Introdução à Geometria Projetiva - Plácido e Abdênago

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Introduc¸a˜o a`
Geometria Projetiva
Com tratamento vetorial
Abdeˆnago Alves de Barros
Pla´cido Francisco de Assis Andrade
Universidade Federal do Ceara´
Centro de Cieˆncias
Departamento de Matema´tica
i
Prefa´cio
Este livro foi elaborado para ser um texto de ”Introduc¸a˜o a` Geometria Proje-
tiva”, disciplina obrigato´ria para os alunos do terceiro per´ıodo dos cursos de Li-
cenciatura e de Bacharelado de Matema´tica da Universidade Federal do Ceara´. O
pre´-requisito e´ Geometria Anal´ıtica com tratamento vetorial. Foi dentro desta mol-
dura que foi elaborado, mas ele e´ auto suficiente no que diz respeito a` sua leitura.
A escolha do tratamento vetorial nos obriga a uma ra´pida introduc¸a˜o de A´lgebra
Linear. Para isto, escolhemos um extrato do livro [An2].
Os to´picos apresentados consideram o desenvolvimento da Geometria do ponto
de vista axioma´tico, dos gregos ate´ Hilbert, embora nos fixemos na construc¸a˜o de
modelos, fugindo da apresentac¸a˜o sinte´tica. Subjacente a` estrutura do texto fica a
trajeto´ria histo´rica. Os autores na˜o sa˜o especialistas em Histo´ria da Matema´tica,
portanto, para elaborac¸a˜o desta parte coletamos as informac¸o˜es em va´rios e, acre-
ditamos, bons livros sobre o assunto. Com isto, tentamos transmitir ao estudante
o esforc¸o desprendido na sistematizac¸a˜o da Geometria ao longo de mileˆnios, bem
como tentamos valorizar o estudo da Histo´ria da Matema´tica, relegada a um se-
gundo plano nas nossas Graduac¸o˜es.
A apresentac¸a˜o deixa claro as ide´ias e os conceitos surgidos ao longo do de-
senvolvimento da Matema´tica. Ale´m disto, o tratamento vetorial torna o conheci-
mento access´ıvel a todos estudantes dos primeiros anos da Universidade nas a´reas
de Cieˆncias Ba´sicas ou Tecnolo´gicas.
O conteu´do esta´ programado para ser exposto em 50h, sem atropelos. O desen-
volvimento culmina com o elegante estudo de coˆnicas utilizando o Plano projetivo.
Agradecemos aos Professores do Departamento de Matema´tica da UFC, Jose´
Afonso de Oliveira, Francisco Pimentel, Aldir Brasil, Fernando Pimentel e, par-
ticularmente, ao Professor Antoˆnio Caminha pelas correc¸o˜es sugeridas. Ficamos
lisonjeados e em de´bito com os organizadores da XIII Escola de Geometria 2004-
USP pelo convite para lecionar um minicurso e pela publicac¸a˜o do texto.
Abdeˆnago Alves de Barros
Pla´cido Francisco de Assis Andrade
Fortaleza, 23 de maio de 2004
Suma´rio
I HISTO´RIA E ARQUITETURA DO TEXTO 1
1 Histo´ria 2
1.1 Geometria cla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Os Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Os Axiomas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Arquitetura do texto 11
2.1 Estrutura do livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Genealogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Isometria e Congrueˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II A´LGEBRA LINEAR 18
3 O espac¸o vetorial Rn 19
3.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 O espac¸o vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Subespac¸o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Independeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Base e dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Produto interno 33
4.1 Produto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Aˆngulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Produto vetorial em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Transformac¸o˜es lineares 39
5.1 Transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
SUMA´RIO iii
5.2 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.7 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Isometrias do Rn 49
6.1 Translac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Operadores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Classificac¸a˜o das isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 *Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III GEOMETRIA EUCLIDIANA 56
7 Geometria Euclidiana 57
7.1 Esferas e hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Um modelo de plano Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Um modelo de espac¸o Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV GEOMETRIA ELI´PTICA (dupla) 65
8 Geometria El´ıptica 66
8.1 Distaˆncia esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Plano el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Retas el´ıpticas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4 Plano el´ıptico dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.5 Isometrias de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.6 Congrueˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 Trigonometria el´ıptica 78
9.1 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 A´rea de triaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3 *Triaˆngulo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
V GEOMETRIA PROJETIVA E GEOMETRIA AFIM 86
10 Geometria Projetiva 87
10.1 O plano projetivo RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
iv SUMA´RIO
10.2 Relac¸a˜o entre RP2 e S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.3 Retas projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.4 Plano projetivo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.5 Incideˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.6 Geometria Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.7 Retas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.8 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11 Colineac¸a˜o 100
11.1 Operador linear e colineac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.2 Construc¸a˜o de colineac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.3 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.4 Teorema de Papus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.5 Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12 Coˆnicas 115
12.1 Cones em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.2 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.3 Correlac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.4 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.5 Coˆnicas em RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.6 Retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.7 Construindo coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.8 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133
12.9 Teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.10Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI APEˆNDICE 140
13 Partic¸a˜o de conjuntos 141
13.1 Particionando conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.2 Relac¸a˜o de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.3 Classe de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Lista de s´ımbolos
Conjuntos
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Conjunto dos nu´meros reais
Rn . . . . . . . . . . . . . . . . Espac¸o vetorial das n-uplas ordenadas
E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta Euclidiana
E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano Euclidiano
E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espac¸o Euclidiano
S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera unita´ria
S2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera unita´ria dual
RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano projetivo
RP2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano projetivo dual
AP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano afim
Letras gregas
α . . . . . . . . . . . . . . . alfa
β . . . . . . . . . . . . . . beta
γ, Γ . . . . . . . . . . . gama
δ, ∆ . . . . . . . . . . . delta
�, ε . . . . . . . . . . epsilon
ζ . . . . . . . . . . . . . . . zeta
η . . . . . . . . . . . . . . . . eta
θ, Θ, ϑ . . . . . . . . . .teta
ι . . . . . . . . . . . . . . . . iota
κ . . . . . . . . . . . . . . .kapa
λ, Λ . . . . . . . . . lambda
µ . . . . . . . . . . . . . . . mu
ν . . . . . . . . . . . . . . . . .ni
ξ, Ξ . . . . . . . . . . . . . qui
ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . o
π, Π, � . . . . . . . . . . . pi
ρ, � . . . . . . . . . . . . . . . roˆ
σ, Σ, ς . . . . . . . . sigma
τ . . . . . . . . . . . . . . . . tau
υ, Υ . . . . . . . . . upsilon
φ, ϕ, Φ . . . . . . . . . . . . fi
ψ, Ψ . . . . . . . . . . . . . psi
ω, Ω . . . . . . . . . . oˆmega
S´ımbolos cla´ssicos
v = (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R2
v = (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R3
〈u, v〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto interno canoˆnico de u, v ∈ Rn
‖v‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Norma de um vetor v ∈ Rn
d(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distaˆncia entre os pontos p, q ∈ Rn
θ(u, v) . . . . . . . . . . . . .Distaˆncia entre u, v ∈ S2; aˆngulo entre os vetores u, v ∈ R3
[v1, v2, ..., vk] . . . . . . . . . . . . . . . Matriz n× k cujas colunas sa˜o os vetores vi ∈ Rn
[A], [B], [C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matrizes com entradas reais
[A(e1), A(e2), ..., A(en)] . . . . . . . . . Matriz canoˆnica de uma transformac¸a˜o linear
det[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Determinante da matriz quadrada [A]
v = (x : y : z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ponto projetivo v ∈ RP2
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partic¸a˜o de um conjunto
∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relac¸a˜o de equivaleˆncia
A/ ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Espac¸o quociente por uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
P(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O conjunto das partes de um conjunto A
S´ımbolos especiais
[[v1, v2, ..., vn]] . . . . . . . . . . . . . . . Subespac¸o vetorial gerado por v1, v2, ..., vn ∈ Rn
ηuv = u× v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Produto vetorial de u, v ∈ R3
η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor em R3 normal a um plano
Γη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano em R3 contendo a origem com vetor normal η
Γη(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano em R3 contendo p com vetor normal η
rη = Γη ∩ S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta el´ıptica: grande c´ırculo de S2
rη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta projetiva: subconjunto de RP2
η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Reta projetiva: elemento do projetivo dual RP2∗
Parte I
HISTO´RIA E ARQUITETURA
DO TEXTO
Cap´ıtulo 1
Histo´ria
Para deixar claro a estrutura dida´tica na qual o texto esta´ desenvolvido, apre-
sentaremos uma breve histo´ria da Geometria. 1
1.1 Geometria cla´ssica
A palavra Geometria tem etimologia grega e significa ”medic¸a˜o de terras”. Na
Antiga Mesopotaˆmia e no Antigo Egito, o conhecimento geome´trico resumia-se a
um aglomerado de procedimentos pra´ticos de mensurac¸a˜o aplicados, principalmente,
na agricultura. Eram ca´lculos emp´ıricos de comprimentos, a´reas e volumes com o
emprego de fo´rmulas, muitas delas erroneamente utilizadas.
Devemos aos gregos a transformac¸a˜o da Geometria de um conhecimento rudi-
mentar e pra´tico num dos ramos da Matema´tica Pura. Eles tiveram a iniciativa
de abstrair as ide´ias do contexto f´ısico para o contexto puramente mental, processo
que levou se´culos para ser completado, aproximadamente de 600 aC ate´ 300 aC.
O mais antigo grego conhecido que adotou tal postura foi o mercador e enge-
nheiro Tales de Mileto (± 624 aC − ± 547 aC), considerado o primeiro filo´sofo,
1Este cap´ıtulo esta´ baseado nos livro de Boyer [BCB], Heath [Hea], Wallace & West [W-W] e
no site [web1].
1.1. GEOMETRIA CLA´SSICA 3
cientista e matema´tico grego. Ele empregou argumentos lo´gicos para demonstrar
proposic¸o˜es ba´sicas de Geometria, muitas delas de sua autoria, que na˜o tinham
importaˆncia alguma na medic¸a˜o de terras. Tales foi a origem de uma escola que
perdurou por um se´culo e supo˜e-se que ele tenha aprendido em suas viagens os ru-
dimentos de Geometria com os povos da Mesopotaˆmia e Egito. E´ creditado a ele a
demonstrac¸a˜o de resultados tais como:
◦ um c´ırculo e´ bissectado por um diaˆmetro;
◦ os aˆngulos da base de um triaˆngulo iso´sceles sa˜o iguais;
◦ um aˆngulo inscrito num semic´ırculo e´ um aˆngulo reto;
◦ os aˆngulos opostos pelos ve´rtices sa˜o iguais.
