APOSTILA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I Cap. 1

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CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS 
 
Definições: 
 Carga Elétrica (q) – “C” – É uma partícula que contem características próprias e 
efeitos próprios; 
 Corrente Elétrica (i) – “A” – É a quantidade de carga elétrica que atravessa a 
seção reta de um condutor na unidade do tempo; 
 i(t) = dq/dt 
 
 
 Tensão Elétrica (e) – “V” – É a diferença de potencial elétrico que possibilita a 
circulação de carga pelo condutor; 
 Energia Elétrica (w) – “J” – É o produto da carga transportada pela tensão; 
dw = e(t) dq ∫ dw = ∫e(t) dq w = ∫e(t) i(t) dt 
 
 w = e(t) i(t) t 
 
 Potência Elétrica (P) – “W” – É uma grandeza instantânea. É a variação da 
energia no tempo. É o produto da tensão pela corrente. 
 
 P(t) = dw/dt = e(t) i(t) dt/dt P(t) = e(t) i(t) 
 
Analogia entre os sistemas elétrico e hidráulico: 
Sistema hidráulico Sistema elétrico 
 
 
 H E R 
 
 
2 
 
FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE 
 
Todos os elementos dos circuitos elétricos foram divididos em dois grupos: 
a) Ativos (Fontes de tensão e Fontes de corrente); 
b) Passivos (Resistores, Capacitores e Indutores). 
As fontes podem ser: 
1) Independentes: são as fontes de tensão ou de corrente que fornecem energia fixa 
ao resto do circuito. Ex: 
 
 
 30 V 10 V 8 A 
 
2) Dependentes ou Controladas: São as fontes de tensão ou de corrente que 
dependem de valores característicos dentro do circuito, isto é, são funções de 
grandezas do sistema. Ex: 
 
 
 
2ec V 10ib A 
 
 
Os elementos passivos (Resistores, Capacitores e Indutores) serão vistos mais 
adiante. 
 
RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 
 
Resistência elétrica é a capacidade de um material de se opor à passagem do 
fluxo de corrente elétrica. 
 Elemento usado: Resistor R 
 
 Transforma energia elétrica em calor. É um dissipador de energia. 
3 
 
 
 Metais (cobre e alumínio, por exemplo) possuem resistência elétrica desprezível. 
São os condutores. 
 
 Borracha, água, ar etc. – Possuem alta resistência elétrica. São os isolantes. 
 
 Madeira, álcool etc. – Não são considerados isolantes nem condutores. São 
chamados de maus condutores ou maus isolantes. 
 
Lei de ohm 
V = R . I onde: V = tensão em Volts 
 R = resistência em Ohms ( Ω ) 
 I = corrente em Ampères 
 
P(t) = V.I = RI
2
 = V
2
/R (Watts) 
 
W(t) = ∫P(t) dt = ∫ V.I dt = R∫I2 dt = 1/R ∫V2 dt (Joules) 
Para tensões e correntes constantes: 
W = V.I.t = R.I
2
.t = 1/R . (V
2
 . t) 
 
A condutância é o inverso da resistência: 
G = 1/R = I/V (Siemens ou Mho) (Ʊ) 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
SÉRIE 
 e1(t) e2(t) e3(t) 
 
 R1 R2 R3 
 e(t) ≡ e(t) i(t) Req 
 i(t) 
 
 Req = e(t)/i(t) 
e(t) = e1(t) + e2(t) + e3(t) 
e(t) = R1 i(t) + R2 i(t) + R3 i(t) = i(t) {R1 + R2 + R3} 
e(t)/i(t) = R1 + R2 + R3 
 
 Req = R1 + R2 + R3 
 
PARALELO 
 
 i(t) i1(t) i2(t) i3(t) 
 e(t) R1 R2 R3 ≡ e(t) i(t) Req 
 
 
 Req = e(t)/i(t) 
i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) 
i(t) = e(t)/R1 + e(t)/R2 + e(t)/R3 = e(t) {1/R1 + 1/R2 + 1/R3} 
i(t)/e(t) = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 
 
 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 
5 
 
 
Obs: Para dois elementos únicos Req = R1.R2/R1+R2 
 
 
AS LEIS DE KIRCHHOFF 
Definições: 
 Nó – É a junção de dois ou mais elementos em um ponto elétrico; 
 Malha – É um caminho fechado de circulação de grandeza. 
 
2 nós, 3 malhas 
 
 
 2 nós, 6 malhas 
 
 
 
 3 nós, 3 malhas 2 nós, 1 malha 
 
 
 
1ª Lei de Kirchhoff 
“A soma algébrica das correntes em um nó qualquer é igual a zero.” 
 
