Lei de Planck

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Lei 
de 
Planck 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL 
DO 
RIO 
GRANDE 
DO 
SUL. 
Instituto 
de 
F��sica. 
Departamento 
de 
F��sica. 
F��sica 
do 
S�eculo 
XXA 
(FIS1056). 
Prof. 
C�esar 
Augusto 
Zen 
Vasconcellos. 
Lista 
3 
(Site: 
www.cesarzen.com) 
T�opicos. 
Lei 
de 
Stefan1 
. 
Lei 
do 
Deslocamento 
de 
Wien2 
. 
Distribui�c~ao 
Espectral 
de 
Corpo 
Negro: 
Lei 
de 
Rayleigh3 
(John 
William 
Strutt) 
(Inglaterra, 
1842-1919) 
e 
James 
Hopwood 
Jeans 
(Inglaterra, 
1877-1946); 
Lei 
de 
Planck4 
(Alemanha, 
1858-1947). 
Lei 
de 
Stefan 
Jo�zef 
Stefan 
descobriu, 
em 
1879, 
uma 
rela�c~ao 
emp��rica 
para 
descrever 
a 
radia�c~ao 
emitida 
por 
um 
corpo 
negro: 
RT 
= 
�T 
4 
(1) 
onde 
RT 
representa 
a 
pot^encia 
irradiada 
por 
unidade 
de 
�area5 
, 
T 
a 
temperatura 
de 
irra
1Jo�zef 
Stefan, 
Eslovenia, 
1835 
-1893. 
2Wilhelm 
Carl 
Werner 
Otto 
Fritz 
Franz 
Wien 
(Alemanha, 
1864 
-1928) 
recebeu 
o 
Pr^emio 
Nobel 
de 
F��sica 
em 
1911 
por 
seus 
estudos 
no 
campo 
da 
radia�c~ao 
t�ermica. 
3Lord 
Rayleigh 
descobriu, 
juntamente 
com 
William 
Ramsay, 
o 
elemento 
Arg 
^
Onio 
e 
recebeu 
por 
esta 
descoberta 
o 
Pr^emio 
Nobel 
em 
F��sica 
de 
1904. 
4Max 
Karl 
Ernst 
Ludwig 
Planck 
�e 
conhecido 
como 
o 
fundador 
da 
Mec 
^Antica, 
Planck 
Recebeu 
o 
Anica 
Qu 
^
Pr^emio 
Nobel 
de 
F��sica 
em 
1918. 
5Em 
f��sica, 
o 
termo 
pot^encia 
(P 
= 
dE/dt) 
de�ne 
a 
varia�c~ao 
da 
energia 
por 
unidade 
de 
tempo. 
Neste 
sentido, 
assim 
como 
a 
varia�c~ao 
da 
posi�c~ao 
de 
um 
corpo 
com 
o 
tempo 
caracteriza 
sua 
rapidez 
no 
espa�co-tempo, 
RT 
caracteriza 
a 
varia�c~ao 
da 
densidade 
super�cial 
de 
dia�c~ao, 
e 
. 
�e 
uma 
constante 
(constante 
de 
Stefan), 
sendo 
. 
=5, 
6705 
× 
10..8W=m2K4 
. 
A 
rela�c~ao 
(1), 
hoje 
conhecida 
como 
Lei 
de 
Stefan-Boltzmann6 
, 
estabelece 
que 
a 
energia 
total 
irradiada, 
por 
unidade 
de 
�area 
super�cial 
e 
por 
unidade 
de 
tempo, 
por 
um 
corpo 
negro, 
�e 
diretamente 
proporcional 
�a 
quarta 
pot^encia 
da 
sua 
temperatura 
termodin^amica 
T 
. 
De 
acordo 
com 
esta 
lei, 
a 
pot^encia 
por 
unidade 
de 
�depende 
apenas 
de 
sua 
tempe
area 
ratura 
e 
independe, 
portanto, 
de 
sua 
composi
�c~ao. 
