[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier]

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Estequiometria de Bioprocessos 
Industriais 
Essa parte da matéria é de suma importância e o conteúdo aqui descrito será usado durante 
todo o curso. Quando falamos de estequiometria, estamos falando de contas. Saber 
concentrações, taxas e fatores relacionados à bioprocessos é importante para podermos 
caracterizá-los. Alguns parâmetros que usamos são: 
𝑷: 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 (𝒈/𝑳)
𝑺: 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒓𝒂𝒕𝒐 (𝒈/𝑳)
𝑿: 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒄é𝒍𝒖𝒍𝒂𝒔 (𝒈/𝑳)
 
Acima, cada parâmetro está representado em escala laboratorial. Deve-se ficar atento às 
unidades de medida, pois elas são diferentes dependendo da escala. Em escala de tubo de 
ensaio, por exemplo, concentrações costumam ser expressas em 𝑚𝑔/𝑚𝐿 e em escala 
industrial 𝑘𝑔/𝑚³. 
Fatores de rendimento ou conversa o - 𝑌 (𝑔/𝑔) 
Expressam as relações entre substrato consumido, produto e células formadas. Trata-se de 
uma razão entre massas ou taxas: 
• 𝒀𝒂/𝒃  fator de rendimento de “a” em relação à “b” 
• 𝒀𝒂/𝒃 =
∆𝒂
−∆𝒃
= 
𝒅𝒂
𝒅𝒕
𝒅𝒃
𝒅𝒕
⁄ 
• 𝒂, 𝒃 = {
𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒅𝒐 (𝑷)
𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒓𝒂𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒊𝒅𝒐 (𝑺)
𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒄é𝒍𝒖𝒍𝒔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔 (𝑿)
 
Exemplo  Em uma reação ideal (𝑃𝑜 = 𝑆 = 0)*, 50kg de uma substância A com PM: 500g/mol 
foram convertidos em substância B de PM: 100g/mol. Dada a estequiometria “A  2B ”, 
calcule YP/S. *Em uma reação ideal, em t=0, não há produto (𝑃𝑜 = 0) e em t=final da reação, 
não há substrato (𝑆 = 0). 
𝑌𝑃/𝑆 =
∆𝑃
−∆𝑆
=
(𝑃 − 𝑃𝑜)
−(𝑆 − 𝑆𝑜)
= 
𝑃
−(− 𝑆𝑜)
=
𝑃
𝑆𝑜
 
Se temos 50kg, temos 50.000g. Se 1 mol são 500g, temos então 100 mols de A, que foram 
completamente consumidos se tornando 200 mols de B, nosso produto. Se 1 mol de produto 
tem 100g, 200 mols tem 20.000g ou 20Kg de produto. 
𝑌𝑃/𝑆 =
𝑃
𝑆𝑜
=
20
50
= 0,4 [𝐾𝑔/𝐾𝑔] 
Veja abaixo uma tabela com os “𝑌𝑎/𝑏” existentes e uma relação entre eles 
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O uso de fatores de conversão considerando deltas pode ser um pouco problemático. Veja 
esses dois exemplos: 
 
𝑺𝒐 = 𝟓𝟓
𝒈
𝑳
𝑷𝒐 = 𝟎
𝑺 = 𝟓
𝒈
𝑳
𝑷 = 𝟐𝟓
𝒈
𝑳
 
 
𝑺𝒐 = 𝟓𝟓
𝒈
𝑳
𝑷𝒐 = 𝟎
𝑺 = 𝟐𝟎
𝒈
𝑳
𝑷 = 𝟏𝟕, 𝟓
𝒈
𝑳
 
 
𝑌𝑃/𝑆 =
𝑃
𝑆𝑜 − 𝑆
=
25
50
= 0,5 
 
 
𝑌𝑃/𝑆 =
𝑃
𝑆𝑜 − 𝑆
=
17,5
35
= 0,5 
 
 
Veja que “𝑌𝑃/𝑆” nos dois casos é igual, no entanto em um deles o consumo de substrato é 
muito baixo. Para corrigir isso, as vezes é interessante expressar o fator de rendimento ou 
conversão com somente o substrato inicial no denominador. Pros exemplos acima, ficaria: 
 
𝑌𝑃/𝑆 =
𝑃
𝑆𝑜
=
25
55
= 0,455 
 
 
𝑌𝑃/𝑆 =
𝑃
𝑆𝑜
=
17,5
55
= 0,318 
 
Temos então, abaixo, os fatores relacionados somente ao substrato inicial 
 
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Podemos ainda considerar fatores de rendimento em função da massa de matéria prima 
empregada no preparo do meio 
 
Em caso de reatores com volume variável, temos ainda: 
• 𝒀𝑷/𝑺 =
∆𝑷𝑽
−∆𝑺𝑽
=
(𝑷𝑽− 𝑷𝑶𝑽𝑶)
−(𝑺𝑽− 𝑺𝑶𝑽𝑶)
=
𝑷𝑽− 𝑷𝑶𝑽𝑶
𝑺𝑶𝑽𝑶−𝑺𝑽
= 
𝒅(𝑷𝑽)
𝒅𝒕
𝒅(𝑺𝑽)
𝒅𝒕
⁄ 
Eficie ncias - 𝐸𝑓 (%) 
A eficiência mede uma percentagem do produto obtido em relação ao que deveria se obter 
caso as relações estequiométricas ocorressem. Pode ser entendido como a razão entre 
“𝑌𝑃/𝑆”’s do processo e do previsto teoricamente. 
 
Acima, temos também a fórmula da eficiência global da planta, que leva em considerações 
possíveis perdas. Algumas perdas possíveis: 
• Tratamento da matéria prima 
• Preparo do meio 
• Esterelização do meio 
• Separação de células 
• Recuperação do produto 
Produtividade Volume trica - 𝑄 (𝑔 𝐿. ℎ⁄ ) 
Relaciona concentrações de produto ou células obtidas com o tempo de fermentação. 
 
Produtividade Ma ssica - 𝑃𝑅 (𝑔 ℎ⁄ ) 
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Relaciona somente a massa de produto ou células recuperado ao invés de sua concentração 
com o tempo de fermentação. 
 
Tipos de Equipamentos 
 
 
 
Dimensionamento de plantas e ciclos 
produtivos 
 
Variáveis importantes 
𝐹 → Vazão volumétrica 
𝑉 → Capacidade útil da dorna (volume) 
𝐷 → Número de dornas de capacidade V 
para garantir a vazão F 
𝑡𝐹 → Tempo de fermentação da dorna 
𝑡𝐷 → Tempo de descarga da dorna 
𝑡𝐶 → Tempo de carga e limpeza da dorna
Onde, temos: 
𝑭 =
𝑴
𝑪. 𝒓. 𝒕
 {
𝑀 = 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎
𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
𝑟 = 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
𝑡𝐷 =
𝑉
𝐹
 
A escolha de “V” e de “D” 
Ao se realizar um bioprocesso, a escolha de V não pode ser arbitrária. Um fabricante de dornas 
terá volumes fixos à venda e a dorna a se comprar deve ser escolhida conforme a experiência e 
o tipo do bioprocesso. 
Considere a primeira dorna de uma instalação (em azul): 
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O eixo vertical não tem dimensões, e as angulações das retas são arbitrárias. Uma dorna 
demora um tempo para ser limpa e encher, logo 𝑡𝐶. A fermentação demora um tempo 
também para ocorrer, logo 𝑡𝐹. Após o fim da fermentação, há um tempo 𝑡𝐷 para o conteúdo 
da dorna ser descarregado e a dorna ficar livre para reutilização. 
Analisando um processo descontínuo (em batelada), imagine agora uma segunda dorna 
operando. A segunda dorna está representada em rosa como o “número 2”. Imagine agora “D” 
dornas, cada uma operando em conforme o gráfico (o início da operação de uma dorna 
adjacente é dado quando a anterior tiver percorrido 𝑡𝐶). Para facilitar o cálculo de “D”, vamos 
considerar que 𝑡𝐶 = 𝑡𝐷 (pode ser obedecido em muitos casos na prática industrial). 
Veja no gráfico que se tomado como tempo zero o início da operação da primeira dorna, a 
dorna de número D começará {a operar após um tempo igual à (𝐷 − 1)𝑡𝐷. Assim, temos: 
𝑡𝐶 + 𝑡𝐹 = (𝐷 − 1)𝑡𝐷 𝐷 = 2 +
𝑡𝐹
𝑡𝐷
 