Pita´goras de Samos (± 569 aC − ± 475 aC),
possivelmente um aluno da escola de Tales, esta-
beleceu uma sociedade filoso´fica e religiosa que
muito contribuiu para a formalizac¸a˜o da Geo-
metria com trabalhos nas Teorias de paralelas,
figuras similares e uma combinac¸a˜o de Teoria de
nu´meros e misticismo. O pro´prio Pita´goras in-
troduziu as palavras Filosofia (amor a` sabedoria)
e Matema´tica (o que e´ aprendido). Apo´s a morte
do filo´sofo, a escola Pitago´rica dividiu-se em duas
facc¸o˜es. Uma, formada por aqueles que aceita-
vam a palavra do ”mestre” como uma revelac¸a˜o e
a outra, formada por aqueles seguidores que de-
sejavam ”o novo aprendizado”, os matema´ticos.
Membros da u´ltima facc¸a˜o desenvolveram novos resultados de Matema´tica exclu-
sivamente por deduc¸a˜o lo´gica, transformando-a numa Cieˆncia Dedutiva. Sua dou-
trina sobreviveu por se´culos. Ainda na de´cada de 1980 existiam seguidores mı´sticos
em Fortaleza, Ceara´, que realizavam suas reunio˜es num velho casara˜o do centro da
cidade, na Rua Major Facundo, cuja sede era chamadade Escola Pitago´rica.
O avanc¸o seguinte foi estabelecido por outro grego, um professor de Geometria,
Hipocrates de Chios (± 470 aC, Gre´cia − ± 410 aC), ao escrever um livro texto,
Elementos de Geometria, no qual os teoremas eram arranjados numa sequeˆncia onde
os subsequentes eram provados tendo como base os teoremas anteriores. Tudo indica
que sua obra esta´ contida nos Livros I e II dos Elementos de Euclides. Com ele
teˆm-se o in´ıcio da sistematizac¸a˜o do conhecimento Matema´tico, estabelecendo uma
estrutura de apresentac¸a˜o que sobrevive ate´ hoje. Hipo´crates de Chios contribuiu
com teoremas sobre circunfereˆncias.
Por esta mesma e´poca, foi fundada em Atenas pelo filo´sofo Plata˜o (± 427 aC−
± 347 aC), a famosa Academia, uma instituic¸a˜o que congregava os maiores sa´bios
4 CAPI´TULO 1. HISTO´RIA
da e´poca. Sobre seu porta˜o estava escrito:
Na˜o permitam a entrada de quem na˜o saiba geometria.
Com a Academia, a Matema´tica obteve o status de Cieˆncia Pura, seus membros
na˜o tinham a preocupac¸a˜o em aplicar os conhecimentos adquiridos no seu trabalho
e a eˆnfase era no desenvolvimento do pensamento matema´tico e filoso´fico.
Um dos membros da Academia, dos 17 aos 30 anos, foi o filo´sofo Aristo´teles da
Macedoˆnia (± 384 aC - ± 322 aC). A contribuic¸a˜o de Aristo´teles para os fundamen-
tos da Matema´tica foi indireta, construiu uma teoria de afirmac¸o˜es que comec¸ava
com noc¸o˜es comuns, noc¸o˜es especiais, definic¸o˜es e um tratado sobre lo´gica em Filo-
sofia, estabelecendo a base para toda a Matema´tica grega. Aristo´teles fundou um
centro cient´ıfico e filoso´fico chamado Liceu. Nos seiscentos anos seguintes foram
criadas centenas de Escolas pela regia˜o grega mas nenhuma delas compara´vel em
importaˆncia com essas duas, exceto o Museu de Alexandria.
Outro membro da Academia, Eudoxos de Cnido (± 408 aC − ± 355 aC), fez
a moldura de como deve ser uma teoria Matema´tica, sistematizando formalmente
o me´todo axioma´tico inspirado no trabalho de Aristo´teles. Sua mais nota´vel con-
tribuic¸a˜o foi compreender as quantidades incomensura´veis que tanto pertubou os
pitago´ricos. Aceita-se que seu trabalho em Matema´tica e´ a base dos Livros V, VI e
XII dos Elementos de Euclides. A Academia foi um centro no qual va´rios de seus
membros se destacaram na histo´ria da Matema´tica e, em particular, na Geometria:
◦ Teodoro de Cirene (± 465 aC − ± 398 aC),
◦ Teaetetus (± 417 aC − ± 369 aC),
◦ Meneacmus (± 380 aC − ± 320 aC) ,
◦ Dinostrato (± 390 aC − ± 320 aC), irma˜o de Meneacmus,
◦ Auto´licos de Pitane (± 360 aC − ± 290 aC ).
Com a morte de Alexandre da Macedoˆnia, o Grande, (356 aC − 323 aC) aluno
de Aristo´teles e Meneacmus, o territo´rio conquistado foi dividido entre seus generais.
Alexandria, cidade fundada por ele, ficou no territo´rio governado por Ptolomeu I,
1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 5
terras correspondentes ao atual Egito. Este general criou o Museu de Alexandria,2
e transformou-o numa Universidade insupera´vel em seu tempo, em termos de co-
nhecimento. Para dar uma grandeza da importaˆncia do centro, not´ıcias da e´poca
falam numa biblioteca de 500 mil volumes. Muito dos intelectuais mudaram-se para
ali, entre eles Euclides.
1.2 Os Elementos de Euclides
Toda esta construc¸a˜o da mente humana, feita ao longo de 300 anos, ficou registrada
numa obra monumental intitulada Elementos, constitu´ıda de 13 livros (cap´ıtulos).
Nela, esta˜o demonstradas 465 proposic¸o˜es deduzidas de um sistema axioma´tico
numa forma dida´tica, cujo u´nico rival em nu´mero de traduc¸o˜es e´ a B´ıblia. Tal obra
expo˜e sistematicamente toda a Matema´tica ba´sica conhecida em seu tempo.
Devemos tal fac¸anha ao matema´tico grego Euclides
(± 330 aC - ± 270 aC) cuja biografia e´ praticamente
desconhecida. Provavelmente estudou na Academia e
mudou-se para Alexandria a convite de Ptolomeu I
para ser o primeiro professor de Matema´tica do Mu-
seu. Escreveu cerca de doze obras mas somente cinco
delas resistiram ao tempo. Seu texto intitulado O´ptica
(Stoichia) foi um dos primeiros trabalhos escritos sobre
perspectiva. A t´ıtulo de ilustrac¸a˜o listaremos os t´ıtulos
dos Livros que compo˜em a obra de Euclides, que na˜o e´
apenas uma simples compilac¸a˜o de resultados conheci-
dos; supo˜e-se que va´rias proposic¸o˜es e provas sa˜o do
pro´prio Euclides e, possivelmente, algumas delas foram acrescentadas posterior-
mente. A obra na˜o trata apenas de Geometria, inclui tambe´m resultados de Aritme´-
tica. No Livro IX ficou para a posteridade uma das mais belas e elegantes provas da
Matema´tica, a prova do teorema: Existem infinitos nu´meros primos. Certamente,
um autor de uma obra como os Elementos deveria ser um matema´tico de primeira
linha. A lenda descreve-o como um professor excepcional, sendo caricaturado na
figura de um velhinho bondoso. Sua proposta dida´tica para o ensino da Matema´tica
foi espetacular. Ainda hoje, 2300 anos depois, e´ quase que integralmente adotado
nas Escolas de todo o mundo.
ELEMENTOS Geometria Plana: I. Fundamentos da geometria pla-
na. II. A Geometria de retaˆngulos. III. A geometria do c´ırculo. IV.
2Local dedicado a`s nove musas gregas: Cal´ıope (Poema e´pico, a musa mais importante), Clio
(Histo´ria), Erato (Poemas de amor), Eutherp (Mu´sica), Melpomene (Trage´dia), Pol´ınia (Mu´sica
sagrada), Therps´ıcore (Danc¸a), Talia (Come´dia), Uraˆnia (Astronomia).
6 CAPI´TULO 1. HISTO´RIA
Pol´ıgonos regulares no c´ırculo. V. A teoria geral de magnitudes em
proporc¸o˜es. VI. A geometria plana de figuras similares. Teoria dos
nu´meros: VII. Aritme´tica ba´sica. VIII. Nu´meros em proporc¸o˜es. IX.
Nu´meros em proporc¸o˜es; a teoria de nu´meros pares e ı´mpares, nu´meros
perfeitos. Nu´meros irracionais: X. Segmentos de reta incomensura´veis.
Geomeria So´lida: XI. Fundamentos da Geometria so´lida. XII. A´reas e
volumes; me´todo de Eudoxos da exausta˜o. XIII. Os so´lidos de Plata˜o.
O aspecto que nos interessa e´ o sistema axioma´tico adotado por Euclides:
1. Noc¸o˜es comuns
a) Coisas que sa˜o iguais a uma mesma coisa tambe´m sa˜o iguais;
b) Se iguais sa˜o adicionados a iguais, os totais sa˜o iguais;
c) Se iguais sa˜o subtra´ıdos de iguais, os restos sa˜o iguais;
d) Coisas que coincidem uma com a outra sa˜o iguais;
e) O todo e´ maior que qualquer uma de suas partes.
2. Axiomas da Geometria Euclidiana plana3
i) Incideˆncia: pode-se trac¸ar
uma reta ligando quaisquer dois pontos;
ii) Pode-se continuar qualquer reta finita
continuamente em uma reta;
iii) Pode-se trac¸ar um c´ırculo com
qualquer centro e qualquer raio;
iv) Todos os aˆngulos retos sa˜o iguais;
v) Por um ponto fora de uma reta pode-se trac¸ar
uma u´nica reta paralela a` reta dada.
3. Definic¸o˜es
i) 23 definic¸o˜es que dizem respeito a ponto,
reta, aˆngulo, c´ırculo, triaˆngulo, quadrila´tero, etc.
