estruturas de aço, concreto e madeira

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A
TEN
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EN
TO
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A
 EXPECTATIVA D
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A
L 
Íta{o C]Qcaráo 
Projetista 
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SÉRGIO A
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A
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Ilustrações 
LA
M
D
 ESTÚDIO G
RÁFICO 
Projeto Editorial 
ZIG
U
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A
TE ED
ITO
R
A
 
D
ados Internacionais de C
atalogação n
a
 Publicação (CIP) 
(Sindicato N
acional dos Editores de Livros, R
J-
B
rasil) 
R
233e 
05-1978 
R
ebello, Y
opanan C
onrado Pereira, 1949-
Estruturas de aço, co
n
creto e m
adeira: 
atendim
ento da e
xpectativa dim
ensional I 
Y
opanan C
onrado Pereira R
ebello. 
-São Paulo: 
Zigurate Editora, 2005. 
Bibliografia. 
ISB
N
 85-85570-09-1 
1. A
ço 
-
Estrutura. 
2. C
oncreto-
Estrutura. 3. Concreto arm
ado. 
4. 
M
adeira. 5. Construção de m
adeira. 
6. Engenharia das estruturas. 
I. Título. 
5' Edição 
·
 setem
b
ro/20 11 
C
D
D
 624.1 
C
D
U
 624.01 
©CO
PY
RIG
H
T de Y
opanan Conrado Pereira Rebello 
©CO
PY
RIG
H
T desta edição Zigurate Editora e Com
ercial Ltda. 
Todos o
s direitos de reprodução reserv
ado
s
.
 
A
TEN
D
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EN
TO
 D
A
 EXPECTATIVA D
IM
E
N
SIO
N
A
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YO
PA
N
A
N
 C
O
N
R
A
D
O
 PEREIRA REBELLO 
Zigurate Editora 
Às duas obras m
ais perfeitas que já vi: 
m
eu
s n
etinhos M
atheus e D
aniela 
Prefácio 
M
eu brilhante colega
,
 caro
 am
igo e querido prim
o Y
opanan: 
A
 ciência procura explicar o
 que existe e a tecnologia inventa o
 que não 
existe
.
 Esta é a função do engenheiro e do arquiteto: criar o
 que não existe, 
co
m
 base n
as teorias propostas e provadas pela ciência. 
Todos nós recebem
os de n
o
sso
s professores m
odelos físicos, ferram
entas 
m
atem
áticas, m
étodos de trabalho. Todos esses elem
entos co
n
stituem
 u
m
 
sistem
a que, para cada co
njunto de n
ecessidades e de dados, produz u
m
 
objeto: 
u
m
a
 obra. A
 habilidade de e
ntender e 
u
sa
r e
sse
 
sistem
a, de 
ev
entualm
ente ser capaz de m
udá-lo o
u
 de aperfeiçoá-lo, não é a função 
m
aior do 
v
e
rdadeiro e
ngenheiro o
u
 a
rquiteto. Som
os e
sse
n
cialm
ente 
tom
adores de decisões. O
 que é pedido de nós é a solução ótim
a, a partir de 
pontos de vista que estão longe de ser m
eram
ente técnicos. Por o
utro lado, 
as decisões devem
, quase sem
pre
,
 ser tom
adas sob a pressão do tem
po. 
U
ltim
am
ente, tem
os sido tentados a achar que o
 engenheiro e o
 arquiteto, 
co
m
o
 m
uitos o
utros profissionais, serão substituídos pela m
áquina em
 cu
rto 
prazo. Isso pode vir a aco
ntecer, sim
, 
se n
o
s co
n
siderarm
os apenas o
s 
ex
ecutores das tarefas de transform
ação de dados em
 u
m
a
 obra, segundo 
u
m
 determ
inado m
odelo. M
as, quando não há o
 m
odelo, o
u
 quando o
 m
odelo 
não leva ao
 objeto desejado, só o
 ser hum
ano pode, atuando e
m
 tem
po real, 
intuir e criar. 
N
ossa profissão é criar, é produzir
,
 é fazer a cham
ada eco
n
o
m
ia do m
u
ndo 
real. E n
o
 m
u
ndo de hoje as reco
m
pensas dessas atividades são cada v
ez 
m
en
o
res se co
m
paradas às daqueles que fazem
 dinheiro do dinheiro, sem
 
produzir. M
uito cedo so
m
o
s tentados a m
udar de cam
po. Por favor, 
não 
façam
os isso! O
 m
u
ndo ainda está por ser co
n
struído. E n
ada, talvez apenas 
a relação de paternidade o
u
 de m
aternidade, se co
m
para ao
 intenso prazer 
de fazer m
udar a face do m
u
ndo, de v
er u
m
a obra n
o
ssa n
ascer do n
ada e 
ficar pronta porque estávam
os lá. 
A
os que se su
rpreendem
 co
m
 a m
istura que faço da tecnologia c
o
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 a poesia 
direi que n
em
 tudo é ex
ato n
esta n
o
ssa profissão de núm
eros e diagram
as. 
É u
m
a ilusão o
 rigor m
atem
ático que procuram
os im
por a tudo que fazem
os. 
B
asta entender que o
 objetivo de n
o
ssas teorias é descobrir u
m
a
 sim
plicidade 
que não existe n
a n
atureza. É dessa realidade que n
o
s achegam
os indecisos 
e tateantes por m
eio de aproxim
ações e de hipóteses. 
A
ssim
, c
o
n
struím
os u
m
a
 n
atureza ideal sobre a n
atureza real. E
scondem
os 
a n
o
ssa
 incom
petência atrás de processos c
o
m
 n
o
m
e
s pretensiosos, m
a
s n
a
 
v
e
rdade 
a
rtísticos, porque c
o
n
sistem
 e
m
 e
x
agerar a
s 
c
a
ra
cterísticas 
dom
inantes dos fatos para perm
itir u
m
a
 síntese que m
o
stra m
e
n
o
s c
o
m
o
 
e
sse
s fatos são e sim
 c
o
m
o
 gostaríam
os que fossem
. 
A
ssim
, para a
s vigas de n
o
ssa
s c
o
n
struções, desenham
os diagram
as de 
m
o
m
e
ntos fletores que n
o
s perm
item
 c
o
ntrolar o
 c
o
n
c
reto, o
 
aço o
u
 a 
m
adeira. M
as ninguém
 vê e
sse
s gráficos, porque são ideais. E 
a
ssim
 por 
diante, indefinidam
ente, e
m
 tudo que fazem
os e pensam
os. 
O
 lápis, o
 e
squadro, o
 papel, o
 desenho, o
 projeto, o
 núm
ero: pensam
os o
 
m
u
ndo justo, o
 m
u
ndo que n
e
nhum
 véu e
n
c
obre. 
Tracem
os a reta e a c
u
rv
a
, a quebrada e a sinuosa. T
udo é preciso, de tudo 
v1verem
os. 
C
uidem
os c
o
m
 e
x
atidão da perpendicular e das paralelas perfeitas, c
o
m
 
apurado rigor. Projetemos n
o
ssa
s e
struturas. N
úm
ero, ritm
o, distância, 
dim
ensão. 
T
em
os o
s olhos, 
o
s pulsos, 
a
s 
m
e
m
órias. C
onstruirem
os a
s obras não 
perm
anentes que su
c
e
ssivam
ente habitarão a Terra. Todos o
s dias e
starem
os 
refazendo n
o
sso
s desenhos. 
N
ão n
o
s c
a
n
se
m
o
s logo. Tem
os trabalho para toda a vida. 
São Paulo, junho de 2005. 
R
eyolando M
.L.R
.F. B
rasil 
Engenheiro C
ivil 
Professor D
outor, Livre-D
ocente 
Escola Politécnica e Faculdade de A
rquitetura e 
U
rbanism
o U
niversidade de São Paulo 
Sum
ário 
IN
TR
O
D
UÇÃO 
13 
CAPÍTULO 1 
N
oções básicas 17 
1. Força 19 
1.1. Forças que atuam
 n
as estruturas 19 
1.2. Cargas que atuam
 n
as lajes 20 
1.2.1. Peso próprio das lajes m
aciças 20 
1.2.2. Peso proveniente do rev
estim
ento 21 
1.2.3. Peso proveniente das cargas acidentais 21 
1.3. Cargas que atuam
 nas vigas 22 
1.3.1. Cargas provenientes do peso próprio da viga 23 
1.3.2. Cargas n
as vigas provenientes das lajes 23 
1.3.2.1. Cargas n
as vigas provenientes das lajes arm
adas 
e
m
 u
m
a
 só direção 24 
1.3.2.2. Cargas n
as vigas provenientes das lajes arm
adas 
e
m
c
ru
z25 
1.3.3. Cargas n
as vigas provenientes das alvenarias 28 
C
A
PÍTULO 2 
C
álculo dos e
sforços e
m
 vigas isostáticas 39 
2. Conceitos gerais 41 
2.1. Conceito de m
o
m
ento 41 
2.2. Estrututura isostática-Conceitos básicos 43 
2.2.1. Esforços n
as vigas isostáticas 45 
2.3
.
 Equilíbrio externo das vigas-Cálculo das reações de apoio 49 
2.3 
. 1. V
igas biapoiadas sem
 balanços 49 
2.3.2. V
igas em
 balanço 64 
2.4. Equilíbrio interno das vigas 
-Cálculo do m
o
m
ento fletor 
e da força co
rtante 72 
2.4.1. Força co
rtante e m
o
m
ento fletor em
 vigas biapoiadas 
sem
 balanços 73 
2.4.1.1. Cargas co
n
centradas 73 
2.4
.1.2. Cargas distribuídas 90 
2.4.2. Cálculo do m
o
m
ento fletor e da força co
rtante 
em
 vigas em
 balanço 1 O 1 
2.4.2.1. Cargas co
n
centradas 102 
2.4
.2.2. Cargas distribuídas 106 
2.4
.3. Cálculo da força co
rtante e do m
o
m
ento fletor 
e
m
 vigas biapoiadas co
m
 balanços 112 
CAPÍTULO 3 
C
álculo dos e
sforços e
m
 vigas c
o
ntínuas 143 
C
A
PÍTULO 4 
C
álculo dos e
sforços n
a
s
 treliças planas 177 
4.1. D
eterm
inação das cargas no
s nós das treliças 179 
4
.2. Projeção de forças 181 
4.3. Processo analítico para determ
inação das forças nas barras das treliças 183 
4.4
.
 Polígono de forças 193 
4.5. Processo gráfico para determ
inação dos esforços nas barras das treliças-
Processo de Crem
ona 197 
C
A
PÍTULO 5 
C
álculo do m
o
m
e
n
to
 fletor m
áxim
o e
m
 lajes 221 
5.1
.
 Cálculo dos esforço
s em
 lajes arm
adas em
 urna só direção 224 
5.2. Cálculo dos esforços em
 lajes arm
adas em
 cruz 
-Tabelas de M
arcus 225 
5.3. Exercício de determ
inação de m
om
entos fletores em
 l::úes 234 
CAPÍTULO 6 
D
im
ensionam
ento das s
eções e
stru
tu
rais 239 
6.1. D
im
ensionam
ento de barras tracionadas de aço 241 
6.2. D
im
ensionam
ento de barras tracionadas de concreto arm
ado 243 
6.3. D
im
ensionam
ento de barras tracionadas de m
adeira 245 
6.4. D
im
ensionam
ento de barras subm
etidas a com
pressão sim
ples 247 
6.4.1. Cálculo do m
om
ento de inércia da seção 247 
6.4.2
.
 Cálculo do m
om
ento de inércia em
 relação a u
m
 eixo qualquer 
que não passe pelo centro de gravidade da seção 249 
6.4.3. Cálculo do m
om
ento de inércia de u
m
a seção qualquer 
com
posta de retângulos 250 
6.4.4. Raio de giração de u
m
a seção 255 
6.4.5. Esbeltez da bana 256 
6.5. D
im
ensionam
ento de barras com
prim
idas de aço 256 
6.6. D
im
ensionam
ento de barras com
prim
idas de concreto arm
ado 264 
6.7. D
im
ensionam
ento de barras com
prim
idas de m
adeira 274 
6.8. D
im
ensionam
ento de barras de aço subm
etidas a m
om
ento fletor 278 
6.9. D
im
ensionam
ento de barras de concreto arm
ado subm
etidas a 
m
om
ento fletor 283 
6.10. D
im
ensionam
ento de barras de m
adeira subm
etidas a 
m
o
m
ento fletor 294 
6.11. D
im
ensionam
ento de barras subm
etidas a força cortante 296 
6.11.1. Cálculo da tensão de cisalham
ento 296 
6.11.2. D
im
ensionam
ento de barras de aço subm
etidas a força cortante 304 
6.11.3. D
im
ensionam
ento de barras de concreto arm
ado subm
etidas a força 
co
rtante 305 
6.11.4. D
im
ensionam
ento de barras de m
adeira subm
etidas a força cortante 311 
CAPÍTULO 7 
D
etalh
am
en
to
 de a
rm
ações e
m
 vigas e lajes 
de c
o
n
c
reto a
rm
ad
o
 325 
7.1. A
nnação de flexão nas vigas 327 
7.2. A
nnação para cisalham
ento nas vigas-Os estribos 329 
7.3. A
nnação de flexão nas lajes 430 
7 .4
.
 A
nnação para cisalham
ento nas lajes 331 
CAPÍTULO 8 
Execução e interpretação de plantas de fôrm
a 333 
CAPÍTULO 9 
Execução e interpretação de plantas de a
rm
ação 339 
9.1. Lajes 343 
9.1.1. A
rm
ações positivas e negativas 343 
CAPÍTULO 10 
D
em
onstrações de algum
as relações 
m
atem
áticas 
o
m
itidas n
o
 texto 345 
10.1. Introdução 347 
10.2. Conceitos sobre derivada 348 
10.3. M
áxim
os e m
ínim
os de u
rna função 353 
10.4. Conceitos sobre integral353 
10.5. Relação entre flecha, rotação, m
om
ento fletor, força cortante e 
carregam
ento 355 
10.6. Cálculo das rotações e flechas usando o
 gráfico de m
om
ento fletor 
com
o carregam
ento da viga 
-Processo de M
ohr 360 
10.7
.
 Coeficiente de transm
issão de m
om
entos fletores 363 
1 0.8. D
eterm
inação da rigidez de u
m
 tram
o 365 
10.9. Cáculo do m
om
ento de engastam
ento perfeito 369 
B
ibliografia 371 
IN
TR
O
D
UÇAO 
IN
TRO
DUÇÃO 
"A
ntes e acim
a de todo cálculo está a idéia, m
odeladora do m
aterial e
m
 
