Apostila Completa Estatistica

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Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 1 
 
 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Medicina Veterinária e Zootecnia 
Departamento de Nutrição e Produção Animal 
 
VNP 
 
 
 
 
 
 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de 
Experimentos em Produção Animal 
 
 
 
25
35
45
55
65
750
75
150
225
300
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
pH
Concentrados
(%) Monensina(mg/dia) 
6.8-7.0
6.6-6.8
6.4-6.6
6.2-6.4
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Paulo Henrique Mazza Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pirassununga – SP 
2006 
 
2 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 2 
 
 
 
Classificação de Variável Resposta: 
 
Alessandra Soares 
 
A escolha da variável resposta compreende o processo de seleção e 
mensuração das características respostas para o experimento. A finalidade da 
classificação da variável resposta é facilitar a interpretação dos dados, produzido um 
resumo verbal ou numérico para descrever os pontos principais dos dados do 
experimento. 
O método mais apropriado para classificação da variável resposta dependerá 
da natureza dos dados. Variáveis em escala de medidas mensuradas com 
instrumentos como régua, balança, dosador a fim de se obter valores para 
comprimento, peso e volume são considerados Variável Categórica que podem ser: 
 
Quantitativos ou numéricos – São classificados como numéricos discretos (números 
inteiros): 
- contagem de ovos postos pela tartaruga marinha; 
- número de animais com febre aftosa no ano passado. 
 
Ou ainda classificados como numéricos contínuos (medida numa escala continua): 
 - volume, área, peso, massa (avaliação do ganho de peso num rebanho de 
gado de corte); 
 
Qualitativos ou categóricos – São classificados como nominais, por exemplo: 
- sexo: macho e fêmea. 
Ou classificados como categóricos ordinais, tais como: 
- animais jovens, adultos e idosos. Temos faixa etária como sendo uma 
variável ordenada categórica; 
 
Variáveis com escalas de medida intervalar (aproxima-se da concepção 
comum de medida) ou racional (razões iguais entre valores) são designadas 
Variáveis Continuas, elas são consideradas uma forma refinada de classificação, 
como segue abaixo: 
- Continua: números e frações – são valores numéricos distintos, podendo ser finito 
ou infinito. Exemplo: ganho de peso, produção de leite, idade de um animal é uma 
variável continua. 
- Descontinua – números inteiros – são valores numéricos isolados e finitos. 
Exemplo: quantidade de leitões nascidos de uma porca, número de cordeiros 
nascidos, quantidade de frutos em uma árvore. 
 
 Outros tipos de classificação: 
 
Quanto ao fluxo de resposta que pode ser: 
- Fluxo continuado – quando ocorre reutilização da unidade experimental – exemplo: 
ensaios de digestibilidade, cinzas ósseas para medir matéria mineral, ou área de 
olho do lombo por ultra-som, não sendo necessário realizar abate do animal para 
obter informações. 
3 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 3 
 
- Fluxo descontinuado – obtido uma única vez na unidade experimental – exemplo: 
rendimento de carcaça, cinzas na tíbia, área de olho de lombo convencional, há 
necessidade de realizar abate do animal para obtenção das medidas. 
 
Quanto a distribuição de freqüência: 
- Variável normalmente distribuída – exemplo: ganho de peso em novilhas, altura de 
cernelha em cavalos. 
- Variável com distribuição não normal – contagem de células somáticas no leite, 
titulação de anticorpos. 
 E o ultimo tipo de classificação da variável resposta que diz respeito a 
instabilidade: 
- pouco instável – intervalo de variação pequeno: pH ruminal, parâmetros produtivos 
em aves. 
- muito instável – grande intervalo de variação: amônia ruminal, OPG nas fezes. 
 
 
 
 
Média 
 
Ana Maria de Freitas Oliveira Moreira 
 
Definição 
 
É o resultado da divisão da soma de todos os elementos de um conjunto de 
números pelo número total de elementos do conjunto. 
 
 
Média = ( X1 + X2 + X3 + ..............+ Xn ) 
n 
 
Onde : 
 
n é o número total de elementos do conjunto; 
Xn é o valor numérico de cada elemento do conjunto . 
 
 
Características importantes da Média : 
 
- A unidade de medida da média é a mesma dos valores da variável ; 
 
- O resultado de multiplicar a média pela quantidade n de valores da variável X é 
igual à soma dos n valores da variável ; 
 
- A média está posicionada de forma equilibrada entre os valores da variável , isto é , 
os valores da variável se distribuem ao redor da média . 
 
- Os valores numéricos devem estar sempre na mesma unidade . 
 
Desvantagem da Média : 
4 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 4 
 
 
- Quando ocorrem valores muito extremos , ou muito discrepantes . Neste caso , ela 
passa a não representar tão bem a amostra . 
 
Como calcular a Média : 
 
Exemplo : 
Produção de leite (em kg/vaca/dia) 
 
15,8 13,2 
17,6 15,1 
13,8 15,5 
17,1 15,4 
15,6 16,7 
 
Média = 15,8 + 17,6 + 13,8+ 17,1 + 15,6 + 13,2 + 15,1 + 15,5 + 15,4 + 16,7 = 15,58 kg 
 10 
 
 
Neste caso , a média pode representar um valor a ser considerado ; porém se 
houver indivíduos com produção muito acima ou muito abaixo dos valores utilizados 
no exemplo , a Média tenderia a não representar tão bem a amostra . 
 
Ex .: Produção de 9,8 ou de 24,0 kg/vaca/dia . 
 
 
Considerações : 
 
Analisando o procedimento de cálculo da Média , pode-se inferir que : 
 
- Todos os valores da variável são incluídos no cálculo da Média ; 
 
- A Média é um valor único ; 
 
- A Média não é um valor resistente como a Mediana ou a Moda , porque mudanças 
nos valores da variável mudam o valor da Média ; 
 
- Nas variáveis com distribuição de freqüência simétrica , os valores da Média , 
Mediana e Moda coincidem , seus valores são iguais ; 
 
- Entretanto , se um ou mais valores da variável forem diferentes da maioria dos 
valores da amostra ( valor suspeito , extremo , “out lier” ) , a Média será uma medida 
distorcida da tendência dos valores da amostra . 
 
 Ex : A um rebanho que tem média de produção de 20 kg/vaca/dia é adicionado um 
animal com produção de 40 kg/dia . Os valores médios de produção irão aumentar 
apenas devido a um animal , não representando a realidade do rebanho . 
 
A Média , a Mediana e a Moda de uma variável serão iguais somente quando sua 
distribuição de freqüência for simétrica . 
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Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 5 
 
 
A comparação das medidas de tendência central de uma variável antecipa a forma 
de distribuição de freqüências da variável : 
 
- Se a relação entre as medidas de tendência central for Média > Mediana , a 
distribuição terá inclinação na sua parte direita . Esta inclinação será tanto mais 
acentuada quanto maior for a Média em relação à Mediana . 
 
- Se a relação entre as medidas de tendência central for Média < Mediana , a 
distribuição terá inclinação na sua parte esquerda . Esta inclinação será tanto mais 
acentuada quanto menor for a Média em comparação à Mediana . 
 
 
Vantagens e Desvantagens das Medidas de Tendência Central 
 
 
Vantagens Desvantagens 
Moda 
Fácil de calcular ; 
Não é afetada por valores extremos ; 
Pode ser aplicada em qualquer escala 
(nominal , ordinal , intervalar e 
proporcional) 
 
Pode estar afastada do centro dos 
valores ; 
Difícil de incluir em equações 
matemáticas; 
Não utiliza todos os dadosda variável ; 
A variável pode ter mais de uma Moda ; 
Algumas variáveis não têm Moda . 
Mediana 
Fácil de calcular ; 
Não é afetada por valores extremos ; 
É um valor único ; 
Pode ser aplicada nas escalas ordinal , 
intervalar e proporcional . 
 
Difícil de incluir em equações 
matemáticas; 
Não utiliza todos os valores da variável . 
Média 
Fácil de compreender e aplicar ; 
Utiliza todos os valores da variável ; 
É um valor único ; 
Fácil de incluir em equações 
matemáticas ; 
Pode ser aplicada nas escalas intervalar 
e proporcional . 
 
 
É afetada por valores extremos ; 
É necessário conhecer todos os valores 
da variável . 
 
 
Bibliografia consultada 
 
GOMES , Frederico Pimentel , 1984 , A estatística moderna na pesquisa 
agropecuária , Potafos , Piracicaba , 160 pg . 
GOMES , Frederico Pimentel , 2000 , Curso de estatística experimental , 14ª edição , 
F. Pimentel – Gomes , Piracicaba , 480 pg . 
LAPPONI , Juan Carlos, 2000 , Estatística usando Excel , Lapponi Treinamento e 
Editora , São Paulo , 450 pg . 
 
6 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 6 
 
MEDIANA 
 
Andréa Vaz 
 
 A estatística descritiva, como o próprio nome diz, é aquela que descreve os 
dados e, dentro desta, encontramos meios que nos ajudam a posicionar a Curva de 
Gauss no eixo. Esses meios são chamados de Medidas de Tendência Central. 
Dentre elas, destacamos: média, moda e mediana. 
 A média é o valor mais provável de uma variável x, ou seja, é onde há o 
equilíbrio. Pode-se dizer, que a média é o valor igual à soma dos dados de uma lista 
dividida pela quantidade de dados aí existente. 
 Já a moda, é o valor que mais se repete, ou seja, é o valor que ocorre com 
maior freqüência em uma lista de dados. 
A mediana é o valor que separa os dados ao meio, sendo que metade destes 
dados está abaixo e a outra metade está acima deste determinado valor. Somente 
este valor que está no meio é importante. Os outros valores são ignorados. 
Para se determinar a mediana quando for um número ímpar de dados, 
apenas localiza-se o dado central (que é a mediana) mas, quando o número de 
dados for par, é necessário tirar a média dos dois dados centrais (somar os dois 
valores e dividir por dois) para obter-se a mediana. Para facilitar, os dados devem 
ser colocados em ordem crescente. 
Dada a distribuição dos dados obtidos em um rebanho leiteiro (dados em 
litros de leite), observa-se: 
 
Tabela1. Distribuição de dados de produção leiteira de um rebanho leiteiro. 
 
