, página 6-7) c) VRd3 kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctdc  
 kN37,855,43359,010623,0fd9,0sAV ywdswsw 



 
 kN13,13937,8576,53VVV swcRd3  
 kN139VRd3  ◄ (ver Exemplo 6.2, página 6-14) d) VSd 
 



 kN139V
kN304VV
3Rd
2Rd
Sd 
 kN139VSd  ◄ 
 
6.6.2 Modelo II 
A adoção do Modelo II para vigas com estribos verticais pode ser uma solução interessante quando se quer exigir menos da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo 6.1, página 6-7). Desta forma, levando em consideração apenas as equações estabelecidas em 6.3.2.2 (Equação 6.4, página 6-6), 6.3.3 (Equação 6.5, página 6-6), 6.4.3.2.1 (Equação 6.13, página 6-12), 6.4.4 (Equação 6.16, página 6-13) e 6.5 (Equação 6.17, página 6-16), para flexão simples, tem-se: 



3Rd
2Rd
Sd V
VV 
 cossendbf54,0V wcd2v2Rd 
MPaemf250f1 ckck2v   4530 
swc3Rd VVV  
1cc VV  
0c0c2Rd
Sd2Rd0c1c VVV VVVV  
dbf6,0V wctd0c  
 Equação 6.19 
6-20 2016 tc037 
 
 







 


 MPa50ff11,01ln484,1
MPa50ff21,0ff
ckc
ck
ckc
3 2ck
c
inf,ctkctd 


 cotfd9,0sAV ywdswsw 
MPa435ff
s
ykywd  
ywk
m,ct
w
swsw f
f2,0sbA  
 





MPa50ff11,01ln12,2
MPa50ff3,0
f
ckck
ck3 2ck
m,ct 
MPa500ff ykywk  
 Eq. 6.19 (cont.)
Exemplo 6.5: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar. Considerar: - aço: CA-50; - concreto: C25; - d = h - 5 cm; - estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm; 
 - flexão simples, Modelo II,  = 30°; e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.19. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN5,2MPa25f  
 4,1c  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 9,0250251v2  
 2
c
ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  
20 cm 
40 cm 
6-21 2016 tc037 
 
 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  
 23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f  
 MPa50ff21,0f ckc
3 2ckctd 
 
 23 2ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f  
 MPa500fyk  
 MPa500ff ykywk  
 MPa500fywk  = 50 kN/cm2 
 15,1s  
 MPa435ff
s
ykywd  
 2ywd cm/kN5,43MPa43515,1500f  
 22ssw cm623,0463,02A2A  cm10s  
 cm20bw  cm35540d  
 %10,050256,02,0f
f2,0
ywk
m,ctsw  
 %10,0%31,01020623,0sbAwswsw  
 )4530(30  
b) VRd2  30cos30sen352079,19,054,0cossendbf54,0V wcd2v2Rd 
 kN68,263866,050,0352079,19,054,0V 2Rd  
 kN264V 2Rd  ◄ (ver Exemplo 6.1, página 6-7) c) VRd3 kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctd0c  
 kN68,263V 2Rd  
 

 cotfd9,0sAV ywdswsw 
 kN85,147732,15,43359,010623,030cot5,43359,010623,0V osw 



 
 0c0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV
VVVV  
 kN76,5376,5368,263 V68,26376,53VV Sd1cc  (Vc1 função de VSd) 
6-22 2016 tc037 
 
  adimitindo VSd = VRd3, tem-se: swcRd3Sd VVVV  
 sw0c2Rd Sd2Rd0cSd VVV
VVVV  
 



 

 






 





0c2Rd0c
0c
sw
0c2Rd
2Rd
Sd
VV 1V1
VVVV VV 
 kN47,171
76,5368,263 176,531
76,53 85,14776,5368,263 68,263VSd 


 

 

 


 



  
  verificando: 
 kN76,53kN61,2376,5368,263 47,17168,26376,53VV 1cc  
 kN46,17185,14761,23VVV swcRd3  
 kN171V 3Rd  ◄ (ver Exemplo 6.1, página 6-14) d) VSd 
 



 kN171V
kN264VV
3Rd
2Rd
Sd 
 kN171VSd  ◄ e) Comparações de Modelos Valores do Modelo I retirados do Exemplo 6.4, página 6-18. 
 Como pode ser observado na tabela, o Modelo I apresenta melhores condições (maior folga) para o concreto (maior VRd2), ao passo que o Modelo II se apresenta melhor (mais folgado) para armadura (maior VRd3). Em outras palavras, Modelo II, neste caso, poderia resistir a uma força cortante de 171 kN com estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm. Para esta mesma disposição de armadura (estribos), o Modelo I suportaria, no máximo, 139 kN. 
6.7 Condições para uso de estribos em elementos estruturais 
ABNT NBR 6118 - 18.3.3.2: “O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, 
Modelo I II 
 90° 90° 
 45° 30° 
Vc 54 kN 24 kN 
Vsw 85 kN 148 kN 
VRd2 304 kN 264 kN 
VRd3 139 kN 171 kN 
 
6-23 2016 tc037 
 
garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: - se Vd ≤ 0,67 VRd2, então smax = 0,6 d ≤ 300mmm; - se Vd > 0,67 VRd2, então smax = 0,3 d ≤ 200mmm.” 
Embora a ABNT NBR 6118 - 18.3.3.2 não especifique um valor exato para o espaçamento mínimo entre estribos, é recomendável que este valor não seja inferior a 7 cm. Em casos de extrema necessidade, o espaçamento pode ser reduzido para valores inferiores a 7 cm, porém torna-se necessário que sejam verificadas as condições totais de concretagem que envolvem todas as armaduras (longitudinais e transversais). 
Figura 6.15 - Estribos de viga de concreto armado 
Considerando as recomendações da ABNT NBR 6118 - 18.3.3.2, e admitindo como espaçamento mínimo o valor de 7 cm, tem-se: 
10bmm5 wt  









cm30
d6,0
minscm767,0VV 2RdSd 









cm20
d3,0
minscm767,0VV 2RdSd 
Equação 6.20
onde: 
t diâmetro da barra que constitui o estribo; s espaçamento entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; bw menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; daltura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; VSd força cortante solicitante de cálculo, na seção; e VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto. 
No caso de elementos estruturais de pouca altura útil (d  23 cm), o produto 0,3 d poderá resultar inferior a 7 cm. Neste caso o espaçamento mínimo de 7 cm deverá ser ignorado, mantendo-se o espaçamento igual ou inferior a 0,3 d. 
Exemplo 6.6: Determinar o espaçamento dos estribos (verticais) para o trecho II da viga abaixo indicada, considerando Modelo I e Modelo II com  igual a 30°. Considerar: - aço: CA-60; - concreto: C30; - d = h - 6 cm; - estribos verticais de dois ramos, constituídos por fios de 7 mm; e 
 - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
s 
t bw d 
6-24 2016 tc037 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 (página 6-17) para o Modelo I, Equação 6.19 (página 6-19) para o Modelo II, e Equação 6.20. Observar que a verificação de VRd2 deve ser feita para a maior força cortante solicitante de cálculo VSd atuante na viga (240 kN). O cálculo da armadura deve ser feito para VSd igual a 170 kN que corresponde a maior força cortante de cálculo atuante no trecho II. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN0,3MPa30f  
 4,1c  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 88,0250301v2  
 2
c
ckcd cm/kN14,24,1 0,3ff  
 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  
 23 2m,ct cm/kN290,0MPa90,2303,0f  
 MPa50ff21,0f ckc
3 2ckctd 
 
 23 2ctd cm/kN145,0MPa45,14,1 3021,0f  
 MPa600fyk  
 MPa500ff ykywk  
 MPa500fywk  = 50 kN/cm2 
 15,1s  
 MPa435ff
s
ykywd  
 MPa435MPa52215,1600fywd  
 2ywd cm/kN5,43MPa435f  
20 cm 
50 cm 
I II 
diagrama VSd 
170 kN 240 kN 
6-25 2016 tc037 
 
 10bmm5 wt  
 10200mm5 t  
 mm20mm5 t  
 


 mm20
mm5
mm7
t 
 22ssw cm77,04 7,02A2A  
 %12,050290,02,0f
f2,0
ywk
m,ctsw  
 cm20bw  cm44650d  
 )4530(30  (Modelo II) 
 )Itrecho(kN240V Imax,Sd,  (para verificação de VRd2) 
 )IItrecho(kN170V IImax,Sd,  (para verificação de VRd3) 
b) Modelo I b.1. VRd2 kN45,447442014,288,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  
  45,447 2Rd240 Imax,,Sd VV  b.2. VRd3 kN56,764420145,06,0dbf6,0V wctdc  
 s 40,32615,43449,0s77,0fd9,0sAV ywdswsw 



 
 swcRd3 VVV  
 s 40,326156,76VRd3  
 kN170VV IImax,,SdRd3  
 170s 40,326156,76  cm14,20s  
 cm14s  ◄ 
 b.2.1 Verificação de VRd3 
 kN30,1711440,326156,76VRd3  
 30,171 3Rd170 IImax,,Sd VV  b.2.2 Verificação de s 
 67,038,045,447170VV 2RdSd  
6-26 2016 tc037 
 
 






 

cm30
cm4,26446,0d6,0
minscm7 
 cm4,26scm7  
 



cm4,26
cm7s
cm14
 
 b.2.3 Verificação de sw 
 %12,0%28,01420 77,0sbAwswsw  c) Modelo II c.1. VRd2  30cos30sen442014,288,054,0cossendbf54,0V wcd2v2Rd 
 kN49,387866,050,0442014,288,054,0V 2Rd  
  49,387 2Rd240 Imax,,Sd VV  c.2. VRd3 kN56,764420145,06,0dbf6,0V wctd0c  
 kN49,387V 2Rd  
 kN170V IImax,Sd,  
 0c0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV
VVVV  
 kN55,5356,7649,387 17049,38756,76VV 1cc 

  
  56,76 0c55,53 1c VV  
 

 cotfd9,0sAV ywdswsw 
 s 33,2972732,15,43449,0s77,030cot5,43449,0s77,0V osw 



 
 swcRd3 VVV  
 s 33,297255,53VRd3  
 kN170VV IImax,,SdRd3  
 170s 33,297255,53  cm19,73s  
 cm19s  ◄ 
 c.2.1 Verificação de VRd3 
 kN46,17419 33,297255,53VRd3  
 46,174 3Rd170 IImax,,Sd VV  
6-27 2016 tc037 
 
 c.2.2 Verificação de s 
 67,044,049,387170VV 2RdSd  
 






 

cm30
cm4,26446,0d6,0
minscm7 
 cm4,26scm7  
 



cm4,26
cm7s
cm19
 
 c.2.3 Verificação de sw 
 %12,0%20,01920 77,0sbAwswsw  d) Comparação de estribos 
 Modelo I: 1 de 7 mm @ 14 cm para resistir força cortante de 170 kN. 
 Modelo II: 1 de 7 mm @ 19 cm para resistir força cortante de 170 kN. 
 Neste exemplo, o Modelo II se mostrou mais econômico. A taxa de armadura sw para o Modelo I resultou em 0,28%, maior que a do Modelo II que ficou em 0,20%. Muito cuidado deve ser tomado para afirmar que sempre o Modelo II exigirá menos armadura que o Modelo I. No Modelo II, a diminuição do valor de Vc com o aumento de VSd pode levar este Modelo a uma taxa de armadura maior que a do Modelo I. 
 