Resultados 
experimentais 
demons-
tram 
que, 
da 
mesma 
forma 
que 
a 
pot^encia 
total 
irradiada 
por 
um 
corpo 
negro 
depende 
apenas 
de 
sua 
temperatura, 
a 
distribui�c~ao 
espectral 
da 
radia�c~ao 
RT 
(�) 
(ou, 
de 
maneira 
equivalente, 
RT 
(�)) 
emitida 
por 
um 
corpo 
negro 
tamb�em 
depende, 
apenas, 
de 
sua 
temperatura. 
Usando 
a 
representa�c~ao 
matem�atica 
equivalente 
u(�, 
T 
) 
=RT 
(�), 
ou 
ainda 
na 
forma 
u(�), 
a 
�gura 
(1) 
apresenta, 
em 
fun�c~ao 
de 
energia 
irradiada 
no 
espa�co 
de 
energia-tempo, 
ou 
seja 
a 
\rapidez"com 
que 
energia 
por 
unidade 
de 
�area 
�e 
emitida 
pelo 
corpo 
negro. 
Ao 
multiplicarmos 
por 
2 
a 
temperatura 
do 
corpo, 
a 
energia 
irradiada 
por 
unidade 
de 
tempo 
�e 
multiplicada, 
devido 
a 
dependencia 
T 
4, 
por 
16. 
Os 
corpos 
n~ao-negros 
irradiam 
energia 
por 
unidade 
de 
�
area 
com 
uma 
taxa 
menor 
do 
que 
um 
corpo 
negro. 
No 
caso 
de 
um 
corpo 
n~ao-negro, 
a 
lei 
de 
Stefan 
�ca 
dada 
por 
RT 
= 
.sT 
4 
onde 
o 
fator 
., 
chamado 
de 
emissividade, 
n~ao 
depende 
da 
temperatura 
do 
corpo 
e 
obedece 
de 
maneira 
geral 
a 
rela�c~ao 
. 
. 
1; 
o 
fator 
. 
�e 
igual 
a 
1 
para 
um 
corpo 
negro 
e 
menor 
do 
que 
1 
para 
outros 
corpos. 
6Ludwig 
Eduard 
Boltzmann 
(Austria, 
1844 
-1906) 
foi 
um 
f��sico 
que 
se 
tornou 
conhecido 
por 
seus 
estudos 
nos 
campos 
da 
mec^anica 
estat��stica 
e 
da 
termodin^amica 
estat��stica. 
1 
�
2 
�, 
´ 
de 
= 
= 
= 
= 
e 
�
Figura 
1: 
Espectro 
de 
radia�c~ao 
de 
corpo 
negro. 
Lei 
do 
Deslocamento 
de 
Wien 
O 
comportamento 
das 
curvas 
na 
�gura 
(1) 
que 
representa 
a 
distribui�c~ao 
espectral 
da 
radia�c~ao 
de 
corpo 
negro 
mostra 
que 
o 
comprimento 
de 
onda 
e 
a 
frequ^encia 
para 
o 
qual 
a 
intensidade 
da 
radia�c~ao 
emitida 
tem 
valores 
m�aximos 
varia 
inversamente 
com 
a 
temperatura, 
ou 
seja 
1 
c 
. 
R 
max 
~ 
= 
, 
(3) 
T 
T. 
R 
max 
T 
pois 
�. 
= 
c, 
de 
forma 
que 
�max�max 
= 
c 
e 
consequentemente 
o 
produto 
entre 
a 
frequ^encia 
espectral, 
correspondente 
ao 
valor 
m�aximo 
de 
RT 
(�) 
e 
o 
correspondente 
comprimento 
de 
7No 
estudo 
da 
radia�c~ao 
de 
corpo 
negro, 
a 
distribui
�c~ao 
espectral 
caracteriza 
o 
comportamento 
da 
fun�c~ao 
RT 
(.), 
ou 
seja, 
caracteriza 
a 
pot^encia 
emitida 
por 
unidade 
de 
�area 
na 
regi~ao 
de 
emissividade 
do 
corpo 
negro 
correspondente 
ao 
comprimento 
de 
onda 
.. 
�
onda 
da 
radia�c~��
ao 
e 
igual 
a 
velocidade 
da 
luz, 
c. 
Por 
outro 
lado, 
os 
dados 
experimentais 
mostram 
que 
o 
produto 
entre 
�max 
e 
T 
obedece 
�a 
rela�c~ao 
. 