Produção leiteira 
13,0 
14,0 
14,5 
15,0 
15,0 
15,5 
16,0 
16,0 
17,0 
19,5 
19,5 
 
 
Na tabela acima, observa-se 11 dados coletados sendo que, o dado “15,5”, é 
o que se encontra no meio, ou seja, tem-se 5 dados acima e 5 dados abaixo dele. 
Sendo assim, 15,5, é a mediana dos dados acima apresentados. 
 
 
 
Observando os dados de ganho de peso (gramas) de um experimento com 
frangos de corte, vê-se que existe mais de um dado central: 
 
 
7 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 7 
 
Tabela 2. Dados de ganho de peso (gramas) coletados em um experimento com 
frangos de corte. 
 
Ganho de peso (em gramas) 
 
12,3 
14,5 
14,5 
15,6 
16,7 
16,8 
17,8 
18,0 
 
 
A mediana, nos dados acima, será determinada pela média dos valores 
centrais (15,6, 16,7). Portanto, a mediana é igual a (15,6 + 16,7)/2, ou seja, 16,15. 
 
 
 Se média e mediana forem muito próximas, há maior probabilidade da Curva 
de Gauss estar equilibrada. Assim, quando uma distribuição de dados é 
razoavelmente simétrica, sem valores extremamente altos ou baixos, os valores da 
média e mediana em geral são muito próximos um do outro. 
 
 
 Mediana ≈ Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando os dados apresentam um valor muito acima ou muito abaixo dos 
outros dados obtidos, haverá um desvio na Curva de Gauss, podendo esta 
apresentar uma alteração em sua apresentação: 
 
 Mediana < Média 
 
 
 
 
 
 Mediana > Média 
 
 
 
 
 
8 
 
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Bibliografia 
 
DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. 1 ed. Saraiva: São 
Paulo, 1998. 455p. 
 
FREUND, John E.; SIMON, Gary A. Estatística Aplicada. 9a ed. Bookman: Porto 
Alegre, 2000. 404p. 
 
SAMPAIO, Ivan Barbosa Machado. Estatística Aplicada à Experimentação 
Animal. 1 ed. Fundação de Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinária: Belo 
Horizonte, 1998. 221p. 
 
VIEIRA, Sonia. Princípios de estatística. 1 ed. Guazzeli: São Paulo, 1998. 144p. 
 
VIEIRA, Sonia. Estatística experimental. 2a ed. Atlas: São Paulo, 1999. 185p. 
 
 
MODA 
 
Aryana Duckur Nunes 
 
 A moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma amostra, ou seja, 
o valor que mais se repete. Por exemplo, dado o conjunto de dados abaixo: 
 
Tabela 1: Produção leiteira diária de 15 vacas. 
12,5 litros 
13,0 litros 
13,0 litros 
14,5 litros 
15,0 litros 
15,0 litros 
15,0 litros 
16,5 litros 
16,5 litros 
17,0 litros 
18,0 litros 
18,5 litros 
20,0 litros 
20,5 litros 
21,0 litros 
 
A moda deste conjunto de dados é 15,0 litros, porque 15,0 é o valor que 
ocorre maior número de vezes, ou seja, 3 vezes no presente exemplo. Nenhum 
outro valor se repete tantas vezes. 
 
9 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 9 
 
 Podem existir conjuntos de dados que não apresentem moda, pois nenhum 
valor se repete, como apresentado no conjunto abaixo: 
 
1, 2, 3, 4, e 5 
 
Ainda, podem existir conjuntos de dados com duas modas ou mais, como, por 
exemplo, o seguinte conjunto de números: 
 
1, 2, 2, 3, 4, 4, e 5 
 
As modas neste caso são 2 e 4, uma vez que 2 e 4 se repetem com maior 
freqüência, ou seja, se repetem duas vezes cada número. 
 
 A moda pode ser obtida mesmo que a variável seja qualitativa ou semi-
quantitativa, ou seja, pode ser obtida de tabelas de distribuição de freqüência. A 
Tabela seguinte apresenta, como exemplo, a distribuição de freqüência de vacas 
leiteiras segundo o escore de condição corporal das mesmas: 
 
 
 
 
Tabela 2: Freqüência de vacas leiteiras segundo o escore corporal. 
Escore corporal Freqüência de vacas leiteiras 
1 2 
2 10 
3 47 
4 36 
5 5 
 
Segundo os dados apresentados na Tabela acima, o escore 3 ocorre com 
maior freqüência (47 vezes). Então, a moda deste conjunto de dados é o escore 3. 
 
Referências Bibliográficas 
 
GOMES, F. P. Iniciação à Estatística. 6. ed. rev. amp. São Paulo: Nobel, 1978. p. 
211. 
 
MAGALHÃES, M. N; LIMA, A. C. P. de. Noções de Probabilidade e Estatística. 4. 
ed. São Paulo: EDUSP, 2002. 392 p. 
 
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1980. p. 
196. 
 
 
QUARTIS 
 Flávio Alves 
 
10 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 10 
 
Definem-se como quartis os números que separam as observações de uma 
determinada amostra em quartos. Sendo separados, dessa forma, em quartil 1, 
quartil 2 e quartil 3. 
 - Quartil 1 (Q1): é o número que separa os dados 25% menores dos 75% 
maiores. 
 - Quartil 2 (Q2): é o número que separa os dados 50% menores dos 50% 
maiores. Portanto, é a própria mediana dos dados. 
 - Quartil 3 (Q3): é o número que separa os dados 75% menores dos 25% 
maiores. 
 Esta medida tem a vantagem de se utilizar a mesma unidade apresentada 
nos dados, como, por exemplo, kg, litro,grama, etc. 
 Tabela - Produção Leiteira (kg/vaca/dia) 
 
Q1 = 14,5 
Q2 = 16,5 
Q3 = 19,0 
 
 
 
 Na Tabela acima, a média entre 14,5 e 14,5 é o primeiro quartil, que separa o 
primeiro quarto dos demais. O valor igual a 16,5 é o segundo quartil, que separa os 
dois primeiros quartos dos demais, ou seja, a amostra em duas partes iguais. O 
valor igual a 19,0, obtido pela média entre 18,5 e 19,5, é o terceiro quartil, que 
separa os três primeiros quartos do demais. 
 
PERCENTIS 
Ainda, uma amostra pode ser dividida em percentis. Geralmente este método 
é utilizado em amostragens muito grandes e também tem a vantagem de manter a 
mesma unidade da variável analisada (kg, litros, grama, etc.). Comumente são 
utilizados 6 percentis para a caracterização de uma amostra: 
- 1%: 1% dos valores está abaixo deste dado e 99% estão acima. 
- 5%: 5% dos valores estão abaixo deste dado e 95% estão acima. 
- 10%: 10% dos valores estão abaixo deste dado e 90% estão acima. 
- 90%: 90% dos valores estão abaixo deste dado e 10% estão acima. 
- 95%: 95% dos valores estão abaixo deste dado e 5% estão acima. 
12,5 15,0 18,5 
13,0 15,0 19,5 
13,0 16,5 20,0 
14,5 16,5 20,5 
14,5 17,0 21,0 
11 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 11 
 
- 99%: 99% dos valores estão abaixo deste dado e 1% estão acima 
 
AMPLITUDE 
 
Iaçanã Valente Ferreira Gonzaga 
 
 
É uma medida de dispersão definida como a distância entre o extremo 
superior e o extremo inferior. 
 
 Embora simples de se obter, têm a desvantagem de não levar em 
consideração a dispersão de todos os dados de uma determinada amostra em 
relação a média, uma vez que se utiliza de apenas dois dados, o extremo superior e 
o inferior. Descuida do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre 
invalida a idoneidade do resultado, é apenas uma indicação aproximada da 
dispersão ou variabilidade. Deve ser considerada, ainda, a influência de possíveis 
“outliers”, que são dados discrepantes. Por estes motivos, é muito pouco utilizada 
como medida de dispersão dos dados em trabalhos científicos. 
 
 
 Exemplo 1) 
 
 Tomando o seguinte conjunto de números: 
 
2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10 e 12 
 
Temos que o extremo superior é igual a 12 e o extremo inferior igual a 2. 
Portanto, a amplitude é igual a 10 (12 – 2 = 10). 
 
 
 
Exemplo 2) 
 
 Apresentando os seguintes dados: 
 
 Dados de escore em vacas para produção leiteira: 
 
A B C D 
3 2 1 1 
3 3 2 1 
3 3 4 5 
3 4 5 5 
 
 
Amplitude do grupo A: 3 - 3 = 0 
Amplitude do grupo B: 4 - 2 = 2 
Amplitude do grupo C: 5 - 1 = 4 
Amplitude do grupo D: 5 - 1 = 4 
 
12 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 12 
 
Como podemos verificar, no nosso exemplo, temos 4 dados e usamos 
somente 50 % deles. 
 
A amplitude do grupo D é igual ao C, mas a dispersão entre os dados é 
diferente. No grupo D temos apenas dois tipos de escore, 1 e 5; enquanto que no 
grupo C temos 4 tipos diferentes de escore. Isto mostra que a amplitude, embora 
fácil de calcular, não deve ser usada normalmente como medida de dispersão, já 
que a amplitude nem sempre distingue conjuntos com dispersão diferente. 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 
 VIEIRA, Sônia; HOFFMAN, Rodolfo. Elementos de Estatística. São Paulo: 
Editora Atlas S.A., 1986. 159p. 
 
 CRESPO, Antônio Crespo. Estatística Fácil. 10a ed. São Paulo: Editora 
Saraiva, 1993. 224p. 
 
 FERREIRA, Daniel Furtado. Estatística Básica. 1a ed. Lavras: Editora 
UFLA,1995. 664p. 
 