6.8 Cargas próximas aos apoios 
A existência de cargas próximas aos apoios pode influenciar na determinação da armadura de cisalhamento em elementos estruturais de concreto armado. 
Figura 6.16 - Cargas próximas aos apoios 
Da Figura 6.16 pode ser observado que: 
- as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem no nó B (onde existe Vsw), são direcionadas diretamente ao apoio (nó) A e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força VRd2 (reação de apoio), relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; e 
- as cargas uniformemente distribuídas, compreendidas entre os planos  e , interferem no nó B e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força Vsw, resistida pela armadura transversal Asw. Desta forma, pode-se afirmar: 
- as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem na determinação de Asw; e 
 
 
V 
M B Rsw 
 
 
VRd2
A 
6-28 2016 tc037 
 
- as cargas uniformemente distribuídas, à direita do plano , interferem na verificação de VRd2. ABNT NBR 6118 - 17.4.1.2.1: “Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o), valem as seguintes prescrições: - no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada constante e igual à desta seção; - a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a  2d do eixo teórico do apoio pode, neste trecho de comprimento a, ser reduzida, multiplicando-a por a/(2d). As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas reduções também não são permitidas.“ A Figura 6.17 mostra os diagramas de força cortante para o cálculo da armadura transversal de elementos estruturais de concreto armado, como estabelecido pela ABNT NBR 6118 - 17.4.1.2.1. 
 
Figura 6.17 - Diagramas VSd para cálculo da armadura de cisalhamento 
Exemplo 6.7: Determinar a armadura de cisalhamento os trechos I, II e III da viga abaixo indicada. Considerar: - aço: CA-60; - concreto: C25; - estribos verticais de dois ramos; - flexão simples, Modelo I; e 
 - estado limite último, combinações normais (g = 1,4; c = 1,4 e s = 1,15). 
d/2 
d 
diagrama VSd para cálculo da armadura de cisalhamento 
d 
a  2d 
diagrama VSd para cálculo da armadura de cisalhamento 
VSd 

 d2aVSd 
6-29 2016 tc037 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 (página 6-17), Equação 6.20 (página 6-23), bem como das reduções de carga apresentadas na Figura 6.17. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN5,2MPa25f  
 4,1c  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 90,0250251v2  
 2
c
ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  
 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  
 23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f  
 MPa50ff21,0f ckc
3 2ckctd 
 
 23 2ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f  
 MPa600fyk  
 MPa500ff ykywk  
 MPa500fywk  = 50 kN/cm215,1s  
 MPa435ff
s
ykywd  
 MPa435MPa52215,1600fywd  
14 cm 
62 cm 
30 cm 
55 cm 
A B 1 m 2 m 
Gk = 144 kN 
2 m 
gk = 72 kN/m 
I II III 
6-30 2016 tc037 
 
 2ywd cm/kN5,43MPa435f  
 cm14bw  cm55d  
 cm30pil  
 10bmm5 wt  
 10140mm5 t  
 mm14mm5 t  
 %10,050256,02,0f
f2,0
ywk
m,ctsw  
 %10,0sbAwswsw  
  m/cm40,1cmcm0140,01410010,0sA 2
2
b
sw
w
 
 kN93,334551479,190,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  
 kN14,595514128,06,0dbf6,0V wctdc  b) Força cortante atuando nas faces dos pilares carga uniformemente distribuída: 
 kN28,161542724,1V Aeixo,Sd, 

 

 
 kN16,146230,0724,128,161V face,ASd, 

 

 
 kN32,40512724,1VV B,face,SdBeixo,Sd, 

 

 
 carga concentrada: 
 kN32,40511444,1VV A,face,SdAeixo,Sd, 

 

 
 kN28,161541444,1VV B,face,SdBeixo,Sd, 

 

 
 conjunto de cargas: 
 conc,A,face,Sddist,A,face,SdA,face,Sd VVV  
 kN48,18632,4016,146V A,face,Sd  
 conc,B,face,Sddist,B,face,SdB,face,Sd VVV  
 kN60,20128,16132,40V B,face,Sd   máxima força cortante na face do pilar 
2pil
 
6-31 2016 tc037 
 
 
c) Verificação de VRd2 kN60,201V max,face,Sd  (valor absoluto) 
 kN93,334V 2Rd  
 2RdSd VV  
  93,334 2Rd60,201 max,face,Sd VV  
d) Trecho I 
B 
3 m 2 m 
A 
+ 
- 
VSd,eixo,A = +161,28 kN 
VSd,face,A = +146,16 kN
VSd,eixo,B = VSd,face,B = -40,32 kN 
B 
1 m 4 m 
VSd,eixo,A = VSd,face,A = 40,32 kN 
VSd,eixo,B = VSc,face,B = -161,28 kN 
A 
+ 
- 
+40,32 kN 
A 
+ 
2 m 
VSd,d/2,face,A = +118,44 kN 
-40,32 kN 
A 
+ 
I 
6-32 2016 tc037 
 
 kN44,118255,0230,0724,128,161V face,Ad/2,Sd, 


 

 



 (carga distribuída) 
 kN32,40V A,face,Sd  (carga concentrada) 
 kN76,15832,4044,118VV max,SdSd   máxima força cortante no trecho I 
 kN14,59Vc  
 sA25,15325,43559,0sAfd9,0sAV swswywdswsw 



 
 sA25,153214,59VVV swswcRd3  
 3RdSd VV  
 sA25,153214,59158,76 sw 
 m/cm40,1m/cm63,4cmcm0463,0sA 22
2sw  
 67,047,093,334 76,158VV 2RdSd  
 






 

cm30
cm33556,0d6,0
minscm7 
 cm30scm7  
 
e) Trecho II 
 kN32,40VSd  (carga distribuida) 
2pil
 2d 
VSd.eixo,A 
 t (mm) Asw (cm2) s (cm) Asw/s (cm2/m) 5 0,393 8 4,91 5,5 0,475 10 4,75 6 0,565 12 4,71 6,4 0,643 13 4,95 7 0,770 16 4,81 8 1,005 21 4,79 
 
m/cm91,4sAsAcm100
cm393,0cm8
cm49,8scm63,4cm100
cm393,0cms
2swsw
2
2
2




 
 
+40,32 kN 
A 
+ 
2 m 
-40,32 kN A 
- 
II 
g gk 
6-33 2016 tc037 
 
 kN32,40VSd  (carga concentrada) 
 kN00,032,4032,40VV max,SdSd   força cortante no trecho II 
 kN14,59Vc  
 sA25,1532V swsw  
 sA25,153214,59VVV swswcRd3  
 3RdSd VV  
 sA25,153214,590,00 sw 
 m/cm40,1m/cm75,2cmcm0275,0sA 22
2sw  
 m/cm40,1sA 2sw  (armadura mínima) 
 67,000,093,33400,0VV 2RdSd  
 






 

cm30
cm33556,0d6,0
minscm7 
 cm30scm7  
 
f) Trecho III 
 kN32,40VSd  (carga distribuida) 
 t (mm) Asw (cm2) s (cm) Asw/s (cm2/m) 5 0,393 28 1,40 5,5 0,475 30 1,58 6 0,565 30 1,88 6,4 0,643 30 2,14 7 0,770 30 2,57 8 1,005 30 3,35 
 
m/cm40,1sAsAcm100
cm393,0cm28
cm07,28scm40,1cm100
cm393,0cms
2swsw
2
2
2




 
 
B 
1 m 
- 
-40,32 kN 
III B 
VSd,eixo,B = -161,28 kN 
- VSd,a/2d,eixo,B = -146,62 kN 
6-34 2016 tc037 
 
 kN62,14655210028,161V B,eixo,d2/a,Sd 

  (carga concentrada) 
 kN94,18662,14632,40VV max,SdSd   máxima força cortante no trecho III 
 kN14,59Vc  
 sA25,1532V swsw  
 sA25,153214,59VVV swswcRd3  
 3RdSd VV  
 sA25,153214,59186,94 sw 
 m/cm40,1m/cm94,5cmcm0594,0sA 22
2sw  
 67,056,093,334 94,186VV 2RdSd  
 






 

cm30
cm33556,0d6,0
minscm7 
 cm30scm7  
 
g) Posicionamento dos estribos A opção por barras (fios, pois a armadura é constituída pelo aço CA-60) de 5 mm deve ser descartada pois levaria a um espaçamento de 6 cm no trecho III, o que deve ser evitado (evitar espaçamentos inferiores a 7 cm). É adequado o uso tanto de barras (fios) de 5,5 mm como de 6 mm. O uso de barras (fios) acima de 6 mm levaria a um disperdício de armadura no trecho II (trecho de armadura mínima). A opção será pela barra (fio) de menor bitola, ou seja, barra (fio) de 5,5 mm. 
 
 t (mm) Asw (cm2) s (cm) Asw/s (cm2/m) 5 0,393 6 6,55 5,5 0,475 8 5,94 6 0,565 9 6,28 6,4 0,643 10 6,43 7 0,770 12 6,42 8 1,005 16 6,28 
 
m/cm55,6sAsAcm100
cm393,0cm6
cm62,6scm94,5cm100
cm393,0cms
2swsw
2
2
2




 
 
1  @ 30 cm 6  5,5 mm 19  5,5 mm 1  @ 10 cm 
12  5,5 mm 1  @ 8 cm 5 cm 22 cm 21 cm 4 cm 
d2a VSd.eixo,B 
6-35 2016 tc037 
 
6.9 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado 
Seja a viga da Figura 6.18 submetida a um carregamento qualquer onde, internamente, está representada a treliça de Morsh. 
Figura 6.18 - Viga com representação da treliça de Morsh 
Seja agora, um trecho isolado da viga onde somente forças horizontais, oriundas de momentos fletores, são consideradas (Figura 6.19). Conforme mostrado na Figura 6.18, os banzos superiores e inferiores da treliça são admitidos paralelos. Desta forma, pode-se, também, admitir, na Figura 6.19, a igualdade dos braços de alavanca z, distância entre as forças Rcd e Rsd. Existindo no trecho x da Figura 6.19 variação dos momentos fletores (MRd,B > MRd,A), sendo z constante e MRd dado pelo produto Rsd z, conclui-se que a força atuante na armadura tracionada Rsd não é constante neste trecho (Rsd,B > Rsd,A da mesma forma que MRd,B > MRd,A). 
Figura 6.19 - Forças horizontais em um trecho de viga 
Seja agora o mesmo trecho x isolado da treliça da Figura 6.18, onde está mostrado as forças internas de tração Rsd atuantes no banzo inferior da treliça de Morsh. Por se tratar de um trecho de treliça, obrigatoriamente deve-se ter, na Figura 6.20, forças Rsd iguais entre dois nós consecutivos (nós A e B que definem o trecho x). Isto vale dizer que a força atuante na armadura tracionada (armadura horizontal inferior) é constante no trecho x. 
Figura 6.20 - Forças horizontais no banzo inferior da treliça 
Do exposto, fica caracterizado uma discrepância quanto ao comportamento da força Rsd, pois, para o mesmo trecho x, ora ela é variável (Figura 6.19) ora ela é constante (Figura 6.20). Isto se explica pela completa independência existente na determinação da armadura horizontal (armadura de momento fletor) com a determinação da armadura vertical (armadura de força cortante). Determina-se a armadura horizontal sem levar em conta a força cortante, ao mesmo 
x 
B A 
x 
z z 
Rcd,A 
Rsd,A 
Rcd,B 
Rsd,B 
MRd,B MRd,A 
z
MR A,RdA,sd  A,sdB,RdB,sd Rz
MR 
Rsd,A Rsd,B 
B A 
x 
Rsd,A Rsd,B 
6-36 2016 tc037 
 
