6 O campo magnético

Prévia do material em texto

Prof. Neemias Alves de Lima 
Eletromagnetismo 
O Campo Magnético 
Escola de Ciência e Tecnologia - UFRN 
20/4/2016 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 102 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
 
 
Estas notas de aulas estão sendo 
regularmente trabalhadas, não se 
encontrando ainda em sua versão 
definitiva. 
O c a m p o m a g n é t i c o | 103 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
O campo magnético 
 
Ao estudar este capítulo, você aprenderá: 
 Como descrever o campo magnético produzido por um elemento de um condutor que 
transporta uma corrente 
 O que é a lei de Ampère e como usá-la para calcular o campo magnético de 
distribuições simétricas de corrente 
 A natureza da força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada 
em movimento 
 Como analisar o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético 
 Como analisar as forças magnéticas que atuam sobre condutores que transportam 
correntes 
 
Há aproximadamente 3000 anos, em uma região da Grécia, chamada Magnésia, as pessoas 
descobriram curiosas pedras que atraíam para si as pedras similares e pequenos pedaços de 
ferro. Aos chineses frequentemente é creditado o primeiro uso dessas pedras para fabricar 
bússolas que auxiliassem na navegação. Estas pedras, e também o ímã que você utiliza para 
manter pequenos enfeites na porta de sua geladeira, são ímãs permanentes. Eles contêm 
materiais ferromagnéticos, geralmente ferro, que se tornam magnetizados na presença de 
outro magneto e retêm suas propriedades magnéticas após o magneto externo ser removido. 
Em 1269 o engenheiro francês Pierre de Maricourt (1220-1270) descobriu que as direções de 
uma agulha próxima a um imã esférico formavam linhas que circundavam a esfera e passava 
por dois pontos diametralmente opostos um em relação ao outro que ele chamava de polos do 
imã. Experimentos posteriores mostraram que cada imã, independente de seu formato, tem 
dois polos, chamados norte (N) e sul (S), que exercem forças em outros polos magnéticos 
semelhantes ao modo como as cargas elétricas exercem forças uma na outra. Isto é, os polos 
(N-N ou S-S) se repelem e os opostos (N-S) se atraem. 
Os polos recebem seus nomes devido à maneira como um ímã, como aquele em uma bússola, 
se comporta na presença no campo magnético da Terra. Se um imã em barra é suspenso a 
partir de seu ponto médio, e pode se mover livremente em um plano horizontal, girará até que 
seu polo norte aponte para o polo norte geográfico da Terra e seu polo sul aponte para o polo 
sul geográfico da Terra. 
Em 1600 o inglês William Gilbert (1540-1603) expandiu os experimentos de Maricourt para 
vários materiais. Ele sabia que a agulha de bússola se orienta em direções preferenciais, então 
sugeriu que a Terra mesma seria um grande ímã permanente. Em 1750, experimentadores 
O c a m p o m a g n é t i c o | 104 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
utilizaram uma balança de torção para mostrar que os polos magnéticos exercem forças 
atrativas ou repulsivas um no outro, e que essas forças variam como o inverso do quadrado da 
distância entre polos interativos. Embora a força entre dois polos 
magnéticos seja semelhante àquela entre duas cargas elétricas, estas 
podem ser isoladas (veja o elétron e o próton), enquanto um único polo 
magnético nunca foi isolado. Isto é, polos magnéticos são sempre 
encontrados em pares. Todas as tentativas até agora para detectar um 
polo magnético isolado não foram bem sucedidas, não importa quantas 
vezes um ímã permanente seja cortado em dois, cada pedaço sempre tem 
um polo norte e um polo sul. 
 
Figura 1: William 
Gilbert (1544-1603) 
À medida que a eletricidade começou a ser estudada seriamente no século XVIII alguns 
cientistas começaram a especular se não haveria uma conexão entre a eletricidade e o 
magnetismo. Surpreendentemente, a ligação entre eletricidade e magnetismo foi descoberta 
durante uma aula de demonstração experimental, em l8l9, pelo cientista dinamarquês Hans 
Christian Oersted. Oersted estava usando uma 
bateria para produzir uma grande corrente em 
um fio. Por acaso, uma bússola estava 
localizada próxima ao fio, e Oersted notou que 
a corrente fazia a agulha da bússola girar. Em 
outras palavras, a bússola respondia como se 
 
Figura 2: Hans Christian Oersted (1777-1851) 
um ímã estivesse colocado próximo dela. Na década de 1820, mais conexões entre 
eletricidade e magnetismo foram demonstradas, de forma independente, por Michael Faraday 
(1791-1867) e Joseph Henry (1797-1878). Ambos mostraram que uma corrente elétrica pode 
ser produzida em um circuito movendo um imã próximo dele ou mudando a corrente em um 
circuito próximo. Essas observações demonstraram que um campo magnético em mutação 
cria um campo elétrico. Anos depois o trabalho teórico de Maxwell mostrou que o inverso 
também é verdadeiro: um campo elétrico em mutação cria um campo magnético. 
Neste capítulo estudaremos campos magnéticos que tem como fonte correntes elétricas 
constantes, e as forças em cargas puntiformes e em fios que transportam correntes na presença 
de um campo magnético. 
 
 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 105 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
6.1 Campo magnético e corrente – A lei de Biot-Savart 
A primeira análise precisa da descoberta de Orsted foi publicada em 1820 pelos franceses 
Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram desenvolver uma relação entre a 
carga em movimento e o campo magnético que ela gera. Conhecida como a lei de Biot-Savart, 
ela descreve a contribuição ݀⃗ܤ para o campo magnético devido a um elemento infinitesimal 
de corrente ܫ݀ ݈: ݀⃗ܤ = �଴Ͷ� ܫ݀ ݈× ̂ݎݎଶ ሺ͸.ͳሻ 
A unidade do SI para o campo magnético é o tesla (T), em homenagem ao inventor austríaco-
estadunidense Nikola Tesla (1856-1943). A constante �଴ é conhecida como permeabilidade 
do vácuo, e vale �଴ = Ͷ� × ͳͲ−଻ T.m/A 
 
Figura 3: Jean-Baptiste Biot (1774-1862) 
 
Figura 4: Félix Savart (1791-1841) 
A Figura 5 ilustra o produto vetorial de dois vetores ܣ e ⃗ܤ . O 
vetor resultante ܥ = ܣ × ⃗ܤ é mutuamente perpendicular a ܣ e ⃗ܤ . 
O sentido de ܥ é dado pelo polegar da mão direita, quando 
colocamos os outros quatro dedos na direção e sentido de ܣ e os 
giramos de encontro ao vetor ⃗ܤ pelo menor ângulo entre eles. Esta Figura 5 
é a famosa regra da mão direita. O módulo de ܥ é ܣܤݏ݁݊�. 
O elemento infinitesimal de comprimento ݀ ݈ do fio é orientado no 
sentido da corrente ܫ no local do elemento de corrente, Figura 6, e ݎ , e consequentemente o vetor unitário ̂ݎ, aponta do elemento de 
carga para o ponto no qual desejamos determinar o campo 
magnético produzido por ܫ݀ ݈. 
 
Figura 6: O pequeno cilindro 
representa um segmento 
infinitesimal de um fio 
condutor de corrente. 
O campo magnético total devido a um comprimento de fio é obtido pela soma das 
contribuições de cada parte da corrente, ou seja: ⃗ܤ = ∫ �଴Ͷ� ܫ݀ ݈× ̂ݎݎଶ ሺ͸.ʹሻ 
O c a m p o m a g n é t i c o | 106 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
A intensidade dos campos magnéticos na experiência humana varia ao longo de uma 
ampla faixa. Os seres vivos geram um campo magnético fraco, da ordem de ͳͲ−ଵ଴ T. A 
intensidade do campo magnético da Terra é aproximadamente Ͳ,ͷ × ͳͲ−ସ T. A intensidade do 
campo devido ao ímã em seu refrigerador é dez, ou mais, vezes mais forte, e você pode 
facilmente comprar pequenos ímãs de neodímio (constituinte de uma liga de neodímio, ferro e 
boro) que possui uma intensidade de campo de 1 T ou mais. O campo magnético mais forte ao 
qual estamos sujeitos diretamente é o campo de 2 T (ou um pouco mais) no interior de uma 
máquina de ressonância magnética por imagem. Esse campo forte, juntamente com as ondas 
de rádio, fazcom que os átomos de hidrogênio em seu corpo se alinhem magneticamente e, 
em seguida, oscilem; as imagens das regiões internas do corpo são geradas pela detecção das 
oscilações. Os campos magnéticos mais fortes das experiências humanas são aqueles 
utilizados em experimentos científicos, para os quais são fabricados ímãs que produzem 
campos da ordem de 60 T ou mais. 
 
