FISEXP 3 Resumo P2

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Aula 5  Circuitos resistivos 
alimentados com onda senoidal 
• 𝑽𝑮(𝒕) = 𝑽𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜽)  Sinal Senoidal 
• 𝑽𝒐  Valor de pico da função. É a amplitude de voltagem do sinal do gerador. 
Sempre maior que zero. 
• 𝑽𝑷𝑷 = 𝟐𝑽𝒐  Voltagem pico a pico (ciclo RMS no osciloscópio). 
• 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇  Frequência angular (rad/seg) 
• 𝒇 =
𝟏
𝑻
  frequência linear (1/seg ou Hz) 
• 𝑻  período, tempo de uma oscilação 
• (𝝎𝒕 + 𝜽)  fase da senóide 
• 𝜽  constante de fase 
O que é a constante de fase: 
Um valor arbitrário que usamos para definir o valor do sinal quando t=0 
• 𝑉𝐺(0) = 𝑉𝑜 sin(𝜃) 
Definimos como 0 a constante de fase do sinal dos gerador. Se quanto t=0, um outro elemento 
de circuito E não tiver constante de fase nula, isso implicará que: 
• 𝑉𝐸(𝑡) ≠ 𝑉𝑜 sin(𝜔𝑡) 
• 𝜃 ≠ 0 
Isso significa que para qualquer valor de t esse elemento de circuito não terá a mesma 
voltagem do gerador de sinal contanto que t seja o mesmo para ambos. Ou mesmo pode não 
se tratar de um elemento de circuito, e sim duas ondas senoidais diferentes de geradores 
diferentes. Nesse caso a constante de fase serve essencialmente para determinar a diferença 
de tempo que um senóide leva para para chegar à mesma fase de outro senoide tomado como 
referência. Haverá portanto uma diferença de fase entre essas senoides. 
 
Dizemos que V2 está adiantado e V1 está atrasado em relação ao sinal do gerador pois para 
um t fixo, a fase da senoide de V2 é maior do que a de Vg e a fase da senóide de V1 é menor. 
• Retificador de onda completa  dispositivo interno de um voltímetro que 
nos permite media a amplitude de corrente de uma onda senoidal, que tem um sinal 
alternado de valor médio nulo. 
• 𝑽𝒆𝒇 =
𝑽𝒐
√𝟐
  Voltagem eficaz (Vef) é aquela lida pelo voltímetro. 
• Medidas eficazes somente para frequências próximas de 60 Hz 
Circuitos Lineares 
Circuitos em que corrente e voltagens se relacionam de forma linear. É o caso de sinais 
senoidais em um circuito com um resistor, nele teremos: 
• 𝒊(𝒕) = 𝒊𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜽) 
• 𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝑹
 
Atenção no entanto! Não há diferença de fase entre a corrente e a voltagem de um mesmo 
elemento de circuito. 
A equação 2 nos fornece um meio direto de calcular a resistência de um resistor uma vez que a 
amplitude de corrente também não depende da frequência 
As fórmulas acima são consequências diretas da Lei de Ohm 
Como medir a diferença de fase: 
Usar cursores ou o sistema de gratículas para definir Δt entre um ponto de um sinal de 
referência e um outro ponto de mesma ordem do outro sinal, isto é, se escolhido o pico 
superior do sinal de referência, escolher então o pico superior mais próximo do sinal de 
interesse. Usar esse valor encontrado na fórmula: 
𝜽 = 𝝋 = 𝟐𝝅𝒇∆𝒕 
Como medir erros por derivadas parciais: 
• 𝝈𝒇² = ∑ (
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝒊
)
𝟐
𝒊 (𝝈𝒙𝒊)
𝟐 
• 𝒇(𝒚, 𝒛) 
• 𝝈𝒇² = (
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
𝟐
(𝝈𝒚)𝟐 + (
𝝏𝒇
𝝏𝒛
)
𝟐
(𝝈𝒛)𝟐 
Procedimentos experimentais: 
Conecte o gerador à placa e nela conecte o multímetro e o osciloscópio ao mesmo tempo. 
Escolha valores de frequência diferentes e coloque a amplitude pedida. Anote em uma tabela: 
• Vo 
• Vpp 
• Vef 
E o que mais for pedido: 
Propósito: 
• notar que Vef se distância de seu valor (Vo/sqrt(2)) para frequências muito distantes 
de 60Hz 
• notar que amplitude de voltagem não muda com frequência 
• Calcular discrepância entre os diferentes meios de se medir frequência (calcular 
período pela gratícula ou pelos cursores e usar o valor do erro / ver medida marcada 
no osciloscópio) 
• Calcular discrepância entre os diferentes meios de se obter amplitude de voltagem e 
voltagem pico a pico (da conversão de Vef + erro / da medida por cursores ou por 
gratícula no osciloscópio / do measure do osciloscópio) 
2) 
 
