Interferência de Ondas em Física

Prévia do material em texto

Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA-IV [TURMA 1 (9922) & TURMA 2 (9925)] 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2018/1
Aula 7: Interferência de Ondas.
• Interferência em duas ou três dimensões; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes em 
fase; 
• Experimento da dupla fenda de Young; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes 
coerentes.
Aula 7: Interferência de Ondas.
• Interferência em duas ou três dimensões; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes em 
fase; 
• Experimento da dupla fenda de Young; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes 
coerentes.
Aula 7: Interferência de Ondas.
A interferência é um efeito marcante que diferencia ondas de 
partículas. Pergunta: qual o resultado de luz + luz = ? 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A interferência é um efeito marcante que diferencia ondas de 
partículas. Pergunta: qual o resultado de luz + luz = ? 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A interferência entre duas ondas pode gerar uma onda resultante 
nula ou de intensidade quadruplicada. 
A interferência é um efeito marcante que diferencia ondas de 
partículas. Pergunta: qual o resultado de luz + luz = ? 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A interferência entre duas ondas pode gerar uma onda resultante 
nula ou de intensidade quadruplicada. 
A interferência entre duas ondas eletromagnéticas pode resultar 
em vários fenômenos visuais interessantes: 
A interferência é um efeito marcante que diferencia ondas de 
partículas. Pergunta: qual o resultado de luz + luz = ? 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A interferência entre duas ondas pode gerar uma onda resultante 
nula ou de intensidade quadruplicada. 
A interferência entre duas ondas eletromagnéticas pode resultar 
em vários fenômenos visuais interessantes: 
Nessa parte, vamos considerar a interferência de ondas 
escalares. Desse modo, vamos considerar situações com os 
campos elétricos ou os campos magnéticos em uma mesma 
direção, mesmo quando produzidos por diferentes fontes. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Nessa parte, vamos considerar a interferência de ondas 
escalares. Desse modo, vamos considerar situações com os 
campos elétricos ou os campos magnéticos em uma mesma 
direção, mesmo quando produzidos por diferentes fontes. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere uma fonte puntiforme. Num 
dado instante, as ondas produzidas 
possuem a seguinte estrutura: 
Nessa parte, vamos considerar a interferência de ondas 
escalares. Desse modo, vamos considerar situações com os 
campos elétricos ou os campos magnéticos em uma mesma 
direção, mesmo quando produzidos por diferentes fontes. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere uma fonte puntiforme. Num 
dado instante, as ondas produzidas 
possuem a seguinte estrutura: 
Cada círculo representa uma frente de 
onda. E os círculos apresentados estão em 
fase. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
Consideramos aqui que a onda 
produzida é polarizada na direção 
z. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
Consideramos aqui que a onda 
produzida é polarizada na direção 
z. 
Princípio da superposição: 
Quando duas ou mais ondas se 
superpõe, o efeito resultante é 
dado pela soma de cada efeito 
individual. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
As equações de Maxwell são 
lineares e, por isso, satisfazem o 
princípio da superposição, desde 
que: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
As equações de Maxwell são 
lineares e, por isso, satisfazem o 
princípio da superposição, desde 
que: 
1. A presença de uma fonte não 
afete o movimento da outra;
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
As equações de Maxwell são 
lineares e, por isso, satisfazem o 
princípio da superposição, desde 
que: 
1. A presença de uma fonte não 
afete o movimento da outra;
2. A radiação produzida por uma 
fonte não afete o movimento 
da outra;
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
As equações de Maxwell são 
lineares e, por isso, satisfazem o 
princípio da superposição, desde 
que: 
1. A presença de uma fonte não 
afete o movimento da outra;
2. A radiação produzida por uma 
fonte não afete o movimento 
da outra;
3. A radiação espalhada pelas 
fontes é desprezível.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase. Num dado instante, as ondas produzidas possuem a 
seguinte estrutura: 
As equações de Maxwell são 
lineares e, por isso, satisfazem o 
princípio da superposição, desde 
que: 
1. A presença de uma fonte não 
afete o movimento da outra;
2. A radiação produzida por uma 
fonte não afete o movimento 
da outra;
3. A radiação espalhada pelas 
fontes é desprezível.
• Interferência em duas ou três dimensões; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes em 
fase; 
• Experimento da dupla fenda de Young; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes 
coerentes.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase, com o mesmo comprimento de onda. No exemplo, a 
fonte S1 está distante de S2 por 4 comprimentos de onda. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase, com o mesmo comprimento de onda. No exemplo, a 
fonte S1 está distante de S2 por 4 comprimentos de onda. 