A escola de Alexandria sobreviveu ate´ 450 dC e muito contribuiu com o desenvol-
vimento da Geometria po´s-Euclides, sendo seu maior expoente o ex-aluno siciliano
3O quinto postulado e´ conhecido como Axioma de Playfair. No livro Elementos e´ posto um
axioma equivalente: se uma reta ao cortar duas outras, forma aˆngulos internos, no mesmo lado,
cuja soma e´ menor do que dois aˆngulos retos, enta˜o as duas retas, se continuadas, encontra-se-
a˜o no lado onde esta˜o os aˆngulos cuja soma e´ menor do que dois aˆngulos retos.
1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 7
Arquimedes de Siracusa (287 aC − 212 aC) considerado um dos treˆs maiores ma-
tema´ticos de todos os tempos, junto com o ingleˆs Isaac Newton (1643 − 1727) e o
alema˜o Johann Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855). Seu me´todo para ca´lculo de
a´reas guarda muita semelhanc¸a com o Ca´lculo Integral utilizado nos dias atuais.
Outros nota´veis do Museu foram o ex-aluno Apolonius de
Perga (262 aC - 190 aC), com o estudo das coˆnicas, e
um professor do Museu, Papus de Alexandria (290 dC −
350 dC) que ampliou o trabalhode Euclides, com resulta-
dos cujo esp´ırito era totalmente diferente do que foi feito
ate´ enta˜o, demonstrando teoremas novos que diziam res-
peito apenas aos axiomas de incideˆncia. Papus foi o u´ltimo
grande geoˆmetra grego e seu trabalho e´ tido como a base
da Geometria Projetiva.
A morte de Hipa´tia de Alexandria (± 370 dC − ± 415 dC)
professora do Museu e primeira mulher a destacar-se no es-
tudo da Matema´tica, marca os in´ıcios do decl´ınio daquele
centro como po´lo intelectual e do per´ıodo das trevas para as
civilizac¸o˜es ocidentais. Hipa´tia teve morte cruel, foi descar-
nada com conchas de ostras e queimada em prac¸a pu´blica
por uma turba de crista˜os incentivada pelo Patriarca de
Alexandria, Cirilo.
Cem anos depois da morte de Hipa´tia, em 527 dC, a Academia Platoˆnica de
Atenas ja´ com 900 anos, bem como outras escolas, foi fechada e seus membros
dispersos por Justiniano, Imperador Romano Cato´lico. E por muitos se´culos o de-
senvolvimento da Matema´tica esteve a cargo de outras civilizac¸o˜es, como a A´rabe
cuja maior contribuic¸a˜o foi na A´lgebra. O conhecimento geome´trico ficou, prati-
camente, estagnado e esquecido por dez se´culos. Acredita-se que com a fuga dos
professores gregos para a Pe´rsia, a civilizac¸a˜o A´rabe tomou o impulso relatado nos
livros de Histo´ria.
8 CAPI´TULO 1. HISTO´RIA
1.3 Os Axiomas de Hilbert
Dezoito se´culos depois da publicac¸a˜o dos Elementos (1482), em plena Renascenc¸a,
comec¸aram a surgir as primeiras traduc¸o˜es dos Elementos para as l´ınguas europe´ias
modernas, passando aquela obra a receber um estudo cr´ıtico pelos interessados.
Com a retomada do estudo dos Elementos de Euclides surgiram va´rios resultados
surpreendentes que diziam respeito apenas a` ide´ia de incideˆncia. Por exemplo,
Girard Desargues (1591 − 1661) e Blaise Pascal (1623 − 1662) demonstraram muitas
propriedades na˜o me´tricas de coˆnicas que eram bem diferentes daquelas examinadas
por Apoloˆnio dezoito se´culos antes. O estudo de geometrias com poucos axiomas
perdurou por mais dois se´culos, a`s vezes de forma espora´dica e desorganizada, outras
com intensidade e imaginac¸a˜o.
Como pano de fundo ficava o postulado das paralelas, a secular du´vida se ele
era ou na˜o um axioma Euclidiano independente dos demais, sendo o mais instigante
to´pico de interesse dos geoˆmetras. Muitos acreditaram que podia ser um teorema.
Na˜o e´! Ao longo da histo´ria muitas demonstrac¸o˜es, erradas e´ claro, foram apresen-
tadas, inclusive por matema´ticos importantes em sua e´poca. Ainda no tempo de
Euclides, Ptolomeu I acreditou que tinha dado uma demonstrac¸a˜o para o Axiomas
das Paralelas e tudo leva a crer que o pro´prio Euclides ficou relutante em aceita´-
lo como postulado, utilizando-o apenas a partir da 29a proposic¸a˜o dos Elementos.
Algumas tentativas foram drama´ticas, como aquela feita pelo padre jesu´ıta italiano
Giovanni Saccheri (1667 − 1773). Simplesmente ele demonstrou todos os resulta-
dos ba´sicos da hoje chamada Geometria hiperbo´lica, mas na˜o teve a ousadia para
acreditar que poderiam existir outros tipos de modelos geome´tricos para a Natureza
que na˜o a Geometria Euclidana.
Na metade do se´culo XIX ja´ tinham sido coletadas va´rias hipo´teses assumi-
das por Euclides e utilizadas nas suas argumentac¸o˜es sem que tivessem tido uma
demonstrac¸a˜o ou uma axiomatizac¸a˜o anterior. Listemos algumas delas.
4. Hipo´teses na˜o mencionadas mas utilizadas por Euclides
α) Retas sa˜o conjuntos ilimitados;
β) Vale o postulado de Dedekind: as retas sa˜o cont´ınuas;
γ) No axioma i) a reta que podemos trac¸ar ligando
dois pontos e´ u´nica;
δ) No axioma ii) pode-se continuar uma reta de
uma u´nica maneira;
�) Axioma de Pasch: sejam A, B e C treˆs pontos na˜o coline-
ares e r uma reta que na˜o conte´m nenhum destes
pontos. Se r corta o segmento AB enta˜o ela tambe´m
corta o segmento BC ou o segmento AC.
1.3. OS AXIOMAS DE HILBERT 9
Em 1898-99, o matema´tico alema˜o David Hilbert (1862 −
1943) apresentou um sistema de axiomas completo para a
Geometria Euclidiana plana e espacial numa se´rie de con-
fereˆncias na Universidade de Go¨ttingen. Isto significa que
todos os resultados dos Elementos permaneciam va´lidos as-
sumindo seus postulados. Seu sistema axioma´tico e´ um
dos marcos na Histo´ria da Matema´tica pois organiza os
fundamentos da Geometria e Ana´lise. A comparac¸a˜o mais
pro´xima que pode ser feita e´ com a organizac¸a˜o ocorrida
na A´lgebra ao ser introduzido o conceito de grupo.
Apresentaremos a seguir um extrato dos axiomas para a chamada Geometria
Euclidiana plana, deixando seu detalhamento para a sec¸a˜o Leitura Complementar
no final do pro´ximo cap´ıtulo. E´ conveniente que o leitor passe uma ra´pida lei-
tura na lista completa dos axiomas para fixar e compreender melhor os termos que
utilizaremos abaixo como tambe´m e´ conveniente que tenha em mente os seguintes
fatos.
1. A poss´ıvel existeˆncia de um conjunto na˜o vazio denotado por E2, que na˜o e´
chamado de conjunto mas de plano, termo listado como indefinido no sistema
axioma´tico.
2. Elementos do plano, que na˜o sa˜o chamados de elementos, mas de pontos,
portanto outro termo indefinido.
3. Subconjuntos de E2 chamados retas, termo indefinido. Quando nos referimos
a uma reta espec´ıfica denotaremos esta reta por E1.
Observe que substitu´ımos termos indefinidos por outros, tais como conjunto,
elemento, etc. As explicac¸o˜es acima sa˜o apenas para compreender o sistema, mas,
certamente, sa˜o redundaˆncias.
I. Termos indefinidos
1. Ponto, reta, plano, pertence, esta´ entre, congrueˆncia.
II Axiomas de Incideˆncia
i) Para quaisquer dois pontos existe uma u´nica reta que conte´m
estes pontos.
ii) Existem pelo menos treˆs pontos que na˜o pertecem a uma mesma
reta.
III Axiomas de Ordem
i) Sa˜o estabelecidos quatro axiomas que dizem respeito a` orde-
nac¸a˜o dos pontos de uma reta.
IV Axiomas de Congrueˆncia
10 CAPI´TULO 1. HISTO´RIA
i) Sa˜o estabelecidos cinco axiomas que dizem respeito a` con-
grueˆncia de aˆngulos, segmentos e triaˆngulos.
V Axioma das paralelas
i) Por um ponto fora de uma reta pode-se trac¸ar uma u´nica
reta paralela a` reta dada.
VI Axiomas de Continuidade
i) Completude de uma reta.
ii) Propriedade Arquimediana de uma reta.
Va´rios outros sistemas axioma´ticos equivalentes
ao de Hilbert foram propostos. Dois deles se des-
tacam. Aquele estabelecido por George David
Birkhoff (1864 - 1944), com forte eˆnfase no con-
ceito de distaˆncia, e um outro conhecido pela
sigla SMSG (School Mathematics Study Group)
feito na de´cada de 1960 por uma equipe de pro-
fessores americanos dirigidos por Edward G. Be-
gle. Aqui, mais uma vez fatos pol´ıticos interfe-
rem nos caminhos da Matema´tica.
Com o lanc¸amento do primeiro sate´lite artificial pela extinta Unia˜o Sovie´tica, o
Governo Americano decidiu reformular o ensino de Cieˆncias nas escolas, nomeando
e financiando grupos de estudos para elaborar as propostas da reforma. SMSG foi
um dos grupos.
Logo apo´s a fixac¸a˜o dos axiomas de Hilbert, o matema´tico americano Oswald
Veblen (1880 − 1960) estabeleceu os axiomas da Geometria Projetiva na sua obra
Projective Geometry em conjunto com John Wesley Young. Atualmente, o ingleˆs
H. M. S. Coxeter (1907 − ) e´ considerado o maior geoˆmetra sinte´tico, tendo va´rios
livros publicados na a´rea.