Montando o circuito dessa forma veremos o sinal do gerador no canal 1 e o sinal do resistor 2 
no canal 2. Veremos um gráfico próximo ao acima mas não estaremos vendo no sinal 2 a 
corrente porque o gerador só mede voltagens. Sendo: 
1. 𝑉𝐺(𝑡) = 𝑉1(𝑡) + 𝑉2(𝑡) 
2. 𝑉𝐺(𝑡) = 𝑅1𝑖(𝑡) + 𝑅2𝑖(𝑡) 
3. 𝑽𝑮(𝒕) = (𝑹𝟏 + 𝑹𝟐)𝒊(𝒕) 
4. 𝑽𝟐(𝒕) = 𝑹𝟐𝒊(𝒕) 
𝑽𝑮(𝒕) {
> 𝑽𝟐(𝒕) 𝒔𝒆 𝑽𝑮(𝒕) > 𝟎
< 𝑽𝟐(𝒕) 𝒔𝒆 𝑽𝑮(𝒕) < 𝟎 
 
 
O comportamento matemático acima explica o comportamento dos gráficos no osciloscópio 
Propósito: 
• Medir amplitudes diferentes para o resistor 2 e a partir disso encontrar a amplitude do 
corrente, dividindo pela resistência (valor real de resistência medido pelo multímetro). 
• Obter a amplitude de voltagem do gerador e seu erro e a amplitude de voltagem do R1 
e seu erro a partir da relação 1 
• Obter graficamente o valor de R1 traçando uma reta com Vo1 (amplitudes de 
voltagem no resistor 1) x io(valor da amplitude de corrente correspondente Às várias 
medidas de amplitude de voltagem do resistor 2 escolhidas) 
Aula 6  Circuitos RC e RL com 
corrente alternada 
Circuitos RC 
• 𝒊(𝒕) = 𝒊𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋)  corrente que passa por um capacitor 
• 𝒊𝒐 = 𝝎𝑪𝑽𝒐  expressão da amplitude de corrente do capacitor 
• 𝑽𝒐 = 𝑿𝒄𝒊𝒐  Expressão da amplitude de voltagem em um capacitor 
• 𝑿𝒄 ≡
𝟏
𝝎𝑪
  reatância capacitiva de um capacitor 
 
A reatância capacitiva tem uma função semelhante à de uma resistência (tem unidades de 
resistência tb). Sendo inversamente proporcional À frequência, para frequências altas, a 
reatância tende À 0 e portanto sinais passam sem serem atenuados. Isso vai ser importante de 
notar quando virmos filtros de frequência. Se a frequência for muito baixa, a reatância será 
muito alta e portanto os sinais serão fortemente atenuados. 
 
Diferença de fase não nula: 
• 𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝑿𝒄
𝑹
= 
𝑽𝑶𝑪
𝑽𝑶𝑹
 
• 
A corrente estará sempre adiantada em relação ao sinal do gerador, menos para frequências 
tendendo ao infinito. Sem a presença de um resistor, a diferença de fase é máxima. 
A impedância (Z) do circuito RC é dada por: 
 
• 𝒁 ≡ 
𝑽𝒐
𝒊𝒐
= √𝑿𝒄² + 𝑹² 
 
E tem dimensões de resistência. De forma genérica: 
 
𝑽𝒐𝑰 = 𝑱𝒊𝒐 
I = circuito 
J = Z 
I = resistor 
J = R 
I = capacitor 
J = Xc 
 
Conclusão retirada da fórmula da impedância: 
• 𝑽𝑶𝑮² = 𝑽𝑶𝑪² + 𝑽𝑶𝑹² 
Circuitos RL 
• 𝒊(𝒕) = 𝒊𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋)  corrente que passa por um indutor 
• 𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝝎𝑳
  expressão da amplitude de corrente do indutor 
• 𝑽𝒐 = 𝑿𝑳𝒊𝒐  Expressão da amplitude de voltagem em um indutor 
• 𝑿𝒄 ≡ 𝝎𝑳  reatância indutiva de um indutor 
 
A reatância indutiva tem uma função semelhante à de uma resistência (tem unidades de 
resistência tb). Sendo diretamente proporcional À frequência, para frequências baixas, a 
reatância tende À 0 e portanto sinais passam sem serem atenuados.. Se a frequência for muito 
alta, a reatância será muito alta e portanto os sinais serão fortemente atenuados. 
 
Diferença de fase não nula 
• 𝐭𝐚𝐧(𝝋) = − 
𝑿𝑳
𝑹
= − 
𝑽𝑶𝒍
𝑽𝑶𝑹
 
• 
A corrente estará sempre atrasada em relação ao sinal do gerador, menos para frequências 
tendendo a 0. Sem a presença de um resistor, a diferença de fase é mínima. A impedância (Z) 
do circuito RL é dada por: 
 
• 𝒁 ≡ 
𝑽𝒐
𝒊𝒐
= √𝑿𝑳² + 𝑹² 
 
E tem dimensões de resistência. De forma genérica: 
 
𝑽𝒐𝑰 = 𝑱𝒊𝒐 
I = circuito 
J = Z 
I = resistor 
J = R 
I = indutor 
J = XL 
Conclusão retirada da fórmula da impedância: 
• 𝑽𝑶𝑮² = 𝑽𝑶𝑳² + 𝑽𝑶𝑹² 
Procedimentos experimentais: 
1) RC 
Montar circuito. Canal 1 é o gerador e canal 2 o resistor. Verá: 
 
