Aula 2 Campo Elétrico FISICA ELETRICIDADE

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Campo Ele´trico
Danilo Sande
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Se as part´ıculas na˜o se tocam, por que a part´ıcula 2 afeta a
part´ıcula 1?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo Vetorial
O campo ele´trico e´ um campo vetorial. Em cada ponto do espac¸o
e´ definido o vetor Campo Ele´trico.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo Vetorial
O campo ele´trico e´ definido como ~E =
~F
qo
, onde qo e´ uma carga de
prova. A unidade no SI e´ dada por N/C.
Se uma carga positiva e´ colocada em um campo ele´trico, age sobre ela
uma forc¸a no mesmo sentido do campo.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 1
(a) Qual e´, na figura, a orientac¸a˜o da forc¸a eletrosta´tica que age sobre o
ele´tron na presenc¸a do campo ele´trico indicado? (b) Em que direc¸a˜o o
ele´tron e´ acelerado se estava se movendo paralelamente ao eixo y antes
de ser aplicado o campo externo? (c) Se o ele´tron estava se movendo
para a direita antes de ser aplicado o campo externo, a velocidade
aumenta, diminui ou permanece constante quando o campo e´ aplicado?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 1 - Resposta
(a) Esquerda
(b) Esquerda
(c) Diminui
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
O campo ele´trico existe independente da carga de prova, e´ algo que um
objeto carregado cria no espac¸o a sua volta.
Como poder´ıamos representa´-lo?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
As linhas de campo ele´trico se afastam das cargas positivas (onde
comec¸am) e se aproximam das cargas negativas (onde terminam).
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Quanto maior a densidade de linhas por a´rea, maior a intensidade
do campo ele´trico;
O vetor campo ele´trico e´ tangente a` linha de campo e tem o mesmo
sentido.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo Ele´trico produzido por uma carga pontual
A Forc¸a Ele´trica e´ dada por:
~F =
1
4pi�o
|q||qo |
r2
rˆ
O Campo ele´trico fica:
~E =
~F
qo
=
1
4pi�o
|q|
r2
rˆ
Para calcular o campo ele´trico produzido por va´rias part´ıculas
carregadas:
~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 2
A figura mostra um pro´ton e um ele´tron no eixo x. Qual e´ o
sentido do campo ele´trico produzido pelo ele´tron (a) no ponto S e
(b) no ponto R? Qual e´ o sentido do campo ele´trico total
produzido pelas duas part´ıculas (c) no ponto R e (d) no ponto S?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 2 - Resposta
(a) Direita
(b) Esquerda
(c) Esquerda
(d) Direita
O pro´ton e o ele´tron possuem a mesma carga, pore´m os pontos S e
R esta˜o mais pro´ximos do ele´tron.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 3
A figura abaixo mostra treˆs part´ıculas de carga q1 = +2Q,
q2 = −2Q e q3 = −4Q, todas situadas a uma distaˆncia d da
origem. Determine o campo ele´trico total ~E produzido na origem
pelas treˆs part´ıculas.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 3 - Resposta parte 1
Os mo´dulos dos campos sa˜o:
E1 = E2 =
1
4pi�o
2Q
d
E3 =
1
4pi�o
4Q
d
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 3 - Resposta parte 2
As componentes y dos campos se anulam por simetria (veja que o
mo´dulo de E3 e´ igual ao mo´dulo de E1 + E2). As componentes x se
somam:
E = 2E3 cos 30
o =
1
4pi�o
6, 93Q
d2
~E =
1
4pi�o
6, 93Q
d2
iˆ
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo ele´trico produzido por um dipolo
A mole´cula da a´gua se comporta como um dipolo, as cargas
negativas ficam na regia˜o do oxigeˆnio.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
E = E(+) − E(−)
1
4pi�o
q
r2(+)
− 1
4pi�o
q
r2(−)
q
4pi�o(z − 12d)2
− q
4pi�o(z +
1
2d)
2
q
4pi�oz2
(
1(
1− d2z
)2 − 1(
1 + d2z
)2
)
q
4pi�oz2
2d/z(
1− ( d2z )2)2
qd
2pi�oz3
1(
1− ( d2z )2)2
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
qd
2pi�oz3
1(
1− ( d2z )2)2
Em pontos muito distantes das
cargas do dipolo z >> d , ficamos
com
E =
1
2pi�o
qd
z3
E =
1
2pi�o
p
z3
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Sprites
Eventos Luminosos Transientes, que ocorrem durante tempestades.
