F128 Exercicios Resolvidos Cap 2

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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 2
Exercício 1
A figura representa o gráfico (v × t) do movimento de uma partícula.
a) de quanto variou a posição da partícula nos intervalos (0−2, 0)s, (2, 0−4, 0)s, (4, 0−6, 0)s,
(5, 0− 8, 0)s?
Atenção, calcular a "área abaixo do gráfico" na verdade significa calcular a área entre o gráfico
e o eixo que passa por v = 0m/s. Vamos colorir a região cujo valor numérico da área (que é a
integral definida) corresponde ao deslocamento realizado no dado intervalo:
• 0 ≤ t ≤ 2
Área do triângulo: ∆x = b·h2 =
2s·2m/s
2 = 2m
• 2 ≤ t ≤ 4
Área do retângulo: ∆x = b · h = (4− 2) · 2 = 4m
• 4 ≤ t ≤ 6
Área de dois triângulos, um em v > 0 e outro em v < 0: ∆x = 1·22 − 1·22 = 0m
• 5 ≤ t ≤ 8
Área do trapézio (onde v < 0): ∆x = − (B+b)·h2 = − (3+1)·22 = −4m
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2
b) supondo-se que x = 0 em t = 0, em que instante a partícula passará de novo pela origem?
Inicialmente a partícula se move no sentido positivo de x (velocidade positiva) iniciando um
movimento acelerado, depois uniforme e a seguir retardado (ela freia). Apenas em t = 5s a
partícula muda de direção e começa a retornar no eixo x. Neste instante (t = 5s) a partícula terá
se deslocado:
Área do trapézio = ∆x = (B + b) · h2 =
(5 + 2) · 2
2 = 7m
Após este instante a partícula retrocede em x, inicialmente com um movimento acelerado,
depois uniforme e finalmente retardado (ela freia novamente) e para no instante t = 8s. O
deslocamento realizado neste intervalo de tempo será:
Área do trapézio abaixo do eixo = ∆x = −(B + b) · h2 = −
(3 + 1) · 2
2 = −4m
A partícula avança 7m e retrocede 4m, chegando em x (8) = 3m. Concluímos que no período
de tempo representado a partícula não passará novamente pela origem.
c) qual é a velocidade média da partícula nos intervalos (0− 2, 0)s; (2, 0− 4, 0)s; (2, 0− 6, 0)s;
(3, 0− 7, 0)s; (5, 0− 8, 0)s?
Para calcularmos a velocidade média em um intervalo de tempo onde a velocidade varia pre-
cisamos calcular o deslocamento total e dividir pelo tempo1:
• 0 ≤ t ≤ 2
v¯ = ∆x∆t =
2m
2s = 1m/s
• 2 ≤ t ≤ 4
Neste intervalo a velocidade é constante, ou seja, a velocidade média no intervalo é igual a
velocidade instantânea em cada instante dentro do intervalo de tempo, v¯ = 2m/s.
• 4 ≤ t ≤ 6
v¯ = ∆x∆t =
4m+1m−1m
(6−2)s = 1m/s
• 3 ≤ t ≤ 7
Pela simetria do gráfico notamos que a partícula se desloca no sentido positivo e negativo a
mesma quantidade, v¯ = ∆x∆t =
0m
(7−3)s = 0m/s
• 5 ≤ t ≤ 8
v¯ = ∆x∆t =
−4m
3s = −43m/s
d) qual é a aceleração média da partícula nos intervalos(0 − 2, 0)s; (2, 0 − 4, 0)s; (2, 0 − 6, 0)s;
(5, 0− 8, 0)s?
Aqui nos importa apenas a velocidade instantânea da partícula no início e no final do intervalo
pedido:
1Atenção: velocidade média NÃO é média de velocidades. Por exemplo: considere uma partícula que parte do
repouso e volta ao repouso, vi = 0m/s e vf = 0m/s. A média dessas duas velocidades é 0m/s, mas com certeza a
velocidade média neste intervalo de tempo não é nula!