Perceber que a voltagem menor (do resistor) alcançaseu pico antes da maior (do gerador), 
comprovando um sinal adiantado pra corrente. Estamos medindo a voltagem no resistor mas 
como o circuito é linear ele nos mostra o comportamento da corrente. 
• Medir frequência, período e respectivos erros. Comparar frequência calculada com 
frequência nominal, mostrada no osciloscópio. 
• Medir diretamente a diferença de fase (usando cursores ou gratícula) e a partir deste 
medir diretamente o valor da reatância capacitiva para uma frequência fixa F pedida. 
• Manter frequência e variar amplitudes de voltagem no resistor. Anotar variações e 
respectivos erros (erro da gratícula, 0,1 DIV). Para cada valor de V0R escolhido, anotar 
o valor de V0G e seu erro. Medir usando a Lei de Ohm a amplitude de corrente para 
cada V0R escolhido. Para cada V0R escolhido, através da relação quadrática das 
voltagens, medir V0C e seu erro. 
• Montar gráfico da amplitude de voltagem no capacitor pela amplitude de corrente. 
Será uma reta de coeficiente angular igual à reatância capacitiva para a frequência 
usada. Comparar valor obtido no gráfico com o nominal (1/wC) e o obtido através da 
diferença de fase. 
Conclusão: Quando a frequência é muito alta, o circuito se comporta como se fosse 
puramente resistivo, e os circuitos desse tipo (Aula 5) estão em fase (com diferença de fase 
nula) 
2) RL 
Montar circuito. Canal 1 é o gerador e canal 2 o resistor. Verá: 
 
Perceber que a voltagem menor (do resistor) alcança seu pico depois da maior (do gerador), 
comprovando um sinal adiantado pra corrente. Estamos medindo a voltagem no resistor mas 
como o circuito é linear ele nos mostra o comportamento da corrente. 
• Medir frequência, período e respectivos erros. Comparar frequência calculada com 
frequência nominal, mostrada no osciloscópio. 
• Medir diretamente a diferença de fase (usando cursores ou gratícula) e a partir deste 
medir diretamente o valor da reatância indutiva para uma frequência fixa F pedida. 
Dessa vez, a diferença de fase será negativa. 
• Conclusão: Quando a frequência é muito baixa, o circuito se comporta como se fosse 
puramente resistivo, e os circuitos desse tipo (Aula 5) estão em fase (com diferença de 
fase nula) 
 
 
 
Aula 7  Circuitos RC e filtros de 
frequência 
 Dependendo de como montamos um circuito RC, podemos criar um filtro de frequência que 
atenue sinais de alta frequência ou que atenue sinais de baixa frequência. Atenuar significa 
diminuir a amplitude. 
 
A esquerda, um circuito passa-baixa (literalmente o que o nome indica, passam frequências 
baixas, atenuam altas) e à direita um passa alta. Então se o elemento de circuito final for: 
• Um capacitor  passa baixa: 
• Um resistor  passa alta 
Uma associação dos tipos de filtro produz um filtro passa banda, que passa sinais com 
frequências entre um intervalo mínimo e máximo de frequência sem ser atenuados ou sendo 
levemente atenuados. 
 
𝑽𝑶𝑪 = 
𝑿𝑪
𝒁
𝑽𝒐 = 
𝟏
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
𝑽𝒐 
A voltagem 𝑉𝑜 é a voltagem de entrada no filtro, sendo representada pela amplitude de 
voltagem do gerador, logo 𝑉𝑜 = 𝑉𝑂𝐺 = 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎. Em passas baixas vale a equação acima e 
𝑉𝑂𝐶 é a voltagem no capacitor, que é o último elemento de circuito e portanto é 𝑉𝑠𝑎í𝑑𝑎. 
Perceba que para frequências muito baixas, 𝑉𝑂𝐶 → 𝑉𝑜. Então frequências baixas tem na 
entrada e na saída a mesma amplitude ou amplitudes pouco diferentes. Por isso chamamos de 
passa baixa. Se a frequência tender ao infinito, 𝑉𝑂𝐶 → 0 e portanto as amplitudes na saída são 
atenuadas, diminuídas, em relação à entrada. 
 
𝑽𝑶𝑹 = 
𝑹
𝒁
𝑽𝒐 = 
𝝎𝑹𝑪
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
𝑽𝒐 
Em passas altas vale a equação acima e 𝑉𝑂𝑅 é a voltagem no resistor, que é o último elemento 
de circuito e portanto é 𝑉𝑠𝑎í𝑑𝑎. Perceba que para frequências muito baixas, 𝑉𝑂𝐶 → 0. Então 
frequências baixas tem na entrada e na saída amplitudes diferentes, sendo a saída atenuada, 
diminuída, em relação à entrada. Se a frequência tender ao infinito, 𝑉𝑂𝐶 → 𝑉𝑜 e portanto as 
amplitudes na saída não são ou são levemente atenuadas. Por isso chamamos de passa alta. 
 