R 
max 
T 
= 
CW 
, 
(4) 
T 
onde 
CW 
representa 
uma 
constante. 
Este 
resultado 
�e 
conhecido 
como 
lei 
do 
deslocamento 
de 
Wien 
e 
foi 
obtida 
por 
Wilhem 
Jan 
Wien 
em 
1893. 
O 
valor 
experimental 
da 
constante 
acima 
(chamada 
de 
constante 
de 
dispers~ao 
de 
Wien) 
�e 
CW 
=2, 
898 
× 
10..3mK. 
Uma 
consequ^encia 
da 
lei 
de 
Wien 
�e 
que, 
quanto 
maior 
a 
temperatura 
de 
um 
corpo 
negro, 
menor 
�e 
o 
comprimento 
de 
onda 
no 
qual 
ele 
emite8 
. 
Equa�c~ao 
de 
Rayleigh-Jeans 
Uma 
importante 
contribui�c~ao 
no 
estudo 
do 
espectro 
de 
corpo 
negro 
foi 
dada 
por 
Rayleigh 
e 
Jeans 
em 
1905. 
Desejavam 
os 
autores 
deste 
trabalho 
memor�avel, 
que 
resultou 
na 
lei 
de 
Rayleigh 
e 
Jeans, 
determinar 
a 
fun�c~ao 
de 
distribui
�c~ao 
espectral, 
R(�), 
para 
um 
corpo 
negro. 
A 
determina�c~ao 
desta 
fun�c~ao 
envolve 
o 
c�alculo 
da 
densidade 
de 
energia 
das 
ondas 
eletromagn
�eticas 
con�nadas 
no 
interior 
de 
uma 
cavidade. 
Consideremos 
para 
tal 
uma 
cavidade 
esf�erica 
com 
raio 
L, 
com 
uma 
pequena 
abertura 
para 
o 
exterior. 
A 
probabilidade 
de 
que 
um 
raio 
de 
luz 
penetre 
na 
cavidade 
e 
torne 
a 
sair 
sem 
ser 
absorvido 
�e 
pequena 
no 
caso 
em 
que 
as 
dimens~
oes 
do 
orif��cio 
sejam 
expressivamente 
me8
Por 
exemplo, 
a 
temperatura 
da 
fotosfera 
solar 
�e 
de 
5780 
oF 
e 
o 
pico 
de 
emiss~ao 
se 
produz 
a 
475nm. 
Como 
1�m, 
resulta 
que 
o 
m�ao
A 
= 
10..10 
aximo 
de 
emiss~
a 
A.
ocorre 
�4750�Como 
o 
espectro 
vis��vel 
se 
extende 
desde 
aproximadamente 
4000�A 
at�e 
aproximadamente 
7400�A, 
este 
comprimento 
de 
onda 
est�a 
dentro 
do 
espectro 
vis��vel 
e 
corresponde 
a 
um 
tom 
de 
verde. 
Entretanto, 
devido 
a 
dispers~ao 
de 
Rayleigh 
da 
luz 
azul 
pela 
atmosfera, 
o 
componente 
azul 
se 
separa 
distribuindo-se 
pela 
ab�obada 
celeste 
e 
o 
Sol 
aparece 
na 
cor 
amarela. 
�
F´
das 
freq
= 
A 
solu�
nula 
viola�c~�
solu�c~
= 
onde 
nx
Figura 
2: 
Grid 
de 
solu�c~oes. 
Cr�editos: 
http://electrons.wikidot.com/term-papers 
fornece 
()2 
()2 
()2 
()2
nx�ny�nz. 
2. 
+ 
+ 
=(7)
L 
L 
L. 
equa�c~ao 
esta 
que 
pode 
ser 
sintetizada 
na 
forma 
4L2 
222 
n 
+ 
n 
+ 
n 
= 
. 
(8)
xyz 
�2 
´ 
E 
importante 
notar 
que, 
embora 
as 
grandezas 
nx, 
ny 
e 
nz 
representem 
individualmente 
n�umeros 
inteiros, 
a 
combina�c~ao 
destas 
grandezas 
na 
forma 
expressa 
pela 
equa�c~ao 
acima 
n~ao 
corresponde 
a 
um 
n�umero 
inteiro. 
