Modulo 1

Prévia do material em texto

Introdução
Neste capítulo você estudará os juros: o que eles são, quais são os seus tipos, para que servem, quais suas aplicações e como são calculados. No mundo atual é inviável pensarmos em “não haver juros”. Mas, então, quando vemos um anúncio que indica que a compra pode ser feita “sem juros” ou “com juros zero”, será que isso é uma situação especial em que, de fato, não há juros? Vamos entender o que acontece, na realidade. Você sabe quais são os fatores que atuam no valor dos juros? Você estudará como são efetuados os cálculos dos juros e quais são os fatores que influenciam tais cálculos. Há como pagarmos menos juros? Veremos como podemos efetuar os cálculos e fazer escolhas entre alternativas. Como o tempo altera o valor dos juros? Isso depende do tipo de juros utilizado e, por isso, vamos estudar as diferenças entre os juros simples e compostos. Todas essas perguntas poderão ser respondidas ao longo do estudo deste capítulo. Bons estudos! 
1.1 Conceitos iniciais da Matemática Financeira   
É comum associarmos os cálculos financeiros a atividades extremamente complexas, incompreensíveis para grande parte das pessoas. Mas, isso não é verdade na maioria das vezes: na realidade, há conceitos lógicos muito importantes que guiam toda a base da Matemática Financeira.
Esses conceitos fundamentam atividades que englobam empréstimos, financiamentos, multas por atraso, antecipações de pagamentos, resgate de títulos e tantas outras atividades de cunho financeiro. O conhecimento dos mecanismos dessa dinâmica é importante para que pessoas, famílias e empresas tomem decisões acertadas sobre suas finanças.
E é isso que você vai estudar neste tópico: a lógica que relaciona valores monetários com o tempo, o que serve de base para compreendermos o que são os juros e como eles são calculados.  
1.1.1 Valor do dinheiro no tempo
Se você tivesse prestado um serviço e, por conta dele, tivesse direito a receber um valor, por exemplo, R$1.000,00, e, lhe fosse dada a possibilidade de escolher entre as alternativas:
receber os R$1.000,00 logo após a prestação do serviço; ou
receber os R$1.000,00 um ano após ter prestado o serviço.
O que você escolheria? Muito provavelmente sua resposta seria “escolho receber os R$1.000,00 assim que prestar o serviço”, ao invés de escolher “receber os R$1.000,00 um ano depois”. E sua resposta faria muito sentido! Mas, por que você daria essa resposta? Vamos pensar em algumas possibilidades:
porque se escolhesse receber os R$1.000,00 um ano depois, a inflação iria corroer o valor recebido;
porque o dinheiro (os R$1.000,00) já estaria contigo e você poderia fazer com ele o que bem entendesse;
porque ao receber os R$1.000,00, você poderia pagar algumas dívidas;
porque poderia aplicar os R$1.000,00 e ganhar os rendimentos da aplicação;
etc.
Vamos analisar essas possíveis justificativas. Mas, antes disso, vamos discutir um conceito muito relevante, que é a importância da disponibilidade de recursos, ou seja, porque damos preferência a termos dinheiro disponível (seja na forma de dinheiro vivo ou disponível no banco). Há quatro razões para essa preferência:
transações – precisamos de recursos para os gastos rotineiros, como, por exemplo, um lanche, passagens de ônibus, pagamento do aluguel etc.;
precaução – precisamos de recursos para gastos eventuais, não planejados, como, por exemplo, contratar um chaveiro para abrir uma fechadura que travou ou consertar um pneu furado; 
certeza x incerteza – deixar de receber de imediato traz sempre a possibilidade de alguma coisa acontecer e deixarmos de receber o que é devido no futuro; e
especulação – boas oportunidades surgem sem aviso, como, por exemplo, um desconto para a compra de um bem que desejamos. Mas, só conseguimos obter os benefícios das oportunidades se tivermos recursos disponíveis para fechar o negócio.
É comum vermos a palavra “especulação” com um significado pejorativo, associado a aspectos antiéticos e mesmo ilegais. Mas em Finanças, o significado é supor, imaginar. Por exemplo, imaginamos que o preço de um bem vai cair e, por isso, postergamos a sua compra. Ou, podemos especular que o preço vai subir e, por isso, compramos de imediato.
Como você pôde perceber, ter os recursos disponíveis nos traz vantagens e, por isso, sempre damos preferência a ter os recursos disponíveis, ao invés de esperarmos por eles. E foi por isso que você preferiria receber os R$1.000,00 de imediato e não um ano depois: seja para não perder valor, corroído pela inflação, seja para fazer qualquer uso de imediato, isto é, pagar contas, adquirir alguma coisa ou investir o dinheiro. 
A propósito, podemos tirar uma importante lição dessa análise: em Matemática Financeira, não faz sentido falarmos de valores monetários se não os relacionarmos ao tempo, isto é, informar quando esses valores ocorrem, sejam na forma de pagamentos ou na de recebimentos. Afinal, se o tempo não fosse relevante, a resposta à pergunta sobre preferir receber os R$1.000,00 de imediato ou um ano depois seria “tanto faz, pois o valor é o mesmo”.