Cap´ıtulo 2
Arquitetura do texto
Um dos nossos interesses ao apresentar o sistema
axioma´tico de Hilbert e´ deixar claro como estara˜o
organizados ao longo do livro os to´picos que estu-
daremos. Daremos a seguir uma visa˜o ra´pida da
estrutura dida´tica escolhida. Assumiremos que o
leitor esta´ familiarizado com os principais resulta-
dos de Geometria Euclidiana, pois as outras Ge-
ometrias sera˜o estudadas estabelecendo analogias
com ela.
2.1 Estrutura do livro
A primeira grande pergunta que surge e´ saber seexiste um conjunto que satisfac¸a os axiomas de Hilbert. O pro´prio sistema axioma´ti-
co ja´ apresenta a resposta positiva.
Primeiro. O conjunto dos nu´meros reais, R, pode ser considerado uma reta
Euclidiana modelo. Os grupos de axiomas de ordem, continuidade e congrueˆncia,
permitem estabelecer uma relac¸a˜o biun´ıvoca entre o conjunto dos nu´meros reais e
os pontos de qualquer reta E1. Assumiremos a identificac¸a˜o pontos de uma reta e
nu´meros reais, como e´ apresentado aos estudantes do Ensino Me´dio, sem nenhuma
formalizac¸a˜o ou rigor.
Segundo. O produto interno canoˆnico no espac¸o Rn, n = 2, 3, e´ uma ferramenta
essencial, pois possibilita precisar va´rios termos indefinidos, como reta, congrueˆncia,
etc. bem como utilizar processos alge´bricos para verificar que aqueles conjuntos
satisfazem, de fato, os axiomas de Hilbert. O produto interno seria o equivalente
a` re´gua e ao transferidor, simultaneamente. Como a linguagem escolhida para
a apresentac¸a˜o do texto foi a linguagem vetorial iniciamos com um cap´ıtulo de
12 CAPI´TULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO
A´lgebra Linear.
Com isto, surge a Geometria Anal´ıtica, que na˜o e´ um ramo da Geometria como
o termo nos induz a pensar, mas um poderoso me´todo para solucionar problemas.
Fixado um sistema de eixos cartesianos, podemos fazer uma identificac¸a˜o canoˆnica
entre um plano Euclidiano E2 com o conjunto alge´brico R2 e entre um espac¸o
Euclidiano E3 com o R3. Tais identificac¸o˜es permitem transcrever va´rios problemas
geome´tricos para uma linguagem alge´brica.
Ale´m disto, e´ poss´ıvel construir e estudar modelos (superf´ıcies bidimensionais)
para as outras principais Geometrias cla´ssicas surgidas a partir do historicamente
controvertido Axioma das Paralelas.
Antecipemos que a ide´ia de continuidade estara´ sempre presente e sera´ utilizado
sem formalizac¸a˜o maior. Se denotamos por P2 um dos modelos, as retas r ⊂ P2
sera˜o cont´ınuas no seguinte sentido.
1. Tipo 1 As retas sa˜o como retas Euclidianas: existe uma correspondeˆncia
biun´ıvoca (e cont´ınua) entre ela e os nu´meros reais.
2. Tipo 2 Ao retirarmos um dos seus pontos o restante e´ como reta Euclidiana.
Portanto, podemos imagina´-las como um c´ırculo usual.
As retas em cada modelo sa˜o do mesmo tipo.
2.2 Genealogia
Como ressaltamos, o sistema axioma´tico de Hilbert e´ organizado em cinco grupos:
1. incideˆncia;
2. ordem;
3. congrueˆncia;
4. paralelismo;
5. continuidade.
As superf´ıcies que estudaremos sa˜o criadas a partir desta divisa˜o axioma´tica. Postula-
se grupos de axiomas, algumas vezes com pequenas modificac¸o˜es dos Axiomas de
Hilbert, para criar um modelo para a Geometria estabelecida.
AGeometra Projetiva e´ certamente a mais simples, com dois grupos axioma´ticos,
o de incideˆncia e o de continuidade.
Na Geometria El´ıptica sa˜o considerados todos os grupos, exceto o de ordem;
nega-se a existeˆncia do paralelismo e na˜o e´ exigido a unicidade de intersec¸a˜o de
retas.
2.3. ISOMETRIA E CONGRUEˆNCIA 13
Na Geometria Afim, eliminamos apenas o grupo de congrueˆncia do sistema
axioma´tico de Hilbert, o restante pemanece igual ao da Geometria Euclidiana.
AGeometria Hiperbo´lica, que na˜o estudaremos aqui, tem todos os axiomas iguais
ao da Geometria Euclidiana, exceto o postulado das paralales onde na˜o e´ exigida a
unicidade.
Um esquema heredita´rio da Geometria mais simples para a mais complexa em
termos axioma´ticos fica resumido nesta a´rvore genealo´gica.
Projetiva

El´ıptica
Afim

Parabo´lica
(ou Euclidiana)
Hiperbo´lica
.
Isto provoca uma diferenc¸a substancial entre elas sob va´rios aspectos, inclusive sobre
as propriedades do pol´ıgono mais simples, o triaˆngulo. Um resumo das diferenc¸as,
levando em conta o postulado das paralelas, pode ser feito da seguinte forma.
a) Geometria Parabo´lica (ou Euclidiana): por um ponto fora de uma reta passa
apenas uma reta paralela a ela. O modelo considerado sera´ o R2, ponto de
refereˆncia em torno do qual o texto se desenvolve. Como sabemos, nesta
Gemetria a soma das medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ igual a
π.
b) Geometria El´ıptica: por um ponto fora de uma reta na˜o passam retas paralelas
a ela. Estudaremos como modelo a esfera unita´ria S2. Neste caso, a soma das
medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ maior que π.
c) Geometria Hiperbo´lica (Na˜o Euclidiana1) por um ponto fora de uma reta
passa mais de uma reta paralela a ela. Usualmente o modelo considerado e´
o disco unita´rio do plano Euclidiano, chamado de disco de Poincare´. Aqui, a
soma das medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ menor que π.
2.3 Isometria e Congrueˆncia
As retas contidas nas superf´ıcies que examinaremos neste texto podem ser estabe-
lecidas a partir de uma func¸a˜o distaˆncia que, por sua vez, e´ uma func¸a˜o distaˆncia
induzida do produto interno canoˆnico do R3. Em u´ltima instaˆncia, as retas sa˜o
1Geometria Na˜o Euclidiana: e´ um termo introduzido por Gauss.
14 CAPI´TULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO
as geode´sicas definidas e estudadas mais amplamente na Geometria Diferencial,
embora este fato na˜o seja explorado.
Na Geometria sinte´tica, em geral, na˜o e´ considerado o conceito de distaˆncia no
sistema axioma´tico. Nos modelos, a me´trica esta´ ressaltada para realizar a ide´ia de
congrueˆncia, que e´ muito pro´xima ao conceito de distaˆncia: dois segmentos de reta
(ou dois aˆngulos) sa˜o congrueˆntes se existe uma isometria que aplica um segmento
no outro (ou um aˆngulo no outro). Veremos que todo o esforc¸o para classificar
isometrias fica restrito ao caso Euclidiano.
O conjunto das isometrias de uma superf´ıcie forma um
grupo quando esta´ equipado com a operac¸a˜o de com-
posic¸a˜o de func¸o˜es. Ao definir uma distaˆncia na su-
perf´ıcie, nos aproximamos de abordagens mais recentes
para o estudo de geometrias, seguindo a ide´ia do ma-
tema´tico prussiano Felix Christian Klein (1849 − 1925),
que descrevia a Geometria como o estudo das proprie-
dades de uma figura que permaneciam invariantes sob a
ac¸a˜o de um particular grupo de transformac¸o˜es, no nosso
caso, as isometrias.
A obsessa˜o de Klein em fazer a ana´lise sob o ponto de vista funcional permeou
essa ide´ia por praticamente toda teoria que surgiu na Matema´tica ao longo do se´culo
XX. Ele foi o introdutor do termo Geometria El´ıptica.
2.4 Leitura complementar
1. Axiomas da Geometria Euclidiana plana proposto por Hilbert [W-W].
I Termos indefinidos
1. Ponto, reta, plano, pertence, esta´ entre e congrueˆncia.
II Axiomas de incideˆncia
1. Para cada dois pontos distintos existe uma (u´nica) reta
que os conte´m.
2. Toda reta conte´m pelo menos dois pontos.
3. Existem pelo menos treˆs pontos que na˜o esta˜o sobre uma
mesma reta e todos os pontos esta˜o sobre o mesmo plano.
III Axiomas de Ordem.
1. Se um ponto B esta´ entre A e C, enta˜o os treˆs pontos
pertencem a uma mesma reta e B esta´ entre C e A.
2.4. LEITURA COMPLEMENTAR 15
2. Para quaisquer dois pontos distintos A e C, existe pelo
menos um ponto B pertencente a` reta AC tal que B esta´
entre A e C.
3. Se treˆs pontos distintos esta˜o sobre uma mesma reta, na˜o
mais que um ponto esta´ entre os outros dois.
4. (Pasch) Sejam A, B e C treˆs pontos que na˜o esta˜o sobre
uma mesma reta e seja l uma reta do plano que na˜o conte´m
algum dos treˆs pontos. Enta˜o, se l intercepta o segmento
AB, ela tambe´m intercepta o segmento AC ou o segmento
BC.
IV Axiomas de Congrueˆncia
1. Se A e B sa˜o dois pontos numa reta l e A′ e´ um outro ponto
de uma reta l′, na˜o necessariamente distinta da anterior,
enta˜o e´ sempre poss´ıvel encontrar um ponto B′ em (um
dado lado da reta) l′ tais que os segmentos AB e A′B′ sa˜o
congruentes (�).
2. Se um segmento A′B′ e um segmento A′′B′′ sa˜o congruentes
a um mesmo segmento AB enta˜o os segmentos A′B′ e A′′B′′sa˜o congruentes entre si.
3. Sobre uma reta l, sejam AB e BC dois segmentos da mesma
que, exceto por B na˜o teˆm pontos em comum. Ale´m disto,
sobre uma outra ou a mesma reta l′, sejam A′B′ e B′C ′ dois
segmentos que, exceto por B′ na˜o teˆm pontos em comum.
Neste caso, se AB � A′B′ e BC � B′C ′, enta˜o AC � A′C ′.
4. Se ∠ABC e´ um aˆngulo e se
−−→
B′C ′ e´ um raio, enta˜o existe
exatamente um raio
−−→
A′B′ em cada lado de B′C ′ tal que
∠A′B′A′ � ∠ABC. Ale´m disto, cada aˆngulo e´ congruente
a si mesmo.
