EP5 CIII 2012 2 Tutor

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – CA´LCULO III – Gabarito – 2012-2
Exerc´ıcio 1 Determine os seguintes limites:
(a) lim
(푥,푦)→(0,1)
(
푥2푦 − 2푥3 − 푥− 1
푦
)
(b) lim
(푥,푦)→(∞,−2)
(
3
푥+ 푦
+ 2
)
(c) lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥
(d) lim
(푥,푦)→(0,0)
(푥2 + 푦2) cos
(
1
2푥2 + 푦2
)
(e) lim
(푥,푦)→(0,0)
∣푥∣푥2 + ∣푦∣푦2
∣푥∣+ ∣푦∣
Soluc¸a˜o:
(a) Usando que o limite de uma soma e´ a soma dos limites (desde que cada limite exista), obtemos
que:
lim
(푥,푦)→(0,1)
(
푥2푦 − 2푥3 − 푥− 1
푦
)
= lim
(푥,푦)→(0,1)
(
푥2푦
) − 2 lim
(푥,푦)→(0,1)
푥3 − lim
(푥,푦)→(0,1)
푥− 1
푦
= (0)2(1)− 2(0)3 − 0− 1
1
= 1.
(b) Analogamente, ao item anterior, temos que
lim
(푥,푦)→(∞,−2)
(
3
푥+ 푦
+ 2
)
= lim
(푥,푦)→(∞,−2)
3
푥+ 푦
+ lim
(푥,푦)→(∞,−2)
2 = 0 + 2 = 2.
(c) Notemos que
lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥
= lim
(푥,푦)→(0,2)
푦
푠푒푛(푥푦)
푥푦
=
(
lim
(푥,푦)→(0,2)
푦
) (
lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥푦
)
= 2 lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥푦
.
Enta˜o, usando a propriedade de limite que diz:
” Se lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 퐿 e ℎ = ℎ(푥) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel real tal que lim
푥→퐿
ℎ(푥) = 푁 ,
enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
ℎ(푓(푥, 푦)) = 푁 .´´
e considerando 푓(푥, 푦) = 푥푦 e ℎ(푥) =
푠푒푛(푥)
푥
, temos a func¸a˜o composta ℎ(푓(푥)) = ℎ(푥푦) =
푠푒푛(푥푦)
푥푦
.
E, como lim
(푥,푦)→(0,2)
(
푥푦
)
= 0 e lim
푥→0
푠푒푛(푥)
푥
= 1, segue que lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥푦
= 1. E, portanto,
lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥
= 2.1 = 2.
CA´LCULO III EP5 2
(d) Do Teorema 3.2 (pa´g. 36 - Mo´dulo 1) temos que se ℎ = 푓푔 onde lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 0 e∣∣푔(푥, 푦)∣∣ ≤푀 , onde 푀 e´ uma constante real (isto e´, 푔 e´ limitada), enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
ℎ(푥, 푦) = 0.
Fazendo
ℎ(푥, 푦) = (푥2 + 푦2)︸ ︷︷ ︸
푓(푥,푦)
cos
( 1
2푥2 + 푦2
)
︸ ︷︷ ︸
푔(푥,푦)
temos que as hipo´teses do Teorema 3.2 esta˜o satisfeitas, isto e´:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(
푥2 + 푦2
)
= 0
e ∣∣푔(푥, 푦)∣∣ = cos( 1
2푥2 + 푦2
)
≤ 1
Portanto, como ℎ(푥, 푦) e´ o produto de duas func¸o˜es, uma com limite igual a zero e a outra
limitada, segue que
lim
(푥,푦)→(0,0)
ℎ(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(푥2 + 푦2) cos
(
1
2푥2 + 푦2
)
= 0.
(e) Temos que se ℎ(푥, 푦) = 푓(푥, 푦) 푔(푥, 푦) em que lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = 0 e
∣∣푔(푥, 푦)∣∣ ≤ 푀 , para
todo (푥, 푦) ∈ 퐷(푔), isto e´, 푔 e´ limitada, enta˜o lim
(푥,푦)→(0,0)
ℎ(푥, 푦) = 0.