Eles sa˜o produzidos por campos ele´tricos gerados por relaˆmpagos
que va˜o da nuvem para o solo.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Sprites
A grandes distaˆncias acima das tempestades, onde o ar e´ rarefeito,
campos ele´tricos acima de um valor cr´ıtico Ec ionizam o ar,
arrancando ele´trons que se chocam com outros a´tomos, emitindo
luz.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 4
Suponha que durante a tempestade, entre a Terra e as nuvens, seja
formado um dipolo vertical formado por uma carga -q na altura h da
nuvem e uma carga +q a uma distaˆncia h abaixo da superf´ıcie. Se
q = 200 C e h = 6 km, qual o mo´dulo do campo ele´trico do dipolo a
uma altitude z1 = 30 km e z2 = 60 km?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 4 - Resposta
E =
1
2pi�o
p
z3
E =
1
2pi�o
q(2h)
z3
Para z1 = 30 km:
Ez1 =
1
2pi�o
200× 2× 6× 103
(30× 103)3 = 1, 6× 10
3 N/C
Para z2 = 60 km:
Ez2 =
1
2pi�o
200× 2× 6× 103
(60× 103)3 = 2, 0× 10
2 N/C
A densidade do ar e´ baixa em z2 = 60 km, de modo Ez2 > Ec . O campo
e´ suficiente para ionizar o ar, produzindo os sprites.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campos produzidos por distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga
O ca´lculo do campo ele´trico produzido por distribuic¸o˜es cont´ınuas
de carga (anel, disco, linha de carga) requer um somato´rio dos
campos produzidos por part´ıculas de cargas infinitesimais.
Nome S´ımbolo Unidade do SI
Carga q C
Densidade linear de carga λ C/m
Densidade superficial de carga σ C/m2
Densidade volume´trica de carga ρ C/m3
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um anel carregado
A carga infinitesimal depende do
arco infinitesimal:
dq = λds
O campo infinitesimal gerado por
essa carga e´
dE =
1
4pi�o
dq
r2
=
1
4pi�o
λds
r2
A hipotenusa do triaˆngulo
retaˆngulo e´ r =
√
z2 + R2, assim:
dE =
1
4pi�o
λds
(z2 + R2)
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um anel carregado
Somente as componentes na direc¸a˜o do eixo z na˜o se anulam.
Desse modo, o campo e´ calculado como dE cos θ.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um anel carregado
dE cos θ =
1
4pi�o
λds
(z2 + R2)
cos θ
Da figura, cos θ =
z√
z2 + R2
:
dE cos θ =
1
4pi�o
zλ
(z2 + R2)3/2
ds
E =
∫
dE cos θ
E =
1
4pi�o
zλ
(z2 + R2)3/2
∫ 2piR
0
ds
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um anel carregado
E =
1
4pi�o
zλ(2piR)
(z2 + R2)3/2
Como a densidade linear de carga
e´ λ = q/(2piR), temos:
E =
1
4pi�o
qz
(z2 + R2)3/2
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 5
A figura mostra uma barra de pla´stico com uma carga -Q uniformemente
distribu´ıda. A barra tem a forma de circunfereˆncia de 120o de extensa˜o e
raio r . Os eixos de coordenadas sa˜o escolhidos de tal forma que o eixo de
simetria da barra e´ o eixo x e a origem P esta´ no centro de curvatura do
arco. Em termos de Q e de r , qual e´ o campo ele´trico ~E produzido pela
barra no ponto P?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 5 - Resposta parte 1
dq = λds
dE =
1
4pi�o
dq
r2
=
1
4pi�o
λds
r2
dEx= dE cos θ =
1
4pi�o
λ
r2
cos θds; ds = rdθ
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 5 - Resposta parte 2
E =
∫
dEx =
∫ 60o
−60o
1
4pi�o
λ
r2
r cos θdθ
E =
λ
4pi�or
∫ 60o
−60o
cos θdθ =
λ
4pi�or
(sin θ)
∣∣∣∣60
o
−60o
=
1, 73λ
4pi�or
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O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 5 - Resposta parte 3
E =
1, 73λ
4pi�or
Como λ =
carga
comprimento
=
Q
2pir/3
=
0, 477Q
r
, temos
E =
1, 73
4pi�or
× 0, 477Q
r
=
0, 83Q
4pi�or2
~E =
0, 83Q
4pi�or2
iˆ
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 6
A figura mostra treˆs barras isolantes, uma circular e duas retil´ıneas.