Quantos 
modos 
de 
oscila�c~ao 
estacion�arios, 
que 
satisfazem 
a 
condi�c~ao 
(8), 
podem 
existir 
na 
cavidade? 
Esta 
pergunta 
�e 
equivalente 
a 
realizar 
as 
perguntas: 
a) 
quantas 
ondas 
estacion
�arias 
distintas 
cabem 
no 
interior 
da 
cavidade 
de 
corpo 
negro? 
Ou 
ent~ao: 
b) 
quantas 
s~ao 
as 
combina�c~oes 
poss��veis 
dos 
distintos 
valores 
das 
grandezas 
nx, 
ny 
e 
nz? 
Ou 
ainda: 
c) 
quantas 
solu�c~oes 
da 
equa�c~ao 
(6) 
existem 
no 
interior 
da 
cavidade? 
A 
resposta 
a 
esta 
indaga�c~ao 
�e 
equivalente 
�a 
contagem 
de 
todas 
as 
combina�c~oes 
dos 
n�umeros 
inteiros 
nx, 
ny 
e 
nz 
que 
satisfazem 
a 
equa�c~ao 
(8). 
Para 
determinar 
a 
quantidade 
de 
solu�c~oes 
poss��veis, 
Rayleigh 
e 
Jeans 
conceberam 
um 
espa�co 
tridimensional 
com 
eixos 
ortogonais 
1, 
2 
e 
3 
e 
trataram 
o 
n�umero 
de 
combina
�c~oes 
poss��veis 
das 
grandezas 
nx, 
ny 
e 
nz, 
de 
uma 
forma 
aproximada, 
como 
sendo 
o 
volume 
de 
um 
grid 
tridimensional 
constru��do 
usando 
os 
distintos 
valores 
poss��veis 
destas 
grandezas. 
Usando 
ent~ao 
a 
express~ao 
matem�atica 
para 
o 
volume 
V 
de 
uma 
esfera 
de 
raio 
R 
4. 
V 
= 
R3 
, 
(9)
3 
e 
de�nindo 
o 
raio 
da 
esfera, 
n, 
correspondente 
ao 
volume 
de 
solu�c~oes 
no 
espa�co 
subtendido 
pelos 
eixos 
1, 
2 
e 
3 
na 
forma 
n2 
= 
n2 
+ 
n2 
+ 
n2 
xyz 
Rayleigh 
e 
Jeans 
obtiveram 
ent~ao 
o 
volume 
de 
solu�c~oes: 
()3=2
4. 
4�
3 
222
Vn 
=
3 
n 
=
3 
nx 
+ 
ny 
+ 
nz. 
(10) 
Esta 
express~ao 
apresenta 
dois 
problemas. 
O 
primeiro 
diz 
respeito 
ao 
fato 
da 
utiliza�c~ao 
de 
uma 
esfera 
como 
prot�otipo 
volum�etrico 
do 
espa�co 
de 
solu�c~oes 
correspondentes 
ao 
grid 
subtendido 
pelos 
eixos 
1, 
2 
e 
3: 
enquanto 
as 
solu�c~oes 
da 
equa�c~ao 
de 
onda 
correspondem 
apenas 
a 
valores 
positivos 
das 
grandezas 
nx, 
ny 
�
4 
C�esar 
A. 
Zen 
Vasconcellos. 
Departamento 
de 
F��sica 
(IF-UFRGS). 
e 
nz, 
o 
m�odulo 
considerado 
pelos 
autores 
contempla 
tamb�em 
valores 
negativos 
destas 
grandezas. 
E 
como 
a 
esfera 
de 
valores 
destas 
grandezas 
cont�em 
8 
quadrantes, 
7 
destes 
quadrantes 
n~ao 
s~ao 
�sicamente 
aceit�aveis. 
Por 
esta 
raz~ao, 
o 
resultado 
obtido 
na 
express~ao 
(10) 
deve 
ser 
dividido 
pelo 
n�umero 
8. 
O 
segundo 
problema 
diz 
respeito 
ao 
fato 
de 
que 
as 
ondas 
eletromagn�eticas 
con�nadas 
na 
cavidade 
podem 
ser 
polarizadas 
em 
duas 
dire�c~oes 
ortogonais. 
