Lista1_PreCalc_Econ-EER-ECI_2015-1s

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Economia, ECI e EER - UNILA - 2015.1s
Lista 1 - Pré-Cálculo - 13-março-2015
1 Exercícios sobre Conjuntos
Exercício 1.1. ([IM] - modificado) Descrever os seguintes conjuntos através de uma pro-
priedade:
(a) X = {0, 2, 4, 6, . . .};
(b) Y = {−1,−3,−5,−7, . . .};
(c) W = {L,A, T, I,N,O,M,E,R,C};
(d) Z = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30,−1,−2,−3,−5,−6,−10,−15,−30}.
Observar que o emprego das reticências . . . indica que a listagem dos elementos do conjunto é infin-
dável.
Exercício 1.2. ([IM] - modificado) Listar os elementos dos conjuntos abaixo:
(a) X = {x | x é divisor de 40};
(b) Y = {y | y é múltiplo positivo de 21 e menor que 167}.
Exercício 1.3. ([IM] - modificado) Descrever os seguintes conjuntos:
(a) X = {x ∈ Z | x.0 6= 0};
(b) Y = {y ∈ Z | y > 0 e y < 0}.
Deve-se observar aqui o emprego do conjunto dos números inteiros Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.
Exercício 1.4. ([IM] - modificado) São dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2}, B =
{2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}. Classificar cada uma das seguintes assertivas
em verdadeiro(V) ou falso(F) (justificando sempre!):
(a) A ⊆ D
∣∣∣∣ (b) A ⊆ B ∣∣∣∣ (c) B ⊆ C ∣∣∣∣ (d) D ⊇ B
(e) C = D
∣∣∣∣ (f) A 6⊆ C ∣∣∣∣ (g) B ( D ∣∣∣∣ (h) D ) A
(i) B ∩ C = D
∣∣∣∣ (j) A ∩B = ∅ ∣∣∣∣ (k) (B ∪ C) ⊇ D ∣∣∣∣ (l) (D ∩B) ⊆ B
(m) B ∈ D
∣∣∣∣ (n) A /∈ C ∣∣∣∣ (o) D ⊇ (A ∪B ∪ C) ∣∣∣∣ (p) (A ∩B) ⊆ D
Exercício 1.5. ([IM] - modificado) Classificar cada uma das seguintes assertivas em ver-
dadeiro(V) ou falso(F) (justificando sempre!):
(a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
∣∣∣∣ (b) {a} ∈ {a, b} ∣∣∣∣ (c) ∅ ∈ {0} ∣∣∣∣ (d) {a} ⊆ ∅
1
(e) 0 ∈ ∅
∣∣∣∣ (f) a ∈ {a, {a}} ∣∣∣∣ (g) a ⊆ {a, {a}} ∣∣∣∣ (h) a ∈ {a, {a}}
(i) ∅ ∈ {∅, {a}}
∣∣∣∣ (j) ∅ ⊆ {∅, {a}}
(k) {a, b} ⊆ {a, b, c, d}
∣∣∣∣ (l) {a, b} ∈ {a, b, c, d}
Definição 1.1. Seja A um subconjunto em U . Denota-se e define-se o conjunto das
partes de A por
P(A) = {X ⊆ U | X ⊆ A}
ou seja, é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
Exemplo 1.1. Se A = {a, b}, então P(A) = {∅, {a}, {b}, A}. Lembrar que o conjunto
vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Exercício 1.6. ([IM]) Determinar o conjunto das partes de A = {1, 2, 3}.
Exercício 1.7. ([IM] - modificado) Sejam A e B conjuntos em U . Provar que:
(a) A ⊆ (A ∪B); (b) (A ∩B) ⊆ A.
Exercício 1.8. Sejam A e B conjuntos em U . Provar que:
(a) A ∪ (A ∩B) = A; (b) A ∩ (A ∪B) = A.
Exercício 1.9. ([H]) Sejam A e B conjuntos em U . Provar que (A ∩B) ⊆ (A ∪B).
Exercício 1.10. ([IM]) Sejam A, B e C conjuntos em U . Classificar cada uma das
seguintes assertivas em verdadeiro(V) ou falso(F) (justificando sempre!):
(a) ∅ ⊆ (A∪B)
∣∣∣∣ (b) (A∪B) ⊆ A ∣∣∣∣ (c) A ⊇ (A∪B) ∣∣∣∣ (d) (A∪B) ⊆ (A∪B)
(e) B ⊆ (A∪B)
∣∣∣∣ (f) (A∪B) ⊆ (A∪B∪C) ∣∣∣∣ (g) ∅ ⊆ (A∩B) ∣∣∣∣ (h) B ⊆ (A∩B)
(i) A ∈ (A ∩B)
∣∣∣∣ (j) (A ∩B) ⊆ (A ∩B)
(k) (A ∩B) ⊆ B
∣∣∣∣ (l) (A ∩B) ⊇ (A ∩B ∩ C)
Exercício 1.11. Se Q é o conjunto de todos os quadrados e R é o conjunto de todos
os retângulos, seria então correto afirmar que R ⊆ Q ou que Q ⊆ R?
