5 Circuitos elétricos

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Prof. Neemias Alves de Lima 
Eletromagnetismo 
Circuitos Elétricos 
Escola de Ciência e Tecnologia - UFRN 
7/4/2016 
 
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Circuitos elétricos 
 
Ao estudar este capítulo, você aprenderá: 
 O que é corrente elétrica e como as cargas se movem em um condutor 
 Como calcular a resistência de um condutor a partir de suas dimensões e resistividade 
 Como calcular a resistência equivalente de uma rede de resistores 
 Aplicar as leis de Kirchhoff para circuitos com mais de uma malha 
 Sobre potência de uma bateria e o efeito Joule 
 Como analisar circuitos que tenham resistores e capacitores 
 
Até este momento temos estudado as interações elétricas entre cargas em repouso ou sem 
levar em conta os efeitos que a velocidade de umas cargas produz em outras. Vamos a partir 
de agora estudar o movimento controlado de cargas. Imagine um capacitor carregado. Se 
conectarmos as duas placas do capacitor por um fio condutor, as placas rapidamente ficarão 
neutras, e o capacitor estará descarregado. A carga se moveu de uma placa para a outra. 
Chamamos de corrente elétrica, ou simplesmente corrente, o movimento de cargas. Dois 
fenômenos gerados por uma corrente elétrica podem ser observados: 1) Se o fio for muito fino 
em alguma parte, como acontece no filamento de uma lâmpada, ele aquece a ponto de brilhar; 
2) a corrente pode desviar a agulha de uma bússola se esta estiver próxima do fio. Neste 
capítulo estudaremos o primeiro fenômeno, o segundo ficará para o fim do curso onde 
mostraremos a conexão entre corrente elétrica e o magnetismo. 
 
5.1 Corrente elétrica 
A corrente elétrica caracteriza o fluxo de carga através de um material. Seja ݀ܳ o módulo da 
carga que passa através da superfície da seção transversal � no tempo ݀ݐ. A corrente elétrica é 
a taxa com que a carga passa por essa superfície: ܫ = ݀ܳ݀ݐ ሺͷ.ͳሻ 
A unidade SI de corrente elétrica, em homenagem ao físico francês 
André-Marie Ampère, é o ampère (A), igual a 1 coulomb por segundo: 1 
A = 1 C/s. André-MarieAmpère, Figura 1, foi um dos pioneiros da 
pesquisa dos fenômenos associados à corrente elétrica e muitas outras 
descobertas nos campos da Física. 
A corrente elétrica é uma grandeza escalar, mas é comum falarmos da 
direção da corrente. No início da história da eletricidade definiu-se o 
 
Figura 1: André-
Marie Ampère 
(1775-1836) 
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sentido da corrente elétrica como sendo o sentido do fluxo de cargas positivas. Naquele tempo 
nada se conhecia sobre a estrutura dos átomos. Não se imaginava que em condutores sólidos 
as cargas positivas estavam fortemente ligadas aos núcleos atômicos e, portanto, não podia 
haver fluxo macroscópico de cargas positivas em condutores sólidos. No entanto, quando a 
física atômica estabeleceu esse fato, o conceito anterior já estava arraigado e era amplamente 
utilizado em cálculos e representações para análise de circuitos. Esse sentido continua a ser 
utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido convencional da corrente. Em qualquer tipo 
de condutor, este sentido convencional da corrente é o sentido do campo elétrico estabelecido 
no condutor e, portanto, é contrário ao fluxo resultante dos elétrons. 
Para descrever o fluxo de carga em um ponto do condutor utilizamos a densidade de corrente ⃗ܬ, que tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que constituem a 
corrente se as cargas forem positivas e a mesma direção e o sentido oposto se as cargas forem 
negativas. Para cada elemento da seção reta, o módulo ܬ da densidade de corrente é igual à 
corrente divida pela área do elemento. Podemos escrever a corrente que atravessa o elemento 
de área como ⃗ܬ ∙ ݀�⃗, onde ݀�⃗ é o vetor área do elemento, perpendicular ao elemento. 
A corrente total que atravessa a superfície é, portanto, ܫ = ∫ ⃗ܬ ∙ ݀�⃗ ሺͷ.ʹሻ 
De acordo com esta equação, a unidade de densidade de corrente no SI é o ampère por metro 
quadrado (A/mଶ). 
Se a corrente é uniforme em toda a superfície e paralela a ݀�⃗, ⃗ܬ também é uniforme 
e paralela a ݀�⃗. Nesse caso, a Eq. (5.2) se torna ܫ = ܬ� 
donde ܬ = ܫ� 
em que � é a área total da superfície. 
Com que velocidade média os elétrons se movem em um condutor para uma dada corrente ܫ? 
Considere um fio condutor com área de seção transversal � conduzindo uma corrente ܫ, 
conforme mostrado na Figura 2. As cargas se movem através da região sombreada a uma 
velocidade média �௤ e, a qualquer tempo, a carga resultante em movimento na região é ∆ܳ. 
Essa carga pode ser expressa em termos da densidade volumétrica ݊ de elétrons livres no fio, 
do volume ∆ܸ = �∆� da região e da unidade fundamental de carga elétrica ݁: 
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∆ܳ = ݊∆ܸ݁ = ݊�ሺ∆�ሻ݁ 
em que o ݊∆ܸ é igual ao número total de elétrons livres no 
volume ∆ܸ, e ݁ é a carga dos portadores. As definições de 
corrente e de velocidade são ∆ܳ/∆ݐ e ∆�/∆ݐ, respectivamente. 
Se dividirmos a equação anterior pelo tempo ∆ݐ, obtemos Figura 2 ∆∆ܳݐ = ݊� ∆�∆ݐ ݁ 
logo ܫ = ݁݊��௤ ሺͷ.͵ሻ 
Nota-se, assim, que a corrente elétrica está relacionada com a velocidade média dos elétrons 
livres, com a área da seção transversal do fio que conduz a corrente, e com a densidade ݊ 
elétrons livres do material. Assim, respondendo a pergunta que motivou estes cálculos, temos 
que a velocidade média dos elétrons livres é �௤ = ܫ݁݊� ሺͷ.Ͷሻ 
Esta equação é uma expressão compacta, e mostra que a velocidade média �௤ depende dos 
parâmetros que descrevem a corrente e do fio que a conduz. Mas quantos “m/s” é a 
velocidade dos elétrons em um fio quando você liga um interruptor para acender uma 
lâmpada? Será esta velocidade alta ou baixa? Considere uma corrente de 10 A passando por 
um fio de bitola 12, cujo raio é de aproximadamente 1 mm. Como um átomo de cobre possui 
apenas um elétron livre, o número de elétrons por unidade de volume pode ser considerado 
como igual ao número de átomos de cobre por unidade de volume. O número de átomos por 
unidade de volume do cobre é ݊ = ͺ × ͳͲଶ଼ átomos/݉ଷ. Assim, sendo ݁ = ͳ,͸ × ͳͲ−ଵଽ C, e � = ߨݎଶ = ߨ × ͳͲ−଺ ݉ଶ, temos que a velocidade média dos portadores de carga é �௤ = ͳͲሺͳ,͸ × ͳͲ−ଵଽሻሺͺ × ͳͲଶ଼ሻሺߨ × ͳͲ−଺ሻ = ʹ,͵ × ͳͲ−ସ ݉/ݏ 
Nessa velocidade o tempo necessário para os elétrons percorrerem um trajeto de 10 metros 
entre o interruptor da lâmpada da sala é ݐ = �݀௤ = ͳͲʹ,͵ × ͳͲ−ସ = Ͷ,͵ × ͳͲସ ݏ ≈ ͳʹ h 
Como os elétrons estão sujeitos a frequentes colisões com átomos do fio condutor, e como 
suas trajetórias não são retas, o movimento de cada elétron individual é relativamente lento. 
Porém, como todos os elétrons no fio começam a se mover praticamente ao mesmo tempo, 
quando cada elétron se move, as variações do campo elétrico se propagam a uma velocidade 
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próxima à da luz! Assim é gasto um tempo muito pequeno, e não horas, para a lâmpada se 
acender após o interruptor ser acionado. 
 
5.2 Resistência e a lei de Ohm 
Quando se aplica uma diferença de potencial (ddp) ܸ entre dois pontos de um fio condutor 
uma corrente ܫ surge no fio. A diferença de potencial necessária para produzir uma 
determinada corrente depende de uma propriedade do condutor que é chamada resistência, 
que é a oposição oferecida pelo condutor ao fluxo de carga. A resistência ܴ é definida por ܴ = ܸܫ ሺͷ.ͷሻ 
ou seja, a resistênciaentre dois pontos de um condutor é a razão da diferença de potencial 
entre os dois pontos pela corrente que passa pela região. 
A designação resistência é apropriada para uma determinada seção de um condutor, é uma 
medida da oposição naquela seção ao fluxo de carga. Como ܴ = ܸ/ܫ (ou ܫ = ܸ/ܴ), uma 
resistência maior produzirá uma corrente menor. Costuma-se introduzir uma resistência em 
um circuito para controlar a corrente. O elemento de circuito utilizado 
para tal finalidade é o resistor, que em diagramas de circuitos é 
representado pelo símbolo da Figura 3. 
 