tempo em que se determina a armadura vertical sem levar em conta o momento fletor. Um critério de cálculo (momento fletor) considera a viga como um todo, o outro (força cortante) admite o comportamento de uma treliça interna. Para levar em conta a discrepância existente no comportamento da armadura horizontal tracionada, e agora já podemos considerá-la tanto na face inferior da viga (momento positivo) com na face superior (momento negativo), deve o dimensionamento desta armadura ser feito para o maior valor absoluto da força Rsd atuante no trecho x (ponto B da Figura 6.19 e da Figura 6.20). Isto vale dizer que o diagrama de forças Rsd deve ser deslocado na direção da menor destas forças (na direçãode Rsd,A da Figura 6.19, ou de B para A) de tal modo que no trecho x a força horizontal tracionada fique constante com seu maior valor absoluto. A Figura 6.21 mostra um exemplo de diagrama de forças Rsd deslocado. 
Figura 6.21 - Diagrama Rsd deslocado 
ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.c - Modelo de cálculo I: “Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração obliqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão: 
    dgcotgcot1VV2 Vda cmax,Sd max,Sd   
onde: 
a = d, para ƖVSd,maxƖ ≤ ƖVcƖ; 
a  0,5 d, no caso geral; e 
a  0,2 d, para estribos inclinados a 45°. Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.” ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.c - Modelo de cálculo II: “Se forem mantidas as condições estabelecidas 17.4.2.2-c, o deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa Seção, deve ser:   gcotgcotd5,0a onde: 
a  0,5 d, no caso geral; 
a  0,2 d, para estribos inclinados a 45°.” 6.9.1 Modelo I - estribos verticais 
A adoção do Modelo I,com estribos verticais ( = 90°), tem se constituído em prática comum da engenharia de estruturas de concreto armado. Desta forma, o estabelecido na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.c resulta: 
B A
x 
diagrama Rsd deslocado diagrama Rsd = MRd/z 
Rsd  0 no apoio 
6-37 2016 tc037 
 
  







 d
d5,0
VV
V
2da cmax,Sd
max,Sd
 
cmax,Sd VVda  
Equação 6.21
6.9.2 Modelo II - estribos verticais 
Caso seja utilizado o Modelo II,com estribos verticais ( = 90°), o estabelecido na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.c resulta: 
 gcotd5,0a  4530 Equação 6.22
A Figura 6.22 mostra como ficaria um diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para efeito de dimensionamento e detalhamento da armadura horizontal de tração. É interessante notar que no apoio rotulado B há um aparente aparecimento de momento fletor. Na realidade, neste apoio B, está representada a força horizontal de tração que aparece no equilíbrio do nó A da Figura 6.16 (página 6-27). 
Figura 6.22 - Diagrama MSd deslocado 
Exemplo 6.8: Efetuar o deslocamento do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para a viga abaixo representada. Considerar: - concreto: C30; - estribos verticais de dois ramos; - preso próprio desprezível; - flexão simples, Modelo I; e 
 - estado limite último, combinações normais, (g = 1,4; c = 1,4 e s = 1,15). 
B 
A 
a 
a 
a a 
diagrama MSd 
diagrama MSd deslocado 
A 1 m 
Gk = 200 kN 
4 m 
6-38 2016 tc037 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.3 (página 6-6) para a verificação de VRd2 e Equação 6.21 para a determinação de a. a) Diagramas MSd e VSd 
b) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck cm/kN0,3MPa30f  
 4,1c  
 MPaemf250f1 ckckv2  
 88,0250301v2  
 
c
ckcd ff  
1 m 
Gk = 200 kN 
4 m 
kNm2245 142004,1  
kN565 12004,1 
kN2245 52004,1  
I II 
A 
18 cm 
55 cm 
30 cm 
50 cm 
6-39 2016 tc037 
 
 2cd cm/kN14,24,1 0,3f  
 MPaemff21,0f ckc
3 2ckctd  
 23 2ctd cm/kN145,0MPa45,14,1 3021,0f  
 cm18bw  cm50d  
 dbf27,0V wcd2v2Rd  
 kN62,457501814,288,027,0V 2Rd  
 dbf6,0V wctdc  
 kN30,785018145,06,0Vc  c) Verificação de VRd2 2RdSd VV  
 kN224V max,face,Sd  (valor absoluto) 
 kN62,457V 2Rd  
  OKVV 62,457 2Rd224 max,face,Sd  
d) Valor de a para o trecho I 
   





 d
d5,0
VV
V
2da cmax,Sd
max,Sd
 
 kN56V max,Sd  (valor absoluto) 
 kN30,78Vc  
  daVV 30,78 c56max,Sd   
 cm50a  ◄ 
e) Valor de a para o trecho II kN224V max,Sd  (valor absoluto) 
 kN30,78Vc  
   cm44,3830,78224224250a   
 
 

cm50d
cm25505,0d5,0a 
 cm39a  ◄ 
6-40 2016 tc037 
 
f) Diagrama deslocado 
 
6.10 Simbologia Específica 
a distância de carga concentrada ao eixo teórico do apoio (pilar) 
a distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado da treliça de Morsh, ou do diagrama de momentos fletores bw menor largura da seção, compreendida ao longo da altura úitl d largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção d altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fck resistência característica à compressão do concreto fctd resistência de cálculo à tração do concreto fctk,inf resistência característica inferior à tração do concreto fct,m resistência média à tração do concreto fyd resistência de cálculo ao escoamento do aço fyk resistência característica ao escoamento do aço fywd resistência de cálculo ao escoamento do aço da armadura transversal fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal gk valor característico da ação permanente (carga uniformemente distribuída) h altura da elemento estrutural ℓpil largura de pilar n número da barras componentes da armadura transversal Asw qk valor característico da ação variável (carga uniformemente distribuída) s espaçamento entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural smax espaçamento máximo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural z braço de alavanca As área da seção transversal da barra (fio) que constitui o estribo 
1 m 
Gk = 200 kN 
4 m I II 
50 cm 39 cm 
6-41 2016 tc037 
 
Asw área da seção transversal do conjunto de ramos que constitui o estribo área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal do elemento estrutural Gk valor característico da ação permanente (carga concentrada) M momento fletor MRd momento fletor resistente de cálculo MSd,max máximo momento fletor de cálculo M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por MSd,Max) Qk valor característico da ação variável (carga concentrada) Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcw força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensões cw Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada Rsw força atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) V força cortante Vc parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh, função da resistência do concreto e das dimensões da seção transversal do elemento estrutural Vc0 valor usado na determinação de Vc Vc1 valor usado na determinação de Vc VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto VRd3 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal VSd força cortante solicitante de cálculo VSd,a/2d,eixo força cortante solicitante de cálculo atuante a uma distância a/2d do eixo teórico do pilar VSd,d/2,face força cortante solicitante de cálculo atuante a uma distância d/2 da face interna do pilar VSd,eixo força cortante solicitante de cálculo correspondente ao eixo do pilar VSd,face força cortante solicitante de cálculo atuante na face interna do pilar VSd,max máxima força cortante solicitante de cálculo Vsw parcela de força cortante resistida pela armadura transversal Asw componente vertical da força Rsw  inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural 
v2 fator de correção da resistência de cálculo àcompressão do concreto  diâmetro da barra 
t diâmetro da barra (fio) que constitui o estribo c coeficiente de ponderação da resistência do concreto g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas s coeficiente de ponderação da resistência do aço  inclinação da fissura em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural inclinação das bielas de compressão consideradas no dimensionamento à força cortante 
sw taxa geométrica de armadura transversal cw tensão normal atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh 
6-42 2016 tc037 
 
sw tensão normal atuante na armadura transversal x tensão normal na direção x I tensão principal de tração II tensão principal de compressão xy tensão tangencial x trecho de viga 
 constante 
 ângulo auxiliar 
6.11 Exercícios 
Ex. 6.1: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos necessários para os estribos dos trechos I, II e III. Dados: - concreto: C20; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos; - d = h - 6 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 
Ex. 6.2: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores das distâncias a, b e c. Sabe-se que a armadura transversal do trecho b é composta por estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6 mm, espaçados de 25 cm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. 
Qk = 80 kN
1 m 2 m 2 m 
gk = 60 kN/m 
I II III 
20 cm 
20 cm 
60 cm 
20 cm 
6-43 2016 tc037 
 
Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = h - 6 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 
Ex. 6.3: Determinar, para a viga abaixo esquematizada: a. a máxima carga Qk possível de atuar na viga; e b. a armadura necessária (cm2/m) para os trechos I e II, função da carga Qk definida no item anterior. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 37°, estribos verticais; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 
Gk = 45 kN 
6 m 2 m 
gk = 50 kN/m 
b a c 
20 cm 18 cm 
60 cm 
6-44 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.4: A estrutura indicada na figura é suportada por uma viga inferior de seção retangular. Para atender às exigências arquitetônicas, a viga deve possuir a menor altura possível. Considerando apenas o cisalhamento, determine o valor de hmin (múltiplo de 5 cm) bem como as armaduras transversais (cm2/m) necessárias nos trechos I e II. Dados: - concreto: C35; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos; - h = d + 6 cm; - bw = 25 cm; - carga permanente uniformemente distribuída em toda viga (6 m): gk = 50 kN/m; - carga acidental uniformemente distribuída em toda viga (6 m): qk = 30 kN/m; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares (6 m); - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (distância de 10 cm do eixo até a face do apoio); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
Qk 
5 m 1 m 
gk = 50 kN/m 
IIb I 
20 cm 20 cm 
60 cm 
6-45 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.5: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de a, b e c de tal forma que no trecho b a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela NBR 6118. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos; - altura útil (d) igual a 88% da altura total (h); - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga; 
I II I 
20 cm 20 cm 
1,9 m 2,0 m 1,9 m 
viga pilar pilar 
20 cm 
100 cm 
a b c 
2 m 
A
6 m 2 m 
gk = 250 kN/m 
B 
30 
15 15 
50 
seção transversal - cm 
60 
90 
100 
20 
6-46 2016 tc037 
 
Ex. 6.6: Determinar, para a viga abaixo indicada, o valor máximo da carga Qk (valor característico) que a mesma pode suportar. Verificar a possibilidade de ruptura ao cisalhamento tanto por compressão no concreto como por tração na armadura transversal (estribos). Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6 mm, espaçados de 10 cm; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
Ex. 6.7: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de x, y e z de tal forma que no trecho y a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela ABNT NBR 6118. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. 
20 cm 
60 cm 
seção transversal cm 
20 
60 
t = 6,3 mm 
B A
1  6 mm @ 10 cm 
3 m 
gk = 50 kN/m 
3 m 
Qk 
6-47 2016 tc037 
 
Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - d = h - 8 cm; - modelo I, estribos verticais; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo daarmadura de cisalhamento. 
Ex. 6.8: Uma viga de seção retangular com 60 cm de base e 40 cm de altura, está armada transversalmente com estribos verticais de quatro ramos, diâmetro  = 7 mm. Para esta viga, pede-se: a. a área de armadura transversal por unidade de comprimento (cm2/m) para espaçamento de estribos igual a 12 cm; e 
b. o máximo esforço cortante de cálculo que a seção resiste para sw igual a 0,2%. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 40°; - d = h - 6 cm; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 
30 cm 
20 cm 
70 cm 
30 cm 
Gk = 120 kN
2 m 6 m 
gk = 60 kN/m 
x y z 
6-48 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.9: Determinar, para a viga abaixo representada: a. a altura mínima necessária; e b. o diâmetro e o espaçamento dos estribos verticais necessários para os trechos I e II, considerada a altura da viga definida no item a. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos de dois ramos; - h múltiplo de 5 cm; - d = h - 6 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 
Ex. 6.10: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos dos estribos verticais necessários para os trechos I, II e III. A viga deverá ter a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) permitida pela ABNT NBR-6118. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. 
Gk = 300 kN 
4 m 1 m 
gk = 50 kN/m 
IIb I 
30 cm 20 cm 
h 
60 cm 
40 cm 
6-49 2016 tc037 
 
Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 30°, estribos de dois ramos; - bw = 20 cm; - d = h - 6 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
Ex. 6.11: Considere que, para a estrutura indicada abaixo, as vigas V1 e V2, de seções retangulares 15 cm x 60 cm, podem ser calculadas, cada uma delas, de uma forma simplificada, como se fossem isoladas e bi-apoiadas. Considerando apenas os esforços de cisalhamento atuantes na estrutura, pede-se: a. dentre as duas vigas (V1 e V2), qual é a mais crítica em termos da resistência do concreto; b. a armadura vertical (cm2/m) necessária para a viga V1, na região do apoio correspondente ao pilar P1 (trecho de 1 m compreendido entre o pilar P1 e a projeção vertical do pilar P3); e c. a armadura vertical (cm2/m) necessária para a viga V2, na região compreendida entre os pilares P1 e P3. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; 
Gk1 = 75 kN Gk2 = 350 kN
1 m 4 m 2 m 
I II III 
6-50 2016 tc037 
 
- pilares com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio das vigas e pilares. 
Ex. 6.12: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos dos estribos verticais necessários para os trechos I, II e III. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 30°, estribos de dois ramos; - d = h - 8 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
100 20 
V1 - 15 x 60 
gk = 50 kN/m 
V2 - 15 x 60 
P1 
P2 P3 P4 
500 480 20
dimensões em cm 
6-51 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.13: Determinar, para a estrutura abaixo indicada, o máximo valor que a carga permanente uniformemente distribuída gk pode assumir, de tal forma que a viga, de seção retangular vazada, não atinja o estado limite último relativo à força cortante. A viga terá estribos verticais de quatro ramos constituídos por barras de 10 mm espaçadas de 12 cm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações especiais (g = 1,3, q = 1,2, c = 1,2 e s = 1,15); - d = h - 10 cm; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk; e - verificações para o modelo I e para o modelo II,  = 30°. 
30 
15 15 
50 
seção transversal - cm 
60 
90 
100 
20 
30 cm 
100 cm 
2 m 6 m 2 m 
2 m 
A
7 m 1 m 
gk = 250 kN/m 
B 
Gk = 500 kN 
I II III 
20 20 20 
100 
dimensões em cm 
5 m 
face do pilar 
gk 
6-52 2016 tc037 
 
Ex. 6.14: Para a viga abaixo representada, pede-se: a. a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) que a mesma deva ter, de tal modo que o estado limite último por ruptura do concreto não seja alcançado; e b. a armadura de cisalhamento (cm2/m) necessária para o trecho I, calculada em função da altura definida no item a. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - bw = 15 cm; - bf = 60 cm; - hf = 12 cm; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
90 650 
30 30 30 
Gk = 48 kN 
680 120 
gk = 20 kN/m 
dimensões em cm trecho I 
A 
A 
AA 
6-53 2016 tc037 
 
Ex. 6.15: Determinar o máximo carregamento gk que a viga abaixo indicada pode suportar. Nos trechos laterais AB e CD os estribos são espaçados a cada 10 cm, enquanto que no trecho central BC o espaçamento é de 25 cm. Em todos os trechos da viga os estribos são verticais de dois ramos, diâmetro 8 mm. Dados: - concreto: C35; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último,combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
Ex. 6.16: Determinar a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) para a viga abaixo representada. Com esta altura definida e considerando que no trecho central (trecho III) a armadura de cisalhamento será constituída por 1  8 mm @ 25 cm (estribos verticais de 2 ramos), determinar: a. as distâncias correspondentes aos trechos II, III e IV; e b. o espaçamento necessário para estribos verticais de 2 ramos do trecho V, mantido o diâmetro de 8 mm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 37°; - todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; 
D A 
Gk = 70 kN Gk = 70 kN 
2 m 
gk 
B C 2 m 2 m 
1  8 mm @ 10 cm 
1  8 mm @ 25 cm 
1  8 mm @ 10 cm 
15 
10 10 
30 
seção transversal cm 
35 
60 
65 
15 
6-54 2016 tc037 
 
- viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
Ex. 6.17: Sobre a viga AB, abaixo representada, corre um carrinho cujo peso total corresponde a 400 kN. Desconsiderando o peso próprio desta viga e sabendo-se que o carrinho corre a partir da posição 1 (posição limite), pede-se: a. a menor altura (h) possível para a viga (adotar valor múltiplo de 5 cm); e b. a armadura vertical (cm2/m) necessária para resistir aos esforços de cisalhamento na região próxima ao apoio A. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - para a definição da armadura de cisalhamento próxima ao apoio A, verificar apenas as posições 1 e 2. Indicar, ao final dos cálculos, qual a posição do carrinho que definiu a armadura de cisalhamento. 
1,0 m 2,0 m 2,5 m 2,5 m 
A B V I II IV III 
50 kN 100 kN
100 kN 
20 kN/m 
40 
12 
h = d + 7 cm 
12 seção transversal cm 
6-55 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.18: Determinar a armadura de cisalhamento (cm2/m) do trecho I (a direita do apoio do balanço) da viga abaixo representada. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - h = 100 cm; - d = 90 cm; - bw = 25 cm; - todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - obrigatória a verificação da resistência do concreto aos esforços de cisalhamento. 
h 
20 cm 
seção transversal 
B A 
posição 1 (limite do carrinho) 
7,6 m 
viga 
400 kN carrinho
8,0 m 
0,7 m 
1,0 m 
1,2 m 
posição 2 
eixo do pilar (apoio da viga) 
6-56 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.19: Determinar o máximo valor da carga Gk (valor característico) que a viga abaixo representada pode suportar. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 30 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 10 cm. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - h = 60 cm; - d = 53 cm; - bw = 20 cm; - todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
1,5 m 7,0 m 2,0 m 
100 kN 500 kN 500 kN 
1,5 m 
10 kN/m 
II I III 
6-57 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.20: A viga da figura abaixo representada deve transferir a carga do pilar que nasce na ponta do balanço para as fundações (apoios A e B). Nestas condições, pede-se: a. a menor altura h possível para a viga (utilizar valor múltiplo de 5 cm); b. o diâmetro e os espaçamentos necessários para os estribos do trecho I e do trecho II, para a altura estabelecida no item a. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
2,0 m 
Gk Gk 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 
0,3125 Gk 1,375 Gk 0,3125 Gk
I II III 
Gk = 400 kN
1 m 4 m 
gk = 20 kN/m 
I II 
20 cm 
30 cm 
h 
20 cm 
6-58 2016 tc037 
 
Ex. 6.21: Para a viga abaixo representada, pede-se: a. o menor valor possível (múltiplo de 5 cm) para a base da viga; b. a definição dos trechos I, II e III (valores de x, y e z), de tal forma que o trecho II tenha a menor taxa de armadura transversal possível, considerando o bw estabelecido no item a; e c. o espaçamento dos estribos no trecho I, considerando o bw estabelecido no item a. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos, diâmetro 10 mm; - h = 100 cm; - d = h - 10 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
30 cm 
100 cm 
G2k = 200 kN 
1 m 
G1k = 100 kN 
A4 m 1 m 
gk = 80 kN/m B 
trecho I (x) trecho III (z) trecho II (y) 
4 m 
G1k = 100 kN 
6-59 2016 tc037 
 
Ex. 6.22: Definir, para a viga abaixo representada, o máximo carregamento permanente gk (valor característico) possível. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 10 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 30 cm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 30°, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
Ex. 6.23: A viga ABC indicada na figura abaixo tem altura constante por trechos. No trecho AB, a altura é de 60 cm, enquanto que no trecho BC a altura é de 40 cm. Para esta viga, pede-se: a. o máximo valor da carga concentrada Gk (valor característico) que a viga pode suportar; e b. a armadura transversal (cm2/m) necessária no trecho AB. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - bw = 20 cm; - d = h - 6 cm; 
12 
20 
40 
30 
48
10
seção transversal cm 
20 cm 
gk 3gk 
I II I 
3 m 3 m 3 m 
A B 
6-60 2016 tc037 
 
- viga simplesmente apoiada em A e C; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e C); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
Ex. 6.24: Determinar o espaçamento da armadura de cisalhamento do trecho II (esquerda do apoio B) da viga abaixo indicada. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos, diâmetro 10 mm; - d = h - 10 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
2,3 m 2,3 m 
20 cm 
A C B 
1,20 m 
60 cm 40 cm 
gk = 60 kN/m 
Gk 
20 cm 
Gk = 430 kN 
8 m 
A
2 m 2 m 
B II 
gk = 30 kN/m 
seção transversal cm 
75 
25 
15 
85 
6-61 2016 tc037 
 
Ex. 6.25: Determinar, para a viga abaixo representada, qual o máximo valor que a carga acidental qk (valor característico) pode assumir. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 10 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 25 cm. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 8 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 
Ex. 6.26: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos necessários para a armadura de cisalhamento. Considerar os trechos em balanços mais três trechos iguais para o vão central. As reações (cargas permanentes) da laje L1 e das vigas V1 e V2 correspondem a (valores característicos): - laje L1: 22 kN/m; - viga V1: 120 kN; e - viga V2: 55kN. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. 
12
20 
40 
30 
48
10 
seção transversal cm 
20 cm 
1,4 m 5,6 m 
I II 
qk 
gk = 15 kN/m 
Gk = 100 kN 
A B 
6-62 2016 tc037 
 
Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - avaliar o peso próprio da viga e considerar no carregamento; - somente a reação da laje consiste em carga aplicada na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio). 
Ex. 6.27: Determinar o máximo valor da carga Qk que a viga abaixo indicada pode suportar. Nos trechos próximos aos apoios os estribos são espaçados de 10 cm, enquanto que no trecho central o espaçamento é de 25 cm. Em todos os trechos da viga os estribos são verticais de quatro ramos, diâmetro 8 mm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = h - 12 cm; - viga simplesmente apoiada em pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - a carga distribuída corresponde ao peso próprio da viga (peso específico igual a 25 kN/m3). 
20 
60 
20 
380 
20 20 
100 
A B 
20 x 40 20 x 60 V1 L1 V2 
dimensões em cm 
6-63 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.28: Determinara, para a viga abaixo representada, o máximo valor do vão . Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = 90 cm - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
20 60 20 
20 
70 
seção transversal - cm 
160 
20 
1  8 mm @ 10 cm 
2 m 2 m 2 m 
gk = peso próprio 
Qk 
A B 
1  8 mm @ 25 cm 
1  8 mm @ 10 cm 
6-64 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.29: Determinara, para a viga abaixo representada: 
a. o menor valor possível para o ângulo  (múltiplo de 5º), de tal forma que a viga possa resistir os esforços devidos à força cortante; e 
b. a armadura necessária (cm2/m) nos trechos I, II e III, considerando o valor de  estabelecido no item a. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somentesolicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II, estribos verticais de 2 ramos; - altura útil (d) igual a 88% da altura total (h); - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 
30 cm 
100 cm 
30 
15 15 
50 
seção transversal cm 
60 
90 
100 
20 
1 m
Gk = 500 kN 
A
 - 2 m 1 m 
gk = 50 kN/m B 
Gk = 500 kN 
 