Como 𝑡𝐷 =
𝑉
𝐹
, temos: 
𝑫 = 𝟐 +
𝑭. 𝒕𝑭
𝑽
 
O valor de D é dito como o número de dornas de volume V necessárias para assegurar 
alimentação contínua à seção de separação. Isso quer dizer que se operarmos com D dornas, 
não teremos tempo morto na indústria. Lembre-se que consideramos 𝑡𝐶 = 𝑡𝐷. Mas e se não 
considerássemos? 
• 𝒕𝑪 > 𝒕𝑫 
Se o tempo de carga é maior, a seção de separação fica parada por um determinado tempo. 
Imagine: após descarga da primeira dorna, imediatamente vamos pra seção de separação. Se 
𝑡𝐶 > 𝑡𝐷, então quando a primeira dorna enviar seu material para a separação, a segunda 
dorna não terá terminado a sua fermentação ainda. Logo, quando a separação do material da 
primeira dorna acabar, a seção de separação vai ter que esperar o fim da segunda 
fermentação e da descarga dela pra voltar a operar. Haverá “tempo morto” na seção de 
separação. 
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• 𝒕𝑪 < 𝒕𝑫 
Se o tempo de carga é menor, o meio fermentado vai precisar ser armazenado. Imagine: após 
a descarga da primeira dorna, imediatamente vamos pra seção de separação. Se 𝑡𝐶 < 𝑡𝐷, 
então quando a primeira dorna terminar de descarregar seu material e envia-lo para a seção 
de separação a fermentação da segunda dorna já vai ter acabado e a segunda dorna estaria já 
descarregando. Como ela não podedescarregar porque a seção de separação ainda está 
ocupada com a primeira descarga, ela deverá armazenar o meio fermentado, o que por muitas 
vezes pode ser problemático. 
 
Nem sempre uma indústria tem dinheiro pra comprar as “D” dornas. Estipula-se então o valor 
de “E”, que representa o número econômico de dornas 
𝒑 = 𝑲.𝑽𝒂 𝒍𝒐𝒈 (𝒑) = 𝒂. 𝒍𝒐𝒈(𝑽) + 𝒍𝒐𝒈(𝑲) 
 
 
Onde: 
• E  número econômico de dornas ou número de biorreatores de custo total mínimo 
capaz de atender às necessidades da instalação 
• p  custo de um biorreator de volume V 
• P  custo de D reatores de volume V 
• “K” e “a”  parâmetros que dependem das cndições econômicas locais no momento 
considerado 
Sendo assim, temos: 
• 𝑃 = 𝐷. 𝑝 
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• 𝑃 = 𝐷.𝐾. 𝑉𝑎 
Como tínhamos calculado 𝐷 = 2 +
𝐹.𝑡𝐹
𝑉
, temos então. 
• 𝑉 =
𝐹.𝑡𝐹
𝐷−2
 
• 𝑃 = 𝐷.𝐾. (
𝐹.𝑡𝐹
𝐷−2
 )
𝑎
 
• 𝑃 = 𝑃(𝐷) = 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 .
𝐷
(𝐷−2 )𝑎
 
O custo total P será a menor possível quando a reta tangente da função P(D) for nula. 
Derivamos a função P(D) para achar o D que minimiza o custo total, ou seja, para achar o valor 
em que D=E. Temos: 
• 
𝜕𝑃
𝜕𝐷
= 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 .
1−
𝐷𝑎
𝐷−2
(𝐷−2 )𝑎
= 0 
• 1 −
𝐷𝑎
𝐷−2
= 0 
• 𝐷𝑎 = 𝐷 − 2 
• 𝐷 =
2
1−𝑎
 
𝑬 =
𝟐
𝟏 − 𝒂
 
Como 𝑉 =
𝐹.𝑡𝐹
𝐷−2
, temos então: 
• 𝑉𝐸 =
𝐹.𝑡𝐹
𝐸−2
 
• 𝑉𝐸 =
𝐹.𝑡𝐹
2
1−𝑎
−2
 
• 𝑉𝐸 =
𝐹.𝑡𝐹
2+2𝑎−2
1−𝑎
 
𝑽𝑬 =
𝑭. 𝒕𝑭 (𝟏 − 𝒂)
𝟐𝒂
 
Vimos que em um processo em batelada, temos 𝑡𝐷 =
𝑉
𝐹
, logo: 𝑉 = 𝐹. 𝑡𝐷. Para processos 
contínuos, temos 𝑡𝐷 = 𝑡𝐹 = 𝑡𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 e logo, temos: 
• 𝑉 =
𝐹.𝑡𝐷
𝐷
 
• 𝑃 = 𝐷.𝐾. (𝑉 )𝑎 
• 𝑃 = 𝐷.𝐾. (
𝐹.𝑡𝐹
𝐷
)
𝑎
 
• 𝑃 = 𝑃(𝐷) = 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 .
𝐷
(𝐷)𝑎
 
• 𝑃 = 𝑃(𝐷) = 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 . 𝐷1−𝑎 
• 
𝜕𝑃
𝜕𝐷
= 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 (1 − 𝑎). 𝐷−𝑎 = 0 
• 𝐶𝑜𝑚𝑜 (1 − 𝑎) > 0 e 𝐾. (𝐹. 𝑡𝐹 )
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 
• 
𝜕𝑃
𝜕𝐷
 ≠ 0 pra qualquer “D” que se tome 
• 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐷 > 0 
𝑫 = 𝑬 = 𝟏 ; 𝑽 = 𝑭. 𝒕𝑫 
 
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Cinética de crescimento microbiano 
Para qualquer bioprocesso acontecer, devemos ter determinada concentração de população 
microbiana disponível. Caso o bioprocesso vise a produção de biomassa, a população 
microbiana deve ser elevada (pois ela é o produto, a mercadoria à ser vendida). Mesmo se não 
for esse o caso, uma ou dez células não são o suficiente para produzirem o produto de 
interesse de forma economicamente viável. 
É de suma importância, portanto, saber a cinética de crescimento microbiano porque ele 
influencia diretamente no rendimento de um bioprocesso. O crescimento de uma população 
microbiana é dado pelo aumento do número de 
microorganismos e pelo crescimento de massa de cada um 
deles. Separamos então crescimento de multiplicação celular 
como: 
• Multiplicação  Aumento do número de indivíduos. 
• Crescimento  Aumento dos constituintes celulares. 
Chamamos de tempo de duplicação ou tempo de geração o tempo que uma população de 
células demora para dobrar a quantidade de indivíduos. O tempo de geração é tão maior 
quanto mais complexo for o microorganismo: 
 
Bactérias, que se reproduzem por fissura binária, possuem a constituição celular mais simples, 
sendo capazes de metabolizar os nutrientes muito mais rapidamente (são procariotos). Por 
esse motivo, tem o menor tempo de duplicação. Já leveduras tem o segundo menor tempo de 
germinação por serem microorganismos com estruturas mais complexas, isto é, eucariotos, 
que se reproduzem por germinação. Já Actinomicetos e Fungos Filamentosos crescem 
formando micélios, sendo cada micélio uma união de várias células sem divisão entre células 
bem definida. A construção dessa estrutura gera problemas de transferência de massa para os 
produtos por elas produzidos e para os nutrientes por elas absorvidos. 
Quantificação Celular 
Os métodos de quantificação celular podem ser divididos em métodos diretos e indiretos. 
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A escolha de um determinado método vai depender de: 
• Acurácia/sensibilidade 
• Baixo custo 
• Operacionalidade (simplicidade) 
• Aplicabilidade ao processo 
Enquanto os métodos diretos envolvem a avaliação do próprio crescimento celular através da 
medida direta da biomassa gerada, os indiretos envolvem a medida de um componente que 
tenha estreita relação com o crescimento celular e devem envolver medidas de componentes 
que não variem com a variação de 𝜇 (taxa específica de crescimento) 
Métodos Diretos 
Contagem ao microscópio 
Uso de uma lâmina especial que possui 
dois “quadradões” (o envolvido por um 
círculo em negrito na segunda imagem) 
de área padronizada e profundidade 
conhecida (informadas na lâmina). 
Dentro do quadradão, existem ~25 
quadradinhos e cada quadradinho tem a 
aparência do quadrado em zoom na 
imagem de baixo, à direita. 
A entrada da amostra é feita nas laterais 
da lâmina, e sobe por capilaridade até os 
dois quadradões (um deles é duplicata). 
Sobre esse método, temos: 
• “Range” estatístico  30 a 300 
células 
• Não adequado à quantificação de células filamentosas, somente individuais. 
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• Cuidados com a diluição são necessários para quantificação adequada. Se a solução 
estiver muito concentrada, contar 5 quadradinhos aleatórios ou os da ponta mais o do 
meio. 
• Necessidade de se padronizar um método de contagem (exemplo: contar células em 
cima das linhas somente da esquerda e de cima). 
• Aumento do erro se mudar o operador 
• Utiliza pequenos volumes 
• Método rápido 
• Método cansativo 
• Só permite distinguir células vivas e mortas se forem utilizados corantes vitais (ex.: 
azul de metileno) 
• Células móveis devem ser imobilizadas 
Contagem de colônias formadas (plaqueamento) 
 