Figura 3 
Para muitos condutores, a corrente em uma seção do condutor é diretamente proporcional à 
diferença de potencial através da seção, de modo que a resistência é independente de ܸ (ou ܫ). 
Neste caso podemos escrever ܸ = ܴܫ ሺͷ.͸ሻ 
Esta equação é chamada de lei de Ohm, em homenagem ao físico 
alemão George Simon Ohm que a descobriu em 1827. A unidade SI 
da resistência é o ohm (Ω): 1 Ω = 1 V/A. 
Embora nos referimos à lei de Ohm como “lei”, ela não é um 
enunciado fundamental da natureza, é apenas uma expressão 
empírica que descreve com precisão o comportamento de muitos 
 
Figura 4: George Simon 
Ohm (1789-1854) 
materiais numa faixa de valores de ܸ tipicamente encontrados em circuitos elétricos. 
Os resistores que obedecem a Lei de Ohm são chamados ôhmicos, e os que não obedecem são 
não-ôhmicos. Quando um resistor é ôhmico ele é caracterizado por um valor de resistência, 
indicado geralmente em termos de faixas de anéis coloridos. 
 
5.3 Resistividade e sua dependência com a temperatura 
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A resistência de uma seção de condutor depende de suas dimensões, forma geométrica e do 
material de que ele é feito. Consideremos uma seção de condutor com comprimento ܮ e área 
de seção transversal uniforme �. Aplicando-se uma diferença de potencial ܸ através da seção, 
uma corrente ܫ passa por ela. Se aplicarmos a mesma diferença de potencial ܸ através de uma 
seção de condutor que tenha o dobro do comprimento do primeiro, mas que seja igual em 
todos os outros aspectos, constata-se que a nova corrente é a metade de seu valor original, de 
modo que a resistência duplicou. Este resultado indica que a resistência é proporcional ao 
comprimento de uma seção. Aplicando-se agora a mesma diferença de potencial através de 
uma seção de um condutor que tem o dobro da área de seção do condutor inicial, mas que seja 
igual em todos os outros aspectos, temos que a corrente será o dobro do valor anterior, de 
modo que a resistência se reduziu à metade. Isso mostra que a resistência é inversamente 
proporcional a área da seção. A dependência da resistência em relação ao material é 
representada por um fator de proporcionalidade chamado de resistividade. Assim, para um 
condutor de comprimento ܮ, área � e resistividade ߩ, sua resistência é ܴ = ߩܮ� ሺͷ.͹ሻ 
A Tabela 5.1 dá a resistividade de alguns condutores típicos. 
 
Tabela 5.1: Resistividade de alguns metais (ʹͲ௢C) 
Material Resistividade, ߩ ሺͳͲ−଼�. ݉ሻ 
Prata 1,6 
Cobre 1,7 
Alumínio 2,8 
Tungstênio 5,5 
Ferro 10 
Platina 100 
Chumbo 22 
 
Exemplo 5.1: Um fio de 100 m de comprimento possui raio de 1,0 mm e uma resistência de 13 Ω. O 
fio é esticado até um comprimento de 1000 m. Determine a resistência do fio após ser esticado. 
Solução: A resistência de um pedaço de fio depende da resistividade do material do qual ele é 
fabricado, bem como de seu comprimento e da área de sua seção transversal. O enunciado do 
problema não menciona nem o material e nem a resistividade, porém, como a resistividade é uma 
característica do material específico, ela não será alterada quando fio for esticado. Podemos obter a 
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resistividade ߩ do fio a partir dos dados do comprimento, raio e resistência do fio em seu comprimento 
inicial (i), pois: ܴ� = ߩܮ��� 
logo ߩ = ܴ���ܮ� = ܴ�ߨݎ�ଶܮ� = ͳ͵[ߨሺͲ,ͷ × ͳͲ−ଷሻଶ]ͳͲͲ = ͳͲ,ʹ × ͳͲ−଼ Ω. m 
Pela Tabela 5.1 o material do fio é ferro. Com o valor da resistividade podemos agora determinar a 
resistência final (f) do fio esticado, mas antes precisamos calcular a área da seção transversal do fio 
esticado. 
Para que a quantidade de material não se altere, o volume total do fio continuará o mesmo durante o 
esticamento, temos então que o volume final (f) do fio será igual ao volume inicial (i): �௙ܮ௙ = ��ܮ� 
donde �௙ = ��ܮ�ܮ௙ = [ߨሺͲ,ͷ × ͳͲ−ଷሻଶ]ͳͲͲͳͲͲͲ = ͹,ͺͷ × ͳͲ−଼ mଶ 
Com os valores da resistividade, comprimento ܮ௙ e a área �௙ podemos agora determinar a resistência 
final (f) do fio: 
௙ܴ = ߩܮ௙�௙ = ሺͳͲ,ʹ × ͳͲ−଼ ሻͳͲͲͲ͹,ͺͷ × ͳͲ−଼ = ͳ͵ͲͲ Ω 
Logo, a resistência do fio após ser esticado é 100 vezes maior que a resistência original. 
 
A resistividade de muitos metais puros varia quase linearmente com a temperatura para um 
grande intervalo de temperaturas, tal que podemos escrever ߩ = ߩ଴[ͳ + �ሺܶ − ଴ܶሻ] ሺͷ.ͺሻ 
onde ߩ é a resistividade à temperatura ܶ, ߩ଴ é a resistividade à temperatura de referência ଴ܶ e � é chamado coeficiente de temperatura da resistividade. Para temperaturas abaixo de 20º K ሺ−ʹͷ͵௢C) a dependência da resistividade de metais em relação à temperatura afasta-se 
sensivelmente desta linearidade e passa a depender fortemente de pequenas quantidades 
impurezas. Com algumas ligas metálicas acontece ainda outro fenômeno notável quando são 
resfriados a temperaturas tão baixas. A resistividade desaparece totalmente a partir de uma 
temperatura crítica. Esse fenômeno foi descoberto em 1911 por Heike Kamerlingh Onnes 
(1853-1926) e é chamado de supercondutividade. Hoje, a supercondutividade constitui uma 
área ativa de pesquisa na física e tem importância crescente na engenharia. 
 
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Exemplo 5.2: Um fio de metal é usado frequentemente como um termômetro e a propriedade 
termoelétrica que é medida é a resistência do fio. A platina é em geral usada para esse fim. Suponha 
que meçamos a resistência de um termômetro de platina, encontrando 107,9 Ω à temperatura de 20º C. 
Em seguida, quando o termômetro é imerso em um líquido em ebulição, sua resistência é de 139,3 Ω. 
Estime a temperatura do líquido em ebulição. O coeficiente de temperatura de resistividade da platina 
é ͵,ͻ͵ × ͳͲ−ଷ ܭ−ଵ. 
Solução: A resistência do fio em função da temperatura é ܴ = ܴ଴[ͳ + �ሺܶ − ଴ܶሻ] 
onde ܴ = ͳ͵ͻ,͵ Ω a na temperatura ܶ de ebulição do líquido, ܴ଴ = ͳͲ͹,ͻ Ω na temperatura ଴ܶ =ʹͲ௢ C = ʹͻ͵ K e � = ͵,ͻ͵ × ͳͲ−ଷ K−ଵ. Resolvendo para ܶ, vem: ܶ = ଴ܶ + ܴ/ܴ଴ − ͳ� = ʹͻ͵ + ͳ͵ͻ,͵/ͳͲ͹,ͻ − ͳ͵,ͻ͵ × ͳͲ−ଷ = ͵͸͹ K = ͻͶ௢ C 
 
5.4 Resistores em série e em paralelo 
Os circuitos elétricos em geral contêm combinações de resistores. O conceito de resistência 
equivalente de uma combinação de resistores é útil para determinar a corrente em várias 
ramificações de um circuito. A resistência equivalente a uma combinação de resistores é a 
resistência de um resistor que usado em lugar da combinação transportaria a mesma corrente 
que a combinação quando tem a mesma diferença de potencial através dele. Em forma de 
equação, ܴ௘௤ = ܸܫ 
ou ܸ = ܴ௘௤ܫ ሺͷ.ͻሻ 
onde ܴ௘௤ é a resistência equivalente da combinação, ܸ é a diferença de potencial através da 
combinação e ܫ é a corrente que entra na combinação (e sai dela). 
 