6-65 2016 tc037 
 
 
Ex. 6.30: A viga ABCD da estrutura abaixo representada receberá a carga de n pavimentos. Cada pavimento transmite uma carga Pd,i = 400 kN (valor de cálculo) a cada uma das colunas verticais. O carregamento total que chega aos pontos B e C da viga é a soma das cargas de todos os pavimentos. Pede-se: a. o número máximo de pavimentos (n) que a viga ABCD é capaz de suportar; e b. a armadura transversal (cm2/m) no trecho AB da referida viga. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); 
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - altura útil (d) igual a altura total (h) menos 10 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares (apoios A e D); - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga; e - Pd,i (valor de cálculo) leva em consideração os coeficientes de segurança relativos às combinações de ações (carga permanente e carga acidental). 
20 cm 
80 cm 
seção transversal cm 
15
80
gk = 85 kN/m 
I II III 
6 m 2 m 2 m 
A B 
3,5 m 3 m 3,5 m 
6-66 2016 tc037 
 
 
 
A D B C 
2 
1 
n-1 
n 
3 A 
B C 
D 
40 cm 40 cm 
80 cm 500 cm 180 cm 
40 cm 
120 cm Pd,total Pd,total 
Pd,3 
Pd,2 
Pd,1 
Pd,n 
Pd,total = ∑Pd,i seção transversal 
ESQUEMA ESTRUTURAL 
Viga - ABCD 
100 cm 10 cm 
 
7-1 
7 ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO 
 TIPOS DE ADERÊNCIA 7.1
A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida: 
 por adesão (Figura 7.1a); por atrito (Figura 7.1b); mecanicamente (Figura 7.1c) 
 
Figura 7.1 - Tipos de aderência. 
A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de todas. 
A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial , através ensaio estabelecido na ABNT NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na ABNT NBR 7480 são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a ABNT NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente 1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes e 1, apresentadas pela ABNT NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11. 
Superfície 1 Lisa (CA-25) 1,00 1,0 Entalhada (CA-60) 1,40 1,5 
Nervurada (CA-50) 2,25 1,5 
Tabela 7.1 - Relação entre e 1. 
 
 ANCORAGEM DE BARRAS TRACIONADAS 7.2
Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Rs atuante na barra de aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento de tensões tangenciais de aderência 
b,x entre a armadura e o concreto. 
 1 A ABNT NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da ABNT NBR 7480 como sendo b. As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência. 
 
 
Figura 7.2 - Transferência de força normal. 
Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem se: 
 
 
 
 
 Equação 7.1 
A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de b,x ao longo de x. A solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança adequados) consiste em adotar para b,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra 
 
situado dentro do bloco de concreto ( 
Figura 7.3). Nestas condições tem-se: 
 
 
 
 
 Equação 7.2 
A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a 
Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de transferência de força atuante na barra para o bloco de concreto ( b,unif é constante e s,x varia linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da tensão normal s deve ficar limita a fyd e a força Rs assume o valor de cálculo Rsd. 
 
 
Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem - valores de projeto. 
Do exposto na 
Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem necessário b,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na 
 
Figura 7.3 pode-se estabelecer: 
s
sdsx,snec,b
x,s
ARx
00x 
 Introduzindo os valores de b,nec e s na Equação 7.2, tem-se: 
 
 Equação 7.3 
 INFLUÊNCIA DA POSIÇÃO DA BARRA 7.3
A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água sob as barras horizontais superiores, conforme 
mostrado na 
Figura 7.4. Posteriormente, sendo esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje (
 
Figura 7.4). 
 
Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior. 
A ABNT NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência quando estiverem em uma das posições seguintes: 
 a) com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; b) horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que (
 c) Figura 7.5): para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; para elementos estruturais com h 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. 
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência. 
 
Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais. 
Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência. 
 
Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência. 
 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA DE CÁLCULO 7.4
A ABNT NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistênciade aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
 
 Equação 7.4 
sendo: 
 
aderência alta ou nervuradas barras25,2
entalhadas barras40,1
lisas barras00,1
1 
 
 
Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto característica, é permitido pela ABNT NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões: 
 Equação 7.5 
Sendo fckj 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias. 
Combinando a Equação 7.54 e Equação 7.5, tem-se: 
 
 
c
3 2ck321ctd321bd
f 0,21ff 
 Equação 7.6 
Os valores de c estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem: 
isexcepciona scombinaçõe20,1
construção de ou especiais scombinaçõe20,1
normais scombinaçõe40,1
c 
 EXEMPLO 7.1 
Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado que terá 70 cm da altura. 
Considerar: 
 concreto: C25; barra nervurada: 40 mm; combinação normal de carregamento - ELU.
Solução: O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm (ver 
 
Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra de diâmetro 40 mm; e para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinação de normal de carregamento - ELU. 
a) Dados: 
 
 
 
 
 
b) fbd: 
 
 
 
 
Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2. 
fbd 
 32 mm (boa aderência) c = 1,40 concreto barras
 lisas entalhadas nervuradas 
C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa 
C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa 
C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa 
C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa 
C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa 
C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa 
C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa 
Tabela 7.2 - Valores de fbd2. 
 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM - VALORES DE CÁLCULO 7.5
Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo b,unif por fbd, de tal forma que: 
 Equação 7.7 
No caso particular em que a tensão normal s corresponde ao valor limite de cálculo fyd, tem-se: 
 Equação 7.8 
A ABNT NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de b da Equacão 7.8 como sendo o comprimento de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. 
Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário ( b,nec da Erro! Fonte de referência não ncontrada.) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico ( b da Equação 7.8) pois s fyd. 
ABNT NBR 6118: 
 2 Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7. 
 
Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado pelo item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir. 
A Equação 7.7 decorre da 
Figura 7.3 onde é mostrado que: 
 
onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Rsd. Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita 
 
Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a força Rsd vale: 
 
onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal As,ef), para que a tensão s atuante na barra tracionada pela força Rsd resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se: 
 
 
ou ainda: 
 Equação 7.9 
A Equação 7.79 é, portanto, a mesma apresentada pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do fator . 
Desta forma, o valor de b,nec pode ser calculado por: 
 
Equação 7.10 
A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em: 
 
de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por: 
 Equação 7.11 
EXEMPLO 7.2 
Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de carregamento - ELU. 
Solução: O valor de b é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver 
Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para 
 
c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. 
a) Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) fbd 
 
 
 
c) b 
 
 
 
 
 
Os valores de b para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3. 
 
b 
c = 1,40
s = 1,15 32 mm (boa aderência) CA-50- 
concreto Barras Lisas entalhadas nervuradas 
C20 98 70 44 
C25 85 61 38 
C30 75 54 33 
C35 68 48 30 
C40 62 44 28 
C45 57 41 25 C50 53 38 24 
Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-503 
 
 3 Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7. 
 REDUÇÃO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 7.6
 GANCHOS DAS ARMADURAS DE TRAÇÃO 7.6.1
Uma das maneiras permitidas pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas (
 
Figura 7.7). 
 
Figura 7.7 Tipos de ganchos 
De acordo com o item 9.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os ganchos podem ser: 
a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 (
 b) Figura 7.7.a); c) em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 (
 d) Figura 7.7.b); e e) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 (
 
 f) Figura 7.7.c). 
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 
O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4. 
Bitola (mm) Tipo de Aço CA-25 CA-50 CA-60 
<20 4 5 6 
20 5 8 - 
Tabela 7.4 Diâmetro dos pinos de dobramento 
É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A necessária cobertura de concreto (3 ), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre nas extremidades de vigas que 
terminam em vigas, como mostrado na 
Figura 7.8. O gancho da armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3 . Para outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtenção do cobrimento exigido pela ABNT NBR 6118. 
 
Figura 7.8 Ganchos em extremidade de viga 
 BARRAS TRANSVERSAIS SOLDADAS 7.6.2
Outra maneira permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas (
 
 
Figura 7.9). 
 
Figura 7.9 Ancoragem com barras transversais soldadas 
De acordo com o item 9.4.2.2 da ABNT NBR 6118, a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas poderá ser feita desde que: 
a) o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada ( t 0,6 ); b) a distância da barra transversal ao ponto de início daancoragem seja maior ou igual 5 vezes o diâmetro da barra ancorada ( 5 ); c) a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da barra ancorada (0,3 As fyd). 
 DIAGRAMA RSD 7.7
 
Conforme mostrada na 
Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a armadura para concreto armado é o mostrado na 
 
Figura 7.10. 
 
Deve ser observado na 
Figura 7.10 que a tensão normal na barra s só pode atingir o valor máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento de ancoragem básico b (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o 
comprimento de ancoragem necessário b,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal s é menor que fyd. 
 
 
Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para concreto armado 
Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da 
 
 
Figura 7.10 forem multiplicas por As (área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd 4 , como mostrado na 
 
4 A força resistente Rsd é a mesma força mostrada na Figura [5.14] e na 
 
Figura 7.3.
 
 
Figura 7.11 (trocou-se tensão por força). 
 
 
Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo) 
EXEMPLO 7.3 
Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada. 
 
Considerar: 
 concreto: C20; barra nervurada: CA-50; combinação normal de carregamento - ELU; s = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
 
 
Solução: O valor de b deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com fbd definido pela Erro! Fonte de referência não encontrada.. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra ervurada; para 2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de 
vigas (ver 
Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para 
c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na 
 
Figura 7.11 usando somente valores b na horizontal e As fyd na vertical. Por se tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para cima", contrário ao apresentado na 
 
 
Figura 7.11 que corresponde a armaduras positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos diagramas individuais. 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm): 
 
 
 
 
 
 
 
b) fbd 
 
 
c) b 
 
 
 
d) Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo 
d.1) 12,5 mm, b = 80 cm 
 
 
 
 
d.2) 16 mm, b = 100 cm 
 
 
 
e) Diagrama Rsd 
 
 
 DIAGRAMA MRD1 7.8
Seja a 
Figura 7.125, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um trecho de viga de concreto armado de seção retangular sem armadura de compressão. 
 5 Esta Figura corresponde à Figura [5.14] do Capítulo [5]. 
 
 
 
Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado 
Por se tratar de seção retangular sem armadura de compressão, para a 
Figura 7.12, são válidas as seguintes expressões: 
 
 
Da 
Figura 7.12 também valem as seguintes expressões: 
 
 
de tal forma que: 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 Equação 7.12 
Introduzindo o valor de z na equação de MRd1, tem-se: 
 
 Equação 7.13 
Admitindo que yd s 6, do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5]) pode-se estabelecer: 
 
 Equação 7.14 
 Equação 7.15 
A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com b,nec ( s < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com b ( s = fyd). Observar, também, que a Equação 7.13 e a Equação 7.15 estão contidas na Equação [5.18] usada para a determinação de armadura longitudinal de vigas de seção retangular sem armadura de compressão. 
O diagrama de momento fletor resistente MRd1 de uma barra, definido pela Equação 7.13 e pela Equação 7.15, é 
análogo ao diagrama da 
Figura 7.11, com ordenada As s z d para ancoragem b,nec ( s < fyd) e ordenada As fyd z d para ancoragem b 
 
6 Esta condição para s corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.4]. Corresponde, também, às vigas subarmadas (dúteis, se x observar os limites estabelecidos pela Equação [5.3]). 
 
( s = fyd), como mostrado na 
Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd1 é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z ( z d). 
 