5. Se para dois triaˆngulos ∆ABC e ∆A′B′C ′ as congrueˆncias
AB � A′B′, AC � A′C ′ e ∠BAC � ∠B′A′C ′ sa˜o va´lidas, enta˜o
a congrueˆncia ∠ABC � ∠A′B′C ′ e´ satisfeita.
V Axioma das Paralelas
1. Seja l uma reta e A um ponto na˜o em l. Enta˜o existe no
ma´ximo uma reta no plano que passa por A e na˜o inter-
cepta l.
VI Axiomas de Continuidade
1. Axioma de Arquimedes: Se AB e CD sa˜o segmentos, enta˜o
existe um nu´mero natural n tal que n co´pias de CD con-
16 CAPI´TULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO
tru´ıdas contiguamente de A ao longo do raio
−−→
AB passara´
ale´m do ponto B.
2. Axioma da Completude da Reta: Uma extensa˜o de um con-
junto de pontos sobre uma reta com suas relac¸o˜es de
congrueˆncia e ordem que poderiam preservar as relac¸o˜es
existentes entre os elementos originais, bem como as pro-
priedades fundamentais de congrueˆncia e ordem que se-
guem dos axiomas acima (menos o das Paralelas), e´ im-
poss´ıvel.
2. Axiomas da Geometria Euclidiana Espacial Devemos acrescentar uns
poucos axiomas aos axiomas da Geometria plana, a maioria deles sobre existeˆn-
cia e incideˆncia. Na˜o separaremos por grupos. A Geometria Euclidiana Es-
pacial algumas vezes tambe´m e´ chamada de Geometria Euclidiana So´lida.
VII Axiomas sobre planos
1. Em todo plano existe ao menos treˆs pontos na˜o colinea-
res.
2. Nem todos os pontos pertencem ao mesmo plano.
3. Treˆs pontos na˜o colineares pertencem a um u´nico plano.
4. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, enta˜o
toda a reta esta´ contida no plano.
5. Se dois planos teˆm um ponto em comum eles teˆm um se-
gundo ponto em comum.
3. Aristo´teles descendia de uma abastada famı´lia da Macedoˆnia. Seu pai foˆra
me´dico do avoˆ de Alexandre, o grande. Estudou na Academia de Plata˜o e
ali ficou ate´ a morte do fundador (± 347 aC), quando emigrou para a A´sia
Menor, indo desposar P´ıtia, a filha de um pequeno tirano da regia˜o. Com
a invasa˜o e conquista da regia˜o pelos persas, emigrou para a ilha de Lesbos
onde sua esposa morreu ao dar a luz a uma filha.
2.4. LEITURA COMPLEMENTAR 17
Em 343 aC, Felipe, pai de Alexandre, chamou-o para educar o filho, fato que
criou uma grande afeic¸a˜o entre o filo´sofo e o futuro conquistador. Apo´s ser
(um excelente) governador de uma regia˜o da Macedoˆnia, voltou a` Atenas onde
fundou o famoso Liceu.
O Liceu foi a primeira Universidade, com o significado atual do termo. Ao
contra´rio da Academia, instituic¸a˜o destinada aos aristocratas, Aristo´teles re-
quisitava seus alunos na classe me´dia. E a diferenc¸a continuava no me´todo
de ensino. Seus alunos eram dirigidos para o estudo de Cieˆncias onde classi-
ficavam plantas, animais e seus ha´bitos, estudavam Epistemologia, Filosofia,
Anatomia, etc. O Liceu tinha biblioteca, jardim zoolo´gico e museu natural,
mantidos com a ajuda financeira de Alexandre e exemplares trazidos pelos
pescadores, exploradores e cac¸adores, a seu pedido.
Arito´steles foi cientista, professor e filo´sofo. Suas aulas matutinas eram minis-
tradas caminhando com seus alunos pelos po´rticos que circundavam o Liceu,
escola contru´ıda no meio dos Jardins de L´ıcio. E´ por isso que sua escola e´ ape-
lidada de peripate´tica (ambulante). Pelas tardes abria-se a Universidade para
a populac¸a˜o onde eram proferidas confereˆncias sobre diversos assuntos. Em-
bora na˜o fosse matema´tico, deixou registrado uma demonstrac¸a˜o mostrando
que
√
2 na˜o era comensura´vel. Seu rigor cient´ıfico, levou-o a uma filosofia na
qual os termos empregados eram precisamante definidos. Eudoxo inspirou-se
em Aristo´teles para introduzir na Matema´tica o sistema axioma´tico.
Prestes a morrer, pediu para ser sepultado ao lado da esposa, na ilha de Lesbos
[Mon].
Parte II
A´LGEBRA LINEAR
Cap´ıtulo 3
O espac¸o vetorial Rn
Neste cap´ıtulo, estudaremos os conjuntos
alge´bricos R2 e R3. Ressaltamos que discor-
reremos sobre dois tipos de objetos, um deles
alge´brico, o Rn, enquanto o outro e´ Euclidiano.
O terceiro objeto, a figura, serve apenas para
organizar as ide´ias. Usaremos os termos func¸a˜o e
aplicac¸a˜o com o mesmo significado. Esta parte do
texto e´ um extrato de [An2].
3.1 O conjunto Rn
Denotamos por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de nu´meros reais, ou seja,
Rn = {(v1, v2, ..., vn); vi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n}.
Os elementos deste conjunto sa˜o chamados de pontos e, por simplicidade, muitas
vezes indicaremos um ponto de Rn como v = (v1, v2, ..., vn). Num primeiro mo-
mento, estes sa˜o os conjuntos para os quais voltaremos nosso interesse. Observe
que v = (v1, v2, ..., vn) e w = (w1, w2, ..., wn) sa˜o iguais, v = w, se, e somente
se, vi = wi para todo i = 1, 2, ..., n. Para organizar a escrita utilizaremos letras
minu´sculas para indicar os pontos de Rn. Por exemplo,
a = (a1, a2, ..., an), p = (p1, p2, ..., pn), w = (w1, w2, ..., wn), etc.
A maior parte do texto esta´ relacionada com os conjunto R2 e R3, e por isto reserva-
remos uma notac¸a˜o especial para indicar seus elementos. Para o primeiro conjunto
indicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma tripla ordenada em R3 sera´
registrada na forma v = (x, y, z).
As ide´ias expressas pelos termos ponto, reta, plano e espac¸o empregadas na Geo-
metria Euclidiana sa˜o auto-explica´veis, na˜o suportam uma definic¸a˜o. Denotaremos
20 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
uma reta, um plano e um espac¸o Euclidianos por E1, E2 e E3, respectivamente. A
relac¸a˜o entre os conjuntos alge´bricos R1, R2 e R3 com aqueles e´ do conhecimento
de todos, mas recapitulemos a construc¸a˜o que justifica a existeˆncia da Geometria
Anal´ıtica. Observamos que devemos distinguir o conjunto alge´brico, o conjunto
Euclidiano e as figuras feitas no papel.
O conjunto das 1-upla ordenadas, R1 = {(x);x ∈ R}, e´ canonicamente identifi-
cado com o conjunto dos nu´meros reais R. Na˜o distinguiremos uma 1-upla ordenada
(x) ∈ R1 de um nu´mero real x ∈ R. Para construir uma correspondeˆncia um a um
entre os nu´meros reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E1, fixamos uma uni-
dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E1 um u´nico nu´mero real,
o qual e´ chamado de abscissa do ponto. Com
isto, temos definido uma aplicac¸a˜o P : R →
E1, onde P (x) e´ o ponto da reta Euclidiana
cuja abscissa e´ x.
Seja (x, y) ∈ R2. Escolhidos dois eixos Cartesianos num plano Euclidiano E2,
digamos ox e oy, definimos P : R2 → E2, onde P (x, y) e´ o ponto do plano Euclidiano
cuja abscissa e´ x e a ordenada e´ y. Reciprocamente, cada ponto no plano e´ associado
a um u´nico par ordenado. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa a
ser chamado de plano Cartesiano.
Da mesma forma, seja v = (x, y, z) ∈ R3. Fixados treˆs eixos Cartesianos em E3,
ox, oy e oz, definimos a aplicac¸a˜o P : R3 → E3, onde P (x, y, z) e´ o ponto do espac¸o
Euclidiano tal que a abscissa e´ x, a ordenada e´ y e a altura e´ z. Certamente o leitor
esta´ acostumado com a notac¸a˜o P (x, y, z). Quando fixamos um sistema de eixos
em E3 passamos a chama´-lo de espac¸o Cartesiano.
Indicamos pontos de En, n = 1, 2, 3, por letras maiu´sculas. Por exemplo, U ∈ E2
significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U(2, 3) estamos supondo
que ja´ fixamos os eixos Cartesianos e o ponto e´ imagem de u = (2, 3) ∈ R2, pela
aplicac¸a˜o P : R2 → E2. Esta sera´ uma regra notacional. O ponto v = (v1, v2) tera´
3.2. O ESPAC¸OVETORIAL RN 21
sua imagem pela aplicac¸a˜o P indicada por V (v1, v2) em lugar de P (v1, v2), o ponto
w = (w1, w2) tera´ sua imagem indicada por W (w1, w2), etc. Uma regra notacional
similar sera´ utilizada para R3.
Comenta´rio Neste texto, na˜o estudaremos Geo-
metria Anal´ıtica, mas lanc¸aremos ma˜o de uns pou-
cos resultados desta disciplina que sa˜o do conheci-
mento de todos desde o Ensino Me´dio. No desen-
volvimento da teoria nos depararemos com va´rios
subconjuntos Γ ⊂ R2 definidos por uma equac¸a˜o
linear homogeˆnea, por exemplo, Γ = {(x, y) ∈
R2;x− 3y = 0}.
Um tal conjunto tem como imagem pela aplicac¸a˜o P : R2 → E2 uma reta que
conte´m a origem do plano Cartesiano cuja equac¸a˜o linear homogeˆnea que a define e´ a
mesma, {P (x, y) ∈ E2;x−3y = 0}. A identificac¸a˜o e´ ta˜o natural que continuaremos
a designar pela mesma letra a imagem, Γ = {P (x, y) ∈ E2;x− 3y = 0}, embora os
dois sejam subconjuntos de conjuntos diferentes.