Portanto 
o 
resultado 
acima 
deve 
ser 
multiplicado 
por 
2. 
Ap�os 
estas 
corre�c~oes, 
o 
resultado 
acima 
pode 
ser 
reescrito 
na 
forma 
24�. 
()3=2
3 
222
Vn 
= 
× 
n 
= 
nx 
+ 
ny 
+ 
n 
.N 
;
z
83 
3 
(11) 
e 
pode 
ser 
tomado 
como 
uma 
medida 
do 
n�umero 
de 
modos 
das 
solu�c~oes 
das 
ondas 
eletromagn
�eticas 
estacion�arias 
con�nadas 
no 
interior 
da 
cavidade, 
N 
. 
Na 
realidade 
esta 
quantidade, 
como 
citamos 
anteriormente, 
�e 
uma 
aproxima�c~ao, 
mas 
seu 
grau 
de 
validade 
�e 
expressivo, 
ainda 
mais 
quando 
consideramos 
uma 
cavidade 
cujas 
dimens~oes 
s~ao 
muito 
maiores 
do 
que 
o 
comprimento 
das 
ondas 
eletromagn�eticas 
correspondentes. 
Combinando 
esta 
equa�c~ao 
com 
a 
express~ao 
(8) 
obtemos 
ent~ao 
para 
o 
n�umero 
de 
modos: 
()3=2 
()3=2 
�. 
4L2 
222
N 
= 
n 
+ 
n 
+ 
n 
= 
xyz�2
33 
(12) 
ou 
ainda 
()
8�L3 
N 
= 
(13)
3�3 
Quantos 
modos 
por 
unidade 
de 
comprimento 
de 
onda 
existem? 
Ap�os 
determinarmos 
o 
n�umero 
absoluto 
de 
ondas 
estacion�arias 
(solu�c~oes) 
contidas 
na 
cavidade, 
consideramos 
a 
seguir 
o 
n�umero 
de 
ondas 
estacion�arias 
(solu�c~oes) 
por 
unidade 
de 
comprimento 
de 
onda. 
Esta 
grandeza 
pode 
ser 
obtida 
por 
meio 
da 
express~ao 
[][]
dN 
d 
8�L3 
8�L3 
== 
- 
. 
(14)
d. 
d. 
3�3 
�4 
O 
sinal 
negativo 
nesta 
express~ao 
indica 
que 
o 
n�umero 
de 
modos 
decresce 
com 
o 
crescimento 
do 
comprimento 
de 
onda. 
O 
passo 
seguinte 
�e 
a 
obten�c~ao 
do 
n�umero 
de 
modos 
por 
unidade 
de 
volume 
por 
unidade 
de 
comprimento 
de 
onda 
M. 
1 
dN 
8. 
M. 
= 
|| 
= 
. 
(15)
L3 
d. 
�4 
Note-se 
que 
o 
resultado 
obtido 
independe 
do 
volume 
da 
cavidade, 
dependendo 
por�em 
somente 
do 
comprimento 
de 
onda 
da 
radia�c~ao. 
A 
pergunta 
seguinte 
realizada 
por 
Rayleigh 
e 
Jeans 
foi: 
qual 
a 
quantidade 
de 
energia 
contida 
na 
cavidade? 
Para 
responder 
esta 
pergunta 
foi 
utilizado 
o 
Princ��pio 
da 
Equiparti�c~ao 
da 
Energia9 
onde 
cada 
onda 
estacion�aria 
tem 
energia 
igual 
a 
kBT 
. 
Portanto, 
N 
ondas 
tem 
energia 
total 
E 
= 
N 
kBT 
(16) 
e 
densidade 
de 
energia 
E 
N 
kBT 
DT 
== 
|| 
(17)
L3 
L3 
a 
quantidade 
de 
energia 
na 
cavidade 
por 
unidade 
de 
volume 
e 
por 
unidade 
de 
comprimento 
9O 
Teorema 
ou 
Princ��pio 
da 
Equiparti�c~ao 
da 
Energia 
estabelece 
que 
cada 
modo 
de 
oscila�c~ao, 
em 
equil��brio 
no 
interior 
da 
cavidade, 
tem 
energia 
m�edia 
kBT/2, 
onde 
kB 
�e 
a 
constante 
de 
Boltzmann; 
como 
s~ao 
considerados 
dois 
modos 
de 
oscila�c~ao 
por 
onda 
estacion�aria, 
cada 
uma 
delas 
tem 
energia 
m�edia 
kBT 
. 