Os campos elétricos produzidos 
pelas fontes num ponto são: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase, com o mesmo comprimento de onda. No exemplo, a 
fonte S1 está distante de S2 por 4 comprimentos de onda. 
Os campos elétricos produzidos 
pelas fontes num ponto são: 
E1z (~r1, t) = E1 cos (~k1 • ~r1 � !t)
E2z (~r2, t) = E2 cos (~k2 • ~r2 � !t)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Considere duas fontes puntiformes no plano xy que produzem 
ondas em fase, com o mesmo comprimento de onda. No exemplo, a 
fonte S1 está distante de S2 por 4 comprimentos de onda. 
Os campos elétricos produzidos 
pelas fontes num ponto são: 
E1z (~r1, t) = E1 cos (~k1 • ~r1 � !t)
E2z (~r2, t) = E2 cos (~k2 • ~r2 � !t)
Note que as ondas estão em 
fase, i.e. se as fontes estivessem 
no mesmo ponto, produziriam 
campos com a mesma fase. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num pontoé 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será máxima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será máxima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
'1,2 = ±2m⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será máxima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
'1,2 = ±2m⇡ r1 � r2 = ±m�
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será máxima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
'1,2 = ±2m⇡ r1 � r2 = ±m�
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega num ponto é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = (kr1 � !t)� (kr2 � !t)
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será máxima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
'1,2 = ±2m⇡ r1 � r2 = ±m�
Esse efeito constitui a 
INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
Esse efeito constitui a 
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA. 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
Esse efeito constitui a 
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA. 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
Esse efeito constitui a 
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA. 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Num dado instante de tempo, a onda total que chega no ponto B é 
dada por: 
Ez(~r, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
A diferença de fase entre as 
ondas é: 
'1,2 = k(r1 � r2)
A amplitude da onda será mínima 
se (m=0,1,2,3,4,…): 
Esse efeito constitui a 
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA. 
r1 � r2 = ±(m+ 1
2
)�
'1,2 = ±2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
sen(✓m) =
m�
d
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
sen(✓m) =
m�
d
� =
c
f
=
3.108
1, 5.106
m = 200m
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
sen(✓m) =
m�
d
� =
c
f
=
3.108
1, 5.106
m = 200m
sen(✓m) =
m
2
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
sen(✓m) =
m�
d
� =
c
f
=
3.108
1, 5.106
m = 200m
sen(✓m) =
m
2
m = 0,±1,±2
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. Considere duas antenas idênticas, com dipolos verticais 
que oscilam em fase, separadas por 400m, operando com 
frequência de 1500kHz. Para distâncias muito maiores que 400m, 
em que direções a intensidade da radiação transmitida é máxima? 
sen(✓m) =
m�
d
� =
c
f
=
3.108
1, 5.106
m = 200m
sen(✓m) =
m
2
m = 0,±1,±2
✓ = 0,±30�,±90�
• Interferência em duas ou três dimensões; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes em 
fase; 
• Experimento da dupla fenda de Young; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes 
coerentes.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Aula 7: Interferência de Ondas.
O efeito de interferência é geral, independente da onda em 
questão. A interferência pode ser observada em ondas sonoras 
(ondas de pressão), ondas num meio material ou com luz. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
O efeito de interferência é geral, independente da onda em 
questão. A interferência pode ser observada em ondas sonoras 
(ondas de pressão), ondas num meio material ou com luz. 
A dificuldade de se observar interferência com luz é por causa 
das fontes geradoras. Em geral, é difícil encontrar duas fontes em 
fase, ou que gerem ondas eletromagnéticas com uma fase relativa 
bem definida (fontes coerentes.) 
Aula 7: Interferência de Ondas.
O efeito de interferência é geral, independente da onda em 
questão. A interferência pode ser observada em ondas sonoras 
(ondas de pressão), ondas num meio material ou com luz. 
A dificuldadede se observar interferência com luz é por causa 
das fontes geradoras. Em geral, é difícil encontrar duas fontes em 
fase, ou que gerem ondas eletromagnéticas com uma fase relativa 
bem definida (fontes coerentes.) 
Vamos analisar, primeiramente, a FIGURA DE INTERFERÊNCIA 
produzida por duas fontes em fase no experimento estudado por 
Thomas Young. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Um diagrama do experimento da dupla fenda de Young é 
apresentado. Luz de uma dada fonte puntiforme ilumina um 
anteparo com uma fenda de largura muito menor que o 
comprimento de onda. 