Por convenção, faremos: 
 
 (negativa) 
 (positiva) 
 
6 
 
Exemplo: i1 
 
 i2 i3 
 A B C 4 nós, 7 malhas 
 i4 i5 i6 
 
 D 
 
Nó A: -i4 - i2 + i1 = 0 
Nó B: + i2 + i3 + i5 = 0 
 
2ª Lei de Kirchhoff 
“A soma algébrica das tensões em uma malha qualquer é igual a zero.” 
Por convenção, faremos: 
 
 + - 
 
Sentido Horário Sentido Anti-horário 
 
Exemplo: e1 
 
 e2 e3 
 A B C 
 e4 e5 e6 
 
 D 
Malha ABDA: + e4 + e3 + e5 = 0 
7 
 
Malha ABCDA: + e2 + e3 - e6 + e4 = 0 
 
Obs: 
1. Dois ou mais elementos estão em série quando são atravessados pela mesma 
corrente; 
2. Dois ou mais elementos estão em paralelo quando estão submetidos a mesma 
tensão; 
3. Sempre que uma corrente atravessa um elemento passivo (R, L ou C) num 
sentido determinado, ocorre uma queda de tensão em sentido oposto. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Encontre o valor das tensões desconhecidas no circuito abaixo. Encontre 
primeiro V1. 
 
 
10V V2 
 8V 
 V1 
 V3 9V 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
2. Encontre o valor das correntes desconhecidas. 
 
 I2 5A 
 I1 
 7A 1 2 
 3A 4A 3A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Encontre o valor da tensão e1 no circuito abaixo: 
 4Ω 1Ω 
 
 12V e1 1Ω 2Ω 1Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
4. Encontre o valor da corrente I1 no circuito abaixo: 
 
 
3Ω 
 
 10A I1 1Ω 4Ω 1Ω 
 
 
 
 
CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE 
CORRENTE 
a) Circuito Divisor de Tensão 
 R1 Req = R1 + R2 
 i(t) = V/R1 + R2 
 V e1(t) R2 e2(t) e2(t) = R2 . i(t) = R2 . V/R1 + R2 
 i(t) e2(t) = V . R2/R1 + R2 
 Consequentemente: 
 e1(t) = V . R1/R1 + R2 
 
b) Circuito Divisor de Corrente 
i1(t) = V/R1 
 i1(t) i2(t) V = I . Req 
 R1 R2 i1(t) = I . Req/R1 = I . (R1.R2/R1+R2)/R1 
 I i1(t) = I . R2/R1 + R2 
 
 Consequentemente: 
 i2(t) = I . R1/R1 + R2 
10 
 
PONTE DE WHEATSTONE 
Utilizada para a medição, com precisão, de uma resistência. 
 
 
R1 R2 
 i1 i2 
 V A G B 
 R3 i3 ix Rx 
 
 
 Quando a corrente no galvanômetro G for nula, a ponte estará em equilíbrio. 
Assim: 
R1 . Rx = R2 . R3 Rx = (R2 . R3) / R1 
 
Demonstração: No equilíbrio, 
i1 = i3 equação (I) e i2 = ix equação (II) 
 
A 2ª Lei de Kirchhoff nos mostra que: 
ER1 = ER2 e ER3 = ERx 
 ou 
i1 . R1 = i2 . R2 equação (III) e i3 . R3 = ix . Rx equação (IV) 
 
Substituindo as equações (I) e (II) na equação (IV), temos: 
i1 . R3 =i2 . Rx 
Substituindo a equação (III) nesta última, temos: 
i1 . R3 = (i1 . R1/R2) x Rx Rx = (R2 . R3)/ R1 
 
11 
 
TRANSFORMAÇÃO ∆ - Y 
Nem todos os elementos dos circuitos podem ser reduzidos pela associação em 
série ou paralelo. Ex: 
 
R1 R2 
 Rm 
 V A B 
 R3 R4 
 
Obs: Circuito com duas configurações em ∆. 
 
 
A TRANSFORMAÇÃO ∆ - Y a b 
 Rc 
 A B R1 R2 
 Rb Ra 
 R3 
 C 
 
 c 
 
 Para o circuito em ∆, a resistência equivalente nos terminais a e b (Rab) seria 
Rc // (Ra + Rb), isto é: 
Rab = Rc . (Ra + Rb) / Ra + Rb + Rc = R1 + R2 
Rbc = Ra . (Rb + Rc) / Ra + Rb + Rc = R2 + R3 
Rca = Rb . (Rc + Ra) / Ra + Rb + Rc = R1 + R3 
12 
 
Manipulando algebricamente as equações, podemos calcular as resistências R1, 
R2 e R3 do circuito em Y, ou seja: 
R1 = (Rb . Rc) / Ra + Rb + Rc 
 
R2 = (Rc . Ra) / Ra + Rb + Rc 
 
R3 = (Ra . Rb) / Ra + Rb + Rc 
 
Analogamente, podemos inverter a transformação para Y - ∆: 
Ra = (R1 . R2 + R2 . R3 + R3 . R1) / R1 
 
Rb = (R1 . R2 + R2 . R3 + R3 . R1) / R2 
 
Rc = (R1 . R2 + R2 . R3 + R3 . R1) / R3 
 
Ex: Determine a corrente e a potência fornecida pela fonte no circuito abaixo: 
 5Ω 
100Ω 125Ω 
 25Ω 
 V A B 
 40Ω 37,5Ω 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
 Se o circuito é composto por mais de uma fonte, podemos calcular as grandezas 
deste circuito considerando cada uma das fontes separadamente e somando 
algebricamente os resultados parciais. Procedimento: 
1. Calcular o valor desejado para cada uma única fonte, colocando as demais em 
repouso (mortas). 
Fonte de corrente em repouso: circuito aberto; 
Fonte de tensão em repouso: curto-circuito; 
2. Somar algebricamente os resultados parciais. 
 
