Matemática Financeira

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Matemática Financeira
UNIDADE 2
1
UNIDADE II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Nesta unidade estudaremos o regime de capitalização composta. Vamos verificar 
como utilizar a tecnologia para nos ajudar com o cálculo dos juros compostos. 
Aprenderemos métodos para transformar a calculadora HP 12c e o Excel em nossos 
aliados do dia a dia e discutiremos conceitos como equivalência de capitais a juros 
compostos, taxa de juros efetiva, taxa over e outros.
Vamos seguir! 
Começaremos falando da diferença entre o regime de capitalização simples, visto 
na unidade I, e o regime de capitalização composto, que começaremos a estudar a 
partir desta unidade.
As operações financeiras, em sua maioria, se apoiam em duas formas de 
capitalização: a simples e a composta.
A capitalização simples está mais relacionada às operações com operações de 
curtíssimo prazo, prazos estes inferiores a 1 e a descontos de títulos junto a agentes 
financeiros. Por exemplo: juros de cheque especial cobrados dentro de um mês.
A capitalização composta está associada às operações onde o período de 
capitalização é maior que 1. Por exemplo: o financiamento de um veículo, o 
financiamento de um imóvel e as aplicações capitalizadas mensalmente dentro de 
um ano.
Não podemos esquecer que tanto o regime de capitalização simples como o regime 
de capitalização composto estão presentes em nossa vida financeira.
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COMPARANDO O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (LINEAR) E O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (EXPONENCIAL)
Regime de capitalização simples
Você observou na unidade I que a capitalização é a transformação do capital, 
no regime de capitalização simples (RCS), essa capitalização ocorre no final da 
aplicação e a taxa de juros incide sempre sobre o valor inicial da aplicação. Veja 
novamente o exemplo abaixo:
- Desejo fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 durante 3 meses a uma 
taxa de juros simples de 10% ao mês. Quanto receberei de montante no final 
da aplicação?
Resolução:
Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de 
aplicação. 
Os juros gerados no 1º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
Os juros gerados no 2º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
Os juros gerados no 3º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
Com o auxílio da tabela abaixo, vamos fazer uma representação gráfica da questão 
anterior no regime de capitalização simples, o valor pago a cada mês está em 
função do tempo e da taxa de juros. No eixo horizontal (x) será representado o 
tempo, e no eixo vertical (y), o valor que deveria ser pago a cada mês.
 
Mês Capital Juros Montante
0 R$ 10.000 0 R$ 10.000
1 R$ 10.000 10.000 x (0,10) = 
1.000
R$ 11.000
2 R$ 10.000 10.000 x (0,10) = 
1.000
R$ 12.000
3 R$ 10.000 10.000 x (0,10) = 
1.000
R$ 13.000
Imagem do autor
Note que existe uma reta ligando os valores, isso é característica de uma função polinomial 
do 1º grau. Por esse motivo, dizemos que no regime de capitalização simples o crescimento 
é linear.
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No cálculo dos juros de cada mês, a taxa incide apenas sobre o capital inicial, por isso 
dizemos que cresce da mesma forma, pois o percentual é apenas em cima do valor inicial. 
Assim, o montante após 3 meses é R$ 13.000,00 (R$ 10.000,00 + R$ 3.000,00).
Assim, genericamente, os juros capitalizados por n períodos no regime de capitalização 
simples poderiam ser apresentados pela função:
J = VP . i . n
Onde:
J = juros
VP = valor presente 
i = taxa
n = nº de períodos da capitalização
E para cálculo do valor futuro (montante), vimos que se montante é capital mais juro (M = 
VP + J), lembre-se que juros é J = VP. i . n, então se no lugar de j você escrever VP. i . n e 
se colocar o VP em evidência , obteremos a fórmula geral da capitalização simples M = VP. 
(1 + i . n).
Essa fórmula permite o cálculo direto do valor futuro (montante) a ser pago no período n, 
dados uma taxa de juros e um valor inicial (capital ou valor presente).
Aplicando a fórmula no exemplo anterior, temos:
VP = 10000 i = 10% ao mês n = 3 meses M = ?