Do mesmo modo, os subconjuntos do R3 definidos
por uma equac¸a˜o linear homogeˆnea, por exemplo,
Γ = {(x, y, z) ∈ R3;x + y + z = 0}, teˆm como
imagem pela aplicac¸a˜o P : R3 → E3 um conjunto
definido pela mesma equac¸a˜o linear homogeˆnea,
{P (x, y, z) ∈ E3;x + y + z = 0}. Como sabemos,
este u´ltimo conjunto e´ um plano que conte´m a ori-
gem do espac¸o Cartesiano. Tambe´m a imagem de
Γ sera´ indicada pela mesma letra. �
3.2 O espac¸o vetorial Rn
Em Rn definimos duas operac¸o˜es bina´rias, a soma de dois elementos e a multi-
plicac¸a˜o de um elemento por um escalar. Aqui, o termo escalar significa nu´mero
real. As operac¸o˜es sa˜o definidas dos seguintes modos. Se v = (v1, v2, ..., vn), w =
(w1, w2, ..., wn) ∈ Rn e λ ∈ R estabelecemos que
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn +wn),
λv = (λv1, λv2, ..., λvn).
Diz-se que as operac¸o˜es equipam Rn com uma estrutura de espac¸o vetorial e os
elementos de Rn passam a ser chamados de vetores. Na sec¸a˜o Leitura Complementar
deste cap´ıtulo e´ apresentada a definic¸a˜o de espac¸o vetorial. O espac¸o Rn possui todas
as propriedades ali enumeradas.
22 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Utilizamos uma terminologia pro´pria quando estamos falando acerca do espac¸o
vetorial Rn. Por exemplo, escalar significa um nu´mero real, como ja´ foi dito. O
vetor nulo e´ o vetor o = (0, 0, ..., 0). Dois vetores v,w ∈ Rn sa˜o colineares quando
existe um escalar λ ∈ R tal que v = λw ou w = λv.
Anteriormente, exibimos uma identificac¸a˜o entre os conjuntos Rn com os con-
juntos Euclidianos, En, para n = 1, 2, 3. Depois, definimos uma operac¸a˜o de soma
de dois elementos e um produto de um elemento por um escalar em Rn, passando
a chama´-los de espac¸o vetorial. Novamente, iremos interpretar geometricamente
os vetores para explicitar a existeˆncia da estrutura alge´brica em Rn. A diferenc¸a
entre o conjunto e o conjunto com a estrutura alge´brica (espac¸o vetorial) e´ sutil mas
existe, e a diferenc¸a e´ visualizada utilizando-se segmento orientado.
Sejam R,S ∈ En. Um segmento orientado em En e´ o
par ordenado (R,S) que por convenieˆncias gra´ficas e´
indicado por
−→
RS, em lugar da notac¸a˜o cla´ssica para
pares ordenados. Esta grafia registra a ide´ia de uma
seta com ponto inicial em R e ponto final em S. O
conjunto de todos os segmentos orientados de En in-
dicamos sugestivamente por
−→
E n.
Sejam R(r1, r2, ..., rn) e S(s1, s2, ..., sn) pontos de En.
Diz-se que o segmento orientado
−→
RS representa o ve-
tor v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn se, e somente se, as coor-
denadas dos pontos e as coordenadas do vetor esta˜o
relacionadas pelas equac¸o˜es como descrito ao lado

v1 = s1 − r1
v2 = s2 − r2
. . .
vn = sn − rn
.
Exemplo 3.2.1 Um vetor pode ser representado por va´rios segmentos orientados
diferentes. Vejamos duas representac¸o˜es para v = (1, 2) ∈ R2. Se escolhermos os
pontos R(2, 0) e S(3, 2) em E2, o segmento orientado
−→
RS representa v pois{
1 = 3− 2
2 = 2− 0 .
Se escolhermos os pontos U(1, 1) e V (2, 3) o segmento orientado
−−→
UV tambe´m re-
presenta o mesmo vetor v pois {
1 = 2− 1
2 = 3− 1 . �
O segmento orientado canoˆnico para representar o vetor v = (v1, v2, ..., vn) e´
aquele que tem como ponto inicial a origem O e ponto final V (v1, v2, ..., vn). Numa
linguagem informal, dizemos que obtido um representante do vetor com ponto inicial
3.2. O ESPAC¸O VETORIAL RN 23
a origem O, qualquer outro representante e´ obtido por transporte paralelo daquele.
Feitas estas considerac¸o˜es passemos a`s contruc¸o˜es.
a) A representac¸a˜o geome´trica dos reais R e´ feita definindo-se a aplicac¸a˜o
−→
P :
R → −→E 1, onde −→P (x) e´ o segmento orientado −−→OP cujo ponto inicial e´ a origem
O e o ponto final e´ o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa e´ P (x) = x.
b) Da mesma forma, definimos uma representac¸a˜o do espac¸o vetorial R2 estabe-
lecendo que a aplicac¸a˜o
−→
P : R2 → −→E 2 tem como regra: −→P (x, y) e´ o segmento
orientado
−−→
OP cujo ponto inicial e´ a origem e o ponto final e´ P (x, y).
c) Similarmente, fazemos a representac¸a˜o de um vetor do espac¸o vetorial R3,
agora utilizando o espac¸o Cartesiano E3.
Comenta´rio Dentre as muitas utilidades do determinante, existe uma interpreta-
c¸a˜o geome´trica que sera´ utilizada ao longo do texto, embora na˜o seja demonstrada
aqui. Aos vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) em R2, associamos um parelogramo
num plano Cartesiano, OUV P , cujos ve´rtices sa˜o O(0, 0), U(u1, u2), V (v1, v2) e
P (u1 + v1, u2 + v2). Observe que os segmentos orientados
−−→
OU e
−−→
V P sa˜o dois repre-
sentantes do vetor u e os segmentos orientados
−−→
OV e
−−→
UP sa˜o dois representantes
do vetor v. O valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas sa˜o as co-
ordenadas dos vetores, |det[u, v]|, e´ o valor da a´rea do paralelogramo. Quando o
determinante e´ nulo, significa que o paralelogramo e´ degenerado, na˜o tem o com-
primento ou na˜o tem altura. A diagonal do paralelogramo representa o vetor soma
u + v.
24 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Da mesma forma, podemos interpretar o valor absoluto do determinante de uma
matriz 3 × 3 constru´ıda com treˆs vetores do R3, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e
w = (w1, w2, w3), ou seja, o valor absoluto do determinante da matriz
[u, v,w] =
 u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3
 ,
como sendo o volume de um paralelep´ıpedo no espac¸o Cartesiano, constru´ıdo de tal
forma que suas arestas sa˜o obtidas pelo transporte paralelo dos segmentos orientados
representando os treˆs vetores. A diagonal do paralelep´ıpedo representa a soma dos
treˆs vetores, u + v + w.
3.3 Subespac¸o vetorial
Dentre todos os subconjuntos de Rn alguns sa˜o especiais, na˜o apenas para a com-
preensa˜o do texto, mas para a A´lgebra Linear como um todo. Sa˜o os chamados
subespac¸os vetoriais.
Definic¸a˜o 3.3.1 Diz-se que um subconjunto Γ ⊂ Rn e´ um subespac¸o vetorial
quando possuir as seguintes propriedades:
1. Γ e´ um conjunto na˜o vazio;
2. se v,w ∈ Γ enta˜o v + w ∈ Γ; (fechado em relac¸a˜o a` soma de vetores)
3. se v ∈ Γ e λ ∈ R enta˜o λv ∈ Γ. (fechado em relac¸a˜o ao produto por escalar)
Por simplicidade, diremos que Γ e´ um subespac¸o. O termo subespac¸o vetorial
esta´ bem empregado, uma vez que o leitor pode verificar que Γ satisfaz todas as
condic¸o˜es listadas na definic¸a˜o de espac¸o vetorial, ficando o pre´fixo sub por conta de
Γ ser um subconjunto de Rn. Naquela definic¸a˜o e´ exigido que o conjunto tenha um
elemento neutro em relac¸a˜o a` soma de vetores. De fato, um subespac¸o Γ conte´m o
vetor nulo. Sena˜o vejamos. Como Γ e´ na˜o vazio, escolhemos um vetor qualquer v ∈ Γ
e o escalar λ = 0. Pelo item 3, podemos garantir que o produto λv = (0, 0, ..., 0) ∈ Γ.
3.3. SUBESPAC¸O VETORIAL 25
Destacamos dois exemplos de subespac¸os de Rn, a saber, o subespac¸o trivial
constitu´ıdo apenas pelo vetor nulo, Γ = {(0, 0, ..., 0)}, e aquele formado por todosos vetores, Γ = Rn. E´ claro, que estaremos tambe´m interessados em estudar os
subespac¸os pro´prios, aqueles que satisfazem a condic¸a˜o
{(0, 0, ..., 0)} � Γ � Rn.
Empregaremos duas te´cnicas para descrever um subespac¸o. A primeira lanc¸ando
ma˜o de equac¸o˜es lineares homogeˆneas.
Exemplo 3.3.1 Dado o subconjunto Γ = {(x, y, z) ∈ R3;x− 2y + 3z = 0} ⊂ R3.
Verifica-se que Γ e´ um subespac¸o do R3 mostrando que ele possui as treˆs pro-
priedades enumeradas na definic¸a˜o de subespac¸o. Como a sentenc¸a que define o
conjunto Γ e´ a equac¸a˜o linear homogeˆnea com treˆs inco´gnitas x − 2y + 3z = 0, o
conjunto correspondente no espac¸o Cartesiano e´ um plano contendo a origem. �
Para apresentar uma segunda maneira de descrever um subespac¸o e´ conveniente
fixar uma terminologia que sera´ empregada inu´meras vezes.
Definic¸a˜o 3.3.2 Diremos que um vetor w ∈ Rn e´ uma combinac¸a˜o linear dos ve-
tores v1, v2, ..., vk ∈ Rn se existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R, chamados coeficientes
da combinac¸a˜o linear, tais que w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk.
O conjunto formado por todos os vetores que sa˜o combinac¸o˜es lineares dos ve-
tores v1, v2, ..., vk ∈ Rn sera´ indicado por [[v1, v2, ..., vk ]] ⊂ Rn. Mais precisamente,
[[v1, v2, ..., vk]] = {w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk, ai ∈ R}.