 RODRIGUES, Paulo Henrique Mazza. Medidas de Dispersão, 03 de abril de 
2006. Notas de Aula. 
 
VARIÂNCIA (Var ou s2) 
 
Karen Peres 
 
A variância mede a dispersão dos dados em torno da média (Vieira, 1985), 
ou seja, quanto que cada indivíduo, em média, está se desviando da média. 
Ela é a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das 
observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de 
observações da amostra menos um. 
Mais detalhadamente, para o cálculo da variância é realizada a subtração de 
cada valor individualmente da média do grupo, sendo que cada resultado desta 
subtração é chamado de desvio. Então, este desvio é elevado ao quadrado, fazendo 
desaparecer todos os sinais negativos. Posteriormente, somam-se esses quadrados 
dos desvios (SQD). Por último e em se tratando de uma população, faz-se a média 
desses quadrados, obtendo-se a variância. Perceba que a média obtida dos desvios, 
sem antes elevá-los ao quadrado, resultaria em um valor igual a zero, não sendo 
possível calcular a dispersão ao redor da média. 
Já, no caso de se tratar de uma amostra, obtida de uma amostragem de uma 
população, devemos dividir a soma dos quadrados dos desvios pelo número de 
indivíduos da amostra menos um (n-1). Este valor (número de indivíduos da amostra 
menos um) é chamado de graus de liberdade. 
 Para se entender melhor o porquê se usa os graus de liberdade, vamos 
mostrar a explicação dada por Sampaio (2002). “Se uma variável foi descrita através 
de 30 observações, a estimativa de sua média foi obtida a partir de 30 graus de 
13 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 13 
 
liberdade. Entretanto, a estimativa de seu desvio padrão será obtida a partir de 29 
graus de liberdade porque um grau de liberdade será cobrado pela estimativa 
anterior daquela média, utilizada no cálculo do desvio”. 
 
Ex: 
Lote A Lote B Lote C Lote D 
Va
lo
re
s 
-
 
M
éd
ia
 
De
sv
io
 
De
sv
io
2 
Va
lo
re
s 
-
 
M
éd
ia
 
De
sv
io
 
De
sv
io
2 
Va
lo
re
s 
-
 
M
éd
ia
 
De
sv
io
 
De
sv
io
2 
Va
lo
re
s 
-
 
M
éd
ia
 
De
sv
io
 
De
sv
io
2 
3 -3 0 0 2 -3 -1 1 1 -3 -2 4 1 -3 -2 4 
3 -3 0 0 3 -3 0 0 2 -3 -1 1 1 -3 -2 4 
3 -3 0 0 3 -3 0 0 4 -3 1 1 5 -3 2 4 
3 -3 0 0 4 -3 1 1 5 -3 2 4 5 -3 2 4 
M
éd
ia
 
=
 
3 
 
SQ
D 
=
 
0 
M
éd
ia
 
=
 
3 
 
SQ
D 
=
 
2 
M
éd
ia
 
=
 
3 
 
SQ
D=
10
 
M
éd
ia
 
=
 
3 
 
SQ
D=
16
 
População: 
Var = 0/4 = 0 
População: 
Var = 2/4 = 0,5 
População: 
Var = 10/4 = 2,5 
População: 
Var = 16/4 = 4 
Amostra: 
Var = 0/3 = 0 
Amostra: 
Var = 2/3 = 0,67 
Amostra: 
Var = 10/3 = 3,33 
Amostra: 
Var = 16/3 = 5,33 
 
No exemplo, primeiro devemos fazer a média dos valores de cada lote. 
Assim, para o lote A, (3 + 3 + 3 + 3 / 4) = 3; para o lote B, (2 + 3 + 3 + 4 / 4) = 3; e 
assim para os outros lotes. Em poder da média, cada valor individualmente é 
subtraído da média do seu lote, dando o desvio para cada valor. Assim, para o lote 
A, o primeiro valor que é 3, é subtraído da média do lote que é 3, dando o desvio 
igual a zero. Isso é feito para cada valor, de todos os lotes. Outro exemplo, no lote B, 
o primeiro valor é igual a 2 e ele é subtraído da média do lote B que é 3, resultando 
num desvio igual a -1. Depois, para calcularmos a média dos desvios, deveríamos 
fazer a soma dos desvios e dividir pelo número de observações. Contudo, se 
fizermos a soma dos desvios, o valor resultante sempre será igual a zero, por 
exemplo, como visto no lote B, (-1) + (0) + (0) + (1) = 0. Por causa disso, com o 
intuito de sumirmos com os valores negativos e a média dos desvios não dar igual a 
zero, devemos elevar o valor de cada desvio ao quadrado, antes de realizar a média 
destes. Os valores dos desvios ao quadrado estão demonstrados na quarta coluna 
de cada lote. Agora sim poderemos fazer a soma dos quadrados dos desvios (SQD). 
Podemos ver,no exemplo, que para o lote A, a SQD dá 0, pois 0 + 0 + 0 + 0 =0; 
para o lote B, a SQD resulta no valor 2, pois 1 + 0 +0 + 1 = 2; para o lote C a SQD 
resulta em 10 (4 + 1 + 1 + 4) e para o lote D, a SQD resulta em 16 ( 4 + 4 + 4 + 4). 
Em poder das SQD para cada lote, agora devemos fazer a média destes valores, 
que é o que chamamos de variância. Como já explicado, se tivermos todos os dados 
da população a média será igual a SQD dividido pelo número de dados, como no 
exemplo para o lote B, SQD/ n = 2/4 = 0,5, portanto a variância é igual a 0,5 para o 
lote B. Entretanto, como normalmente dispomos de uma amostra da população, 
devemos dividir a SQD pelos graus de liberdade, ou seja, pelo n-1; assim para o lote 
14 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 14 
 
A, devemos dividir a SQD por n-1, ou seja, 0/(4-1), que dá a variância igual a 0; para 
o lote B, 2/(4-1) = 0,67; para o lote C, 10/(4-1) = 3,33 e para o lote D, 16/(4-1) = 5,33. 
 
 
Fórmula: 
 
 Variância (Var ou s2) = Σ (desvios)2 ou Variância (Var ou s2) = Σx2 – (Σx)2 
 n-1 n 
 
 n-1 
 
 
 Para utilizarmos a primeira fórmula, precisamos obter os desvios. Já a 
segunda fórmula, é uma forma de obtermos a soma de quadrados dos desvios 
(SQD) sem ser necessário obter os desvios, pois, como se pode demonstrar: 
 SQD = ∑d2 = ∑ x2 – (∑x)2 
 n 
 
Diferentemente da amplitude, a vantagem da variância é que se trata de uma 
medida de dispersão que leva todos os indivíduos da amostra em consideração e 
não apenas os dois extremos. Como desvantagem, a unidade da variância não é a 
mesma dos dados, ou seja, é a unidade do dado elevada ao quadrado. Isso traz 
algumas dificuldades de interpretação, uma vez normalmente temos dificuldade de 
associar a grandeza da variância com a grandeza dos dados. 
 Para solucionarmos esta desvantagem, devemos tirar a raiz quadrada da 
variância, que é o que chamamos de desvio padrão (DP ou s) e que será 
apresentado adiante. 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
Lígia Garcia Mesquita 
 
 Resumem as variabilidades de um conjunto de valores em torno de uma 
medida de tendência central, comumente a média. A variância, o desvio padrão, o 
erro padrão da média e o coeficiente de variação são exemplos de medidas de 
dispersão. 
 
DESVIO PADRÃO 
 
 É uma das medidas de dispersão mais empregada, pois leva em 
consideração a totalidade dos valores da variável em estudo e possui a vantagem de 
ter a mesma unidade de medida da variável em estudo (SAMPAIO, 1998). O desvio 
padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, ou seja, representa o 
quanto em média os dados se distanciam da média (GOMES, 2000). Quando há o 
interesse no desvio padrão populacional, a fórmula básica pode ser traduzida como 
a raiz quadrada dos desvios quadrados médios dividido por n e é representada 
por σσσσ. No entanto, quando há interesse não apenas na descrição dos dados, mas, 
partindo da amostra, como nos casos de experimentação animal, convém efetuar-
se uma modificação, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n. Portanto, a 
15 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 15 
 
fórmula neste caso pode ser traduzida como a raiz quadrada dos desvios 
quadrados médios dividido por (n – 1) e é representada por S (TRIOLA, 1999). 
 É definido desta forma a fim de mostrar uma medida da dispersão, que o 
desvio padrão: 
1. Seja um número não negativo; 
2. Tenha a mesma unidade de medida que os dados em questão, 
diferentemente da variância. 
 
Processo para determinar o desvio padrão amostral: 
1) Achar a média dos valores [Me(x)]. 
2) Subtrair a média de cada valor individual [Xi-Me(X)], sendo Xi cada 
dado em questão. 
3) Elevar ao quadrado cada uma das diferenças obtidas. 
4) Somar todos os quadrados obtidos. 
5) Dividir a somatória obtida no passo 4 por n-1. 
6) Extrair a raiz quadrada do resultado do passo 5. 
 
 A tabela 1 mostra um exemplo da determinação do desvio padrão amostral. 
 
Tabela 1: Cálculo do desvio padrão da população representada 
por (- 4, -3, -2, 3, 5). 
Xi Me(X) [Xi-Me(X)] [Xi-Me(X)]2 
- 4 - 0,2 - 3,8 14,44 
- 3 - 0,2 - 2,8 7,84 
- 2 - 0,2 - 1,8 3,24 
3 - 0,2 3,2 10,24 
5 - 0,2 5,2 27,04 
∑[Xi-Me(X)]2 62,8/4*= 15,7 
σσσσ √15,7=3,96 
 *Se uma variável foi descrita por 5 observações, a estimativa 
da média será obtida a partir de 5 graus de liberdade. No 
entanto, a estimativa de seu desvio padrão será obtida a partir 
de 4 graus de liberdade (n-1), já que um grau de liberdade foi 
cobrado pela estimativa anterior daquela média, utilizada no 
cálculo do desvio. 
16 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 16 
 
 O desvio padrão possui algumas propriedades, dentre as quais destacamos: 
1ª = Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma 
variável, o desvio padrão não se altera. 
2ª = Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa 
constante. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GOMES, F.P. Introdução. In: GOMES, F.P. Curso de estatística experimental. 
Piracicaba: Universidade de São Paulo, Escola Superior de Agricultura Luiz de 
Queiroz, 2000. p.2-4. 
SAMPAIO, I.B.M. Estatísticas Descritivas Básicas. In: Estatística aplicada à 
experimentação animal. Belo Horizonte: Fundação de Ensino e Pesquisa em 
Medicina Veterinária e Zootecnia, 1998, p.16. 
TRIOLA, M.F. Descrição, Exploração e Comparação de Dados. In: TRIOLA, M.F. 
Introdução a estatística. Rio de Janeiro: LTC –Livros Técnicos e Científicos Editora 
S.A., 70edição, 1999, p.39-43. 
 