M = 10000 . ( 1 + 0,10 . 3 )
M = 10000 . ( 1 + 0,30 )
M = 10000 . ( 1,30 )
M = 13000
Regime de capitalização composta
No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor presente, sendo 
que o valor presente é corrigido de período a período, pois no regime de capitalização 
composta (RCC), essa capitalização ocorre durante a aplicação e a taxa de juros incide 
sempre sobre o valor presente ajustado período a período. Veja novamente o exemplo 
abaixo, agora utilizando o regime de capitalização composta:
- Desejo fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 durante 3 meses a uma taxa de 
juros de 10% ao mês. Quanto receberei de montante no final da aplicação?
Resolução:
Antes de resolvermos a questão, observe que o problema não traz a informação de qual 
regime utilizar: o simples ou o composto. Pois bem, essa informação não é necessária 
quando se trata do regime de capitalização composta, pois a maioria das transações 
financeiras é feita nesse regime. Agora, quando o problema é sobre o regime de 
capitalização simples é obrigatório que venha a identificação desse regime no problema.
Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de 
aplicação. 
Os juros gerados no 1º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000.
Esses R$ 1.000,00 que foram gerados após um mês de juros, serão incorporados ao 
valor inicial que foi de R$10.000,00, havendo uma capitalização (transformação) para R$ 
11.000,00, ou seja, o novo capital (valor presente) é R$ 11.000,00. Por tanto a remuneração 
no 2º mês será calculada em cima do novo capital que é de R$ 11.000,00. Vejamos:
4
Os juros gerados no 2º mês são 11.000 x (0,10) = 1.100. 
Esses R$ 1.100,00 que foram gerados após mais um mês de juros, serão incorporados ao 
valor do novo capital que é de R$11.000,00, havendo uma capitalização (transformação) 
para R$ 12.100,00, ou seja, o novo capital (valor presente) é R$ 12.100,00. Por tanto a 
remuneração no 3º mês será calculada em cima do novo capital que é de R$ 12.100,00. 
Vejamos:
Os juros gerados no 3º mês são 12.100 x (0,10) = 1.210. 
Esses R$ 1.210,00 que foram gerados após mais um mês de juros, serão incorporados ao 
valor do novo capital que é de R$12.100,00, havendo uma capitalização (transformação) 
para R$ 13.300,00, ou seja, o novo capital (valor presente) é R$ 13.300,00. Como 
chegamos ao final do prazo de aplicação, o montante foi de R$ 13.300,00. 
Com o auxílio da tabela abaixo, vamos fazer uma representação gráfica da questão 
anterior no regime de capitalização composta, o valor pago a cada mês está em 
função do tempo e da taxa de juros. No eixo horizontal (x) será representado o 
tempo, e no eixo vertical (y), o valor que deveria ser pago a cada mês.
 
Mês Capital Juros Montante
0 R$ 10.000 0 R$ 10.000
1 R$ 10.000 10.000 x (0,10) = 
1.000
R$ 11.000
2 R$ 11.000 11.000 x (0,10) = 
1.100
R$ 12.100
3 R$ 12.100 10.000 x (0,10) = 
1.210
R$ 13.310
Imagem do autor
Note que existe uma curva ligando os valores, isso é característica de uma função 
exponencial. Por esse motivo, dizemos que no regime de capitalização composta o 
crescimento é exponencial.
Leia as páginas 25 e 26 do seu livro texto para uma melhor compreensão do raciocínio 
utilizado para encontrar a fórmula da capitalização composta.
Assim, genericamente, os juros capitalizados por n períodos no regime de capitalização 
composta poderiam ser apresentados pela função:
5
VF = VP . (1 + i)n
Onde:
VF = Valor final (Montante)
VP = valor presente 
i = taxa
n = nº de períodos da capitalização
Essa fórmula permite o cálculo direto do valor futuro (montante) a ser pago no período n, 
dados uma taxa de juros e um valor inicial (capital ou valor presente).
Aplicando a fórmula no exemplo anterior, temos:
VP = 10000 i = 10% ao mêsn = 3 meses M = ?
VF = 10000 . ( 1 + 0,10 ) 3
VF = 10000 . ( 1,10 ) ³
VF = 10000 . 1,10 . 1,10 . 1,10
VF = 13.310
Então, veja que a capitalização simples acontece de forma linear e a capitalização composta 
acontece de forma exponencial. Isso faz com que para períodos maiores que 1, mesmo 
valor presente e mesma taxa, a capitalização composta seja maior que a capitalização 
simples.