Campo magnético de um condutor retilíneo transportando uma corrente 
Uma aplicação da lei de Biot-Savart consiste em determinar o campo magnético produzido 
por um condutor retilíneo que transporta uma corrente. Trata-se de uma aplicação importante 
porque, em quase todos os dispositivos elétricos e eletrônicos, 
existem fios retilíneos conduzindo correntes. A Figura 7 mostra 
um comprimento ʹܽ de um fio retilíneo que conduz uma 
corrente ܫ. Vamos calcular ⃗ܤ em um ponto sobre a reta 
perpendicular que divide o condutor em duas metades, situado a 
uma distância ݔ do seu centro. 
Inicialmente, usamos a lei de Biot-Savart, Equação (6.2), para 
calcular o campo ݀⃗ܤ produzido pelo elemento do condutor de 
comprimento ݈݀ = ݀ݕ indicado na Figura 7. De acordo com a 
figura, notamos que ݎ = √ݔଶ + ݕଶ e ݏ݁݊� = ݏ݁݊ሺ� − �ሻ =ݔ/ݎ. A regra da mão direita para o produto vetorial ݀ ݈× ̂ݎ 
 
Figura 7: Campo magnético 
produzido por um fio retilíneo 
que conduz uma corrente. 
mostra que ݀⃗ܤ possui direção perpendicular ao plano da figura e sentido para dentro da 
página; além disso, todos os vetores ݀⃗ܤ produzidos por todos os elementos do condutor tem 
esta mesma direção e sentido. Logo, ao integramos a Equação (6.2), podemos simplesmente 
somar os módulos de cada vetor ݀⃗ܤ , o que é uma significativa simplificação. 
Substituindo os valores naquela integral vemos que o módulo do campo total ⃗ܤ é 
O c a m p o m a g n é t i c o | 107 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
ܤ = ∫ �଴Ͷ� ܫ|݀ ݈× ̂ݎ|ݎଶ = ∫ �଴Ͷ� ܫሺ݀ݕݏ݁݊�ሻݎଶ = �଴ܫͶ� ∫ ݔ݀ݕሺݔଶ + ݕଶሻଷ/ଶ+௔−௔ 
Podemos resolver esta integral por substituição trigonométrica, o resultado é ܤ = �଴ܫͶ� ݕݔ√ݔଶ + ݕଶ|−௔+௔ = �଴ܫͶ� ʹܽݔ√ݔଶ + ܽଶ ሺ͸.͵ሻ 
Quando o comprimento ʹܽ do condutor é muito maior do que a distância ݔ entre o ponto ܲ e 
o condutor, podemos dizer que o condutor possui um comprimento infinito. Quando isto 
acontece, ou seja, quando ܽ é muito maior do que a distância ݔ, √ݔଶ + ܽଶ é aproximadamente 
igual a ܽ; logo a Equação (6.3) se reduz a ܤ = �଴ܫʹ�ܽ 
A presente situação física apresenta simetria axial em torno do eixo Ͳݕ. Portanto, ⃗ܤ deve 
possuir o mesmo módulo em todos os pontos sobre uma circunferência centralizada no 
condutor e situada em um plano perpendicular a ele, e a direção de ⃗ܤ é dada pela tangente em 
cada um dos pontos dessa circunferência. Logo, em qualquer ponto ao longo de uma 
circunferência de raio ݎ, centralizada no condutor, o módulo do campo magnético ܤ é ܤ = �଴ܫʹ�ݎ ሺ͸.Ͷሻ 
(próximo de um condutor longo e retilíneo 
que transporta corrente) 
 
Indicamos na Figura 8 uma parte das linhas 
do campo magnético em torno de um fio 
retilíneo infinito conduzindo uma corrente. 
Figura 8 
 
Exemplo 6.1: Dois fios longos, retilíneos, paralelos, distantes ܽ = ʹͶͲ mm um do outro, transportam 
correntes ܫଵ = ʹͲ,Ͳ A e ܫଶ = ͵Ͳ,Ͳ A. As correntes têm o mesmo sentido. A experiência mostra que 
o campo magnético devido a várias correntes é a soma dos campos que seriam produzidos por cada 
corrente separadamente. Determine o campo magnético no plano dos dois fios em um ponto P a meio 
caminho entre eles. 
Solução: O campo magnético em um ponto é a soma vetorial dos campos ܤଵ, devido à 
corrente ܫଵ, e ܤଶ devido à corrente ܫଶ. O módulo de cada campo é dado pela Equação (6.3): 
O c a m p o m a g n é t i c o | 108 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
ܤଵ = �଴ܫଵʹ�ܴଵ ܤଶ = �଴ܫଶʹ�ܴଶ 
A direção de cada campo, mostrada na Figura 9a, 
é determinada pela regra da mão direita. No ponto 
P, as duas contribuições dos campos tem direções 
opostas. A soma vetorial ܤ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ܤ ଵ + ⃗ܤ ଶ tem a 
direção de ⃗ܤ ଶ, a maior das duas contribuições, e o 
módulo da soma é dado por 
 
Figura 9: O campo magnético em um ponto P é a soma 
de contribuições individuais devidas a cada corrente. (a) 
Vista da extremidade. (b) Vista lateral. ܤ = ܤଶ − ܤଵ = �଴ʹ� ሺ ܫଶܴଶ − ܫଵܴଵሻ ܤ = Ͷ� × ͳͲ−଻ʹ� (͵Ͳ,ͲͲ,ͳʹ − ʹͲ,ͲͲ,ͳʹ) = ͳ,͹ × ͳͲ−ହ T 
 
Campo magnético de um anel de corrente 
Como outra aplicação da lei de Biot-Savart, consideremos o campo magnético produzido por 
um anel circular de raio ܽ transportando uma corrente ܫ. Restringimos nosso cálculo a pontos 
ao longo do eixo do anel. Tais pontos são equidistantes de pontos do anel. A Figura 10 mostra 
um elemento típico de corrente ܫ݀ ݈; ali, o eixo ݔ foi escolhido ao longo do eixo do anel. A 
contribuição ݀⃗ܤ para o campo em um ponto no eixo é dada pela Equação 6.1 e é exibida na 
figura. Em qualquer ponto do anel, o elemento de corrente ܫ݀ ݈ e o vetor unitário ̂ݎ são 
perpendiculares. O módulo da contribuição do campo é (� = ͻͲ௢ e ݏ݁݊ � = ͳ na Equação 
6.1) ݀ܤ = �଴ܫ݈݀ʹ�ݎଶ 
Para cada elemento de corrente ao longo do anel, 
o módulo de ݀⃗ܤ permanece o mesmo, mas a 
direção varia. Decompomos ݀⃗ܤ em componentes ݀ܤ௫ = ݀ܤ ݏ݁݊� ao longo do eixo do anel e ݀ܤ௣ = ݀ܤ ܿ݋ݏ� perpendicular ao eixo. Pela 
simetria do problema, a componente 
perpendicular ݀ܤ௣ quando integrada será igual a 
zero para o anel. 
 
