Sequências = Lista (métricas)

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Questão 2. Seja a sequência em IR2 dada por zn = ����� , �1 − 	���� 
��, 
intuitivamente esta sequência converge para que ponto? Agora, utilizando a 
definição 3.2, confirme a convergência para o ponto que você indicou. 
 
1. Intuitivamente, temos: 
lim�→� 	���� 
 = 1 e lim�→��1 − 	���� 
� = 0 
Portanto, a sequência dada converge para (1,0) em IR2. 
 
 
2. Conforme a definição 3.2, a sequência zn = ((x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn),…) 
converge para (1,0) em IR2, se, e somente se, a sequência (xn) converge para 1 
e a sequência (yn) converge para 0. 
 
Demonstração: 
 ⇒⇒⇒⇒) Se (xn,yn) → (1,0), então xn → 1 e yn → 0. 
 
Seja ε > 0. Como (xn,yn) → (1,0), existe n0 ∈ IN tal que d((xn,yn),(1,0)) < ε, para 
todo n > n0. 
 
Então, para todo n > n0, temos: 
|xn – 1| = ��x� − 1�� ≤ ��x� − 1�� + �y��� = d((xn,yn),(1,0)) < ε 
e |yn – 0| = ��y��� ≤ ��x� − 1�� + �y��� = d((xn,yn),(1,0)) < ε. 
 
Logo, xn → 1 e yn → 0. 
 
⇐⇐⇐⇐) Se xn → 1 e yn → 0, então (xn,yn) → (1,0). 
 
Seja ε > 0. 
 
Como xn → 1, existe n1 ∈ IN tal que |xn – 1| < ��, para todo n > n1. 
Como yn → 0, existe n2 ∈ IN tal que |yn| < ��, para todo n > n2. 
 
Seja n0 = max {n1, n2}. Para todo n > n0, temos: 
 
d((xn,yn),(1,0)) = ��x� − 1�� + �y��� ≤ �|x� − 1|� + |y�|� + 2|x� − 1||y�| = 
= ��|x� − 1| + |y�|�� = |xn – 1| + |yn| < �� + 
�
� = ε. 
 
Logo (xn,yn) → (1,0). 
Questão 3. Considerando M um espaço métrico, A ⊂	M um conjunto aberto e 
(xn) ⊂	M uma sequência convergente para a ∈ A, analise as informações abaixo 
e responda (V) verdadeiro ou (F) falso: 
 
(a) O complementar de A é fechado em M. 
Verdadeiro, pois A é um conjunto aberto em M. 
(b) Toda vizinhança aberta de a está contida em A. 
Falso, pois existe algum ponto na vizinhança aberta de a que pertence ao 
complementar de A e, portanto, não pertence a A. 
(c) (xn) ∈ A para n suficientemente grande. 
Verdadeiro, pois (xn) é uma sequência convergente para a ∈ A. 
 
A sequência correta é: (b) V, F e V 
 
 
 
 
Questão 4.1. Suponha que zn é uma sequência que possui apenas duas 
subsequências: xn = z2n – 1 e yn = z2n. Se xn → a e yn → b, então podemos garantir 
que a sequência zn ora converge para a e ora converge para b? A afirmação é 
verdadeira ou falsa? Indique a proposição ou teorema que confirme ou reprove 
a afirmação acima. 
 
Segundo o Corolário 2.7 (teste da subsequência), “qualquer sequência que 
possui duas subsequências com limites diferentes será divergente”. 
 
Logo, zn é uma sequência divergente. 
 
Portanto, a proposição é falsa. 
 
 
 
 
Questão 4.2. Seja A ⊂	IR2 o conjunto dos pontos de ordenada menor que 3, isto 
é, A = {(x,y) ∈ IR2/ y < 3} (represente geometricamente o conjunto para melhor 
visualizar). Utilize a proposição do Texto sobre ponto de fronteira (Midiateca) e 
sequências para responder: Os pontos do tipo (a,3) estão na fronteira do 
conjunto A? Se sim, prove; se não, dê um contraexemplo. 
 
Seja B ⊂	IR2 o conjunto dos pontos de ordenada igual a 3, isto é, B = {(x,y) ∈ IR2/ 
y = 3}. O conjunto B, assim definido, é o conjunto de todos os pontos que estão 
na fronteira de A, isto é, os pontos do tipo (a,3), para todo a ∈ A. 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5. Seja (M,d) um espaço métrico. Usando a definição, mostre que: 
 
Se (xn) e (yn) são sequências de Cauchy em M, então (wn) = (xn – yn) é uma 
sequência de Cauchy. 
 
Dica: Você deve começar escrevendo a definição de Cauchy para (xn) e (yn), 
não se esqueça de “ajeitar” o épsilon. 
 
1. Toda sequência de Cauchy é limitada. 
Logo, se (xn) e (yn) são sequências de Cauchy em M, então (xn) e (yn) são 
sequências limitadas. 
 
2. Supondo (zn) = - (yn), temos (wn) = (xn + zn). 
Para cada ε > 0, teremos n3 ∈ IN tal que, para todo n,m ≥ n3: 
|wn – wm| =|(xn + zn) – (xm + zm)| < ε. 
 
Como |(xn + zn) – (xm + zm)| = |(xn – xm) + (zn – zm)|, pela desigualdade triangular, 
temos: 
|(xn – xm) + (zn – zm)| ≤ |xn – xm| + |zn – zm|. 
 
Como (xn) e (zn) são sequências de Cauchy, para cada ��	> 0, existem n1 e n2 tais 
que: 
 
(i) Para todo n,m ≥ n1, temos |xn – xm| < �� 
(ii) Para todo n,m ≥ n2, temos |zn – zm| < �� 
 
Assim, |(xn + zn) – (xm + zm)| < �� + 
�
� = ε, dado que n3 = max {n1, n2}. 
Em consequência disso, (wn) é uma sequência de Cauchy.