UFC  Unidades formadores de colônias 
Realiza-se diluições seriadas e inocula-se em placa de petri com meio nutritivo sólido (Agar). A 
contagem de colônias conta somente as células viáveis. São informações desse método: 
• Cuidados com diluição (muito diluído torna-se não representativo do sistema, pouco 
diluído pode fazer com que muitas colônias cresçam, impossibilitando a contagem) 
• Utilização de soluções salinas (manutenção da integridade da célula) 
• Serve para qualquer microrganismo que forme colônia (filamentoso inclusive) 
• Método trabalhoso 
• Método lento 
• Não distingue células vivas de mortas 
Número mais provável (NMP) 
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São feitas no mínimo 3 diluições com no mínimo 5 réplicas pra cada diluição. Verifica-se o 
crescimento (contagem de tubos turvos). No caso acima, na menor diluição cresceram 5/5 
tubos, a intermediária 4/5 e a maior 1/5. Encontrar o número mais provável para esse 
resultado (5,4,1)  No caso, 170. São informações sobre esse método: 
• Uso de uma tabela estatística 
• Válido para qualquer microorganismo 
• Método rápido 
• Válido para prospecção 
• Método antigo e não muito preciso 
Contagem eletrônica – Equipamento de Coulter (ou Malvin) 
Esse método conta, na realidade, qualquer partícula, seja sólido ou 
células totais. A amostra passa por uma DDP num tubo fino e o 
equipamento “conta” as células totais, dando não só a concentração 
como também a distribuição do tamanho das células. Normalmente, 
não serve para células filamentosas.As células devem ser suspensas em um fluido condutor que passa de 
uma câmara para outra através de uma abertura minúscula por onde 
também passa corrente elétrica. Cada vez que uma célula passa pelo orifício, 
instantaneamente muda a resistência do sistema. 
Essa mudança é detectada e medida por eletrodos contidos nas duas câmaras que compõem a 
máquina, sendo que a grandeza da alteração da tensão elétrica é proporcional ao volume da 
célula. Esse método permite contar rapidamente um grande número de células diminuindo o 
erro de contagem. 
 
 
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Contagem eletrônica – Citometria de Fluxo 
As células passam por uma câmera de fluxo e entram em um tubo 
tão fino que as células entram uma de cada vez. A cada vez que uma 
célula interrompe o feixe de laser, ela é contada. Conta células com 
coloração também, mas não é adequado a células filamentosas. 
Pode ser utilizado para medir população de organelas (e, por 
consequência, medir a viabilidade da cultura). 
 
 
Determinação da biomassa microbiana – peso seco 
Filtra-se em um cadinho a amostra, depois seca-se a mesma em 
estufa ou infravermelho até obter-se massa constante, tomando 
cuidado para não torrar. A massa seca é então pesada. Sobre 
esse método: 
• Cuidado com a escolha do filtro: poros devem 
estar de acordo com o tamanho das células 
• Serve para qualquer microorganism 
• Não distingue células vivas de mortas 
• Não pode ser usado quando houver sólidos em suspensão 
Determinação da biomassa microbiana –Turbidimetria ou espectrofotometria 
Mede-se a densidade ótica (só precisa da luz visível), pois cada 
microorganismo lê numa faixa diferente. Pode ser relacionado com o 
método anterior: relacionando uma massa pesada à um volume e lendo-
se a densidade ótica de diversas soluções preparadas com precisão, é 
possível fazer uma curva padrão que nos ajude a quantificar a biomassa 
de uma solução desconhecida. Trata-se do método mais utilizado para 
contagem de biomassa. 
• Não funciona com organismos filamentosos ou com sólidos em suspensão. 
• Método prático 
• Dependente do caminho ótico e da máquina 
• Deve-se saber qual comprimento de onda ideal para cada célula 
A lei de Lambert-Beer 
 
Abaixo, um exemplo da relação desse método com o método do peso sexo, mostrando uma 
curva padrão (cada concentração g/L possui sua própria absorbância e as soluções usadas para 
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fazer a curva foram feitas a partir de massas secas precisamente calculadas diluídas em 
volumes precisamente calculados). 
 
Determinação da biomassa microbiana –Volume de centrifugado 
Coloca-se um volume conhecido no tubo falcon, centrifuga-se e mede-se o volume do sólido. 
• Muito usado em indústria  Um processo pode, por exemplo, ter chegado ao fim 
quando o sólido ocupar 50% do volume do tubo após centrifugado. 
• Método rápido, imprecise e não quantitative. 
• Compara percentagens de volume 
• Serve para qualquer micro-organismo 
 
Determinação da biomassa microbiana –Viscosidade 
Do mesmo jeito que podemos relacionar a turbidez de uma solução 
com a quantidade de células em gramas por litro que tem na cubeta, 
podemos relacionar a viscosidade de uma solução de células em 
função do teor de biomassa da mesma. Alguns microorganismos, 
quando em altos grama/litro, aumentam a viscosidade da solução. 
• Não vale para todos os microorganismos 
• Gráfico de correlação não é linear 
• Zonas no gráfico de alta e baixa sensibilidade 
• A sensibilidade é maior para regiões onde o delta de viscosidade grande acompanha 
um delta de concentração de células grande 
Métodos Indiretos 
As diferentes dosagens nos fornecem informações interessantes sobre os microorganismos. 
Pode-se dosar: 
• Constituintes celulares 
o Concentração total de N ou C; 
o ATP; 
o DNA, RNA; 
o Conteúdo proteico; 
• Elementos do meio de cultura 
o Substrato; 
o Consumo de O2; 
o Produção de CO2; 
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As dosagens de constituintes celulares podem ser feitas por colorimetria e, portanto, medir a 
viabilidade da célula. Por entendimento da estequiometria de consumo de substrato, O2 ou de 
produção de CO2, é possível ainda relacionar-se biomassa de células (no caso, viáveis) com 
massa de elementos do meio de cultura. 
 