De fato, o valor (R$1.000,00) é o mesmo hoje ou no futuro. Chamamos isso de valor nominal. Mas, se temos a clara preferência por receber de imediato, é porque R$1.000,00 hoje valem mais do que R$1.000,00 daqui a um ano. Chamamos isso de valor real.
 O valor real de R$1.000,00 hoje é maior do que daqui a um ano e, por isso, preferimos receber hoje: recebemos um maior valor, percebe? Por outro lado, se ao invés de recebermos, tivéssemos de efetuar um pagamento de R$1.000,00, preferiríamos pagar mais tarde, pois, dessa forma, estaríamos pagando menos (em termos reais).
Pode parecer estranha esta afirmação, mas ela é fácil de compreender se tomarmos como exemplo a quarta possível razão para escolhermos receber os R$1.000,00 de imediato, ou seja, “Porque eu poderia aplicar os R$1.000,00 e ganhar os rendimentos da aplicação”. Imagine, por exemplo, que você recebesse os R$1.000,00 e os investisse na Poupança e a mesma o remunerasse em 7% em um ano: ao final do ano você teria ganhado R$70,00 (7% dos R$1.000,00 investido) e, assim, teria então R$1.070,00.
A pergunta poderia, então, ter sido feita da seguinte forma: Você prefere receber daqui a um ano R$1.000,00 ou R$1.070,00? A decisão se tornaria bem mais fácil e óbvia: sempre vamos preferir receber mais, não é mesmo? E, dessa forma, optaríamos por receber R$1.070,00 e não R$1.000,00. Mas, perceba que, nesse caso, receber os R$1.070,00 em um ano seria a mesma coisa que receber R$1.000,00 hoje.
Já pensou em ser o dono da ilha de Manhattan, em Nova Iorque, um dos metros quadrados mais caros do mundo? Mais do que isso, já pensou em comprá-la por 24 dólares? Pois saiba que foi esse o valor aproximado (ou, no máximo mil dólares, seguindo alguns historiadores) dado pelo holandês Peter Minuit para os indígenas locais pela ilha em 1626, na forma de objetos diversos (ALANO, 2015; JACOBS, 2000; SONIAK, 2012). Mas não considere que os índios foram enganados, pois, se o montante fosse investido desde então, isso resultaria em um valor bastante elevado nos dias de hoje. Ou seja, o fator tempo tem um peso bastante significativo quando analisamos valores. Além disso, para os índios, era apenas mais um pedaço de terra, dentre tantos disponíveis para eles.
Assim, valores e tempo são variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, os quais são considerados em todas as análises e cálculos, no contexto do preço do dinheiro ao longo do tempo.  
1.1.2 O preço do dinheiro
Você já ouviu falar que tudo tem um preço? E isso faz sentido: se você quiser comprar material escolar, terá de pagar um preço por ele. Se tiver de pegar um táxi, terá de pagar pela corrida. Ou seja, todo produto tem seu preço, da mesma forma que todo serviço. E, se tivermos de contratar alguém, como um pedreiro ou uma diarista, fica claro que a mão de obra também tem seu preço.
O filme O mercador de Veneza (RADFORD, 2004) explora o aspecto dos juros cobrados por um agiota no século XVI. No intrincado romance, o agiota impõeuma condição bastante severa caso o pagamento do empréstimo que ele fez não seja cumprido dentro do prazo previsto: mutilação, o que levou o caso aos tribunais, para que fosse julgado se a pena deveria ser aplicada ou não.
Mas, e o dinheiro? Qual o preço do dinheiro?
Parece uma pergunta estranha e a tendência é responder que é o próprio valor dele, afinal, por exemplo, R$10,00 são R$10,00 e nada diferente disso. Mas, não é bem assim.
Repare que se você for sacar os R$10,00 de sua conta no banco, o valor será mesmo de R$10,00, pois é o seu próprio dinheiro. Mas, se você não tiver saldo na conta, o banco pode permitir que ainda assim você saque R$10,00. Mas, não será seu dinheiro e, sim, dinheiro do banco e você terá de pagar um preço por ele. Ou seja, você precisará, em algum momento futuro, devolver os R$10,00 ao banco e, além disso, um valor adicional (por exemplo, mais R$1,00) como pagamento “pelo dinheiro que recebeu”, ou seja, pagar o “preço do dinheiro”. Esse preço do dinheiro é o que chamamos de juros.
Repare que nesse exemplo, ao pagar R$11,00 ao banco, estamos, na verdade devolvendo os R$10,00 que tomamos para uso e mais R$1,00 como pagamento pelo seu uso. Pense, por exemplo, como sendo o aluguel de um carro: ao final do período, nós devolvemos o bem à locadora (ou seja, o carro que alugamos) e pagamos pelo tempo em que usamos o veículo. No caso do dinheiro, o devolvemos e pagamos pelo seu uso. Essa é a lógica dos juros. E, como o preço de qualquer outra coisa, o dinheiro pode ser caro ou barato, isto é, os juros, que são o preço do dinheiro, podem ser altos ou baixos, tornando o dinheiro mais caro ou mais barato.