Figura 10 
Devemos apenas integrar a componente ao longo do eixo ݔ, ݀ܤ௫. Assim, o campo magnético 
em um ponto do eixo do anel aponta ao longo do eixo e sua componente é 
O c a m p o m a g n é t i c o | 109 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
ܤ௫ = ∫݀ܤ௫ = ∫�଴ܫͶ� ݈݀ݏ݁݊�ݔଶ + ܽଶ 
onde tomamos ݎଶ = ݔଶ + ܽଶ. 
Ao integrarmos ݈݀ ao longo do anel, cada fator na integral permanece o mesmo, podendo ser 
colocado fora da integral, tal que ܤ௫ = �଴ܫͶ� ݏ݁݊�ݔଶ + ܽଶ ∫݈݀ 
A integral no elemento de comprimento é igual à circunferência do anel, ʹ�ܽ. Pela geometria 
da Figura 10, ݏ݁݊� = ܽݎ = ܽ√ݔଶ + ܽଶ 
Fazendo essas substituições na equação de ܤ௫, vem ܤ௫ = �଴ܫͶ� ܽሺݔଶ + ܽଶሻଷ/ଶ ʹ�ܽ = �଴ܫʹ ܽଶሺݔଶ + ܽଶሻଷ/ଶ 
 
6.2 A lei de Ampère 
Em princípio, a lei de Biot-Savart pode ser usada para calcular o campo magnético produzido 
por qualquer distribuição de corrente. Na prática, as integrais são difíceis de calcular em casos 
que não sejam arranjos bem simples. Deparamo-nos com situação semelhante no cálculo de 
campos elétricos, mas descobrimos, então, um método alternativo - a lei de Gauss – para 
calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga com alto grau de simetria. 
Analogamente, existe um método alternativo, chamado de lei de Ampère, para calcular os 
campos magnéticos criados por distribuições de corrente com alto grau de simetria. A lei de 
Ampère, como a lei de Gauss, não é prática para todas as situações, mas é simples e precisa 
onde ela é prática. Da mesma forma que a lei de Gauss foi escrita em termos de uma integral 
de superfície, a lei de Ampère é baseada em um procedimento matemático chamado de 
integral de linha. 
A Figura 11 mostra um fio conduzindo uma corrente ܫ que entra na 
página e o campo magnético produzido a uma distância ݀. O campo 
magnético de um fio conduzindo uma corrente é tangente a um 
círculo tendo um ponto qualquer do fio como centro e tem 
intensidade �଴ܫ/ʹ�݀ em todos os pontos do círculo. Essas condições 
nos permitem calcular facilmente a integral de linha de ⃗ܤ ao longo de 
 
Figura 11: Integrando o 
campo magnético ao redor 
de um fio. 
O c a m p o m a g n é t i c o | 110 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
um caminho circular em tomo do fio. Suponha que integremos o campo magnético ao longo 
do caminho inteiro que é o círculo, ou seja, o ponto inicial ݅ do caminho de integração e o 
ponto final ݂ são o mesmo ponto.Trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho 
fechado, o que é denotado por ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ 
O pequeno círculo sobre o símbolo de integral indica que a integração é feita ao longo de uma 
curva fechada. A integração mudou, mas o significado, não. 
Devido ao fato de ܤ ser tangente ao círculo e ter módulo constante (intensidade constante) em 
qualquer ponto do mesmo, temos ∮ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ = ܤሺʹ�݀ሻ 
onde, neste caso, o comprimento do caminho é a circunferência ʹ�݀ do círculo. A intensidade 
do campo magnético de um fio que conduz uma corrente é ܤ = �଴ܫ/ʹ�݀, portanto, ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = �଴ܫ ሺ͸.ͷሻ 
O resultado interessante é que a integral de linha de ܤ ao redor do fio conduzindo uma 
corrente independe do raio do círculo. Qualquer círculo, desde um que apenas toque o fio, até 
o mais distante possível do mesmo, fornecerá o mesmo resultado. A integral depende somente 
da quantidade de corrente que atravessa o círculo que integramos. 
Isto é remanescente da lei de Gauss. Em nosso estudo da lei de Gauss, iniciamos com a 
observação de que o fluxo elétrico através de uma esfera depende apenas da quantidade de 
carga no interior e não do raio da esfera. Após examinar diversos casos, concluímos que a 
forma da superfície não é relevante. O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada 
que encerre uma carga total ܳ�௡௧ resultou, então, em �௘ = ܳ�௡௧/�଴. Embora omitamos os 
detalhes, o mesmo tipo de raciocínio empregado para provar a lei de Gauss mostra que o 
resultado da Equação 6.5: 
1. Independe da forma do caminho em torno da corrente. 
2. Independe do lugar exato por onde a corrente atravessa o caminho fechado. 
3. Depende apenas da quantidade total de corrente através da área delimitada pelo caminho 
fechado de integração. 
Assim, sempre que a corrente ܫin୲ atravessar uma área delimitada por uma curva fechada, a 
integral de linha do campo magnético em torno dessa curva será ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = �଴ܫin୲ ሺ͸.͸ሻ 
O c a m p o m a g n é t i c o | 111 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Este resultado é conhecido como lei de Ampère, e foi postulado 
pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell em 1827 ao 
analisar as experiências realizadas por Ampère. 
O caminho de integração da lei de Ampère é uma curva matemática 
no espaço. Ele não precisa coincidir com algum limite ou alguma 
superfície material, embora possa, dependendo de nossa escolha. 
 
Figura 12: James Clerk 
Maxwell (1831-1879) 
Para fazer uso prático da lei de Ampère, precisamos 
determinar quais correntes são positivas e quais são 
negativas. A regra da mão direita é, novamente, a 
ferramenta adequada. Se você curvar os dedos de sua mão 
direita ao longo do caminho fechado no sentido em que você 
vai integrar, então qualquer corrente que atravesse a área 
delimitada e que estiver orientada como o seu polegar será 
uma corrente positiva. E qualquer corrente orientada em 
sentido oposto será uma corrente negativa. Na Figura 13, 
por exemplo, as correntes ܫଶ e ܫସ são positivas e ܫଷ é 
negativa. Assim, ܫa୲୰avéୱ = ܫʹ − ܫ͵ + ܫͶ. Figura 13: Usando a lei de Ampère. 
De certa forma, a lei de Ampère não nos diz nada de novo. Afinal, derivamos a lei de Ampère 
a partir da lei de Biot-Savart para o campo magnético de uma corrente. Mas, em outro sentido, 
a lei de Ampère é mais importante do que a lei de Biot-Savart por estabelecer uma 
propriedade geral sobre campos magnéticos. A lei de Ampère se mostrará especialmente útil 
no último Capítulo, quando a combinarmos com outras equações elétricas e magnéticas para 
formar o conjunto das equações de Maxwell para o campo eletromagnético. Por ora, a lei de 
Ampère nos permitirá determinar os campos magnéticos criados por algumas importantes 
distribuições de corrente que possuem alto grau de simetria. 
 
Exemplo 6.2: Um longo cilindro condutor oco conduz uma corrente ܫ, 
distribuída uniformemente sobre a seção transversa, conforme mostra a Figura 
14. Determine o módulo do campo magnético em um ponto à distância ܴ do 
eixo do cilindro, para (a) ܴ ൑ ܽ; (b) ܽ ൑ ܴ ൑ ܾ; (c) ܴ ൒ ܾ. 
Solução: (a) Pela lei de Ampère temos que ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = �଴ܫin୲ Figura 14 
Escolhendo um círculo de raio ܴ ൑ ܽ temos que ܫin୲ = Ͳ logo 
O c a m p o m a g n é t i c o | 112 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = Ͳ 
e portanto para qualquer ponto à distância ܴ do eixo do cilindro ܤ = Ͳ 
(b) Para um ponto à distância ܴ do eixo do cilindro, em que ܽ ൑ ܴ ൑ ܾ, temos ܫa୲୰avéୱ = ∫ܬ ∙ ݀ܣ = ∫ܬ݀ܣ = ∫ ܬሺʹ�ݎ݀ݎሻ = ʹ�ܬ∫ ݎ݀ݎ�௔ = ʹ�ܬሺܴଶʹ − ܽଶʹሻ 
onde o módulo da densidade de corrente ܬ vale: ܬ = ܫܣ = ܫ�ሺܾଶ − ܽଶሻ 
Assim, pela lei de Ampère: ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = �଴ܫin୲ ܤሺʹ�ܴሻ = �଴ʹ�[ ܫ�ሺܾଶ − ܽଶሻ]ሺܴଶʹ − ܽଶʹሻ ܤ = �଴ʹ� ܴܫ ܴଶ − ܽଶሺܾଶ − ܽଶሻ 
(c) Para um ponto à distância ܴ do eixo do cilindro, em que ܴ ൒ ܾ, temos ܫin୲ = ܫ, portanto ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = �଴ܫin୲ ܤሺʹ�ܴሻ = �଴ܫ ܤ = �଴ʹ� ܴܫ 
As linhas de campo magnético para ܴ > ܽ são cilíndricas e no sentido horário. 
 