Resistores em Série 
A Figura 5 mostra dois resistores com resistências ܴଵ e ܴଶ ligados 
em série. Os segmentos retilíneos de ligação indica um fio de 
resistência desprezível. Mostra-se também a variação do potencial ao 
longo da direção que corresponde ao sentido da corrente. Note que a 
diferença de potencial ܸ através da combinação de resistores é igual Figura 5 
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à soma das diferenças de potencial através de cada resistor: ܸ = ଵܸ + ଶܸ. Como estão em 
série, existe uma mesma corrente ܫ passando em cada resistor de modo que ଵܸ = ܴଵܫ e ଶܸ = ܴଶܫ. Portanto ܸ = ܴଵܫ + ܴଶܫ = ሺܴଵ + ܴଶሻܫ 
Assim, a resistência equivalente ܴ௘௤ é ܴ௘௤ = ܴଵ + ܴଶ ሺͷ.ͳͲሻ 
Um único resistor com resistência ܴ௘௤ pode substituir esses dois e manter o mesmo efeito 
externo. 
Da mesma forma, para vários resistores ligados em série, ܴ௘௤ = ∑ ܴ�� ሺͷ.ͳͳሻ 
 
Resistores em Paralelo 
A Figura 6 mostra dois resistores com resistências ܴଵ e ܴଶ ligados 
em paralelo. Note que a diferença de potencial ܸ deve ser a mesma 
para cada trecho, pois eles começam e terminam nos mesmos 
pontos a e b, respectivamente. Ou seja, ଵܸ = ܴଵܫଵ = ଶܸ = ܴଶܫଶ =ܸ. Como não há acumulação de carga nos pontos a ou b, chamados 
de nós, a corrente ܫ é igual à soma das correntes ܫଵ e ܫଶ nos 
resistores 1 e 2, 
 
Figura 6 ܫ = ܫଵ + ܫଶ 
Como ܫ = ܸ/ܴ௘௤, ܫଵ = ܸ/ܴଵ e ܫଶ = ܸ/ܴଶ, temos ܸܴ௘௤ = ܸܴଵ + ܸܴଶ 
Portanto a resistência equivalente ܴ௘௤ de dois resistores em paralelo é dado por ͳܴ௘௤ = ͳܴଵ + ͳܴଶ ሺͷ.ͳʹሻ 
ou ܴ௘௤ = ܴଵܴଶܴଵ + ܴଶ ሺͷ.ͳ͵ሻ 
Da mesma forma, para vários resistores ligados em paralelo ͳܴ௘௤ = ∑ ͳܴ�� ሺͷ.ͳͶሻ 
 
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5.5 Fundamentos de circuitos 
Nesta seção descreveremos os princípios físicos fundamentais segundo os quais os circuitos 
elétricos funcionam. Uma boa compreensão desses princípios é essencial para os próximos 
capítulos e para os estudos mais avançados de circuitos elétricos que serão feitos no curso de 
Eletricidade Aplicada. Estudaremos por momento os circuitos nos quais as ddp das baterias 
possuem sempre a mesma polaridade e as correntes do circuito não mudam de sentido. Estes 
são os chamados circuitos de corrente contínua, ou circuitos CC. 
 
Elementos e diagramas de circuitos 
Para compreender o funcionamento de um circuito não precisamos saber se os fios estão 
tortos ou retos, ou se a bateria está à direita ou esquerda do resistor. Um desenho realista de 
um circuito fornece muitos detalhes irrelevantes. Quando analisamos circuitos, é costumeiro 
desenhar uma figura mais abstrata denominada diagrama de circuito. Trata se de uma figura 
lógica do que está conectado com o quê. O circuito real, uma vez que esteja construído, pode 
parecer bastante diferente do diagrama de circuito, mas terá a mesma lógica e conexões. 
Um diagrama de circuito também substitui os 
elementos de circuitos por símbolos. A Figura 7 
mostra os símbolos básicos de que iremos 
precisar. Note que a linha mais longa em uma 
das extremidades do símbolo da bateria 
representa o seu terminal positivo. 
Veja o diagrama de circuito da Figura 8. Note 
como os elementos são legendados. A ddp “�” Figura 7: Símbolos básicos usados em desenhos de circuitos elétricos. 
na bateria, também chamada de força eletromotriz ou fem, é 
mostrada ao lado da bateria, e os símbolos + e −, mesmo que 
redundantes, são mostrados ao lado dos terminais. A resistência ܴ do 
resistor é a capacitância � do capacitor, ou seus valores numéricos, 
são escritas ao lado dos correspondentes a elementos. Os fios, que na 
prática podem ser inclinados e curvados, são linhas retas entre os 
elementos do circuito. Você deve desenhar seus diagramas de 
circuito de uma forma similar. 
As lâmpadas são elementos importantes em muitos circuitos. Como 
 
Figura 8: Diagrama de 
circuito de uma bateria 
ligada em paralelo a um 
resistor e a um capacitor. 
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um fio ou resistor, toda lâmpada tem duas “extremidades”, e a 
corrente atravessa por ela. É útil conceder uma lâmpada como um 
resistor que emite luz quando uma corrente está presente. A Figura 9 
mostra os dois símbolos mais usados para representar uma lâmpada 
incandescente em circuitos. O filamento de uma lâmpada não é feito 
de um material perfeitamente ôhmico, mas sua resistência permanece 
 
Figura 9: Símbolos mais 
usados para uma lâmpada 
em desenhos de circuitos 
elétricos. 
razoavelmente constante para uma grande faixa da tensão ܸ aplicada entre as suas 
extremidades. A resistência de uma lâmpada situa-se tipicamente na faixa de 10 Ω a 500 Ω. 
 
Leis de Kirchhoff 
Analisar um circuito significa determinar a diferença de potencial e a corrente em cada 
componente do circuito, esta análise é baseada nas leis de Kirchhoff. 
Lei dos nós: Como a carga e a corrente são grandezas conservadas, segue que a corrente total 
que chega a um nó é igual à corrente total que sai dele, ou seja, ቀ∑ ܫቁ௘௡௧௥௔ௗ௔ = ቀ∑ ܫቁ௦௔íௗ௔ ሺͷ.ͳͷሻ 
 
Lei das malhas: A força elétrica é uma força conservativa, portanto a ela está associada a 
uma energia potencial. O trabalho realizado pela força elétrica em um caminho fechado é 
portanto nulo pois a respectiva diferença de potencial ∆ܷ = Ͳ é nula ao fim de um caminho 
fechado. Como a diferença de energia potencial é proporcional à diferença de potencial, se 
somarmos as ddp ao redor de uma malha temos ሺ∆ܸሻ௠௔௟ℎ௔ = ∑ሺ∆ܸሻ�� = Ͳ ሺͷ.ͳ͸ሻ 
onde ሺ∆ܸሻ� é a ddp através do i-ésimo componente do circuito da malha. 
Para aplicar esta lei precisamos identificar explicitamente quais ddp são positivas e quais são 
negativas. 
 
Usando a lei de Kirchhoff das malhas 
1. Desenhe o diagrama de circuito correspondente. Denote todas as grandezas, tanto as 
conhecidas como as desconhecidas. 
2. Atribua um sentido qualquer para corrente. Desenhe e denote a seta que representa a 
corrente ܫ para indicar qual foi a sua escolha. 
 Se você conhece a direção real da corrente, escolha essa direção. 
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 Se você não conhece a direção real da corrente, faça uma escolha arbitrária. Caso o 
sinal que obtiver para a corrente for negativo, significará que a direção dela é contrário 
ao que você escolheu. 
3. Percorra o caminho ao longo da malha a partir de qualquer ponto da malha. Quando você 
atravessa cada elemento do circuito, o correspondente ∆ܸ é interpretado de acordo com o 
dispositivo, com a direção do percurso do caminho e o da corrente. 
 Para uma bateria ideal percorrida no sentido que vai do terminal negativo para o 
positivo ∆ ௕ܸ௔௧ = +� ሺͷ.ͳ͹ሻ 
 Para uma bateria ideal percorrida no sentido que vai do terminal positivo para o 
negativo ∆ ௕ܸ௔௧ = −� ሺͷ.ͳͺሻ 
 Para um resistor, quando o sentido do percurso coincidir com o sentido da 
corrente: ∆ ோܸ = −ܫܴ ሺͷ.ͳͻሻ 
 Para um resistor, quando o sentido do percurso for oposto ao sentido da corrente: ∆ ோܸ = ܫܴ ሺͷ.ʹͲሻ 
Para um resistor, a variação ∆ ோܸ = −ܫܴ parece ser oposta à lei de Ohm, mas esta 
lei diz respeito apenas ao módulo da diferença de potencial. A lei de Kirchoff 
requer que reconheçamos que o campo elétrico dentro do resistor diminui no 
sentido da corrente. Assim ∆ ோܸ = −ܫܴ. 
Ainda neste capítulo veremos também sobre os sinais da ddp em capacitores. 
 