form
a resistente, para cu
m
prir su
a m
issão" (Eduardo Torroja). 
Cada v
ez m
ais o
 cálculo estrutural está ficando n
as m
ãos de m
atem
áticos, 
que desenvolvem
 teorias brilhantes, de elegância irrefutável. 
N
o entanto, esses cálculos preciosistas afastam
 cada v
ez m
ais os cidadãos 
co
m
u
n
s, o
u
 seja os engenheiros e arquitetos, do co
ntato m
ais próxim
o co
m
 
o
 processo de interação entre o
 co
m
portam
ento físico e o
 m
atem
ático, tão 
im
portante para u
m
 projeto co
n
sciente. 
Cada v
ez m
ais o
s núm
eros falam
 por si 
sós. O
 problem
a é que eles se 
expressam
, de u
m
a m
an
eira até elitista, e
m
 u
m
a linguagem
 que não é de 
dom
ínio de todos m
as apenas daquêles que se en
cantam
 co
m
 o
 abstrato 
pelo abstrato. 
N
ão é o
 cálculo e
m
 si que co
n
cebe u
m
a
 form
a; 
o
 cálculo existe co
m
o
 
ferram
enta para co
m
provar e co
rrigir o
 que foi intuído. O
 cálculo estrutural 
é, sem
 dúvida, u
m
a ferram
enta im
portante, m
as fica sem
 sentido se a ele 
não for ajustado u
m
 m
odelo físico preconcebido. N
ão tem
 sentido aplicar 
um
 m
odelo m
atem
ático a u
m
 m
odelo físico que não seja passível de ser 
descrito pelo m
odelo m
atem
ático, pois não se chegará a n
enhum
 resultado, 
o
u
 quando m
uito a u
m
 resultado errado. A
 m
ais recente n
o
rm
a brasileira 
para co
n
creto arm
ado tem
, e
m
 alguns dos seu
s itens, v
erificações n
u
m
éricas 
só possíveis de 
re
solver 
-
seu
s próprios autores c
o
nfessam
 
-
pela via 
co
m
putacional. Para m
im
, isso é desconsiderar a possibilidade daquele que 
se en
canta pela tradução im
ediata entre o
 físico e o
 m
atem
ático poder escolher 
cam
inhos e alternativas. É a ditadura da m
áquina, já prevista há m
uito n
a 
literatura de ficção científica. Pobres jovens engenheiros e arquitetos, ficam
 
im
pedidos de 
saber o
 porque das 
soluções en
co
ntradas, 
ao
 lhes 
serem
 
im
postos program
as de co
m
putadores que fornecem
 as respostas já prontas 
e indecifráveis. 
IN
TRO
DUÇÃO 
O
s cálculos co
m
putacionais são bons para aqueles que carregam
 n
a m
ente 
v
erificações e v
erificações n
u
m
éricas m
an
u
ais e que podem
 e
m
 u
m
a
 rápida 
análise saber se a resposta fornecida pela m
áquina é o
u
 não co
n
sistente. 
O
 jovem e inexperiente profissional pode aceitar o
s resultados sem
 u
m
a
 
análise m
ais crítica, podendo co
m
eter erro
s grosseiros para m
ais o
u
 para 
m
en
o
s. 
É im
portante que se tenha u
m
a
 previsão, ainda que grosseira, dos resultados 
possíveis e da su
a o
rdem
 de grandeza, para u
m
a adequada utilização dessas 
m
áquinas. Se u
m
 resultado esperado não é obtido, de duas u
m
a: o
u
 o
 m
odelo 
físico não é co
rreto, o
u
 o
s dados fornecidos é que não o
 são. 
Perdoem
 o
 pobre m
o
rtal autor deste livro, que só se en
canta c
o
m
 aquilo que 
pode ser visto. O
 núm
ero é im
portante, co
m
o
 im
portante é a linguagem
. D
e 
n
ada v
ale co
nhecer a tradução de u
m
a
 determ
inada palavra se não se sabe o
 
seu
 significado. 
Pode se
r até u
m
a
 visão c
o
n
se
rv
adora, m
as 
antes de u
sa
r o
s processos 
co
m
putacionais é reco
m
endável que o
 jovem profissional faça alguns cálculos 
m
an
u
ais, para entender co
m
o
 se dá a co
rrelação entre o
 físico e o
 m
atem
ático. 
Este livro tem
 co
m
o
 objetivo justamente m
o
strar de u
m
a m
an
eira bastante 
sim
ples co
m
o
 o
s processos n
u
m
éricos podem
 ser colocados a serviço de 
u
m
a
 interpretação física. N
ele, procura-se apresentar a tradução m
atem
ática 
dos fenôm
enos físicos por interm
édio de m
odelos m
atem
áticos que possam
 
ser entendidos por aqueles que estejam interessados e
m
 quantificar e ajustar 
aquilo que su
a intuição indica. 
N
este livro serão apresentados o
s dim
ensionam
entos para estruturas de aço, 
co
n
creto e m
adeira, perm
itindo que o
 leitor possa co
m
parar o
s resultados, o
 
que poderá ser m
ais u
m
 elem
ento de apoio n
a tom
ada de decisão n
a
 escolha 
da solução estrutural m
ais adequada. 
A
s 
u
nidades u
sadas 
são 
as do Sistem
a Técnico e não as do Sistem
a 
Internacional (SI), pois o
 autor acredita que aquelas u
nidades são m
ais 
próxim
as do sen
so
 co
m
u
m
 do leitor, tanto que n
o
 dia-a-dia não se pergunta 
a o
utra pessoa quantos N
ew
tons ela pesa e sim
 quantos kgf. 
A
gradeço ao
 A
rqt 0
.
 M
arcos Petrikas, que tão bem
 resolveu o
s ex
ercícios 
aqui propostos. 
CAPÍTULO 1 
N
oções básicas 
C/>YÍTULO 1 
-~oções básicas 
N
este capítulo serão apresentados co
n
ceitos básicos que servirão de apoio 
para 
o
 desenvolvim
ento das 
relações 
m
atem
áticas 
utilizadas 
n
o
 
dim
ensionam
ento das peças estruturais. 
Sugere-se que, para u
m
 m
aior aprofundam
ento, o
 leitor c
o
n
sulte o
 livro 
do m
e
sm
o
 a
utor denom
inado 
"A
 Concepção Estrutural e a A
rquitetura". 
Todas as edificações são co
m
postas de estruturas que se desenvolvem
 n
o
 
espaço, logo poderiam
 ser tom
adas co
m
o
 estruturas espaciais. N
o entanto, 
algum
as soluções estruturais perm
item
,
 para m
aior facilidade de análise
,
 
ser decom
postas em
 m
odelos que se desenvolvam
 no plano. 
A
ssim
 é o
 caso
 da laje, que pode ser estudada em
 dois planos v
erticais 
o
rtogonais, e o
 das vigas, que podem
 ser estudadas isoladam
ente n
o
s diversos 
planos v
erticais e
m
 que se desenvolvem
. É dessa m
an
eira que as estruturas 
serão aqui an
alisadas: lajes apoiadas nas vigas depositando n
estas su
as cargas; 
vigas apoiadas em
 o
utras vigas ou pilares, depositando n
eles su
as cargas. 
1. Força 
D
enom
ina-se força ao resultado de u
m
a m
assa subm
etida a u
m
a
 aceleração. 
M
atem
aticam
ente, pode-se traduzir esse fenôm
eno pela relação F= M
 x A, 
o
nde F é força, M
 
a m
assa e A a aceleração. 
Para caracterizar u
m
a força, é n
ecessário inform
ar su
a intensidade, direção 
e sentido. N
ão se deve co
nfundir direção co
m
 sentido. D
ada u
m
a
 direção 
-
por ex
em
plo 
-
a horizontal, tem
-se dois sentidos: para a direita e para a 
esquerda. 
Conhecer as forças que atuam
 n
as estruturas é de fundam
ental im
portância, 
já que a estrutura é justamente o
 cam
inho que as forças percorrem
, de u
m
 
determ
inado ponto até a fundação. 
1.1. Forças que atu
am
 n
a
s
 e
struturas 
A
s forças que atuam
 n
as estruturas são basicam
ente de duas espécies: 
gravitacionais e de v
ento. A
s prim
eiras têm
 direção v
ertical e as segundas, 
horizontal. Podem
 o
co
rrer o
casionalm
ente ou durante toda a vida útil da 
estrutura; as o
casionais são denom
inadas cargas acidentais e as segundas
,
 
cargas perm
anentes
.
 São ex
em
plos de cargas acidentais, pessoas, m
obiliários, 
v
ento e v
eículos. Essas cargas, por serem
 de difícil quantificação, 
são 
definidas por N
orm
a, a N
B
R
 6120. A
s cargas perm
anentes são o
 peso próprio 
da estrutura, os rev
estim
entos e as paredes. 
1 .2. C
argas que atu
am
 n
a
s
 lajes 
O
 prim
eiro elem
ento estrutural a receber cargas é a laje. Com
o a laje é u
m
a 
superfície, a carga que n
o
rm
alm
ente atua sobre ela se distribui por toda su
a 
área. Com
o cargas perm
anentes atuando n
as lajes tem
-se o
 seu
 peso próprio 
e o
s rev
estim
entos. 
O
 peso próprio das lajes m
aciças depende da espessura da laje. N
o caso
 de 
lajes pré-m
oldadas e painéis, o
 peso próprio pode ser obtido n
o
s catálogos 
dos fabricantes. 
1.2.1. 
Peso próprio das lajes maci~as 
O
 peso próprio da laje é u
m
a
 carga de 
superfície, portanto ele deve ser 
calculado por u
nidade de área da laje, o
u
 seja, por m
etro quadrado de laje. 
Para isso determ
ina-se o
 peso do v
olum
e de 7 r./ de laje. Para determ
inar o
 
peso da laje de co
n
creto arm
ado deve-se co
nhecer o
 peso específico do 
co
n
creto arm
ado ( yCA ), que é de 2.5001<::;::F/rn 3
.
 