Quando o período for igual a 1, como demonstrado no exemplo anterior, a capitalização 
simples será igual a capitalização composta.
Quando o período for menor que 1, a capitalização simples será maior que a capitalização 
composta. 
No gráfico a seguir isto está bem claro (considere mesmo valor presente e mesma taxa), 
veja que quando o período é igual a 1, as duas curvas interceptam-se (tocam-se) mostrando 
que os montantes são iguais nos dois regimes de capitalização, por tanto, no período menor 
que 1, a curva que representa os juros compostos está abaixo da curva que representa os 
juros simples, mostrando que no regime de capitalização composta, para períodos menores 
que 1 a capitalização simples será maior que a capitalização composta e para períodos 
maiores que 1 a curva que representa juros compostos está acima da curva que representa 
juros simples, mostrando que para períodos maiores que 1, a capitalização composta seja 
maior que a capitalização simples.
 
Imagem do autor
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Nas páginas 30 e 31 do livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes, 
que você encontra acessando a biblioteca virtual, tem um exemplo do que foi exposto acima 
acerca da diferença entre juros simples e compostos.
Antes de aprofundarmos nossos estudos sobre regime de capitalização composta, é 
necessário e importante que você leia, do seu livro texto da página 30 até a página 36, onde 
você verá uma breve explicação de algumas operações matemáticas básicas utilizando a 
calculadora HP 12C que, se por acaso você não possuir, você pode encontrar no link:
https://epx.com.br/ctb/hp12c.php e também a utilização do Microsoft Excel, importante 
também que você leia e ao mesmo tempo pratique o capítulo 3 (A calculadora 
financeira HP 12C) e o capítulo 4 (Noções básicas sobre Excel) do livro: Matemática 
financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes, que você encontra acessando a 
biblioteca virtual. 
Importante lembrar que se faz necessário que você leia e pratique, pois os cálculos 
que serão abordados a partir de agora serão calculados com o auxílio da calculadora 
HP 12C e também pelo Microsoft Excel.
Disto isto e certo que você seguiu minha orientação sobre a calculadora financeira 
HP 12C e o Excel, vamos aprofundar nossos conhecimentos acerca do regime de 
capitalização composta.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Caro(a) aluno(a), para você aprender conceitos que envolvam juros compostos, é 
preciso ter uma boa ideia do que seja valor presente (VP) e valor futuro (VF).
Aplicações na caderneta de poupança, por exemplo, têm seu valor de resgate 
determinado por uma taxa de juros menos os impostos pagos. Esse valor a ser 
resgatado é denominado valor futuro (VF) e está em função do valor investido, 
denominado valor presente (VP). A relação entre o valor futuro e o valor presente é 
muito importante para o estudo do regime de capitalização composto (leia o mesmo 
livro de Gimenes, na página 69).
Determinando o valor futuro (VF) a partir do valor presente (VP)
Vejamos um exemplo para determinar o valor futuro (VF) a partir do valor presente 
(VP).
Exemplo: 
§	Uma máquina de calcular anunciada por R$ 140,00 à vista ou para pagamento a 
prazo em apenas uma vez daqui a dois meses, mediante uma taxa igual a 4% ao 
mês. Qual o valor futuro?
§	
 
1º passo: Organize as informações.
VP = 140 i = 4 % ao mês n = 2 meses
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses.
7
3º passo: utilização da fórmula
VF = VP . ( 1 + i ) n
VF = 140 . ( 1 + 0,04 ) 2 
VF = 140 . 1,04 ²
VF = 140 . 1,04 . 1,04
VF = 151,42
Isso quer dizer que se comprarmos essa calculadora para pagamento em 2 meses, 
seu valor passará de R$ 140,00 ( seu valor à vista ) para R$ 151,42 ( seu valor a 
prazo).
Veja que fizemos o exemplo acima pelo método algébrico, sem precisar utilizar 
uma calculadora como a HP 12C, isso foi fácil por conta do período que é pequeno 
e igual a 2. Por tanto, bastou multiplicar 140 por 1,04 duas vezes. Mas quando o 
período é grande, a calculadora HP 12C é de grande ajuda. 
Então vamos resolver o problema anterior utilizando a HP 12C.