As razões entre as voltagens de saída e de entrada para filtros passa baixa e passa alta 
respectivamente são: 
 
𝑨𝑷𝑩 = 
𝑽𝑶𝑪
𝑽𝒐
= 
𝟏
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
 
 
𝑨𝑷𝑨 = 
𝑽𝑶𝑹
𝑽𝒐
= 
𝝎𝑹𝑪
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
 
 
A frequência de corte é a frequência que faz com que XC=R e é expressa pela fórmula: 
 
𝝎𝒄 =
𝟏
𝑹𝑪
 
 
A frequência de ressonância é aquela que os gráficos de A por ω se interceptam. Nesse ponto, 
A atinge o valor de 
√2
2
 . 
Usamos a transmitância e o diagrama de bode como uma outra forma de representar os 
filtros. A transmitância T de uma frequência angular ω pode ser descrita como o quadrado das 
razões A: 
 
• 𝑻(𝝎) = 𝑨𝑷𝑿
𝟐 = [
𝑽𝑶𝑺
𝑽𝑶𝑬
]
𝟐
 
• Se 𝑨𝑷𝑿 = 𝑨𝑷𝑩, então 𝑽𝑶𝑺 = 𝑽𝑶𝑪 
• Se 𝑨𝑷𝑿 = 𝑨𝑷𝑨, então 𝑽𝑶𝑺 = 𝑽𝑶𝑹 
• 𝑽𝑶𝑬 = 𝑽𝒐 = 𝑽𝑶𝑮 
 
 
De forma que: 
 
• 𝑻𝑷𝑩(𝝎) =
𝟏
𝟏+(𝝎𝑹𝑪)²
 
• 𝑻𝑷𝑨(𝝎) =
𝟏
𝟏+
𝟏
(𝝎𝑹𝑪)²
 
 
Comumente, expressamos a transmitância em termos de decibéis: 
 
• 𝑻𝒅𝑩(𝝎) = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈(𝑻(𝝎)) 
 
O diagrama de bode é um gráfico que usamos para indicar a transmitância por log(ωRC). 
 
 
Para 𝜔 = 𝜔𝑐 , 𝑇(𝜔) =
1
2
 independente do tipo de filtro. Representando em decibéis, temos: 
• 𝑇𝑑𝐵(𝜔) = 10 𝑙𝑜𝑔 (
1
2
) 
• 𝑇𝑑𝐵(𝜔) = −3,010 = ~ − 3𝑑𝐵 
 
Nesse ponto, 𝑙𝑜𝑔(𝜔𝑐𝑅𝐶) = 𝑙𝑜𝑔(1) = 0 
 
Perceba que valores de log indo de menos infinito até 0 são praticamente constantes no 
diagrama de bode do passa baixa e indo de 0 até + infinito no passa alta. O sentido de 
crescimento da frequência é o mesmo do logaritmo. Portanto podemos ver por esse gráfico 
que no passa baixa, frequências muito baixas tem transmitância em decibéis próxima de 0 
assim como frequências muito altas no passa alta. 
 
Transmitância em decibéis próxima de 0 significa que: 
• 𝑻(𝝎) = 𝑨𝑷𝑿
𝟐 = [
𝑽𝑶𝑺
𝑽𝑶𝑬
]
𝟐
 → 𝟏 
• 𝑽𝑶𝑺 ≅ 𝑽𝑶𝑬 
 
Em outras palavras, no diagrama de bode, a parte “contínua”, chamada de largura de banda 
do filtro, é a parte que inclui o intervalo de frequências que não atenua os sinais que passam 
pelo filtro. 
 
A parte reta decrescente no passa baixa e crescente no passa alta tem uma inclinação de 20 
dB/década, seja essa inclinação negativa ou positiva. 
 
Procedimentos experimentais (passa-alta): 
 
1) Montar circuito 
2) Medir diversos valores de frequência, mantendo V0G constante. Anotar erro de V0G 
3) Para cada valor de frequência, medir log(f) 
4) Para cada valor de frequência, anotar V0R e seu erro (erro da gratícula). Perceba que o 
valor de V0R será muito próximo de V0G se em frequênciais altas. 
5) Media APA para cada valor de frequência usando o V0G e o V0R anotados e anotar o 
erro de APA (calcular por derivadas parciais usando a fórmula que envolve razões de 
amplitudes de voltagem) 
6) Media APA esperado pela fórmula que envolve f, R e C usando valores medidos (R 
nominal pode ser 10 mas o multímetro acusar 9,98. Usar 9,98). 
7) Fazer gráfico de APA por log de f usando os valores de APA experimentais 
Procedimentos experimentais (passa-baixa): 
 
1) Repetir procedimentos anteriores do passa-alta, incluindo valores de log(wRC) e de 
TdB 
2) Fazer gráfico de APB por log de f usando os valores de APB experimentais no mesmo 
lugar onde o gráfico de APA por log de f foi feito 
3) Comparar APBs obtidos com os teóricos, usando valores de f R e C. 
4) No gráfico gerado, obter a frequência de corte 
5) Fazer diagrama de bode e obter nele a frequência de corte. Comparar com o valor 
obtido no item anterior.Obter inclinação da parte inclinada (valor de alfa) e comparar 
com o valor teórico de 20dB/déc 
 
Aula 8  Circuitos RLC com 
corrente alternada: ressonância e 
filtros passa- banda e rejeita-
banda 
As frequências de ressonâncias são frequências preferenciais de sistemas oscilatórios sujeitos 
à perturbações periódicas. Nessas frequências, observa-se um significativo aumento da 
amplitude de oscilação. 
Em um circuito RLC em série, temos: 
 
𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝒁
 
A relação entre as amplitudes de corrente e de voltagem do gerador, sendo Z a impedância 
(analogia à uma “resistência total”) do circuito. A impedância será: 
𝒁 = √𝑹𝟐 + (𝑿𝑳 − 𝑿𝑪)𝟐 
E a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito é dada por: 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) = −
𝑿𝑪 − 𝑿𝑳
𝑹
 
A novidade é que agora, dependendo da frequência, o circuito terá características diferentes: 
• Se a frequência angular é muito alta  a impedância capacitiva, que é uma razão 
onde a frequência está no denominador, tenderá a 0. Portanto XL > XC e o circuito 
será predominantemente indutivo 
• Se a frequência angular é muito baixa  a impedância capacitiva é maximizada 
enquanto a indutiva é minimizada. XC > XL e o circuito é predominantemente 
capacitivo 
• Se a frequência iguala as impedâncias  o circuito é puramente resistivo e as 
impedâncias se cancelam mutuamente. A frequência que faz isso é chamada 
frequência angular de ressonância e é dada por: 
𝝎𝑹 =
𝟏
√𝑹𝑪
 
A frequência linear de ressonância é: 
 
𝒇𝑹 =
𝟏
𝟐𝝅√𝑹𝑪
 
 
Sabendo que a voltagem no resistor está em fase com o gerador (isto é, com diferença de fase 
nula), podemos escrever a voltagem no resistor em função da frequência angular e a diferença 
de fase também: 
 
 
𝑽𝑶𝑹 =
𝑹𝝎𝑪
√(𝑹𝝎𝑪)𝟐+(𝟏− 
𝝎²
𝝎𝑹²
)
𝟐
. 𝑽𝑶 
 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝟏
𝑹𝝎𝑪
(𝟏 − 
𝝎²
𝝎𝑹²
) 
Quando a frequência se afasta muito da frequência de ressonância, a amplitude de voltagem 
no resistor tende à 0. Quanto mais perto a frequência angular estiver da frequência de 
ressonância, mais próximo V0R estará de V0=V0G 
Quando a frequência angular tende ao infinito, na segunda fórmula, a diferença de fase tende 
à –pi/2 , caracterizando um sistema puramente indutivo. Quando tende à 0, a diferença de 
fase tende à + pi/2, caracterizando um circuito puramente capacitivo. Quando a frequência 
tende À frequência de ressonância, a diferença de fase é nula, caracterizando um circuito 
puramente resistivo. 
 
A potencia é uma medida que oscila muito rapidamente com o tempo, portanto é interessante 
calcular uma potência média: 
〈𝑷〉〈𝝎〉 = 𝑽𝒆𝒇𝒊𝒆𝒇 𝐜𝐨𝐬 𝝋 
Onde Vef e Ief são as tensões eficazes do gerador e a corrente eficaz do circuito. Medimos 
assim a potência media transmitida pelo gerador. Ela deve ser igual à potência média 
consumida pelo resistor, único elemento de circuito que dissipa energia. 
 
〈𝑷〉〈𝝎〉 = 𝑹𝒊𝒆𝒇² = 𝑹 (
𝑽𝒆𝒇 𝑹
𝑹
)
𝟐
= 
𝑽𝑶𝑹²
𝟐𝑹
 
 
Sendo 
𝑽𝒆𝒇 𝑹 =
𝑽𝑶𝑹
√𝟐
 
 
 
Já discutimos o que seria a voltagem eficaz do resistor. Perceba que se a potência média pode 
ser escrita em função de V0R, pode ser escrito em função de R, XL e XC também e portanto, 
em termos de frequência de ressonância: 
 
 
〈𝑷〉〈𝝎〉 =
𝟏
𝟐
.
𝑹𝑽𝒐
𝟐𝝎²
𝝎²𝑹² + 𝑳𝟐(𝝎² − 𝝎𝑹
𝟐 )
𝟐 
 
 
 
Veja que a potência é máxima na frequência de ressonância. Definimos como largura de 
banda da ressonância o intervalo de frequências das quais a potência média é maior ou igual à 
metade do valor máximo (seriam as frequências representadas pelo intervalo indicado no 
gráfico acima com as setas). Pode ser expressada por: 
 
∆𝝎𝒔é𝒓𝒊𝒆 =
𝑹
𝑳
 
O fator de mérito Q caracteriza a curva de ressonância é é uma razão entre a frequência de 
ressonância e a largura de banda da ressonância: 
 
𝑸𝒔é𝒓𝒊𝒆 = 
𝝎𝑹
∆𝝎𝒔é𝒓𝒊𝒆
=
𝟏
𝑹
√
𝑳
𝑪
 
Na ressonância, o circuito apresenta: 
• Um comportamento puramente resistivo 
• Impedância mínima e igual À R 
• Reatância total nula 
• Corrente que passa no circuito é máxima. 
• Potência média transferida pro circuito máxima. 
 
 
Se o resistor for o ultimo elemento de circuito, o circuito passa a ser um passa banda. Veja que 
para Q’s pequenos, existirá um conjunto de valores de frequência que terá transmitância nula 
e como discutimos acima, a transmitância nula é a representação de um sinal não atenuado. 
Se o capacitor for o último elemento do circuito, teremos um passa-baixa mais eficiente do 
que o passa baixa de RC, pois a declividade do diagrama de bode é maior, o que quer dizer que 
para frequências levemente acima da frequência de ressonância, o sinal será mais atenuado no 
RLC passa baixa do que no RC passa baixa. 
 