 
Concentração total de N 
Método de Kjedahl  o N contido na matéria orgânica é convertido a (NH4)2SO4 por digestão 
com H2SO4, na presença de catalisador 
Conteúdo proteico 
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• Método de biureto  útil pois mede ligações peptídicas com praticamente nenhuma 
interferência de outros compostos nitrogenados. Muito utilizada para fungos. A reação 
com o Reagente de Biureto resulta em um complexo de cor violeta. 
• Método de Lowry (colorimétrico) 
• Método da análise de aminoácidos totais 
Concentração total de ATP 
Visto que a concentração do ATP por unidade de massa celular é praticamente constante para 
determinado micro-organismo, a medida da concentração de ATP pode ser utilizada como 
medida quantitativa da massa celular presente. É necessário que as amostras sejam 
mergulhadas em ácido fosfórico (H3PO4) para preservar o conteúdo de ATP. A determinação é 
espectrofotométrica, relacionando luminescência com concentração de ATP: 
 
 
Concentração total de DNA 
O DNA provavelmente é o componente celular mais constante, além de não ser usualmente 
encontrado em materiais não celulares (tais como nutrientes). A massa celular é proporcional 
ao DNA, logo temos um meio indireto de medir biomassa. A desvantagem é que sua análise é 
trabalhosa, sendo a mesma usada em casos onde a especificidade é 
necessária para medida de massa celular (ex.: meios complexos 
heterogêneos). Os métodos são: 
• Brometo de etídio 
Agente intercalante fluorescente à luz UV (como o método anterior, 
compara-se luminescência com concentração e concentração de DNA 
com biomassa) 
• Difenilamina (reação DISHE) 
 
Determinação colorimétrica a partir da formação de um complexo azul 
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Concentração total de RNA 
Método complicado. Só funciona se soubermos em que fase do crescimento o microorganismo 
está pois a quantidade de RNA muda em função disso. 
Consumo de substrato 
 
Ao passo que as células estão em crescimento, a massa de material celular seco aumenta, 
enquanto a quantidade de nutrientes disponíveis no meio diminui. Logo podemos relacionar 
consumo de substrato com formação de biomassa (aumento do peso seco). O método de 
determinação vai depender do microorganismo. 
Consumo de CO2 
A mesma coisa: é possível de se relacionar estequiometricamente a produção de CO2 (é claro, 
em crescimentos celulares em que CO2 é produzido) com a biomassa. Alguns métodos: 
• Analisador a gás no infravermelho 
• Cromatografia gasosa 
• Análise gravimétrica após precipitação com Ca(OH)2 
 
 
 
Cinética de Crescimento fermentativo 
O crescimento microbiano está intrinsecamente associado à atividade microbiana. Isto é, a 
capacidade de uma população de microorganismos de crescer é dependente da viabilidade das 
reações químicas que os microorganismos catalisam (com o ojetivo de, por exemplo, conservar 
energia para o seu crescimento). Por sua vez, a viabilidade de um microorganismo de catalisar 
determinada reação é uma função da cinética de crescimento, de fatores que afetam o tempo 
de geração e de fatores ambientais que afetam o crescimento. 
Considere uma cultura pura (de somente umapopulação), na qual foi inoculada (obviamente, 
com células viaveis) com todas as formas de assepsia possíveis asseguradas (sem 
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contaminação de outros microorganismos) em um recipiente esterilizado. O inóculo ocorreu 
em meio de cultivo adequado contendo 
• Volume adequado (volume de ar em recipiente do inóculo é importante pro 
crescimento) 
• Nutrientes essenciais presentes 
• Ausência de compostos inibitórios 
• Condições ambientais como pH e temperatura controladas 
Nessa cultura, após dado tempo do inóculo, a população de células aumentará, e o gráfico 
concentração celular por tempo tem, para todo microorganismo, uma aparência semelhante 
contendo "fases" distintas nas quais a cinética de crescimento pode ser analisada. A cinética 
de crescimento tem a seguinte aparência gráfica: 
 
O gráfico da direita relaciona o logaritmo neperiano da concentração celular com o tempo 
enquanto o da esquerda relaciona concentração celular (ou número de indivíduos) por tempo. 
O gráfico da esquerda é apenas uma normalização do gráfico da direita, de forma que a 
tangente em qualquer ponto dele seja igual à taxa específica de crescimento, definida como: 
𝝁 =
𝟏
𝑿
 
𝒅𝑿
𝒅𝒕
=
𝒅 𝐥𝐧𝑿
𝒅𝒕
 
As fases da cinética de crescimento estão enumeradas no gráfico à direita. Seus números 
correspondem aos seguintes nomes e características da taxa específica de crescimento: 
Nº Fase 𝝁 [𝒕−𝟏] 
1 Fase lag ou de adaptação 𝜇 = 0 
2 Fase de aceleração 0 < 𝜇 < 𝜇𝑓𝑎𝑠𝑒 3 
3 Fase log ou exponencial 𝜇 = 𝜇𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
4 Fase de desaceleração 0 < 𝜇 < 𝜇𝑥 
5 Fase estacionária 𝜇 = 0 
6 Fase de declínio ou morte 𝜇 < 0 
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
• Fase lag 
Fase onde o microrganismo está se adaptando às condições ambientais. Industrialmente, faz-
se sucessivas propagações à fim de reduzir o tempo dessa fase. Nessa fase não há aumento de 
células e ocorre a síntese de enzimas indutivas para a utilização do substrato e outros 
nutrientes. Fatores que influenciam a duração da fase lag são: 
 
• Concentração inicial do inóculo 
• Idade do microrganismo 
• Estado fisiológico do microrganismo 
São estratégias de redução da fase lag: 
• Inocular o meio com células na fase exponencial do crescimento 
• Pré-aclimatar o inóculo no meio de cultivo 
• Usar altas concentrações de inóculo 
• Fase de aceleração, fase logarítimica e fase de desaceleração 
Inicialmente, na fase de aceleração, vemos um aumento gradual na taxa específica de 
crescimento, até ele assumir um valor constante na fase logarítmica ou exponencial. A taxa 
específica de crescimento nesse ponto ganha o nome de taxa de reprodução e a expressão "". 
Na fase log, as concentrações de substrato e nutrientes são altas ainda. O crescimento 
mantém-se balanceado até que as condições do meio comecem a deteriorar-se (acúmulo de 
produtos do metabolismo, alterações do pH, etc.). 
A fase de desaceleração chega após o fim da fase log. Nessa fase, o crescimento está na 
iminência de terminar. Essa fase costuma surgir quando um ou mais componentes do meio de 
cultura se esgotam e/ou quando metabólitos inibidores começam a acumular. Como nem 
todos os microrganismos se reproduzem em tempos regulares, o tempo de geração tende a 
mudar nessa fase. Gradualmente, o foco da população de células passa de "se multiplicar" 
para "sobreviver" 
• Fase estacionária 
Fase onde a concentração celular é máxima e vemos um balanço entre taxa específica de 
crescimento e taxa de morte celular (logo, não há crescimento líquido populacional). Nessa 
fase, para muitos microrganismos, é possível vermos uma mudança na estrutura bioquímica da 
célula e a síntese de metabólitos secundários (o caso de alguns antibióticos e enzimas 
importantes industrialmente - produzidos nessa fase). No caso específico de bactérias, 
podemos ver a esporulação ocorrer nessa fase. No caso específico de leveduras, se mantidas 
em geladeira, permanecem viáveis por muito tempo nessa fase 
• Fase de morte ou declínio 
Nessa fase, a taxa de morte celular se supera em relação à taxa de crescimento específico. Em 
alguns casos pode ocorrer autólise, mas é comum vermos concentração de células constante 
(mas com o aumento de células não viáveis). Nessa fase, as condições ambientais tendem a 
promover variações de caráter fenotípico nas culturas. Mesmo assim, essas variações são 
reversíveis e o crescimento pode ser retomado pela transferência de células pra um novo 
meio. 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Determinação da taxa de reprodução 
Dado que 
• 𝜇 =
𝑑 ln𝑋
𝑑𝑡
 
Temos: 
• 𝜇𝑑𝑡 = 𝑑 ln𝑋 
Integrando dos dois lados: 
• ∫ 𝑑 ln𝑋
𝑥𝑓
𝑥𝑖
= ∫ 𝜇. 𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
 
Se considerarmos 
• 𝑡𝑖 = 0 
Teremos nesse tempo 
• 𝑥𝑖 = 𝑥0 
Que é a concentração celular do inóculo 
Se 𝑡𝑓 e 𝑥𝑓 são, respectivamente, “t” e “x” dentro da fase lag, 𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑥 , ou seja, uma 
constante, então é válido: 
• ∫ 𝑑 ln𝑋
𝑥
𝑥0
= ∫ 𝜇. 𝑑𝑡
𝑡
0
 