Desse modo, a luz que chega no segundo anteparo, nas duas fendas 
S1 e S2 (simétricas), produz uma situação com duas fontes em 
fase. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Young conseguiu com esse arranjo produzir duas fontes de luz 
monocromáticas em fase. Note que a luz que sai da primeira 
fenda, fonte S0, pode ser entendida via Princípio de Huygens. 
A tela com a figura de interferência é composta por uma película 
fotográfica sensível à luz. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Essa expressão para o campo elétrico resultante pode ser 
simplificada no limite de grandes distâncias: R>>d e 
R>>comprimento de onda. r2 � r1 = dsen(✓)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Logo, dado um ângulo theta, no regime de grandes distâncias, a 
diferença de fase entre as duas ondas é: 
'1,2 = k(r2 � r1) = 2⇡d
�
sen(✓)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Logo, dado um ângulo theta, no regime de grandes distâncias, a 
diferença de fase entre as duas ondas é: 
'1,2 = k(r2 � r1) = 2⇡d
�
sen(✓)
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência construtiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2m⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Logo, dado um ângulo theta, no regime de grandes distâncias, a 
diferença de fase entre as duas ondas é: 
'1,2 = k(r2 � r1) = 2⇡d
�
sen(✓)
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência construtiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2m⇡
sen(✓constm ) = m
�
d
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Logo, dado um ângulo theta, no regime de grandes distâncias, a 
diferença de fase entre as duas ondas é: 
'1,2 = k(r2 � r1) = 2⇡d
�
sen(✓)
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência construtiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2m⇡
sen(✓constm ) = m
�
d
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência destrutiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2(m+ 1/2)⇡
Aula 7: Interferência de Ondas.
Analisaremos geometricamente o experimento da dupla fenda de 
Young. O campo elétrico resultante (supomos uma única 
polarização) é E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t) + E2 cos (kr2 � !t)
Logo, dado um ângulo theta, no regime de grandes distâncias, a 
diferença de fase entre as duas ondas é: 
'1,2 = k(r2 � r1) = 2⇡d
�
sen(✓)
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência construtiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2m⇡
sen(✓constm ) = m
�
d
Os pontos na tela onde ocorrem a interferência destrutiva são 
dados pelos ângulos (m=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,…): '1,2 = 2(m+ 1/2)⇡
sen(✓destm ) = (m+ 1/2)
�
d
Aula 7: Interferência de Ondas.
A fotografia da figura de 
interferência apresenta máximos 
(pontos luminoso) e mínimos 
(pontos escuros). 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A fotografia da figura de 
interferência apresenta máximos 
(pontos luminoso) e mínimos 
(pontos escuros). 
Note que o centro da figura é 
uma franja brilhante. As franjas 
brilhantes são explicadas pela 
interferência construtiva e as 
franjas escuras, pela 
interferência destrutiva. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
As posições dos centros das franjas brilhantes e escuras podem 
ser determinadas pelas equações: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
As posições dos centros das franjas brilhantes e escuras podem 
ser determinadas pelas equações: 
Note que a altura y de um ponto da tela fotográfica vale: 
y(✓) = Rtan(✓)
Aula 7: Interferência de Ondas.
As posições dos centros das franjas brilhantes e escuras podem 
ser determinadas pelas equações: 
Note que a altura y de um ponto da tela fotográfica vale: 
y(✓) = Rtan(✓)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. A figura mostra uma experiência de interferência com 
fenda dupla, na qual a distância entre as fendas é 0,2mm e a tela 
está a uma distância de 1,0m das fendas. A terceira franja 
brilhante (m=3) forma-se a uma distância de 9,49mm da franja 
central. Calcule o comprimento de onda da luz usada. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. A figura mostra uma experiência de interferência com 
fenda dupla, na qual a distância entre as fendas é 0,2mm e a tela 
está a uma distância de 1,0m das fendas. A terceira franja 
brilhante (m=3) forma-se a uma distância de 9,49mm da franja 
central. Calcule o comprimento de onda da luz usada. 
� =
ymd
mR
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. A figura mostra uma experiência de interferência com 
fenda dupla, na qual a distância entre as fendas é 0,2mm e a tela 
está a uma distância de 1,0m das fendas. A terceira franja 
brilhante (m=3) forma-se a uma distância de 9,49mm da franja 
central. Calcule o comprimento de onda da luz usada. 