Circuito básico 
O circuito elétrico mais básico é aquele formado por um único 
resistor conectado aos terminais de uma bateria. A Figura 10 mostra 
um diagrama deste circuito. Note que este é um circuito completo, 
formando um caminho contínuo entre os terminais da bateria. 
Duas coisas são dignas de nota: 
 
Figura 10 
1. Esse circuito não tem nós, de modo que a corrente ܫ é a mesma em todos os quatro 
lados que formam o circuito, e, portanto, não precisamos aplicar a lei dos nós. 
2. Consideramos um modelo de fio ideal, na qual não ocorrem diferenças de potencial ao 
longo dos fios de conexão. 
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A lei de Kirchhoff das malhas para os dois elementos de circuito é ∆ ௠ܸ௔௟ℎ௔ = ∑ሺ∆ܸሻ�� = ∆ ௕ܸ௔௧ + ∆ ோܸ = Ͳ 
Vamos examinar cada um dos dois termos desta equação: 
1. O potencial aumenta quando atravessamos a bateria no sentido horário ao longo da 
malha. Entramos pelo terminal negativo e, a favor da corrente, saímos pelo terminal 
positivo, do outro lado. É muito comum usar o símbolo “ℇ” para representar uma fonte 
de ddp, ou força eletromotriz (fem), assim ∆ ௕ܸ௔௧ = +� 
2. O valor absoluto da diferença de potencial através do resistor é ∆ ோܸ = ܫܴ, porém a lei 
de Ohm não nos informa se essa variação é positiva ou negativa – e isto é crucial para 
o cálculo. Em um condutor, o potencial elétrico diminui no sentido da corrente, assim ∆ ோܸ = −ܫܴ 
Com essa informação sobre ∆ ௕ܸ௔௧ e ∆ ோܸ, a equação da malha assume a forma � − ܫܴ = Ͳ 
Podemos resolver esta equação para terminar a corrente do circuito, ܫ = �ܴ 
Com este resultado podemos encontrar a ddp no resistor ∆ ோܸ = −ܫܴ = −� 
Tal resultado não deveria substituir uma surpresa. A energia potencial que as cargas ganham 
na bateria e subsequentemente perdem ao passar pelo resistor. 
 
Exemplo 5.3: Analise o circuito mostrado na 
Figura 11 e determine (a) a corrente e (b) a 
diferença de potencial em cada resistor. 
Solução: (a) A Figura 12 apresenta o circuito só 
com os símbolos �ଵ, �ଶ, ܴଵ e ܴଶ. Foi escolhido 
intencionalmente o sentido horário para a corrente, 
que é única por se tratar de apenas uma malha, 
 
Figura 11 
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embora comparando as duas fem esteja claro que o sentido da 
corrente seja anti-horário. 
A lei de Kirchhoff das malhas, aplicada em sentido horário a partir 
do terminal negativo da bateria 1, assume a forma �ଵ − ܫܴଵ − �ଶ − ܫܴଶ = Ͳ 
Podemos resolver essa equação determinar a corrente da malha: ܫ = �ଵ − �ଶܴଵ + ܴଶ = ͸,Ͳ − ͻ,ͲͶ,Ͳ + ʹ,Ͳ = −Ͳ,ͷͲ A Figura 12: Analisando o circuito. 
O valor obtido para ܫ é negativo; portanto, o verdadeiro sentido da corrente no circuito anti-horário. 
Podíamos ter apontado isso logo no início uma vez que a polaridade da fem de 9,0 V empurra a 
corrente neste sentido e não pode ser superada pela fem de 6,0 V que empurra a corrente no sentido 
contrário. 
(b) A diferença de potencial em cada resistor é ோܸభ = ܫܴଵ = Ͳ,ͷͲሺͶሻ = ʹ,Ͳ V ோܸమ = ܫܴଶ = Ͳ,ͷͲሺʹሻ = ͳ,Ͳ V 
 
As baterias reais 
As baterias reais separam cargas e criam uma diferença de 
potencial, entretanto também oferecem uma pequena resistência 
ao movimento das cargas, ou seja, elas apresentam uma 
resistência interna, que simbolizamos por ݎ. As Figuras 13 e 14 
mostram uma bateria ideal e uma bateria real, respectivamente. 
Quem vê de fora a bateria não pode separar � de ݎ. Para o 
usuário, a bateria provê uma diferença de potencial ∆ ௕ܸ௔௧, 
chamada de voltagem nos terminais. No caso de uma bateria ideal ∆ ௕ܸ௔௧ = �, mas a presença de uma resistência interna na bateria 
real afeta ∆ ௕ܸ௔௧. Suponha que a corrente da bateria seja ܫ, uma 
vez que as cargas se movimentam do terminal negativo para o 
positivo elas perdem um potencial ∆ ௥ܸ = −ܫݎ por causa da 
resistência interna. Assim, a voltagem nos terminais da bateria é 
 
Figura 13: Bateria ideal 
 
Figura 14: Bateria real ∆ ௕ܸ௔௧ = � − ܫݎ ሺͷ.ʹͳሻ 
Apenas quando ܫ = Ͳ, o que significa que a bateria não está sendo usada, é que ∆ ௕ܸ௔௧ = �. 
 
 
 
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Curto circuito 
Na Figura 15 conectamos os terminais da bateria por um fio ideal, tal 
que ௙ܴ�௢ = Ͳ �. Quando uma conexão de resistência muito baixa, ou 
nula, é feita entre dois pontos do circuito que são normalmente 
separados por resistência maior, temos o que se chama de curto 
circuito. O fio da Figura 15 está em um curto com a bateria. 
Se a bateria fosse ideal, colocá-la em curto por meio de um fio ideal 
 
Figura 15: Curto 
circuito de uma bateria 
(ܴ = Ͳ �) poderia resultar em ܫ = �/Ͳ = ∞. A corrente não pode realmente tornar-se infinita. 
Em vez disso, a resistência interna ݎ da bateria torna-se a única resistência do circuito. Se 
usarmos ܴ = Ͳ � encontramos que a corrente de curto circuito é ܫ௖௨௥௧௢ = �ݎ ሺͷ.ʹʹሻ 
Na maior parte do tempo uma bateria é usada sob condições nas quais ݎ ≪ ܴ e a resistência 
interna desprezível. O modelo de bateria ideal é completamente justificável nesse caso. 
Assim, consideraremos que as baterias sejam sempre ideais, salvo indicação em contrário. 
Porém mantenha em mente que as baterias (e outras fontes de fem) possuem uma resistência 
interna que limita a corrente da bateria. 
 
5.6 Circuitos resistivos 
Podemos usar as leis de Kirchhoff para analisar uma variedade complexa de circuitos. Nesta 
seção analisaremos apenas circuitos resistivos, ou seja, circuitos compostos apenas por 
baterias e resistores. 
Para resolver circuitos resistivos siga a seguinte estratégia: 
1. Considere que os fios de conexão sejam ideais onde for apropriado, e que as baterias 
também sejam ideais. 
2. Desenhe um diagrama do circuito. Denote todas grandezas conhecidas e 
desconhecidas envolvidas. 
3. Baseia sua análise matemática nas leis de Kirchoff e nas regras dos resistores 
ligados em paralelo e em série. 
3.1 Passo-a-passo, reduza o circuito ao menor número possível de resistores 
equivalentes. 
3.2 Escreva a lei de Kirchhoff das malhas para cada malha independente do circuito. 
3.3 Determine a corrente a diferença de potencial em todos os resistores 
equivalentes. 
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3.4 Reconstrua o circuito usando o fato de que a corrente é a mesma através de 
todos os resistores ligados em série e de que a diferença de potencial é a mesma 
através de todos os resistores em paralelo. 
4. Faça duas verificações importantes à medida que você reconstrói o circuito. 
4.1 Verifique se a soma das diferenças de potencial através dos resistores em série 
corresponde à ∆ܸ através do resistor equivalente. 
4.2 Verifique que a soma das correntes nos resistores ligados em paralelo 
corresponde à corrente ܫ no resistor equivalente. 
 