Figura 7.13 - Diagrama MRd1 (momento resistente de cálculo). 
EXEMPLO 7.4 
Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd1 para as armaduras positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e 50 cm de altura útil. 
Considerar: 
 concreto: C25; barra nervurada: CA-50; combinação normal de carregamento - ELU; s = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
 
 
Solução: Solução: O valor de b deverá ser determinado para cada barra usando a Erro! Fonte de referência não ncontrada., com fbd definido pela Erro! Fonte de referência não encontrada.. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver 
 
Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para 
c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd1 é obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Erro! Fonte de referência não encontrada., com o uso da Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser posicionados "para baixo", como apresentado na 
 
Figura 7.13. 
 a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) fbd 
 
 
c) b 
 
 
 
d) z d.1) 2 16 mm (seção BB) 
 
 
 
d.2) 4 16 mm (seção AA) 
 
 
 d.3) 5 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo) 
 
 
d.4) Adoção de um único valor para z 
Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de 150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de z foi de -9% (de 0,943 para 0,856). 
Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd1 para as diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou seja adotar um único z (z = z d). Para que as condições de segurança não sejam violadas, adota-se o menor z (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd1) que justamente correspondente à seção transversal com maior número de barras, ou seja adota-se o z correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo simplificado de determinar o valor de zé através do uso da equação: 
 
 
 
 
e) Diagrama MRd1 para uma barra de 16 mm 
 
 
 
Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser desenvolvido o diagrama MRd1. f) Diagrama MRd1 
 
 
g) Condição de segurança 
 
A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição . 
Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura longitudinal de vigas devem ser observadas, como as estabelecidas no item 18.3.2.3 da ABNT NBR 6118. 
 
 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE OS DIAGRAMAS MS,DESL E MRD1 7.9
 VÃOS E APOIOS INTERMEDIÁRIOS DE VIGAS 7.9.1
Segundo a ABNT NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd1, nos pontos onde a tensão normal atuante nas 
 barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 (diâmetro da barra que esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes, deslocado) como mostrado na 
 
Figura 7.14. 
 
 
Figura 7.14 Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1. 
EXEMPLO 7.5 
Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura. 
Dados: concreto: C20; barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente apoiada nos pilares; pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); a = d; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
 
 
Solução: O valor de b é determinado de modo análogo ao do Erro! Fonte de referência não encontrada..A eterminação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na 
 
Figura 7.14. 
a) Diagrama MSd 
 
 
b) Dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (assumido) 
 
 
 
 22
2
min,s cm13,1cm13,150150015,0
cm86,050155,4343,1035,0maxA 
 
 
 
 
 
 
 
c) Armadura longitudinal 
 
 
 
 
 
 
d) Verificação de ah e av 
cm00,2av 
 
 cm0,2
cm63,025,15,0d5,0
cm25,1
cm2
maxa
max
v OK 
 cm0,2
cm50,125,12,1d2,1
cm25,1
cm2
maxa
max
h OK 
e) Verificação de d 
4 0,12425,13
20,10,225,14 0,12225,1425,13y 22
22
cg 
 cm56,10,1225,13
20,10,225,10,12225,125,13y 22
22
cg 
 
 
 
 
f) Determinação de MRd1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 0,12425,13
425,137868M 22
2
5,12,1Rd 
 
 
4 0,12425,13
4 0,127868M 22
2
10,1Rd 
 
 Verificação do valor de z e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 
 
 
 (imprecisão de tabela) 
A diferença dos valores de MRd1, calculados como funções de c (8 786 kNcm) e de z (8 801 kNcm), é devida à imprecisão de tabela. Para x igual a 0,349412 (valor mais exato), c corresponderia a 0,204392 e z seria igual a 0,860234. O valor de MRd1, função de c, 0,204392 x 15 x 44,812 x 1,43 resultaria igual a 8803 kNcm e o valor de MRd1, função de z, 5,25 x 43,5 x 0,860235 x 44,81 corresponderia a 8803 kNcm. Esta imprecisão de tabela será ignorada na seqüência da resolução deste Exemplo. 
g) Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 
 
h) Diagrama MSd,desl 
 
 
i) Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl 
 
j) Leque de ancoragem 
 
k) Paralelismo de ancoragem 
 
 
 
 
l) Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras 
 
 Obs.: 
 Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 do diagrama MSd,desl. O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado esquerdo. m) Detalhamento da armadura longitudinal positiva 
 
 Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Erro! Fonte de referência não encontrada.. 
 n) Verificações 
De acordo com o item 18.3.2.4 -c da ABNT NBR 6118, pelo menos 25% da armadura positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao apoio, tem-se: 
OK%25%47
4 0,12425,13
425,12A% 22
2
apoio,s 
De acordo com item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118, as armaduras positivas provenientes do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 além da face do apoio. Como a armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está verificado (10 corresponde a 12,5 cm). 
o) Diagramas MSd,desl e MRd1 
 
 
 BALANÇOS 7.9.2
Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em 7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga. 
 
Figura 7.15 Vigas em balanço 
Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação da armadura mostrada 
 na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente adotar para b valores não superiores a 25% de 
b, como mostrado na Figura 7.16 ( b contado a partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 do diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para 
b: 
 Equação 7.16 
Se as desigualdades apresentadas na Erro! Fonte de referência não encontrada. não puderem ser verificadas imultaneamente, prevalece os 10 , desde que inferiores a d. 
 
Figura 7.16 Detalhe de armadura de viga em balanço 
O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a 10 (Figura 7.16). 
Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em Erro! Fonte de referência não encontrada.. 
EXEMPLO 7.6 
Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura. 
Dados: 
 concreto: C20; e barra nervurada: CA 50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente apoiada nos pilares; pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); a = d; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
 
Solução: O valor de b é determinado de modo análogo ao do Erro! Fonte de referência não encontrada.. A determinação da armadura ecessária para resistir ao máximo momento fletor negativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na 
 
Figura 7.14. 
a) Diagrama MSd 
 
 
b) Dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (assumido) 
 
 
 
 22
2
min,s cm13,1cm13,150150015,0
cm86,050155,4343,1035,0maxA 
 
 
 
 
 
 
 c) Armadura longitudinal 
 
 
 
 (2 camadas) 
 
 
d) Verificação de ah e av 
 
 
 cm0,2
cm63,025,15,0d5,0
cm25,1
cm2
maxa
max
v OK 
 cm0,2
cm50,125,12,1d2,1
cm25,1
cm2
maxa
max
h OK 
e) Verificação de d 
 
cm00,2
40,14
20,10,20,140,1220,140,12y 2
22
cg
 
 
 
 
 f) Determinação de MRd1 
 
 
 
 
 
 
 
 Verificação do valor de z e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 
 
 
 
g) Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 
 
 h) Diagrama MSd,desl 
 i) Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo) 
 
j) Leque de ancoragem e definição de b (apoio esquerdo)O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento do diagrama MSd. O valor de b satisfaz a todas as desigualdades da Erro! Fonte de referência não encontrada., ou seja, menor ue 0,25 b (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 (10 cm). 
 k) Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras (apoio esquerdo) 
 
A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a b mais 3 cm de cnom). 
l) Detalhamento da armadura longitudinal negativa 
 
 
Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5. 
 
 APOIOS EXTREMOS DE VIGAS 7.9.3
 Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças como mostrado na Figura 7.17. 
 
Figura 7.17 Forças atuantes na treliça de Morsh 
Na Figura 7.17 tem-se: 
 MSd momento fletor solicitante de cálculo; Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido; Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada; VSd força cortante solicitante de cálculo. Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que: na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd. 
 
Figura 7.18 Equilíbrio de forças no apoio 
Da Figura 7.18, tem-se: 
 Equação 7.17 
ABNT NBR 6118: 
 
 
 
 
 
 
As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118: 
a) A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse como: 
 
onde: RSd da armadura que chega ao apoio; VSd represent NSd atuar na viga; 
a corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor solicitante de cálculo); e d corresponderia a altura útil da viga. 
Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes de cálculo 
Observar que a Equação 7.17 
sd7 (s minúsculo) no lugar de RSd8 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na armadura horizontal, sendo Rsd da força solicitante RSd sd RSd (a resistente tem que ser maior ou igual a solicitante). 
A ABNT NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsulo), procura representar a solicitação que estará submetida a armadura na região de ancoragem. 
b) O r que aparece na expressão r + 5,5 , do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4. 
 ANCORAGEM RETA SEM GANCHO OU BARRA TRANSVERSAL SOLDADA 7.9.3.1
A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado 
 7 R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo). 8 R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo). 
 pode ser representada pela Figura 7.19. 
 
Figura 7.19 Ancoragem reta sem gancho 
O valor de b,nec é dado pela Erro! Fonte de referência não encontrada. e vale: 
 
Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale: 
 
A tesão s que aparece na equação de b pode ser representada por: 
 
Introduzindo o valor de s na expressão de b,nec, tem-se: 
 
ou ainda, 
y d
Sdef,s
Sdbdef,snec,b
fVdaA
Vdaf41A Equação 7.18 
O item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, estabelece, para b,nec: 
cm10
10
3,0
max bnec,b
 
Equação 7.19 
Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118 define que os comprimentos de ancoragem, em apoios 
 extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 ou 60 mm. Como o limite de 60 mm (6 cm) é inferior a 100 mm (10 cm) e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4 corresponde a 8 (raio 4 , r + 5,5 = 9,5 ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118. 
Lembrando que: 
 
tem-se: 
 
Equação 7.20 
Valores mínimos para b,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir. 
b,nec 
c = 1,40 CA-50 (boa aderência) s = 1,15 
concreto barras nervuradas 10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm 25 mm 32 mm 
C20 13 cm 16 cm 21 cm 26 cm 29 cm 33 cm 42 cm 
C25 11 cm 14 cm 18 cm 23 cm 25 cm 28 cm 36 cm 
C30 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C35 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C40 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C45 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C50 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
Tabela 7.5 Valores mínimos de b,nec para ancoragem de apoio extremo 
Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil). 
A junção da Equação 7.18 com a Equação 7.20, permite: 
y d
Sdef,s
bd
y d
Sdbdef,snec,b
fVdaA
cm10
10
f
f
43,0
Vdaf41A
b
 Equação 7.21 
 EXEMPLO 7.7 
Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura. 
Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares; pilares com 20 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4,t q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
Solução: O valor de b é determinado de modo análogo ao do Erro! Fonte de referência não encontrada..A eterminação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor positivo é feita de modo análogo 
ao do Exemplo [5.1].A determinação de a é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7].Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21.O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no Erro! Fonte de referência não encontrada.. 
a) Diagramas MSd e VSd 
 
 
 
b) Dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (assumido) 
 
 
 
 
c) Verificação de VRd2 
 
 
 
 (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo) 
 (verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face) 
d) Valor de a 
 Será admitido Modelo I, estribos verticais 
 
 
 
 (o correto seria VSd,face) 
 
 
 
e) Determinação de b 
 
 
f) Armadura longitudinal 
 22
2
min,s cm80,1cm80,160200015,0
cm73,160205,4343,1035,0maxA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2 camadas) 
 
 
g) Verificação de ah e av 
 
 
 OK 
 OK 
h) Verificação de d 
 
 
 
 
 
i) Determinação de MRd1 
 
 
 
 
 
 
 
SdM
21Rd kNcm60012kNcm3691379,144,5420126,0M
 
 Verificação do valor de z e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 
 
 
j) Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 
k) Ancoragem de apoio extremo 
 
 
 
 
A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas como ancoragem de apoio 
extremo ( b,nec 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o máximo momento fletor positivo se mostrou correta. 
 (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio 2,45 cm2) 
 (5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2) 
Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios. 
 Verificações: 
 
 OKcm1,14
cm10
cm5,1225,11010
cm1,14289,0 5,434 25,13,0f
f
43,0
max
bd
y d
nec,b 
 
l) Diagrama MSd,desl 
 
 
m) Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl 
 
 
 n) Leque de ancoragem 
 
o) Diagrama MRd1 do conjunto de barras 
 
 
 
p) Detalhamentoda armadura longitudinal positiva 
 
q) Verificação 
De acordo com o item 18.3.2.4-c da ABNT NBR 6118, pelo menos 33% da armadura positiva deve ser estendida aos apoios extremos. Como todas as barras chegam ao apoio, o item da Norma está verificado. 
r) Diagramas MSd,desl e MRd1 
 
 
 
 ANCORAGEM RETA COM GANCHO OU BARRA TRANSVERSAL SOLDADA 7.9.3.2
A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20. 
 
