Prova1N2- Aldo Procacci- 2014.2

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CA´LCULO I - PROVA 1 - N2 : GABARITO
13/09/2014
1. Calcule os seguintes limites
i) lim
x→+∞
ln(1 + e3x)√
4x2 + 5
ii) lim
x→pi2
[
x− pi
2
]
tanx
Soluc¸a˜o
i)
lim
x→+∞
ln(1 + e3x)√
4x2 + 5
= lim
x→+∞
ln
[
e3x
(
1
e3x + 1
)]
|x|
√
4 + 5x2
= lim
x→+∞
ln
[
e3x
]
+ ln
(
1
e3x + 1
)
x
√
4 + 5x2
=
= lim
x→+∞
3x+ ln
(
1
e3x + 1
)
x
√
4 + 5x2
= lim
x→+∞
 3x
x
√
4 + 5x2
+
ln
(
1
e3x + 1
)
x
√
4 + 5x2
 =
= lim
x→+∞
3√
4 + 5x2
+ lim
x→+∞
ln
(
1
e3x + 1
)
x
√
4 + 5x2
=
3√
4 + 0+
+
0+
(+∞) =
3
2
ii) Fazendo y = x − pi2 e logo x → pi2 ⇒ y → 0 e usando que
cos(α + pi2 ) = − senα
lim
x→pi2
[
x− pi
2
]
tanx = lim
y→0
y tan(y +
pi
2
) = lim
y→0
y
sen (y + pi2 )
cos(y + pi2 )
=
lim
y→0
sen (y +
pi
2
) · y
cos(y + pi2 )
= sen
(pi
2
)
· lim
y→0
y
− sen y =
= 1 · lim
y→0
−1
sen y
y
= 1 · −1
limy→0 sen yy
= −1
onde usamos o limite nota´vel limy→0 sen yy = 1
2. Considere a func¸a˜o
f(x) = e
x+2
x2+x−2
i) Encontre o domı´nio de definic¸a˜o da f(x)
ii) Encontre as eventuais ass´ıntotas verticais e horizontais do
gra´fico da f(x).
Soluc¸a˜o
i) Como ey faz sentido para qualquer y → R, so´ precisamos
impor que x2 +x−2 6= 0, i.e., sendo x2 +x−2 = (x−1)(x+2),
temos que impor x 6= 1 e x 6= −2. Logo
Df = R \ {−2, 1} = (−∞,−2) ∪ (−2, 1) ∪ (1,+∞)
ii) Temos que
lim
x→1+
e
x+2
x2+x−2 = lim
x→1+
e
x+2
(x−1)(x+2) = lim
x→1+
e
1
(x−1) = e
1
0+ = e+∞ = +∞
[observe tambe´m que limx→1− e
x+2
x2+x−2 = limx→1− e
1
(x−1) = e
1
0− = e−∞ = 0 ]
Por outro lado
lim
x→−2
e
x+2
x2+x−2 = lim
x→−2
e
x+2
(x−1)(x+2) = lim
x→−2
e
1
(x−1) = e
1
−3 =
1
3
√
e
Logo f(x) tem como u´nica ass´ıntota vertical x = 1
Ainda temos que
lim
x→+∞ e
x+2
x2+x−2 = lim
x→+∞ e
1
(x−1) = e
1
+∞ = e0
+
= 1+
e
lim
x→−∞ e
x+2
x2+x−2 = lim
x→−∞ e
1
(x−1) = e
1
−∞ = e0
−
= 1−
Logo f(x) tem como u´nica ass´ıntota horizontal a reta y = 1
3. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
g(x) =
√
3x+ 1
no ponto (1, 2).
Soluc¸a˜o
De acordo com a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada, a reta
tangente procurada tem inclinac¸a˜o igual a` g′(1) onde g′(1) e´
a derivada da func¸a˜o g(x) calculada em x = 1. Com base na
definic¸a˜o de derivada, temos
g′(1) = lim
h→0
g(1 + h)− g(1)
h
= lim
h→0
√
3(1 + h) + 1− 2
h
=
lim
h→0
√
4 + 3h− 2
h
= lim
h→0
3h
h(
√
4 + h+ 2)
= lim
h→0
3√
4 + h+ 2
=
3
4
Logo a reta procurada tem inclinac¸a˜o 14 e passa pelo ponto
(1, 2), i.e. e´ a reta de equac¸a˜o
y − 2 = 3
4
(x− 1) i.e. y = 5
4
+
3
4
x