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3
• 0 ≤ t ≤ 2
a¯ = ∆v∆t =
v(2)−v(0)
2s =
2m/s
2s = 1m/s
2
• 2 ≤ t ≤ 4
Neste intervalo a velocidade não sofre variação, ou seja, a aceleração é nula:
a¯ = ∆v∆t =
v(4)−v(2)
2s =
(2m/s)−(2m/s)
2s = 0m/s
2
• 2 ≤ t ≤ 6
a¯ = ∆v∆t =
v(6)−v(2)
4s =
(−2m/s)−(2m/s)
4s = −1m/s2
• 5 ≤ t ≤ 8
a¯ = ∆v∆t =
v(8)−v(5)
3s =
(0m/s)−(0m/s)
3s = 0m/s
2
e) qual é a aceleração da partícula nos instantes t = 1, 0s; t = 3, 0s; t = 5, 0s; t = 6, 5s?
A aceleração instantânea é a inclinação da curva da velocidade em função do tempo, em um
dado ponto2. Como o gráfico da velocidade é todo formado por retas sabemos que a aceleração é
constante em cada intervalo onde o comportamento da velocidade se mantém (ela só cresce, ou só
fica constante, ou só decresce).
• t = 1s
Entre 0s e 2s a aceleração é constante, assim a aceleração instantânea é igual à aceleração
média neste intervalo:
a = (2−0)m/s(2−0)s = 1m/s
2
• t = 3s
Nesse instante a velocidade é constante, portanto a = 0m/s2
• t = 5s
Nesse instante a inclinação da reta é dada por:
a = (−2)−(2)6−4 = −2m/s2
• t = 6, 5s
Nesse instante novamente a velocidade é constante e a aceleração é nula, a = 0m/s2
Exercício 2
A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x varia com o tempo segundo a
expressão v = (40− 5t2)m/s, onde t é dado em segundos.
a) ache a aceleração média no intervalo de t = 0 a t = 2, 0s;
Calculamos a aceleração média quando não estamos preocupados com o comportamento
detalhado da velocidade3. Neste item, não importa o que aconteceu com a velocidade no intervalo
0 ≤ t ≤ 2, o que importa é com qual valor ela começou e com qual ela terminou. Essa variação
de velocidade dividida pelo intervalo de tempo é o que chamamos aceleração média:
2Esta é a interpretação geométrica da derivada. Se o gráfico é uma reta então a inclinação é o coeficiente angular
da reta, a = dvdt = m = tan θ, onde θ é o ângulo que esta reta faz com a horizontal.3Também calculamos velocidade média quando não nos importa o comportamento detalhado da posição. Neste
caso o que interessa é apenas o deslocamento realizado e o tempo que passou.
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a¯ = ∆v∆t =
v (2)− v (0)
2− 0 =
20− 40
2 = −10m/s
2
b) determine a aceleração em t = 2, 0s;
A aceleração instantânea em t = 2s é a taxa com que a velocidade varia naquele instante.
Esta taxa de variação é o que chamamos de derivada. Queremos portanto saber quanto é a
derivada de v (t) no instante t = 2s:
a (2) = dvdt
∣∣∣∣∣
t=2
= (−10t)|t=2 = −20m/s2
c) determine a expressão da posição da partícula em função do tempo, admitindo que ela parte
de x = 0 em t = 0?
Devemos ter em mente que a velocidade não varia uniformemente (a aceleração não é
constante, ou seja, o movimento não é uniformemente acelerado!). Por essa razão não podemos
usar nenhuma daquelas fórmulas conhecidas do cursinho.
