Aula 4 Campo Elétrico

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Física: Eletricidade
Campo Elétrico
Prof. Dr. Hugo M N Vasconcelos
Campo Elétrico produzido por um Dipolo Elétrico
Por simetria, o campo elétrico 𝐸 no ponto 𝑃 deve ser
paralelo ao eixo do dipolo, que foi tomado como o eixo 𝑧.
Aplicando o princípio de superposição aos campos
elétricos, vemos que o módulo 𝐸do campo elétrico no
ponto 𝑃 é dado por
𝐸 = 𝐸+ − 𝐸−
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟+
2 −
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟−2
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖0 𝑧 −
1
2𝑑
2 −
𝑞
4𝜋𝜖0 𝑧 +
1
2𝑑
2
Campo Elétrico produzido por um Dipolo Elétrico
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖0𝑧2
1
1 −
𝑑
2𝑧
2 −
1
1 +
𝑑
2𝑧
2
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖0𝑧2
2𝑑/𝑧
1 −
𝑑
2𝑧
2
2
𝐸 =
𝑞
2𝜋𝜖0𝑧3
𝑑
1 −
𝑑
2𝑧
2
2
Campo Elétrico produzido por um Dipolo Elétrico
𝐸 =
𝑞
2𝜋𝜖0𝑧3
𝑑
1 −
𝑑
2𝑧
2
2
𝑑
2𝑧
≪ 1 ⇒ 𝐸 =
1
2𝜋𝜖0
𝑞𝑑
𝑧3
𝐸 =
1
2𝜋𝜖0
𝑝
𝑧3
Exemplo: Dipolos Elétricos e Sprites
Os sprites são clarões que às vezes são vistos no céu acima de grandes tempestades.
Ainda não são bem compreendidos, mas acredita-se que sejam produzidos quando ocorre um
relâmpago particularmente intenso entre a terra e uma nuvem de tempestade, particularmente se o
relâmpago transferir uma grande quantidade de carga negativa, −𝑞, da terra para a base da nuvem.
Podemos modelar o campo elétrico produzido pela cargas da nuvem supondo que existe um dipolo
vertical formado por uma carga −𝑞 na altura ℎ da nuvem e uma carga +𝑞 a uma distância ℎ abaixo
da superfície. Se 𝑞 = 200 𝐶 e ℎ = 6,0 𝑘𝑚, qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma
altitude um pouco acima das nuvens, e a um altitude 𝑧2 = 60 𝑘𝑚, ou seja, um pouco acima da
estratosfera?
Exemplo: Dipolos Elétricos e Sprites
𝐸 =
1
2𝜋𝜖0
𝑞 2ℎ
𝑧3
onde 2ℎ é a distância entre as cargas −𝑞 e +𝑞.
O campo elétrico a uma altitude 𝑧1 = 30 𝑘𝑚 é dado por
𝐸 =
1
2𝜋𝜖0
200 𝐶 2 6,0 × 103 𝑚
30 × 103 𝑚 3
A uma altitude 𝑧2 = 60 𝑘𝑚, temos:
𝐸 = 2,0 × 102
𝑁
𝐶
Ideias Básicas
• A equação do campo elétrico criado por uma partícula não pode ser aplicada a
um objeto macroscópico.
• Para calcular o campo elétrico produzido por um objeto macroscópico,
consideramos primeiro o campo elétrico produzido por um elemento de carga
𝑑𝑞 do objeto, suficientemente pequeno, para que possamos usar a equação do
campo criado por uma partícula.
• Em seguida, somamos, por integração, os campos elétricos 𝑑𝐸 criados por todos
os elementos de carga da partícula.
• Como os campos elétricos 𝑑𝐸 têm módulos e orientações diferentes, é
importante verificar se a simetria permite cancelar alguma componente dos
campos, o que facilita a integração.
Anel de Carga – Campo no Ponto P do eixo z
A densidade linear de carga linear do anel é 𝜆 =
𝑑𝑞
𝑑𝑠
.
Logo, 𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑠,
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑞
𝑟2
=
1
4𝜋𝜖0
𝜆 𝑑𝑠
𝑟2
Como 𝑟 = 𝑧2 + 𝑅2
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑠
𝑧2 + 𝑅2
Anel de Carga – Campo no Ponto P do eixo z
Considere o elemento de carga no lado oposto do
anel.
Ele também produz um campo de módulo 𝑑𝐸, mas
o vetor faz um ângulo 𝜃 no sentido oposto ao do
primeiro elemento, como mostra a vista lateral.
Assim, as componentes perpendiculares ao eixo se
cancelam.
Como esse cancelamento ocorre para os
elementos de carga simétricos ao longo de todo o
anel, o campo resultante na direção perpendicular
ao eixo do anel é nulo.
Anel de Carga – Campo no Ponto P do eixo z
As componentes paralelas do campo são dadas por
𝑑𝐸 cos 𝜃.
O valor de
cos 𝜃 =
z
r
=
z
z2 + R2 1/2
Como,
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑠
𝑧2 + 𝑅2
𝑑𝐸 cos 𝜃 =
1
4𝜋𝜖0
𝑧
𝑧2 + 𝑅2
3
2
𝜆𝑑𝑠
Anel de Carga – Campo no Ponto P do eixo z
Para somar um número infinito de componentes
infinitesimais, escrevemos uma integral que se
estende a todo o anel:
Do ponto inicial 𝑠 = 0 até o ponto final 𝑠 = 2𝜋𝑅
𝐸 = න𝑑𝐸 cos 𝜃 =
1
4𝜋𝜖0
𝑧𝜆
𝑧2 + 𝑅2
3
2
න
0
2𝜋𝑅
𝑑𝑠
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞𝑧
𝑧2 + 𝑅2
3
2
Disco carregado
Um disco de raio 𝑅 com uma distribuição uniforme
de carga positiva.
O anel mostrado na figura tem raio 𝑟, largura radial
𝑑𝑟 e cria um campo elétrico 𝑑𝐸 no ponto 𝑃,
situado no eixo central do disco.
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑞 𝑧
𝑧2 + 𝑟2
3
2
A densidade superficial de carga é
𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝐸 = න𝑑𝐸 =
𝜎𝑧
4𝜖0
න
0
𝑅
𝑧2 + 𝑟2 −
3
2 2𝑟 𝑑𝑟
Disco carregado
𝐸 = න𝑑𝐸 =
𝜎𝑧
4𝜖0
න
0
𝑅
𝑧2 + 𝑟2 −
3
2 2𝑟 𝑑𝑟
Fazendo 𝑋 = 𝑧2 + 𝑟2 , 𝑚 = −
3
2
, 𝑑𝑋 = 2𝑟 𝑑𝑟
Com ׬𝑋𝑚 𝑑𝑋 =
𝑋𝑚+1
𝑚+1
𝐸 = 𝜎𝑧/4𝜖0
𝑧2 + 𝑟2 −
1
2
−
1
2 0
𝑅
𝐸 = 𝜎/2𝜖0 1 −
𝑧
𝑧2 + 𝑅2