Todas possuem uma carga de mo´dulo Q na parte superior e uma
carga de mo´dulo Q na parte inferior. Qual e´ a orientac¸a˜o do
campo ele´trico total no ponto P para cada barra?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 6 - Respostas
(a) sentido positivo de y
(b) sentido positivo de x
(c) sentido negativo de y
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um disco carregado
A carga infinitesimal do anel e´:
dq = σda = σ(2pirdr)
O campo infinitesimal produzido por
um anel e´ dado por
dE =
1
4pi�o
dq z
(z2 + r2)3/2
O campo e´ gerado pelo disco e´ a
soma dos campos gerados por todos
os ane´is:
E =
∫
dE =
σz
4�o
∫ R
0
2r
(z2 + r2)3/2
dr
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um disco carregado
E =
σz
4�o
∫ R
0
2r
(z2 + r2)3/2
dr
Para resolver a integral, usamos o
me´todo da substituic¸a˜o de varia´veis:
u = z2 + r2; du = 2rdr , desse modo:
E =
σz
4�o
∫ z2+R2
z2
u−3/2du
E =
σz
4�o
(−2√
u
)∣∣∣∣z2+R2
z2
E =
σ
2�o
(
1− z√
z2 + R2
)
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Campo de um disco carregado
E =
σ
2�o
(
1− z√
z2 + R2
)
Fazendo R →∞, obtemos E = σ
2�o
que e´ o campo para uma placa
infinita.
Fazendo z → 0 e mantendo o raio
finito, obtemos o mesmo E =
σ
2�o
.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Aplicac¸a˜o de Campo Ele´trico
A impressora eletrosta´tica de jato de tinta funciona com a
aplicac¸a˜o de campo ele´trico.
Gotas de tinta saem do cartucho e recebem uma carga ele´trica
controlada, a seguir passam em uma regia˜o de campo ele´trico
constante, onde sa˜o defletidas e atingem o papel na posic¸a˜o
desejada.
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 7
A figura mostra uma impressora eletrosta´tica de jato de tinta. Uma gota
de tinta, com massa m = 1, 3× 10−10 kg e carga negativa de mo´dulo
Q = 1, 5× 10−13 C, penetra na regia˜o entre as placas, movendo-se
inicialmente com uma velocidade vx = 18 m/s e vy = 0. O comprimento
L das placas e´ 1,6 cm, elas esta˜o carregadas e produzem um campo
ele´trico uniforme (|~E | = 1, 4× 106 N/C) em todos os pontos da regia˜o
entre elas. Qual e´ a deflexa˜o vertical da gota ao deixar a regia˜o entre as
placas?
Danilo Sande Campo Ele´trico
O Campo Ele´trico
Exerc´ıcio 7 - Resposta
Usando F = ma e E =
F
Q
, temos:
ay =
EQ
m
= 1, 615× 103 m/s2
O tempo durante as placas e´ dado atrave´s do movimento uniforme em x:
t = ∆x/vx = L/v = 8, 9× 10−4 s.
A deflexa˜o em y depende do tempo de percurso e da acelerac¸a˜o da gota:
∆y =
at2
2
=
1, 165× 103(8, 9× 10−4)2
2
= 0, 64 mm
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