Se dividirmos o eixo t em pequenos intervalos, podemos calcular a posição da partícula so-
mando cada pequeno deslocamento ∆xi que é realizado em cada pequeno intervalo ∆ti. Para
um ∆ti muito pequeno a velocidade não chega a variar muito e podemos dizer que a velocidade
é aproximadamente constante nesse pequeno intervalo. Considerando intervalos iguais de tempo
∆t, o deslocamento neste intervalo é portanto ∆xi = v (ti) ∆t, e o deslocamento total entre t = 0s
e um certo t = t′ seria dado por:
x (t′)− x (0) =
t′
∆t∑
i=1
∆x =
t′
∆t∑
i=1
v (ti) ∆t
Quando fazemos ∆t infinitamente pequeno (limite ∆t → 0) a aproximação de v constante
torna-se exata e o número de intervalos somados torna-se infinito. Na confrontação destes dois
infinitos caímos na definição de integral dada por Riemann:
lim
∆t→0
t′
∆t∑
i=1
v (ti) ∆t =
ˆ t′
0
v (t) dt
Temos portanto:
x (t′) = x0 +
ˆ t′
0
v (t) dt
= 0 +
ˆ t′
0
[
40− 5t2
]
dt
=
[
40t− 5t
3
3
]
t=t′
x (t) = 40t− 5t
3
3
onde renomeamos a variável t′ → t por conveniência.
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Exercício 3
Chegando atrasado a uma estação ferroviária, um passageiro corre com velocidade constante ao
longo da plataforma onde o trem está parado. Quando ele se encontra a 25m do último vagão, o
trem arranca com aceleração constante de 0, 5m/s2.
a) qual deve ser a velocidade mínima do passageiro para que ele consiga alcançar o trem?
Vamos escrever uma função para a posição do trem, xT e uma função para a posição do
passageiro, xP . Adotando como origem a posição inicial do passageiro ao ver o trem arrancando
temos:xP (t) = vt
vT (t) = 25 +
0, 5
2 t
2
onde v é a velocidade do passageiro que precisamos calcular.
O trem acelera, ou seja, move-se de vagar no início e depois cada vez mais rápido. Se o
passageiro corre com grande velocidade ele irá ultrapassar o trem, mas algum tempo a seguir o
trem irá ultrapassá-lo de volta (uma reta cruzando uma parábola em dois pontos). Por outro
lado se o passageiro correr com pouca velocidade ele nunca irá ultrapassar o trem (uma reta não
cruzando a parábola). O caso em que queremos é intermediário, o passageiro possui velocidade
apenas para alcançar o trem e ficar para trás. Os três casos estão representados nas figuras abaixo:
Podemos escrever a distância entre eles como sendo:
D (t) = xT (t)− xP (t)
D (t) = 0, 25t2 − vt + 25
Pela equação notamos que o gráfico de D (t) é uma parábola virada para cima e v é um
parâmetro ajustável que determina a posição vertical dessa parábola.
Para o primeiro gráfico esta distância torna-se negativa quando o passageiro ultrapassa o trem.
Isso implica que ∆ > 0 na fórmula de Bhaskara, ou seja, D (t) possui duas raízes reais e diferentes,
cruzando o eixo t em dois pontos distintos.
Para o segundo gráfico D (t) nunca se torna negativo, ou seja, a parábola nunca cruza o eixo
t.
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No caso em que queremos, v é tal que a parábola D (t) apenas toca o eixo t em um único
ponto. Isso implica que ∆ = 0 na fórmula de Bhaskara:
∆ = v2 − 4× 0, 25× 25 = 0
v2 = 25
v = 5m/s
O passageiro precisa correr com no mínimo v = 5m/s para poder alcançar o trem.
b) na realidade, o passageiro, carregando bagagem, tem uma velocidade de 4, 0m/s, de modo
que ele não consegue alcançar o trem. Qual é a distância mínima a que ele chega?
Neste item temos a situação do segundo gráfico. Podemos resolver este problema de duas
formas distintas:
Sem usar o cálculo (forma mais esperta)
Notemos que enquanto a velocidade do passageiro for maior que a velocidade do trem o passageiro
está se aproximando do trem. No momento em que o trem atinge a velocidade do passageiro é que
ocorre a distância mínima entre eles. A partir daí o trem apenas se afasta, por ter uma velocidade
maior. Queremos achar portanto o instante t′ em que trem e passageiro têm a mesma velocidade:
vT (t′) = vP (t′)
A velocidade do passageiro é constante vP = 4m/s e a velocidade do trem é simplesmente
vT (t) = 0, 5t. Logo:
0, 5t′ = 4
t′ = 8s
Usando o cálculo (forma mais técnica)
A função distância é dada por:
D (t) = 0, 25t2 − 4t + 25
Para encontrar o mínimo dessa função (o vértice da parábola) nós procuramos o ponto t = t′
em que a reta tangente é horizontal, ou seja, o ponto onde a derivada é nula:
dD (t)
dt
∣∣∣∣∣
t=t′
= 0
0, 25× 2t′ − 4 = 0
t′ = 8s
A distância mínima que o passageiro atinge é D (8) = 9m.