• ln
𝑋
𝑋0
= 𝜇𝑥 . 𝑡 
𝑿 = 𝑿𝟎. 𝒆𝒙𝒑{𝝁𝒙. 𝒕} 
Interpretando o resultado acima, na fase lag somente, a concentração de dado microrganismo 
em função do tempo é dado pela concentração do inóculo vezes a exponencial da sua taxa de 
reprodução vezes o tempo em questão. 
Determinação do tempo de geração 
Geralmente calculado na fase estacionária. Se o tempo de duplicação é o tempo em que uma 
concentração celular demora pra dobrar, temos: 
• 𝑋1 = 𝑋0. exp{𝜇𝑥. 𝑡1} 
• 𝑋2 = 𝑋0. exp{𝜇𝑥. 𝑡2} 
• 𝑡2 > 𝑡1 
• 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡𝑔 
• 𝑋2 = 2. 𝑋1 
Assim, temos: 
• 𝑋0. exp{𝜇𝑥. 𝑡2} = 2 𝑋0. exp{𝜇𝑥 . 𝑡1} 
• exp{𝜇𝑥 . 𝑡2} = 2 exp{𝜇𝑥 . 𝑡1} 
• ln(exp{𝜇𝑥 . 𝑡2}) = ln(2 exp{𝜇𝑥 . 𝑡1}) 
• 𝜇𝑥 . 𝑡2 = ln(2) + 𝜇𝑥 . 𝑡1 
• 𝜇𝑥 . (𝑡2 − 𝑡1) = ln(2) 
• 𝜇𝑥 . 𝑡𝑔 = ln(2) 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
𝒕𝒈 =
𝐥𝐧(𝟐)
𝝁𝒙
 
Balanço material 
Dado um volume de controle definido arbitrariamente*, temos: 
 
{𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐} = {𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂} − {𝒔𝒂í𝒅𝒂} + {𝒈𝒆𝒓𝒂çã𝒐} − {𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒐} 
• * a escolha do VC deve ser estratégica, de forma que os cálculos partindo do esquema 
geral acima sejam o mais simples possível e rendam resultados (em outras palavras, 
tenha algo determinável. Escolher um VC com duas variáveis pra determinar e poucas 
informações não ajuda em nada, por exemplo) 
O balanço material pode ser aplicado: 
• Sistemas com um ou mais componentes 
• Sistemas com ou sem reação química 
• Em estado permanente ou transiente 
Algumas simplificações: 
Nome Definição Consequência 
Estado estacionário 
Inverso de estado transiente. 
Ocorre quando não existem 
taxas de acúmulo: 
{𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜} = 0 
{𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎} − {𝑠𝑎í𝑑𝑎} + {𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜} − {𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜} = 0 
Sem reação química 
Se não há reação química, 
no volume de controle toda 
variação de massa ou mol é 
devido à entrada e saída de 
material 
{𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜} = {𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎} − {𝑠𝑎í𝑑𝑎} 
 
No balanço material de células, não existe o termo “consumo”. A matemática dos 
biorreatores leva em consideração somente os termos “Entrada”, “Saída”, “Geração” e 
“Acúmulo”. A relação entre eles é dada por 
𝑨 = 𝑬 − 𝑺 + 𝑮 
Tratando-se de taxas, a unidade de medida será massa/tempo. Fazendo análise dimensional 
de cada um dos termos acima: 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
• E;S  𝐹. 𝑋𝑜 [
𝐿3
𝑡
∙
𝑀
𝐿³
]; Vazão Volumétrica x Densidade de Células (ou 
produto/substrato) [
𝑀
𝑡
] 
• A;G  𝑉.
𝑑𝑋𝑜
𝑑𝑡[𝐿³ ∙
𝑀
𝑡.𝐿³
]; Volume x Taxa temporal da densidade de Células (ou 
produto/substrato) [
𝑀
𝑡
] 
Reescrevemos “𝐴 = 𝐸 − 𝑆 + 𝐺” então com: 
𝑽. (
𝒅𝑿
𝒅𝒕
)
𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐
= 𝑭∆𝑿 + 𝑽. (
𝒅𝑿
𝒅𝒕
)
𝒈𝒆𝒓𝒂çã𝒐
 ; ∆ = 𝑿𝒐 − 𝑿 
Aplicando essa fórmula para biorreatores de mistura completa (CSTR – Processo contínuo), 
tiramos algumas conclusões: 
 
• Estado estacionário  A=0  𝐹∆𝑋 + 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
= 0 (sem acúmulo) 
• Sem entrada de células  𝑋𝑜 = 0  𝐹𝑋 = 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 
Assim, temos: 
• 
𝐹
𝑉
=
1
𝑋
. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 
• 𝐷 = 𝜇 
Onde: 
𝑫 =
𝑭
𝑽
 ; taxa de diluição 
𝝁 = 
𝟏
𝑿
. (
𝒅𝑿
𝒅𝒕
)
𝒈𝒆𝒓𝒂çã𝒐
 ; taxa específica de crescimento 
Vemos então que a vazão é um parâmetro importante e controla tudo. Quanto maior ela for, 
maior a taxa de diluição “D” será e, portanto, maior a atividade das células. Claro, essa 
suposição é somente válida dentro de um certo limite. Vemos então que em processos 
contínuos, variáveis físicas controlam variáveis fisiológicas 
Definimos ainda: 
𝝁 =
𝟏
𝝉
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Onde “𝜏” é o tempo de residência. Ao se alterar D, o estado estacionário sai e um transiente 
surge. Demora “3𝜏” para esse novo estado transiente se transformar em estacionário 
novamente. 
Cinética de crescimento segundo a Equação de Monod 
Efeito da concentração de substrato no crescimento 
Cada espécie produz biomassa pelo consumo de substrato de forma específica, se 
considerarmos mesmas condições de cultivo. Limitações na velocidade de consumo de 
substrato acarretam em limitações do valor de 𝜇 também. O consumo de substrato vai 
depender da: 
• Eficiência da utilização da energia do substrato 
• Percentagem de energia gerada pelo consumo destinada a manutenção celular 
• Concentração do substrato 
• Velocidade de transporte do substrato pro interior da célula 
Monod adaptou o modelo de Michaelis-Menten considerando o ultimo efeito acima. Em seu 
modelo, não são as enzimas intracelulares a serem saturadas por substratos em alta 
concentração, e sim os transportadores específicos de um determinado substrato. 
A equação de Monod procura mostrar como a taxa específica de crescimento varia com a 
concentração de substrato 
 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
) 
 
O valor de 𝜇𝑚𝑎𝑥 é aquele alcançado na fase lag, que dura um certo tempo ∆𝑡. Durante o 
crescimento celular, o substrato vai sendo consumido. Logo, o crescimento celular ocorre da 
direita pra esquerda no gráfico acima, partindo de um valor de concentração de substrato 
inicial 𝑆𝑜. A partir do momento em que a curva sai de um valor muito próximo de 𝜇𝑚𝑎𝑥, 
chagamos ao fim da fase log. 
Perceba que quando menor for “𝐾𝑆”, mais “rápido” , da esquerda pra direita, o platô (ou seja, 
“𝜇𝑚𝑎𝑥”) é alcançado. Se o platô é alcançado mais rápido, durante o crescimento, que ocorre 
da direita pra esquerda, mais tempo as células permanecerão na fase log, logo maior ∆𝑡. 
Assim, é normal entender “𝐾𝑆” , a chamada constante de saturação, como um medidor de 
afinidade da célula por substrato. Quanto menor for “𝑲𝑺”, maior será a afinidade. “𝐾𝑆” tem 
unidades de concentração e é atingido quando: 
𝑲𝑺 = 𝑺 quando 𝝁 =
𝝁𝒎𝒂𝒙
𝟐
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Para determinação gráfica de “𝜇𝑚𝑎𝑥” e “𝜇𝑚𝑎𝑥” podemos linearizar a equação de Monod, 
obtendo o gráfico dos inversos de Lineweaver-Burk: 
 
𝟏
𝝁
=
𝟏
𝝁𝒎𝒂𝒙
+
𝑲𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙
∙
𝟏
𝑺
 
 
A equação acima pode ser entendida como um modelo “Y=AX+B” se tivermos: 
• Y  
1
𝜇
 
• A  
𝐾𝑆
𝜇𝑚𝑎𝑥
 
• B 
1
𝜇𝑚𝑎𝑥
 
• X  
1
𝑆
 
O valor de 𝜇𝑚𝑎𝑥 é diferente para cada microrganismo e também acompanha a ordem de 
simplicidade dos mesmos. O microrganismo mais simples, a bactéria, terá o maior 𝜇𝑚𝑎𝑥. Isso é 
intuitivo porque por ser a mais simples, espera-se tenha uma taxa específica de crescimento 
máximo elevada, isso é, cresça muito, se comparado aos outros, em um intervalo de tempo 
fixo. Assim, podemos dizer que há relação também entre taxa de crescimento específico 
máxima e tempo de geração. As relações são: 
 