Exercício 1.12. ([IM]) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4},
determinar um conjunto X tal que X ∪B = A ∪ C e X ∩B = ∅.
2
Exercício 1.13. ([IM]) Determinar um conjunto X capaz de cumprir: {a, b, c, d}∪X =
{a, b, c, d, e}, {c, d} ∪X = {a, c, d, e} e {b, c, d} ∩X = {c}.
Exercício 1.14. ([IM]) Sabendo que A∪B ∪C = {n | 1 ≤ n ≤ 10}, A∩B = {2, 3, 8},
A ∩ C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6} e A ∪B = {n | 1 ≤ n ≤ 8}, determinar C.
Exercício 1.15. ([IM]) Determinar todos os conjuntos X capazes de cumprir
{1, 2} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4}
Exercício 1.16. ([IM] - modificado) Se A tem 2 elementos, B tem 3 elementos e C tem
4 elementos, quantos elementos pode ter o conjunto A ∩B ∩ C?
Exercício 1.17. ([IM]) Assinalar no diagrama abaixo, um por vez, os seguintes con-
juntos:
(a) A ∩B ∩ C; (b) A ∩ (B ∪ C); (c) A ∪ (B ∩ C); (d) A ∪B ∪ C.
Exercício 1.18. ([LCWM1]) Considerar F o conjunto de todos os filósofos, M o con-
junto de todos os matemáticos, C o conjunto de todos os cientistas e P o conjunto de
todos os professores. Expressar as seguintes afirmações em linguagem de conjuntos:
(a) Todos os matemáticos são filósofos;
(b) Alguns matemáticos são professores;
(c) Alguns cientistas são filósofos;
(d) Todos os filósofos são cientistas ou professores;
(e) Nem todo professor é cientista;
(f) Alguns matemáticos são filósofos;
(g) Nem todo filósofo é cientista;
(h) Alguns filósofos são professores;
(i) Se um filósofo não é matemático, então ele é professor;
(j) Alguns filósofos são matemáticos.
Exercício 1.19. ([L]) No que segue deve-se considerar A, B e C conjuntos em U .
(a) Ler o texto abaixo extraído da obra [L] em seu capítulo I para provar a distributi-
vidade da união em relação à intersecção de conjuntos, ou seja, para provar que
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (1)
que é o seguinte:
''Primeiro provaremos que A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Ora, dado x ∈ A ∪ (B ∩ C), tem-se
x ∈ A ou, então, x ∈ B ∩ C. No primeiro caso, vem x ∈ A ∪B e x ∈ A ∪ C, donde
x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). No segundo caso temos x ∈ B e x ∈ C. De x ∈ B segue-se x ∈ A ∪B e de
3
x ∈ C conclui-se x ∈ A ∪ C. Logo, x ∈ A ∪B e x ∈ A ∪ C, isto é, x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Em
qualquer hipótese, x ∈ A ∪ (B ∩ C) implica x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Isso quer dizer:
A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Agora mostraremos que (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C). Para
isto, seja x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Então x ∈ (A ∪B) e x ∈ (A ∪ C). Dentro desta situação, há duas
possibilidades: ou x ∈ A ou x /∈ A. Se for x /∈ A, então (como x ∈ A ∪B e x ∈ A ∪ C) deve ser
x ∈ B e x ∈ C, isto é, x ∈ B ∩ C e, portanto, x ∈ A ∪ (B ∩ C). Se for x ∈ A então evidentemente
x ∈ A ∪ (B ∩ C). Em qualquer hipótese, x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C), ou seja,
(A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C), como queríamos provar.�
(b) Fazer ao menos um diagrama para ilustrar a propriedade dada em (1);
(c) Adaptar o texto acima para provar a seguinte propriedade (da distributividade da
intersecção em relação à união de conjuntos):
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (2)
(d) Fazer ao menos um diagrama para ilustrar a propriedade dada em (2).