É importante que você tenha seguido minha orientação antes de começarmos este 
estudo sobre como utilizar a HP 12C, se você não leu da página 30 até a página 
36 do seu livro texto e também o capítulo 3 (A calculadora financeira HP 12C) do 
livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes, que você encontra 
acessando a biblioteca virtual, leia antes de começar a ver a resolução que vou fazer 
a seguir.
Vejamos novamente o exemplo:
§	Uma máquina de calcular anunciada por R$ 140,00 à vista ou para pagamento a 
prazo em apenas uma vez daqui a dois meses, mediante uma taxa igual a 4% ao 
mês. Qual o valor futuro?
 
1º passo: Organize as informações.
VP = 140 i = 4 % ao mês n = 2 meses
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses.
3º passo: utilização da HP 12C
A HP 12C pode resolver esse problema tanto pela fórmula quanto pelas funções 
financeiras básicas.
Resolução pela fórmula básica
VF = VP . ( 1 + i ) n
VF = 140 . ( 1 + 0,04 ) 2 = ?
Configure o visor para duas casas: 
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
8
140 
1,04 
2 
 Visor è 151,42
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Você deve ter visto que a HP 12C apresenta muitas funções financeiras, dentre elas 
temos algumas funções financeiras básicas listadas abaixo:
 è Present Value, traduzindo à Valor Presente
 è Future Value, traduzindo à Valor Futuro
 è Payments, traduzindo à Pagamentos/prestações
 è Interest Rate, traduzindo à Taxa de Juros
 è Number of periods, traduzindo à Número de períodos
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
140 
4 
2 
 à visor - 151,42
Observe como é prática a utilização das funções básicas da HP 12c.
Você pode está se perguntado “Por que o valor futuro foi negativo ( - 151,42 )?”
Bem, lembre-se que a base de cálculo no regime de capitalização composta é 
sempre uma relação entre o valor presente e o valor futuro. Pois bem, a questão 
diz que você vai comprar uma calculadora a prazo, então não sairá dinheiro do seu 
bolso agora, na verdade a loja está te emprestando R$ 140,00 que é o valor à vista 
da calculadora, por tanto está entrando dinheiro ( R$ 140,00 ) para você pagar ( R$ 
151,42 ) que é o valor futuro da calculadora após 2 meses, que será quando sairá 
dinheiro do seu bolso, esse é o motivo do valor negativo ( - 151,42 ). Vejamos, para 
ficar mais claro, o diagrama de operações financeiras abaixo:
Imagem do autor
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Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
Vejamos novamente o exemplo:
§	Uma máquina de calcular anunciada por R$ 140,00 à vista ou para pagamento a 
prazo em apenas uma vez daqui a dois meses, mediante uma taxa igual a 4% ao 
mês. Qual o valor futuro?
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor futuro seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “VF”. Você verá a imagem abaixo.
Agora, insira os dados:
Taxa = 4%
Nper = 2
Pgto = 0 (Significa que não tem prestações, não há uma série de pagamentos)
VP = 140
10
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
Aparecerá na célula B6 o valor – R$ 151,42, como na figura abaixo.
Determinando o valor presente (VP) a partir do valor futuro (VF)
Se nós temos em mãos o quanto foi pago, os juros praticados e o período de tempo 
do empréstimo, podemos encontrar o valor Presente, que é o ponto de partida da 
transação.
Para o cálculo do valor presente vamos utilizar a fórmula: , cuja 
demonstração você pode ver na página 28 do seu livro texto.
EXEMPLO: 
§	Samuel quer fazer uma aplicação hoje para possuir R$ 5.000 daqui a um ano. 
Sabendo que a taxa de juros compostos dessa operação é de 1,8% a.m., quanto ele 
deve aplicar?
1º passo: Organize as informações.
VP = ? i = 1,8 % ao mês n = 1 ano VF = 5000
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa em mês e tempo em ano, então transformando o tempo em meses temos 12 
meses.
VP = ? i = 1,8 % ao mês n = 12 meses VF = 5000
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
11
5000 
1,018 
12 
 Visor è 4.036,42
Isso quer dizer que se Samuel deseja ter R$ 5.000,00 daqui a 1 ano, sabendo que a 
taxa é de 1,8% ao mês, ele tem que aplicar hoje R$ 4.036,42.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
5000 
1,8 
12 
 à visor – 4.036,42
Você pode está se perguntado “Por que o valor presente foi negativo ( - 4.036,42 ) ?”