N
ote-se que o
 v
olum
e de 7 íí 1 ~· de laje é dado pela seguinte relação: 
Vol 
=
 
7 ;:1 x 7 ili x h
1 
.
 (rr1 1 
O
f
€
,
 
o
nde 7 rn é o
 lado do quadrado. 
"
1
--
-
-
_
_
_
 
,
 
I 
I 
l 
I 
1 I 
I 
I 
I 
I 
In
 
I 
I 
I 
I 
~o
: 
>
 
I 
1 :> 
I -r
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
b 
Para determ
inar o
 peso desse v
olum
e basta m
ultiplicá-lo pelo peso específico 
do co
n
creto arm
ado
.
 A
ssim
: 
N
ote-se que n
u
m
ericam
ente o
 peso por m
etro quadrado da laje depende 
apenas da altura da laje (h
1 aie ). A
ssim
, pode-se escrev
er: 
R
esum
indo, para determ
inar o
 peso da laje por m
etro quadrado basta 
m
ultiplicar a espessura da laje pelo peso específico do co
n
creto arm
ado. 
V
ale insistir que as o
utras dim
ensões da laje não im
portam
 n
o
 cálculo do seu
 
peso próprio, pois não interessa determ
inar o
 peso total da laje, m
as sim
 seu
 
peso por u
nidade de área. A
 espessura da laje pode ser adotada a partir da 
experiência pessoal o
u
 u
sando qualquer critério de pré-dim
ensionam
ento. 
1.2.2. 
Peso proveniente do re
v
e
stim
ento 
O
 peso do rev
estim
ento ex
ecutado sobre a laje v
aria u
m
 pouco em
 função 
da espessura do co
ntrapiso e do tipo de piso, se cerâm
ico, de m
adeira o
u
 
o
utro. Para os caso
s m
ais co
m
u
n
s pode-se co
n
siderar, a favor da segurança, 
o
 peso do rev
estim
ento co
m
o
 sendo de 7 OO!cgf/r~:·. 
1.2.3. 
Peso proveniente das c
a
rgas a
cidentais 
Este peso é definido pela N
orm
a B
rasileira. D
epende do tipo de 
u
so
 da 
edificação, se residencial, co
m
ercial o
u
 institucional, entre o
utros. 
Seguem
-se alguns v
alores prescritos pela N
BR 6120-Cargas para o
 cálculo 
de estruturas de edificações (Nov/1980): 
o
 
arquibancadas: 400/<g{/rn"· 
o
 
bancos: 200k9i/r:/ 
o
 
piso de edifícios residenciais: 7 50kgfln
; 
o
 
salas de aula de escolas: 300
:<gf/r:
·
·
' 
o
 
piso de escritórios: 200kçf/m~ 
o
 
piso de lojas: 400
.'<gf/m
·? 
o
 
lajes de forro: 50/<r:_J{Im' 
o
 
ginásio de esportes: 500
<&Jf/rn:' 
o
 
hospitais: 200!<gf/m;: 
o
 
restaurantes: 300kgF/:~J:· 
o
 
platéia de teatros e cinem
as: 400!<gF/n1: 
Exem
plo: 
D
eterm
inar as cargas que incidem
 n
a laje
.
 
D
ados: 
laje para u
so
 de escritório: 
carga acidental para piso de 
escritórios (CA 
=
 200kgf/m~' ), 
altura da laje (h
1 
.
 ) 
=
 O, 7 2rn
.
 
o1e 
5<ll 
-+
 
'!-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1 I I I I I I I I I I I I 
I 
.1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
' 
I 
-
·
 
I~ 
CAP
1TUi_O 
' 
-
"loções bós·c:cs 
peso próprio (ppla;e) 
=
 hla;e( m) X yCA(kgf,! m
) 
Ppl 
.
 
=
 O, 12
:-n x 2.500f<qfím
3 
=
 300/<af/rn:; 
a1e 
'""' 
u
 
P
P/aje 
=
 300/<gf!rn? 
rev
estim
ento do piso 
=
 1 OOI<gf/m
 
' (padrão) 
carga acidental 
=
 200!(g{/m:· (laje de piso para escritório) 
Total 
=
 600kg[/n; 
' 
1.3. C
argas que atu
am
 n
a
s
 vigas 
A
s vigas são
 co
n
sid
eradas elem
entos e
struturais lin
eares, logo as cargas que 
atuam
 sobre elas são
,
 tam
bém
, 
cargas distribuíd
as linearm
ente
.
 
A
s carg
as lineares que p
odem
 atuar em
 u
m
a vig
a são seu
 peso
 próprio, as 
cargas d
as lajes e a
s c
argas d
e alve
n
arias. 
J
-
-
·
-
alve
n
a
ria 
N
as vigas podem
, ainda, atuar cargas co
n
centradas devidas ao
 apoio de o
utras 
vigas. Essas cargas são as reações das vigas que n
elas se apóiam
. 
CAPÍTULO 1 
-
N
oções básicos 
1.3.1 
C
argas provenientes do peso próprio da viga 
Co
m
o
 o
 peso d
a viga é u
m
a
 carga linear sobre ela m
esm
a, p
ara determ
iná
-lo
 
calcula-se o
 peso d
o
 v
olu
m
e de u
m
 m
etro lin
ear d
e viga
.
 A
ssim
: 
1m
 
.h 
li 
-
li 
Vol(m
3j 
=
 1 (rn) x b(m) x h(rn) 
Peso próprio de 1 m
 linear de viga ( q 
) 
pp 
q 
(i<d) 
=
 1 rn
 x b
rn x h
n: x 2.500i<c::F/n; 3 
w
 
~
 
~
 
R
epare que o
 peso da viga independe do co
m
prim
ento podendo-se obter o
 
peso próprio m
ultiplicando-se diretam
ente as dim
ensões da seção transversal 
da viga (b e h) pelo peso especíico do co
n
creto arm
ado. A
ssim
: 
q 
(l<ci/rn) 
=
 (b 
x h)m
:: x 2.5001wf/nT
' 
pp 
'-
' 
I 
0 
1.3.2. C
argas n
a
s
 vigas provenientes das lajes 
Sabe-se que em
 função das relações entre seu
s vãos, as lajes podem
 se
r 
co
n
sideradas arm
adas em
 u
m
a só direção o
u
 em
 cru
z, o
u
 seja, quando u
m
 
dos vãos da laje tem
 u
m
a dim
ensão bem
 m
aior que o
 o
utro. E
m
 virtude da 
rigidez do vão m
en
o
r
,
 os esforços n
o
 vão m
aior são tão pequenos que podem
 
ser desprezados, co
n
siderando-se que apenas o
 vão m
en
o
r está sujeito ao
s 
esforços. N
este caso
, a laje é arm
ada apenas n
a direção em
 que o
s esforços 
são significativos, o
u
 seja, n
o
 vão m
en
o
r. Esse tipo de laje é denom
inado 
laje arm
ada e
m
 u
m
a só direção. Para fins práticos
,
 essa situação o
co
rre 
quando o
 vão m
aior é m
aior que o
 dobro do vão m
en
o
r (L >
 2 x 
.
€). 
Caso co
ntrário, o
s dois vãos apresentam
 esforços significativos e a laje é 
arm
ada n
as duas direções, denom
inando-se laje arm
ada em
 cru
z. 
N
a prática
,
 isso o
co
rre quando o
 vão m
aior é m
en
o
r o
u
 igual ao
 dobro do 
m
en
o
r (L 5
2
 x 
.
€). 
CAPÍTULO I 
-
Noc;ões bósicos 
L ::; 2 x e 
L 
>
 
2 X f 
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-~
 
-r-
la;e a
rm
ada e
m
 u
m
a
 só direção 
la;e a
rm
ada e
m
 cru
z 
1.3.2.1. C
argas n
a
s
 vigas provenientes das lajes 
a
rm
adas e
m
 u
m
a
 só direção 
N
o caso
 de laje arm
ada e
m
 u
m
a
 só direção, a distribuição de cargas aco
ntece 
apenas sobre as 
vigas do vão m
aior. Para entender o
 porque disso, basta 
im
aginar c
o
m
o
 a laje ro
m
peria, o
 que se
m
 dúvida deixa claro sobre quais 
vigas ela e
staria se apoiando. 
(L) lrn 
r 
..... 
...... 
~ 
-
·
-
"
-
-
-
-
-
1
; 
-------'~ 
.
 ~ 
linha de ruptura 
Para determ
inar a carga sobre a viga, tom
a-se a quantidade depositada e
m
 
u
m
 m
etro linear de viga. Para isso, tom
a-se u
m
a
 faixa da laje c
o
m
 u
m
 m
etro 
de largura. A
 carga sobre essa faixa é determ
inada m
ultiplicando-se a área 
dessa faixa pela carga por m
etro quadrado sobre a laje. A
ssim
, tem
-se: 
L 
-t 
L 
I 
•' 
•
 
-
.
-;.-
I 
C'l 
.
 
I 
l;;:;; 
I•
 
""" 
I 
lo 
.
.
.
.
.
.
.
 
-
I 
-
,(-
-
-
,é]m /--
q
1 
.
 (i<gf) 
=
 q
1 
.
 (kgf/m') x
 1 (rn) x
 R(m) 
O
IX
O
 
Ofe 
' 
Com
o m
etade da carga sobre essa faixa v
ai para cada u
m
a das vigas, tem
-se. 
q
.
 (i<gf)= (q
1
.
 (!<gf/rn;) x 1 (m) x R(m)) +
 2 
~
g
a
 
Ofe 
CAPÍT~JLO 1 
-
!\loções bósicas 
N
ote-se que n
u
m
éricam
ente 
o
 v
alor da carga n
a
 viga independe da largura 
da faixa, bastando m
ultiplicar a carga da laje pela m
etade do vão m
e
n
o
r da 
laje, o
u
 seja: 
R(m) 
x 
_
_
 
2 
O
bs: A
s lajes pré-m
oldadas co
m
portam
-se co
m
o
 lajes arm
adas e
m
 u
m
a
 só 
dirção (a direção das vigotas). Seu peso é dado e
m
 tabelas fornecidas pelos 
fabricantes e
m
 função do vão e da sobrecarga (acidental+ rev
estim
entos). 
1.3.2.2. C
argas n
a
s
 vigas provenientes das lajes 
a
rm
adas e
m
 c
ru
z 
Para entender c
o
m
o
 se dá a distribuição de cargas sobre as vigas que apóiam
 
u
m
a
 laje e
m
 cru
z, basta observar c
o
m
o
 se dá a ruptura desse tipo de laje. 
N
a laje arm
ada e
m
 cru
z, o
s m
o
m
entos fletores são significativos n
as duas 
direções. A
gindo c
o
n
c
o
m
itantem
ente e
m
 direções 
o
rtogonais, 
e
sse
s 
m
o
m
entos provocam
 u
m
 m
o
m
ento resultante que se dá e
m
 u
m
a
 direção 
inclinada e
m
 relação ao
s lados, co
n
siderada para fins práticos a 45°. 
5m
 
~ 
' 
45
°
 
I 
/I 
I 
~ 
I 
·I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
,I 
I 
,,. 
I C: 
'<C 
I 
5rn 
'(' 
'I 
~
 
l 
-linha 
de ruptura 
porção da laje 
sobre o
 vão m
aior 
D
esta form
a, a ruptura de u
m
a
 laje quadrada se dará ao
 longo das diagonais. 
N
o centro de u
m
a
 laje retangular, prevalece o
 m
o
m
ento n
a
 direção do m
e
n
o
r 
vão, dando-se a ruptura paralela ao
 m
aior vão. 
L 
f/2 
f/2 
L 
-(2 X f/2) 
=
 L 
-f 
CA
PÍTULO l 
-
N
oções básicos 
Considerando o
 caso
 m
ais genérico de lajes retangulares, pode-se perceber 
que as vigas do vão m
aior recebem
 u
m
 trapézio de carga e as vigas do vão 
m
en
o
r
,
 u
m
 triângulo
,
 o
u
 seja
,
 a form
a de ruptura m
o
stra co
m
o
 a laje apóia-
se e
m
 cada direção. U
m
a v
ez entendido esse fato, a determ
inação da carga 
e
m
 cada direção resu
m
e-se a calcular a área de carga sobre cada viga 
-
triângulo o
u
 trapézio 
-
e distribuí-la ao longo da viga.
Em
 o
utras palavras, 
n
a viga do lado m
aior, a porção de carga da laje que v
ai para ela é igual a 
área do trapézio m
ultiplicada pela carga por m
etro quadrado sobre a laje 
(peso próprio
,
 rev
estim
ento e carga acidental)
.
 