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Exercício 4
Dois automóveis partem simultaneamente de dois marcos A e B, distando 5× 102m, indo um ao
encontro do outro. O automóvel A mantém uma aceleração constante de 2, 0m/s2 até atingir a
velocidade de 20m/s, continuando em movimento uniforme (velocidade constante). O automóvel
B mantém sempre uma aceleração constante de 1, 0m/s2.
a) quanto tempo depois da partida os automóveis se encontrarão?
Podemos dividir o problema em duas partes e resolver pelas equações de movimento ou resolvê-
lo totalmente através da construção de gráficos da velocidade:
Carro A
Carro B
5 10 15 20
t HsL
-20
-10
10
20
v HmsL
A área entre os dois gráficos corresponde à redução na distancia entre os dois automóveis.
Quado esta área for A = ∆x = 500m os dois carros terão se cruzado. Calculamos:
Área do trapézio: (b + B) · h2 =
(t− 10 + t) · 20
2 = 20t− 100
Área do triângulo inferior: b · h2 =
t · (at)
2 =
t2
2
A soma destas duas áreas deve ser:
20t− 100 + t
2
2 = 500
t2
2 + 20t− 600 = 0
Os dois carros se cruzarão no instante t = 20s (o resultado negativo não possui significado
físico).
b) a que distância do marco A se dará o encontro?
Calculando graficamente o deslocamento do carro A temos:
d = (B + b) · h2 =
(20 + 10) · 20
2 = 300m
A distância do marco A ao ponto de cruzamento é d = 300m.
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Exercício 5
Um barco está viajando rio acima no sentido positivo de um eixo x a 14km/h em relação à água
do rio. A água flui a uma velocidade de 9, 0km/h em relação às margens.
a) quais são o módulo e o sentido da velocidade do barco em relação às margens?
Primeiro devemos dar um símbolo para cada quantidade (vetor) que usaremos:
• ~vBR = velocidade do barco em relação ao rio;
• ~vRM = velocidade do rio em relação às margens;
• ~vBM = velocidade do barco em relação às margens.
O barco move-se sobre a água e a água move-se em relação às margens, carregando o barco:
Tomando o eixo orientado na direção "rio acima", a composição das velocidades é dada por:
Quando escolhemos um eixo para representar os vetores podemos reescrever a equação dos
vetores usando apenas os seus módulos:
vBM = vBR − vRM
= 14km/h− 9km/h
vBM = 5km/h
Isso significa que o barco se desloca a 5km/h, rio acima (sentido positivo do eixo).
b) Uma criança caminha no barco da popa (traseira) para a proa (frontal) a 6, 0km/h em
relação ao barco. Quais são o módulo e o sentido da velocidade da criança em relação às margens?
Temos dois novos vetores para nomear:
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• ~vCB = velocidade da criança em relação ao barco;
• ~vCM = velocidade da criança em relação às margens.
Fazendo novamente a composição das velocidades temos:
Como escolhemos o eixo no sentido rio acima podemos trabalhar apenas com os módulos dos
vetores:
vCM = vCB + vBM − vRM
= 6km/h + 14km/h− 9km/h
vCM = 11km/h
Isto é, a criança se move a 11km/h em relação à margem do rio.
Exercício 6
A figura representa o gráfico (a× t) do movimento de uma partícula.
a) de quanto variou a velocidade da partícula nos intervalos (0, 0− 3, 0)s; (0, 0− 4, 0)s; (0, 0−
5, 0)s; (0, 0− 6, 0)s; (1, 0− 7, 0)s?