 
Coeficiente de Variação (CV) 
 
Rafael Murarolli 
 
O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de dispersão que se presta 
para a comparação de distribuições diferentes (WIKIPÉDIA, 2006). 
O CV permite comparações entre variáveis de naturezas distintas e fornece 
uma idéia de precisão dos dados (GARCIA, 1989). 
O CV constituiu-se numa estimativa do desvio do erro experimental em 
relação à média, sendo uma medida de avaliação da precisão experimental. Assim, 
considera-se que quanto menor for a sua estimativa, maior será a precisão do 
experimento e vice-versa (SILVA et al., 2002, citado por RIBEIRO et al, 2004). 
Pode ser considerado “baixo” quando inferiores a 10%, “médio” quando de 10 
a 20%, “médio-alto” quando de 20 a 30% e, “alto” quando superior a 30%. 
O Valor de Referência é dado pela Média dos dados. 
O CV é igual ao desvio-padrão dividido pela média: 
 
CV= DP . 100 
 X 
 Se a Média for baixa, o CV vai ser alto. 
 
17 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 17 
 
 
Ex: 
Tabela 1: Score corporal de vacas leiteiras 
 A B C D 
 3 2 1 1 
 3 3 2 1 
 3 3 4 5 
 3 4 5 5 
Média 3 3 3 3 
Amp 0 2 4 4 
S. Desvio 0 0 0 0 
Média
 Desvio 0 0 0 0 
∑ Desvio2 0 2 10 16 
∑ 
Média
 Desvio2 0 0,5 5 4 
Var 0 0,67 3,33 5,33 
DP 0 0,82 1,82 2,30 
CV 0% 27,3% 60,7% 77,0% 
 
 
Umas das vantagens do CV é que ele transforma o Desvio Padrão (DP) em 
uma escala relativa, podendo passar de 100. 
Outra vantagem do CV é ser um número abstrato, independente da unidade 
usada, ou seja, na análise de um experimento, seus dados poderão ser dados em 
kg/há, ou libras/acre, ou ton/parcela que o CV obtido será o mesmo, 
independentementeda unidade usada (GOMES, 1984). 
 
 
 
 
Ex: 
Tabela 2: Comparação do peso vivo de bezerros e vacas para a determinação 
da Média, Desvio Padrão (DP) e, Coeficiente de Variação (CV). 
 Bezerro Vaca 
 25 -52 = 25 545 -52 = 25 
 30 02 = 0 550 02 = 0 
 35 +52 = 25 555 +52 = 25 
Média 30 25 550 25 
DP 5 5 
CV 16,67% 0,90% 
 
 
 Explicando o exemplo acima: 
 - Existem 2 grupos de animais (BEZERROS com 25, 30 e 35 kg PV e, VACAS 
com 545, 550 e 555 kg PV); 
 - Para se achar o quanto o valor se desvia da média faz-se a subtração do 
Peso do Animal – Peso Médio (25 – 30 = -5). Para que esse número não fique 
negativo, deve-se elevar este número ao quadrado (-52 = 25 → Desvio Quadrado); 
18 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 18 
 
 - Após, faz-se a somatória destes desvios (25+0+25), divide-se esta 
somatória por n-1 (3-1 = 2) → 25+0+25/2 = 25 → Variância; 
 - Para se achar o Desvio Padrão (DP), deve-se tirar a raiz quadrada da 
variância ( = 5),e; 
 - Para calcular o Coeficiente de Variação, basta aplicar os valores na 
fórmula CV = DP . 100. 
 X 
 
Não se pode julgar um trabalho somente pelo o Coeficiente de Variação. Irá 
depender muito da variável que está sendo estudada. Cada variável se comporta de 
maneira diferente, ou seja, enquanto dentro de um determinado grupo o CV é 
normalmente pequeno, em outro grupo este CV poderá ser discrepante. 
Exemplo: 
- para Ganho de Peso em Aves � CV = 2% 
- para Ganho de Peso em bovinos � CV = 20% 
 pH rumimal � varia POUCO. 
 N ruminal � varia MUITO. 
 
Coeficiente de variação: 
 - 1º � cada variável é uma variável diferente (unidade experimental); 
 - 2º � toda vez que 1 tratamento difere de outro tratamento, o CV aumenta,e; 
 - 3º � se a Média do tratamento for muito baixa, é natural que o CV aumente. 
 
 Se a Média = 0 � CV = infinito. Neste caso o CV não é a melhor Medida de 
Dispersão. 
As medidas de dispersão não fazem correção para o nº de animais utilizados 
no experimento. Então, se o nº de animais (Unidades Experimentais) for diferente do 
outro experimento, não se pode comparar estes desvios (só se compara dentro de 
um mesmo experimento). 
↓ 
 Muito cuidado em julgar os trabalhos somente pelo C.V. 
 
Referências Bibliográficas 
 
GARCIA, C, H. Tabelas para classificação do coeficiente de variação. IPEF – 
Instituto de Pesquisa e Estudos Florestais. Circular Técnica n. 171. Novembro de 
1989. Piracicaba-SP. 
 
GOMES, F. P. A estatística moderna na pesquisa agropecuária, In: Associação 
Brasileira para Pesquisa da Potassa e do Fosfato. 1984. Piracicaba. p.: 160. Editora 
POTAFOS. 
 
RIBEIRO, N. D., CARGNELUTTI FILHO, A., HOFFMANN JUNIOR, L., POSSEBON, 
S. B. Precisão experimental na avaliação de cultivares de feijão de diferentes hábitos 
de crescimento. Ciência Rural. Santa Maria. vol.34, no.5 Setembro/Outubro. 2004. 
 
WIKIPÉDIA. Desenvolvido pela Wikimedia Foundation. Apresenta conteúdo enciclopédico. 
Disponível em: 
19 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 19 
 
<http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Coeficiente_de_varia%C3%A7%C3%A3o&oldid
=545196>. Acesso em: 31 Mai 2006 
 
 
 
 
Erro Padrão da Média: 
 
Ricardo Cazes 
 
A Variância, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação não fazem correção 
para o número de animais utilizados no experimento. Portanto, caso o n de um 
experimento for diferente de outro, não poderemos realizar comparações entre eles 
usando estas ferramentas, dado que elas permitem comparar somente os dados 
dentro do mesmo experimento. 
 
De forma a podermos comparar dados de diferentes experimentos que 
apresentem n diferentes, usa-se o Erro Padrão da Média ou EPM. O erro padrão da 
média envolve a média e o desvio padrão, segue a estrutura normal da curva de 
Gauss. 
 
Como exemplo, suponhamos um universo de 5 milhões de tartarugas onde 
queremos saber qual o peso médio das mesmas. Para isto é realizada uma captura 
para obtenção de uma amostra das mesmas e assim saber o peso médio desta 
amostra. Caso realizemos uma segunda ou terceira captura, obteremos diferentes 
pesos médios. 
 
Amostra 1 = 100 tartarugas (n=100) com peso médio de 10 Kg. 
Amostra 2 = 200 tartarugas (n=200) com peso médio de 12 Kg. 
Amostra 3 = 300 tartarugas (n=300) com peso médio de 11 Kg. 
 
Cada vez que capturarmos uma amostra de tartarugas, vamos obter 
diferentes pesos médios que, ao realizar uma média dos pesos médios de cada 
captura, resultará em uma aproximação mais fidedigna da média da população de 5 
milhões de tartarugas. 
 
x = peso médio 1 + peso médio 2 + peso médio 3 
 3 
 
x = 10 + 12+ 11 = 11 kg 
 3 
 
Os estatísticos perceberam que para obter o desvio padrão de várias médias, 
não era necessário realizar diversas capturas. Este valor poderia ser estimado 
dividindo-se o desvio padrão de uma amostra pelo raiz quadrada do número de 
indivíduos de apenas uma captura ou amostragem. 
 
EPM = DP = (Desvio padrão de 1 amostra) 
 √ n √ (número de animais capturados) 
 
20 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 20 
 
O EPM é uma medida de dispersão bastante usada para comparar a 
variabilidade de um experimento com a de outro, uma vez que faz correções para o 
número de unidades experimentais utilizadas entre experimentos. 
 
Como exemplo comparemos 2 experimentos diferentes: 
 
Isso é uma tabela? 
 
 Experimento 1 Experimento 2 
 
Desvio Padrão(DP) 70 50 
 
N° de EU( n) 200 50 
 
A primeira vista poderíamos considerar que o experimento 2 é melhor que o 1 
pelo fato de apresentar um DP menor. Certamente seriamos precipitados ao realizar 
esta afirmação, porque o n de ambos experimentos é diferente. 
Ao aplicar a formula do EPM teremos o seguinte resultado: 
 
 EPM 1= 70 = 4,95 EPM 2= 50 = 7,07 
 √200 √50 
 
 
O experimento 1 é melhor porque apresenta um erro menor que o 2. é 
 
A medida do EPM é também usada para determinar o Intervalo de Confiança 
(IC), que é o intervalo aonde devem estar as medias (do peso das tartarugas por 
ex.) para ternos uma confiança que deveria ser igual o maior a 95%. 
 