Como
∙ ∣푥∣푥
2 + ∣푦∣푦2
∣푥∣+ ∣푦∣ = 푥
2︸︷︷︸
푓1(푥,푦)
∣푥∣
∣푥∣+ ∣푦∣︸ ︷︷ ︸
푔1(푥,푦)
+ 푦2︸︷︷︸
푓2(푥,푦)
∣푦∣
∣푥∣+ ∣푦∣︸ ︷︷ ︸
푔2(푥,푦)
,
∙ lim
(푥,푦)→(0,0)
푓1(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 = 0 e
∣∣푔1(푥, 푦)∣∣ = ∣푥∣∣푥∣ + ∣푦∣ ≤ 1, implica que
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓1(푥, 푦) 푔1(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2
∣푥∣
∣푥∣+ ∣푦∣ = 0,
∙ lim
(푥,푦)→(0,0)
푓2(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푦2 = 0 e
∣∣푔2(푥, 푦)∣∣ = ∣푦∣∣푥∣+ ∣푦∣ ≤ 1, implica que
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓2(푥, 푦) 푔2(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푦2
∣푦∣
∣푥∣+ ∣푦∣ = 0.
segue que
lim
(푥,푦)→(0,0)
∣푥∣푥2 + ∣푦∣푦2
∣푥∣+ ∣푦∣ = 0 + 0 = 0.
Exerc´ıcio 2 Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminac¸o˜es
(a) lim
(푥,푦)→(0,0)
√
푥+ 3−√3
푥푦 + 푥
(b) lim
(푥,푦)→(0,0)
2푥4 + 푦3
푥2 + 푦2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 3
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que:
lim
(푥,푦)→(0,0)
√
푥+ 3−√3
푥푦 + 푥
= lim
(푥,푦)→(0,0)
√
푥+ 3−√3
푥(푦 + 1)
√
푥+ 3 +
√
3√
푥+ 3 +
√
3
= lim
(푥,푦)→(0,0)
(
√
푥+ 3)2 − (√3)2
푥(
√
푥+ 3 +
√
3)
1
푦 + 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
(푥+ 3)− 3
푥(
√
푥+ 3 +
√
3)
1
푦 + 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
1√
푥+ 3 +
√
3
1
푦 + 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
1√
푥+ 3 +
√
3
lim
(푥,푦)→(0,0)
1
푦 + 1
=
1
2
√
3
(1)
=
1
2
√
3
.
(b) Pelo Teorema 3.2 (pa´g. 36 mo´dulo 1), se ℎ = 푓푔, com lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 0 e ∣푔(푥, 푦)∣ ≤ 푀 ,
em que 푀 real positivo, enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
ℎ(푥, 푦) = 0. Assim, como
2푥2
푥2 + 푦2
= 2푥2︸︷︷︸
푓
푥2
푥2 + 푦2︸ ︷︷ ︸
푔
,
lim
(푥,푦)→(0,0)
(
2푥2
)
= 0 e
∣∣ 푥2
푥2 + 푦2
∣∣ = 푥2
푥2 + 푦2
≤ 1, pois 푥2 ≤ 푥2 + 푦2, segue pelo Teorema que
lim
(푥,푦)→(0,0)
2푥4
푥2 + 푦2
= 0.
Analogamente
푦3
푥2 + 푦2
= 푦︸︷︷︸
푓
푦2
푥2 + 푦2︸ ︷︷ ︸
푔
, lim
(푥,푦)→(0,0)
푦 = 0 e
∣∣ 푦2
푥2 + 푦2
∣∣ = 푦2
푥2 + 푦2
≤ 1. E, por-
tanto, lim
(푥,푦)→(0,0)
푦3
푥2 + 푦2
= 0.
Assim, lim
(푥,푦)→(0,0)
2푥4 + 푦3
푥2 + 푦2
= lim
(푥,푦)→(0,0)
2푥4
푥2 + 푦2
+ lim
(푥,푦)→(0,0)
푦3
푥2 + 푦2
= 0
Exerc´ıcio 3 Mostre que os seguintes limites na˜o existem.
(a) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦
(b) lim
(푥,푦)→(0,1)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4
(c) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
(d) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 + 푦
푥4 + 3푦2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 4
Soluc¸a˜o:
(a) O teste dos dois caminhos diz que se 푓(푥, 푦) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos
diferentes, quando (푥, 푦) se aproxima de (푎, 푏), enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) na˜o existe.
Aproximando-nos de (0, 0) a partir da fam´ılia de retas 푦 = 푚, temos que:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦 = lim푥→0
푥(푚푥) + 2(푚푥)2
푥2 + (푚푥)2 − 푥(푚푥) = lim푥→0
푥2(푚+ 2푚2)
푥2(1 +푚2 −푚) =
푚+ 2푚2
1 +푚2 −푚 .