Relacionemos os dois tipos acima de apresentac¸o˜es de subespac¸os.
Exemplo 3.3.2 Consideremos um subespac¸o definido por uma equac¸a˜o linear ho-
mogeˆnea, digamos Γ = {(x, y, z) ∈ R3;x− y + 3z = 0}.
Fac¸amos uma manipulac¸a˜o alge´brica. Um ve-
tor v = (x, y, z) pertence a Γ se, e somente se,
v = (y − 3z, y, z). As igualdades
v = (y − 3z, y, z)
= (y, y, 0) + (−3z, 0, z)
= y(1, 1, 0) + z(−3, 0, 1),
nos dizem que v e´ uma combinac¸a˜o linear de
26 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
v1 = (1, 1, 0) e v2 = (−3, 0, 1). Isto mostra a inclusa˜o Γ ⊂ [[v1, v2]]. Reciprocamente.
Seja v = (x, y, z) ∈ [[v1, v2]]. Enta˜o
(x, y, z) = v
= a1v1 + a2v2
= a1(1, 1, 0) + a2(−3, 0, 1)
= (a1 − 3a2, a1, a2).
E´ imediato concluir que v = (x, y, z) satisfaz a equac¸a˜o linear homogeˆnea x = y−3z,
pois y = a1, z = a2 e x = 2a1−3a2, Portanto, qualquer vetor v = (x, y, z) ∈ [[v1, v2]]
tambe´m pertence a` Γ. Isto mostra a inclusa˜o [[v1, v2]] ⊂ Γ.
Observe que v1 ∈ [[v1, v2]] = Γ pois ele e´ a combinac¸a˜o linear v1 = 1v1 + 0v2.
Da mesma forma mostramos que v2 ∈ [[v1, v2]] = Γ. �
Comenta´rio Quando consideramos um u´nico vetor, v1 ∈ Rn, ao dizermos que
w ∈ Rn e´ uma combinac¸a˜o linear de v1 estamos apenas afirmando que w e´ um
mu´ltiplo de v1, em outras palavras, w = a1v1. �
Proposic¸a˜o 3.3.1 Sejam v1, v2, ..., vk ∈ Rn. O conjunto das combinac¸o˜es lineares
destes vetores,
[[v1, v2, ..., vk]] = {w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk, ai ∈ R},
e´ um subespac¸o vetorial de Rn.
A proposic¸a˜o ensina um pouco mais. E´ fa´cil construir subespac¸os vetoriais,
basta escolher uma colec¸a˜o na˜o vazia de vetores, v1, v2, ..., vk ∈ Rn, e considerar o
conjunto de todas as suas combinac¸o˜es lineares, [[v1, v2, ..., vk ]].
Como sempre, fixado um conceito surgem as perguntas. Dado um subespac¸o
Γ ⊂ Rn.
1. Existem vetores v1, v2, ..., vk ∈ Rn tais que Γ = [[v1, v2, ..., vk]]?
2. Se existem, qual o nu´mero mı´nimo de vetores que podemos utilizar para
descreveˆ-lo como subespac¸o de combinac¸o˜es lineares Γ = [[w1, w2, ..., wl]]?
A resposta para a primeira pergunta e´ sim e o nu´mero mı´nimo de vetores que
podemos utilizar chama-se de dimensa˜o de Γ. Em portugueˆs, dependendo do con-
texto, a palavra dimensa˜o transmite a noc¸a˜o de comprimento, largura e altura.
Fisicamente, dizemos que um segmento de reta tem comprimento, uma figura plana
como um retaˆngulo tem comprimento e largura e um so´lido como um paralelep´ıpedo
tem comprimento, largura e altura. A noc¸a˜o de dimensa˜o de um subespac¸o transfere
estas noc¸o˜es f´ısicas para a Matema´tica, mas para transfer´ı-la precisamos de termi-
nologias apropriadas. Este e´ o objetivo das pro´ximas sec¸o˜es, definir e determinar a
3.4. INDEPENDEˆNCIA LINEAR 27
dimensa˜o de um subespac¸o, no sentido Matema´tico do termo. Antes de avanc¸armos,
resumiremos o conteu´do desta sec¸a˜o com um conceito.
Diz-se que um subconjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn e´ um conjunto
ordenado de geradores do subespac¸o Γ ⊂ Rn quando β ⊂ Γ e Γ = [[v1, v2, ..., vk]].
A segunda condic¸a˜o pode ser dita de outra forma: dado qualquer vetor w ∈ Γ
existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R tais que w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk.
A expressa˜o ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento,
e ele esta´ indexado por 1, um segundo elemento que esta´ indexado por 2, etc.
Eventualmente, dois elementos podem ser iguais.
Deste ponto em diante, a menos que seja dito explicitamente o contra´rio, pas-
samos a supor que os subespac¸os considerados Γ ⊂ Rn na˜o sa˜o o subespac¸o trivial
e os conjuntos ordenados β = {v1, v2, ..., vk} sa˜o formados por vetores na˜o nulos.
Exerc´ıcios propostos 3.1
1. Existem va´rias outras te´cnicas para construir subespac¸os vetoriais. Por exemplo,
mostre que se Γ1 e Γ2 sa˜o dois subespac¸os vetoriais de Rn, enta˜o a intersec¸a˜o Γ1 ∩Γ2
tambe´m o e´.
2. Seja β = {v1, v2, ..., vk−1, vk} um conjunto ordenado de Rn.
1. E´ verdade que vi ∈ [[v1, v2, ..., vk]]?
2. Mostre que [[v1, v2, ..., vk−1]] ⊂ [[v1, v2, ..., vk−1, vk]].
3. Pode ocorrer a igualdade [[v1, v2, ..., vk−1]] = [[v1, v2, ..., vk−1, vk]]?
3.4 Independeˆncia linear
Anteriormente, utilizamos o conceito de combinac¸a˜o linear para dar significado aos
termos ”conjunto ordenado de geradores de um subespac¸o vetorial Γ”. O pro´ximo
passo e´ classificar os conjuntos ordenados de geradores em dois tipos:
1. aqueles conjuntos com os quais expressamos cada vetor do espac¸o de maneira
u´nica, tecnicamente falando, os linearmente independentes,
2. e aqueles que na˜o possuem esta propriedade, os linearmente dependentes.
Combinando os dois conceitos, geradores e independeˆncia linear, definimos base
ordenada de um subespac¸o,
Base ordenada

Conjunto ordenado de geradores
e
Conjunto linearmente independente
.
28 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Diremos que um conjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn e´ linearmente inde-
pendente se a u´nica combinac¸a˜o linear poss´ıvel com os vetores de β para expressar o
vetor nulo e´ a combinac¸a˜o linear cujos coeficientes sa˜o todos iguais ao escalar zero.
Formalizemos estes comenta´rios numa definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.4.1 Um conjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn e´ linearmente
independente se, e somente se, (0, 0, ..., 0) = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk enta˜o a1 =
a2 = · · · = ak = 0.
Chamamos a atenc¸a˜o para dois pontos.
1) Quando o conjunto ordenado e´ constitu´ıdo de um u´nico vetor na˜o nulo, β =
{v1}, ele e´ linearmente independente.
ii) Quando existe uma combinac¸a˜o linear para o vetor nulo com coeficientes na˜o
todos nulos, diremos que o conjunto ordenado β e´ linearmente dependente.
Uma das facilidades da A´lgebra Linear e´ que muitas propriedades gerais sa˜o
conhecidas examinando apenas se o vetor nulo possui aquela propriedade. Este e´ o
caso da combinac¸a˜o linear. Se soubermos que o vetor nulo e´ escrito de modo u´nico
como uma combinac¸a˜o linear, garantiremos que o mesmo ocorrera´ com todos os
outros vetores, e reciprocamente.
Existe uma cota superior para o nu´mero de vetores de um conjunto ordenado
linearmente independente em Rn.
Proposic¸a˜o 3.4.1 Seja β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn um conjunto ordenado de vetores.
Se k > n enta˜o β e´ linearmente dependente.
Um conjunto de geradores linearmente dependente de um subespac¸o pode ser
simplificado, eleminando-se um determinado vetor e continuando com um conjunto
de geradores.
Proposic¸a˜o 3.4.2 Suponha que β = {v1, ..., vi, ..., vk} e´ um conjunto ordenado de
vetores na˜o nulos de Rn. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:a) O conjunto β e´ linearmente dependente;
b) Existe um vetor vi que e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2, ..., vi−1;
c) [[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]] (o sinal v̂i indica que o vetor vi foi su-
primido da lista).
3.5. BASE E DIMENSA˜O 29
O procedimento indicado na proposic¸a˜o pode ser aplicado reiteradamente. Ao
simplificar o conjunto ordenado de geradores β = {v1, ..., vi, ..., vk} retirando do con-
junto o primeiro elemento vi que seja combinac¸a˜o linear dos anteriores, conclu´ımos
que o subespac¸o das combinac¸o˜es lineares de β̂i = {v1, ..., v̂i, ..., vk} e´ o mesmo,
[[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]].
Ao conjunto ordenado de geradores β̂i, aplicamos o mesmo processo, retiramos o
primeiro elemento vj que seja combinac¸a˜o lineares dos anteriores, e´ claro que j > i,
obtendo β̂ij = {v1, ..., v̂i, ..., v̂j , ...vk} e a igualdade dos subespac¸os das combinac¸o˜es
lineares
[[v1, ..., v̂i, ...v̂j , ..., vk]] = [[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]]
No final do processo temos constru´ıdo um conjunto ordenado de geradores, digamos
α, contendo pelo menos o vetor v1 e gerando o mesmo subespac¸o original. No
conjunto α, um vetor qualquer na˜o e´ combinac¸a˜o linear de seus antecessores. Com
uma releitura da u´ltima proposic¸a˜o na forma contrapositiva, conclu´ımos que α e´
um conjunto linearmente independente.
3.5 Base e dimensa˜o
Na sec¸a˜o anterior consideramos um subespac¸o [[v1, v2, ..., vk ]] e simplificamos o con-
junto de geradores suprimindo alguns de seus vetores ate´ obter um conjunto de
geradores linearmente independente para o subespac¸o. Tendo em vista aqueles co-
menta´rios fixaremos a seguinte terminologia e um corola´rio cuja demonstrac¸a˜o e´
imediata.