Campo magnético em um solenóide 
 Um solenóide é formado enrolando-se um fio muito longo em um cilindro, em geral um 
cilindro circular. As voltas do fio formam uma bobina helicoidal cujo comprimento, medido 
ao longo do eixo do solenóide, é tipicamente um pouco maior do que o diâmetro. 
Característica importante de um solenóide é o número ݊ de voltas por unidade de 
comprimento. Para um solenóide de comprimento ܮ com � voltas, o número de voltas por 
unidade de comprimento é ݊ = �/ܮ. 
A Figura 15 mostra as linhas de campo magnético para um solenóide enrolado com folga. 
Para um solenóide enrolado mais firmemente, o passo das voltas helicoidais é menor e cada 
volta é aproximadamente um anel de corrente. Então, cada volta dará uma contribuição para o 
campo magnético semelhante à de um anel de corrente. No interior do solenóide, as 
O c a m p o m a g n é t i c o | 113 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
contribuições de cada volta para o campo tendem a se reforçar mutuamente. O campo 
resultante é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo do solenóide. Fora do solenóide, as 
contribuições de cada volta para o campo tendem a se 
cancelar e o campo resultante e relativamente 
pequeno. 
Essas tendências - para um campo uniforme dentro do 
solenóide e um campo zero fora dele em pontos 
distantes das extremidades – tomam-se mais 
acentuadas para um solenóide muito longo e enrolado 
de forma compactada. No caso ideal da Figura 15, a 
 
Figura 15: Exibição de algumas linhas de 
campo em um plano para um solenóide 
enrolado frouxamente. 
distribuição de corrente no enrolamento é equivalente a uma capa cilíndrica de corrente, e o 
solenóide tem um comprimento efetivamente infinito. O campo magnético dentro do 
solenoide ideal é paralelo ao eixo e o campo fora do solenóide é zero. 
O campo magnético dentro do solenóide ideal pode ser determinado aplicando-se a lei de 
Ampère ao trajeto fechado mostrado na Figura 16. A integral ao longo do trajeto fechado é a 
soma das integrais ao longo de cada um dos quatro segmentos retilíneos: ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = ∫ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ ௕௔ + ∫ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ ௖௕ + ∫ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ ௗ௖ + ∫ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ ௔ௗ 
A integral ao longo do segmento bc é zero porque ⃗ܤ e ݀ݏ são perpendiculares em cada ponto daquele 
segmento, o que acarreta ⃗ܤ ∙ ݀ݏ = Ͳ. Pela mesma razão, 
a integral ao longo do segmento da é também zero. Ao 
longo do segmento cd, exterior ao solenóide ideal, ⃗ܤ = Ͳ⃗ , de modo que a integral é zero para aquele 
segmento. A única contribuição não-zero para a integral 
ao longo do trajeto fechado provém do segmento ab. 
Sobre esse segmento, ⃗ܤ e ݀ݏ são paralelos, de modo 
 
Figura 16: A distribuição de corrente para 
um solenóide ideal é equivalente a uma 
capa de corrente cilíndrica. 
que ⃗ܤ ∙ ݀ݏ = ܤ݀ݏ; e ⃗ܤ têm o mesmo valor em cada ponto. Assim, ∮⃗ܤ ∙ ݀ݏ = ∫ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ ௕௔ = ∫ ܤ݀ݏ௕௔ = ܤ ∫ ݀ݏ௕௔ = ܤ݈ 
onde ݈ é o comprimento do segmento ab. Para um solenóidecom ݊ voltas por unidade de 
comprimento, o número de voltas dentro do trajeto fechado é ݈݊. 
O c a m p o m a g n é t i c o | 114 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Como cada uma dessas voltas transporta a corrente ܫ, a corrente resultante unindo esse trajeto 
fechado é ܫ�௡௧ = ݈݊ܫ 
Levando os resultados anteriores na lei de Ampère, temos ∮ ⃗ܤ ∙ ݀ݏ = ܤ݈ = �଴݈݊ܫ 
ou ܤ = �଴݊ܫ = �଴ �ܮ ܫ ሺ͸.͹ሻ 
Conquanto a Equação 6.7 tenha sido obtida para o solenóide ideal, ela dá, não obstante, uma 
aproximação para o campo no interior de um solenóide enrolado compactadamente, em 
pontos próximos do eixo e longe das extremidades. O campo magnético é uniforme nessa 
região e é determinado pelo número n de voltas por unidade de comprimento e pela corrente ܫ 
no solenóide. Em laboratório, usa-se um solenóide para produzir uma região com campo 
magnético quase uniforme. 
 
Exemplo 6.3: Um solenóide tem 250 voltas em um cilindro de 15,0 mm de diâmetro e 125 mm de 
comprimento. Se a corrente no solenóide é de 0,320 A, determine o módulo do campo magnético no 
interior do solenóide. 
Solução: Como o comprimento do solenóide é muito grande em comparação com seu diâmetro, o 
campo no interior do solenóide em pontos próximos do eixo e afastados das extremidades é dado pela 
Equação 6.7. O número de voltas por unidade de comprimento é (a unidade "volta” é adimensional) ݊ = �ܮ = ʹͷͲͲ,ͳʹͷvoltasm = ʹ,ͲͲ × ͳͲଷ voltas/m 
e o módulo do campo é ܤ = �଴݊ܫ = Ͷ� × ͳͲ−଻ሺʹ,ͲͲ × ͳͲଷሻሺͲ,͵ʹͲሻ T = ͺ,ͲͶ × ͳͲ−ସ T 
 
6.3 Força magnética 
No Capítulo 2, o campo elétrico foi definido em termos da força eletrostática que surge entre 
as cargas. Lembre-se de que a força eletrostática é oriunda da interação entre um corpo 
carregado e um campo elétrico no qual ele está imerso. 
De forma similar, definiu-se um campo magnético ⃗ܤ em termos da força que dele deriva. O 
campo magnético é uma grandeza vetorial, isto é, possui módulo, direção e sentido. A 
existência de um campo magnético em algum ponto do espaço pode ser demonstrada usando 
O c a m p o m a g n é t i c o | 115 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
uma bússola. Se há um campo magnético, a agulha se alinhará na direção e sentido do campo, 
ou de alguma de sua componente se houver alguma restrição ao movimento da agulha. 
As cargas elétricas podem ficar sujeitas à uma força devida a um campo magnético. A força 
magnética apresenta as seguintes características: 
1. As cargas elétricas ficam sujeitas a uma força quando imersas em um campo magnético; 
porém, apenas quando a carga se move. 
2. A magnitude da força é proporcional à carga e à intensidade do campo elétrico. 
3. A direção da força é mutuamente perpendicular à direção do movimento da carga e à 
direção do campo magnético. Não existe qualquer força resultante quando a direção do 
movimento está alinhada com o campo magnético. 
4. A orientação da força depende do sinal da carga. 
Para uma carga pontual, essas características estão incorporadas à lei da força de Lorentz, 
assim denominada em homenagem ao físico holandês Hendrik A. Lorentz, que em 1892 
escreveu ܨ = ݍ� × ⃗ܤ ሺ͸.ͺሻ 
Esta equação permite que seja estabelecida a unidade do campo magnético no SI [ܤ] = [ܨ][ݍ][�] = NC ∙ ሺm/sሻ 
A substituição de ܥ/ݏ por ܣ, no denominador fornece [ܤ] = NC ∙ ሺm/sሻ = NA ∙ m = T ሺteslaሻ 
Em outras palavras, 1 T é igual a 1 N/(A∙m). Não surpreende a presença da unidade de 
corrente, pois a lei de Biot-Savart relaciona o campo magnético com a corrente elétrica. 
Os físicos frequentemente escrevem a Equação 6.8 de modo a também 
incluir o efeito do campo elétrico ܨ = ݍ(⃗ܧ + � × ⃗ܤ ) 
A presença da velocidade � na lei da força de Lorentz leva em conta o 
fato de que apenas cargas em movimento ficam sujeitas a uma força 
magnética. Tanto a carga ݍ quanto o campo magnético ⃗ܤ aparecem 
linearmente nessa equação, isto é, com expoente igual a “1”. 
 