Há uma legislação específica, datada de 1933, que estabelece limites para impedir e reprimir excessos praticados na cobrança de juros e prevê punição para os casos de abusos. Trata-se do Decreto n. 22.626, de 7 de abril de 1933, conhecido como “Lei da usura” (BRASIL, 1933). 
Vamos voltar ao exemplo dos R$1.000,00 que você tinha para receber e que preferia, obviamente, recebê-los de imediato: será que se fosse para receber um valor maior do que os R$1.000,00, você aceitaria receber um ano depois? Por exemplo, R$1.200,00?
Talvez isso fosse atrativo e você aceitasse. Ou seja, você aceitaria receber um valor adicional (juros) como remuneração pelo seu dinheiro, isto é, por um valor que você tinha direito de ter disponível (e nós já vimos as vantagens de termos recursos disponíveis), mas que abriu mão visando um ganho, ou seja, receber juros como pagamento pelo seu dinheiro.
A propósito, chamar juros de remuneração é algo bastante comum: Samanez (2010, p. 1), Castanheira e Macedo (2012, p. 14) consideram os juros como sendo “a remuneração do capital empregado”.
E quando vemos anúncios que indicam “sem juros” ou “juros zero”, qual a lógica existente nesses casos?
Bem, nesses casos, o vendedor já incorporou os juros no valor final do bem e, como forma de atrair clientes, anuncia que a venda será sem juros, ou seja, que o valor à vista é o mesmo do valor parcelado.
Mas como são, de fato, representados e calculados os juros e valores de bens e serviços quando os juros são considerados? Vamos ver isso a seguir.  
1.1.3 Representação e cálculo dos juros
Por que o valor do dinheiro no futuro é superior ao valor atual? O que é adicionado para aumentar o valor total? Vamos compreender essa dinâmica e fatores envolvidos.
Supondo, então, que você aceitou receber R$1.200,00 um ano depois, ao invés de R$1.000,00 agora, podemos separar as duas partes desse valor recebido:
R$1.000,00 sendo a devolução do dinheiro que você não recebeu no momento atual, para receber um ano depois; e
R$200,00 que é a remuneração (juros) por ter aceitado tal condição.
Vamos estabelecer, assim, uma simbologia e caracterização dos elementos envolvidos nessa situação: você poderia ter recebido os R$1.000,00 de imediato, ou seja, no primeiro momento que isso fosse possível. E nossa análise começará por esse momento, o qual chamaremos de momento zero, momento atual ou momento presente.
Assim, o valor de R$1.000,00, como seria o valor a ser recebido no momento presente se chama valor presente, representado por VP. Desta forma:
VP = R$1.000,00
E, ao final de um ano, você recebeu os R$1.200,00. Como se trata de um valor recebido no futuro, ou seja, algo após o momento presente, chamamos de momento futuro e, consequentemente, o valor recebido é denominado valor futuro, representado por VF. Assim:
VF = R$1.200,00
O VP de R$1.000,00 chegou aos R$1.200,00 (VF) devido à incidência dos juros, ou simplesmente J. Consequentemente:
J = R$200,00
Com isso, podemos apresentar a equação básica da Matemática Financeira, qual seja:
VF = VP + J
Reordenando a fórmula, podemos utilizá-la para calcular o valor dos juros, como você pode ver a seguir:
J = VF – VP
Alguns autores, como Samanez (2010) utilizam os mesmos conceitos, porém com nomenclatura diferente: o valor investido, ou seja, aplicado durante determinado tempo, é chamado de aplicação (P), o qual é remunerado (J), gerando um valor (montante), representado por S, ao final do citado período. Desta forma, segundo o autor: J = montante – aplicação; ou J = S – P.
Já Castanheira e Macedo (2012) representam o montante como M e o valor investido, que eles denominam capital, como C. Nesse caso, segundo os autores:
J = M – C
E, ainda, Gimenes (2006) representa o VP como somente P e VF como F (ou Fn, para representar o VF em um período n futuro) e, desta forma, para ele:
J = F – P
Voltaremos a usar tais nomenclaturas esporadicamente, para que você se familiarize com a existência dela e não estranhe ver cálculos representados de formas diferentes por diferentes autores. Mantendo a nomenclatura com a qual iniciamos, para podermos estabelecer o valor dos juros como uma proporção de VP, temos:
No nosso exemplo, temos:
No entanto, como já discutimos antes, em Matemática Financeira é importante que os valores estejam relacionados ao tempo. Dessa forma, pouco significado há em falarmos de juros de 20%: isso é muito ou pouco?
Pense em extremos: 20% em um dia é muito, um percentual absurdamente alto, ao passo que 20% em um século é algo irrisório. Por isso, é sempre importante informarmos a ciclo de tempo de aplicação dos juros. 
No nosso exemplo, estamos falando de um intervalo de um ano entre o VP e o VF. Assim, são 20% de juros ao ano. Ou simplesmente 20% a.a.
É usual que utilizemos as formas abreviadas para representar tais ciclos de aplicação dos juros, como mostrado a seguir:
Ao ano – a.a.;
Ao semestre – a.s.;
Ao quadrimestre – a.q.;
Ao trimestre – a.t.;
Ao bimestre – a.b.;
Ao mês – a.m.; e
Ao dia – a.d.