Exemplo 5.4: Determine a corrente é a diferença de 
potencial através de cada resistor do circuito mostrado 
na Figura 16. 
Solução: Consideraremos que a bateria e os fios 
conectores como sendo ideais, ou seja, com 
resistência zero. Em circuitos puramente resistivos 
com uma única bateria, a melhor estratégia é reduzir a 
 
Figura 16 
combinação de resistores a um resistor equivalente. A Figura 17 mostra essa redução em três etapas, 
 
Figura 17 
onde os cálculos das resistências equivalentes em cada etapa são ܴ௘௤,ଵ = ͸ͲͲሺͶͲͲሻ͸ͲͲ + ͶͲͲ = ʹͶͲ Ω 
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ܴ௘௤,ଶ = ͷ͸Ͳ + ʹͶͲ = ͺͲͲ Ω ܴ௘௤,ଷ = ͺͲͲሺͺͲͲሻͺͲͲ + ͺͲͲ = ͺͲͲʹ = ͶͲͲ Ω 
Para calcular a corrente elétrica em cada resistor fazemos o caminho inverso ao que fizemos para obter 
a resistência equivalente, Figura 18. A corrente total que sai da bateria é ܫ = �ܴ = ͳʹͶͲͲ VΩ = Ͳ,Ͳ͵Ͳ A = ͵Ͳ mA 
Conhecendo-se ܫ, e os valores das resistências por onde passam as correntes ܫଵ e ܫଶ, Figura 18, onde ܫ = ܫଵ + ܫଶ 
 temos ܫଵ = ܫଶ = ͳʹͺͲͲ �ܸ = Ͳ,Ͳͳͷ A = ͳͷ mA 
Para calcular as correntes ܫଷ e ܫସ precisamos da ddp ଷܸ = ସܸ que está nos resistores de ͸ͲͲ Ω e ͶͲͲ Ω. 
Como a soma desta diferença de potencial ( ଷܸ) com a diferença de potencial ଶܸ no resistor de ͷ͸Ͳ Ω é 
igual a 12 V, ଷܸ + ଶܸ = ͳʹ, vêm que 
 
Figura 18 
 ଷܸ = ͳʹ − ͷ͸ͲሺͲ,Ͳͳͷሻ = ͵,͸ V 
Assim: ܫଷ = ͵,͸͸ͲͲ �ܸ = Ͳ,ͲͲ͸Ͳ A = ͸,Ͳ mA ܫସ = ͵,͸ͶͲͲ �ܸ = Ͳ,ͲͲͻͲ A = ͻ,Ͳ mA 
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Verifiqueque ܫଷ + ܫସ = ܫଶ. Desta forma obtemos o valor da corrente e a ddp em cada resistor. 
 
Exemplo 5.5: Determine a corrente e a diferença de 
potencial no resistor de 100 Ω no circuito da Figura 19. 
Solução: Note que neste circuito não temos nenhum dos 
resistores conectados em série ou em paralelo, de modo 
que ele não pode ser reduzido a um circuito mais 
simples. Você pode perguntar: “mas o resistor de 200 Ω 
não está em paralelo com o de 100 Ω?” Sim, está, mas 
não podemos reduzir estes dois resistores a um resistor 
equivalente de 66,7 Ω porque temos uma bateria de 
 
Figura 19 
12 V ligada em série ao resistor de 100 Ω. Este é um circuito de duas malhas independentes, portanto 
para resolvê-lo vamos aplicar as leis de Kirchhoff dos nós e das malhas para cada malha. 
A Figura ao lado mostra o circuito redesenhado e 
a definição, em sentido horário, do percurso que 
seguiremos para calcular a soma das diferenças 
de potenciais em cada malha. Também definimos 
os sentidos das correntes que passam em cada 
resistor. 
Se aplicarmos a lei de Kirchhoff dos nós temos ܫ = ܫଵ + ܫଶ ሺͳሻ 
Figura 20 
A lei de Kirchhoff das malhas para a malha esquerda, percorrendo no sentido horário a partir do canto 
inferior esquerdo, é ʹͶ − ͵ͲͲܫ − ͳͲͲܫଵ − ͳʹ = Ͳ −͵ͲͲܫ − ͳͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺʹሻ 
A lei das malhas aplicada para a malha direita, percorrendo no sentido horário a partir do canto 
superior direito, é −ʹͲͲܫଶ + ͳʹ + ͳͲͲܫଵ = Ͳ ሺ͵ሻ 
Portanto, para determinar as correntes precisamos resolver o sistema de equações: { ܫ = ܫଵ + ܫଶ ሺͳሻ−͵ͲͲܫ − ͳͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺʹሻ−ʹͲͲܫଶ + ͳͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺ͵ሻ 
Substituindo (1) em (2): −͵ͲͲሺܫଵ + ܫଶሻ − ͳͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ 
Logo {−͵ͲͲܫଶ − ͶͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺͶሻ−ʹͲͲܫଶ + ͳͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺ͵ሻ 
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Multiplicando a equação (3) por 4, para que tenhamos na equação (3) o termo ͶͲͲܫଵ, temos: {−͵ͲͲܫଶ − ͶͲͲܫଵ + ͳʹ = Ͳ ሺͶሻ−ͺͲͲܫଶ + ͶͲͲܫଵ + Ͷͺ = Ͳ ሺͷሻ 
Veja que agora podemos obter ܫଶ somando (4) com (3): {−ͳͳͲͲܫଶ + ͸Ͳ = Ͳ ሺ͸ሻ 
Solução: ܫଶ = ͸ͲͳͳͲͲ � = Ͳ,ͲͷͶͷͷ � = ͷͶ,͸ mA 
Substituindo este valor em (4) obtemos ܫଵ ܫଵ = −͵ͲͲܫଶ + ͳʹͶͲͲ = −͵ͲͲሺ͸Ͳ/ͳͳͲͲሻ + ͳʹͶͲͲ = −Ͳ,ͲͳͲͻͳ � = −ͳͲ,ͻ mA 
O fato do sinal desta corrente ser negativa significa que o sentido dela no circuito (Figura 20) é 
contrário ao que desenhamos, ou seja, de baixo para cima. 
Enfim, substituindo os valores de ܫଵ e ܫଶ na equação (1) obteremos a corrente ܫ que passa pelo resistor 
de 300 Ω: ܫ = −Ͳ,ͲͳͲͻͳ + Ͳ,ͲͷͶͷͷ = Ͳ,ͲͶ͵͸Ͷ � = Ͷ͵,͸ mA 
A diferença de potencial ∆ ோܸ em cada resistor, calculado no sentido da corrente que passa pelo resistor 
na Figura 20, é ∆ ଷܸ଴଴ = −͵ͲͲܫ = −͵ͲͲሺͲ,ͲͶ͵͸Ͷሻ = −ͳ͵,ͳ V ∆ ଵܸ଴଴ = −ͳͲͲܫଵ = −ͳͲͲሺͲ,ͲͳͲͻͳሻ = −ͳ,ͳ V ∆ ଶܸ଴଴ = −ʹͲͲܫଶ = −ʹͲͲሺͲ,ͲͷͶͷͷሻ = −ͳͲ,ͻ V 
É importante verificar a consistência das respostas. Note que as três “pernas” do circuito estão em 
paralelo, então devem estar sob a mesma diferença de potencial. A perna esquerda está sob ∆ܸ = ʹͶ + ∆ ଷܸ଴଴ = ʹͶ − ͳ͵,ͳ = ͳͲ,ͻ V 
A perna do meio está sob ∆ܸ = ͳʹ + ∆ ଵܸ଴଴ = ͳʹ − ͳ,ͳ = ͳͲ,ͻ V 
e a perna direita: ∆ܸ = −∆ ଶܸ଴଴ = ͳͲ,ͻ V 
 
5.7 Energia e Potência 
Nos circuitos elétricos estamos principalmente interessados na taxa em que a energia é 
fornecida ou extraída de um elemento do circuito. Quando a corrente através do elemento é ܫ, 
então em um intervalo de tempo ݀ݐ uma quantidade de carga ݀ܳ = ܫ݀ݐ passa pelo elemento. 
A variação na energia potencial para essa quantidade de carga é ௔ܸ௕݀ܳ = ௔ܸ௕ܫ݀ݐ, onde ௔ܸ௕ = ௕ܸ − ௔ܸ, com ௔ܸ sendo o potencial no ponto de entrada da corrente no elemento e ௕ܸ o 
potencial no ponto de saída. Dividindo essa expressão por ݀ݐ, obtemos a taxa com que a 
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energia é transferida ou extraída do elemento do circuito. A taxa de transferência de energia é 
a potência, designada pela letra ܲ, portanto ܲ = ௔ܸ௕ܫ ሺͷ.ʹ͵ሻ 
A unidade de ௔ܸ௕ é o volt, ou um joule por coulomb, e a unidade de ܫ é o ampère, ou um 
coulomb por segundo. Portanto, a unidade de ܲ = ௔ܸ௕ܫ é o watt (W), joule por segundo, 
como era de se esperar: [ܲ] = VሺAሻ = JC (Cs) = Js = W 
Vamos considerar a seguir alguns casos especiais. 
 
Potência dissipada por uma resistência pura 
Quando o elemento do circuito for um resistor, a diferença de potencial será dada por ௔ܸ௕ = − ܫܴ, já que em um resistor a corrente entra pelo ponto “ܽ” de potencial maior e sai no 
ponto “ܾ” de potencial menor. De acordo com a Equação (5.23), a energia elétrica que o 
resistor dissipa por unidade de tempo é ܲ = ௔ܸ௕ܫ = −ܫଶܴ = − ௔ܸ௕ଶܴ ሺͷ.ʹͶሻ 
Esta expressão representa a taxa de transferência de energia potencial elétrica para fora do 
circuito através do elemento resistivo. 
Qual é o destino dessa energia? As cargas que se movem colidem com 
os átomos do resistor e transferem parte da energia para esses átomos, 
fazendo aumentar a energia interna do material. Ou a temperatura do 
resistor aumentará ou haverá um fluxo de calor para fora dele, ou 
ambas as hipóteses ocorrerão. Em qualquer uma dessas hipóteses, 
dizemos que a energia foi dissipada no resistor com uma taxa igual a ܫଶܴ. Este fenômeno foi primeiramente estudado por James Prescott 
Joule em 1840, daí ser chamado de “Efeito Joule”. 
 