� =
ymd
mR
� =
(9, 49mm)(0, 2mm)
(3)(1, 0m)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. A figura mostra uma experiência de interferência com 
fenda dupla, na qual a distância entre as fendas é 0,2mm e a tela 
está a uma distância de 1,0m das fendas. A terceira franja 
brilhante (m=3) forma-se a uma distância de 9,49mm da franja 
central. Calcule o comprimento de onda da luz usada. 
� =
ymd
mR
� =
(9, 49mm)(0, 2mm)
(3)(1, 0m)
� = 633nm
• Interferência em duas ou três dimensões; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes em 
fase; 
• Experimento da dupla fenda de Young; 
• Interferência construtiva e destrutiva com duas fontes 
coerentes.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Aula 7: Interferência de Ondas.
Um conceito importante para o estudo da interferência de ondas 
é o de “coerência”. Considere duas fontes de radiação. Num dado 
instante, pelo princípio da superposição, o campo em um ponto do 
espaço vale 
E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t+ �1) + E2 cos (kr2 � !t+ �2)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Um conceito importante para o estudo da interferência de ondas 
é o de “coerência”. Considere duas fontes de radiação. Num dado 
instante, pelo princípio da superposição, o campo em um ponto do 
espaço vale 
E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t+ �1) + E2 cos (kr2 � !t+ �2)
Os campos possuem uma diferença de fase, devido à diferença de 
caminho (r1 e r2) e à diferença na geração da onda (phi1 e phi2).'1,2 = k(r2 � r1) + (�2 � �1)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Um conceito importante para o estudo da interferência de ondas 
é o de “coerência”. Considere duas fontes de radiação. Num dado 
instante, pelo princípio da superposição, o campo em um ponto do 
espaço vale 
E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t+ �1) + E2 cos (kr2 � !t+ �2)
Os campos possuem uma diferença de fase, devido à diferença de 
caminho (r1 e r2) e à diferença na geração da onda (phi1 e phi2). 
As fontes são coerentes se a diferença de fase entre elas for 
uma variável determinística. As fontes são incoerentes se a 
diferença de fase for uma variável estocástica. 
'1,2 = k(r2 � r1) + (�2 � �1)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Um conceito importante para o estudo da interferência de ondas 
é o de “coerência”. Considere duas fontes de radiação. Num dado 
instante, pelo princípio da superposição, o campo em um ponto do 
espaço vale 
E(P, t) = E1 cos (kr1 � !t+ �1) + E2 cos (kr2 � !t+ �2)
Os campos possuem uma diferença de fase, devido à diferença de 
caminho (r1 e r2) e à diferença na geração da onda (phi1 e phi2). 
As fontes são coerentes se a diferença de fase entre elas for 
uma variável determinística. As fontes são incoerentes se a 
diferença de fase for uma variável estocástica. 
'1,2 = k(r2 � r1) + (�2 � �1)
O grau de coerência entre duas fontes é função tanto da posição, 
que origina a coerência espacial, quanto do intervalo de tempo, 
originando a coerência temporal. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Vamos considerar duas fontes coerentes que emitem ondas 
monocromáticas de mesma intensidade. Escolhendo a origem do 
tempo adequadamente, os campos produzidos pela fonte S1 e S2 
em um dado ponto do espaço são: 
E2(t) = E cos (!t) E1(t) = E cos (!t+ �)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Vamos considerar duas fontes coerentes que emitem ondas 
monocromáticas de mesma intensidade. Escolhendo a origem do 
tempo adequadamente, os campos produzidos pela fonte S1 e S2 
em um dado ponto do espaço são: 
E2(t) = E cos (!t) E1(t) = E cos (!t+ �)
A onda resultante é dada por: 
E(P, t) = E[cos (!t) + cos (!t+ �)]
Aula 7: Interferência de Ondas.
Vamos considerar duas fontes coerentes que emitem ondas 
monocromáticas de mesma intensidade. Escolhendo a origem do 
tempo adequadamente, os campos produzidos pela fonte S1 e S2 
em um dado ponto do espaço são: 
E2(t) = E cos (!t) E1(t) = E cos (!t+ �)
A onda resultante é dada por: 
E(P, t) = E[cos (!t) + cos (!t+ �)]
A expressão do campo pode ser simplificada, uma vez que 
cos (a) + cos (b) = 2 cos (
a� b
2
) cos (
a+ b
2
)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Vamos considerar duas fontes coerentes que emitem ondas 
monocromáticas de mesma intensidade. Escolhendo a origem do 
tempo adequadamente, os campos produzidos pela fonte S1 e S2 
em um dado ponto do espaço são: 
E2(t) = E cos (!t) E1(t) = E cos (!t+ �)
A onda resultante é dada por: 
E(P, t) = E[cos (!t) + cos (!t+ �)]
A expressão do campo pode ser simplificada, uma vez que 
cos (a) + cos (b) = 2 cos (
a� b
2
) cos (
a+ b
2
)
E a amplitude do campo fica resultante vale 
E(P, t) = 2E cos (
�
2
) cos (!t+
�
2
)
Aula 7: Interferência de Ondas.