Bem, lembre-se que a base de cálculo no regime de capitalização composta é 
sempre uma relação entre o valor presente e o valor futuro. Pois bem, a calculadora 
mostra que Samuel tem que investir (desembolsar) R$ 4.036,42, por isso o valor 
negativo (- 4.036,42 ) para ter daqui a 1 ano o valor de R$ 5.000,00. Vejamos, para 
ficar mais claro, o diagrama de operações financeiras abaixo:
Imagem do autor
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
12
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor presente seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “VP”. Você verá a imagem abaixo.
Agora, insira os dados:
Taxa = 1,8%
Per = 12
Pgto = 0 (Significa que não tem prestações, não há uma série de pagamentos)
Vf = 5000
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
Aparecerá na célula B6 o valor – R$ 4.036,42, como na figura abaixo.
13
Determinando o tempo “n” numa operação que envolva o valor presente (VP) e 
o valor futuro (VF)
Uma das aplicações mais utilizadas na matemática financeira é encontrar o tempo. 
Pense, por exemplo, que você dispõe de certa quantia para investir e receber um 
valor desejado no futuro. Se você conhece uma aplicação que dá uma determinada 
taxa de rendimentos e você tem um capital inicial preestabelecido, por quanto tempo 
você precisa manter o dinheiro aplicado?
Para chegarmos ao tempo – o termo n –, observe a dedução da fórmula
 
 
na página 28 do seu livro texto, onde ele explica que Ln é o logaritmo
 neperiano.
Veja um exemplo:
§	Um consumidor comprou um aparelho à vista por R$ 450,00. O mesmo bem poderia 
ser pago a prazo, com a taxa de juros compostos de 6% a.m. O valor a prazo era de 
600,00. Qual o prazo disponibilizado pela loja em dias?
1º passo: Organize as informações.
VP = 450 i = 6 % ao mês n = ? VF = 600
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa em mês, mesmo a questão querendo o tempo em dias, vamos calcular em 
meses e no final multiplicamos por 30 ( 1 mês = 30 dias ).
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
14
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
600 
450 (Tecla para ativar a função LN em azul)
1,06 
 Visor è 4,94 (Valor em meses)
30 Visor è 148,11 dias
Isso quer dizer que a loja disponibilizou um prazo de 149 dias para o pagamento de 
R$ 600,00 relacionado a um aparelho que custava R$ 450,00 à vista, sendo aplicada 
uma taxa de 6 % ao mês.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
450 (Valor tem que ser positivo, pois você está recebendo R$ 450,00)
6 
600 (Valor tem que ser negativo, pois você vai pagar R$ 600,00)
 à visor = 5 meses
30 Visor è 150 dias
Você pode está se perguntado “Por que o “n” foi 5, já que utilizando a forma 
algébrica o valor encontrado foi 4,94 ?”
Bem, para cálculo do tempo, é ideal que se utilize o método algébrico, conforme 
primeiro exemplo, pois utilizando as funções financeiras da HP 12c, o valor 
encontrado sempre será inteiro. 
No caso do exemplo anterior, o valor correto é 4,94 meses (148 dias), utilizando 
as funções financeiras da HP 12c o resultado encontrado foi 5 (maior inteiro mais 
próximo de 4,94), pois a HP 12c entende que 4,94 meses passa do 4º mês, por tanto 
está no 5º mês.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
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2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do tempo seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “Nper”. Você verá a imagem abaixo.
Agora, insira os dados:
Taxa = 6%
Pgto = 0 (Significa que não tem prestações, não há uma série de pagamentos)
Vp = - 450
Vf = 600
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
Aparecerá na célula B6 o valor 4,94, como na figura abaixo.
16
Por tanto 4,94 meses, para resolução da questão temos que multiplica por 30 ( 1 
mês = 30 dias ), logo:
4,94 x 30 = 148,20 dias ou seja 149 dias.
Determinação da taxa de juros “i”
Para que possamos determinar a taxa de juros, o valor presente, o valor futuro e a 
taxa de juros devem ser fornecidos.
Para calcularmos a taxa de juros, observe a dedução da fórmula 
na página 87 do livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes, 
que você encontra acessando a biblioteca virtual. 
Veja um exemplo:
§	Um cliente de um importante banco tomou R$ 1.500 emprestados há dezoito meses. 