Figura 17: Hendrik A. 
Lorentz (1853-1928) 
Esta é a expressão matemática que estabelece o fato de que a magnitude da força é 
proporcional à carga e à intensidade do campo magnético. A característica de a força 
ser perpendicular a ambos, � e ⃗ܤ , é descrita pelo produto vetorial na Equação (6.8). 
O c a m p o m a g n é t i c o | 116 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
 
Exemplo 6.4: Na Figura 18, um elétron é acelerado, desde o 
repouso, por meio de uma diferença de potencial de 500 V e, a 
seguir, é injetado em um campo magnético uniforme. Uma vez na 
presença do campo magnético, ele completa meia revolução em 2,0 
ns. Qual é o raio de sua órbita e a intensidade do campo magnético? 
Solução: A energia é conservada enquanto o elétron é acelerado 
pela diferença de potencial. Na presença do campo magnético, o 
elétron, então, passa a descrever o movimento conhecido como 
 
Figura 18 
ciclotron, embora complete apenas meia revolução até colidir com o eletrodo de aceleração. 
O elétron acelera desde o repouso ሺ�� = Ͳ m/s), onde �ܸ = Ͳ ܸ, para �௙ onde ௙ܸ = ͷͲͲ V. Podemos 
usar a conservação da energia, ܭ௙ + ݍ ௙ܸ = ܭ� + ݍ �ܸ, para determinar a velocidade �௙ com a qual 
ele entra no campo magnético: ͳʹ݉�௙ଶ + ሺ−݁ሻ ௙ܸ = Ͳ + Ͳ 
�௙ = √ʹ݁ ௙ܸ݉ = √ʹሺͳ,͸Ͳʹ × ͳͲ−ଵ9ሻሺͷͲͲሻͻ,ͳͳ × ͳͲ−ଷଵ = ͳ,͵͵ × ͳͲ଻ m/s 
Quando o elétron entra na região em que há apenas o campo magnético ele fica sujeito a uma força 
resultante centrípeta, pois passa a atuar nele uma força magnética perpendicular á sua velocidade e que 
aponta para o centro de uma órbita circular, como mostrado na Figura 18. O raio do movimento 
circular, chamado de raio ciclotron, está relacionado com o campo magnético a partir da segunda lei 
de Newton: ܨ௥௘௦ = ݉ܽ → ݁�௙ܤ = ݉�௙ଶܴ ݁ܤ = ݉�௙ܴ 
Ou seja, para determinar o campo magnético precisamos determinar o raio ciclotron, e vice-versa. 
Como informado no enunciado da questão, se não fosse o elétrodo, o elétron completaria o movimento 
circular com período ܶ = Ͷ,Ͳ ns. Podemos usar este tempo para determinar o raio da órbita do 
movimento ciclotron por �௙ = ʹ�ܴܶ ܴ = �௙ܶʹ� = ሺͳ,͵͵ × ͳͲ଻ሻሺͶ,Ͳ × ͳͲ−9ሻʹ� = ͺ,Ͷ͹ × ͳͲ−ଷ m = ͺ,ͷ mm 
Conhecido o raio ciclotron obtemos agora a intensidade do campo magnético: ܤ = ݉݁ �௙ܴ = ݉݁ ʹ�ܶ = ͻ,ͳͳ × ͳͲ−ଷଵͳ,͸Ͳʹ × ͳͲ−ଵ9 ʹ�ሺͶ,Ͳ × ͳͲ−9ሻ = ͺ,ͻ͵ × ͳͲ−ଷܶ 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 117 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
 
6.4 Campos cruzados 
A força de Lorentz nos diz que uma carga em movimento fica sujeita à seguinte força ܨ = ݍ(⃗ܧ + � × ⃗ܤ ) ሺ͸.ͻሻ 
Quando campo elétrico ⃗ܧ e o campo magnético ⃗ܤ são mutuamente 
perpendiculares, dizemos que os campos são cruzados. Vamos 
agora discutir o que acontece quando uma carga puntiforme, como 
o elétron, se move em uma região de campos cruzados. A discussão 
será baseada no experimento que levou à descoberta do elétron, 
realizado por J. J. Thomson em 1897 na Universidade de 
Cambridge. 
 
Figura 19: Joseph John 
“J.J.” Thomson 
(1856-1940) 
A Figura 20 mostra uma versão moderna, simplificada, do equipamento experimental de 
Thomson, o tubo de raios catódicos (semelhante ao tubo de imagem dos antigos aparelhos de 
televisão). Partículas carregadas são emitidas por um filamento aquecido em uma das 
extremidades de um tubo evacuado e aceleradas por uma diferença de potencial ܸ. Depois de 
passarem por uma fenda no ânodo, um feixe estreito atravessa uma região entre duas placas e 
atinge uma tela fluorescente, onde produz um ponto luminoso (nos aparelhos de televisão, o 
ponto é parte da imagem). 
Se as placas estão carregadas, submetidas a uma diferença de potencial ܸ, o feixe de 
partículas é desviado de sua trajetória retilínea e colide em um outro ponto da tela, Figura 21. 
O fato das partículas desviarem para uma direção, em função da polaridade do potencial ܸ, 
permitiu à Thomson descobrir que as partículas tinham carga negativa.Figura 20: Versão simplificada do equipamento usado por J. J. Thomson para medir a razão entre a massa e a carga 
do elétron. Se não há campo elétrico e nem magnético no tubo os raios catódicos seguem em linha reta e se chocam no 
meio da tela à direita. 
Agora, se justamente na região em que há o campo ⃗ܧ colocarmos um campo magnético ⃗ܤ 
perpendicular ao campo ⃗ܧ , podemos cancelar a deflexão do feixe de partículas, Figura 22. 
De acordo com a Equação (6.9), quando os dois campos da Figura 22 são ajustados de forma 
que a força elétrica e a força magnética se cancelem mutuamente, temos 
O c a m p o m a g n é t i c o | 118 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
ܨ = ݍ(⃗ܧ + � × ⃗ܤ ) = Ͳ⃗ |ݍ|ሺܧ − �ܤݏ݁݊ሺͻͲ௢ሻሻ = Ͳ 
ou � = ܧܤ 
Assim, os campos cruzados permitem medir a velocidade � das partículas. 
 
Figura 21: Quando um campo elétrico é produzido entre 
as placas do capacitor, os raios catódicos são desviados 
para no sentido do campo elétrico e então colidem em 
um ponto abaixo do centro da tela. 
 
Figura 22: Colocando um campo magnético entre as 
placas do capacitor podemos anular o desvio dos raios 
catódicos produzido pelo campo elétrico, então os raios 
catódicos voltam a colidir no centro da tela. 
A deflexão de uma partícula carregada por um campo elétrico uniforme ⃗ܧ pode ser 
determinada a partir das equações do movimento balístico. Pela segunda lei de Newton |ܨ௬| = |ݍ|ܧ = ݉|ܽ௬| 
assim |ܽ௬| = |ݍ|݉ܧ 
O tempo que a partícula leva para entrar e sair da placa, de comprimento ݀, é ݀ = �ݐ → ݐ = �݀ = ܤܧܮ 
Portanto a deflexão ݕ da carga no momento que deixa a região entre as placas é dada por: ݕ = |ܽ௬|ݐଶʹ = |ݍ|ܧʹ݉ ܤଶܧଶ݀ଶ = |ݍ|ʹ݉ ܤଶܧ݀ଶ 
Desta equação obtemos que 
|݉ݍ| = ܤଶ݀ଶʹݕܧ , 
onde todas as grandezas do lado direito podem ser medidas. Assim, os campos cruzados 
permitem medir a razão ݉/|ݍ| das partículas que estão sendo investigadas. 
Thomson afirmou que essas partículas estavam presentes em todas as formas de 
matéria e eram mais de 1000 vezes mais leves que o íon de hidrogênio (ܪ+), que hoje 
O c a m p o m a g n é t i c o | 119 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
sabemos ser o próton. Mais tarde verificou-se que a razão exata é 1836,15. A medição de ݉/|ݍ|, combinada com a afirmação de que ݍ era negativa, é considerada como “a descoberta 
do elétron”. 
 