1.2 Juros simples
A aplicação e a capitalização dos juros podem ocorrer de duas formas: juros simples e juros compostos. A diferença entre tais regimes é a de que nos juros simples o cálculo se aplica ao valor investido, ou seja, no VP, ao passo que nos juros compostos, os juros auferidos são somados ao VP e, a partir daí, os juros são calculados sobre este novo montante, gerando um valor ainda maior, sobre o qual são calculados, novamente, os juros sobre o novo total e assim sucessivamente.
Castanheira e Macedo (2012) definem capitalização como sendo a incorporação dos juros ao capital que o produziu. No próximo subtópico você vai aprender como são calculados os juros no regime de capitalização pelos juros simples e como funcionam as aplicações financeiras nesse regime.
1.2.1 Regimes de juros
Vamos imaginar que você invista R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m. Ao final de um mês, você terá ganhado R$100,00, ou seja, 10% do valor investido.
Mas, e se você deixar o dinheiro investido, o que acontecerá no próximo mês? Bem, é aí que surge a diferença entre os dois regimes de juros existentes: juros simples e juros compostos.
No regime denominado de juros simples, você continuará recebendo os 10% sobre o valor investido, ou seja, continuará recebendo R$100,00 todo mês. Sendo assim, ao final do primeiro mês você terá R$1.100,00 (os R$1.000,00 investidosmais R$100,00 de juros); no final do segundo mês terá R$1.200,00 (ou seja, terá recebido mais R$100,00 por mais um mês); R$1.300,00 no final do terceiro mês, e assim sucessivamente.
Já no regime de juros compostos, os juros recebidos são incorporados à base de cálculo do período seguinte. Ou seja, ao receber os R$100,00 no final do primeiro mês, eles são incorporados aos R$1.000,00 investidos, totalizando R$1.100,00 (como no regime de juros simples), mas agora os juros de 10% são calculados sobre este novo montante, isto é, sobre os R$1.100,00.
Ao final do segundo mês, então, serão recebidos R$110,00 (10% de R$1.100,00), totalizando R$1.210,00 e; ao final do terceiro mês, receberá 10% sobre os R$1.210,00, ou seja, mais R$121,00, totalizando R$1.331,00, e assim sucessivamente.
Assim, o total que é indiferente entre os dois regimes quando consideramos somente um período de investimento e juros recebidos, começa a se distanciar conforme o tempo vai passando, como você pode ver na tabela a seguir:
Tabela 1 - Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de R$1.000,00 e uma taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
No gráfico a seguir, é possível visualizar as informações constantes na tabela que vimos acima.
Tabela 2 - Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de R$1.000,00 e uma taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
Repare que o crescimento dos juros é linear em relação ao tempo no regime de juros simples. O mesmo acontecerá com o valor final (ou montante) (SAMANEZ, 2010). Já, no caso do regime de capitalização por juros compostos, o crescimento dos juros é exponencial (GIMENES, 2006).
E qual regime é o melhor: simples ou compostos? Bem, depende de que lado estamos: os juros compostos são os melhores para quem os recebe (por receber mais, ao longo do tempo), mas são piores para quem tem de pagar por eles (por pagar valores mais altos).
Mas, como podemos calcular os juros sem precisarmos montar a tabela e calcular mês a mês? Bem, inicialmente vamos recordar a equação fundamental da Matemática Financeira:
VF = VP + J
No caso dos juros simples, vimos que os juros são calculados sobre o valor investido, ou seja, sobre VP. Vimos, também, que os juros de cada mês (ou seja, os R$100,00 no nosso exemplo) vão se acumulando a cada mês, ou seja, uma vez no primeiro mês (1 x R$100,00 = R$100,00), duas vezes no segundo mês (2 x R$100,00 = R$200,00), e assim sucessivamente.
Podemos inferir, assim, que a forma de calcular os juros, no regime de juros simples, é dado por:
J = VP x i x n
Sendo:
i = taxa de juros ao período (que deve ser utilizada na forma fracionária e não na forma percentual. Ou seja, utilizar 0,1; 0,2, etc., ao invés de 10%, 20% etc.); e
n = quantidade de períodos.
Fique atento: os fatores i e n devem ser compatíveis, ou seja, trabalharem na mesma unidade de tempo. Ou seja, se n estiver em meses, i deve ser a.m. No caso de estarem em unidades diferentes, será necessário convertê-los, para garantir que os cálculos sejam efetuados corretamente.
Dessa forma, quando n = 1 (no nosso exemplo, 1 mês), temos J = 1.000 x 0,1 x 1 = R$100,00; Para n = 2, temos J = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00, e assim sucessivamente. 