N
as vigas do lado m
en
o
r o
co
rre o
 m
esm
o
,
 apenas que a área de carga é u
m
 
triângulo. A
ssim
 sendo
: 
Cargas n
as vigas de lado m
en
o
r: 
,
 
h 
R(rn) 
f2(rn
2) 
a
re
ado triangulo 
=
 (f(rn) 
x
 2
) +
 2 =
 
4 
.
 
·
h
 
-
0• 
R
2(rn
2) 
carga total sobre o
 tnangulo 
=
 
q
1 aie (kgf/rn
"j x
 
4 
Com
o a carga sobre a viga é distribuída ao longo do 
seu
 co
m
prim
ento, 
divide-se a carga total pelo co
m
prim
ento da viga, o
u
 seja 
.e, assim
: 
f2( 
'I 
q
viga 
=
 
(q
laie (/<gf/m
2) 
X 
4 m
· /) +
 f(m) 
f 
' 
( 
'I 
f(rn) 
qviga (kgr/m) 
=
 
qloie (kg
r/rn
') 
X
 4 
Cargas n
as vigas de vão m
aior: 
,
 
,
 
R(;n) 
a
r
e
ado trapezio 
=
 {L(m) +
 (L(m)-
R(m))} +
 2 x
 2 
c
a
rga total sobre o
 trapézio 
=
 
qtrop 
D
ividindo pelo c
o
m
prim
ento da viga de vão m
aior ( L) e
 o
rganizando a
 
fórmula tem
-se: 
R
esum
indo, de todos esses cálculos o
 que é im
portante saber é : 
C
\PÍTUL() l 
-
N
ocoes bósicc:s 
-
carga n
a viga de vão m
en
o
r: 
r 
(
' 
'! 
'') 
R(m) 
q 
.
 (!w
r/m) =
 q 
.
 
rw
r 
'?
-:' 
x 
-
-
vtga 
v 
laJe
 
.,_
, 
4 
-
carga n
a viga de vão m
aior: , r; 
.. 1 
R(m) 
R(rn)) 
q 
fi<Of/:n)
=
 q 
.
 (K
c
r ill' 
x 
-
-
x (2-
L,~,-,-
.. ) 
viga 
1 
"
"
 
lare 
~ 
1 
4 
.
 
-
-
Exem
plo: Laje para piso re
sidencial. 
6
m
 
-
-
-
l 
-Cargas n
a laje: 
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- : I I I I I I I I 
Peso próprio 
=
 0
1 12
m
 x
 2.500kgf/m
3 
.
.
.
.
 =
 300kgf/m
2 
R
evestim
ento .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 =
 
1 OOkgf/m
" 
Carga acidental (piso residencial) 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 =
 
150kgf/rn
2 
qlaie 
9 
L
=
 550kgf/m
:' 
2-
Cargas n
as vigas V3 e V4 (vão m
en
o
r): 
_
 
1 
r; 
,;) 
R(rn) 
qvig
a
m
e
n
o
r
-
qlaie (.<gr 
11
' 
X
 
4 
5
m
 
q 
.
 
=
 550fwf/m
·' 
x
 
v1g
a
 m
e
n
o
r 
'- 1 
4 
q 
.
 
=
 687,5i<gf/m
 
v1go m
e
n
o
r 
3-Cargas n
as vigas Vl 
e V2 (vão m
aior): 
I 
'/ 
.1 
f(rn) 
(2 
Rrr>l)) 
q 
=
 q 
\ 1
<CT 
rn
'; x
-
-
X
 
-
-
-
viga m
aior 
laJe 
'J 
4 
L(m) 
5
rn
 
q 
=
 550i<cf/nl~· x 1,25
m
 x (2-
-6 
) 
vig
a
 m
aior 
'--' 
ITl 
q 
.
 
.
 
=
 687,5i<oF/n/ 
x 1, 17m
 
=
 804A
kç;f/m 
vtg
o
 m
o10r 
'-
' 
q 
.
 
.
 
=
 804A
I<of/rn
 
V!QOm
a
ro
r 
'-
"
 
C;"'PÍTUL0 l 
·
 i'Jocões bósiccs 
1.3.3. C
argas n
a
s
 vigas provenientes das alvenarias 
A
s alvenarias tam
bém
 depositam
 cargas por m
etro linear sobre a viga. 
Para determ
inar o
 peso da alvenaria sobre a viga, calcula-se o
 peso do v
olum
e 
de u
m
a
 faixa de alvenaria de 1 m
etro de largura ao longo do co
m
prim
ento 
da viga. 
~ ~~ 
h 
.
 
lo . 
L
-r, 
1
·
'
-
·
-
-
·
-
L 
R 
A
ssim
, tem
-se que o
 v
olum
e da faixa de alvenaria é: 
Vol 
=
 
7 (rn) x b(rr;) x h(m) 
o
nde b é a largura da alvenaria e h a su
a altura (a grosso m
odo co
n
siderada 
co
m
o
 a altura do pé direito). Para determ
inar o
 peso dessa faixa de alvenaria, 
deve-se m
ultiplicar o
 seu
 v
olum
e pelo peso específico da alvenaria, o
 que 
v
aria de aco
rdo c
o
m
 o
 tipo, se de tijolo, bloco o
u
 painel. 
O
s pesos específicos (v
1 
) das alvenaria m
ais u
sadas são: 
la
v
e
 
o
 tijolos de barro m
aciços rev
estidos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 
=
 7 .680~r 
1m
 
o
 tijolos cerâm
icos rev
estidos .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 
=
 
7. 120kf: JmS 
o
 blocos de co
n
creto rev
estidos .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 
=
 7 .250kg.lm
 l 
o
 blocos de co
n
creto celular rev
estidos .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 =
 
950kgi/m
 
·
 
Quando não houver inform
ação específica, pode-se co
n
siderar alvenarias 
externas c
o
m
 25c"~ e internas co
m
 7 5
cr·:
.
 R
ecom
enda-se, ainda, que m
esm
o
 
as alvenarias se
m
 acabam
ento co
n
sidere-se sem
pre co
m
o
 rev
estidas, pois 
isso pode aco
ntecer n
o
 futuro
.
 
A
ssim
, o
 peso dessa porção de alvenaria passa a ser: 
qalve (!<gfj 
=
 7 (r~:) x b(:ll) x h(r:;) 
x y da alvenaria(:<s'/m') 
CA
PÍTUlO l 
-
N
orpes bós;cos 
N
esta relação, o
 peso da alvenaria independe da largura da faixa de alvenaria 
e pode se
r n
u
m
ericam
ente expresso da seguinte form
a: 
qalve (kg{/rn) 
=
 b(m) 
x h(n;) 
x 
'Ya!ve (i<gr/íil i) 
Exercícios sobre cálculo de cargas sobre vigas: 
Exem
plo: 
Calcular as cargas sobre a viga VJ 
6 
' ' 
I 
.
.
 
I 
.
.
 l 
I 
' 
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
D
ados: 
C
=:::J 
laje para u
so
 co
m
ercial: 
carga acidental para piso de escritórios (CA=200(;:y{/m:
·) 
altura da laje (h
1 
.
 ) 
=
 O, 7 2
rn 
OJe 
rz;z;z::a 
alvenaria sobre a viga VJ de blocos de co
n
creto rev
estidos: 
Cargas: espessura (e) 
=
 O, 7 9:1~ 
(bloco de 7 4
crn c
o
m
 2,5
crn de rev
estim
ento de cada lado) 
altura (halv
e) 
=
 3
rn 
CP 
=
 carga perm
anente 
e CA 
=
 carga acidental 
CP 
=
 peso próprio da laje +
 peso próprio do rev
estim
ento 
CP 
=
 O, 7 2
n
 
x 2.5001<gf/mJ +
 7 OOi<of/:;1' (padrão) 
CP 
=
 400i<cflrr.-' 
Cargas sobre a laje ( q laje)
: 
q
1
.
 
=
C
P
+
 CA 
ate 
400
' 
r/ 
., 
200
' 
1
' 
~ 
ql 
.
 
=
=
 
i<Çr ;;;
·
·
 +
 
:<qr; rrr· 
OJe 
~
 
'--" 
qlaje 
=
 600kgf/n ,:; 
CAPITULO 1 •
 
oções bóstccs 
C
arga da laje sobre a viga VJ (qvíga): 
q viga 
=
 q la i e X ~· 
X (2 
-f) 
Oaje arm
ada e
m
 cruz, viga do vão m
aior) 
4m 
4m 
q 
.
 
=
 600kgf/m
2 X 
-
X (2 
-
-
)
 
~~ 
4 
6m
 
q. 
=
 6Q0kgf/m
2 X Jtn X ],33 
VIga 
q 
.
 
=
 798kgf/m
 
v1go 
C
arga da alvenaria sobre a viga VJ (qa/ve): 
r da alvenaria de blocos de co
n
creto rev
estidos 
=
 1.250kgf/rn
3 
q 
=
 O, 19m
 x 3m
 x 1.250kgf/m
3 
alve 
qolvé 
=
 71 2,5kgf/m
 
C
arga total sobre a viga V
 1 ( q ~ viga ) : 
q~ viga 
=
 712,5kgf/m
 +
 798kgf/m
 
q
1 
.
 
=
 
1.51 0,5kgf/m
 
V
lgO
 
Exem
plo: C
alcular as cargas sobre as vigas VJ 
e V2 
6,5m
 
6,5
m
 
~, v{=
"'""'
_
 
.. _
 
.
.
 
_
 
.. _
 
.. _m
"
-
·"
_"
_"
_=
"
_'111']" v,VJ Í 
: 
l 
-
-
-
-
-
J
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V2 
D
ados: 
!:=
::J 
laje para u
so
 residencial: 
c
a
rga acidental para piso residencial (CA= 150kgf/m
2) 
altura da
laje (h
1 
.
 ) 
=
 O, 1Om 
ate 
IZ!ZZã2l 
alvenaria sobre a viga V
I, de blocos de tijolos cerâm
icos rev
estidos: 
e
spessura (e) 
=
 0,22m
 
altura (hal ) 
=
 2,8m
 
ve 
CAPiTULO 1 
·
 Noções bósicas 
C
arga: 
C
arga CP 
=
 c
a
rga perm
anente 
e CA 
=
 carga acidental 
CP 
=
 pe o
 próprio da laje +
 pe o
 próprio do rev
estim
ento 
CP 
=
 O, 7 Om
 x 2
.500kgf/m
3 +
 7 OOkgf/m
 (padrão) 
CP 
=
 250kgf/mZ +
 7 00kgf/m
1 
C
P
=
 350kgf/m
·· 
obre a laie (q
1 
•
 ): 
'J 
a1e 
qio 
=
CP
+
 CA 
la 
q 
=
 350.~gf/m' 
+
 150kgf/m
1 
la f e 
q 
=
 500kgf I m
2 
lo1e 
Carga da laje sobre a viga VI (q
v;g): 
f. 
q 
-q
 
x
-
v>ga
-
lo/e 
2 
(laJe an
n
ada e
m
 u
m
a só direção o
nde L =
 6,5
m
 >
 2 x f 
=
 6,0
m) 
q 
=
 500kof/m
7 x 3
m
 
viga 
~ 
2 
q
vlgo 
=
 500kgf/m
2 x 1 ,5
m
 
q
wgo 
=
 750kgf/m
 
Carga da alvenaria 
obre a 
iga VJ (q
01
.
_
.): 
r da alvenaria de tijolo 
c
e
râm
ico 
rev
e tido 
=
 
1
.120kgf!m
3 
pe o
 da al en
aria (q
e1
.te) =
 0,22
m
 x
 2,8
m
 x
 1.120kgftm
 
q
olve 
=
 689, 92kg /m
 
Carga total 
obre a viga V7 (q
,
 viga)
: 
q
,
 YI{JO 
=
 q
olve +
 q
vigo 
q
,
viga 
=
 689
,92kgf/m
 +
 750kgf/m
 
q
tvogo 
=
 
7.439,92kgf/m
 
=
 1.440 kgf/m
 
CAPÍ-ULO I 
•
 
oções bósicos 
Exem
plo: 
C
alcular as cargas sobre as vigas. 
1 / 
5
,5
,n 
t 
; 
V1 
20
x40cm 
P2 
-r-
l
l
l
t
Z
2
Z
; 
;z;;zzzzzzz;m
zzL'ZZZZZZZZZ2.ZZZZZZZZf1 
L1 
~I I 
d 
=
 IOcm 
d 
=
 JOcm 
V3 20x30crn 
V4 20x30cm
 
Ps 
P6
-
+
 
'-"
·
 
3,5
m
 
j,.. 
2m 
~ 
~
-
-
-
-
~
-
-
-
-
~
-
~
,
-
-
-
-
-
-
~
1
 
Considerar: 
laje para piso de escritório 
~
 
alvenaria de bloco cerâm
ico: h 
=
 2,50m
 
I 
-C
argas n
a
 laje: 
Peso próprio 
=
 O, 7 Om x 2.500kgf/m
3 .
.
.
.
.
.
.
 