Figura 21: James 
Prescott Joule 
(1818-1889) 
Todo resistor possui uma potência máxima, especificando qual é a maior potência que ele 
pode dissipar sem se danificar. Nas aplicações práticas, a especificação da potência máxima é 
uma característica tão importante quanto o valor de sua resistência. Naturalmente, alguns 
dispositivos, tais como aquecedores elétricos, são projetados para ficarem aquecidos e 
transferirem calor para suas vizinhanças. Contudo, quando a potência máxima especificada 
for ultrapassada, até mesmo esses dispositivos poderão se fundir ou explodir. 
 
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Potência de saída de uma fonte, fornecida ao circuito 
Se em um circuito a corrente ܫ está saindo de uma fonte, de força eletromotriz � e resistência 
interna ݎ, pelo ponto de potencial mais elevado (polo positivo), temos que energia está sendo 
fornecida para o circuito externo, e a taxa com a qual ela é fornecida é dada pela Equação 
(5.24): ௦ܲ = ௔ܸ௕ܫ 
onde ௔ܸ௕ = � − ݎܫ 
Assim a potência fornecida pela fonte ao circuito externo, ou potência de saída, é ௦ܲ = �ܫ − ݎܫଶ ሺͷ.ʹͷሻ 
Qual é o significado dos termos �ܫ e ݎܫଶ? A força eletromotriz � é o trabalho por unidade de 
carga realizado sobre as cargas pelas forças não-eletrostáticas que empurram as cargas do 
ponto ܾ até o ponto ܽ na fonte. No intervalo de tempo ݀ݐ, uma carga ݀ܳ = ܫ݀ݐ flui através da 
fonte; o trabalho realizado sobre ela pela força não-eletrostática é dado por �݀ܳ = �ܫ݀ݐ. 
Portanto, �ܫ é a taxa com a qual o trabalho é realizado sobre as cargas que circulam por 
qualquer agente que produza as forças não-eletrostáticas na fonte. Esse termo representa a 
taxa de conversão de energia não-elétrica em energia elétrica no interior da fonte. O termo ܫଶݎ 
é a taxa com a qual a energia elétrica está sendo dissipada na resistência interna da fonte. A 
diferença �ܫ − ݎܫଶ é a potência elétrica líquida da fonte, ou seja, a taxa com a qual a energia 
elétrica é fornecida pela fonte para o circuito externo. 
 
Potência de entrada de uma fonte 
Se em um circuito a corrente ܫ está entrando em uma fonte, de força eletromotriz � e 
resistência interna ݎ, pelo seu potencial mais elevado (polo positivo), temos que energia está 
sendo fornecida para a fonte, e a taxa com a qual ela recebe esta energia é ௘ܲ = ௔ܸ௕ܫ 
com ௔ܸ௕ = −� − ݎܫ 
portanto, ௘ܲ = −ሺ�ܫ + ݎܫଶሻ ሺͷ.ʹ͸ሻ 
Agora, em vez de o trabalho ser realizado pela força não-elétrica da fonte superior, ele está 
sendo realizado sobre o agente que produz a forçanão-eletrostática da fonte. Ocorre na fonte 
superior uma conversão de energia elétrica em energia não-elétrica com uma taxa igual a �ܫ. 
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O termo ݎܫଶ na Equação (5.26) é novamente a taxa com a qual a energia elétrica está sendo 
dissipada na resistência interna da fonte, e a soma �ܫ + ݎܫଶ é a potência elétrica absorvida 
pela fonte. Isso é o que ocorre quando uma bateria recarregável é ligada a um carregador de 
bateria. O carregador fornece energia elétrica para a bateria; parte dessa energia é convertida 
em energia química nos acumuladores, a ser reconvertida posteriormente, e a energia restante 
é dissipada (perdida) na resistência interna, aquecendo a bateria e produzindo um fluxo de 
calor através dela. Você já deve ter notado que, ao carregar a bateria de um telefone celular, 
ela fica quente. 
 
5.8 Circuitos RC 
Até agora, analisamos os circuitos de corrente contínua (CC) na qual a corrente é constante. 
Em circuitos CC com capacitores a corrente é sempre na mesma direção, mas seu valor pode 
variar o tempo. Estudaremos aqui circuitos em que temos um resistor e um capacitor 
conectados em série, o chamado circuito RC. 
 
Carga de capacitor 
A Figura 22 mostra um circuito RC simples em série. 
Vamos supor que o capacitor neste circuito esteja 
inicialmente descarregado. Não há corrente enquanto 
a chave estiver aberta. Se a chave for colocada na 
posição “ܽ” em ݐ = Ͳ (Figura 23), a carga começa a 
fluir, estabelecendo uma corrente no circuito, e o 
capacitor começa a carregar. Note que, durante a 
carga, as cargas não pulam pelas placas do capacitor 
porque a lacuna entre elas representa um circuito 
aberto. Ao invés disso, a carga é transferida entre 
cada placa através dos fios de conexão, por causa do 
campo elétrico estabelecido nos fios pela bateria, até 
que o capacitor esteja totalmente carregado. 
Conforme as placas são carregadas, a diferença 
potencial através do capacitor aumenta. 
 
Figura 22 
 
Figura 23 
 
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O valor da carga máxima nas placas depende da tensão da bateria. Uma vez que a carga 
máxima é atingida. a corrente no circuito é zero, porque a diferença de potencial no capacitor 
é compatível com o fornecido pela bateria. 
Para analisar este circuito quantitativamente, aplicaremos a regra das malhas de Kirchhoff ao 
circuito após a chave ser colocada na posição “a”. O percurso da malha na Figura 23 no 
sentido horário resulta � − ݍ� − ܫܴ = Ͳ ሺͷ.ʹ͹ሻ 
onde ݍ/� é a diferença de potencial no capacitor, e ܫܴ é a diferença de potencial no resistor. 
Utilizamos as convenções de sinais discutidas antes para os sinais em � e ܫܴ. O capacitor é 
percorrido na direção da placa positiva para a negativa, que representa um decréscimo no 
potencial. Portanto, utilizamos um sinal negativo para essa diferença potencial na Equação 
(5.27). Note que ݍ e ܫ são valores instantâneos que dependem do tempo (em oposição aos 
valores de estado estacionário) conforme o capacitor estiver sendo carregado. 
Podemos utilizar a Equação (5.27) para encontrar a corrente inicial no circuito e na carga 
máxima no capacitor. No momento em que a chave é colocada na posição “ܽ” (ݐ = Ͳ), a 
carga no capacitor é zero. A Equação (5.27) mostra que a corrente inicial ܫ଴ no circuito é 
máxima, dada por ܫ଴ = �ܴ ሺͷ.ʹͺሻ 
Nessa hora, a diferença potencial dos terminais da bateria aparece completamente pelo 
resistor. Mais tarde, o capacitor é carregado no seu valor máximo ݍሺݐ → ∞ሻ = ܳ௠௔�, a carga 
deixa de fluir, a corrente no circuito é zero e a diferença de potencial dos terminais da bateria 
aparece completamente pelo capacitor. A substituição de ܫ = Ͳ na Equação (5.27) dá a carga 
máxima no capacitor: ܳ௠௔� = �� ሺͷ.ʹͻሻ 
Para determinar expressões analíticas para a dependência do tempo da carga e a corrente 
devemos resolver a Equação (5.27), uma única equação com duas variáveis ݍ e ܫ. A correme 
em todas as partes do circuito em série deve ser a mesma. Portanto, a corrente na resistência ܴ 
deve ser a mesma que aquela entre cada placa de capacitor e o fio conectado a ele. Essa 
corrente é igual à taxa de variação no tempo da carga nas placas do capacitor. Assim, 
substituímos ܫ = ݀ݍ/݀ݐ na Equação (5.27) e a reposicionamos: ݀ݍ݀ݐ = �ܴ − ܴݍ� 
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Para encontrar uma expressão para ݍ, resolvemos essa equação diferencial separável como 
segue. Primeiro, combine os termos do lado direito: ݀ݍ݀ݐ = �� − ݍܴ� = − ݍ − ��ܴ� 
multiplique essa equação por ݀ݐ e divida por ݍ − ��: ݀ݍݍ − �� = − ݀ݐܴ� 
Integre essa expressão, utilizando q = 0 em t = 0: ∫ ݀ݍݍ − ��௤଴ = − ͳܴ� ∫ ݀ݐ௧଴ ݈݊ (ݍ − ��−�� ) = − ܴݐ� 
A partir da definição do logaritmo natural podemos formular essa expressão como ݍሺݐሻ = ��ሺͳ − ݁− ���ሻ = ܳ௠௔�ሺͳ − ݁−௧/ோ�ሻ ሺͷ.͵Ͳሻ 
Podemos encontrar uma expressão para a corrente de carga ao diferenciar a Equação (5.30) 
com relação ao tempo. Ao utilizar ܫ = ݀ݍ/݀ݐ temos que ܫሺݐሻ = �ܴ ݁−௧/ோ� ሺͷ.͵ͳሻ 
Note que a carga é zero em ݐ = Ͳ e atinge o valor máximo �� com ݐ → ∞. A corrente tem 
seu valor máximo ܫ଴ = �/ܴ em ݐ = Ͳ, e decai exponencialmente a zero com ݐ → ∞. A 
quantidade ܴ� que aparece nos expoentes das Equações 5.30 e 5.31, é chamada constante de 
tempo � do circuito � = ܴ� ሺͷ.͵ʹሻ 
 