1.2.2 Cálculos utilizando os juros simples
A partir da equação de cálculo dos juros simples, podemos inferir diversos outros cálculos. Se: 
J = VP x i x n
E se:
VF = VP + J
Então:
VF = VP + VP x i x n
Ou ainda:
VF =VP (1 + i x n)
Ou, utilizando a simbologia de Samanez (2010):
S = P (1 + i x n)
Ou ainda, utilizando a simbologia de Castanheira e Macedo (2012):
M = C (1+ i x n)
E, pela simbologia de Gimenes (2006):
F = P (1 + i x n)
Com essa fórmula, podemos calcular o VF que teremos em qualquer período. Ou seja:
 Ao final do primeiro mês, teremos:
VF = 1.000 (1 + 1 x 0,1) = R$1.100,00
Ao final do segundo mês teremos:
VF = 1.000 (1 + 2 x 0,1) = R$1.200,00
Ao final de um ano teremos:
VF = 1.000 (1 + 12 x 0,1) = R$2.200,00
Além disso, podemos efetuar outros cálculos, simplesmente rearranjando as fórmulas. Por exemplo, sabendo o VF ou J, podemos calcular o VP:
Ou ainda, podemos calcular n ou i:
Em resumo, os cálculos no regime de juros simples consideram as variáveis VP, FV, i e n (ou J substituindo uma delas), que estão inter-relacionadas. Assim, podemos calcular qualquer uma delas, sabendo o valor das demais.
1.2.3 Aplicação dos juros simples no dia a dia
No dia a dia os valores para aquisição de qualquer bem ou serviço, bem como os juros cobrados, são fatores importantes, sobre os quais é fundamental termos pleno conhecimento, para tomar decisões acertadas. Vamos ver algumas situações:
Exemplo 1 - Se você faz uma aplicação financeira de R$2.000,00 em um investimento no regime de juros simples que rende 2% a.m., quanto terá ao final de 5 meses. Para isso, vamos utilizar a fórmula:
VF = VP (1 + i x n)
Ou seja:
VF = 2.000 (1 + 0,02 x 5) = R$2.200,00.
Exemplo 2 -  Quanto você receberá de juros se investir R$3.000,00 durante 4 meses em uma aplicação no regime de juros simples que paga 2,5% a.m.? Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
J = VP x i x n
Ou seja:
J = 3.000x 0,025 x 4 = R$300,00.
Exemplo 3 - Quanto seria necessário investir hoje em uma aplicação no regime de juros simples que remunera à taxa de 2% a.m., para que, após 10 meses de investimento, alcançasse um total de R$1.200,00? Para isso, o melhor é utilizarmos a fórmula: 
Exemplo 4 -  Por quanto tempo você deve investir R$1.000,00 no regime de juros simples, a uma taxa de 2% a.m. para atingir o total de R$1.300,00? Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
Exemplo 5 - Para que seu investimento dobre de valor em 10 meses, qual deveria ser a taxa de juros a que deveria ser feito o investimento, considerando o regime de juros simples? Nesse caso, se considerarmos o seu investimento como sendo de R$X, o dobro dele seria, obviamente, R$2X e, dessa forma, poderíamos efetuar o cálculo pela seguinte fórmula: 
Exemplo 6 - Uma loja vende à vista uma geladeira por R$1.000,00. Alternativamente, ela vende a mesma geladeira por R$1.100,00, sendo metade do valor dado como entrada e o restante 30 dias depois. Qual o valor dos juros cobrados e qual a taxa de juros aplicada?
Aqui temos um problema mais complexo, pois uma análise precipitada pode nos levar a um erro, ao imaginarmos que, ao passar de R$1.000,00 para R$1.100,00 teríamos R$100,00 de juros e que, consequentemente, a taxa de juros seria de 10% a.m. Na realidade, como tanto no pagamento à vista como no parcelado há um pagamento feito no momento da compra, esse valor não deve entrar no cálculo. Ou seja, no pagamento à vista, o comprador pagará R$1.000,00, enquanto, se optar por parcelar, ele pagará R$550,00 (metade de R$1.100,00), devendo pagar os outros R$550,00 um mês depois.
Vamos supor que você dispusesse dos R$1.000,00 para comprar a geladeira à vista, mas optasse por parcelá-la: dos R$1.000,00, você retiraria os R$550,00 para dar a entrada, sobrando, portanto, R$450,00. Mas, observe que, um mês depois, você não terá de pagar R$450,00, mas sim R$550,00. Assim, de fato, estamos falando de R$100,00 de juros, mas a taxa NÃO é de 10%. Por que não? Porque os R$450,00 que teríamos pagado adicionalmente se a compra fosse à vista representa o VP e, ao pagarmos um mês depois (VF), pagamos R$550,00. Assim, utilizando a fórmula que já vimos: 
Como você pode perceber, há inúmeras possibilidades de cálculos, análises e tomadas de decisão que podem ser feitas mediante o domínio dos cálculos dos juros.
1.3 Juros simples
Como vimos, para efetuar os cálculos envolvendo juros, é necessário que a taxa e o período estejam na mesma unidade de tempo. Os exemplos mostrados até o momento respeitaram essa regra, mas, na vida real, isso nem sempre acontecerá.
Assim, é importante sabermos lidar com situações em que a taxa de juros está representada por uma unidade que não é compatível com o período analisado, sendo necessárioexecutar conversões. Vamos ver como essas conversões funcionam neste tópico. 
