Aula 12.0 invertida para a aula 12 (introducao IC)

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Para melhor entender os conceitos das próximas aulas (aula 12 em diante) 
é necessário ler, entender e resolver os exercícios do material abaixo: 
 
Aula invertida – Introdução à distribuição amostral 
A finalidade da amostragem é obter uma indicação do valor de um ou mais PARÂMETROS de uma 
população, tais como a média populacional µ, o desvio padrão populacional σ ou a proporção de itens (ou 
pessoas) que possuem determinada característica. As estatísticas amostrais correspondentes aos respectivos 
parâmetros populacionais são usadas para aproximar os valores desconhecidos desses parâmetros. 
Estatística Amostra População (verdadeiro valor) 
Média 
 
Variância 
 
Desvio padrão 
 
Proporção �̅� =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒
𝑛
 𝑝 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒
𝑁
 
 
Uma das realidades da amostragem aleatória é que, quando se extraem repetidas amostras da mesma 
população, há uma tendência de a estatística amostral variar de uma amostra para outra e, também, em 
relação ao verdadeiro valor do parâmetro da população (simplesmente em razão de fatores casuais 
relacionados com a amostragem). Dessa forma, qualquer tentativa para fazer inferências sobre uma 
população deve levar em conta a variabilidade amostral. 
Pode parecer difícil lidar com a variabilidade amostral. No caso de uma amostragem aleatória, a 
variabilidade pode ser descrita por padrões de probabilidades, como o modelo normal (mas podem existir 
outros padrões). Quando as distribuições de probabilidade são usadas desta maneira, são conhecidas como 
distribuições amostrais. Como essas distribuições só podem ser utilizadas quando se trata de amostras 
aleatórias, é essencial usar somente amostras aleatórias para fazer inferência estatística. 
A questão a ser respondida é: QUÃO PRÓXIMA ESTÁ A ESTATÍSTICA AMOSTRAL DO VERDADEIRO 
VALOR DO PARÂMETRO POPULACIONAL? 
Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que 
indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido 
a variações casuais na amostragem aleatória. 
 
Distribuição amostral de �̅� 
É a distribuição de probabilidades de todos os valores possíveis da média amostral �̅�. Isto pois ao 
dividir uma população em várias amostras, tem-se que as diferentes amostras aleatórias resultam em diversos 
valores para �̅�. Dessa forma, �̅� também é uma variável aleatória. 
 Valor esperado de �̅�: 
O valor esperado (ou valor médio) de �̅� converge para a própria média da variável X na população. 
 
𝐸(�̅�) = 𝜇 
 Desvio padrão de �̅�: 
Definições: 
𝜎 Desvio padrão da variável X na população 
𝜎�̅� Desvio padrão de �̅� 
n Tamanho da amostra 
N Tamanho da população 
 
O desvio padrão de �̅� é calculado pela seguinte expressão: 
𝐷𝑃(�̅�) = 𝜎�̅� =
𝜎
√𝑛
 
 
Para diferenciar o desvio padrão σ da população do desvio padrão 𝜎�̅� da média amostral, é comum 
chamar 𝝈�̅� de erro padrão da média. 
Posteriormente, veremos que o valor de 𝜎�̅� será útil para determinar quanto a média amostral pode 
estar longe da média populacional. 
 
 
Forma da distribuição amostral de �̅�: 
 A população da qual a amostra foi sorteada tem distribuição normal: 
Quando a variável X de interesse da população estudada segue a distribuição Normal, a 
distribuição amostral de �̅� também segue o padrão Normal, para qualquer tamanho amostral n. 
 
 A população da qual a amostra foi sorteada NÃO tem distribuição normal: 
O teorema do limite central (T.L.C.) será útil na identificação da forma da distribuição amostral 
de �̅�. 
T.L.C.: Ao selecionar amostras de tamanho n a partir de uma população, a distribuição amostral de 
�̅� pode ser aproximada por uma distribuição normal à medida que se aumenta o tamanho da amostra 
(�̅� segue o modelo normal com média igual a µ e desvio padrão (nesse caso, erro padrão) igual a 
𝜎
√𝑛
. 
 
 
Exercícios 
1) Uma população tem uma média de 200 e um desvio padrão de 50. Uma amostra aleatória simples de 
tamanho 100 será obtida e a média amostral �̅� será utilizada para estimar a média populacional. 
a) Qual o valor esperado de �̅�? 𝐸(�̅�) = 200 
b) Qual o erro padrão de �̅�? 𝜎𝑋 ̅ = 𝐷𝑃(�̅�) = 5 
c) Qual é a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ± 5 unidades média 
populacional? 𝑃(195 ≤ �̅� ≤ 205) = 0,6826 
d) Qual é a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de ± 10 unidades da média 
populacional? 𝑃(190 ≤ �̅� ≤ 210) = 0,9544 
 
2) Suponha que o desvio padrão populacional seja 25. Calcule o erro padrão da média para amostras de 
tamanho 50, 100, 150 e 200. O que acontece com o erro padrão da média à medida que o tamanho 
amostral aumenta? 
𝜎𝑋 ̅ = 𝐷𝑃(�̅�) = 3,54 ; 2,50 ; 2,04 ; 1,77 
 
3) Uma população muito grande tem média 20 e d.p. 1,4. Uma amostra de 49 elementos é extraída dessa 
população. Qual a porcentagem das possíveis médias amostrais que diferirão por mais de 0,2 da média 
populacional?𝑃(�̅� < 19,8) + 𝑃(�̅� > 20,2) = 0,3174 
 
4) Um fabricante de baterias alega que seu principal produto de uma vida média de 50 meses. Sabe-se 
que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Que porcentagem de amostras de 36 observações 
acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a 
verdadeira vida média das baterias? Qual será a resposta para uma amostra de 64 observações? 
𝑃(49 ≤ �̅� ≤ 51) = 0,8664 𝑒 𝑃(49 ≤ �̅� ≤ 51) = 0,9544 
 
5) Usando as informações do exercício anterior, qual seria a probabilidade de obter uma média amostral 
inferior a 49,8 meses com uma amostra de 100 observações? 𝑃(�̅� < 49,8) = 0,3085