 
 
Para um circuito como esse teremos: 
 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝝎𝑳
𝑹(𝟏 − 𝝎²𝑳𝑪)
 
〈𝑷〉〈𝝎〉 =
𝟏
𝟐
.
𝑹𝑽𝒐
𝟐
𝑹² + (
𝝎𝑳
𝟏 − 𝝎²𝑳𝑪
)
𝟐 
 
Com a mesma condição ode ressonância, isto é, mesma expressão pra frequência de 
ressonância. 
No RLC em paralelo, em condições de ressonância (w = wR), vemos: 
• Impedância máxima 
• Reatância total X infinita 
• Corrente que passa no circuito é mínima 
• Potência transferida ao circuito mínima 
Vemos uma potência máxima quando a frequência é 0 ou tende ao infinito, de valor 
𝑉𝑂𝑅²
2𝑅
. Se a 
frequência é nula, toda corrente passa no indutor e se ela é infinita toda corrente passa no 
capacitor. 
A largura de banda no RLC paralelo é o intervalo de frequências onde a potencia é menor ou 
igual à metade do valor máximo e o fator de mérito do circuito em paralelo ressonante 
caracteriza a curva de ressonância segundo À sua expressão abaixo: 
∆𝝎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 =
𝟏
𝑹𝑪
 
 
𝑸𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 =
𝟏
𝑸𝒔é𝒓𝒊𝒆
 
𝑸𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 
𝝎𝑹
∆𝝎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐
= 𝝎𝑹𝑹𝑪 
 
É interessante notar que o fator de mérito do circuito em paralelo é o inverso do fator de 
mérito para o circuito em série. 
 
A partir do gráfico acima é claro notar que o RLC em paralelo é um circuito rejeita banda, isto 
é, existe uma banda, um intervalo de frequências, para um Q fixo, em que a potência é 
mínima: Nesse intervalo de potências mínimas que os sinais são atenuados. Esse intervalo 
corresponde ao intervalo de frequências próximas à frequência de ressonância. 
Procedimentos experimentais (I) 
1. Montar circuito RLC em série e manter amplitude pedida fixa 
2. Calcular valor nominal da frequência de ressonância usando os valores de R e C 
3. A partir da frequência de ressonância nominal, escolha alguns pontos de frequência 
antes e depois dela para analisar, com valores consideravelmente menores de 
frequência e consideravelmente maiores do que a frequência de ressonância. 
4. Anotar as amplitudes sobre o resistor para cada frequência escolhida e seu erro 
(gratícula) 
5. Calcular a potência média experimental dos pontos usando a fórmula genérica que 
relaciona voltagem e resistência e seu erro (derivada parcial). 
6. Fazer gráfico da potência pelo log da frequência linear 
7. Comparar com o valor teórico da potência, obtido com valores de frequência , 
capacitância e indutância 
8. Determinar no gráfico a frequência de ressonância, a largura de banda, o fator de 
mérito e o potencial médio máximo. Comparar com modelo teórico (nominais, usando 
valores de R,L e C) e calcular discrepância. 
Procedimentos experimentais (III) – Determinação da frequência 
de ressonância pela diferença de fase 
1. Variar a frequência e anotar todas as usadas. Escolha valores antes e depois da 
frequência de ressonânica. Manter amplitude do gerador constante.2. Calcular logo de f para cada frequência escolhida 
3. Calcular o Δt e sua incerteza (gratícula) entre a voltagem do resistor e do gerador para 
cada frequência 
4. Para cada frequência, anotar a diferença de fase experimental, obtida usando o valor 
de frequência experimental e o de Δt experimental e calcular incerteza 
5. Comparar com valores nominais usando R, L e C da diferença de fase para cada 
frequência. 
Procedimentos experimentais (VI) – Figura de Lissajous 
 
 
|𝒔𝒊𝒏(𝝋)| = 
𝒂
𝒃
 
1. Mudar configuração de Y-T para Y-X. 
2. Certificar que o CH2 é o resistor e o CH1 o gerador. 
3. A figura acima se chama Figura de Lissajous. A frequência de ressonância é aquela que 
faz com que a elipse vire uma reta. 
4. Calcular parâmetros a e b com erros (gratícula) 
5. Para cada frequência, anotar a diferença de fase experimental, obtida usando o valor 
experimental de a e b e calcular o erro da diferença de fase experimental. 
6. Comparar com valores nominais usando R, L e C da diferença de fase para cada 
frequência. 
Tabela de Fórmulas 
Fórmula Descrição 
Aula 5 
𝑽𝑮(𝒕) = 𝑽𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜽) Sinal Senoidal 
𝑽𝒐 Valor de pico da função. É a amplitude de 
voltagem do sinal do gerador. Sempre maior 
que zero. 
𝑽𝑷𝑷 = 𝟐𝑽𝒐 Voltagem pico a pico (ciclo RMS no 
osciloscópio). 
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 Frequência angular (rad/seg) 
𝒇 =
𝟏
𝑻
 