1.3.1 Proporcionalidade de juros no sistema de juros simples
Como vimos anteriormente, as taxas de juros são informadas a.a., a.s., a.q., a.t., a.b., a.m e a.d. Pois bem, tais ciclos de tempo têm relações entre si, quais sejam:
1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses = 360 dias. Por convenção, não é comum utilizarmos os cálculos de Matemática Financeira o ano com 365 dias ou 366, no caso dos anos bissextos. Também não se considera meses com 31 ou 28/29 dias. Em termos práticos, tais arredondamentos simplificadores do que se denomina “ano comercial” não causam variações significativas nos cálculos e são chamados por Castanheira e Macedo (2012) de juro ordinário, em oposição ao denominado “juros exatos” quando são considerados os números exatos de dias em qualquer período (o que ocorre, por exemplo, em alguns cálculos de empréstimos e financiamentos).
Tais proporções servem de base para que façamos conversões das taxas de juros: basta usar os valores de proporção para fazer as devidas conversões. Por exemplo, como 1 ano = 2 semestres, para convertermos uma taxa de juros que está informada como sendo a.a em a.s., basta multiplicá-la por ½.
Dessa forma, 10% a.a. = 5% a.s. Da mesma maneira, por exemplo, 15% a.a. = 5% a.q.; 16% a.a. = 4% a.t. etc. Chamamos tais taxas de taxas equivalentes, visto que os valores finais não se alteram se usarmos uma taxa ou sua equivalente.
Por exemplo, o valor dos juros de um investimento de R$1.000,00 aplicados por 2 anos, no regime de juros simples a uma taxa de 10% a.a. e o mesmo do aplicado pelo mesmo período (lembrando que 2 anos = 4 semestres) a uma taxa de 5% a.s. Vamos verificar:
J = VP x i x n
J10%a.a. = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00; e
J5%a.a. = 1.000 x 0,05 x 4 = R$200,00.
A tabela a seguir mostra os valores que devemos utilizar para multiplicar taxas de juros de determinado período para converter em taxas com períodos diferentes.
Tabela 3 - Fatores de multiplicação para conversão de taxas de juros com períodos diferentes. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
Atenção: os cálculos e os valores de multiplicação para conversão mostrados na Tabela 1 só se aplicam ao regime de juros simples, não podendo ser utilizados como base para cálculos no regime de juros compostos. Para estes, o cálculo a ser efetuado é diferente. 
Outro aspecto a ser destacado é quanto ao período de capitalização ou de pagamento dos juros. Isso se refere à possibilidade de resgates e pagamentos em períodos fracionários ou não. Por exemplo, vamos supor que você faça um investimento de R$1.000,00 no regime de juros simples a uma taxa de 24% a.a.
Podemos calcular facilmente o valor final do investimento:
VF = 1.000 x 0,24 x 1 = R$240,00.
Mas, e se você mantiver o dinheiro aplicado por somente 6 meses? Consultando a tabela 2, é possível perceber que a conversão de uma taxa a.a. para uma taxa a.s. se faz multiplicando a mesma por ½ e, assim, a taxa seria 24% x ½ = 12% a.s. e, desta forma, o valor ao final dos 6 meses seria de:
VF = 1.000 x 0,12 x 1 = R$120,00.
Mas, isso só será verdadeiro se for previsto (em contrato ou pelo regimento do fundo de investimentos etc.) que os juros possam ser pagos em período fracionário. Caso contrário, os juros só seriam pagos quando o período de um ano fosse concluído com o dinheiro mantido investido.
Você já deve ter ouvido falar ou mesmo já deve ter investido algum dinheiro na Caderneta de Poupança. O rendimento mensal dela tem sido ultimamente próximo a 0,6% a.m. Assim, se você investir R$1.000,00 nela, ao final do mês deverá receber cerca de R$6,00 de juros, ficando, portanto, com R$1.006,00. Mas, e se ao invés de manter os R$1.000,00 na Poupança por um mês, você deixar o dinheiro lá por somente 15 dias, vai receber metade dos juros? A resposta é “não”: os juros só são recebidos no fechamento do ciclo previsto do investimento. Se retirados antes do “aniversário”, você só retirará o próprio dinheiro investido, ou seja, os R$1.000,00, sem o acréscimo de qualquer valor de juros.
Na verdade, há uma convenção de mercado que nos ajuda a lidar com tais situações: as denominadas taxas de juros nominais e taxas de juros efetivas. Abreu (2015, p. 69-70) as define como:
Taxa nominal – é aquela em que a unidade de referência de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais.
Taxa efetiva – é aquela em que a unidade de referência de tempo coincide com as unidades de tempo dos períodos de capitalização. Sendo assim: 3% a.m., capitalizados mensalmente; 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% a.a., capitalizados anualmente.
Vimos diversas vezes a citação de Samanez. Trata-se do Professor Carlos Patricio Mercado Samanez, falecido em fevereiro de 2016, autor de conhecidos livros da área financeira, dentre eles, Matemática Financeira (2010).
Mas, como lidar simultaneamente com as variáveis de valor monetário e tempo, representado em diferentes ciclos de capitalização de juros? Precisamos dominar as regras de proporcionalidade e suas conversões.    