Seu saldo devido hoje é de R$ 2.540,35. Qual a taxa de juros compostos mensal 
dessa aplicação?
1º passo: Organize as informações.
VP = 1500 i = ? % ao mês n = 18 meses VF = 2540,35
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo na mesma unidade.
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
Apague os registros antes de começar: 
17
A colocação dos dados:
2540,35 
1500 
18 
1 Visor è 0,03 (Valor decimal)
100 Visor è 2,97 %
Isso quer dizerque o banco aplicou uma taxa de juros de 2,97% nessa operação 
financeira.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
1500 (Valor tem que ser positivo, pois o cliente está recebendo R$ 1500,00)
18 
2540,35 (Valor tem que ser negativo, pois o cliente vai pagar R$ 2540,35)
 à visor = 2,97
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo da taxa seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
18
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “TAXA”. Você verá a imagem abaixo.
Agora, insira os dados:
Nper = 18
Pgto = 0 (Significa que não tem prestações, não há uma série de pagamentos)
Vp = - 1500
Vf = 2540,35
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
Aparecerá na célula B6 o valor 0,0297, como na figura abaixo.
Por tanto 0,0297, para transforma esse número decimal na forma percentual temos 
que multiplicar por 100, logo:
0,0297 x 100 = 2,97% 
19
Bem, agora que vimos como funciona o regime de capitalização composta, veremos 
agora as operações de descontos no regime de juros compostos.
DESCONTO COMPOSTO
Quando estudamos o desconto simples, vimos que o desconto é o abatimento que 
alguém recebe por estar antecipando o pagamento de uma dívida.
Como vimos na unidade anterior, uma operação de desconto é efetuada quando 
conhecemos o valor nominal (montante) de um título e pretendemos encontrar o 
valor atual (presente) desse título. A única mudança, com relação ao que estudamos 
na unidade I, é o regime de capitalização, pois na unidade I tratava-se do regime 
de capitalização simples e agora estudaremos desconto no regime de capitalização 
composto. 
Analogamente ao desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o 
Racional e o Comercial.
Como o desconto comercial não é muito utilizado entre nós, ficaremos restritos ao 
estudo do desconto racional composto.
Para aprofundamento do conteúdo, sugiro que você leia o capítulo 6 (Desconto 
Composto) do livro: Matemática Financeira aplicada, de Nelson Pereira 
Castanheira e Luiz Roberto Dias Macedo, que você encontra acessando a biblioteca 
virtual.
Desconto Racional Composto
 
Para o cálculo do desconto racional composto, basta calcularmos o valor presente 
do título utilizando a fórmula e depois subtrairmos VF – VP para termos 
o valor do desconto.
 
 Vejamos:
 
§	Calcule o valor atual de um título de valor nominal R$ 700,00, com vencimento para 
5 meses, à taxa de desconto de 3% ao mês.
1º passo: Organize as informações.
VP = ? i = 3 % ao mês n = 5 meses VF = 700
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa em mês e tempo em meses.
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
20
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
700 
1,03 
5 
 Visor è 603,83
Isso quer dizer que um título cujo valor nominal é de R$ 700,00 com vencimento em 
5 meses, sendo antecipado para hoje, terá como valor presente R$ 603,83, ou seja, 
haverá um desconto de R$ 96,17 (R$ 700,00 – R$ 603,83). 
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
700 
3 
5 
 à visor - 603,83
Vejamos o diagrama de operações financeiras abaixo:
Imagem do autor
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
21
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor presente seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “VP”. Você verá a imagem abaixo.
Agora, insira os dados:
Taxa = 3%
Per = 5
Pgto = 0 (Significa que não tem prestações, não há uma série de pagamentos)
Vf = 700
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
Aparecerá na célula B6 o valor – R$ 603,83, como na figura abaixo.
22
Com base no que foi estudado sobre desconto racional composto, vamos ao 
próximo assunto.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO
Na Unidade 1, aprendemos o que é a equivalência de capitais é aquela situação que 
ocorre quando duas operações, ainda que não apresentem o mesmo valor nominal 
em um determinado momento, apresentarão em alguma data focal.
O cálculo de equivalência de capitais é muito útil para situações em que queremos 
antecipar ou adiar o pagamento de uma dívida.