Exemplo 5.6: Mostre por análise dimensional que � = ܴ� tem unidade de tempo. 
Solução: Como � = ܴ� tem unidade de tempo, a relação ݐ/ܴ� é sem dimensão, já que deve ser o 
expoente de “݁” nas Equações 5.30 e 5.31. A energia fornecida pela bateria durante o intervalo de 
tempo necessário para carregar totalmente o capacitor é ܳ� = ��ଶ/ʹ. Após o capacitor estar 
totalmente carregado, a energia nele armazenada é ܳ�/ʹ = ��ଶ/ʹ, que é somente metade da saída de 
energia da bateria. 
 
A constante de tempo representa o intervalo de tempo durante o qual a corrente diminui para ͳ/݁ de seu valor inicial; isto é, após o intervalo de tempo �, a corrente diminui para ܫ =ܫ଴/݁ = Ͳ,͵͸ͺܫ଴. Do mesmo modo. em um intervalo de tempo �, a carga aumenta de zero para ��ሺͳ − ݁−ଵሻ = Ͳ,͸͵ʹ��. 
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Exemplo 5.7: Um capacitor de 5,6 μF é carregado por uma bateria de 4,2 V através de um resistor de 
380 Ω. (a) Escreva expressões para a carga no capacitor e para a corrente no circuito como funções do 
tempo. (b) Se a sensibilidade de nossas medidas de corrente é de 1% ܫ଴, então quanto tempo devemos 
esperar para que a corrente seja efetivamente zero? (c) Calcule a energia expendida pela fem da 
bateria, armazenada no capacitor, e dissipada como calor no resistor após completar a carga. 
Solução: (a) A constante de tempo RC do circuito é � = ܴ� = ሺ͵ͺͲሻሺͷ,͸μሻ = ʹ,ͳ ms 
A carga final é ܳ௠௔� = �� = ሺͶ,ʹሻሺͷ,͸μሻ = ʹͶ μ� 
e a corrente inicial é ܫ଴ = �ܴ = Ͷ,ʹ͵ͺͲ = ͳͳ mA 
As expressões para a carga e a corrente são ݍሺݐሻ = ܳ௠௔�ሺͳ − ݁−௧/�ሻ = ሺʹͶ μ�ሻሺͳ − ݁−௧/ሺଶ,ଵ msሻሻ 
e ܫሺݐሻ = ܫ଴ ݁−௧/ோ� = ሺͳͳ mAሻ݁−௧/ሺଶ,ଵ msሻ 
(b) Para achar o tempo necessário para que a corrente caia de ܫ଴ para um certo valor ܫሺݐሻ, 
resolvemos a Equação 5.31 em relação a ݐ: ݐ = � ln ( ܫ଴ܫሺݐሻ) 
Como a sensibilidade de nossas medidas de corrente é ele ͳ%ܫ଴, a corrente é realmente zero 
quando ܫሺݐሻ < Ͳ,Ͳͳܫ଴. O tempo necessário para que a corrente se torne 1% de ܫ଴ é ݐ = ሺʹ,ͳ msሻ ln ( ܫ଴Ͳ,Ͳͳܫ଴) = ሺʹ,ͳ msሻ lnሺͳͲͲሻ = ͳͲ ms 
(c) A energia expendida pela fem da bateria é a soma da energia armazenada no capacitor e dissipada 
no resistor. Eis os cálculos 
�ܷ = ��ଶʹ = ሺͷ,͸μሻሺͶ,ʹሻଶʹ = Ͷͺ μJ ܷோ = ∫ ோܲ݀ݐ∞଴ = ∫ ܴܫଶ݀ݐ∞଴ = ∫ ܴܫ଴ଶ ݁−ଶ௧/ோ�݀ݐ∞଴ = −ܴܫ଴ଶ ܴ�ʹ ݁−ଶ௧/ோ�|଴∞ = ܴ �ଶܴ ܴ�ʹ = ��ଶʹ = Ͷͺ μJ 
Portanto ܷ = �ܷ + ܷோ = ͻͻ μJ 
 
Descarregarum capacitor 
Imagine que o capacitor na Figura 23 esteja completamente carregado com uma carga ܳ଴ em ݐ = Ͳ. Há uma diferença potencial ܳ଴/� nele, e diferença de potencial zero no resistor porque 
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ܫ = Ͳ. Se a chave for colocada agora na posição “b” em ݐ = Ͳ (Figura 24), o capacitor 
começa a descarregar pelo resistor. Em algum tempo ݐ durante a descarga, a corrente no 
circuito é ܫ é a carga no capacitor é ݍ. O circuito na Figura 24 é o mesmo daquele na Figura 
22, exceto pela ausência de bateria. Portanto, eliminamos a fem � da Equação (5.27) para 
obter a equação de malha apropriada para o circuito na Figura 24: − ݍ� − ܫܴ = Ͳ ሺͷ.͵͵ሻ 
Quando substituímos ܫ = ݀ݍ/݀ݐ nesta expressão, ela 
se torna −ܴ ݀ݍ݀ݐ = ݍ� ݀ݍݍ = − ݀ݐܴ� Figura 24 
A integração desta expressão utilizando ݍ = ܳ em ݐ = Ͳ resulta ∫ ݀ݍݍ௤ொబ = − ͳܴ� ∫ ݀ݐ௧଴ ݈݊ ( ܳݍ଴) = − ܴݐ� ݍሺݐሻ = ܳ଴݁−௧/ோ� ሺͷ.͵Ͷሻ 
A diferenciação da Equação (5.34) com relação ao tempo resulta na corrente instantânea 
como função do tempo: ܫሺݐሻ = − ݀ݍ݀ݐ = ܳ଴ܴ� ݁−௧/ோ� ሺͷ.͵ͷሻ 
onde ܳ௠௔�/ܴ� = ܫ଴ é a corrente inicial. O sinal negativo indica que, conforme o capacitor 
descarrega, a direção da corrente é oposta à sua direção quando estava sendo carregado 
(compare as direções de corrente nas Figuras 23 e 24). Tanto a carga no capacitor quanto a 
corrente decaem exponencialmente a uma taxa caracterizada pela constante de tempo � = ܴ�. 
 
5.9 Amperímetros e voltímetros 
Para um elemento de um circuito elétrico, tal como resistor, as duas grandezas de interesse 
são a corrente ܫ e a diferença de potencial ܸ. Estas grandezas são medidas pelo amperímetro e 
voltímetro, respectivamente. 
Para medir a corrente em um elemento do circuito um amperímetro 
é ligado em série com o elemento, de modo que a corrente no 
elemento seja a mesma que a corrente no amperímetro (Figura 25). 
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Um amperímetro contém em geral vários resistores que são utilizados Figura 25 
para variar a escala do medidor de corrente. A escala do amperímetro é selecionada com um 
seletor que coloca um desses resistores em paralelo com o dispositivo detector de corrente. 
Característica importante de qualquer medidor é que sua inserção em um sistema não deve 
alterar significativamente a grandeza a ser medida. Para que um amperímetro tenha efeito 
desprezível sobre a corrente que ele mede, a sua resistência deve ser insignificante em 
comparação com o restante da resistência da ramificação em que foi colocado. Dessa maneira, 
sua presença não alterar significativamente a corrente na ramificação. Um amperímetro ideal 
é aquele cuja resistência é zero. 
Para medir a diferença de potencial através de um elemento, coloca-se 
um voltímetro em paralelo com elemento, de modo que a diferença de 
potencial através do elemento é a mesma que a diferença de potencial 
através do voltímetro (Figura 26). Assim como o amperímetro, o 
voltímetro em geral contém vários resistores que são usados para fixar a 
 
Figura 26 
a escala do medidor. Na realidade, um amperímetro e um voltímetro costumam ser ambos 
incorporados no mesmo instrumento. 
Para que um voltímetro tenha efeito desprezível sobre a diferença de potencial que ele deve 
medir, sua resistência deve ser muito maior do que a resistência do elemento através do qual é 
colocado. Se a resistência do voltímetro na Figura 26 é muito maior do que ܴ, então existirá 
uma pequena corrente no voltímetro e este terá efeito desprezível sobre a diferença de 
potencial através do resistor. Um voltímetro ideal deveria ter resistência infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Atividades 
 
1. A quantidade de carga ݍ (em coulombs) que atravessa uma superfície de área 2,00 cmଶ 
varia com o tempo, de acordo com a equação ݍ = Ͷݐଷ + ͷݐ + ͸, onde ݐ é expresso em 
segundos. (a) Qual é a corrente instantânea através da superfície em ݐ = ͳ,ͲͲ s. (b) Qual é o 
valor da densidade de corrente? 
 