Uma outra forma de determinar 𝜇𝑚𝑎𝑥 é pela técnica de 
washout, onde através de excessiva alimentação, removemos a 
massa microbiana. Plotamos um gráfico do logaritmo neperiano 
da redução de biomassa com o tempo e queremos a relação da 
inclinação desse gráfico (que é uma reta), com 𝜇𝑚𝑎𝑥. Veja o 
gráfico ao lado 
Sendo: 
• 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
= 𝐹∆𝑋 + 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 ; ∆ = 𝑋𝑜 − 𝑋 
Se o processo é contínuo, então não há entrada de células, logo 𝑋𝑜 = 0. A equação acima fica: 
• 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
= −𝐹𝑋 + 𝑉. (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 
Dividindo tudo por V, temos: 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
= −𝐷𝑤𝑜𝑋 + (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 
Onde “𝐷𝑤𝑜” é a taxa de diluição de washout. Dividindo tudo por X, temos: 
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
= −𝐷𝑤𝑜 +
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
 
Sabemos que “
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜
= 𝜇𝑚𝑎𝑥 ”, então temos: 
• 
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
)
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
= 𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑤𝑜 
Ou ainda 
𝒅 𝒍𝒏(𝑿)
𝒅𝒕
= 𝝁𝒎𝒂𝒙 − 𝑫𝒘𝒐 
Logo no gráfico, a tangente tem valor de “𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑤𝑜”. Como “𝜇𝑚𝑎𝑥 ≪ 𝐷𝑤𝑜”, a inclinação da 
reta só poderia ser negativa. Achando 𝜇𝑚𝑎𝑥, basta usar a equação de Monod pra encontrar 𝐾𝑆. 
Efeitos de Inibição 
Principalmente em cultivos descontínuos, onde ocorre um 
acúmulo de metabólitos que acabam interferindo 
desfavoravelmente no metabolismo e crescimento 
microbiano, muitas vezes ocorrem efeitos inibitórios. A 
equação de Monod não leva isso em consideração. 
O gráfico ao lado mostra uma situação mais real. As regiões 
a,b são análogas ao que já vimos. No entanto, pra região c, 
temos que considerar que: 
• 𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑲𝒊
𝑲𝑺+𝑺
) 
• Onde “𝐾𝑖” é uma constante que leva a inibição em consideração. 
Outros modelos de base Monodiana 
Modelo Fórmula Quem fez 
Dupla limitação por 
substrato 
 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺𝟏
𝑲𝑺𝟏 + 𝑺𝟏
)(
𝑺𝟐
𝑲𝑺𝟐 + 𝑺𝟐
) 
 
Sinclair 
Inibição pelo 
substrato 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙.
(
 
𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺 + (
𝑺
𝑲𝒊
)
𝟐
)
 
 
Andrews 
Inibição pelo 
produto 
 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
) (
𝑲𝑷
𝑲𝑷 +𝑷
) 
 
Aiba 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
) 𝒆−𝑲𝑷.𝑷 Sinclair 
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
) (𝟏 − 𝑲𝑷. 𝑷) Kossen 
Inibição global 𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙. (
𝑺
𝜷𝑿 + 𝑺
) Contois 
 
Tipos de Inibição 
 
Na inibição competitiva, existe em meio alguma substância que faz com que a célula tenha 
menor afinidade pelo substrato que a faz crescer. Isso ocorre porque a substância inibitória 
compete pelos sítios ativos das enzimas, formando um complexo inibidor-enzima muito 
parecido com o complexo substrato-enzima. Nesse tipo de inibição, vemos alteração de 𝐾𝑆 
mas não de 𝜇𝑚𝑎𝑥, expresso pelo aumento da inclinação da reta original mantendo o ponto de 
encontro com o eixo Y fixo. 
Na inibição não competitiva, o inibidor liga-se à enzima ou ao complexo enzima-substrato por 
outro sítio, alterando a formação de produto. Veja que nesse caso a afinidade pelo substrato 
não se altera,mas sua capacidade de convertê-lo é alterada. Nesse tipo de efeito inibitório, 
não vemos alteração do 𝐾𝑆 mas vemos diminuição do 𝜇𝑚𝑎𝑥, expressa pelo aumento da 
inclinação do gráfico, mantendo fixo o ponto de encontro da reta com o eixo X. 
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Acima um exemplo de como a curva de Monod ficaria para cada tipo de inibição. A curva sem 
inibição é a mais espessa, em preto. A curva mais baixa, laranja, é uma curva que não muda 𝐾𝑆 
mas muda 𝜇𝑚𝑎𝑥 (para metade do valor de 𝜇𝑚𝑎𝑥 da curva sem inibição), caracterizando 
inibição não competitiva. A curva mais alta, em cinza, é uma curva que muda 𝐾𝑆 (para um valor 
que é metade do 𝐾𝑆 da curva sem inibição) sem mudar 𝜇𝑚𝑎𝑥, caracterizando uma inibição 
competitiva. 
Variáveis que afetam 𝝁 
Para cada espécie microbiana existem condições ambientais que determinam o máximo de 𝜇. 
Exemplo desses fatores são pH e temperatura. Em condições ditas ótimas, vemos as maiores 
taxas de crescimento e atividade. Em condições diferentes, essas taxas são menores. Há ainda 
valores críticos, para as quais as taxas são iguais à 0 (exemplo: bactérias em meio muito ácido 
não sobrevivem. Portanto a atividade e o crescimento delas nessa condição ambiental é nula). 
Microrganismos que conseguem sobreviver em condições extremas são chamados 
extremófilos. Geralmente seres extremófilos para parâmetros extremos são facultativos, ou 
seja, sobrevivem em situações mais brandas também. Já seres q vivem em faixas estreitas de 
pH e temperatura, por exemplo ,são obrigatórios quanto a essa faixa, não podendo viver fora 
dela. 
 
Se imaginarmos um microrganismo como um sistema multi-enzimático, é natural imaginarmos 
que a taxa de crescimento celular em função da temperatura acompanha a aparência da curva 
de atividade enzimática por temperatura. O pH externo numa fermentação usualmente tem 
menor efeito sobre a atividade biológica do que a temperatura, pois a célula é razoavelmente 
capaz de regular sua concentração interna de íons H+ em concentrações adversas. Ainda 
assim, a lógica usada acima para a temperatura se aplica: a taxa específica de crescimento é 
máxima em determinado pH ótimo e decresce quando fugimos desse pH. Se ultrapassados os 
valores críticos, a célula não sobrevive e logo, não cresce. 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
 
A taxa de crescimento também varia conforme a disponibilidade de água livre. As equações 
para esse parâmetro são: 
𝒂𝒘 =
𝑷
𝑷𝒐
 ; 
{
 
 
 
 
𝑷 → 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐
𝑷𝒐 → 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒂 á𝒈𝒖𝒂 𝒑𝒖𝒓𝒂
𝟎 < 𝒂𝒘 < 𝟏
𝒂𝒘 = 𝟎 → 𝒂𝒖𝒔ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆
𝒂𝒘 = á𝒈𝒖𝒂 𝒑𝒖𝒓𝒂
 
Além disso, a concentração salina influencia bastante na capacidade de sobrevivência de 
certos microrganismos. Seres halofílicos não aturam concentrações altas de sais, ao contrário 
de seres halofílicos. 
 