Frequência linear (1/seg ou Hz) 
𝑻 Período, tempo de uma oscilação 
(𝝎𝒕 + 𝜽) Fase da senóide 
𝜽 = 𝝋 = 𝟐𝝅𝒇∆𝒕 Constante ou diferença de fase 
𝒊(𝒕) = 𝒊𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜽) Corrente senoidal 
𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝑹
 
Amplitude de corrente 
𝝈𝒇² = ∑ (
𝝏𝒇
𝝏𝒙𝒊
)
𝟐
𝒊
(𝝈𝒙𝒊)
𝟐 
𝒇(𝒚, 𝒛) 
𝝈𝒇² = (
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
𝟐
(𝝈𝒚)𝟐 + (
𝝏𝒇
𝝏𝒛
)
𝟐
(𝝈𝒛)𝟐 
Como calcular o erro de uma função 
Aula 6 
𝒊(𝒕) = 𝒊𝒐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋) Corrente que passa por um capacitor/indutor 
𝒊𝒐 = 𝝎𝑪𝑽𝒐 
𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝝎𝑳
 
Expressão da amplitude de corrente do 
capacitor e do indutor, respectivamente. 
𝑽𝒐 = 𝑿𝒄𝒊𝒐 
𝑽𝒐 = 𝑿𝑳𝒊𝒐 
Expressão da amplitude de voltagem em um 
capacitor e de um indutor respectivamente 
𝑿𝒄 ≡
𝟏
𝝎𝑪
 
𝑿𝑳 ≡ 𝝎𝐋 
Reatância capacitiva de um capacitor e 
indutiva de um indutor respectivamente 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝑿𝒄
𝑹
= 
𝑽𝑶𝑪
𝑽𝑶𝑹
 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) = −
𝑿𝑳
𝑹
= − 
𝑽𝑶𝑳
𝑽𝑶𝑹
 
Expressões para a diferença de fase em um 
circuito RC e em um circuito RL 
respectivamente 
𝒁 ≡ 
𝑽𝒐
𝒊𝒐
= √𝑿𝑳² + 𝑹² 
𝒁 ≡ 
𝑽𝒐
𝒊𝒐
= √𝑿𝑳² + 𝑹² 
Indutância de um circuito RC e RL 
respectivamente 
𝑽𝒐𝑰 = 𝑱𝒊𝒐 I = circuito I = resistor I = 
J = Z J = R capacitor/indutor 
J = XC / XL 
𝑽𝑶𝑮² = 𝑽𝑶𝑪² + 𝑽𝑶𝑹² 
𝑽𝑶𝑮² = 𝑽𝑶𝑪² + 𝑽𝑶𝑹² 
Relações das amplitudes de voltagem do 
capacitor resistor indutor e gerador 
Aula 7 
𝑽𝑶𝑪 = 
𝑿𝑪
𝒁
𝑽𝒐 
𝑽𝑶𝑪 = 
𝟏
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
𝑽𝒐 
Voltagem do capacitor, último elemento de 
circuito, em um filtro passa baixa. 
𝑽𝑶𝑹 = 
𝑹
𝒁
𝑽𝒐 
𝑽𝑶𝑹 = 
𝝎𝑹𝑪
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
𝑽𝒐 
Voltagem do resistor, último elemento de 
circuito, em um filtro passa alta. 
𝑨𝑷𝑩 = 
𝑽𝑶𝑪
𝑽𝒐
= 
𝟏
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
 
Razão de amplitudes de saída e de entrada de 
um filtro passa baixa 
𝑨𝑷𝑨 = 
𝑽𝑶𝑹
𝑽𝒐
= 
𝝎𝑹𝑪
√𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)𝟐
 
Razão de amplitudes de saída e de entrada de 
um filtro passa alta 
𝝎𝒄 =
𝟏
𝑹𝑪
 
Frequência de corte, que faz XC = R 
𝑻(𝝎) = 𝑨𝑷𝑿
𝟐 = [
𝑽𝑶𝑺
𝑽𝑶𝑬
]
𝟐
 
Fórmula geral da transmitância 
𝑻𝑷𝑩(𝝎) =
𝟏
𝟏 + (𝝎𝑹𝑪)²
 
Transmitância de passa-baixa 
𝑻𝑷𝑨(𝝎) =
𝟏
𝟏 +
𝟏
(𝝎𝑹𝑪)²
 
Transmitância de passa-alta 
𝑻𝒅𝑩(𝝎) = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈(𝑻(𝝎)) Transmitância em decibéis 
Aula 8 
𝒊𝒐 =
𝑽𝒐
𝒁
 
Relação já vista entre impedância de um circuito, 
amplitude de corrente e amplitude de voltagem 
do gerador 
𝒁 = √𝑹𝟐 + (𝑿𝑳 − 𝑿𝑪)𝟐 
Expressão da impedância de um circuito RLC em 
série 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) = −
𝑿𝑪 − 𝑿𝑳
𝑹
 