Vejamos um exemplo:
§	Uma pessoa tem duas dívidas, uma de R$ 2.000,00 para pagamento após 4 meses 
e outra de R$ 3.000,00 para pagamento após 7 meses. Ambas têm taxas de juros 
mensal de 5 %. Mas, a pessoa pensou em fazer um único pagamento, que quite as 
duas dívidas, em 6 meses. Quanto dever ser pago?
Para a resolução da questão vamos desenhar um gráfico da operação financeira 
para uma melhor compreensão. Vejamos:
Imagem do autor
Vamos interpretar a situação acima, o “X” representa a parcela única para liquidar a 
dívida em 6 meses, porém para encontrarmos o valor de “X”, precisamos encontrar 
o valor futuro da primeira dívida que é de R$ 2.000,00 em 4 meses, por tanto, 
sobre ela irá incidir 2 meses de juros (6 meses – 4 meses) e antecipar em 1 mês o 
pagamento da segunda dívida que é R$ 3.000,00, utilizando o desconto, pois seu 
vencimento é daqui a 7 meses e a liquidação da dívida ocorrerá daqui a 6 meses, ou 
seja, 1 mês antes. Depois de calcular o valor futuro de uma e o valor descontado de 
outra é só somarmos para encontrar o valor de “X” (parcela única das duas dívidas).
É como se tivéssemos duas questões em uma, uma para encontrar o valor futuro e 
outra de desconto (valor presente).
23
Resolvendo:
 1º passo: Organize as informações da primeira dívida.
VP = 2000 i = 5 % ao mês n = 2 meses
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses.
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
VF = VP . ( 1 + i ) n
VF = 2000 . ( 1 + 0,05 ) 2 = ?
Configure o visor para duas casas: 
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
2000 
1,05 
2 
 Visor è 2.205,00
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
2000 
5 
2 
 à visor – 2.205,00
Por tanto, a primeira dívida que deveria ser paga em 4 meses no valor de R$ 
2.000,00, deverá ser liquidada em 6 meses pelo valor de R$ 2.205,00.
Vejamos a segunda dívida...
1º passo: Organize as informações.
VP = ? i = 5 % ao mês n = 1 meses VF = 3000
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
24
Taxa em mês e tempo em meses.
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
Apague os registrosantes de começar: 
Colocação dos dados:
3000 
1,05 
1 
 Visor è 2.857,14
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
3000 
5 
1 
 à visor – 2.857,14
 
Isso quer dizer que a segunda dívida que é de R$ 3.000,00 com vencimento em 7 
meses, sendo antecipado em 1 mês, terá como valor R$ 2.857,14, ou seja, haverá 
um desconto de R$ 142,86 (R$ 3.000,00 – R$ 2.857,14). 
Para encontrarmos o “X” é preciso somar os dois resultados, logo:
X = 2.205 + 2.857,14
X = 5.062,14
Conclusão, uma pessoa que deseja liquidar duas dívidas (uma de R$ 2.000,00 para 
pagamento após 4 meses e outra de R$ 3.000,00 para pagamento após 7 meses, 
ambas com taxas de juros mensal de 5 %) em 6 meses, deverá efetuar um único 
pagamento de R$ 5.062,14.
Para aprofundamento esse assunto, você deve fazer uma leitura da página 36 
até a página 38 do seu livro texto, lá você encontrará mais três exemplos sobre 
equivalência de capitais a juros composto.
25
A partir de agora, vamos ao último conteúdo desta unidade...
TAXAS DE JUROS
Caro(a) aluno(a), é muito importante você ter o conhecimento dos tipos de taxas e 
de como fazer conversões para diferentes prazos, pois operar com taxas de juros e 
prazos é uma preocupação constante na matemática financeira.
Para facilitar nosso aprendizado acerca das operações, vamos estudar exemplos 
com a utilização da calculadora HP 12c.
Vamos começar!
TAXA NOMINAL
Taxas nominais são aquelas que se referem a um período que não coincide com o 
período de capitalização dos juros. Sua transformação para outro período ocorre de 
forma proporcional.
Exemplo:
§	Taxa de 36 % a.a., com capitalização mensal.
Logo: 36 % / 12 = 3 % ao mês.
§	Taxa de 12 % a.a., com capitalização bimestral.
Logo: 12 % / 6 = 2 % a.b.