1.3.2 Aplicação da proporcionalidade no regime de juros simples
Uma vez compreendidos os conceitos de taxas nominais e efetivas, bem como os mecanismos para conversão das unidades de tempo envolvendo as taxas de juros e os períodos de aplicação, passa a ser possível resolvermos questões que envolvam diferentes unidades de tempo entre taxas e juros.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1 -  Você recorreu a uma financeira para auxiliá-lo na compra de uma loja, para iniciar um novo empreendimento. Supondo que o empréstimo de R$100.000,00 foi contratado pelo regime de juros simples a uma taxa de juros de 3% a.m. e que você deverá saldar a sua dívida de uma única vez daqui a três anos, quanto você deverá dispor para honrar o compromisso naquela data? Sendo uma taxa de 3% a.m., sua conversão para taxa anual se faz pela multiplicação por 12, ou seja 3% x 12 = 36% a.a. Aplicamos, então, a fórmula para calcular o FV:
VF = 100.000 (1 + 0,36 x 3) = R$208.000,00
Exemplo 2 - O gerente de seu banco entrou em contato com você trazendo uma oferta de investimento nas seguintes condições: uma taxa de juros de 2,5% a.b., pelo regime de juros simples. O investimento é taxado com retenção de 20% na fonte pelo imposto de renda se houver saque em prazo inferior a 5 anos. Quanto você acumulará de ganhos se aguardar os 5 anos para evitar taxação sobre os juros? Convertemos os 2,5% a.b. multiplicando a taxa por seis, ou seja, 2,5% x 6 = 15% a.a. e, em seguida, podemos calcular os juros:
J = VP x 0,15 x 5 = 0,75 x VP. Ou seja, os juros são de 75% do valor investido.
Exemplo 3 - E se no exemplo anterior, o resgate acontecesse após 4 anos, de quanto seriam os juros efetivamente recebidos? A princípio seria somente uma questão de utilizarmos novamente a fórmula de cálculo dos juros:
J = VP x 0,15 x 4 = 0,60 x VP.
No entanto, com o saque ocorrendo antes de 5 anos, há retenção de 20% dos ganhos na fonte, ou seja, 20% dos 60% de juros. Assim, 12% dos juros seriam retidos (20% de 60% = 12%), restando, portanto, 48% (60% - 12% = 48%).
Exemplo 4 -  O quanto você deve investir, pelo regime de capitalização de juros simples, para que, com uma taxa de 1,8% a.t., consiga acumular o total de R$10.000,00 em 2 anos? 1,8% a.t. x 4 = 7,2% a.a. Usamos este valor na fórmula: 
1.4 Juros compostos
No regime de capitalização por juros compostos, os juros auferidos em determinado período de tempo são disponibilizados e, se não sacados, são integralizados, isto é, são somados ao valor investido. Isso pode parecer uma diferença sutil quando comparado ao regime de juros simples, mas o fato é de que esses pequenos acréscimos fazem com que o valor que é reinvestido seja maior, fazendo assim com que os juros sejam maiores.E os juros maiores são novamente acrescidos ao valor inicial, fazendo com que eles cresçam ainda mais, gerando lucros ainda maiores, e assim sucessivamente. Sendo assim, ainda que em curtos períodos de tempo a diferença dos juros entre o sistema de juros simples e compostos não seja significativo (na realidade, são rigorosamente iguais quando n = 1), ao longo do tempo eles se distanciam bastante.
Vamos estudar como são calculados os juros no sistema e a capitalização por juros compostos, como são aplicados no dia a dia, em diversas operações e transações e vamos discutir a dinâmica das taxas nominais, efetivas e reais.
1.4.1 Cálculos financeiros de juros compostos
Nos juros compostos, as equações básicas de Matemática Financeira são as mesmas dos juros simples, ou seja: 
A diferença está na forma como os juros são calculados a partir do valor investido, pois este não permanece constante, isto é, a cada valor de juros que são gerados, eles são adicionados ao valor investido.
É comum nas lojas ou concessionárias os vendedores fazerem os cálculos de quanto seria o valor das prestações, na compra parcelada de bens. Mas eles não utilizam diretamente as fórmulas da Matemática Financeira: eles trabalham com tabelas, as quais já têm os juros embutidos. Assim, é só multiplicar o valor do bem pelo valor informado na tabela e eles obtêm o valor das prestações.
Como vimos anteriormente, se você investe R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m., ao final do primeiro mês receberá R$100,00 de juros e, a partir deste ponto, surge a diferença entre os dois regimes de capitalização: nos juros simples, os juros continuam a ser calculados sobre os R$1.000,00 investidos, mas, no regime de juros compostos, os R$100,00 recebidos são somados ao valor investido.
O valor sobre o qual incidirão os juros no segundo mês, então, não permanecerá R$1.000,00 nos juros compostos, mas sim R$1.100,00. E, assim, serão aplicados 10% sobre este montante, fazendo com que os juros gerados no final do segundo mês sejam de R$110,00, os quais serão, também, incorporados ao valor a ser investido no terceiro mês e assim sucessivamente.