 
14 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo: 
 
 
 4Ω 
 
 
 5V e0(t) 6Ω 2A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo: 
 3Ω 4Ω 
 
 
 60V e0(t) 6Ω 24V 
 
 
 2Ω 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE THEVENIN E NORTON 
 
THEVENIN 
 Circuito Equivalente de Thevenin 
 Req 
 Circuito Elemento Elemento 
 Ativo eoc ≡ eoc 
 
 
Onde: 
eoc = tensão com o circuito aberto 
Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do 
elemento. 
 
16 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin 
 
 
 1Ω 
 
 12V 4Ω 
 1Ω 3Ω e0(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NORTON 
 Circuito Equivalente de Norton 
 
 Circuito Elemento Elemento 
 Ativo isc ≡ isc Req 
 
Onde: 
isc = corrente de curto-circuito 
Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do 
elemento. 
 
17 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Norton 
 
 1Ω 
 
 12V 4Ω 
 1Ω 3Ω e0(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin 
 
 
 2Ω e0(t) 4Ω 
 6V 
 4Ω 5Ω 2Ω 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule a corrente i2(t) por Norton 
 4Ω 
 
 
 3V i2(t) 6Ω 2A 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Ex: Calcule a corrente i2(t) por Thevenin 
 4Ω 
 
 
 3V i2(t) 6Ω 2A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DOS NÓS E TEOREMA DAS MALHAS 
 
Topologia dos Circuitos 
Definições: 
 Ramo (b) – É qualquer segmento que contenha um único elemento elétrico. 
Logo, o número de ramos de um circuito é igual ao número de elementos deste 
circuito; 
 Nó (n) – É a união de dois ou mais ramos de um circuito; 
 Malha ou Laço (l) – É um caminho fechado de circulação de grandeza; 
 Grafo ou Árvore (G) – É a representação dos ramos de um circuito. 
20 
 
Ex: 
 
 
 
 A B C A B C 
 
 
 
 D 
 D 
TEOREMA DOS NÓS 
“Há exatamente (n-1) equações nodais independentes definidas pela Lei de Kirchhoff 
para correntes (1ª Lei de Kirchhoff)”. 
 
Ex: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo: 
 
 
 
 A 2Ω B 
 
 5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω 
 
 
 C 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Ex: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema dos Nós 
 A 
 
 2Ω e0(t) 4Ω 
 6V B C 
 4Ω 5Ω 2Ω 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Sempre que no circuito houver fonte de tensão, a tensão no nó “imediatamente 
após” a esta fonte deverá ser acrescida do seu próprio valor. Ex: 
 A 
 2 V eA = eB + 2 
 
 B 
23 
 
Ex: Determine o valor da tensão ec(t) no circuito abaixo 
 
 A 4Ω C 
 5Ω 
 2V B ib 1Ω 
 10ib A ec(t) 
 2ec V 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Ex: Calcule o valor da corrente i0(t) no circuito abaixo pelo Teorema dos Nós 
 A 4Ω B 2Ω C 
 
 i0(t) 
 58V 3Ω 10V 
 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule a tensão no resistor de 6Ω por Nós 
 A 2Ω B 5Ω C 
 
 i0(t) 
 40V 6Ω 32A 
 
 
 E 3Ω D 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DAS MALHAS 
“Há exatamente (b-n) +1 equações de malhas independentes definidas pela Lei de 
Kirchhoff para tensões (2ª Lei de Kirchhoff)”. 
 
Ex: Calcule todas as tensões e correntes do circuito abaixo: 
 A 3Ω B 4Ω C 
 
 
 60V 6Ω 24V 
 
 
 E 2Ω D 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Sempre que no circuito houver fonte de corrente, a corrente de malha que passa 
por esta fonte terá o seu próprio valor. Ex: 
Ex: Calcule a tensão no resistor de 6Ω por Malhas 
 A 2Ω B 5Ω C 
 
 
 40V 6Ω 32A 
 
 
 E 3Ω D 
27Ex: Calcule a tensão no resistor de 5Ω por Malhas 
 A 5Ω B 3Ω C 
 
 
 2A 1Ω 2Ω 4V 
 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo: 
 
 A 2Ω B 
 
 5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω 
 
 
 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule a tensão no resistor de 6Ω por Nós 
 A 2Ω B 5Ω C 
 
 
 40V 6Ω 32A 
 
 
 E 3Ω D