Expressão da diferença de fase em um circuito 
RLC em série 
𝝎𝑹 =
𝟏
√𝑹𝑪
 Frequência angular de ressonância 
𝒇𝑹 =
𝟏
𝟐𝝅√𝑹𝑪
 Frequência linear de ressonância 
𝑽𝑶𝑹 =
𝑹𝝎𝑪
√(𝑹𝝎𝑪)𝟐+(𝟏− 
𝝎²
𝝎𝑹²
)
𝟐
. 𝑽𝑶 
Expressão da amplitude de voltagem no resistor 
em função da frequência e da frequência de 
ressonância em um circuito RLC em série 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝟏
𝑹𝝎𝑪
(𝟏 − 
𝝎²
𝝎𝑹²
) 
Expressão da diferença de fase (entre voltagem 
do gerador e corrente do circuito) no resistor em 
função da frequência e da frequência de 
ressonância em um circuito RLC em série 
〈𝑷〉〈𝝎〉 = 𝑽𝒆𝒇𝒊𝒆𝒇 𝐜𝐨𝐬 𝝋 
Fórmula geral da potência média de circuitos 
RLC 
〈𝑷〉〈𝝎〉 = 𝑹𝒊𝒆𝒇² = 𝑹 (
𝑽𝒆𝒇 𝑹
𝑹
)
𝟐
= 
𝑽𝑶𝑹²
𝟐𝑹
 
Expressão da potência média de circuitos RLC 
considerando que a potência média fornecida ao 
circuito é a mesma que a potência média 
dissipada no resistor. 
𝑽𝒆𝒇 𝑹 =
𝑽𝑶𝑹
√𝟐
 
Expressão já vista da voltagem efetiva de um 
resistor 
〈𝑷〉〈𝝎〉
=
𝟏
𝟐
.
𝑹𝑽𝒐
𝟐𝝎²
𝝎²𝑹² + 𝑳𝟐(𝝎² − 𝝎𝑹
𝟐 )
𝟐 
Expressão da potência média fornecida à um 
circuito RLC em série 
∆𝝎𝒔é𝒓𝒊𝒆 =
𝑹
𝑳
 
Expressão da largura de banda de ressonância 
em circuitos RLC em série 
𝑸𝒔é𝒓𝒊𝒆 = 
𝝎𝑹
∆𝝎𝒔é𝒓𝒊𝒆
=
𝟏
𝑹
√
𝑳
𝑪
 
Fator de mérito de um circuito RLC em série 
𝐭𝐚𝐧(𝝋) =
𝝎𝑳
𝑹(𝟏 − 𝝎²𝑳𝑪)
 
Expressão da diferença de fase (entre voltagem 
do gerador e corrente do circuito) no resistor em 
função da frequência em um circuito RLC em 
paralelo 
〈𝑷〉〈𝝎〉 =
𝟏
𝟐
.
𝑹𝑽𝒐
𝟐
𝑹² + (
𝝎𝑳
𝟏 − 𝝎²𝑳𝑪
)
𝟐 
Expressão da potência média fornecida à um 
circuito RLC em paralelo 
∆𝝎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 =
𝟏
𝑹𝑪
 
Expressão da largura de banda de ressonância 
em circuitos RLC em paralelo 
𝑸𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 
𝝎𝑹
∆𝝎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐
= 𝝎𝑹𝑹𝑪 
Fator de mérito de um circuito RLC em paralelo 
𝑸𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 =
𝟏
𝑸𝒔é𝒓𝒊𝒆
 
Fator de mérito de um circuito RLC em paralelo 
|𝐬𝐢𝐧(𝝋)| = 
𝒂
𝒃
 
Relação entre os parâmetros a e b de uma figura 
de Lissajous elíptica e a diferença de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de Gráficos 
Gráfico Descrição 
Aula 5 
 
Exemplo de sinal 
senoidal 
 
Exempl ode sinais 
senoidais atrasados e 
adiantados 
 
Comparação dos 
valores de corrente e 
dos valores de 
voltagem ao longo 
do tempo. 
Aula 6 
 
Diferença de fase com a variação 
da frequência angular em um 
circuito RC de sinal senoidal. 
 
Diferença de fase dos sinais do 
resistor e do gerador em um 
circuito RC. Sempre positiva 
 
Diferença de fase variando 
conforme a frequência em um 
circuito RL de sinal senoidal 
 
Diferença de fase dos sinais do 
resistor e do gerador em um 
circuito RL. Sempre negativa. 
Aula 7 
 
Diagrama de razões de 
voltagem de saída e entrada 
(A) sobrepostos. O ponto de 
encontro tem como 
frequência a frequência de 
corte. 
 
Diagrama de bode passa-
baixa 
 
Diagrama de bode passa-alta 
Aula 8 
 
Amplitude de voltagem no 
resistor com a frequência. 
Próximo da frequência de 
ressonância , o sistema se 
comporta como puramente 
resistivo. 
 
Gráfico da diferença de fase 
entre voltagem e corrente 
pela frequência. Para muito 
baixas, capacitivo, para 
muito altas, indutivo. Para 
frequência igual À de 
ressonância, puramente 
resistivo. 
 
Potência fornecida ao 
sistema pela frequência. A 
potênciaé tão maior quanto 
maior for o fator de mérito e 
menor a resistência. A 
potência é máxima quando 
para um Q fixo a frequência 
se aproxima da frequência 
de ressonância 
 
Gráficos do diagrama de 
Bode para capacitores e 
resistores como ultimos 
elementos de circuito. 
Resistores são passa-banda e 
capacitores são passa-baixas 
(mais eficientes) 
 
Circuitos RLC em paralelo 
(capacitor e indutor em 
paralelo), do tipo rejeita 
banda 
 
Figura de Lissajous