Vamos compreender o que acontece: como os juros são dados por i x VP, temos que:
VF = VP + i x VP
Podemos rearranjar a equação para:
VF = VP (1 + i)
E este será o VF ano final do período n =1. Para o período n = 2, temos que:
VF2 = VF1 + i x VF1 = VF1 (1 + i)
Mas como o VF1 = VP (1 + i), temos, então:
VF2 = VP (1 + i) (1 + i) = VP (1 + i)2
Ao calcularmos o VF no período 3, a lógica se repete, pois os juros seriam calculado sobre o VF2 e, desta forma, inferimos que:
VF3 = VP (1 + i)2 (1 + i) = VP (1 + i)3
É fácil perceber, então, que o VF de um investimento feito sob o regime de juros compostos ao longo de n períodos é dado por:
VF = VP (1 + i)n
Esta é a fórmula básica para os cálculos do regime de juros compostos e, a partir dela, podemos fazer diversos rearranjos, possibilitando identificar outros elementos, como mostrado a seguir:
1.4.2 Aplicação do sistema de juros compostos no dia a dia
Vamos ver como a aplicação das fórmulas permite identificar os diversos elementos nos cálculos do regime de juros compostos: a exemplo do que acontece nos juros simples, as variáveis VP, VF, J, i e n se inter-relacionam e, a partir das informações sobre as primeiras, podemos calcular as demais.
Exemplo 1 -  Se você investir R$1.000,00 a uma taxa de 1% a.m no regime de juros compostos, quanto obterá ao final de um ano e de quanto serão os juros auferidos?
VF = 1.000 (1 + 0,01)12 = R$1.126,38
J = 1.126,38 – 1000,00 = R$126,38
Exemplo 2 - Qual a taxa de juros mensal, que triplica o valor investido em um ano, pelo regime de juros compostos? 
Exemplo 3 - Quanto tempo você deveria manter aplicados R$2.500,00 para conseguir acumular o total de R$3.000,00, considerando um investimento a juros compostos na taxa de 1,2% a.m.? 
Observe que se investido por 15 meses, seriam obtidos somente FV = 2.500 (1 + 0,012)15 = R$2.989,84 e, por esta razão, o investimento deverá ser mantido por mais um mês:
FV = 2.500 (1 + 0,012)16 = R$3.025,72
1.4.3 Taxas reais de juros
Da mesma forma que acontece nos juros simples, devemos levar em consideração as taxas nominais e efetivas nos juros compostos. E os cálculos são efetuados, basicamente, da mesma forma. No entanto, diferentemente do que acontece com os juros simples, no regime de capitalização pelos juros compostos, as diferenças nos valores calculados são substanciais.
A razão para isso está justamente no acúmulo que existe dos juros (ou seja, sua capitalização cumulativa) compostos ao longo dos períodos. Vamos verificar essa dinâmica considerando um exemplo de um investimento de R$1.000,00 a uma taxa nominal de 36% a.a., capitalizados mensalmente ao longo de um ano.
Em ambos os regimes, devemos calcular a taxa efetiva. Como a capitalização é mensal, temos:
Sendo a taxa efetiva, vamos utilizar a mesma para calcular o VF nos regimes de juros simples e juros compostos, ou seja, respectivamente:
VF = 1000 (1 + 0,03 x 12) = R$1.360,00; e
VF = 1000 (1 + 0,3)12 = R$1.425,76
Outro aspecto relevante no que tange à tomada de decisão sobre investimentos é a denominada taxa de juros reais, a qual leva em consideração as eventuais perdas inflacionárias.
Por exemplo, o fato de determinado investimento remunerá-lo, por exemplo, a uma taxa de 10% a.a. não significa que isso seja suficiente sequer para compensar a perda inflacionária. Ou seja, em uma situação como essa, os ganhos auferidos por meio dos juros podem representar, na verdade, uma perda.
Imagine, por exemplo, que no mesmo ano em que havia um valor de juros de 5%, a inflação fosse no mesmo valor – o ganho “líquido” seria zero. Assim, é fácil perceber que quando a taxa de juros é superior à taxa de inflação, há um ganho real, ao passo que, na situação inversa, há uma perda, apesar dos juros. Quanto, de fato, ganhamos ou perdemos nessas situações?
Para isso, é necessário calcularmos a denominada taxa de juros reais. A taxa de juros reais, expressa por ir se inter-relaciona com a taxa nominal i (também chamada de taxa aparente) e com a taxa de inflação I por meio da seguinte equação:
(1 + i) = (1 + ir) x (1 + I)
E, por meio dela, podemos saber se há ganhos reais ou não. Por exemplo, considerando a taxa de 5% a.a. que discutimos, caso a inflação anual fosse de 3%, teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,03); ou seja:
E assim, a taxa real (ir) é de somente 1,94% a.a. Por outro lado, caso a inflação anual fosse de 7%, teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,07); ou seja:
E, nesse caso, a taxa real (ir) nos mostraria um valor negativo. Ou seja, na verdade, haveria uma perda de -1,87% a.a.
Saiba mais sobre taxa de juros nominal, efetiva e real no artigo "Taxa de juros: nominal, efetiva ou real?" (VIEIRA SOBRINHO, 1981) de José Dutra Vieira Sobrinho, publicado na Revista de Administração de Empresas. 
Como você pôde perceber, os diversos conceitos envolvidos na aplicação de juros podem ser indecifráveis para quem não é exposto aos fundamentos que acabamos de ver, o que torna a Matemática Financeira uma área de estudos bastante útil a todos.