Este 
resultado 
pode 
ser 
obtido 
por 
meio 
do 
c�alculo 
da 
energia 
m�edia 
utilizando-se 
a 
f�ormula 
de 
distribui�c~ao 
cl�assica 
de 
Boltzmann 
que 
�e 
adequada 
para 
a 
descri�c~ao 
de
. 
. 
EPB 
(E)dE 
�.0
vari�aveis 
cont��nuas 
E 
= 
. 
= 
kB 
T, 
onde 
PB(E)dE 
0 
..E=kBT
PB 
(E)= 
e 
. 
Portanto 
Rayleigh 
e 
Jeans 
consideraram 
que 
todas 
as 
ondas 
da 
cavidade 
tem 
a 
mesma 
energia 
t�ermica. 
�
F��sica 
do 
S�eculo 
XXA. 
Lista 
3: 
Lei 
de 
Planck. 
de 
onda 
�e 
dada 
por 
d 
1 
dE 
kBTdN 
8�kBT 
DT 
== 
|| 
= 
;
d. 
L3 
d. 
L3 
d. 
�4 
(18) 
que 
pode 
ser 
escrita 
na 
forma 
.. 
. 
8�kBT 
DT 
= 
dDT 
= 
dDT 
(�)d. 
= 
d�;
�4 
(19) 
onde 
DT 
(�) 
�e 
dado 
pelo 
produto 
entre 
o 
n�umero 
de 
modos 
por 
unidade 
de 
volume 
por 
unidade 
de 
comprimento 
de 
onda, 
M�, 
e 
a 
energia 
m�edia 
das 
ondas 
eletromagn�eticas, 
kBT 
, 
8�kBT
�
DT 
(�)= 
EM. 
= 
, 
(20)
�4 
Esta 
�e 
a 
famosa 
lei 
de 
Rayleigh-Jeans. 
Tendo 
em 
vista 
que 
M. 
tamb�em 
pode 
ser 
escrito 
na 
forma 
8. 
8��2 
= 
= 
(21)
M. 
3
�4 
c
a 
lei 
Rayleigh-Jeans
pode 
tamb�em 
ser 
escrita 
como 
8��2 
DT 
(�)= 
kBT. 
(22)
3
c
Este 
resultado 
leva 
�a 
cat�astrofe 
dos 
ultravioletas 
pois 
para 
. 
. 
0, 
uma 
vez 
que 
�. 
= 
c, 
ent~ao 
. 
.8 
e 
obtemos, 
neste 
caso, 
da 
express~
ao 
(22), 
DT 
(�) 
.8. 
Este 
resultado, 
como 
a�rmamos 
anteriormente, 
n~ao 
�e 
�sicamente 
plaus��vel. 
A 
Lei 
de 
Planck 
Em 
1901, 
Planck 
enunciou 
uma 
lei 
que 
superava 
as 
limita�c~oes 
da 
lei 
de 
Rayleigh-Jeans. 
Ele 
percebeu 
que 
a 
lei 
cl�assica 
da 
radia�c~ao 
de 
corpo 
negro 
dava 
resultados 
satisfat�orios 
para 
baixas 
frequ^encias 
(longos 
comprimentos 
de 
onda) 
e 
que 
para 
ajustar 
os 
dados 
experimentais 
da 
fun�c~ao 
distribui�c~ao 
de 
densidade 
de 
energia 
de 
um 
corpo 
negro, 
a 
energia 
m�edia 
das 
ondas 
estacion�arias, 
ao 
inv�es 
de 
ser 
uma 
constante, 
kBT 
, 
como 
determina 
a 
teoria 
cl�assica, 
deveria 
depender 
do 
comprimento 
de 
onda 
ou, 
equivalentemente, 
da 
frequ^encia. 