Logo, considerando como os caminhos as retas 푦 = 0 (푚 = 0) e 푦 = 푥 (푚 = 1), na igualdade
acima, temos que:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦 =
0 + 2(0)
1 + (0)2 − 0 = 0 (ao longo do caminho 푦 = 0, 푚 = 0)
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦 =
1 + 2(1)2
1 + (1)2 − 1 = 3 (ao longo do caminho 푦 = 푥, 푚 = 1) .
Logo, como a partir de curvas diferentes que passam pelo ponto (0, 0), o limite assume valores
diferentes, pelo teste dos dois caminhos, conclu´ımos que o limite lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦 na˜o
existe.
(b) O teste dos dois caminhos diz que se 푓(푥, 푦) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos
diferentes, quando (푥, 푦) se aproxima de (푎, 푏), enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) na˜o existe.
Assim, considerando o limite atrave´s da fam´ılia de retas que passam por (0, 1), isto e´, 푦 = 푚푥+1,
temos que:
lim
(푥,푦)→(0,1)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4 = lim푥→0
5푥2(푚푥+ 1− 1)2
푥4 + (푚푥+ 1− 1)4 = lim푥→0
5푚2푥4
푥4(1 +푚4)
= lim
푥→0
5푚2
1 +푚4
=
5푚2
1 +푚4
.
Logo, considerando como os caminhos as retas 푦 = 푥 + 1 (푚 = 1) e 푦 = 2푥 + 1 (푚 = 2), na
igualdade acima, temos que:
lim
(푥,푦)→(0,0)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4 =
5(1)2
1 + (1)4
=
5
2
(ao longo do caminho 푦 = 푥+ 1, 푚 = 1)
lim
(푥,푦)→(0,0)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4 =
5(2)2
1 + (2)4
=
20
17
(ao longo do caminho 푦 = 2푥+ 1, 푚 = 2) .
Como os valores dos limites sa˜o diferentes pelo teste dos dois caminhos, conclu´ımos que o limite
lim
(푥,푦)→(0,0)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4 na˜o existe.
(c) Aproximando-nos de 0, 0) atrave´s da fam´ılia de para´bolas 푦 = 푚푥2 temos:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + (푚푥2)2
푥2(푚푥2) + 2푥4
= lim
푥→0
푥4(1 +푚2)
푥4(푚+ 2)
=
1 +푚2
푚+ 2
.
Logo, se 푚 = 1, isto e´, aproximamo-nos atrave´s da para´bola 푦 = 푥2 temos que
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
=
2
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 5
Se 푚 = 2, isto e´, aproximamo-nos atrave´s da para´bola 푦 = 2푥2 temos que
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
=
5
4
.
Logo, como os valores dos limites sa˜o diferentes atrave´s de curvas diferentes que se aproximam
de (0, 0), segue pelo teste dos dois caminhos, que o limite lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
na˜o existe.
(d) Considerando o limite atrave´s da reta
{
푥= 0
푦 = 푡
temos:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 + 푦
푥4 + 3푦2
= lim
푡→0
푡
3푡2
= lim
푡→0
1
3푡
.
Assim, se 푡→ 0+, enta˜o 1
3푡
→∞. Se 푡→ 0−, enta˜o 1
3푡
→ −∞. Logo, na˜o existe lim
푡→0
1
3푡
. Da´ı,
na˜o existe o limite atrave´s da reta
{
푥 = 0
푦 = 푡
, e portanto, na˜o existe lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 + 푦
푥4 + 3푦2
.
Exerc´ıcio 4 Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas nos pontos indicados
(a) 푓(푥, 푦) =
{
3푥− 푦 se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
2 se (푥, 푦) = (0, 0)
, em 푃 (0, 0).
(b) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
푥푦
푥2 + 푦2
se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
0 se (푥, 푦) = (0, 0)
, em 푃 (0, 0).
(c) 푓(푥, 푦) =
푥2 + 푦2 − 1
푥+ 푦
, em 푃 (1, 1)
Soluc¸a˜o: Dizemos que uma func¸a˜o 푓(푥, 푦) que satisfaz
lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 푓(푎, 푏),
e´ cont´ınua no ponto (푎, 푏). Logo, para 푓(푥, 푦) ser cont´ınua em (푎, 푏), ela deve satisfazer treˆs
condic¸o˜es
(i) estar definida em (푎, 푏), isto e´, existe 푓(푎, 푏)
(ii) existe o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦)
(iii) lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 푓(푎, 푏).