A formula para obter o IC é a seguinte: 
 
 
IC = X ± Z . EPM ou IC = X ± Z . DP 
 √ n 
 
MEDIDAS DE FORMA 
 
Rodrigo da Costa Gomes 
 
Assimetria (Skewness) 
 
Definição 
 
Assimetria pode ser definida como o grau de deformação de uma curva de 
freqüências ou o grau de afastamento que uma distribuição apresenta do seu eixo 
de simetria o qual é traçado no valor da média. 
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com 
as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas 
graficamente. 
21 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 21 
 
Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda 
(Mo), a média ( x ) e a mediana (Md), como exemplificado pela figura abaixo. 
 
Figura 1 – Representação gráfica de distribuição simétrica 
 
Sempre que a curva da distribuição se afastar do referido eixo, será considerado 
haver uma assimetria da distribuição. 
Em função disso, uma distribuição pode ser classificada como assimétricanegativa ou assimétrica positiva. 
Uma distribuição é considerada assimétrica negativa quando o valor da média é 
menor ou igual ao da mediana e este menor ou igual ao valor da moda. Neste caso, 
na representação gráfica desta distribuição, visualiza-se a formação de uma “cauda” 
ao lado esquerdo do centro da curva (Figura 2, c). 
Já para uma distribuição ser considerada assimétrica positiva, o valor da média 
é maior ou igual ao da mediana e este maior ou igual ao valor da moda. Neste caso, 
na representação gráfica desta distribuição, visualiza-se a formação de uma “cauda” 
ao lado direito do centro da curva (Figura 2, b). 
 
 
Figura 2 – Representação gráfica de distribuições assimétricas positiva e negativa. 
 
Cálculo do coeficiente de assimetria 
 
22 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 22 
 
Para o dado exemplo, onde são apresentados abaixo valores de produção 
leiteira: 
 
Tabela 1 – Média e desvios em função de valores empíricos de produção leiteira 
x 
(litros de 
leite) 
 
Desvios 
(x-x’) 
Quadrado 
dos desvios 
Cubo 
dos desvios 
12 -15 -3 9 -27 
15 -15 0 0 0 
20 -15 5 25 125 
13 -15 -2 4 -8 
x’=15 ∑=60 ∑=90 
 
Observa-se que, se ao invés de realizarmos a soma dos quadrados dos 
desvios, realizarmos a soma do cubo destes desvios há uma potencialização do 
erro, sendo que este ainda irá se apresentar de forma negativa ou positiva. 
Se a soma dos cubos for negativa, a curva da distribuição dos desvios tenderá á 
esquerda e se for positiva, tenderá à direita. 
Dessa forma, o coeficiente de assimetria pode ser calculado pela fórmula: 
N
s
XX
S
n
I
i∑
=





 −
=
1
3
ˆ
 
onde: 
S = coeficiente de assimetria; 
s = desvio padrão 
Xi = valor relacionado à observação i; 
x = média; 
N = número de observações. 
 
Se: 
 
S = 0, então a distribuição é simétrica, 
S < 0, então a distribuição é assimétrica negativa (inclinada para a 
esquerda) e, 
S > 0, então a distribuição é assimétrica positiva (inclinada para a direita). 
 
 
PRINCÍPIO DA CASUALIZAÇÃO 
 
Walesca Pastore 
 
“O princípio da Casualização rege que todas as unidades experimentais 
devem possuir a mesma chance de serem designadas a qualquer um dos 
tratamentos, bem como qualquer um dos tratamentos deve ter a mesma chance de 
receber qualquer uma das unidades experimentais” 
 
 
23 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 23 
 
 O confundimento ocorre quando os efeitos de duas ou mais variáveis não 
podem distinguir-se uns dos outros, podendo ocorrer quando o principio da 
casualisação não é seguido. 
 
Quando a amostra total disponível para um ensaio é uniforme, ou seja, 
(condição que nem sempre é verdadeira), é imprescindível que cada animal seja 
direcionado a um tratamento por sorteio. Por exemplo, animais que se deixam 
capturar mais facilmente, se colocados em um mesmo grupo experimental, podem 
comprometer o experimento, resultando em confundimento. Neste caso, não será 
possível afirmar se as diferenças observadas são realmente devidas aos 
tratamentos ou ao temperamento deles (ou alguma patologia implícita). 
 
Exemplo: 
Para um exemplo hipotético contendo três tratamentos (A, B e C) e 12 
coelhos. No momento da distribuição dos animais para cada um dos tratamentos, 
os coelhos que se deixam capturas mais facilmente podem, simplesmente ter um 
comportamento menos arredio ou podem estar apresentado apatia por alguma 
patologia que pode não estar facilmente visível e passar despercebida, fato que 
poderá resultar em confundimento. 
Para evitar possíveis confundimento deve-se distribuir os coelhos, por 
exemplo, da seguinte forma: 
 
 
1º A 7º A 
2º B 8º B 
3º C 9º C 
4º A 10º A 
5º B 11º B 
6º C 12º C 
 
Observa-se que ao capturar os coelhos, cada um vai para um tratamento 
seqüencialmente, evitando, dessa forma, que os coelhos mais lentos, caiam todos, 
no mesmo tratamento. 
 
Sendo assim, é importante eliminar o máximo possível o erro e distribuir o que 
não for possível eliminar. Por exemplo, quando os animais de experimento não são 
homogêneos deve-se dividi-los igualmente entre os tratamentos. 
 
 Exemplo: 
 Um grupo de 10 vacas e dois tratamentos (A e B). 
 Caso entre as 10 vacas, 2 delas sejam muito mais leves que as demais (8), 
devemos distribuir cada uma das mais leves, uma no tratamento A e a outra no 
tratamento B. 
 
Portanto, em determinadas situações, não devemos confiar inteiramente na 
casualização, como por exemplo: em um experimento com vacas leiteiras, após a 
casualização das unidades experimentais, se a média de leite for muito diferente 
entre os tratamentos, casualiza-se novamente. 
 
Princípio do Controle Local 
24 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 24 
 
 
Willian Correa Miguel 
 
O Controle Local de um experimento tem como objetivo determinar onde ele 
será instalado. Este fato tem grande importância, pois pode-se detectar se as 
diferenças observadas entre os tratamentos são referentes aos mesmos e não a 
fatores do meio. Quando isto não é possível, isto é, quando não consegue-se 
explicar se as diferenças foram causadas pelos tratamentos ou por outros fatores, 
denomina-se como Confundimento Estatístico. Para impedir que este fato grave 
ocorra, o pesquisador deve-se atentar em alguns pontos: 
- Uniformidade dos animais. 
- Uniformidade dos tratamentos. 
- Uniformidade do meio. 
 
Uniformidade dos animais 
 
Deve-se sempre garantir uma boa homogeneidade entre os animais a serem 
inseridos no experimento, mas quando isto não é possível devido a diferenças entre 
os animais (por exemplo, pesos), o pesquisador deve agir de forma a minimizar o 
problema. 
O exemplo abaixo se refere a um conjunto de 8 coelhos que devem ser 
designados a 2 tratamentos (tratamentos A e B): 
Coelhos Peso (kg) Coelhos 
Peso 
(kg) Trat. A Trat. B 
1
 
3,0 
5
 
3,0 
1A 5B 
2 
2,0 
6 
2,0 
2A 6B 
3 
2,0 
7
 
3,0 
7A 8B 
4 
2,0 
8
 
3,0 
4A 3B 
 
Alocar os animais mais pesados em um só tratamento e deixar os mais leves no 
outro, seria uma forma errônea de distribuí-los. Uma ferramenta para superar este 
problema é o delineamento em blocos. Neste caso, distribuíram-se os animais em 
blocos, de forma que dois mais pesados (3,0 kg) caiam em um tratamento e os 
outros dois no outro tratamento; seguindo o mesmo método para os mais leves 
(2,0 kg). Assim, os coelhos 1, 2, 7 e 4 poderão ser designados ao Tratamento A e 
os coelhos 5, 6, 8 e 3 ao Tratamento B. A intenção é de eliminar os erros. 
25 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 25 
 
 
Uniformidade dos tratamentos 
 
Após alocar os animais corretamente, imagina-se que não ocorrerá mais 
nenhum problema para a execução do experimento. Porém, o pesquisador deve-se 
certificar que esses animais estarão recebendo as mesmas condições para que o 
tratamento em questão seja testado com êxito. 
Dentro deste ponto, têm-se três considerações a fazer: 
a) Igual acesso ao tratamento: ao planejar um experimento, deve-se garantir que 
todos os animais do experimento tenham a mesma possibilidade de acesso ao 
tratamento a eles aplicado. Por exemplo, quando se trata de um experimento cujos 
tratamentos envolvem a adição de algum medicamento na ração de leitões, deve-se 
garantir que todos os leitões do grupo consumirão tal medicamento. Dependendo da 
forma de administração deste medicamento, tem-se um maior controle, por exemplo, 
uma forma injetável. 
 
b) Administração da dose em função do PV: caso exista diferença de peso entre os 
animais,deve-se saber o quanto aplicar de um certo medicamento. É muito 
importante respeitar a quantidade dose/kg, por exemplo, um medicamento deve ser 
aplicado na proporção 3ml/kg; se aplicar 15 ml em um animal de 5 kg, não pode-se 
aplicar a mesma quantidade em um animal de 3 kg. A resposta pode variar de 
acordo com a proporção aplicada, interferindo na avaliação do tratamento testado. O 
pesquisador que deve decidir o critério de administração, sendo, portanto, de suma 
importância, a realização de uma revisão bibliográfica adequada. 
 
c) Administração de placebo no grupo controle: ao testar os efeito de uma nova 
droga, comumente o pesquisador se pergunta se deve ou não administrar um 
placebo ao grupo controle. Tal decisão deve levar em consideração os objetivos do 
experimento, ou seja, se tem como objetivo avaliar a resposta fisiológica da droga ou 
avaliar o aspecto econômico da sua utilização. Por exemplo, admiti-se um 
experimento que se proponha avaliar os efeitos da aplicação de Hormônio de 
Crescimento Porcino em suínos. Aplica-se uma solução salina (soro fisiológico sem 
hormônio) no grupo controle para que todos os animais sofram o mesmo estresse. 
Deste modo, o efeito do tratamento poderá ser avaliado em iguais condições, isto é, 
sem que o efeito estresse (ou ausência do mesmo) interfira no resultado. Se caso 
não fosse administrada a solução salina ao grupo controle e o mesmo apresentasse 
um ganho de peso superior aos tratamentos, não teríamos como certificar que tal 
efeito foi devido aos tratamentos serem ineficientes ou pelo simples fato dos animais 
que não sofreram o estresse da aplicação do soro tiveram um desempenho melhor, 
ocasionado pelo fato de seu bem estar não terem sido alterados. 
 