2. Ouro é o metal mais maleável que existe. Por exemplo, um grama de ouro pode ser estirado 
na forma de um fio de ʹ,ͶͲ km de comprimento. A densidade deste material é de ͳͻ,͵ ×ͳͲଷ kg/mଷ, e sua resistividade, ʹ,ͶͶ × ͳͲ−଼ Ω/m. Qual é a resistência do fio? 
 
3. Neste circuito, Figura, ܴଵ = ͷ,Ͳ Ω, ܴଶ = ͳͲ,Ͳ Ω, ܴଷ = ʹͲ,Ͳ Ω e a 
corrente ܫ é desconhecida. Se o resistor de ܴଶ dissipa 40 W de potência, 
que valor de potência os outros dois resistores estão dissipando? 
 
 
 
4. No circuito da Figura: ܴଵ = ͸,Ͳ Ω, ܴଶ = ͳʹ,Ͳ Ω, ℇଵ = ͸,Ͳ V, ℇଶ = ͳʹ,Ͳ V e o valor da resistência ܴଷ é 
desconhecido. Se o circuito conduz uma corrente de 0,25 
A (a) qual é o sentido da corrente? Explique. (b) Qual é o 
valor da resistência ܴଷ? (c) Qual é a potência dissipada 
por ܴଷ? 
 
 
5. Existe alguma bateria ℇଶ para o qual o resistor ܴଷ não 
dissipe potência? Em caso afirmativo, quais são sua fem e sua 
polaridade? Ou seja, o terminal negativo está em cima ou em 
baixo? Dados: ܴଵ = ͳͲͲ Ω, ܴଶ = ͵ͲͲ Ω, ܴଷ = ʹͲͲ Ω e ℇଵ = ͷͲ V. 
 
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6. No circuito indicado na Figura, ܴଵ = Ͷ,Ͳ Ω, ܴଶ = ͵,Ͳ Ω, ܴଷ = ͸,Ͳ Ω, ܫଵ = ͵,Ͳ A, ܫଷ = ͷ,Ͳ A, ܫସ = ʹ,Ͳ A. Calcule (a) a 
corrente no resistor de ܴଶ; (b) a fem ℇଵ e a fem ℇଶ; (c) a 
resistência ܴସ. Observe que foram fornecidas três correntes. 
 
 
 
7. Lâmpadas em série e em paralelo. Duas lâmpadas possuem resistências de 400 � e 800 �. 
Supondo que as duas lâmpadas sejam conectadas em série a uma fonte de 120 V, calcule (a) a 
corrente que passa em cada lâmpada; (b) a potência dissipada cm cada lâmpada e (c) a 
potência total dissipada nas duas lâmpadas. Agora as duas lâmpadas são conectadas em 
paralelo à fonte de 120 V. Calcule (d) a corrente que passa em cada lâmpada; (e) a potência 
dissipada em cada lâmpada; (f) a potência total dissipada nas duas lâmpadas. (g) Em cada 
situação qual é a lâmpada que brilha com mais intensidade? (h) Em qual caso o brilho 
combinado das duas lâmpadas possui mais intensidade? 
 
8. No circuito indicado na Figura, ܴଵ = ͳͲͲ Ω, ܴଶ = ͹ͷ 
Ω, ℇଵ = ʹͷ, V, ℇଶ = ͳͷ V, todos os instrumentos são 
ideais e a resistência interna das baterias é desprezível (a) 
Calcule a leitura do voltímetro com a chave S aberta. Qual 
ponto tem potencial mais elevado: “a” ou “b”? (b) Com a 
chave fechada, determine a leitura do voltímetro e do 
amperímetro. Em qual sentido (para cima ou para baixo) a 
corrente passa pela chave? 
 
 
9. Grandes eletroímãs convencionais usam água gelada para prevenir aquecimento excessivo 
das bobinas. Um grande eletroímã de laboratório tem uma corrente de 100 A quando uma 
tensão de 240 V é aplicada aos terminais das bobinas energizadas. Para resfriá-las, água a uma 
temperatura inicial de ͳͷ௢C circula pelas bobinas. Quantos litros de água devem circular 
pelas bobinas a cada segundo para que a temperatura não exceda ͷͲ௢C? 
 
10. Um capacitor de 10,0 �� possui uma carga inicial de 100,0 ��. Se uma resistência de 20,0 � for conectada a seus terminais, qual será a corrente inicial através do resistor? 
 
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11. Considere um circuito RC em série, como na Figura, para o qual ܴ = ͳ,ͲͲ ܯ�, � = ͷ,ͲͲ �� e ℇ = ͵Ͳ,Ͳ V. Encontre (a) a 
constante de tempo do circuito e (b) a carga máxima no capacitor 
após a chave ser fechada. (c) Encontre a corrente no resistor ͳͲ,Ͳ s 
após a chave ser fechada. 
 
 
12. O interruptor esteve na posição “a” por um tempo muito 
longo. Ele é movido repentinamente para a posição“b” e lá 
permanece durante 1,25 ms, voltando, então para posição 
“a”. Que valor de energia foi dissipado pelo resistor ܴଶ? 
Dados: ܴଵ = ͳʹͷ Ω, ܴଶ = ͷͲ Ω, � = ʹͲ �F e ℇ = ͷͲ V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas das Atividades 
1. (a) 17,0 A; (b) 85,0 kA/mଶ 
2. 2,71 MΩ 
3. 45 W no resistor de 5 Ω, 20 W no resistor de 20 Ω 
4. (a) Sentido anti-horário; (b) 6 Ω; (c) 0,38 W 
5. 150 V, em cima 
6. (a) 8,0 A; (b) ℇଵ = ͵͸,Ͳ V, ℇଶ = ͷͶ,Ͳ V; (c) 9,0 Ω 
7. (a) 0,1 A para cada; (b) 400 Ω dissipa 4,0 W; 800 Ω dissipa 8,0 W; (c) total: 12,0 W; (d) 
400 Ω lâmpada de: 0,3 A; 800 Ω lâmpada de: 0,15 A; (e) 400 Ω lâmpada de: 36,0 W; 800 Ω 
lâmpada de: 18,0 W; (f) total: 54,0 W. (g) Em série a lâmpada de 800 Ω brilha mais; em 
paralelo a lâmpada de 400 Ω brilha mais; (h) O brilho é maior para a ligação em paralelo. 
8. (a) -2,14 V; “a” está em um potencial mais elevado; (b) ܫଵ଴଴ = Ͳ,ʹͷ A, ܫ଻ହ = Ͳ,ʹͲ A, ܫ� = Ͳ,Ͳͷ A de cima para baixo; ܸ = Ͳ V. 
9. 0,16 L/s 
10. 0,500 A 
11. (a) 5,0 s; (b) ͳͷͲ ��; (c) 4,1 �� 
12. 23 mJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
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Eletromagnetismo. 9ª Edição. LTC, 2012. 
2. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S..Física 3. 5ª Edição. 
LTC, 2002. 
3. CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W..Física, Volume 2. 6ª Edição. LTC, 
2006. 
4. SERWAY, Raymond A.; JEWETT, JR., John W..Princípios de Física, Volume 3, 5ª 
Edição. CENGAGE Learning, 2015. 
5. YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Robert A..Sears &Zemansky, Física III – 
Eletromagnetismo. 12ª Edição. PEARSON Addison Wesley, 2009. 
6. TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, Volume 2. 6ª 
Edição. LTC, 2009. 
7. KELLER, Frederick J.; GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J..Física, Volume 2. 
PEARSON Makron Books, 1999. 
8. KNIGHT, RandallD.. Física uma abordagem estratégica, Eletricidade e Magnetismo. 
Volume 3. 2ª Edição. ARTMED, 2009. 
9. NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica, Volume 3. 4ª Edição. 
BLUCHER, 2002. 
10. TREFIL, James; HAZEN, Robert M.. Física Viva, Uma Introdução à Física 
Conceitual, Volume 2. LTC, 2006. 
11. JEWETT, JR., John W.; SERWAY, Raymond A..Física para Cientistas e Engenheiros, 
Volume 3, 8ª Edição. CENGAGE Learning, 2011. 
12. ROMAGUERA, Antonio R. de C.; SMITH, Cristiane Morais.; DORIA, Mauro M.. 
Supercondutividade de alta temperatura critica. 
http://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2009_mauro_1.pdf 
 
 
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