Vamos resolver os itens desse exerc´ıcio usando a definic¸a˜o de continuidade.
(a) Para (푎, 푏) = (0, 0) temos:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 6
(i) 푓(0, 0) = 2
(ii) Para (푥, 푦) ∕= (0, 0), temos que 푓(푥, 푦) = 3푥− 푦, logo:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(
3푥− 푦) = 3(0)− 0 = 0.
Portanto, lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = 0 ∕= 2 = 푓(0, 0), donde segue que 푓 na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
(b) Para (푎, 푏) = (0, 0) temos:
(i) 푓(0, 0) = 0
(ii) Para (푥, 푦) ∕= (0, 0), temos que 푓(푥, 푦) = 푥푦
푥2 + 푦2
.Verifiquemos se o limite
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦
푥2 + 푦2
existe.
Considerando o limite ao longo do caminho 푥 = 0, que passa pela origem, temos:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦
푥2 + 푦2
= lim
푦→0
0
02 + 푦2
= lim
푦→0
0 = 0
Por outro lado, considerando o limite ao longo do caminho 푥 = 푦, que passa pela origem,
temos:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦
푥2 + 푦2
= lim
푥→0
푥2
푥2 + 푥2
= lim
푥→0
1
2
=
1
2
.
Como os valores dos limites sa˜o diferentes, pelo teste dos dois caminhos, conclu´ımos que
o limite lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦
푥2 + 푦2
na˜o existe.
Portanto, 푓 na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
(c) Para (푎, 푏) = (1, 1) temos:
(i) 푓(1, 1) =
12 + 12 − 1
1 + 1
=
1
2
(ii) Usando a propriedade que o limite de um quociente e´ o quociente dos limites (desde que
cada limite exista), temos que:
lim
(푥,푦)→(1,1)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(1,1)
푥2 + 푦2 − 1
푥+ 푦
=
lim
(푥,푦)→(1,1)
(푥2 + 푦2 − 1)
lim
(푥,푦)→(1,1)
(푥 + 푦)
=
12 + 12 − 1
1 + 1
=
1
2
Portanto, lim
(푥,푦)→(1,1)
푓(푥, 푦) =
1
2
= 푓(1, 1), donde segue que 푓 e´ cont´ınua em (1, 1).
Exerc´ıcio 5 Determine o valor de 푏 para que a func¸a˜o seja cont´ınua em (0, 0).
(a) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩ (3푥
2 + 푦2) sen
1
푥2 + 푦2
se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
푏 se (푥, 푦) = (0, 0)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 7
(b) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
푥2푦2√
푦2 + 1− 1 se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
푏− 5 se (푥, 푦) = (0, 0)
Soluc¸a˜o:
(a) Para (푎, 푏) = (0, 0) temos:
(i) 푓(0, 0) = 푏
(ii) Para (푥, 푦) ∕= (0, 0), temos que 푓(푥, 푦) = (3푥2 + 푦2) sen 1
푥2 + 푦2
, logo devemos verificar a
existeˆncia do limite
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(3푥2 + 푦2) sen
1
푥2 + 푦2
.
Do Teorema 3.2 (pa´g. 36 - Mo´dulo 1) temos que se ℎ = 푓푔 em que lim
(푥,푦)→(푎,푏)
푓(푥, 푦) = 0
e
∣∣푔(푥, 푦)∣∣ ≤푀 , com 푀 constante real (isto e´, 푔 e´ limitada), enta˜o lim
(푥,푦)→(푎,푏)
ℎ(푥, 푦) = 0.
Fazendo
ℎ(푥, 푦) = (3푥2 + 푦2)︸ ︷︷ ︸
푓(푥,푦)
sen
( 1
푥2 + 푦2
)
︸ ︷︷ ︸
푔(푥,푦)
temos que as hipo´teses do Teorema 3.2 esta˜o satisfeitas, isto e´:
(0, 0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de 퐷(푓) = ℝ2 e de 퐷(푔) = ℝ2 − {(0, 0)},
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(
3푥2 + 푦2
)
= 0
e ∣∣푔(푥, 푦)∣∣ = sen ( 1
푥2 + 푦2
) ≤ 1
Portanto, como ℎ(푥, 푦) e´ o produto de duas func¸o˜es, uma com limite igual a zero e a outra
limitada, segue que lim
(푥,푦)→(0,0)
ℎ(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
(3푥2 + 푦2) sen
1
푥2 + 푦2
= 0.