6.5 Força sobre um condutor portador de corrente 
A Equação (6.8) pode ser utilizada para determinar a força magnética sobre um condutor 
portador de corrente se o campo magnético é conhecido na região por onde passa a corrente. 
Consideremos, para simplificar, um pedaço de fio de comprimento ݈ reto, delgado, de seção 
transversa de área ܣ, com corrente ܫ em um campo magnético uniforme ⃗ܤ , conforme 
mostrado na Figura 23. Calculamos a soma das forças magnéticas sobre os portadores de 
carga utilizando sua velocidade vetorial média, ou de arraste, � ௗ (Capítulo 5). O número de 
portadores de carga no comprimento ݈ é � = ݊ܣ݈, onde ݊ é o número de portadores de carga 
por unidade de volume e ܣ é o volume do comprimento do condutor. Se ݍ representa a carga 
de cada portador, então a força magnética total sobre a carga total �ݍ é ܨ = �ݍ� ௗ × ⃗ܤ = ݊ܣ݈ݍ� ௗ × ⃗ܤ 
É mais conveniente expressar esse resultado em termos da corrente ܫ e de um deslocamento ݈, 
um vetor cuja direção é a mesma que a da velocidade vetorial de arraste (ou de deriva) dos 
portadores positivos de carga. (Estamos admitindo que os portadores de carga estejam 
carregados positivamente. A força ܨ tem o mesmo módulo se os portadores de carga estão 
carregados negativamente.) A densidade de corrente tem módulo ݆ = ݊ݍ�ௗ e a corrente ܫ = ݆ܣ = ݊ݍ�ௗܣ (ver Capítulo 5). E, como ݈ tem a mesma direção que � ௗ, podemos 
escrever ݈� ௗ = ݈�ௗ . Fazendo essas substituições na expressão da força magnética total, 
temos ܨ = ݊ܣ݈ݍ� ௗ × ⃗ܤ = ݊ܣݍ�ௗ ݈ × ⃗ܤ 
ou ܨ = ܫ ݈× ⃗ܤ ሺ͸.ͳͲሻ 
A força magnética sobre essa seção do condutor tem a 
direção de ݈ × ⃗ܤ e é, assim, perpendicular ao plano de ݈ e ⃗ܤ . Na Figura 23, ݈ e ⃗ܤ estão no plano do papel, e a 
direção da força é perpendicular ao papel e para fora 
dele. Note que a direção do deslocamento ݈ está de 
acordo com o sentido convencional da corrente na 
 
Figura 23: Parte de um fio portador de 
corrente em um campo magnético 
O c a m p o m a g n é t i c o | 120 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
direção do movimento dos portadores de carga positivos. uniforme. 
O módulo dessa força é ܨ = ܫ݈ܤݏ݁݊� ሺ͸.ͳͳሻ 
onde � é o ângulo entre as direções de ݈ e ⃗ܤ , conforme Figura 23. O módulo da força sobre o 
comprimento ݈ do condutor é proporcional ao seu comprimento assim como à corrente no 
condutor e ao módulo do campo magnético. 
 
Exemplo 6.5: Um fio retilíneo, horizontal transportando uma corrente de 16 A de oeste para leste, está 
no campo magnético da Terra em um local em que ⃗ܤ é paralelo à superfície e aponta para o norte com 
módulo de 0,040 mT. (a) Determine a força magnética sobre um comprimento de 1,0 m de fio. (b) Se 
a massa do fio é 50 g, então que corrente permitirá que o fio seja magneticamente suportado (isto é, a 
força magnética equilibra o fio)? 
Solução: (a) O módulo da força é ܨ௠ = ܫ݈ܤݏ݁݊� = ሺͳ͸ሻሺͳ,ͲሻሺͶ,Ͳ × ͳͲ−ହሻݏ݁݊ͻͲ° = Ͳ,͸Ͷ ݉� 
A direção da força é dada por ݈ × ⃗ܤ . Como ݈ é dirigido para leste e ⃗ܤ aponta para o norte, 
a força é para cima, perpendicular à superfície da Terra. 
(b) Com o sentido da corrente ܫ de oeste para leste, a força magnética é para cima, oposta 
ao peso do fio. Para equilibrar o peso com a força magnética, igualamos seus módulos, ܫ݈ܤ = ݉݃, ou ܫ = ݈݉݃ܤ = ሺͲ,ͲͷͲሻሺͻ,ͺሻሺͳ,ͲሻሺͶ,Ͳ × ͳͲ−ହሻ = ͳʹ ݇ܣ 
Embora não seja viável que um fio delgado comum possa uma corrente tão grande, esse valor indica 
que o módulo de uma força magnética típica sobre um fio que transporta corrente é pequeno. 
 
A Equação 6.10 se aplica a pedaços retilíneos de um fio delgado em um campo magnético 
uniforme. Mas teremos de lidar também com fios condutores não retilíneos e com campos 
magnéticos não uniformes. Aplicamos primeiro a Equação 6.10 a um comprimento 
infinitesimal ݀ ݈ de um condutor portador de corrente. É conveniente definir um elemento 
infinitesimal de corrente ܫ ݀ ݈ como o produto da corrente ܫ por um deslocamento ݀ ݈ cuja 
direção tem o sentido da corrente para aquele elemento (Figura 24). A seção do fio que 
contém o elemento de corrente pode ser considerada retilínea, e ⃗ܤ não varia 
significativamente ao longo do pequeno comprimento ݀ ݈. Pela Equação 6.10, a força 
magnética ݀ܨ sobre o elemento de corrente é ݀ܨ = ܫ݀ ݈× ⃗ܤ ሺ͸.ͳʹሻ 
A Figura 24 mostra a direção da força, e o módulo desta depende do ângulo � entre ܫ݀ ݈ e ⃗ܤ 
O c a m p o m a g n é t i c o | 121 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
݀ܨ = ܫ ݈݀ ܤݏ݁݊� ሺ͸.ͳ͵ሻ 
Determina-se a força magnética sobre um pedaço maior de 
condutor portador de corrente somando-se as forças sobre 
todos os elementos do condutor, ou seja, integrando ao longo 
do condutor ܨ = ∫ܫ݀ ݈× ⃗ܤ ሺ͸.ͳͶሻ 
Ao aplicar a Equação 6.14, tenha em mente que está integrando 
um vetor que é o resultado de um produto vetorial. 
 
Figura 24: Um campo magnético 
exerce uma força infinitesimal 
sobre um elemento de corrente. 
 
Exemplo 6.6: Um condutor em forma de ܷ transportando uma corrente ܫ tem seu plano perpendicular 
a um campo magnético uniforme, conforme Figura 25. A parte curva é um semicírculo de raio ܴ. 
Determine a força magnética sobre esse pedaço de semicircular. 
Solução: Na Figura 25, o campo magnético aponta para fora do plano da figura, perpendicular a cada 
elemento de corrente, e a Equação 6.14 dá a força sobre um elemento típico de corrente conforme 
mostrado. A direção de ݀ܨ é radialmente para fora e seu módulo é ݀ܨ = ܫ ݈݀ ܤ ݏ݁݊ሺͻͲ௢ሻ = ܫܤ݈݀ 
Decompomos ݀ܨ emsuas componentes ݔ e ݕ e separadamente 
integramos essas componentes da: ݀ܨ௫ = ݀ܨܿ݋ݏ� = ܫܤ݈݀ܿ݋ݏ� ݀ܨ௬ = ݀ܨݏ݁݊� = ܫܤ݈݀ݏ݁݊� 
e ܨ௫ = ∫ܫܤ݈݀ܿ݋ݏ�, ܨ௬ = ∫ܫܤ݈݀ݏ݁݊� Figura 25 
onde as integrais são calculadas ao longo do semicírculo, com � variando de 0 a �. O 
comprimento dl subtende um ângulo dφ no centro e ݈݀ = ܴ ݀�. Fazendo estas substituições 
e colocando fora do sinal de integral as constantes ܫ, ܴ e ܤ, vem ܨ௫ = ܫܤܴ ∫ ܿ݋ݏ�݀��଴ = ܫܤܴሺݏ݁݊ � − ݏ݁݊ Ͳሻ = Ͳ ܨ௬ = ܫܤܴ ∫ ݏ݁݊�݀��଴ = −ܫܤܴሺܿ݋ݏ � − ܿ݋ݏ Ͳሻ = ʹܫܤܴ 
Como ܨ௫ = Ͳ, a força sobre a parte semicircular do condutor está na direção ݕ positiva e 
seu módulo é ܨ = ʹ݈ܤܴ. 
 