=
 250kgf/m
2 
R
evestim
ento .
.
.
 ,. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 
=
 
7 00kgf/m
2 
C
arga acidental (piso de escritório) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 
=
 200kgf/m
2 
qlaie 
c:::i> 
L 
=
 550kgf/m
2 
'2-C
argas devidas ao
 peso próprio (PP) da viga: 
,
-
,
 
(~.·' 
VJ (20 x 40cm) 
=
 V6 (20 x 40cm) 
PPV1,V6 
=
 0,20m
 x 0,40m
 x 2.500kgf/m
3 
=
 200kgf/m
 
CAPÍTULO 1 
·
 Noções bósicos 
·~_, 
V2(75x50cm) 
PPV2 
=
 O, 7 5m
 x 0,50m
 x 2.500kgf/m
3 =
 7 87,5kgf/m
 
~ 3) 
V3 (20 x 30cm) 
=
 V4 (20 x 30cm) 
PPV3,V4 
=
 0,20m
 x 0, 30m
 x 2.500kgf/m
3 =
 7 50kgf/m
 
:3) 
Vs (20 x 50c
m) 
=
 V7 (20 x 50cm) 
PPVs,V1 =
 0,20m
 x 0,50
m
 x 2
.500kgf/m
3 =
 250kgf/m
 
3 
-Cargas n
as vigas devidas às alvenarias. 
Incidência do peso da alvenaria sobre as vigas: 
~
 
VJ. V3 V4
.
 Vs
,
 V6
e
 V7 
PPalv 
=
 0, 20
m
 x 2,50
m
 x 7
.
 7 20kgf/rn
3 =
 560kgf/m
 
I 
I 
I 
I 
1 
/ 
/ 
/_ 
-
peso específico do bloco cerâm
ico 
I I 
L 
pé-direito 
V2 
PPalv 
=
 O, 7 5m
 x 2,50
m
 x 7. 7 20kgf/m
3 =
 420kgf/m
 
4 
-Cargas n
a
s vigas devidas às lajes: 
1/ 
L
=
 5,5m
 
+
 
J-
VJ 
{600.0 
'm) 
L
::;; 2 X l 
! 
L1 
E' 
5,5
m
 <
 2 x3
m
 
-~J 
j 
"' 
d 
=
 JOcm 
"
' 
~ 
~ 
5
,5
.
 1 <
 6
m
 
::!. 
::!. 
~ 
~ 
., _
_
 
(600,0 
laje a
rm
ada e
m
 c
ru
z
 
"' 
.
.
 
V2 
CAPÍTULO l 
-
N
oções básicas 
-~
 
V2 
L~ 2 xf 
rmo~~ 
~
 
E 
s 
~
 
3 
li 
o
 
~
 
~ 
~ 
~
 
/ 
LV3 
/i 
~ 
L2 
c
, 
d 
=
 70 
ª ~ ~ 
(393,0 k~lfm) 
L=
 3,5m
 
)~ 
(0,0 kgflm) 
L3 d =
 70cm
 
(O,DkCJI 
m) 
.
€
 
=
2m
 
E 
l() 
~
 li 
3,5m
 
<
 2
x2
m
 
3,5m
 
<
 4m
 
.
.
 
laje a
n
n
ada e
m
 cru
z 
L>
 2 X l 
4,5
m
 >
 2 x 2
m
 
4,5
m
 >
 4
m
 
.
 
.
 laje a
n
n
ada e
m
 u
m
a
 só direção 
Cargas n
as vigas V7 e V2 devidas a L 7 (vão m
aior): 
3m
 
3m
 
qviga m
aio
r=
 550kgf!m
2 X 4 
X (2-5,5m) 
qvigo m
aior 
=
 600kgf/m
 
Cargas n
as vigas V2 e V3 devidas a L2 (vão m
aior): 
q 
=
 q 
.
 X !:_X (2 
-!_ ) 
viga m
aio
r 
lo1e
 
4 
L 
2m
 
2m
 
q
vigo m
aior 
=
 550kgfjm
2 X 4 
X (2-3,5m) 
CAPÍTULO l 
-
N
oções básicas 
q 
.
 
.
 
=
 393kgf/m
 
v
rga m
a
ro
r 
Cargas n
as vigas V5 e V7 devidas a L 7 (vão m
en
o
r): 
l 
qviga m
e
n
o
r
=
 qlcje 
X 4 
q 
=
 550kgf/m
2 x 34 m
 
=
 4 7 2,5kgf/m
 
viga m
e
n
o
r 
Cargas n
as vigas Vs e V6 devidas a L2 (vão m
en
o
r): 
f 
qvigc m
e
n
o
r
=
 q
lcje 
X
 4 
.
 
2m
 
qviga m
e
no
r
=
 550kgf/m
2 X
4 
=
 275kgf/m
 
Cargas n
as vigas V6 e V7 devidas a L3 (vão m
aior): 
l 
q 
=
q
 
X
-
viga m
aio
r 
laje 
2 
2m
 
qviga m
aior 
=
 550kgf/m
2 X
 2 
=
 550kgf/m
 
O
bs: 
V2 e V4 não recebem
 carga da laje L3 (annada e
m
 u
m
a
s/o direção). 
R
esum
o das cargas: 
V7 (20 x 40cm) 
PPviga 
alvenaria 
laje 
200kgf/m
 (_!) 
560kgf!m
 r~ 
600kgf/m
 
}; 
=
 7 .360kgf/m
 
}; 
=
 7,36tf/m
 
CAPiTULO I 
·
 Noções básicos 
llllllll H
=
 Jl.B4tf{nf 11111111 
.6. 
icl 
l 
5
,5
m
 
-t~p,--------~~-----------t~~ 
V2 (JS x
 SO
em) 
trecho 1 
PP
vigo 
7 87,Skgf/m
 
"2) -" 
alvenorio
 
·
-
-
-
-
420kgf/m
 
8) 
LI 
=
 600kgf/m
 
laje 
-
-
-1 t 
V3 (20 x 30
cm) 
L2 
=
 393kgf/m
 
L 
=
 1
.600,Skgf/m
 
L 
=
 1,6tf/m
 
trecho 1 
3,571 
5
,5
m
 
PP
vigo 
-
-
-
-
-
7 SOkgf/m
 
'3' 
' 
.
.
.
 
alvenaria
 
S60kgf/m
 0 
laje 
L2 
=
 
393kgf/m
 
L 
=
 1
.103kgf/m
 
L
=
 1,1tf/m
 
2
m
 
trecho 2 
187,5kgf/m
 ti) 
o
 
LI 
-
-
600kgf/m
 
I 
=
 787
,5kgf/m
 
I=
 0,79/f/m
 
P3 
CAPITUlO l 
·
 N
ocões básicas 
V4 (20 x 30
cm) 
PPviga 
alvenaria 
laje
-
-
-
-
-
-
Vs (20 x SO
em) 
150kgf/m
 (D 
560kgf/m
 
1 A'. 
\.:...:' 
o
 
L 
=
 710kgf/m
 
E
=
 0
,77tf/m
 
trecho 1 
P
P
vigo 
-
-
-
-
-
250kgf/m
 ~
 
olvenorío
 
-
560kgf/m
 ,~-, 
laje 
-
-
-
L2 
275kgf/m
 
I 
=
 1
.085kgf/m
 
I
=
 1,09tf/m
 
2m 
-
t-
-
-
=
.:..:..--
-t!.-
Ps 
P6 
trecho 2 
250,0kgf/m
 
'4) 
560kgf/m
 0 
L1 
412,5kgf/m
 
E 
=
 1
.222,5kgf/m
 
I 
=
 1,22tf/m
 
trecho 2 
2
m
 
3
m
 
5
m
 
CAPÍTULO I 
-Noções básicas 
V6 (20 x
 40cm) 
trecho 1 
PPviga 
200kgf/ m
 (D 
alvenaria 
-
-
-
-
-
-
-
-
560f<gf/m
@
 
laje 
·
-
-
-
-
·
 
-
·
·
-
-
-
-
-
L3 
-
·
 550kgf/m
 
-
-
-
-
-
I; 
=
 1.310kgf/m
 
E
=
 1,31tf/m
 
trecho 7 
trecho 2 
trecho 2 
200kgf/m
 Q) 
o
 
I 
L2 
=
 275kgf/m
 
_
I L L3 
=
 550kgf/m
 
E 
=
 1.025kgf/m
 
E 
=
 1,03tf!m
 
1 qi=l 7f 0~:3tf!rr
j 0n~ -~ 
-l-..:::..:..__2,5m_
~
f~ 
4,5m
 
Ps 
V2 
V7 (20 x
 SOem) 
trecho 1 
PPviga 
250kgf/m
 4) 
trecho 2 
250kgf/m
 r i) 
560kgf/m
 
r 
alvenaria 
560kgf/m
 \~' 
laje 
-
-
-
-
-
L3 
-
550kgf/m
 
E 
=
 1.360kgf/m
 
E 
=
 1,36tf/m
 
trecho 7 
L1 
-
·
 
412,5kgf/m
 
E 
=
 1.222,5kgf/m
 
E 
=
 1,22tf/m
 
trecho 2 
A 
~~ 
4,5m
 
P3 
-
-
3m
 
1 
7,5m 
~P-6-
-
-
-
-
-
~
-
-
-
-
-
-
-
~ 
CAPÍTULO 2 
C
álculo 
dos esforejos e
m
 vigas isostáticas 
CAPITULO
 2 
-C
âlculo dos e
sforços e
m
 vigas isostâticos 
2. Conceitos gerais 
2.1. Conceito de m
o
m
e
nto 
É im
portante lem
brar que m
o
m
ento é u
m
 esforço que provoca giro. 
À prim
eira vista a palavra m
o
m
ento não apresenta qualquer relação c
o
m
 a 
palavra giro. N
o entanto, elas estão ligadas por u
m
 fato histórico: 
n
a
 
antiguidade, o
 tem
po (momento) era m
edido co
m
 relógios de sol, instrum
ento 
co
n
stituído por u
m
a
 haste v
ertical que, projetando su
a so
m
bra n
u
m
 plano, 
indica a altura do Sol e as horas do dia. A
ssim
 o
 tem
po (momento) era 
m
edido pelo giro aparente do Sol e
m
 tom
o da Terra. 
Para o
co
rrer u
m
 giro o
u
 m
o
m
ento físico é n
ecessário que existam
 duas forças 
iguais, de m
e
sm
a
 direção, de sentidos co
ntrários e não colineares, o
 que se 
denom
ina binário. 
Quanto m
ais afastadas e
stiverem
 as forças 
m
aior será a intensidade de 
giro. Isso é fácil perceber quando se tira o
 parafuso da roda do carro
. Quanto 
m
aior for o
 braço da ferram
enta m
en
o
r será a força n
ecessária para provocar 
o
 giro do parafuso. 
FI >F
2 
-
-
-
-
-
-
-
'
 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esforços em
 vigas isostóficas 
M
atem
aticam
ente, pode-se traduzir esse fenôm
eno pela relação: 
M
 
=
 F
xd 
Exem
plo: Seja determ
inar o
 v
alor do m
o
m
ento da força 
f7 
=
 
2,0tf e
m
 
relação ao
 ponto P 7. 
'" P1 
D
enom
ina-se distância da força a
o
 ponto à m
en
o
r distância entre a linha de 
ação da força e o
 ponto. 
d 
Suponha o
 v
alor de d 
=
 4m
, logo o
 m
o
m
ento de f7 
e
m
 relação a P7 
será: 
M
 
=
 F1 X d 
M
 
=
 2
,0tf
x
4
m
 
M
 
=
 Btfm 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esforços em
 v1gos isostóficos 
2.2. Estrutura isostática 
-
C
onceitos básicos 
Lem
brar que estrutura isostática é aquela que apresenta as m
ínim
as co
ndições 
de estabilidade, o
u
 seja, não se m
o
vim
enta n
a
 horizontal, não se m
o
vim
enta 
n
a
 v
ertical e não gira e
m
 relação a qualquer ponto do plano. 
A
 figura abaixo m
o
stra u
rn
a estrutura isostática. 
vínculo 
a
rticulado 
m
óvel 
I 
/ 
I 
vínculo 
/ 
a
rticulado 
/ 
fixo 
-
-
-
pin
o
 
A
 viga apresentada n
a
 figura acim
a é denom
idada viga biapoiada, o
 que 
parece óbvio. Esta viga apresenta dois tipos de vínculos n
o
s seu
s apoios. 
N
o apoio esquerdo, o
 vínculo é articulado m
óvel
,
 pois perm
ite que a viga 
gire e se desloque n
a
 horizontal. O
 vínculo da direita é u
m
 vínculo articulado 
ftxo, pois apesar de a viga poder girar e
m
 relação ao
 pilar, o
 pino im
pede seu
 
deslocam
ento horizontal. 
giro e 
.
.
.
.
 