Uniformidade do meio 
 
Ao planejar um experimento é necessário garantir uma condição ambiental igual a todos os 
animais nos diferentes tratamentos do experimento. Utilizando o exemplo anterior dos 
coelhos, quando instalaram-se os animais em suas gaiolas, deve-se garantir uma 
iluminação igual a todos os coelhos, tanto os do tratamento A como os do tratamento B. Se 
a instalação proporciona maior iluminação na parte superior das gaiolas, não podem-se 
alocar os animais de um só tratamento naquela posição, pois favoreceria (ou não) este 
tratamento. Portanto, deve-se alocá-los de forma que todos recebam a mesma condição 
26 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 26 
 
ambiental, ou seja, dois animais de tratamentos diferentes recebam iguais condições de 
iluminação, sejam elas ótimas ou não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1A 5B 
6B 2A 
7A 8B 
3B 4A 
 
Desta forma todos os coelhos, um para cada tratamento, estão sob condições 
ambientais extremamente iguais, impossibilitando que qualquer fator externo 
possa influenciar, negativamente ou positivamente, a resposta dos animais aos 
seus respectivos tratamentos. 
 
Referências Bibliográficas 
 
SAMPAIO, I.B.M. Estatística aplicada à experimentação animal. Belo Horizonte: 
Fundação de Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinária e Zootecnia, 
 
Premissas da análise estatística 
 
 Para se utilizar os testes de estatística paramétrica, precisa-se, inicialmente, verificar se 
os dados respeitam alguns requisitos, que são eles: 
- modelo matemático aditivo; 
- independência dos erros; 
27 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 27 
 
- normalidade dos resíduos; 
- homogeneidade das variâncias. 
 As duas primeiras premissas devem ser respeitadas antes mesmo de se iniciar o 
experimento, enquanto que as duas últimas são analisadas no momento da análise dos dados. 
 
Modelo matemático aditivo 
 
 Esta premissa diz que toda resposta observada após um tratamento, sofre influência de 
uma média geral, do efeito de um determinado tratamento, do efeito de um possível bloco e 
de um erro não explicado. 
 
Yij = µ + Trat “i” + Bloco”j” + e “ij” 
 
Onde: 
Yij= observação do tratamento “i” e do bloco “j” 
µ = média geral 
Trat “i” = efeito do tratamento “i” 
Bloco “j” = efeito do bloco “j” 
e“ij” = erro não explicado 
 
Independência dos erros 
 
 Ao se respeitar esta premissa afirma-se que não houve erro de casualização, ou seja, se 
o resultado obtido a partir de um experimento, indicar que há diferença entre tratamentos é 
porque realmente existe esta diferença. 
 Caso esta premissa não seja respeitada, os dados não são confiáveis e, portanto, devem 
ser descartados. 
 
Normalidade dos resíduos 
 
 Esta premissa diz respeito à distribuição normal das variáveis nas populações. Assim, 
os desvios, que são a diferença entre o valor absoluto de cada dado e a média de seu grupo, 
devem apresentar distribuição normal, ou seja, respeitar a curva normal de Gauss. 
 O valor de cada dado deve ser subtraído da média de seu grupo e depois dividido pelo 
desvio padrão. Este valor poderá ser estudentizado ou não. Se o valor real for próximo do 
teórico pode-se afirmar que os dados estão próximos da curva Gaussiana. 
 Vários testes são descritos para a identificação da normalidade. O SAS apresenta os 
testes de Shapiro-Wilk (ou teste W), o teste de Kolmogorov-Smirnov (teste D), Cramer-von 
Mises (teste W-Sq) e Anderson-Darling (teste A-Sq), sendo o primeiro, o mais utilizado, pois 
pode ser empregado para um n >2 e < 51. 
 Sendo o valor de P maior que 0,05, aceita-se H0, ou seja, a curva é normal. Entretanto, 
sendo o valor de P inferior a 0,05 (5%), rejeita-se H0 e assume-se a hipótese alternativa de 
que os dados não são normais. 
 A execução manual dos cálculos dos testes de normalidade é muito laboriosa, 
entretanto, os resultados são facilmente obtidos pelo programa SAS através do procedimento 
UNIVARIATE seguido pelo comando NORMAL. 
 
PROC UNIVARIATE NORMAL PLOT; 
VAR CONC; 
RUN; 
 
28 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 28 
 
 Tests for Normality 
 
 Test --Statistic--- -----p Value------ 
 
 Shapiro-Wilk W 0.91212 Pr < W 0.2271 
 Kolmogorov-Smirnov D 0.178832 Pr > D >0.1500 
 Cramer-von Mises W-Sq 0.086678 Pr > W-Sq 0.1542 
 Anderson-Darling A-Sq 0.488221 Pr > A-Sq 0.1881 
 
 O comando PLOT é opcional e mostra os gráficos de mediana e quartis (“Box-Plot”), 
ramos e folhas (“Stem and Leaf”) e de normalidade. 
 Para se executar os testes sobre os valores estudentizados, deve-se criar um banco de 
dados utilizando o procedimento GLM antes da realização do procedimento UNIVARIATE 
para os testes de normalidade. 
 
PROC GLM; 
CLASS TRAT; 
MODEL CONC = TRAT; 
OUTPUT OUT = DOIS RESIDUAL=RES STUDENT = STU; 
RUN; 
 
PROC UNIVARIATE NORMAL PLOT DATA = DOIS; 
HISTOGRAM STU/NORMAL; 
VAR STU; 
RUN; 
 
 A função HISTOGRAM, após o procedimento UNIVARIATE fornece o histograma 
dos dados, que neste exemplo são dos dados estudentizados acompanhados da curva normal. 
 A utilização de valores estudentizados favorece a identificação de valores extremos 
(“out liers”). 
 
 
 Tests for Normality 
 
 Test --Statistic--- -----p Value------ 
 
 Shapiro-Wilk W 0.876278 Pr < W 0.0785 
 Kolmogorov-Smirnov D 0.220754 Pr > D 0.1026 
 Cramer-von Mises W-Sq 0.115348 Pr > W-Sq 0.0633 
 Anderson-Darling A-Sq 0.66238 Pr > A-Sq 0.0656 
 
 Extreme Observations 
 
 ------Lowest------ ------Highest-----Value Obs Value Obs 
 
 -1.303795 9 0.133678 8 
 -0.892344 2 0.930538 6 
 -0.793388 11 0.987829 12 
 -0.746514 4 1.638858 5 
 -0.699640 7 1.675316 10 
 
 The SAS System 
 The UNIVARIATE Procedure 
 Variable: STU 
 
 Stem Leaf # Boxplot 
 1 67 2 | 
 1 0 1 +-----+ 
 0 9 1 | | 
 0 1 1 | + | 
 -0 3 1 | | 
 -0 98776 5 *-----* 
 -1 3 1 | 
 ----+----+----+----+ 
 
 
 Normal Probability Plot 
 1.75+ * +*+++ 
 | +++++ 
 | *++*+ 
29 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 29 
 
 0.25+ +++*+ 
 | ++++ * 
 | * +*++* * * 
 -1.25+ * +++++ 
 +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ 
 -2 -1 0 +1 +2 
-1. 6 -0. 8 0 0. 8 1. 6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
P
e
r
c
e
n
t
STU
 
 
Homogeneidade das variâncias 
 
 A análise de variância só pode ser realizada se a variância de um determinado 
tratamento A não for muito diferente da variância de um tratamento B. 
 O teste da homogeneidade das variâncias é realizado pelo cálculo do valor de F, que é 
obtido dividindo-se o valor da maior variância pelo valor da menor variância. 
 
F calculado = Maior variância / Menor variância 
 
 O F calculado deve ser comparado com o valor de referência na tabela de distribuição 
F a 5%, sendo que, para que as variâncias sejam consideradas homogêneas o valor calculado 
deve ser inferior ao tabelado. Entretanto, quando tem-se mais de 10 graus de liberdade utiliza-
se o valor 4 como referência. 
 As variâncias podem ser facilmente obtidas utilizando o procedimento MEANS do 
SAS, com o comando VAR. 
 
PROC MEANS MEAN VAR CV; 
CLASS TRAT; 
VAR DEFMA; 
RUN; 
 
 The SAS System 7 
 
 The MEANS Procedure 
 
 Analysis Variable : DEFMA 
 
 N Coeff of 
 TRAT Obs Mean Variance Variation 
 ------------------------------------------------------------------- 
 1 6 6.7500000 10.7750000 48.6300669 
 
 2 6 17.0666667 180.7266667 78.7702843 
 
 Neste exemplo, para verificar se as variâncias são homogêneas, 
divide-se a variância de maior valor pela variância de menor valor. Então 
30 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 30 
 
180,73/10,78 = 16,77. Como esta relação é maior que o valor tabelado (5,05) 
elas não são homogêneas. 
 Outra forma de analisar a homogeneidade das variâncias é através do 
TTEST. Ele dá o resultado direto, mas ele só pode ser utilizado em uma 
condição específica: quando existirem apenas dois tratamentos e for um 
experimento inteiramente casualizado. 
 