Força magnética entre fios condutores de corrente 
O c a m p o m a g n é t i c o | 122 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
André Ampère sugeriu que se um fio conduz uma corrente, e esta corrente produz um campo 
magnético, como evidenciado pelo fato de a corrente poder girar a agulha de uma bússola, 
então dois fios, cada um conduzindo uma corrente, devem, mutuamente, se atrair ou se repelir 
magneticamente. Por intermédio de uma série de experimentos, Ampère mostrou que dois fios 
paralelos e retos conduzindo corrente no mesmo sentido se atraem, e que dois fios paralelos e 
retos conduzindo corrente em sentidos opostos se repelem. 
Um fio 1 conduzindo uma corrente ܫଵ dá origem a um campo magnético ⃗ܤ ଵ. 
Um segundo fio, 2, na vizinhança do fio 1, conduzindo corrente ܫଶ sofre o 
efeito da força descrita pela Equação 6.14: ܨ ଵ→ଶ = ܫଶ ݈ଶ × ⃗ܤ ଵ 
Os subscritos indicam que a força do campo magnético surge da corrente no 
fio 1 e atua no fio 2. Da mesma forma, a interação entre a corrente no fio 1 e o 
campo devido à corrente no fio 2 também resulta em uma força. Esta força, 
 
Figura 26: 
Andre Marie 
Ampère (1775-
1836) ܨ ଶ→ଵ = ܫଵ ݈ଵ × ⃗ܤ ଶ 
completa o par de forças requerido pela terceira lei de Newton, a qual estabelece que 
para cada força existe uma força de reação igual porém de sentido oposto. 
As Figuras 27 e 28 mostram uma parte de dois fios longos, separados de uma distância ݀ e 
conduzindo correntes ܫଵ e ܫଶ, no mesmo sentido e em sentido contrário, respectivamente. A 
corrente em cada fio dá origem a um campo magnético que possui uma circulação no entorno 
do fio definida pela regra da mão direita. 
 
Figura 27 
 
Figura 28 
Analisemos a situação da Figura 27. O campo magnético devido à corrente ܫଵ é tangente aos 
círculos concêntricos ao fio 1 e orientados no sentido anti-horário tal que em qualquer ponto 
O c a m p o m a g n é t i c o | 123 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
sobre o fio 2, ⃗ܤ ଵ aponta para dentro do plano da página, conforme mostrado. A magnitude da 
força sobre um comprimento ݈ଶ do fio 2 é, portanto, expressa pela Equação 6.10: ܨଵ→ଶ = ܫଶ݈ଶܤଵݏ݁݊ͻͲ௢ = ܫଶ݈ଶܤଵ 
na qual o ângulo entre os vetores ݈ଶ e ⃗ܤ ଵ é igual a ͻͲ௢. Além disso, determinou-se 
anteriormente a intensidade do campo magnético a uma distância ݀ do fio condutor de 
corrente. Pela Equação 6.4, ܤଵ = �଴ܫଵʹ�݀ 
Assim, ܨଵ→ଶ = �଴ܫଵܫଶʹ�݀ ݈ଶ 
Aplica-se o mesmo procedimento para a força atuante no fio 1 devido à corrente no fio 2. A 
força do fio 1 sobre o fio 2 será, portanto ܨଶ→ଵ = �଴ܫଵܫଶʹ�݀ ݈ଵ 
Para comparar ܨଵ→ଶ e ܨଶ→ଵ, divide-se as forças pelos respectivos comprimentos dos fios nos 
quais a força é aplicada: ݈ଵ = ݈ଶ = ݈ 
As forças do fio 1 sobre o fio 2 e do fio 2 sobre o fio 1, por unidade de comprimento, serão 
portanto iguais ܨଵ→ଶ݈ଶ = ܨଶ→ଵ݈ଵ = �଴ܫଵܫଶʹ�݀ ሺ͸.ͳͷሻ 
Isto é, as duas forças por unidade de comprimento possuem a mesma magnitude, o que não é 
uma surpresa, uma vez que elas formam um par de forças. Note também que a força atuante 
em cada fio é orientada diretamente para o outro fio; logo, ܨ ଵ→ଶ e ܨ ଶ→ଵ são orientadas em 
sentidos opostos. Assim, ܨ ଵ→ଶ e ܨ ଶ→ଵ são iguais em magnitude e opostas em sentido, 
exatamente como requerido pela terceira lei de Newton. 
 
Exemplo 6.7: Os dois fios longos e retos instalados na região de trás do console de um computador 
para acionar o ventilador de refrigeração conduzem 0,11 A em sentidos opostos. Os fios são separados 
de uma distância de 0,5 cm. (a) Determine a magnitude da força por unidade de comprimento entre os 
fios. (b) Essa força é atrativa ou repulsiva? (c) A massa por unidade de comprimento do fio é de ͷ,Ͳ × ͳͲ−ଷ kg/m. Qual é o valor da aceleração a que os fios ficam sujeitos devido a esta força? 
O c a m p o m a g n é t i c o | 124 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Solução: Considerando os fios como longos, retos e paralelos, pode-se utilizar diretamente a Equação 
6.15. Sendo a corrente em ambos os fios designada por ܫ଴, a força por unidade de comprimento em 
cada um devida à corrente que flui no outro é ݈ܨ = �଴ܫ଴ଶʹ�݀ 
na qual d é a distância entre os fios. 
(a) Calcula-se a resposta numérica utilizando os valores fornecidos ݈ܨ = Ͷ� × ͳͲ−଻ሺͲ,ͳͳሻଶʹ�ሺͲ,ͲͲͷሻ = Ͷ,ͺ × ͳͲ−଻ �݉ 
(b) Como os fios conduzem corrente em sentidos opostos, a força atuante em cada fio o empurra no 
sentido de afastar-se do outro. 
(c) O comprimento do fio não é conhecido, o que é necessário para determinar a magnitude da força 
resultante atuante em um dos fios. Todavia, não é preciso conhecer a força total para determinar a 
aceleração. A força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração; logo, ܽ = ݉ܨ 
(d) A razão ܨ/݈ foi determinada e a massa por unidade de comprimento do fio ሺ݉/݈ሻ foi fornecida; 
assim, podemos dividir o numerador e o denominador por ݈ ܽ = ܨ/݈݉/݈ 
Com o resultado para ܨ/݈ obtido anteriormente e o valor fornecido da massa por unidade de 
comprimento, ܽ = Ͷ,ͺ × ͳͲ−଻ͷ,Ͳ × ͳͲ−ଷ = ͻ,͸ × ͳͲ−ହ ݉/ݏଶ 
São muito pequenas tanto a força atuante em cada fio quanto a aceleração a que cada um está sujeito 
devido à força magnética. Não se espera perceber qualquer efeito dessa força. 
 