Exercício 1.20. Provar as seguintes assertivas dadas na proposição 5 (dada em aula):
sejam X, Y e Z em U cumprindo X ⊆ Z e Y ⊆ Z. Então:
(i) {XZ ∩X = ∅ e {XZ ∪X = Z
(iii) {({
X
Z )
Z = X
(
ou (XC)C = X
)
(v) {(X∪Y )Z = {XZ ∩ {YZ
(
ou (X ∪ Y )C = XC ∩ Y C)
Exercício 1.21. ([IM]) Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C =
{b, d, e, g}. Determine:
(a) A \B; (b) C \B; (c) A \ (B ∩ C); (d) B \ A;
(e) (A ∪ C) \B; (f) (A ∪B) \ (A ∩ C).
Exercício 1.22. ([IM]) Sejam A e B conjuntos em U . Provar que A \B ⊆ A.
Exercício 1.23. ([IM]) Sejam A, B e C conjuntos em U . Classificar cada uma das
seguintes assertivas em verdadeiro(V) ou falso(F) (justificando sempre!):
(a) (A \B) ⊇ ∅; (b) (A \B) ∪ (A ∩B) = A; (c) (A \B) ⊆ B;
(d) (A \B) ⊆ (A ∪B).
Exercício 1.24. ([IM]) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}.
Obter um conjunto X tal que X ⊆ A e A \X = B ∩ C.
Exercício 1.25. ([IM]) Sejam A e B conjuntos em U . Considerar AC = {AU e analo-
gamente para o complementar de B. Provar que
A \BC = A ∩B (3)
4
Exercício 1.26. ([IM]) Sejam A e B conjuntos em U . Considerar AC = {AU e ana-
logamente para o complementar de B. Assinalar no diagrama abaixo, um por vez, os
seguintes conjuntos:
(a) AC \ B; (b) AC \ (A ∪ B); (c) BC ∪ A; (d) (A ∪ B)C; (e) (A ∩ B)C;
(f) BC ∩ A.
Exercício 1.27. ([IM]) Sejam A e B conjuntos em U . Considerar AC = {AU e analo-
gamente para o complementar de B. Classificar cada uma das seguintes assertivas em
verdadeiro(V) ou falso(F) (justificando sempre!):
(a) (A \B) ∪ (B \ A) = (A ∪B) \ (A ∩B);
(b) A ⊆ B ⇒ BC ⊆ AC;
(c) (A \B) ⊆ AC;
(d) (A \B) ⊆ BC.
Exercício 1.28. ([IM]) Sejam A e B conjuntos em U . Considerar AC = {AU e analoga-
mente para o complementar de B. Sabe-se a respeito de A e B que: AC = {e, f, g,h, i},
A ∩ B = {c, d}, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}. Quantos elementos tem o conjunto A? E o
conjunto B?
Exercício 1.29. ([IM]) Determinar conjuntos A e B cumprindo as seis seguintes con-
dições:
(i) A ∪B ∪ C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p};
(ii) A ∩B = {r, s};
(iii) B ∩ C = {s, x};
(iv) C ∩ A = {s, t};
(v) A ∪ C = {p, q, r, s, t, u, v, x};
(vi) A ∪B = {p, q, r, s, t, x, z}.
Exercício 1.30. ([IM]) Desenhar num diagrama quatro conjuntos A, B, C e D num
conjunto universo U , todos não vazios, de modo que se tenha: A 6⊆ B, B 6⊆ A; C ⊇
(A ∪B) e D ⊆ (A ∩B).
Definição 1.2. Dados dois conjuntos A e B em U , chama-se diferença simétrica
de A e B ao conjunto em U denotado e definido por
A∆B = (A \B) ∪ (B \ A)
Exercício 1.31. ([IM]) Com base no conceito estabelecido na definição 1.2:
(a) determinar {a, b, c, d}∆{c, d, e, f, g};
(b) provar que A∆∅ = A, ∀A ⊆ U ;
(c) provar que A∆A = ∅, ∀A ⊆ U ;
(d) provar que A∆B = B∆A, ∀A,B ⊆ U ;
(e) assinalar em cada um dos diagramas abaixo o conjunto A∆B:
5
2 Fontes bibliográficas.
Todas as referências aqui citadas, sempre no formato ([AAA]), referem-se a:
[IM] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - CONJUNTOS e FUNÇÕES,
volume I. Editora Atual, 8
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edição, 2004, 5
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reimpressão.
[IDM] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - LOGA-
RITMOS, volume II. Editora Atual, 8
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edição, 1994.
[I3] IEZZI, Gelson. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - TRIGONOMETRIA, volume III. Editora Atual, 7
a
edição, 1996.
[IH] IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - SEQÜÊNCIAS, MATRIZES,
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[I6] IEZZI, Gelson. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - COMPLEXOS, POLINÔMIOS e EQUAÇÕES,
volume VI. Editora Atual, 6
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edição, 1996.
[IMM] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR -
LIMITES, DERIVADAS e NOÇÕES DE INTEGRAL, volume VIII. Editora Atual, 5
a
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