E, 
ao 
inv�es 
de 
supor 
que 
esta 
energia 
era 
descrita 
por 
uma 
vari�avel 
cont��nua10, 
ele 
sup^os 
um 
conceito 
de 
dif��cil 
aceita�c~ao 
a��epoca, 
que 
a 
energia 
destas 
ondas 
era 
descrita 
por 
uma 
vari�avel 
discreta, 
ou 
seja, 
uma 
vari�avel 
que 
poderia 
assumir 
os 
valores: 
En 
=0, 
h�, 
2h�, 
3h�, 
:::, 
nh�, 
(23) 
onde 
En 
representa 
a 
energia 
de 
cada 
onda 
e 
n 
�e 
um 
n�umero 
inteiro, 
introduzindo 
assim 
a 
constante 
h, 
hoje 
conhecida 
como 
constante 
de 
Planck. 
E 
para 
calcular 
a 
energia 
m�edia 
das 
ondas 
estacion�arias 
na 
cavidade, 
Planck 
reescreveu 
a 
fun�c~ao 
de 
distribui�c~ao 
cl�assica 
de 
Boltzmann11 
(ver 
express~ao 
(9)), 
adequada 
para 
a 
descri�c~ao 
de 
vari�aveis 
cont��nuas, 
na 
forma 
(distribui�c~ao 
de 
Planck) 
..nh�=kBT
P 
(En) 
= 
exp..En=kB 
T 
= 
exp 
(24) 
de 
modo 
que 
a 
energia 
m�edia 
das 
ondas 
esta-
Figura 
3: 
Distribui�c~ao 
Estat��stica 
de 
Planck. 
Distribui�c~ao 
Estat��stica 
de 
Planck. 
Cr�editos: 
http://astro1.panet.utoledo.edu/ 
cion�arias 
�e 
dada 
agora 
pela 
express~ao 
S. 
P 
(En)
n=0 
En
E�
= 
S. 
. 
(25)
)
n=0 
P 
(En
10O 
espectro 
de 
radia�c~ao 
de 
corpo 
negro 
�e 
cont��nuo. 
Por 
isto 
os 
f��sicos 
a��epoca 
n~ao 
podiam 
conceber 
que 
as 
energias 
das 
ondas 
eletromagn�eticas 
con�nadas 
na 
cavidade 
n~ao 
fossem 
tamb�em 
descritas 
por 
vari�aveis 
cont��nuas. 
11Tamb�em 
conhecida 
como 
lei 
de 
distribui�c~ao 
estat
��stica 
de 
Maxwell-Boltzmann. 
�
6 
C�esar 
A. 
Zen 
Vasconcellos. 
Departamento 
de 
F��sica 
(IF-UFRGS). 
Esta 
suposi�c~ao 
implica 
em 
que 
os 
modos 
mais 
altos 
de 
frequ^encia 
seriam 
menos 
populados 
de 
modo 
a 
evitar 
a 
cat�astrofe 
dos 
ultravioletas 
da 
Lei 
de 
Rayleigh-Jeans. 
A 
soma 
acima 
tem 
como 
resultado 
h. 
hc=�
�
E 
= 
= 
(26)
h�=kBT 
-1 
hc=kB 
T. 
-1
expexp
ou 
seja, 
a 
energia 
m�edia 
depende 
agora 
da 
frequ^encia 
de 
oscila�c~ao. 
A 
f�ormula 
de 
Planck 
�e 
obtida 
por 
meio 
da 
combina�c~ao 
das 
express~oes 
(21), 
(22) 
e 
(26), 
substituindo-se 
portanto 
na 
express~ao 
abaixo 
8�E�
8��2E�
�
DT 
(�)= 
EM. 
== 
, 
(27)
�4 
c3 
a 
energia 
m�edia 
cl�assica 
kBT 
por 
h. 
hc=�
E�
= 
= 
h�=kBT 
-1 
hc=kBT. 
-1
expexp
obtendo-se 
ent~ao 
8�h�3=c3 
DT 
(�)= 
, 
(28)
h�=kBT 
-1
expe 
8�hc 
1 
DT 
(�)= 
. 
(29)
hc=kBT. 