A variação da velocidade em cada intervalo é dada pela área entre a curva da aceleração e o
eixo t:
• De 0s a 3s
∆v = b · h = 3 · 2 = 6m/s
• De 0s a 4s
∆v = 3 · 2− 3 · (4− 3) = 3m/s
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• De 0s a 5s
∆v = 3 · 2− 3 · (5− 3) = 0m/s
• De 0s a 6s
∆v = 3 · 2− 3 · (5− 3) + 1 · (6− 5) = 1m/s
• De 1s a 7s
∆v = 2 · (3− 1)− 3 · (5− 3) + 1 · (7− 5) = 0m/s
b) supondo-se que v = 0 em t = 0, qual é a velocidade da partícula nos instantes t = 4, 0s e
t = 5, 0s?
A velocidade em um dado instante é a velocidade inicial mais a variação que a velocidade sofre
desde o momento inicial até o dado instante (item anterior):
• Em t = 4s
v (4) = 0 + 3 · 2− 3 = 3m/s
• Em t = 5s
v (5) = 0 + 3 · 2− 3 · 2 = 0m/s
c) supondo-se que x = 0 e v = 0 em t = 0, qual é a posição da partícula nos instantes t = 3, 0s e
t = 5, 0s?
• Em t = 3s
Perceba que a função a (t′) é contínua no intervalo dado, o que permite escrever e resolver a
integral de uma vez só:
x (3) =
ˆ 3
0
ˆ t
0
a (t′) dt′ =
ˆ 3
0
ˆ t
0
2dt′ =
ˆ 3
0
2tdt = 2t
2
2
∣∣∣∣∣
3
0
= 9m
Ainda assim, é mais simples a construção de um gráfico da velocidade e a seguir calcular a
área do gráfico para obter o deslocamento:
0 1 2 3 4 5 6 7
t HsL
1
2
3
4
5
6
7
v HmsL
x (3) = x0 + b·h2 = 0 +
3·6
2 = 9m
• Em t = 5s
Utilizando o gráfico acima calculamos facilmente (área do triângulo maior):
x (5) = x0 + b·h2 = 0 +
5·6
2 = 15md) supondo-se que v = −3, 0m/s em t = 0, qual é velocidade média da partícula nos intervalos
(0, 0− 3, 0)s; (0, 0− 5, 0)s; (3, 0− 7, 0)s?
Neste caso, o gráfico da velocidade plotado anteriormente é apenas deslocado para baixo:
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11
2 4 6 8
t HsL
-3
-2
-1
1
2
3
v HmsL
Para calcularmos a velocidade média precisamos conhecer o deslocamento da partícula nos
intervalos dados:
t = 0s a t = 3s t = 0s a t = 5s t = 3s a t = 7s
2 4 6 8
-3
-2
-1
1
2
3
2 4 6 8
-3
-2
-1
1
2
3
2 4 6 8
-3
-2
-1
1
2
3
v¯ = ∆x∆t =
0
3 = 0m/s v¯ =
∆x
∆t =
0
5 = 0m/s v¯ =
∆x
∆t =
−4
4 = −1m/s
Exercício 7
Duas partículas movem-se ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6t2 +4t+2,
onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = −8t, onde a
está em metros por segundo ao quadrado. Em t0 = 0, a velocidade da partícula 2 é 20m/s.
a) em que instante as duas partículas têm mesma velocidade?
Neste problema a aceleração da partícula não é constante, isto nos obriga a realizar uma
integração4.
Velocidade da partícula 2:
v2 (t)− v2 (0) =
ˆ t
0
a2 (t′) dt′
v2 (t)− 20 =
ˆ t
0
(−8t′) dt′
v2 (t) = 20 +
(
−8t
′2
2
)t
0
= 20− 4t2
4A integral definida é a integral calculada dentro de um intervalo bem especificado e corresponde à variação da
função primitiva neste intervalo. Uma função primitiva v (t) é a que derivamos para obter outra função a (t). A
variação da função primitiva num intervalo [a, b] é a integral definida da função que foi derivada: v (b) − v (a) =´ b
a
a (t′)dt′. No exercício, perceba que t′ é a variável de integração e percorre o intervalo que vai de 0 até t.