.
/
 
deslocam
ento 
horizontal 
apenas giro 
Esquem
aticam
ente, a viga pode ser representada co
nform
e a figura abaixo. 
representação e
squem
ática 
CAPÍTULO 2 
-C
álculo dos esfo
rços em
 vigas isostóticas 
U
m
a barra fixada em
 u
m
a única extrem
idade, em
 u
m
 apoio m
uito rígido, 
tam
bém
 é u
m
a viga isotática. Para isso, o
 único vínculo da viga deve ser 
engastado, o
u
 seja, não perm
itindo o
 giro e n
em
 deslocam
entos v
erticais e 
horizontais. 
não se desloca n
a
 vertical
,
 
n
e
m
 n
a
 horizontal 
e não giro 
=
 
vínculo e
ngastado 
vínculo 
.
 
~·. 
e
ngastado 
1
-----------
repre
se
ntação e
squem
ática 
U
m
a viga co
m
o
 essa, co
m
 u
m
 único apoio engastado, é denom
inada viga 
e
m
 balanço. 
A
s vigas biapoiadas podem
 tam
bém
 apresentar balanços e
m
 u
m
 o
u
 e
m
 
am
bos o
s extrem
os. 
balanço 
balanço 
vão 
I I 
CAPÍTU
LO
 2 
-Cólculo
 dos esforços em
 vigos isostóticos 
2.2.1. Esfor~os n
a
s vigas isostáticas 
Quando carregadas por u
m
a o
u
 m
ais forças, as vigas isostáticas deform
am
-
se de m
an
eira que su
as seções, antes paralelas, giram
 u
m
as em
 relação às 
o
utras, de form
a que se afastam
 em
 u
m
a das faces e se aproxim
am
 e
m
 
o
utra. 
I 
I I I I I I ) 
seções se
 afastam
 I 
I 
I 
seções 
se
 aproxim
am
 
I I / I 
1 seções 
se apro
xim
a
m
 
I 
.seções se
 afastam 
I 
CAPÍTULO 2 
-C
álculo dos e
sforços em
 vigas isostáticos 
I I 
seções se 
aproxim
am
 
seções se 
1 afastam
 
' 
I 
seções se 
afastam 
seções se 
,
 aproxim
a
m
 
f 
E
m
 todas essas situações, as vigas se deform
am
 de m
an
eira que e
m
 relação 
ao
 eixo reto o
riginal aparecem
 flechas. flecha 
Este fenôm
eno é por isso denom
inado de flexão e o
 esforço que provoca o
 
giro das seções e o
 aparecim
ento de flechas ao
 longo da viga, de m
o
m
ento 
fletor. Sem
pre que o
 m
o
m
ento fletor v
aria de u
m
a
 seção para o
utra, o
 que é 
m
ais freqüente, aparece n
a
 viga a tendência de esco
rregam
entos transversal 
e longitudinal entre as seções v
erticais e horizontais da viga. 
e
sco
rregam
ento longitudinal 
CAPÍTULO 2 
-C
álculo dos e
sforços ern 
vigas isostáticas 
e
sco
rregam
ento transversal 
A
o esforço que tende a provocar o
 esco
rregam
ento das fatias longitudinais 
e transversais dá-se o
 n
o
m
e de força co
rtante. 
Para co
m
provar que a força co
rtante sem
pre aparece quando há v
ariação 
do m
o
m
ento fletor, tom
e-se n
as m
ãos u
m
 m
aço de folhas de papel (umas 50 
folhas). A
plique-se e
m
 u
m
a
 das extrem
idades u
m
 giro (momento), deixando 
livre o
 o
utro extrem
o. 
O
bserve co
m
o
 as folhas esco
rregam
. 
e
sco
rregam
ento longitudinal das folhas 
CAPÍTULO 2 
-C
álculo dos esfo
rços em
 vigas isostáticas 
Esse fenôm
eno pode tam
bém
 ser observado n
a
 ilustração: 
-
'
-
-
-
'
-
-
-
esco
rregam
ento 
longitudinal das fatias 
E
m
 seguida, provoque co
n
co
m
itantem
ente giros de m
e
sm
a
 intensidade n
as 
duas extrem
idades
.
 
O
bserve que n
este caso
 não há m
ais esco
rregam
ento das tiras, pois o
 m
o
m
ento 
não v
aria de u
m
a
 extrem
idade à o
utra
.
 
não há esco
rregam
ento 
longitudinal das fatias 
-
Para dim
ensionar u
m
a
 viga a flexão deve-se determ
inar o
s v
alores de 
m
o
m
ento fletor e da força co
rtante de m
an
eira que se determ
ine a largura e 
altura de su
a seção, para que o
 m
aterial do qual é feita possa resistir às 
tensões de tração e de co
m
pressão provocadas pelo m
o
m
ento fletor e às 
tensões tangenciais o
u
 de cisalham
ento provocadas pelas forças
co
rtantes. 
C
om
o se v
erá m
ais adiante, as tensões de cisalham
ento provocam
 tam
bém
 
tensões de tração e de co
m
pressão e
m
 planos inclinados e
m
 relação a seção 
transversal da viga. 
CAPÍTULO 2 
-C
álculo dos e
sforços em
 vigas isostáticas 
2.3. Equilíbrio e
xterno das vigas 
-
Cálculo das reaejões de 
apoio 
2.3.1. V
igas biapoiadas s
e
m
 balanejos 
O
 equilíbrio externo das vigas depende das cargas que atuam
 sobre as vigas 
e das reações a essas cargas provocadas pelos vículos, denom
inadas reações 
de apoio. A
s prim
eiras cargas são denom
inadas cargas externas ativas e as 
segundas, reativas. 
Em
 u
m
a
 viga, as cargas externas ativas são: cargas distribuídas decorrentes 
do peso próprio da viga; as cargas aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as 
cargas co
n
centradas devidas a o
utras vigas que n
ela se apóiam
. 
Para determ
inação das cargas externas reativas, é n
ecessário co
nhecer-se 
as forças de reação que c
ada vínculo é capaz de adm
itir. 
A
ssim
, u
m
 apoio articulado m
óvel, que perm
ite giro e deslocam
ento horizontal, 
só reage a forças v
erticais. Portanto, esse vículo só adm
ite reação v
erticaL 
O
 vínculo articulado fixo, por im
pedir deslocam
ento v
ertical e horizontal, 
adm
ite reações v
ertical e horizontal. O
 vínculo engastado, que im
pede rotação 
e deslocam
entos, adm
ite reação v
ertical, horizontal e m
o
m
ento. 
CAPÍTULO 2 
-
C
álculo dos e
sforços em
 vigas isostóticos 
Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga e
stiver e
m
 
equilíbrio estático v
alem
 as co
ndições de estabilidade já en
u
n
ciadas, o
u
 seja, 
não anda n
a horizontal, não anda n
a
 v
ertical e não gira. Essas co
ndições 
podem
 se
r traduzidas m
atem
aticam
ente pelas cham
adas equações da 
estática, o
u
 seja: 
-
não anda n
a horizontal 
r::) 
L FH 
=
 o
 
-
não a
nda n
a v
ertical 
r::) 
L FV 
=
 o
 
-
não gira 
r::) 
L M
B 
=
 O
 
O
BS: o
 sím
bolo L 
significa so
m
a. 
N
ão andar n
a horizontal significa que a so
m
a de todas as forças n
a horizontal 
(incluindo as projeções horizontais das forças inclinadas) deve resultar n
ula. 
O
 
m
e
sm
o
 para as forças 
v
e
rticais. N
ão girar significa que o
s giros 
(momentos) que as forças ativas e reativas tendem
 a provocar e
m
 relação a 
u
m
 ponto qualquer, preestabelecido, são n
ulos. 
Exem
plo: determ
inar as reações de apoio da viga da figura abaixo. 
A 
12,011 
B
 
A 
D_ 
3
m
 
2m
 
5
m
 
D
enom
inem
-se de A e B o
s apoios. Colocando a seguir as reações possíveis 
e
m
 c
ada tipo de vínculo, tem
-se: 
A 
12,011 
B 
H
 e 
~
 
~
 
' 
3
m
 
j 
2
m
 
-
-
-
,
 
5
m
 
VA 
Va 
Em
 seguida apliquem
-se as três equações da estática: 
L FH 
=
 O, 
L FV 
=
 O
 
e 
L FM
 
=
 O
 
CAPITULO
 2 
-C
álculo dos e
sforços em
 vigas isostóticos 
U
sando a prim
eira equação e co
n
v
en
cionando u
m
 sinal para as forças, o
u
 
seja, se a força horizontal tiver o
 sentido da esquerda pra a direita será positiva, 
caso
 co
ntrário n
egativa. Essa co
n
v
enção pode ser oposta a esta sem
 que o
s 
resultados sofram
 qualquer alteração. A
ssim
: 
LF
H
 
=O
, o
nde 
(+) 
e 
F 
(-) 
F 
-HB 
=
 O
 
-
-
-
-7 
HB 
=
 O
 
Com
o não existe n
enhum
a força horizontal atuando n
a
 viga, a equação resulta 
n
o
 óbvio, o
u
 seja, a reação horizontal n
o
 apoio B é zero
, não existe. 
A
plicando a segunda equação e tam
bém
 co
n
v
en
cionando que as forças c
o
m
 
sentido de baixo para cim
a são positivas e as de sentido co
ntrário n
egativas, 
tem
-se: LF
V
 
=O
, o
nde 
(+) 
F 
+
 VA-2,0tf +
 VB 
=
 O
 (equação I) 
VA +
 VB 
=
 2,0tf 
D
eve-se aplicar, 
ainda, 
a terceira equação, 
a que se 
refere a
o
 giro, 
co
n
v
en
cionando-se que se a força tender a fazer a viga girar n
o
 sentido 
horário, e
m
 relação a u
m
 ponto qualquer escolhido, ela será positiva, caso
 
co
ntrário n
egativa. A
ntes de aplicar e
ssa
 terceira equação é n
e
c
e
ssário 
e
sc
olher u
m
 ponto qualquer, 
m
a
s qualquer m
e
sm
o
, para se
 tom
ar o
s 
m
o
m
entos das forças ativas e reativas que atuam
 n
a viga. 
Para tornar o
 resultado m
ais rápido, reco
m
enda-se que o
 ponto escolhido 
(também denom
inado pólo de m
o
m
ento) para co
n
siderar o
s m
o
m
entos das 
forças, seja u
m
 dos apoios. 
Seja, n
este ex
em
plo, o
 ponto B o
 pólo dos m
o
m
entos. A
ssim
: 
M
 
M
 
LM
B
 
=O
, o
nde ~ e0' 
CAPÍTULO 2 
·
 C
álculo dos esforços em
 vigos isostóticos 
C
onsidere-se o
 m
o
m
e
nto de c
ada força, desconsiderando, e
m
 princípio, as 
dem
ai 
o
u
 
eja: 
l
2,0tf 
A 
B 
~,...---
-
-
-
-
-
-!..-
-
-
,D. 
3m
 
2
m
 
5
m
 
se
ntid_o
 ( +
 y
}
 ~ 
h
o
,án
o
 ( 
~ 
B
 
5
m
 
A 
r()jf 
,
 
á 
se
ntido (
-) \ 
1\ 
onli-ho,óâ~
 
A 
B
 
.
.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
,
7
\ 
tà 
~
 L 
Portanto, tem
-se: 
+
 VA x S
m
 