PROC TTEST; 
CLASS TRAT; 
VAR DEFMA; 
RUN; 
 
Equality of Variances 
 
 Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F 
 
 DEFMA Folded F 5 5 16.77 0.0077 
 
O Num DF indica os graus de liberdade do numerador e o Den DF indica 
os graus de liberdade do denominador. O valor de F é a relação entre a 
variância maior e a variância menor. O valor de p indica a probabilidade de 
elas serem homogêneas. Este valor deve ser maior que 5% para elas serem 
homogêneas, então neste exemplo, elas não são homogêneas. 
 
E quando as premissas não forem respeitadas? 
 
 Quando as premissas não são respeitadas, não podemos efetuar imediatamente a 
análise estatística. Primeiramente, devem-se excluir valores extremos (“out liers”) e/ou 
realizar a transformação dos dados para valores em base logarítmica, para raiz quadrada, valor 
inverso ou arco seno. 
 
Logarítmica: LOG (x+1) 
Raiz Quadrada: RQ (x + ½) 
Inversa: 1/x 
Arco seno: ARC SEN [(x/100)1/2] 
 
 Após a transformação dos dados, as premissas devem ser verificadas novamente, e, se 
respeitadas, prossegue-se com a análise de variância. Contudo, se mesmo após a retirada de 
“out liers” e a transformação dos dados, as premissas não forem acatadas, segue-se com a 
estatística não-paramétrica. 
 
 
Delineamentos Experimentais 
 
Alessandra Soares 
Ricardo Leandro Cazes 
 
Para o delineamento experimental não importa como e quanto são os 
tratamentos; o que importa é como se faz para designar a unidade experimental 
para cada tratamento. Existem 3 tipos básicos de delineamentos: 
a) Delineamento inteiramente casualizado; 
b) Delineamento em blocos ao acaso e 
c) Delineamentos em reversão. 
 
31 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 31 
 
O propósito da casualização é evitar a tendenciosidade que possa decorrer 
do confundimento. Este, decorrente das condições experimentais com 
características estranhas. Assim, a casualização cumpre 2 propósitos: 
a) evitar a manifestação de características estranhas que possa implicar em 
confundimento tendencioso dos efeitos de condições experimentais sobre 
características respostas e 
b) propiciar estimativas não tendenciosas de erro experimental, apropriadas 
para as inferências derivadas das amostras. 
 
 A casualização deve ser tão ampla quanto possível, abrangendo todas as 
características estranhas não controladas, como aquelas relacionadas ao ambiente, 
que está fora do controle do pesquisador. 
 
 Devemos evitar o arranjo sistemático ou regular, como exemplo, a repetição 
de alguns tratamentos sempre na mesma ordem. Se isto acontecer, podemos anular 
o sorteio e casualizar novamente. 
 
 
Delineamento Completamente Casualizados 
 
No Delineamento completamente casualizado que é considerado um dos 
mais simples de todos, os tratamentos se distribuem ao acaso em todas as unidades 
experimentais (UE) e o número de repetições ou parcelas por tratamento pode ser 
igual ou diferentes as UE. 
Porém há necessidade de uniformidade das UE e que todas sejam facilmente 
identificadas para receber o tratamento. 
Os tratamentos são atribuídos á essas unidades experimentais 
completamente ao acaso, ou seja, sem qualquer restrição, e o tratamento é a única 
variação a ser estudada. 
O delineamento inteiramente casualizado apresentam certas vantagens 
importantes em relação a experimentos de delineamentos mais complexos, tais 
como: 
- Qualquer numero de repetições ou de tratamentos pode ser usado e o 
numero de repetições pode variar de um tratamento para outro sem que 
isto dificultea análise. 
- Proporciona o máximo número de graus de liberdade ao resíduo. 
- A morte de animais ou outras causas que levam à perda de parcelas, 
podem reduzir o número de repetições de alguns tratamentos, porém 
nenhuma dificuldade trará no caso de termos um experimento inteiramente 
casualizado. 
 
 A desvantagem desse delineamento é que ele é mais apropriado para um 
pequeno número de tratamentos e para um material experimental homogêneo, e 
como a aleatorização não é restrita ao erro experimental, há uma estimativa muita 
alta de variância residual. 
 
Exemplo 1: Nesse delineamento pressupõe-se que as unidades são 
homogêneas ou não precisam ser agrupadas. Os tratamentos são sorteados para as 
diferentes unidades experimentais. 
32 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 32 
 
Num experimento como este a formação de grupos mais homogêneos implica 
em uma diminuição do grau de liberdade do residuo e conseqüentemente redução 
do valor de F, podendo mascarar as diferenças entre os tratamentos que existam de 
fato. 
 
 
 - Delineamento experimental completamente casualizado para 5 tratamentos (T1, 
T2, T3, T4 e T5) com 4 repetições de cada tratamento. 
 
Exemplo 2: Consideremos um experimento para determinar o efeito na dieta 
de pintinhos de um dia com farelo de soja tratado enzimaticamente com α-
galactocidase, onde o objetivo é conhecer os diferentes valores energéticos, ganho 
de peso e quantidade de água das fezes. 
 
Os pintinhos foram tratados com 3 dietas: 
T1- Dieta com farelo de soja não tratado. 
T2- Dieta com farelo de soja tratada com água. 
T3- Dieta com farelo de soja tratado com α-galactocidase. 
 
Para cada tratamento foram escolhidos ao acaso boxes com cinco pintinhos 
cada, totalizando 6 boxes por tratamento. 
A unidade experimental neste caso é considerada o Boxe. 
Tabela 1. Analise de Variância: 
Coeficiente de Variação Grau de Liberdade 
Tratamento 2 
Resíduo 15 
Total 17 
Em resumo o delineamento inteiramente casualizado é considerado o mais 
útil onde não existe nenhuma fonte de variação identificável entre as unidades 
experimentais, exceto as dos efeitos dos tratamentos. É o mais flexível com respeito 
ao arranjo físico das unidades experimentais. Ele maximiza os graus de liberdade 
para a estimação da variância por UE (erro experimental ou erro residual), e 
maximiza o valor de F. 
 
 
 
 
BLOCOS AO ACASO 
Rodrigo Ribeiro 
 
 Quando agrupamos tratamentos em conjuntos chamados blocos, com duas 
repetições, por exemplo, devemos ter dois blocos, cada um com todos os 
tratamentos. Sendo o primeiro com os tratamentos A, B, C e D, e o segundo bloco 
também, para casualizarmos sorteamos os tratamentos no caso A, B, C e D, 
casualização 
T3 T5 T2 T3 T4 
T4 T2 T1 T5 T1 
T3 T3 T4 T5 T2 
T1 T5 T1 T2 T4 
 
 
 
 
T1, T2, 
T3, T4 
e T5 
33 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 33 
 
fazemos o sorteio e obtemos o primeiro bloco, repetindo esse processo obtendo o 
segundo bloco, por exemplo. 
 
1º Bloco – CBAD 
2º Bloco – ACDB. 
 
Sempre devemos ter todos os tratamentos em cada bloco em condições 
uniformes de um bloco para outro, e nos casos dos animais, cada bloco deve conter 
indivíduos de constituição genética, peso, idades, etc.; bem semelhantes. Por 
exemplo, num ensaio com leitões em cada bloco devemos ter animais do mesmo 
sexo, leitegada e pesos semelhantes; de um bloco para outro variarão os pesos e as 
leitegadas e até sexo, se for o caso. Nos ensaios de laboratórios as amostras de 
cada bloco devem ser analisadas simultaneamente, no mesmo dia e pelo mesmo 
analista (GOMES, 1984). 
 Segundo esse exemplo dado em aula, separando os animais por peso 
aproximado: 
 
Tabela 1: Blocos ao acaso por diferença de peso. 
Peso/Bloco I II III 
 500 kg 430 kg 390 kg 
 498 kg 428 kg 380 kg 
 457 kg 410 kg 375 kg 
 
 Se o animal de 500 kg cair no tratamento A, então os animais 498 e 457 kg 
também devem cair no tratamento A, mantendo a uniformidade do bloco. 
Podemos criar blocos para tentarmos separar características que achamos 
relevante para o experimento. Mas se a característica que for escolhida para ser 
separada em blocos não for significativa, só irá perder os graus de liberdade, 
diminuindo assim a qualidade de seu tratamento. 
Em casos em que a amostra planejada não pode ser obtida imediatamente no 
início do ensaio, este pode ser conduzido em blocos temporais seqüenciais, desde 
que os períodos seqüenciais não tenham diferenças dramáticas (de clima, por 
exemplo). Se para um ensaio com vinte cabritos e quatro tratamentos, 
recebêssemos apenas dez em uma primeira leva e doze animais uma semana 
depois, poderíamos iniciar com dois animais por tratamento no primeiro período 
(usaríamos então oito dos dez disponíveis, dois para cada tratamento) e na segunda 
semana entraríamos com os doze (três animais por tratamento). Assim, estaríamos 
balanceando um fator de variação que seria tempo ( SAMPAIO, 2005). 
Outro exemplo que utilizamos no dia 04/04, supondo que ele é em blocos, 
para calcularmos seus graus de liberdade: 
 
Tabela 2: Blocos ao caso por tratamento. 
Blocos Trat A Trat B Trat C Trat D 
 A 35 40 39 27 
34 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 34 
 
 B 19 35 27 12 
 C 31 46 20 13 
D 15 41 29 28 
 E 30 33 45 3 
Soma 130 195 160 110 
Média 26 39 32 22 
 
Tabela 3: Cálculo dos graus de liberdade do experimento de blocos ao acaso. 
Causas G.L. 
Tratamento 4 – 1 = 3 
Bloco 5 -1 = 4 
Erro 12 
TOTAL 20 – 1 = 19 
 
Se a formação de blocos for eficiente, uma parte da variabilidade do resíduo 
foi para o bloco, mas se foi utilizado uma variabilidade fraca, perdemos Graus de 
liberdade. 
Fontes de variação podem ser blocadas desde que não exista possibilidade 
de os tratamentos testados interagirem com o efeito de blocos, sendo assim, o 
comportamento dos tratamentos entre si independa do bloco onde estiverem 
localizados. 
Não se deve formar blocos após o começo do experimento. 
Exemplos de efeitos que possam ser blocados em ensaios de animais: 
 