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Velocidade da partícula 15:
v1 (t) =
dx1 (t)
dt
= 12t + 4
Plotando estas duas velocidades como funções do tempo temos:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t HsL
5
10
15
20
25
30
v HmsL
O que queremos saber agora é em qual instante particular t′ temos v1 (t′) = v2 (t′)6, ou seja,
onde os gráficos se cruzam:
12t′ + 4 = 20− 4t′2
4t′2 + 12t′ − 16 = 0
E resolvendo obtemos t′ = 1s, pois a outra raiz, negativa, não é válida neste problema.
b) que velocidade é essa?
Podemos calcular v1 (1) ou v2 (1). Calcularemos v1 (1) que é mais simples:
v1 (1) = 12 · 1 + 4 = 16m/s
v1 (1) = v2 (1) = 16m/s
5A derivada é calculada em um tempo específico t, a ser decidido posteriormente (variável). A notação mais
completa seria v (t) = dx(t
′)
dt′
∣∣∣∣
t′=t
, representando que a derivada da função x (t′) está sendo calculada no ponto t.
Como há pouca chance de confusão, encurtamos a notação para facilitar o entendimento.
6Note que v1 (t) = v2 (t) não é válido para qualquer t. Por esta razão deixamos claro que queremos encontrar
um valor único t′ que satisfaz esta igualdade. Aqui t′ é uma incógnita e t é uma variável que representa todo o
eixo dos tempos.
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Exercício 8 (extra)
Uma partícula move-se ao longo do deixo x. No instante t = 0, sua posição é x = 0. A figura
mostra como varia a velocidade v da partícula em função do tempo.
a) qual é o valor de x em t = 1, 0s?
Em um gráfico da velocidade×tempo, o deslocamento é numericamente igual à área entre a
curva e o eixo dos tempos (integral da velocidade no tempo). Esta área está pintada de azul no
gráfico abaixo:
Portanto, em t = 1s a partícula está localizada em:
x (2) = x0 + ∆x = 0 + 6m = 6m
b) qual é a aceleração emt = 2, 0s?
Como ao redor de t = 2s o gráfico da velocidade é uma reta, a aceleração é constante e é
a inclinação dessa reta (derivada = coeficiente angular):
a (2) = ∆v∆t =
v (3)− v (1)
(3)− (1) =
(−6)− (6)
3− 1 = −6m/s
2
c) qual é o valor de x em t = 4, 0s?
O deslocamento total entre t = 0s e t = 4s é nulo, pois a partícula avança e retrocede ao
mesmo ponto. Notamos isso pelo gráfico da velocidade: O trapézio acima do eixo t tem a mesma
área que o trapézio abaixo do eixo t. A posição da partícula neste instante é x (4) = 0m.
d) qual é a velocidade escalar média entre t = 0 e t = 3, 0s?
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14
Para calcular a velocidade escalar média precisamos considerar cada centímetro percorrido
pela partícula. Entre t = 0s e t = 2s a partícula avança 9m e entre t = 2s e t = 3s a partícula
retrocede 3m. O deslocamento total foi apenas 6m mas o espaço total percorrido foi 12m. Para
o cálculo da velocidade escalar média usamos o espaço total percorrido:
v¯escalar =
12m
3s = 4m/s
e) qual é a velocidade média entre t = 0 e t = 3, 0s?
Para o cálculo da velocidade média usamos apenas o deslocamento total:
v¯ = 6m3s = 2m/s
Exercício 9 (extra)
A velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 8t − 7, onde v está em metros por segundo e t
em segundos.
a) calcule a aceleração média no intervalo 3 ≤ t ≤ 4s;
A aceleração média é obtida a partir da velocidade calculada nos dois extremos do intervalo,
não importando o que ocorre no meio tempo:
a¯ = v (4)− v (3)4− 3 =
25− 17
1 = 8m/s
2
b) determine a expressão para a(t) e faça os gráficos de v(t) e a(t);
A aceleração instantânea a (t) é a taxa de variação de v no instante t, ou seja, é a derivada de
v calculada em t:
a (t) = dv (t)dt = 8m/s
2
Gráfico da aceleração Gráfico da velocidade
0 1 2 3 4 5 6
t HsL
2
4
6
8
10
a Hms2L
78
1 2 3 4 5 6
t HsL
10
20
30
40
v HmsL
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c) calcule x(t) (posição da partícula em função do tempo) por integração e use este resultado
para determinar seu deslocamento durante o intervalo t = 2s até t = 6s. Qual a velocidade média
neste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de x(t).