-1
�5 
expEsta 
�e 
a 
Lei 
de 
Planck, 
que 
reproduz 
�elmente 
os 
resultados 
experimentais 
correspondentes 
�a 
distribui�c~ao 
espectral 
da 
densidade 
de 
energia 
de 
um 
corpo 
negro. 
Problemas 
1. 
Se 
supusermos 
que 
as 
superf��cies 
estelares 
se 
comportam 
como 
um 
corpo 
negro, 
podemos 
obter 
uma 
boa 
estimativa 
de 
suas 
temperaturas 
medindo-se 
�max. 
Para 
o 
sol, 
. 
R 
max 
A, 
enquanto 
que 
= 
5100�
T 
para 
a 
estrela 
do 
norte 
(estrela 
polar), 
. 
R 
max 
= 
3500�a) 
Determine, 
A. 
usando 
T 
a 
Lei 
de 
Wien, 
as 
temperaturas 
das 
superf
��cies 
destas 
estrelas. 
b) 
Usando 
a 
lei 
de 
Stefan-Boltzmann 
e 
as 
temperaturas 
obtidas 
no 
caso 
anterior, 
determine 
a 
pot^encia 
irradiada 
por 
1cm2 
da 
superf��cie 
estelar. 
Solu�c~oes: 
a) 
TSol 
= 
5700oK, 
TEN 
= 
8300oK; 
b) 
RT;Sol 
= 
6000W=cm2 
, 
RT;EN 
= 
27000W=cm2 
. 
2. 
Suponha 
dois 
pequenos 
corpos 
opacos 
separados 
por 
uma 
grande 
dist^ancia, 
sustentados 
por 
�os 
em 
um 
grande 
recipiente, 
onde 
se 
faz 
v�acuo, 
e 
cujas 
paredes 
s~ao 
opacas 
e 
mantidas 
a 
temperatura 
constante. 
Neste 
caso, 
os 
corpos 
e 
as 
paredes 
podem 
trocar 
energia 
atrav�es 
de 
radia�c~ao. 
Seja 
e 
a 
taxa 
de 
emiss~ao 
e 
a 
a 
taxa 
de 
absor�c~ao 
de 
energia. 
Mostre 
que, 
no 
equil��brio: 
e1=a1 
= 
e2=a2 
= 
1. 
3. 
A 
lei 
cl�assica 
de 
equiparti�c~ao 
de 
energia 
preve 
que 
cada 
onda 
estacion�aria 
em 
uma 
cavidade 
tem 
energia 
m�edia 
dada 
por 
E 
= 
kBT 
. 
Usando 
a 
lei 
de 
distribui�c~ao 
de 
..E=kBT
Boltzmann, 
P 
(E) 
= 
exp, 
mostre 
que 
a 
energia 
m�edia 
�e 
. 
. 
�E 
= 
0 
EP 
(E)dE 
. 
. 
0 
P 
(E)dE 
= 
kBT 
. 
4. 
Deduzir 
a 
Lei 
de 
Planck. 
De 
acordo 
com 
a 
Lei 
de 
Planck, 
qual 
�e 
a 
energia 
m�edia 
de 
um 
oscilador 
cuja 
frequ^encia 
�e 
kBT=h? 
Constante 
de 
Planck: 
h 
= 
6, 
626 
× 
10..34 
J:s 
=4, 
136 
× 
10..15 
eV:s. 
Solu�c~ao: 
0, 
582kBT 
. 
Use 
a 
Lei 
de 
Planck 
para 
mostrar 
que 
a 
densidade 
total 
de 
energia 
de 
um 
corpo 
negro 
�e 
proporcional 
a 
T 
4 
como 
a�rma 
a 
lei 
de 
Stefan-
Boltzmann. 
5. 
O 
m�aximo 
da 
densidade 
espectral 
DT 
(�) 
corresponde 
a 
uma 
temperatura 
estelar 
de 
3000oK. 
Se 
a 
pot^encia 
irradiada 
pela 
estrela 
�e 
100 
vezes 
maior 
que 
a 
pot^encia 
irradiada 
pelo 
Sol, 
qual 
�e 
o 
tamanho 
da 
estrela? 
Solu�c~ao: 
37, 
4R.. 