Exemplo 6.8: Dois fios rígidos e paralelos, com 50 cm de comprimento cada, estão conectados a 
molas em suas extremidades. Cada mola tem 5,0 cm de comprimento, quando não estão esticadas, e 
uma constante de mola igual a 0,025 N/m. Os fios se empurram para longe um do outro quando uma 
corrente flui ao longo do caminho fechado. Que intensidade de corrente será necessária para esticar as 
molas até um comprimento de 6,0 cm? 
O c a m p o m a g n é t i c o | 125 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Solução: A Figura 29 mostra o “circuito”. As molas são 
condutoras, permitindo que uma corrente flua ao longo do 
caminho fechado. Em equilíbrio, as forças magnéticas 
repulsivas entre os fios são compensadas pelas forças 
restauradoras ܨ௠௢௟௔ = ݇ݔ exercidas pelas molas. A Figura 
28 representa a força exercida sobre o fio inferior. A força 
resultante é nula, portanto ܨ௠௔௚ = ʹܨ௠௢௟௔. A força repulsiva 
entre os fios é dada pela Equação 6.15, com ܫଵ = ܫଶ = ܫ: Figura 29 ܨ௠௔௚ = �଴ܫଶʹ�݀ ݈ = ʹܨ௠௢௟௔ = ʹ݇ݔ 
onde ݇ é a constante da mola e ݔ = 1,0 cm é a quantidade pela qual cada mola é esticada. Isolando a 
corrente, obtemos ܫ = √Ͷ�݀݇ݔ�଴݈ = ͳ͹ ܣ 
Dispositivos em que uma força magnética equilibra uma força mecânica são chamados de balanças de 
corrente. Eles podem ser usados para medir correntes com muita precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 126 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Atividades 
 
1. Dois fios longos, retilíneos, paralelos, conduzem corrente para 
fora do plano da Figura. Determine o módulo e a direção do campo 
magnético (a) no ponto P e (b) no ponto Q para ܫ = ͳʹ A e ܽ = ʹͷͲ mm. 
 
 
2. Existe uma corrente de 5,0 A em dois fios 
longos, retilíneos, paralelos, unidos por um fio 
semicircular de 75 mm de raio, conforme a Figura. 
Determine o campo magnético no centro do semicírculo. 
 
3. Uma seção retilínea de condutor, de comprimento ܮ =ͳ,Ͳ m, 
conduz uma corrente ܫ = ͳ,Ͳ A. Calcule, no ponto P na Figura, onde ܴ = ܮ/ʹ, o módulo do campo magnético devido a essa corrente. 
 
 
4. A Figura mostra a seção transversa de um longo cabo coaxial, onde ܽ = ͳ, ͷ mm, ܾ = ʹ, Ͷ mm e c = ͸, ͻ mm. Correntes iguais ܫ = ͳͺ A 
têm sentidos opostos nos condutores interior e exterior. Suponha que a 
densidade de corrente seja uniforme em cada condutor. Calcule o módulo 
do campo magnético em um ponto à distância ܴ = ͵,ͻ mm do eixo do 
cabo. 
 
 
5. Um toróide é uma bobina em forma de câmara de ar com � 
voltas de fio enrolado em tomo dela, assim como ilustra a 
Figura. No caso ideal o campo magnético produzido por um 
toróide só existe no seu interior, mas o campo não é uniforme 
sobre a seção transversa. Para um toróide ideal com � = ͷͲͲ 
voltas de fio, dimensões ܽ = ͹ͷ mm e ܾ = ͻͲ mm e com uma 
corrente ܫ = ͵ͲͲ mA, aplique a lei de Ampère ao trajeto circular 
O c a m p o m a g n é t i c o | 127 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
da figura para calcular o módulo do campo magnético a uma distância radial ݎ = ͳʹ,Ͳ cm do 
eixo do toróide. 
 
6. Um solenoide tem um comprimento ܮ = ͳ,ʹ͵ m, um diâmetro inteiro ݀ = ͵,ͷͷ cm e 
conduz uma corrente ܫ = ͷ,ͷ͹ A. É formado por cinco camadas de espiras cerradas, cada 
uma com ͺͷͲ espiras. Qual é o valor de ܤ no centro do solenoide? 
 
7. Um feixe de prótons que se move a l,20 km/s penetra um campo 
magnético uniforme, deslocando-se perpendicularmente ao campo. O 
feixe sai do campo magnético em um sentido perpendicular ao seu 
sentido original (Figura). O feixe percorre uma distância de l,18 cm 
enquanto esta no campo. Qual é o módulo do campo magnético? 
*A razão entre a massa e a carga do próton é ݁/݉ = ͻ,ͷͺ × ͳͲ଻ C/kg 
 
8. Um elétron possui uma velocidade inicial de (ͳʹ,Ͳଔ̂ + ͳͷ,Ͳ݇̂) km/s e uma aceleração 
constante de (ʹ,ͲͲ × ͳͲଵଶ m/sଶሻଓ̂ em uma região na qual existem um campo elétrico e um 
campo magnético, ambos uniformes. Se ⃗ܤ = ሺͶͲͲ �Tሻଓ̂, determine o campo elétrico ⃗ܧ . 
*A razão entre a massa e a carga do elétron é ݁/݉ = ͳ,͹͸ × ͳͲଵଵ C/kg 
 
9. Qual é a força resultante sobre uma malha retangular de fio com ܽ = ʹ,Ͳ cm de largura e ܾ = ͸,Ͳ cm de comprimento, localizada a ܿ = ʹ,Ͳ cm de um fio reto e longo que conduz uma corrente ܫଵ = ͶͲ 
A, como mostrado na Figura? Admita que uma corrente ܫଶ = ʹͲ A 
esteja presente na malha. 
 
 
 
10. Dois fios longos e paralelos estão suspensos por meio 
de cordas de ݈ = Ͷ,Ͳ cm de comprimento, presas a um 
eixo comum (Figura). Os fios possuem massa por 
unidade de comprimento igual a 0,0125 kg/m e 
conduzem correntes de mesmo módulo, porém de 
sentidos contrários. Qual é a corrente ܫ em cada fio, 
sabendo que as cordas de sustentação formam um ângulo 
de � = ͸,Ͳ௢ com a vertical? 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 128 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Respostas das Atividades 
1. (b) ͳ,͸͸ × ͳͲ−ହ T 
2. ʹ,ͳ × ͳͲ−ହ T 
3. ͻ,ͷ × ͳͲ−଺ T 
4. ͹,ͳ × ͳͲ−ସ T 
5. ʹ,ͷ × ͳͲ−ସ T 
6. ʹ,Ͷ × ͳͲ−ଶ T 
7. ͳ,͹ × ͳͲ−ଷ T 
8. ⃗ܧ = (−ͳͳ,͵͸ଓ̂ − ͸,ͲͲଔ̂ + Ͷ,ͺͲ݇̂) V/m 
9. ʹ,Ͷ × ͳͲ−ସ N, força atrativa 
10. ʹ͵,ʹ A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O c a m p o m a g n é t i c o | 129 
 
Eletromagnetismo - Prof. Neemias Lima - ECT - UFRN 
Bibliografia 
1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, 
Eletromagnetismo. 9ª Edição. LTC, 2012. 
2. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S..Física 3. 5ª Edição. 
LTC, 2002. 
3. CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W..Física, Volume 2. 6ª Edição. LTC, 
2006. 
4. SERWAY, Raymond A.; JEWETT, JR., John W..Princípios de Física, Volume 3, 5ª 
Edição. CENGAGE Learning, 2015. 
5. YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Robert A..Sears &Zemansky, Física III – 
Eletromagnetismo. 12ª Edição. PEARSON Addison Wesley, 2009. 
6. TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, Volume 2. 6ª 
Edição. LTC, 2009. 
7. KELLER, Frederick J.; GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J..Física, Volume 2. 
PEARSON Makron Books, 1999. 
8. KNIGHT, RandallD.. Física uma abordagem estratégica, Eletricidade e Magnetismo. 
Volume 3. 2ª Edição. ARTMED, 2009. 
9. NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica, Volume 3. 4ª Edição. 
BLUCHER, 2002. 
10. TREFIL, James; HAZEN, Robert M.. Física Viva, Uma Introdução à Física 
Conceitual, Volume 2. LTC, 2006. 
11. JEWETT, JR., John W.; SERWAY, Raymond A..Física para Cientistas e Engenheiros, 
Volume 3, 8ª Edição. CENGAGE Learning, 2011. 
 
Crédito de Algumas Figuras 
http://www.mattiko.com/history2.html 
http://learn-math.info/history/photos/Biot_3.jpeg 
http://iesmonre.educa.aragon.es/alumnos0506/electricidad/biotsavart/savart.jpg 
	O campo magnético