-2,0tf x 2m
 +
 VB x O
 =
 O
 
HB= o
 
+
-
-
-
m
o
m
ento d
eVA 
em
 re/oçõo o
 B 
m
o
m
ento
 de 2,0/f 
em
 relação a
 B 
m
o
m
ento
 de V
s 
em
 reloçõo a
 B 
CAPÍTULO 2 
-Cólcvlo dos esforços e
m
 vigos isostóficos 
C
om
o M
 
=
 F x d, n
o
 prim
eiro c
a
so
 tem
-se c
o
m
o
 força a re
ação VA, c
uja 
distância a
o
 pólo B é Sm. Sua tendência de giro e
m
 relação a B é n
o
 se
ntido 
horário. Som
a-se a e
sse
 m
o
m
e
nto o
 m
o
m
e
nto da força de 2, Otf, c
uja distância 
ao
 pólo B é de 2m
 e c
ujo se
ntido de giro e
m
 relação a B é a
nti-horário. 
N
o terceiro caso
, a linha de ação da reação VB passa pelo ponto B, logo su
a
 
distância a B é zero
, o
 que resulta e
m
 u
m
 m
o
m
ento n
ulo. 
C
om
pletando-se a equação 2
,
 tem
-se: 
VAx Sm
-4;0tfm
 
=O
 
Sm x VA 
=
 4,0tfm
 
4,0tfm
 
V
A
=
--
5m
 
VA 
=
 O,Btf 
Para determ
inar VB, substitui-se o
 v
alor deV
A
 n
a
 equação 1 
VA +
 VB 
=
 2,0tf 
O,Btf +
 VB 
=
 2,0tf 
VB 
=
 2,0tf-O,Btf 
VB 
=
 
7,2tf 
Exercício: 
C
alcular as re
ações de apoio para a viga da figura a seguir. 
A 
l2.0fl 11,011 
r
orr 
B
 
HB 
fà 
b 
2m
 
I 7m
 I 
I
,S
m
 I 1
,5
m
 
1 
6
m
 
V e 
IF
H
 
=O
,
 o
nde 
(+) 
(
-) 
~
e
~
 
-HB =
 0 ~
 HB 
=
 0 
CAPfTULO 2 
-Cálculo dos esforço
s e
m
 vigas isostóticos 
~FV 
=
O
, o
nde 
(+) t 
e lF 
F I 
(-) 
+
 VA-2,0tf-1,0tf-4,0tf +
 VB 
=
O
 
VA-
l,O
tf +
 VB 
=
 O
 
"3) 
VA +
 VB 
=
 l,O
tf M
 
M
 
~ M
B 
=
 O
 o
nde 
~
 
e r--
(+)d 
~(-) 
A 
B 
1 2,0ff 
B 
1 l,O
tf B 
r~tf 
B 
~
-
-
-.. +
 ~
 +
 ~
 
+
 e.c------I...--.~ 
+
 a~<"'"-----.6. 
14m! 
~
 
tfm
 
1 
(+VAx6m) (-2,0tfx4m)(-1,0tfx3m) (-4,0tfx7,5m) (+VBxO) 
+
 VA x 6m
 
-2,0tf x 4m
 
-
7 ,Otf x 3m
 
-4,0tf
x 7,5m
 +
 VB x O
 =
 O
 
+
 VA x 6m
 
-B
,Otfm
-3;0tfm
-
6,0tfm
 
=
 O
 
6m
 x VA-
7 7,0tfm
 
=
O
 
6m
 x VA 
=
 7 7,0tfm
 
VA 
=
 
7 7,0tfm
 
6
m
 
VA 
=
 2,8tf 
G) 
VA +
 VB 
=
 l,Otf 
2,8tf +
 VB 
=
 l,O
tf 
VB 
=
 l,O
tf-2,8tf 
VB 
=
 4,2tf 
V a 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esforços em
 vigos isostálicos 
Para sim
plificar o
 cálculo
,
 pode-se generalizar o
s resultados, u
sando u
m
a
 
força P qualquer atuando sobre a viga de vão f qualquer e distante a
 e b dos 
apoios A e B, respectivam
ente. 
A 
~-
r 
o
 
t 
b 
1 f 
~FH 
=
O
, o
nde 
-HB 
=
 0 
-
-
-7 HB 
=
 O
 
~FV 
=
O
, o
nde 
(+)r 
e I F 
F 
-
.v{
-) 
+
 VA-P +VB 
=
O
 
VA +
 VB 
=
 P 
Ci) 
L
M
B =O
, o
nde 
(+) 
+
 VA X f-
p X b +
 VB X o=
 o
 
+
V
A
xf-P
xb
=
O
 
VA X f=
 p X b 
P
xb 
V
A
=
-
-
f. 
VA +
 VB 
=
 P 
B 
H
 a 
b V a 
CAPITuLO 2 
-Cólculo dos esforços em
 vigas isostóticos 
P
xb 
-
f-
+
 VB 
=
 P 
V
 
_
 p 
P
xb 
B 
-
-
f 
VB 
=
 
p X
 f 
-p X b 
f 
VB 
=
 p X (f-
b) 
e 
V
erificar que
: 
N. ím
: f-
b 
=
 a, pois a +
 b 
=
 f 
VB 
=
 
P
xa 
f 
D
esta m
an
eira, basta aplicar diretam
ente essas relações genéricas, sem
 
n
ecessidade de se detenninar os v
alores das reações u
sando, toda v
ez, as 
equações da estática. 
Se houver m
ais de u
m
a
 carga n
a viga, faz-se o
 cáculo das reações parciais 
para cada carga, so
m
ando-se ao final esses v
alores parciais para obter a 
reação total e
m
 cada apoio. 
Exem
plo
: 
3
m
 
2
m
 
S
m
 
Vs 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esforços em
 11190S tsostot1cos 
N
e te ca o: 
A
ssim
: P =
 2, Otf, 
a
 
=
 3m
 b 
=
 2m
 
e
 f. 
=
 5m
 
VA=~ 
f 
VA 
=
 2,0tf x 2
m
 
=
 4
,0tfm
 
=
 O
,Btf 
Sm 
5
m
 
VA =
 O
,Btf 
V 
P
xa 
B
=
-
-
f 
VB 
=
 2,0tf x 3m
 
=
 
6,0tfm
 
=
 1
,2 tf 
5m
 
5m
 
VB =
 1,2
:f 
Exem
plo: A~------~l-Z_Ot-f~l~J-,0-H _
_
_
 l~4-,0-~--~B 
~
 
~
 
' 
~ 
j 
2
r1 
1 Jm
 
J,5m 
1,5!'1 
6
m
 
Vs 
A
 viga deste ex
em
plo pode ser decom
posta em
 três vigas, carregada cada 
u
m
a co
m
 u
m
a
 carga co
n
centrada. Calculam
-se o
s v
alores das reações para 
cada viga e so
m
am
-se esses v
alores parciais para obter o
 v
alor final. 
CAPfTULO 2 
-Cókulo dos esforços em
 vigos isostóticos 
8 
,
.
.
-
-
~
-
-
-
--.,..b._ 
VAI
=
 
P
xb 
I, 
6
m
 
VAI 
=
 2,0tf x 4
m
 
=
 B,O
tfm
 =
 1 ,3 tf 
6
m
 
6
m
 
P
xo 
V81 
=
-
-
f. 
VBI 
=
 2,0tf x 2
m
 
=
 4,0tfm 
::: Q,7tf 
6
m
 
6
m
 
2a Carga: 
rOl/ 
A 
!à 
3
m
 
I 
3
m
 
.
 
,
 
6
m
 
VA2 
1tf 
3 
3tfm
 
VA2 
=
 
.
 x 
m
 
=
 
-
-
=
 0,5tf 
6
m
 
6
m
 
V
82 
=
 
1 tf x 3m
 
=
 
3tfm
 
=
 O,Stf 
6m
 
6m
 
8 
~
 V82 
CAPÍTULO 2 
-Cólculo dos esforços em
 vigas isoslóficos 
3
1 Carga: 
1
4,011 
A
 
B 
fu)"r----
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-;;D_ 
4,5
m
 
l 
I,Sm 
6
m
 
VA3 
=
 4,01f x J ,5
m
 =
 6,0
rfm 
=
 
1 ,Otf 
6
m
 
6
m
 
V
83 
=
 4,0tf x 4,5
m
 
=
 J 8,0tfm
 
=
 3
,0if 
6
m
 
6m
 
Som
ando-
e o
 
v
alores parciai 
tem
-
e: 
VA 
=
VAI +
 VA2 
VA3 
VB 
=
 V8 7 +
 V82 +
 VB3 
VA 
=
 1,3tf +
 0,5tf +
 1 ,O
tf 
V8 
=
 0,7tf +
 0,5tf +
 3,0t
.f 
VA 
=
 2,8tf 
V8 
=
 4,2tf 
No ca o
 de c
a
rga 
u
nifonnem
ete di tribuídas 
obre a viga 
tai 
c
o
m
o
 
eu
 
peso próprio laje e alvenaria 
a-
e o
 artifício de 
ubstituir a carga di tribtúda 
pela 
u
a
 resultante .
 
4
m
 
V a 
CAPÍ U
lO
 2 
-C
ólculo dos e
sforço
s em
 vigas isostóticos 
C
om
o a carga distribuída é de 2,0tf/m
 e o
 seu
 co
m
prim
ento é de 4m
, su
a 
resultante é de P =
 2,0tf/m
 x 4m
 
=
 B,Otf, aplicada n
o
 m
eio, o
u
 seja: 
r
-
B,Off 
A .-:--
---.!...---7\~ B 
fd_ 
~
 
2
m
 l . 
2m
 
' 
4m 
4
m
 
V
 a 
V a 
U
sando as equações da estática, desconsiderando a que se refere a forças 
horizontais, já que só existem
 cargas v
erticais atuando sobre a viga, tem
-se: 
F 
I Fv 
=
o
 
(-) 
VA-4m
 x 2,0tf/m
 +
 VB 
=
 O
 
VA-8,0tf +
 VB 
=O
 
.!_.; 
VA+ VB 
=
 B,Otf 
M
 
M
 
.EM
B
=
O
 ;~e C 
VA x 4m
 
-B,Otf x 2m
 +
 VB x O
 =
 O
 
VAx4m
-
B,Otfx 2m
=
 O
 
VAx 4m
-
7 6,0tfm
 
=O
 
VAx4m
 
=
 76,0tfm
 
2
m
 
1 
4
m
 
2
m
 
Vs 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esíorços em
 vigas isoslóricos 
VA 
=
 
16,0tfm
 
4m
 
VA 
=
 4,0tf 
(D
 
VA +
 VB 
=
 B,Otf 
4,0tf +
 VB 
=
 B,Otf 
VB 
=
 B,Otf 
-4,0tf 
VB 
=
 4,0tf 
R
esultados que e
ra
m
 de se
 e
sperar: já que a c
a
rga é unifo~emente 
distribuída sobre toda a extensão da viga, m
etade de seu
 v
alor vru. para cada 
apoio. G
eneralizando, co
n
siderando a carga distribuída q e o
 vão f, tem
-se: 
A ~ 
R./2 
R./2 
e 
Vs 
Vs 
I
FV=O 
(+)F~ 
e I F \li f-) 
+
 VA 
-q X 
.e +
 VB 
=
 o
 
VA +
 VB 
=
 q X 
.e 
.EM
B
=
O
 
(+) 
CAPÍTULO 2 ~ Cólculo dos esforços em
 vígos isostóticos 
R 
VA X R-q X R
 X 
-
+
 VB X o
 =
 o
 
2 
q X f
2 
VAx.€-
-
-
=
O
 
2 
V
A
xf 
=
 
q
xP
 
2 
q X 
.{2 
V
A
=
-
-
2xf 
VA 
=
 
q X R 
2 
VA +
 VB 
=
 q xfJ. 
qx
l 
-
-
+
 VB= qx
.f 
2 
q
xf 
VB 
=
 q x
f-
-
-
2 
VB 
=
 2 X q X 
.e 
-q X 
.e 
2 
VB 
=
 q X R 
2 
Exem
plo : 
Calcular as reações de apoio da viga da figura. 
AI 
r
~ 1
,011 
1
=
 1,5t~m r
~3.~ 
IB 
~-
h,_ 
2
m
 
t 1 
3
m
 
2
m
 
lm
 
V
s 
Carga di tribuída: 
q 
=
 1,5tf/m
; R
= 7m
 
q x 
.e 
1,5tf/m
 x 7m
 
V
A
I=
--
=
 
=
 5,25tf 
2 
2 
qx
f 
1
,5tf/m
x
7m
 
VB7 
=
-
-
=
 
=
 5,25tf 
2 
2 
CAPÍTUlO 2 ~ Cólculo dos es o
rços em
 vigas isostóticos 
1 a Carga Concentrada: 
P7 
=
 1 ,Otf; 
a
 