Somando cada pequeno deslocamento v (t′) dt′ dado em cada minúsculo intervalo de tempo dt′
obtemos o deslocamento total no intervalo dado. Esta soma de infinitos termos infinitesimais é o
que chamamos de integral definida em um intervalo:
x (t)− x (0) =
ˆ t
0
v (t′) dt′
=
ˆ t
0
(8t′ − 7) dt′
= 8t
2
2 − 7t
x (t) = x0 − 7t + 4t2
Como a posição inicial x0 não é informada no problema vamos adotar x0 = 0 para plotarmos
um gráfico da posição da partícula7:
D
es
lo
ca
m
en
to
D
x
=
10
0m
1 2 3 4 5 6
t HsL
20
40
60
80
100
x HmL
x (t) = −7t + 4t2
Cálculo do Deslocamento
Entre t = 2s e t = 6s temos:
7Perceba que não é necessário adotar um valor para x0. Quando calculamos o deslocamento, automaticamente
x0 se cancela e desaparece das contas.
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∆x = x (6)− x (2)
= −7 · (6) + 4 · (6)2 −
[
−7 · (2) + 4 (2)2
]
= 100m
Velocidade Média no intervalo
Valores médios são calculados usando apenas os extremos do intervalo:
v¯ = ∆x∆t =
x (6)− x (2)
6− 2 =
100
4 = 25m/s
d) qual a distância d percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 2s?
A distância percorrida no intervalo deve ser calculada com cuidado pois a partícula vai e volta.
Quando v = 0 a partícula inverte o seu movimento, isto ocorre no instante:
v (t′) = 0
8t′ − 7 = 0
t′ = 78s
Somando o espaço percorrido pela partícula tanto na hora em que ela retrocede quanto na
hora em que ela avança (SOMA das duas áreas) temos:
d = b1 · h12 +
b2 · h2
2 =
1
2
(9
8 · 9
)
+ 12
(7
8 · 7
)
= 6516 = 8, 125m
Exercício 10 (extra)
Um trem de 350m de comprimento começa a mover-se em linhareta com aceleração constante
a = 3 × 10−2m/s2. Trinta segundos (t1 = 30s) após a partida, a luz dianteira do trem é acesa
(evento 1) e 60s (t2 = 60s) após o evento 1 a luz traseira do trem é ligada (evento 2).
a) encontre a distância entre estes dois eventos vistos por um observador:
i) dentro do trem;
Para um observador que se move junto com o trem a distancia entre os eventos é o próprio
comprimento do trem, d = 350m.
ii) parado do lado de fora, junto aos trilhos.
O gráfico da velocidade do trem como função do tempo seria:
20 40 60 80 100
t HsL
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
v HmsL
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E o valor numérico da área pintada corresponde à distância percorrida pelo trem entre os
instantes 30s e 90s. O valor desta área é a área do trapézio:
D = A = (B + b)h2 =
(2, 7 + 0, 9) (90− 30)
2 = 108m
b) qual deve ser a velocidade (constante), em relação ao solo, de um carro viajando paralela-
mente ao trem, para que o motorista veja as duas lâmpadas acenderem exatamente ao seu lado
(numa linha perpendicular ao trem)?
Para que o motorista veja as duas lâmpadas se acenderem ao seu lado, o carro precisa sair do
ponto onde a luz dianteira acendeu e percorrer a distância marcada por um ponto de interrogação
até onde a luz traseira do trem se acende, isto em exatamente 60s. A distância a ser percorrida é
x = 350m− 108m = 242m e o deslocamento deve ser no sentido negativo do eixo, ou seja:
vcarro =
−242
60 = −4, 03m/s
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