Figura 7.20 Ancoragem reta com gancho 
De acordo com o item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma a Equação 7.21 pode ser escrita como: 
y d
Sdef,s
bd
y d
Sdbdef,snec,b
fVdaA
cm10
10
f
f
43,0
maxVdaf41A Equação 7.22 
sendo: 
 = ; 
 = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; 
 = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento no ; 
Os valores mínimos para b,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas. 
 ARMADURA TRANSVERSAL NA ANCORAGEM 7.10
Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação apresentada na 
 
 
Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões) diagonais de compressão (Rb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões) transversais de tração (Rb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento x. 
 
Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças 
As forças (tensões) de tração (Rb,traç) são responsáveis pela criação de uma região microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22. 
 
Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem 
Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram: 
 pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras (Figura 7.23a); pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c). 
 
 
Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem 
Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas, principalmente a: 
 posição relativa entre as armaduras; e posição das barras dentro da massa de concreto. 
As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem na adoção de: 
 cobrimento adequado ( 3 ) das armaduras de tal forma que a região microfissurada fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a); espaçamento adequado ( 3 ) entre as armaduras evitando ao máximo a sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento (Figura 7.24c). 
 
Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de ancoragem 
ABNT NBR 6118, item 9.4.1.1: 
 ARMADURA TRANSVERSAL PARA ANCORAGEM DE BARRAS DE DIÂMETRO 7.10.1 MENOR QUE 32 MM 
ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.1: 
 
 
Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - long < 32 mm 
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25. 
Segundo o item 9.4.2.6.1 da ABNT NBR 6118, a equivalência de forças resulta: 
 
ou ainda 
 
com: 
 
Desta forma, tem-se: 
 Equação 7.23 
No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo material (fyd = fywd,b), tem-se: 
 Equação 7.24 
O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (ABNT NBR 6118, item 18.3.3.2). 
EXEMPLO 7.1 
 Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de 16 mm. 
Considerar: 
 concreto: C20; barra nervurada: CA-50; situação de má aderência; cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3 ; altura útil da viga igual a 50 cm; combinação normal de carregamento - ELU; e s = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
Solução: O valor de b deverá ser determinado pela Erro! Fonte de referência não encontrada., com fbd definido ela Erro! Fonte de referência não encontrada.. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência; para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24. 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) fbd 
 
 
c) b 
 
 
 
d) Asw,b/sb 
 
 
 
 considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se: 
 
 
 como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se: 
 
e) Solução 
 armadura transversal: 1 de 5 mm a cada 30 cm. 
 
 ARMADURA TRANSVERSAL PARA ANCORAGEM DE BARRAS DE DIÂMETRO 7.10.2 MAIOR OU IGUAL A 32 MM 
ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.2: 
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita, como mostrado na Figura 7.26. 
 
Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - long 32 mm 
 Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: 
 Equação 7.25 
onde: 
 Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem b (na Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras 1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26). 
Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: 
 Equação 7.26 
onde: 
 Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem b (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras 5 e 6 da Figura 7.26). 
 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS 7.11
Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou comprimidas. A única exigência feita pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades. 
 
Figura 7.27 Sapatas e blocos sobre estacas 
 No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a aplicação direta da Erro! Fonte de referência não encontrada., para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve ser 
eita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 b seja aumentado para 0,8 b, de tal forma que: 
 Equação 7.27 
EXEMPLO 7.9 
Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação que tem70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15. Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50 (barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU), determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra. 
 
Solução: A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm neste bloco. 
O valor de b,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela Erro! Fonte de referência não ncontrada.. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência (
 
 Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para 
c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. 
O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras (Erro! Fonte de referência não ncontrada.). 
Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela ABNT NBR 6118 apenas em obras de fundações. 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) fbd 
 
 
c) b 
 
 
 
d) Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27) 
 cm70cm136
cm10
cm322,31010
cm1361708,08,0
max bnec,b 
 Como o valor mínimo para b,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco. 
 e) Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm 
 
 cm70cm106
cm10
cm255,21010
cm1061338,08,0
max bnec,b 
 Como o valor mínimo para b,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 25 mm neste bloco. 
f) Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm 
 
 
 Como o valor mínimo para b,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 20 mm neste bloco. 
g) Verificação da possibilidade de ancorar barras de 16 mm 
 
 OKcm70cm68
cm10
cm166,11010
cm68858,08,0
max bnec,b 
Como o valor mínimo para b,nec resultou menor que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se possível a ancoragem de barras de 16 mm neste bloco. 
h) Determinação do número de barras de 16 mm 
 
 
 
 Com o valor de n definido, chega-se: 
 
 
 
 Os valores de b,nec e s, para esta solução, resultam: 
 
 cm68
cm10mm100
cm106,11010
cm68205,0 5,4346,18,0
maxcm5612,2405,18205,0 5,4346,1nec,b 
 
 
i) Diagrama Rsd (ver 
 Figura 7.11) 
 
 
 BARRAS LISAS E BARRAS COM ALTERNÂNCIA DE SOLICITAÇÃO 7.12
Segundo o item 9.4.2.1 da ABNT NBR 6118, é obrigatório o uso de ganchos nas ancoragens de barras lisas tracionadas. Por outro lado, as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ser ancoradas com ganchos em suas extremidades. 
 ANCORAGEM DE ESTRIBOS 7.13
 Segundo o item 9.4.6 da ABNT NBR 6118, a ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. 
Os ganchos dos estribos podem ser (Figura 7.28); 
a) semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 t, porém não inferior a 5 cm; e b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t, porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos) 
 
 
Figura 7.28 Ancoragem de estribos 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos (Figura 7.28) deve ser, no mínimo, igual ao indicado na Tabela 7.6. 
Bitola (mm) Tipo de Aço CA-25 CA-50 CA-60 
t 10 3 t 3 t 3 t 10 < t <20 4 t 5 t - 
t 20 5 t 8 t - 
Tabela 7.6 Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos 
 
 SIMBOLOGIA ESPECÍFICA 7.14
 SÍMBOLOS BASE 7.14.1 ah espaçamento horizontal mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal a distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado av espaçamento vertical mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal bw largura da viga cnom cobrimento nominal d altura útil distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da armadura tracionada dmax dimensão máxima do agregado graúdo fbd resistência de aderência de cálculo fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias fctd resistência à tração do concreto de cálculo fctk resistência à tração do concreto característica fctk,inf resistência à tração do concreto característica inferior fct,m resistência à tração do concreto média fctk,sup resistência à tração do concreto característica superior fyd resistência ao escoamento do aço da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras fyk resistência ao escoamento do aço característica fywd,b resistência ao escoamento do aço característica da armadura transversal de barras ancoradas gk valor característico da ação permanente h altura da viga hpil dimensão do pilar h0 menor altura de sapata 
b comprimento de ancoragem básico 
b,min comprimento de ancoragem mínimo 
b,nec comprimento de ancoragem necessário m número de barras n número de barras r raio interno mínimo de curvatura sb espaçamento da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras u perímetro x abscissa y altura do retângulo de tensões c ycg posição do centro de gravidade da seção transversal de um conjunto de barras longitudinais (tracionadas ou comprimidas) em relação à geratriz mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta z braço de alavanca Ac área de concreto As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,apoio área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no apoio As,cal área da seção transversal da armadura longitudinal calculada As,ef área da seção transversal da armadura longitudinal efetiva As,max área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada máxima As,min área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada mínima As,vão área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no vão Asw,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras Aswx,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento y Aswy,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento x D diâmetro dos pinos de dobramento Gk valor característico da ação permanente Mapoio momento fletor atuante no apoio 
 Mvão momento fletor atuante no vão MRd momento fletor resistente de cálculo MRd1 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd1, Rsd1 MRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção transversal ( x = x,lim) MSd momento fletor solicitante de cálculo MSd,desl momento fletor solicitante de cálculo deslocado Nd força normal de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Rb,diag força normal diagonal de tração devida à ancoragem Rb,tang força normal tangente de tração devida à ancoragem Rb,traç força normal de tração devida à ancoragem Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcd1 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de área bw y Rcwdforça resistente de cálculo atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh Rd resistência de cálculo Rs força normal atuante na barra Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada RSd força solicitante de cálculo atuante em apoio extremo de viga Rsw,b força normal atuante na armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras Sd solicitação de cálculo Vc força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh Vd força cortante de cálculo VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto VSd força cortante solicitante de cálculo VSd,max força cortante solicitante de cálculo máxima coeficiente de minoração para barras ancoradas com gancho na extremidade ou com armadura transversal soldada 
v2 coeficiente para cálculo de VRd2 
c valor adimensional auxiliar 
s valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As 
x valor adimensional que define a posição da linha neutra 
y valor adimensional que define a região de concreto comprimido 
z valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 
c deformação específica do concreto 
s deformação específica do aço à tração 
yd deformação específica de escoamento do aço diâmetro das barras da armadura diâmetro das barras da armadura longitudinal 
t diâmetro das barras da armadura transversal 
c coeficiente de ponderação da resistência do concreto 
g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas 
q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas 
s coeficiente de ponderação da resistência do aço coeficiente de conformação superficial 
b coeficiente de conformação superficial 
1 coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura coeficiente correspondente à conformação superficial das barras na determinação de fbd 
2 coeficiente que representa as condições de boa e má aderência na determinação de fbd 
3 coeficiente que representa a bitola das barras na determinação de fbd ângulo taxa de armadura longitudinal 
b,traç tensão normal de tração devida à ancoragem 
c tensão à compressão no concreto 
s tensão à tração na armadura 
s,x tensão à tração na armadura na abscissa x
b,unif tensão tangencial de aderência uniforme 
b,x tensão tangencial de aderência na abscissa x 
 SÍMBOLOS SUBSTRITOS 7.14.2 
 apoio apoio b aderência cal cálculo cg centro de gravidade desl deslocado diag diagonal ef efetiva inf inferior lim limite m média max máximo min mínimo nec necessário nom nominal pil pilar sup superior tang tangente traç tração unif uniforme vão vão x abscissa 
 EXERCÍCIOS 7.15
EX. 7.1 
Complete o quadro abaixo considerando ELU. Forneça os valores de b na forma n , sendo n um número inteiro e o diâmetro da barra a ser ancorada. 
Aço Concreto fbd (MPa) b(boa ader.) b(má ader.) CA-25 C20 
CA-50 C25 
CA-50 C30 
CA-60 C35 
CA-60 C40 
EX. 7.2 
Determinar os comprimentos das barras necessárias para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (negativo) do apoio B da viga abaixo representada. Detalhar a armadura usando barras de 16 mm. 
Dados: concreto: C20; e barras nervuradas: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); d = 60 cm; bw = 18 cm; e a = d. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
 
EX. 7.3 
 Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: concreto: C20; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); bw = 20 cm; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: peso próprio da viga desprezível. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
 
EX. 7.4 
Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); bw = 20 cm; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: peso próprio da viga desprezível. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
 
 
EX. 7.5 
Detalhar a armadura de flexão mais econômica (barras de menores comprimentos possíveis) para a viga abaixo indicada. 
Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); bw = 20 cm; armadura longitudinal: 16 mm; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: as barras deverão ser detalhadas aos pares (duas por vez); o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do pilar esquerdo (A); o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores apresentados são característicos; e peso próprio da viga desprezível. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
EX. 7.6 
Detalhar as armaduras positivas e negativas (barras de menores comprimentos possíveis) para a viga abaixo indicada. 
 Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); bw = 20 cm; armadura longitudinal positiva: 16 mm; armadura longitudinal negativa: 12,5 mm; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do pilar esquerdo (A); o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores apresentados são característicos; e peso próprio da viga desprezível. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
 
EX. 7.7 
Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: concreto: C25; e barra nervurada: CA-50. Considerar: somente solicitações normais; viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; pilares com 30 cm de largura; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); bw = 20 cm; h = 65 cm; armadura transversal (estribos): 6,3 mm; cobrimento nominal: 3 cm; e dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: peso próprio da viga incluído na carga gk. Escalas: vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20). 
 