§	Desejo calcular o montante que será obtido sobre uma aplicação de R$ 3.000,00 a 
uma taxa nominal de 24% ao ano, durante um ano, com capitalização mensal.
1º passo: Organize as informações da primeira dívida.
VP = 3000 i = 24 % ao ano n = 1 ano
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em anos, porém temos que transformar em meses pois a 
capitalização é mensal. Logo:
VP = 3000 i = 24 % / 12 = 2 % ao mês n = 1 ano x 12 = 12 
meses
3º passo: utilização da HP 12C
Resolução pela fórmula básica
VF = VP . ( 1 + i ) n
VF = 3000 . ( 1 + 0,02 ) 12 = ?
26
Configure o visor para duas casas: 
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
3000 
1,02 
12 
 Visor è 3.804,73
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um 
“c” no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você 
possa programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
3000 
2 
12 
 à visor 3.804,73
Por tanto, investindo R$ 3.000,00 durante 1 ano a uma taxa nominal de 24% ao ano 
com capitalização mensal, terei R$ 3.804,73.
TAXA EFETIVA
Quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide com 
aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, temos uma 
taxa efetiva.
Vejamos, novamente, o exemplo anterior para descobrirmos a taxa efetiva anual:
§	Desejo calcular o montante e a taxa efetiva anual que será obtido sobre uma 
aplicação de R$ 3.000,00 a uma taxa nominal de 24% ao ano, durante um ano, com 
capitalização mensal.
VP = 3000 i = 24 % / 12 = 2 % ao mês n = 1 ano x 12 = 12 
meses
Resolução pela fórmula básica
VF = VP . ( 1 + i ) n
VF = 3000 . ( 1 + 0,02 ) 12 = ?
Configure o visor para duas casas: 
Apague os registros antes de começar: 
Colocação dos dados:
27
3000 
1,02 
12 
 Visor è 3.804,73
Depois de calculado o montante, temos que o investimento foi de R$ 3.000,00 
e o rendimento em um ano foi de R$ 804,73 (R$ 3.000 = R$ 3.804,73), então o 
rendimento deste investimento de fato, em um ano, foi de: 
804,73 / 3000 = 0,268 
0,268 x 100 = 26,8 % (Esta é a taxa efetiva anual da operação)
Ou seja, um investimento que tem uma taxa nominal de 24% ao ano, com 
capitalização mensal (2 % ao mês), traz um rendimento efetivo de 26,8% ao ano.
TAXA REAL E TAXA APARENTE
A taxa aparente é a taxa que utilizamos sem levarmos em conta a inflação do 
período.
A taxa real é a taxa que utilizamos levando em consideração os efeitos da inflação 
no período.
Matematicamente, analisando a taxa aparente de um único período, pode-se 
expressá-la como:
(1 + ia) = (1 + ir) x (1 + ii)
Onde:
ia = taxa aparente de juros do período.
ir = taxa real de juros do período.
ii = taxa de inflação do período.
EXEMPLO:
§	Um empréstimo com duração de um mês foi realizado a uma taxa de 5% 
a.m. mais a correção inflacionária. Se a correção inflacionária no período da 
operação foi igual a 3% a.m., a taxa de juros da operação foi:
Resolvendo:
A taxa real é de 5% ao mês, porém houve inflação de 3% neste período, logo a taxa 
aparente que incidirá sobre este empréstimo é de:
1 + i = (1 + 0,05) . (1 + 0,03)
1 + i = 1,05 . 1,03
1 + i = 1,0815
i = 1,0815 – 1
i = 0,0815 (multiplicando por 100)
i = 8,15%
Ou seja, um empréstimo realizado a uma taxa de 5% ao mês, quando sofre o efeito 
da inflação que é de 3% ao mês, terá uma taxa aparente de 8,15% ao mês.
28
Para que você tenha um maior aprofundamento deste conteúdo sobre taxas de 
juros sugiro a leitura do capítulo 5 do livro: Matemática Financeira Aplicado de 
Nelson Pereira Castanheira e Luiz Roberto Dias de Macedo, que você encontra na 
biblioteca virtual.
Bem, chegamos ao final de mais uma unidade, espero que você tenha entendido 
o funcionamento do regime de capitalização composto bem como a utilização de 
diversas ferramentas para auxiliar seus cálculos no seu dia a dia. 
Até a próxima unidade. Bons estudos!