Determinação do coeficiente de manutenção energética 
Parte do substrato de uma fermentação é gasto em manutenção energética. Ou seja, nem 
todo substrato é convertido em energia para crescimento populacional ou produção de 
produto. Parte é também destinada para garantir a viabilidade das células. 
Da estequiometria de bioprocessos industriais, temos o fator de rendimento ou de conversão 
para células em relação ao substrato: 
−𝒀𝑿/𝑺 =
∆𝑷
∆𝑺
= 
𝒅(𝑿)
𝒅𝒕
𝒅(𝑺)
𝒅𝒕
⁄ 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
A expressão “
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
” considera a variação total de substrato com o tempo. Com dito, o substrato 
consumido tem mais de um fim. Podemos reescrever a equação acima considerando os 
propósitos do substrato 
−𝒀𝑿/𝑺 = 
𝒅(𝑿)
𝒅𝒕
(
𝒅(𝑺)
𝒅𝒕 )𝒈
+ (
𝒅(𝑺)
𝒅𝒕 )𝒎
⁄ 
Onde o subscrito “g” representa a variação temporal da concentração de substrato destinada à 
produção de biomassa (produção de novas células) e o subscrito “m” representa a variação 
temporal da concentração de substrato destinada ao metabolismo basal, isto é, à manutenção 
energética das células em um estado viável. 
Calculando o coeficiente de manutenção energética, temos: 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑔
+ (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑚
 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= 
𝑑(𝑋)
𝑑𝑡
−𝑌𝑋/𝑆
= −
𝑋
𝑋
𝑑(𝑋)
𝑑𝑡
𝑌𝑋/𝑆
= (−
𝑋
𝑌𝑋/𝑆
) 𝜇 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑔
= (−
𝑋
𝑌𝑔
) 𝜇 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑚
= −𝑚𝑋 
• (−
𝑋
𝑌𝑋/𝑆
) 𝜇 = (−
𝑋
𝑌𝑔
) 𝜇 − −𝑚𝑋 
𝟏
𝒀𝑿/𝑺
=
𝟏
𝒀𝒈
+
𝒎
𝝁
 
 
A equação acima pode ser entendida como um modelo “Y=AX+B” se tivermos: 
• Y  
1
𝑌𝑋/𝑆
 
• A  𝑚 
• B 
1
𝑌𝑔
 
• X  
1
𝜇
 
Onde “m” é o coeficiente de manutenção energética 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Cinética de Bioprocessos 
O estudo cinético é importante porque, através dele, conseguimos ver a evolução das 
concentrações de produto, células e substratos ao longo do tempo em um bioprocesso e, 
assim, podemos definir produtos de viabilidade econômica, substratos limitantes, duração de 
um processo, etc. No geral, saber o perfil das curvas de fermentações nos fornece uma 
descrição quantitativa das mesmas. 
Sem o conhecimento da cinética, não poderemos transportar escalas laboratoriais para 
industriais. Poderíamos, inclusive, acabar desperdiçando substrato, dentre outros problemas. 
Chamamos de curvas de ajuste as curvas plotadas a partir de pontos (V,t) em um gráfico e 
evolução temporal de uma fermentação .Esses pontos são amostragens da fermentação 
,retiradas em diversos tempos “t” e medidas, de forma à ter uma única correspondência com 
um valor “V”, que pode ser uma concentração de células (“X”), de produtos (“P”) ou de 
substratos (“S”), por exemplo. 
Assim: 
• X=X(t) 
• S=S(t) 
• P=P(t) 
A cinética possibilita uma comparação quantitativa entre as diferentes condições de cultivo. 
Parâmetros a serem considerados quantitativamente: 
• pH 
• Temperatura 
• Composições do meio 
• Velocidades de transformação 
• Fatores de conversão 
Os dois últimos são obtidos a partir da curva de ajuste. O engenheiro deve ter compromisso 
com altas taxas e consciência das aplicações econômicas de um bioprocesso (volume do reator 
a se comprar, realizar o aumento de escala corretamente, etc.) 
O tempo é também um fator muito importante a ser analisado. Por vezes, a produtividade de 
uma reação pode ser muito alta mas o tempo de finalização da fermentação também, 
tornando o bioprocessso economicamente inviável. 
Os objetivos do estudo de cinética de bioprocessos são: 
1. Medir as taxas de transformações 
• Curvas de ajuste de X, S e P 
2. Estudar a influência de fatores nessas taxas 
• pH, Temperatura, etc. 
3. Obter-se equações empíricas ou modelos matemáticos para as curvas de ajuste 
• Correlacionar por meio de equações empíricas as taxas de transformação e os fatores 
que nelas influenciam 
4. Aplicar o modelo na otimização e no controle de processos 
• Visando aumentar rendimentos e produtividades 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
De uma forma geral, bioprocessos evoluem, graficamente, da seguinte forma: 
 
Conforme o tempo passa, a concentração de substrato cai pois ele vai ser consumido para que 
a população de células cresça e o produto se forme. As taxas são dadas pelas inclinações das 
curvas, e a inclinação é diferente pra cada t que se tome. Fixado um “t” igual para as 3 curvas 
sobrepostas acima, temos: 
• Taxa de crescimento ou de reprodução celular
𝒅𝑿
𝒅𝒕
 
• Taxa de consumo de substrato −
𝒅𝑺
𝒅𝒕
 
• Taxa de formação de produto  
𝒅𝑷
𝒅𝒕
 
Essas taxas são velocidades instantâneas de transformações. Unidade: g/L.h 
Perceba que no gráfico acima, estamos em um cultivo descontínuo pois a concentração 
microbiana está aumentando com o tempo. As taxas acimas, por isso, são mais lógicas de 
serem analisadas com respeito ao valor de X em um dado instante: 
 
Taxa específica de crescimento 𝝁 =
𝟏
𝑿𝟏
𝒅𝑿
𝒅𝒕
 
Taxa específica de formação de produto 𝒒𝑷 =
𝟏
𝑿𝟏
𝒅𝑷
𝒅𝒕
 
Taxa específica de consumo de substrato 𝒒𝑺 = −
𝟏
𝑿𝟏
𝒅𝑺
𝒅𝒕
 
 
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Fatores de rendimento em função das taxas específicas 
• 𝒀𝑿
𝑺⁄
=
𝝁
𝒒𝑺
 
• 𝒀𝑷
𝑺⁄
=
𝒒𝑷
𝒒𝑺
 
• 𝒀𝑷
𝑿⁄
=
𝒒𝑷
𝝁
 
Outras definições para fatores de rendimento 
Aplicações dos fatores  Modelos matemáticos; dimensionamento de equipamentos 
𝑌𝑋
𝑆𝑜⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 𝑌𝑋
𝐴𝑇𝑃⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑔𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝑇𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜
 
𝑌𝑋
𝑘𝑐𝑎𝑙⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜
 𝑌𝑋
𝑂2⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑔𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑥𝑖𝑔ê𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
 
𝑌𝑋
𝑁𝑂2⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑔𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
 𝑌𝑋
𝑀𝑃⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠
𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜
 
𝑌𝑃
𝑆𝑜⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 𝑌𝐶𝑂2
𝑂2
⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑂2 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜
𝑔𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑥𝑖𝑔ê𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
 
𝑌𝐶𝑂2
𝑆⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑂2 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜
𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
 𝑌𝐴𝑇𝑃
𝑆⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝐴𝑇𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜
𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
 
𝑌𝑃
𝑀𝑃⁄
=
𝑔 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜
 
 
Algumas das definições acima já foram vistas no início do resumo. Releia eficiências e 
produtividades também que são importantes para cinética de bioprocessos. 
EXEMPLO – Produção de ácido cítrico 
Calcule os fatores, eficiências e produtividades para a produção de ácido cítrico a partir da 
glicose sabendo que: 
• PMGlicose = ~ 180g/mol 
• PMAcCítrico = ~ 192g/mol 
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Fatores de rendimento da massa celular em relação à/ao [g/g] 
Substrato 𝑌𝑋
𝑆⁄
 10 − 2
150 − 2
 
8
148
 
~0,05 
Substrato inicial 𝑌𝑋
𝑆𝑜⁄
 10 − 2
150
 
8
150
 
~0,05 
Matéria prima 𝑌𝑋
𝑀𝑃⁄
 10−2
300
 * 8
300
 
~0,03 
* Se o melaço tem 50% de açúcares redutores totais, então a concentração inicial “𝑆𝑜” é 50% 
da composição do melaço. Se “𝑆𝑜” é 150d, o melaço tem 300g 
Fatores de rendimento do produto em relação à/ao [g/g] 
Substrato 𝑌𝑃
𝑆⁄
 118,4 − 0
150 − 2
 
118,4
148
 
0,8 
Substrato inicial 𝑌𝑃
𝑆𝑜⁄
 118,4 − 0
150
 
118,4
150
 
~0,79 
Matéria prima 𝑌𝑃
𝑀𝑃⁄
 118,4 − 0
300
 
118,4
300
 
~0,39 
Massa de 
células 
𝑌𝑃
𝑋⁄
 118,4 − 0
10 − 2
 
118,4
8
 
14,8 
Produtividades volumétricas em relação à/ao [g/L.h] 
Produto 𝑄𝑃 118,4 − 0
60
 