=
 2
m
·
 
b 
=
 3m
 +
2
m
 
=
 5
m
 
VA2 
=
 Pl 
x b 
=
 
1,0tf x 5m
 
=
 O
,lltf 
.e 
7m
 
VB2 
=
 P x a
 
=
 
1,0tf x 2
m
 
=
 0,29 tf 
.e 
7m
 
2il Carga co
n
centrada: 
P2 
=
 3,0tf; 
a
 
=
 2m
 +
 3m
 
=
 5m
; 
b 
=
 2m
 
VA3 
=
 P2 x b 
=
 
3,0tf x 2m
 
=
 O,B6 tf 
l 
7m
 
P x a
 
3,0tf x 5m
 
VB3 
=
 
-
-
=
 
=
 2, 14tf 
fJ. 
7m
 
VA 
=V
A
I+ VA2 +
 VA3 
VA 
=
 5,25tf +
 0,71tf +
 0,86tf 
VA 
=
 6,82tf 
VB 
=
 VB I +
 VB2 +
 VB3 
VA 
=
 5,25tf +
 0,29tf +
 2, 14tf 
VA 
=
 7,68tf 
Com
o se viu, u
sando as fórm
ulas generalizadas, o
 cálculo das reações é 
bastante rápido, para qualquer carregam
ento. 
CAPiTuLO 2
-Cálculo dos esforços em
 vigos isostôticos 
2.3.2. Vigas e
m
 balanejo 
C
om
o foi visto, u
m
a
 viga e
m
 balanço é aquela e
m
 que u
m
a
 das extrem
idades 
é totalm
ente livre de apoio e a o
utra apresenta u
m
 apoio engastado. 
p 
o
 co
m
prim
ento do balanço 
se
ró identificado co
m
o
 
.fo 
C
om
o o
 vínculo engastado não adm
ite deslocam
entos horizontal e v
ertical 
e n
e
m
 o
 giro da barra, ele é capaz de absorver reações horizontais, v
erticais 
e m
o
m
ento. 
p 
NIA 
?, 
~
 
~ ~A 
i ~ % ;}' ~ 
bo 
f. o
 
VA 
U
 ando a 
equaçõe da estática tem
-se: 
~'""0 
IF
H
 
=O
, 
o
nde 
~
 
(
-) 
e
~
-
-
~
 
F 
r 
+
 H
A=
 O
 
-
-
-7 
H
A=
 O
 
O
 que e
ra
 esperado. 
CAPfTULO 2 
•
 Cólculo dos esforços em
 v1gas isosrólicos 
HJ 
F 
' 
IF
V
=
 O, 
2) 
o
nde 
e 
(
-) 
+
 VA-
P =
O
 
VA 
=
 P 
M
 
M
 
0) 
.EM
A=
 O, 
o
nde 
;:J 
e c) 
Lem
brar que a linha de ação da reação VA passa pelo ponto A, escolhido 
co
m
o
 pólo dos m
o
m
entos. Já o
 m
o
m
ento reativo MA, apesar de estar atuando 
n
o
 pólo A, não se an
ula, porque ele já é u
m
 m
o
m
ento e não u
m
a
 força, por 
isso não é m
ultiplidado por qualquer distância. A
ssim
: 
+
 VA x O
 -
M
A +
 P x bo 
=
 O
 
-M
A
+
P
xb
o
=
O
 
-M
A
=
-
P X bo 
M
A=
 Px b
o
 
O
 resultado é esperado, pois o
 m
o
m
ento de P e
m
 relação ao
 apoio é o
 seu
 
v
alor P m
ultiplicado pela su
a
 distância ao
 apoio, bo, portanto P x bo 
.
 
Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas 
co
n
centradas. 
Exem
plo: 
Calcular as reações de apoio para o
 balanço da figura. 
2,0t( r
"
 3,0rf 
NIA 
J 
~
 
~ ~A 
%
 
~ 
I 
~ ~ 
1m
 
2
-71 
1 
4
m
 l 
VA
 
CAPfTULO 2 
-Cólculo dos esforços em
 vigas isostólicos 
A
 viga da figura da página anterior pode ser decom
posta e
m
 três o
utras: 
c 
l
2,0tf 
~ ~A 
~~--~------------
~ ~
 
~ @ ~ f lm
 
-
VA 
3
m
 4
m
 
j 
VAl 
=
 2,0tf 
0/A 
=
 P) 
M
A
l= 2,0tf 
x 1m 
M
Al 
=
 2,0tfm
 
(MA 
=
 P x bo) 
VA2 
=
 7,0tf 
MA:2 
=
 1 ,Otf 
x
 3m
 
M
A2 
=
 3,0tfm 
3,0tf VA3 
=
 3,0tf 
fW.:3 
=
 3,0tf 
x 4
m
 
MA3 
=
 
7 2,0tfm 
Som
ando todas as reações interm
ediárias, tem
-se: 
VA 
=
 VAJ +
 VA2 +
 VA3 
VA 
=
 2,0tf +
 
7 ,Otf +
 3~0tf 
-
-7
 
VA 
=
 6,0tf 
M
A 
=
 M
A 1 +
 
/l/tl\2 
M
A3 
M
A 
=
 2,0tfm +
 3,0tfm +
 12,0tfm 
-
-
-7 
M
A 
=
 17,0tfm 
CAPÍTULO 2 
-Cólculo dos esforços em
 vigos isoslóticas 
N
o caso
 de carga dístribufda, u
sa-se o
 m
esm
o
 artifício já u
sado anteriorm
ente: 
substituí-se a carga distribuída pela su
a resultante. A
ssim
: 
F<Wri' I I I I I 
bo
 
VA 
=
 P =
 q xbo 
VA 
=
 q x bo bo 
bo 
M
A
=
 P
x
-
=
 q
x
b
o
x
-
2 
2 
bo 2 
M
A
=
 q x bo
2 
2 
co
m
o
 
q x
 lo 2 
bo
 
=
 
.eo 
-
-
-7 
M
A 
=
 
-
'
-
-
-
-
2 
A
s vigas biapoiadas, já estudadas, tam
bém
 podem
 apresentar balanços, o
 
que não altera o
s procedim
entos vistos. 
Suponha-se a situação da figura, o
nde só existe a carga P co
n
centrada aplicada 
no extrem
o do balanço: 
A 
B 
lp 
_&:à~--
-
-
-
-
E-.,..---~ 
i
-VA 
-
f
-
-
-
-
.l--
va 
bo 
ando as equaçõe da e tática 
tem
-se: 
.EFV 
=
O
 
("'-)
A 
I F 
F I e 
'V
(
-) 
+
 VA +
 VB
-P 
=
O
 
I 
VA +
 VB 
=
 P 
CAPITULO 2 
-Cólculo dos esforços em
 vigas isostóticas 
M
 
M
 
.EM
B =
 0 
~
e
~
 
+
 VA x
 R +
 VB x O
+
 P x bo 
=
O
 
VA
x R
=
-
P x b
o
 
VA 
=
 
_
 P x b
o
 
R 
O
 re
sultado n
egativo para a re
ação VA indica que e
stá o
c
o
rre
ndo u
m
 
arran
cam
ento n
o
 apoio. Esse efeito que o
 m
o
m
ento do balanço cau
sa n
as 
reações de apoio, aliviando o
 apoio oposto e sobrecarregando o
 apoio do 
balanço é denom
inado efeito de alavanca. Pois, n
essa situação, a viga se 
co
m
porta co
m
o
 u
m
a
 alavanca, u
sada para levantar pesos. 
CD VA +
 VB 
=
 p 
-
-
-7 
P x
 b
o
 
V
B
=
P
+
-
-
R 
P x bo 
-
-
+
V
B
=
P
 
R 
U
m
a o
utra m
an
eira de en
cam
inhar a solução e que pode agilizar os cálculos 
é 
c
o
n
siderar o
 
vão independente do balanço, 
c
alcular o
 balanço 
independentem
ente e aplicar o
 resultado ao
 vão. A
ssim
: 
A 
B 
r 
A 
t 
-~3 
-A 
e 
1-~
1 
1 
Para o
 balanço isoladam
ente tem
-se: 
Vbal 
=
 P 
~~
lp 
~
A 
~ ~
~
 
f 
b
o
 
-
-
Vba! 
M
bol 
=
 P x b
o
 
CAPITULO 2 
-Cálculo dos esíorc;os em
 vigas isos.tóticas 
A
plicando esses resultados ao
 vão, tem
-se: 
A 
v~~Pl
)
 
6i1.1<""·-.-
-
-
-
-
-
-
-Là; B 
M
bol =
 P x bo 
! 
f. 
-
r
-VA-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-1-
-Vs 
E
FV
=
 O
 
f-t-)/:\1 e !F 
F 
~ (-) 
+
 VA-P +
 VB 
=
O
 
VA +
 VB 
=
 P 
.EM
B =
 0 
VAx R
+
 P x O
+
 VBxO
 +
 M
bal 
=O
, co
m
o
 M
bal 
=
 P x
 bo, tem
-se: 
VA x R +
 P x bo 
=
 O
 
P x b
o
 
VA
=
-
-
-
R 
+
 VA
 +
 VB
 =
 P 
_
 
P x bo 
+
 VB 
=
 p 
R 
P x b
o
 
VB 
=
 P +
-
-
-
R
epare que os resultados são o
s m
esm
o
s. 
Prestando m
ais atenção ao
s v
alores obtidos, pode-se n
otar que
: 
VA 
=
 
_
 P x b
o
 
R 
CAPÍTULO 2 
•
 Cálculo dos esforços em
 vigas isostó1icos 
Sendo P x bo o
 m
o
m
ento devido ao
 balanço, tem
-se que a reação VA é o
 
m
o
m
ento do balanço dividido pelo vão, o
u
 seja: 
VA =
 
_
 M
bol 
t 
ou 
VA =
 
_
 P x b
o
 
.e 
Com
o P é a carga n
o
 balanço, tem
-se que a reação VB é igual às cargas 
existentes n
o
 balanço so
m
adas ao m
o
m
ento do balanço (P x bo )
,
 dividido 
pelo vão central
,
 o
u
 seja
: 
VB 
=
 p +
 M
bol 
.e 
ou 
V 
P 
P x b
o
 
B
=
 +
 
+
-
-
-
f 
Considere-se a situação apresentada n
a
 figura a seguir: 
2,0tf 
3,0tf 
lllld 
11
1 
D_ 
-
+
-
-
-
-
-3
_m
 _
_
_
_
 
-tJ---~2~m--~~7~m4 ~~ 
2~ 
-1 
5
m
 
I 
Calculando-se e
m
 prim
eiro lugar o
 balanço, tem
-se: 
Vbol 
=
 
q X 
.fo +
 P 
Vbal 
=
 2,0tf!m
 x 2m
+ 3,0tf 
Vbal 
=
 
7,0tf 
M
bal 
=
 
q x 
.e o
 2 +
 P x bo 
2 
M
bol 
=
 2
,0tf/m
 x ( 2
m
?
+
 3
,0tf x 1m
 
2 
M
bal 
=
 4,0tfm
 +
 3,0tfm
 
M
bal 
=
 7, Otfm 
J,Otf 
q 
=
 2,0tf/m
 
7 m
 (bo) 
2
m
 (fo) 
V boi 
CAPÍTULO 2 
-Cálculo dos esforços em
 vtgos isostóticos 
A
s im
, tem
-se: 
2,0tf 
Vbol =
 l,O
tf 
A !-1-..l.....l.....!....!.-'---"-J.....J....l-L.........._ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 _._~ B 
) 
Mbo< ~ 7
,011m 
3
m
 l 
2
m
 
5
m
 
Vs 
Considerando-se apenas o
 efeito do balanço n
as reações, tem
-se: 
M
b
l 
a
 
M~
 
r 1-
VA
 
=
 
-
-
;
-
\.:.1 
V