A soma de campos de mesma intensidade com fases distintas 
pode ser obtida através do método de gráfico dos fasores. 
Um fasor de um escalar com uma função senoidal é um vetor 
bidimensional: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A soma de campos de mesma intensidade com fases distintas 
pode ser obtida através do método de gráfico dos fasores. 
Um fasor de um escalar com uma função senoidal é um vetor 
bidimensional: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A soma de campos de mesma intensidade com fases distintas 
pode ser obtida através do método de gráfico dos fasores. 
Um fasor de um escalar com uma função senoidal é um vetor 
bidimensional: 
Para duas fontes em fase: 
Aula 7: Interferência de Ondas.
A amplitude dos campos é somada no efeito da interferência. A 
intensidade da onda resultante é calculada a partir do vetor de 
Poynting: 
~S(~r, t) =
[ ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t)]⇥ [ ~B1(~r, t) + ~B2(~r, t)]
µ0
Aula 7: Interferência de Ondas.
A amplitude dos campos é somada no efeito da interferência. A 
intensidade da onda resultante é calculada a partir do vetor de 
Poynting: 
~S(~r, t) =
[ ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t)]⇥ [ ~B1(~r, t) + ~B2(~r, t)]
µ0
Para pontos distantes das fontes, como é o caso do experimento 
da dupla fenda de Young, a intensidade do campo resultante vale: 
I = Smed =
E2P
2µ0c
Aula 7: Interferência de Ondas.
A amplitude dos campos é somada no efeito da interferência. A 
intensidade da onda resultante é calculada a partir do vetor de 
Poynting: 
~S(~r, t) =
[ ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t)]⇥ [ ~B1(~r, t) + ~B2(~r, t)]
µ0
Para pontos distantes das fontes, como é o caso do experimento 
da dupla fenda de Young, a intensidade do campo resultante vale: 
I = Smed =
E2P
2µ0c
Aula 7: Interferência de Ondas.
O resultado anterior pode ser aplicado ao experimento da dupla 
fenda de Young: I = I0 cos2 (
⇡d
�
sen(✓)) I0 = 4(
✏0cE2
2
)
Aula 7: Interferência de Ondas.
O resultado anterior pode ser aplicado ao experimento da dupla 
fenda de Young: I = I0 cos2 (
⇡d
�
sen(✓)) I0 = 4(
✏0cE2
2
)
Aula 7: Interferência de Ondas.
O resultado anterior pode ser aplicado ao experimento da dupla 
fenda de Young: I = I0 cos2 (
⇡d
�
sen(✓)) I0 = 4(
✏0cE2
2
)
Note que as condições para 
interferência construtiva e 
destrutiva são deduzidas da 
expressão geral. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(4�)/5, 0m)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontesseja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(4�)/5, 0m)
I = (0, 016W/m2)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(4�)/5, 0m)
I = (0, 016W/m2)
1/2 = cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(4�)/5, 0m)
I = (0, 016W/m2)
1/2 = cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
✓ = ±7, 2�
Aula 7: Interferência de Ondas.
Exemplo. No problema das fontes de rádio, suponha que a 
distância entre as fontes seja 10,0m e que a frequência das ondas 
irradias é 60,0MHz. A uma distância de 700m do ponto 
intermediário entre as antenas e na direção de 0 graus a 
intensidade é I0=0,02W/m^2. Nessa mesma distância, determine 
a) a intensidade na direção 4 graus; b) a direção próxima de 0 
graus onde a intensidade é I0/2 e c) as direções em que a 
intensidade é nula. 
� = c/f = 5, 0m
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
I = (0, 02W/m2) cos2 (⇡(10, 0m)sen(4�)/5, 0m)
I = (0, 016W/m2)
1/2 = cos2 (⇡(10, 0m)sen(✓)/5, 0m)
✓ = ±7, 2�
✓ = ±14, 5�,±48, 6