 
EX. 7.8 
Determinar a altura mínima h do bloco de fundação abaixo indicado. A armadura de compressão necessária para a segurança do pilar (armadura calculada) resultou em 6,0 cm2, porém serão usadas 6 barras de 16 mm. 
Considerar: concreto: C15; barra nervurada: CA-50; e combinação normal de carregamento ELU. 
 
EX. 7.9 
Um pilar de seção transversal 25 cm x 45 cm, suportado por um bloco de fundação, necessita de 17,42 cm2 de área de armadura longitudinal para suportar a força normal solicitante de cálculo (compressão) que nele poderá atuar. Determinar o número total de barras de 25 mm que o pilar deverá possuir, sabendo-se que o bloco de fundação terá 75 cm de altura útil. 
Considerar: concreto: C15; barra nervurada: CA-50; e combinação normal de carregamento ELU. 
 
 
EX. 7.10 
O pilar abaixo representado,cujo cálculo da armadura longitudinal de compressão resultou em uma área de aço (As,cal) igual a 14,40 cm2, deverá ser suportado por uma sapata cuja altura não poderá ultrapassar 65 cm. Observadas as regras de ancoragem reta estabelecidas pela ABNT NBR 6118, definir a menor altura possível para a sapata de tal forma que a seção transversal do pilar apresente a menor quantidade de barras (número par). 
Considerar: concreto: C15; barra nervurada: CA-50; altura útil da sapata: d = h 5 cm; e combinação normal de carregamento ELU. 
 
EX. 7.11 
Determinar a menor largura possível para o pilar abaixo representado, de tal forma que as armaduras negativas da viga possam nele se ancorar. A armadura da viga, necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo, atuante na região próxima do pilar, resultou em 2,12 cm2, tendo sido optado pelo uso de 3 barras de 16 mm. 
Considerar: concreto: C20; barra nervurada: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; e combinação normal de carregamento ELU. 
 
 
 
 8 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO9 
 INTRODUÇÃO 8.1
Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais, podendo receber as seguintes denominações (
 
Figura 8.1): 
 placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano; cascas: elementos de superfície não plana; e chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano. 
 
Figura 8.1 Estruturas laminares 
As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos especiais, onde se requer lajes com maior rigidez (maior altura), pode-se fazer uso de lajes nervuradas (
 
Figura 8.2). 
 9 Este capítulo é uma cópia adaptada da publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO de Roberto Dalledone Machado. 
 Figura 8.2 Lajes maciças e nervuradas 
Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e plana, fecham-se os vazios com elementos inertes 
(tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado na 
Figura 8.3. Esta laje é denominada mista. 
 
Figura 8.3 Lajes mistas 
As lajes que se apóiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que se apóiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo. 
Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas. 
 VÃOS EFETIVOS DE LAJES 8.2
Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação 
vertical, o vão efetivo ( 
Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão: 
 Equação 8.1 
com 
 
onde: 
ef vão efetivo da laje; 
0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos; t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada; h espessura da laje. 
 
Figura 8.4 Vão efetivo de laje 
 CURVATURA DE LAJES 8.3
As lajes maciças de concreto armado ( 
Figura 8.5) podem apresentar: 
 curvatura em uma só direção; ou curvaturas em duas direções ortogonais. 
 
Figura 8.5 Curvaturas de lajes 
Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é idêntico ao de uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em duas direções ortogonais têm comportamento de placa. 
As lajes com curvatura em uma só direção são apoiadas nas bordas perpendiculares ao eixo da curvatura, ao passo que as lajes com curvaturas em duas direções ortogonais são apoiadas em todo seu contorno (
 
 
Figura 8.5). 
Quando a relação entre o vão maior ( y) e vão menor ( x) superar dois, a critério do projetista, a curvatura na direção do vão maior pode ser desprezada. Nesta condição somente a curvatura (esforços) na direção do vão menor será considerada. 
As lajes consideradas como de curvatura em uma só direção são também chamadas lajes armadas em uma só direção. As de curvaturas em duas direções ortogonais são denominadas armadas em duas direções (
 
Figura 8.6). 
 
 
Figura 8.6 Lajes armadas em uma ou duas direções 
 LAJES CONTÍNUAS 8.4
Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta forma os apoios podem ser: 
 apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga suporte somente cargas verticais (reação de apoio); apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço. 
A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos momentos torçores para as vigas suportes. 
Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por 
 
um engaste ( 
Figura 8.7). 
 
Nesta 
Figura 8.7, 
 o apoio simples é representado por uma linha contínua; o engaste é representado pela hachura; e a borda livre é representada por uma linha tracejada. 
 
Ainda na 
Figura 8.7, 
 a laje L1 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V2); a laje L2 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção das lajes L1 e L3 (apoiada sobre a V5) e com uma borda livre; e a laje L3 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção da laje L1 (apoiada sobre a V2) e contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5). 
 
 
Figura 8.7 Lajes contínuas 
Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes dimensões, considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior a 2/3 do vão menor (Figura 8.8). 
Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje L1 deverá sempre ser considerada como engastada na direção da laje L2. 
 
 
Figura 8.8 Lajes contínuas de diferentes dimensões 
 ESPESSURA DE LAJES 8.5
A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes (momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc). 
Segundo a ABNT NBR 6118, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para as espessuras: 
 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. 
 CARGAS ATUANTES NAS LAJES 8.6
As cargas atuantes nas lajes podem ser: 
 permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, biblioteca, etc.). 
CARGAS PERMANENTES8.6.1
Segundo a ABNT NBR 6120, os pesos específicos dos materiais de construção que eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo: 
argamassa de cal, cimento e areia ...................................................................................... 19,0 kN/m3 
argamassa de cimento e areia ............................................................................................. 21,0 kN/m3
 argamassa de gesso .............................................................................................................. 12,5 kN/m3 
reboco .................................................................................................................................... 20,0 kN/m3 
concreto simples ...................................................................................................................24,0 kN/m3 
concreto armado ................................................................................................................... 25,0 kN/m3 
O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão: 
 Equação 8.2 
onde: 
g carga permanente uniformemente distribuída, geralmente em kN/m2; 
mat peso específico do material, geralmente em kN/m3; e h espessura do material, geralmente em m. 
Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área: 
cerâmica ................................................................................................................................ 0,70 kN/m2 
tacos ...................................................................................................................................... 0,65 kN/m2 
cobertura de telhas francesas (com vigamento) ................................................................. 0,90 kN/m2 
cobertura de telhas coloniais (com vigamento) .................................................................. 1,20 kN/m2 
cobertura de fibro-cimento (com vigamento) ...................................................................... 0,30 kN/m2 
cobertura de alumínio (com vigamento) ............................................................................. 0,16 kN/m2 
 CARGAS ACIDENTAIS 8.6.2
A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir: 
arquibancadas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 
bibliotecas 
sala de leitura ........................................................................................................................... 2,5 kN/m2 
sala para depósito de livros ...................................................................................................... 4,0 kN/m2 
sala com estantes ...................................................................................................................... 6,0 kN/m2 
cinemas 
platéia com assentos fixos ........................................................................................................ 3,0 kN/m2 
estúdio e platéia com assentos móveis .................................................................................... 4,0 kN/m2 
banheiro ..................................................................................................................................... 2,0 kN/m2 
corredores 
com acesso ao público ............................................................................................................... 3,0 kN/m2 
sem acesso ao público ............................................................................................................... 2,0 kN/m2 
 edifícios residenciais 
dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro .............................................................................. 1,5 kN/m2 
dispensa, área de serviço e lavanderia .................................................................................... 2,0 kN/m2 
escadas 
com acesso ao público ............................................................................................................... 3,0 kN/m2 
sem acesso ao público ............................................................................................................... 2,5 kN/m2 
escolas 
anfiteatro, corredor e sala de aula ........................................................................................... 3,0 kN/m2 
outras salas ............................................................................................................................... 2,0 kN/m2 
escritórios .................................................................................................................................. 2,0 kN/m2 
forros sem acesso de pessoas .................................................................................................... 0,5 kN/m2 
ginásio de esportes .................................................................................................................... 5,0 kN/m2 
hospitais 
dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro .................................... 2,0 kN/m2 
corredor ..................................................................................................................................... 3,0 kN/m2 
lojas ............................................................................................................................................ 4,0 kN/m2 
restaurantes .............................................................................................................................. 3,0 kN/m2 
teatros 
palco ........................................................................................................................................... 5,0 kN/m2 
platéia com assentos fixos ........................................................................................................ 3,0 kN/m2 
estúdio e platéia com assentos móveis .................................................................................... 4,0 kN/m2 
banheiro ..................................................................................................................................... 2,0 kN/m2 
EXEMPLO 8.1 
Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura. 
Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser considerada como sendo 2 kN/m2. 
 
 a) Dados uniformização de unidades (kN e m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Carga permanente 
 pp: 25,0 x 0,10 = 2,50 kN/m2 contra-piso: 21,0 x 0,01 = 0,21 kN/m2 gesso: 12,5 x 0,01 = 0,13 kN/m2 tacos: = 0,65 kN/m2 gk = 3,49 kN/m2 ( 3,50 kN/m2) c) Carga acidental qk = 2,00 kN/m2 d) Carga total gk = 3,50 kN/m2 qk = 2,00 kN/m2 pk = 5,50 kN/m2 
 
 PAREDES 8.6.3
O peso das paredes depende do tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco. Este peso normalmente é apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de largura por 1 m de altura), como mostrado na Figura 8.9. 
O peso por unidade de área de uma parede rebocada em ambas as faces pode ser representado por: 
 Equação 8.3 
onde 
ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; 
tij peso específico do tijolo, geralmente em kN/m3; etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo, geralmente em m. 
reb peso específico do reboco, geralmente em kN/m3; e ereb espessura do reboco, geralmente em m. 
 
 
Figura 8.9 Carga de paredes 
Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores: 
tijolo de furado ......................................................................................................................... 12 kN/m3 
tijolo de maciço ........................................................................................................................ 16 kN/m3 
reboco ....................................................................................................................................... 20 kN/m3 
A Tabela 8.1 mostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco de 2,5 cm de espessura por face. 
parede sem reboco parede com reboco 
tijolo