118,4
60
 
~1,97 
Massa de 
células 
𝑄𝑋 10 − 2
60
 
8
60
 
~0,13 
 
Produtividades mássicas em relação à/ao [g/.h] 
Produto (𝑃𝑟)𝑃 (10).
118,4 − 0
60
 
118,4
6
 
~19,7 
Massa de 
células 
(𝑃𝑟)𝑋 (10).
10 − 2
60
 
8
6
 
~1,3 
 
Eficiência [%] 
• Proporção estequiométrica  1 mol de glicose gera 1 mol de ácido 
• Logo: 180g de glicose gera 192 g de ácido 
• Rendimento teórico  {
𝑆 = 0
𝑃𝑜 = 0
 
• 𝑌𝑃
𝑆⁄
=
𝑃
𝑆𝑜
=
192
180
= 1,067 
• Fator de rendimento do processo: 𝑌𝑃
𝑆⁄
= 0,8 
• 𝐸𝑓 = 100
(𝑌𝑃
𝑆⁄
)
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜
(𝑌𝑃
𝑆⁄
)
𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
=
80
1,067
= ~ 75 
 
 
 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
Classificação cinética de bioprocessos – Deindörfer 
Baseada nos perfis de concentração versus tempo. Os tipos são: 
Gráfico Nome Informações 
 
Simples 
Sem acúmulo de intermediários. Proporção 
estequiométrica fixa de produção de 
produto e consumo de substrato. 
 
Simultânea 
Sem acúmulo de intermediários. Ocorre 
heterofermentação (produção de mais de 
um produto). Cada produto segue uma razão 
estequiométrica diferente (deferentes taxas 
molares de produção) 
 
Consecutiva 
Acúmulo de intermediário. Inicialmente I 
inibe um pouco a produção de P, mas vemos 
P sendo produzido desde o início mesmo 
assim. Em determinado tempo, a 
concentração de produto supera a de 
intermediário. 
 
Etapas 
Consumo de um substrato preferencial S1. 
Células alcançam o primeiro platô de 
crescimento (fase estacionária). Dada a 
presença de um segundo substrato, o 
crescimento recomeça, consumindo este, 
até atingir-se um segundo platô. 
 
Classificação cinética de bioprocessos – Gaden 
Baseada nos perfis de taxas específicas versus tempo. Os tipos são: 
Gráfico das variáveis de processos versus tempo 
 
Gráfico das taxas específicas versus tempo 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
 
Número Nome Informações 
1 Associada ao crescimento As células são capazes de formar produto em 
qualquer momento de sua fisiologia. Ou seja, 
os produtos aparecem diretamente 
associados ao metabolismo energético de 
carboidratos. Perfil típico de bateladas 
simples 
2 Semiassociada ao crescimento Produto começa a ser produzido na fase log 
do crescimento. O produto aparece 
indiretamente associado ao metabolismo 
energético de carboidratos. Parte da 
formação do produto se da na fase 
estacionária de crescimento. 
3 Não associada ao crescimento Formação de produto não relacionado com o 
metabolismo energético de carboidratos e 
sim com o metabolismo secundário. A 
formação de P só ocorre após o crescimento 
celular ser interrompido 
 
Classificação cinética de bioprocessos – Luedeking – Piret 
Baseada na formação de produto 
Tipo Fórmula Informações 
Modelo de 
crescimento associado 
 
O substrato é convertido 
a um produto único, que 
se forma 
concomitantemente com 
o crescimento celular 
Modelo combinado 
 
A taxa de formação de 
produto depende tanto 
da taxa de crescimento 
como da concentração 
celular 
Modelo de 
crescimento não 
associado 
 
A taxa de formação de 
produto só depende da 
concentração celular 
 
O modelo combinado pode ser entendido como um modelo global, onde β é 0 no caso do 
modelo associado, mas α não e, no caso do modelo não associado, inverte-se. No modelo 
combinado propriamente dito, nenhum dos parâmetros é nulo. Assim, de forma global, temos: 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
• 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝛼 (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) + 𝛽𝑋 
Dividindo tudo por X, temos: 
• 
1
𝑋
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝛼
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) + 𝛽 
𝑸𝑷 = 𝜶𝝁 + 𝜷 
Logo, 𝑄𝑃 = 𝑄𝑃(𝜇) uma função da taxa específica de crescimento. Para cada um dos modelos, 
temos graficamente: 
 
Número Nome Implicação matemática 
1 Modelo associado 𝛼 > 0 ; 𝛽 = 0 
Reta partindo da origem 
2 Modelo Combinado 𝛼 > 0 ; 𝛽 > 0 
Reta não partindo da origem 
3 Modelo não associado 𝛼 = 0 ; 𝛽 > 0 
Reta horizontal 
 
Cinéticade utilização do substrato 
Já vimos que parte do substrato de uma fermentação é gasto em manutenção energética e 
para tal definimos um coeficiente. Vamos considerar agora uma parcela do substrato que é 
destinada à produção do produto. Ou seja, separaremos o consumo total de substrato em três 
parcelas: 
(
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑔
+ (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑚
+ (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑃
 
Onde o subscrito “g” representa a variação temporal da concentração de substrato destinada à 
produção de biomassa (produção de novas células) e o subscrito “m” representa a variação 
temporal da concentração de substrato destinada ao metabolismo basal, isto é, à manutenção 
energética das células em um estado viável. O subscrito “P” representa o quanto de substrato 
é consumido para fins de produção de produto. 
De quando discutimos coeficiente de manutenção energética, tiramos: 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (−
𝑋
𝑌𝑋/𝑆
) 𝜇 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑔
= (−
𝑋
𝑌𝑔
) 𝜇 
[EQ.UFRJ 2017.1] Bichão P2 [prof Caroline][por Rafael Ratier] 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑚
= −𝑚𝑋 
Para a nova parcela, de produtos, temos: 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑃
= 
𝑑(𝑃)
𝑑𝑡
−𝑌𝑃/𝑆
= (−
1
𝑌𝑃
)
𝑑(𝑃)
𝑑𝑡
 
Da expressão global vista pelo modelo de Luedeking-Piret, temos: 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑃
= (−
1
𝑌𝑃
) [ 𝛼 (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) + 𝛽𝑋] = (−
𝛼
𝑌𝑃
) (
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) + (−
𝛽
𝑌𝑃
)𝑋 
Juntando todas as expressões, temos: 
• (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑔
+ (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑚
+ (
𝑑(𝑆)
𝑑𝑡
)
𝑃
 
• (−
𝜇
𝑌𝑋/𝑆
)𝑋 = (−
𝜇
𝑌𝑔
)𝑋 −𝑚𝑋 −
𝛼
𝑌𝑃
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) −
𝛽
𝑌𝑃
𝑋 
Multiplicando todo mundo por -1 e levando em consideração que 𝑌𝑋
𝑆⁄
=
𝜇
𝑞𝑆
, temos: 
• 𝑞𝑆𝑋 =
𝜇
𝑌𝑔
𝑋 +𝑚𝑋 +
𝛼
𝑌𝑃
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) +
𝛽
𝑌𝑃
𝑋 
Dividindo todo mundo por X, temos: 
• 𝑞𝑆 =
𝜇
𝑌𝑔
+𝑚 +
𝛼
𝑌𝑃
1
𝑋
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡
) +
𝛽
𝑌𝑃
 
• 𝑞𝑆 =
𝜇
𝑌𝑔
+𝑚 +
𝛼
𝑌𝑃
𝜇 +
𝛽
𝑌𝑃
 
• 𝑞𝑆 = 𝜇 [
1
𝑌𝑔
+ 
𝛼
𝑌𝑃
] + [𝑚 +
𝛽
𝑌𝑃
] 
Assim, definimos 𝑞𝑆 = 𝑞𝑆(𝜇) uma função da taxa específica de crescimento onde, temos, por 
fim: 
 
 
𝒒𝑺 = 𝜸𝝁 + 𝜼 
 
𝜸 =
𝟏
𝒀𝒈
+ 
𝜶
𝒀𝑷
 
 
𝜼 = 𝒎 +
𝜷
𝒀𝑷