A) Efeito temporal: no caso de não haver um número considerável de animais e 
com a precisão de nascimento e de desmama, podendo obter cada terço da amostra 
total necessária em três diferentes ocasiões, não podendo ser muito espaçadas no 
tempo para não abranger diferentes condições climáticas, neste caso a ordem de 
netrada seria designada como blocos, todos os tratamentos estão presentes em 
cada bloco. 
B) Efeito local: se caso não há infraestrutura única necessária para abrigar todos 
os animais, sendo necessário a utilização de galpões visinhos com condições de 
meio diferentes (aeração, temperatura, sombreamento, etc); cada galpão será 
considerado um bloco e deverá conter todos os tratamentos. 
C) Efeito de sexo: só quando totalmente conhecido o efeito de sexo pode ser 
blocado, como é o caso em suínos. Se a amostragem for desuniforme em sexo, este 
efeito pode ser blocado desde que exista a informação que sexo e os tratamentos 
estudados interagem, sexo será considerado um fator, tratamento outro e a 
interação sexo X tratamento terá que ser estudada. 
35 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 35 
 
D) Efeito de animal: quando a resposta medida for de fluxo continuado ou 
permitir a separação de alíquotas (ejaculado de um jumento por exemplo), todos os 
tratamentos (diluentes) podem ser testados no mesmo ejaculado, que por sua vez 
poderá diferir daquele obtido em outro animal, como cada ejaculado será testado em 
todos os tratamentos e as características do sêmen variam de animal paraanimal, 
existiram duas fontes de variação: a devida elos diluentes e a devida aos jumentos, 
que será blocada ( SAMPAIO, 1943). 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
GOMES, F. P. A estatística moderna na pesquisa agropecuária, Piracicaba, POTAFOS, 
1984. pag 35 - 37. 
 
SAMPAIO, I. B. M. estatística aplicada à experimentação animal, Belo Horizonte: 
Fundação de ensino e pesquisa em Medicina Veterinária, 1998. pág 50 – 59. 
SAMPAIO, I. B. M.DELINEAMENTO ESTATÍSTICO EM PESQUISA COM SERES 
HUMANOS E ANIMAIS. UFMG. http://www.ufmg.br/bioetica/trabalhos 2005, 
acessado, 15/05/2006. 
 
Experimentos em Delineamentos Alternados. 
 
Amaury Vanilote 
 
Os delineamentos alternados são utilizados quando se tem poucos 
indivíduos para formar as unidades experimentais. Por exemplo, quando os animais 
necessários para efetuar o ensaio são caros e de alto custo de manutenção, assim 
como “animais fistulados”, ou, no caso de estudos agronômicos, quando se tem uma 
área limitada para realizar o experimento e esta área não é homogênea. 
Esse tipo de delineamento tem divisão esquemática em linhas e colunas 
(Figura 1). 
 
 
 
A B C 
C A B 
B C A 
1 2 3 
I 
II 
III 
Colunas 
 
Linhas 
36 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 36 
 
Figura 1 – Representação esquemática de experimento alternado com três colunas 
(1, 2 e 3) e três linhas (I, II e III), e com distribuição dos tratamentos A, B e C para 
cada unidade experimental. 
 
Em experimentação agrícola, as linhas e colunas podem representar o local 
espacial onde uma unidade experimental está alocada. Em experimentos com 
animais, cada coluna pode representar um animal e cada linha um período 
experimental. 
As unidades experimentais são representadas por cada quadrado, 
representado pela combinação de linha/coluna. Por exemplo, o primeiro quadrado 
alojado na coluna 1 e linha I é uma unidade experimental, assim como o quadrado 
na coluna 2 e linha I, e assim por diante até o quadrado na coluna 3 e linha III do 
exemplo acima. 
Quando da condução de experimento com animais com esse tipo de 
delineamento, as avaliações devem ser passíveis de serem realizadas mais de uma 
vez no mesmo animal, ou seja, as variáveis respostas devem ser de fluxo contínuo, 
pelo fato de que os animais serão utilizados várias vezes para colheita de dados. 
Pode-se colher sangue de um mesmo animal por várias vezes durante sua vida, 
mas não há como realizar a aferição do peso do seu fígado mais de uma vez. 
Quando as linhas representarem períodos experimentais, estes devem ser 
relativamente curtos, principalmente quando o tempo cronológico afetar a(s) 
variável(is) resposta (Ex.: produção de leite, ovos, etc.). 
 
 
 
Cross-Over 
 
O Cross-Over é um delineamento alternado em seqüência balanceada. Nesse 
tipo de delineamento alternado, normalmente utilizam-se dois tratamentos e duas 
linhas (Ex.: períodos). A metade das colunas numa mesma linha deve receber um 
tratamento, enquanto a outra metade deve receber o outro tratamento (Figura 2). 
Recomenda-se que o número de colunas seja par para manter o balanceamento. Na 
segunda linha devem-se inverter os tratamentos, ou seja, as colunas que receberam 
o tratamento “A” devem receber o “B” e vice-versa. 
 
 
Figura 2 – Representação esquemática de experimento alternado Cross-Over, com 
oito colunas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8) e duas linhas (I e II), e com distribuição de dois 
tratamentos (A e B). Observar que as colunas que recebiam um tipo de tratamento 
numa linha receberam o outro tratamento na outra linha. 
 
A A A 
1 2 3 
I 
II 
Colunas 
B B A B B 
4 5 6 7 8 
B B B B A A A A 
Linhas 
37 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 37 
 
No delineamento Cross-Over podem existir três causa de variação: o 
tratamento, as colunas e as linhas. O efeito de coluna fica a critério do pesquisador 
de ser adicionada ou não ao modelo. Geralmente, quando as colunas são 
homogêneas (por exemplo animais com mesmos peso, sexo, raça, estágio de 
produção, idade, manejo, baias semelhantes) e a diferença entre as mesmas é 
mínima, o pesquisador pode retirar o efeito de coluna, caso ache interessante. Os 
cálculos dos graus de liberdade estão representados nos quadros 1 e 2. 
 
Quadro 1 – Cálculo dos graus de liberdade de experimento com delineamento 
Cross-Over utilizando efeito de coluna. 
C.V. G.L. Exemplo 1** 
Tratamento (no de tratamentos - 1) (2-1) = 1 
Coluna* (no de colunas - 1) (8-1) = 7 
Linha (no de linhas - 1) (2-1) = 1 
Erro (GLTotal – GLTrat. - GL Coluna - GL Linhas) (15 - 1 - 7 -1) = 6 
TOTAL (no de unidades experimentais - 1) (16-1) = 15 
* O efeito de coluna é utilizado a critério do pesquisador. ** Exemplo utilizando efeito 
de coluna. 
38 
 
Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 38 
 
Quadro 2 – Cálculo dos graus de liberdade de experimento com delineamento 
Cross-Over sem utilizar efeito de coluna. 
C.V. G.L. Exemplo 2** 
Tratamento (no de tratamentos - 1) (2-1) = 1 
Coluna* (no de colunas - 1) 
Linha (no de linhas - 1) (2-1) = 1 
Erro (GLTotal – GLTrat. - GL Coluna - GL Linhas) (15 - 1 -1) = 13 
TOTAL (no de unidades experimentais - 1) (16-1) = 15 
* O efeito de coluna é utilizado a critério do pesquisador. **Exemplo não utilizando 
efeito de coluna. 
 
 
Quando se coloca o efeito de coluna no modelo, há uma redução dos graus 
de liberdade do resíduo, já que está se introduzindo uma variação a mais no modelo. 
A retirada do efeito de coluna aumenta os graus de liberdade do resíduo, o que 
conseqüentemente pode reduzir o quadrado médio do resíduo (QM = SM / GL). 
Essa redução gera aumento no valor do F calculado (Fcalc.=QM trat / QM res) e quanto 
maior esse valor, melhor será a análise de variância pois o Fcalc vai se deslocar para 
direita na curva de Gauss melhorando a precisão da análise. Essa retirada do efeito 
de coluna deve ser realizada com ponderação a fim de não piorar (aumentar) a 
variabilidade entre as parcelas experimentais, (aumento da Soma de Quadrados do 
resíduo), pois caso haja efeito de coluna e retiramos esse efeito do modelo, a 
variação vai para a SQres aumentando o valor do Fcalc. 
 
O modelo estatístico experimental pode ser representado da seguinte 
maneira: 
eijkLkCjTi ++++=Υ µ
 
 
Onde: 
Y – observação do tratamento i na coluna j e linha k; 
µ – média geral; 
Ti – efeito do tratamento i; 
Cj – efeito da coluna j; 
Lk – efeito da linha k; 
eijk – erro não explicado. 
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Planejamento e Análises Estatísticas de Experimentos em Produção Animal. Página 39 
 
Switch-Back 
 
O Switch Back é um delineamento alternado em reversão simples. Esse é um 
delineamento semelhante ao Cross-Over, sendo normalmente utilizado para dois 
tratamentos, porém com uma linha a mais (Ex.: 2 tratamentos e 3 períodos). Da 
mesma forma que o Cross-Over, no Switch-Back a metade das colunas numa 
mesma linha deve receber um tratamento, enquanto a outra metade deve receber o 
outro tratamento (Figura 3). Recomenda-se que o número de colunas seja par para 
manter o balanceamento. Na segunda linha devem-se inverter os tratamentos, ou 
seja, as colunas que receberam o tratamento “A” devem receber o “B” e vice-versa, 
e na terceira linha a distribuição de tratamentos por colunas será igual à realizada na 
primeira linha, desta forma a coluna (ex.: animal) é controle dela mesma. 
 
Figura 3 – Representação esquemática de experimento alternado Switch-Back, com 
oito colunas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8) e três linhas (I, II e III), e com distribuição de dois 
tratamentos (A e B). Observar que as colunas que recebiam um tipo de tratamento 
na primeira linha receberam o outro tratamento na segunda linha