Logo de (i) e(ii), segue que para 푓 ser cont´ınua em(0, 0)
lim
(푥,푦)→(0,0)
(3푥2 + 푦2) sen
1
푥2 + 푦2
= 0 = 푏 = 푓(0, 0).
Ou seja, 푏 = 0 .
(b) Para (푎, 푏) = (0, 0) temos:
(i) 푓(0, 0) = 푏− 5
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 8
(ii) Para (푥, 푦) ∕= (0, 0), temos que 푓(푥, 푦) = 푥
2푦2√
푦2 + 1− 1 , logo:
lim
(푥,푦)→(0,0)
푓(푥, 푦) = lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2√
푦2 + 1− 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2√
푦2 + 1− 1
√
푦2 + 1 + 1√
푦2 + 1 + 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2(
√
푦2 + 1 + 1)
(
√
푦2 + 1)2 − 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2(
√
푦2 + 1 + 1)
푦2 + 1− 1
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2(
√
푦2 + 1 + 1)
푦2
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2(
√
푦2 + 1 + 1)
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 ⋅ lim
(푥,푦)→(0,0)
(
√
푦2 + 1 + 1)
= lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 ⋅
[
lim
(푥,푦)→(0,0)
√
푦2 + 1 + lim
(푥,푦)→(0,0)
1
]
= 0 ⋅ [1 + 1]
= 0 .
Logo de (i) e(ii), segue que para 푓 ser cont´ınua em(0, 0)
lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2푦2√
푦2 + 1− 1 = 0 = 푏− 5 = 푓(0, 0).
Ou seja, 푏 = 5 .
Exerc´ıcio 6 Seja a func¸a˜o 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
2푥3 + 3푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧2
se (푥, 푦, 푧) ∕= (0, 0, 0)
0 se (푥, 푦, 푧) = (0, 0, 0) .
Calcule
(a) lim
ℎ→0
푓(ℎ, 0, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
(b) lim
ℎ→0
푓(0, ℎ, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
(c) lim
ℎ→0
푓(0, 0, ℎ)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
Soluc¸a˜o:
(a) lim
ℎ→0
푓(ℎ, 0, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
= lim
ℎ→0
2ℎ3
ℎ2 ⋅ ℎ = 2
(b) lim
ℎ→0
푓(0, ℎ, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ3
ℎ2 ⋅ ℎ = 3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III EP5 9
(c) lim
ℎ→0
푓(0, 0, ℎ)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ3
ℎ2 ⋅ ℎ = 1
Exerc´ıcio 7 Determine, se existir, os seguintes limites
(a) lim
(푥,푦,푧)→(0,0,0)
푥4 + 푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧4
(b) lim
(푥,푦,푧)→(0,1,2)
(푦 − 1)4
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2
Soluc¸a˜o:
(a) Consideremos o caminho
⎧⎨
⎩
푥 = 0
푦 = 0
푧 = 푡
temos que lim
(푥,푦,푧)→(0,0,0)
푥4 + 푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧4
= lim
푡→0
푡3
푡4
= lim
푡→0
1
푡
.
Assim, se 푡→ 0+, enta˜o 1
푡
→∞. Se 푡→ 0−, enta˜o 1
푡
→ −∞. Logo, na˜o existe o limite sobre
este caminho. Portanto, na˜o existe lim
(푥,푦,푧)→(0,0,0)
푥4 + 푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧4
.
(b) Temos que
(푦 − 1)4
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2 = (푦 − 1)
2︸ ︷︷ ︸
푓(푥,푦,푧)
(푦 − 1)2
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2︸ ︷︷ ︸
푔(푥,푦,푧)
.
Como lim
(푥,푦,푧)→(0,1,2)
(푦 − 1)2 = 0 e ∣∣ (푦 − 1)2
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2
∣∣ = (푦 − 1)2
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2 ≤ 1,
pois (푦 − 1)2 ≤ 푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2, segue pelo Teorema 3.2, item (c), que
lim
(푥,푦,푧)→(0,1,2)
(푦 − 1)4
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2 = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