Definic¸a˜o 3.5.1 Seja Γ um subespac¸o vetorial na˜o trivial de Rn. Uma base orde-
nada para Γ e´ um conjunto ordenado de geradores α ⊂ Γ linearmente independente.
Corola´rio 3.5.1 Dado o subespac¸o [[v1, v2, ..., vk]] ⊂ Rn, podemos escolher um sub-
conjunto α ⊂ {v1, v2, ..., vk} que e´ uma base ordenada do subespac¸o.
A base canoˆnica do Rn e´ o subconjunto ordenado de n vetores C = {e1, e2, ..., en}
de Rn, onde
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), . . . en = (0, 0, ..., 1).
Dado um subespac¸o Γ ⊂ Rn, podemos escolher, sucessivamente, vetores v1,
v2,...,vk em Γ, linearmente independentes, ate´ obter uma base ordenada e concluir
que Γ = [[v1, v2, ..., vk]]. Todo subespac¸o na˜o trivial do Rn possui uma base, alia´s,
podemos construir muitas bases para o subespac¸o.
30 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Teorema 3.5.1 Seja Γ ⊂ Rn um subespac¸o na˜o trivial. Enta˜o existe uma base
ordenada α = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Γ. Ale´m de Γ = [[v1, v2, ..., vk ]] podemos afirmar:
a) o nu´mero de elementos de α e´ menor ou igual a n;
b) se o nu´mero de elementos de α e´ igual a n enta˜o Γ = Rn;
c) todas bases ordenadas de Γ teˆm o mesmo nu´mero de elementos.
O teorema acima permite a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.5.2 A dimensa˜o de um subespac¸o na˜o trivial Γ ⊂ Rn e´ o nu´mero de
elementos de uma de suas bases. A dimensa˜o do espac¸o trivial e´ zero.
Pela definic¸a˜o a dimensa˜o de Rn e´ n. Com as te´cnicas utilizadas acima podemos
demonstrar que qualquer conjunto linearmente independente pode ser estendido a
uma base.
Corola´rio 3.5.2 Seja γ = {v1, v2, ..., vk} uma base ordenada de um subespac¸o
pro´prio Γ � Rn. Enta˜o existe uma extensa˜o α = {v1, v2, ..., vk , ..., vn}, que e´ uma
base ordenada de Rn.
Comenta´rio Vale um comenta´rio sobre as dimenso˜es poss´ıveis para os subespac¸os
na˜o triviais do R2. Como todo subespac¸o Γ ⊂ R2 possui uma base ordenada β
podemos escreveˆ-lo como o subespac¸o das combinac¸o˜es lineares dos vetores de β.
Mas sabemos que mais de dois vetores em R2 sa˜o linearmente dependentes, portanto,
sendo o conjunto linearmente independente, β tem um ou dois vetores. Quando
β = {v1} diz-se que Γ = [[v1]] tem dimensa˜o um. Sua representac¸a˜o no plano
Cartesiano e´ uma reta que conte´m a origem. Caso β = {v1, v2}, pelo visto no
u´ltimo teorema, podemos afirmar que Γ = R2. Recordamos que a base canoˆnica de
R2 tem dois elementos, logo sua dimensa˜o e´ dois.
Quanto ao estudo das dimenso˜es poss´ıveis para os subespac¸os na˜o triviais Γ ⊂ R3
os comenta´rios sa˜o semelhantes. Se β e´ uma base ordenada de Γ podemos escreveˆ-
lo como o subespac¸o das combinac¸o˜es lineares dos vetores de β. Mas sabemos que
mais de treˆs vetores em R3 sa˜o linearmente dependentes, portanto β tem um, dois
ou treˆs vetores. Quando β = {v1}, Γ = [[v1]] tem dimensa˜o um. Sua representac¸a˜o
no espac¸o Cartesiano e´ uma reta que conte´m a origem. Quando β = {v1, v2}, o
subespac¸o Γ = [[v1, v2]] tem dimensa˜o dois. A representac¸a˜o de Γ e´ um plano que
conte´m a origem. Da mesma forma, Γ = R3 quando β tem treˆs elementos. �
Existem va´rios algoritmos para detectar se um subconjunto ordenado de n ve-
tores do Rn e´ uma base ordenada ou na˜o. Um muito pra´tico utiliza determinantes.
Recordamos que
3.6. LEITURA COMPLEMENTAR 31
o determinante de uma matriz quadrada e´ igual a zero se, e somente se,
uma coluna e´ combinac¸a˜o linear de outras colunas.
Desta informac¸a˜o decorre um crite´rio utilizado reiterada vezes ao longo do texto.
Dado um conjunto ordenado de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn para saber se
eles sa˜o linearmente independentes ou na˜o, calculamos o determinante da matriz
quadrada [v1, v2, ..., vn] e verificamos se o determinante e´ diferente de zero ou na˜o.
Proposic¸a˜o 3.5.1 Dado um conjunto ordenado de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂
Rn. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equ¨ivalentes:
i) β = {v1, v2, ..., vn} e´ uma base ordenada;
ii) det[v1, v2, ..., vn] 
= 0;
iii) a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0 se e somente se, a1 = a2 = · · · = an = 0.
A base ordenada tem orientac¸a˜o positiva se det[v1, v2, ..., vn] > 0, caso contra´rio
diremos que ela tem orientac¸a˜o negativa.
3.6 Leitura complementar
1. Definic¸a˜o de Espac¸o Vetorial Um espac¸o vetorial real consiste de
I Um conjunto V cujos elementos sa˜o chamados de vetores.
II O corpo R cujos elementos sa˜o chamados de escalares.
III Uma operac¸a˜o chamada de adic¸a˜o de vetores em que cada par de vetores
u, v ∈ V e´ associado ao vetor u + v ∈ V , chamado de soma de u e v,
satisfazendo os seguintes axiomas:
a) a adic¸a˜o e´ comutativa, u + v = v + u;
b) a adic¸a˜o e´ associativa, (u + v) + w = u + (v + w);
c) existe um u´nico elemento 0 tal que v + 0 = v para todo v ∈ V ;
d) para cada vetor v ∈ V existe um u´nico vetor −v ∈ V tal que v +
(−v) = 0.
IV Uma operac¸a˜o chamada de multiplicac¸a˜o por escalar em que um vetor
v ∈ V e um escalar λ ∈ R sa˜o associados ao vetor λv ∈ V , chamado de
produto de v por λ, satisfazendo os seguintes axiomas:
a) 1v = v para todo v ∈ V ;
b) a multiplicac¸a˜o por escalar e´ associativa, λ1(λ2v) = (λ1λ2)v;
32 CAPI´TULO 3. O ESPAC¸O VETORIAL RN
c) a multiplicac¸a˜o por escalar e´ distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de
vetores, λ(u + v) = λu + λv;
d) a multiplicac¸a˜o por escalar e´ distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de
escalares, (λ1 + λ2)v = λ1v + λ2v.
Cap´ıtulo 4
Produto interno
No cap´ıtulo anterior apresentamos um conjunto alge´brico formado pelas n-uplas
ordenadas de nu´meros reais, Rn, e induzimos no conjunto uma estrutura de espac¸o
vetorial real. Nosso objetivo e´ relacionar Rn, n = 1, 2, 3 com a Geometria Euclidi-
ana. Para isto, e´ conveniente introduzir uma func¸a˜o bilinear, chamada de produto
interno em Rn que servira´ para estabelecer conceitos tais como medida de segmentos
e medida de aˆngulos.
4.1 Produto interno e norma
Sejam v = (v1, v2, ..., vn) e w = (w1, w2, ..., wn) dois vetores de Rn. A aplicac¸a˜o
〈 , 〉 : Rn × Rn → R definida por 〈v,w〉 = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn,
e´ chamada de produto interno canoˆnico do Rn. Para simplificar a escrita,diremos
apenas produto interno. Alguns texto tambe´m referem-se ao produto interno como
produto escalar. Registremos as propriedades ba´sicas do produto interno.
Proposic¸a˜o 4.1.1 O produto interno 〈 , 〉 : Rn × Rn → R possui as seguintes
propriedades para quaisquer vetores v,w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R:
P1 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)
P2 〈v,w〉 = 〈w, v〉; (simetria)
P3 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉 + 〈w, u〉; (aditividade)
P4 〈λv,w〉 = λ〈v,w〉. (linearidade)
Definido o produto interno, podemos iniciar a transposic¸a˜o dos conceitos de
comprimento, aˆngulo e distaˆncia origina´rias na Geometria. Iremos estudar nesta
sec¸a˜o a aplicac¸a˜o
‖ ‖ : Rn → [0,+∞), ‖v‖ =
√
〈v, v〉.
34 CAPI´TULO 4. PRODUTO INTERNO
O seu valor num vetor v ∈ Rn sera´ chamado de norma de um vetor. Se desejarmos
escreveˆ-la utilizando coordenadas do vetor, v = (v1, v2, ..., vn), obtemos a expressa˜o
‖v‖ =
√
v21 + v
2
2 + · · ·+ v2n.
O valor ‖v‖ e´ interpretado, geometricamente, como o comprimento de um
segmento orientado
−−→
PQ que representa o vetor v ∈ Rn.
Diremos que um vetor v e´ unita´rio quando ‖v‖ = 1.
Definic¸a˜o 4.1.1 Diz-se que uma aplicac¸a˜o ‖ ‖ : Rn → R e´ uma norma em Rn se
a aplicac¸a˜o possui as seguintes propriedades. Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn e
escalar λ ∈ R valem as afirmac¸o˜es:
N1 ‖v‖ � 0 e ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)
N2 ‖λv‖ =| λ | ‖v‖;
N3 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖. (desigualdade triangular)
Recordamos que | λ | indica o valor absoluto de um nu´mero real. Para de-
monstrar as propriedades N1, N2, N3, necessitamos de uma das mais importante
desigualdades associadas a um produto interno.
Teorema 4.1.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam 〈 , 〉 : Rn × Rn →
R o produto interno e ‖ ‖ : Rn → [0,+∞) a norma associada, ‖v‖ = √〈v, v〉.
Enta˜o para quaisquer v,w ∈ Rn vale a desigualdade
| 〈v,w〉 |≤ ‖v‖‖w‖,
e a igualdade ocorre se, e somente se, v e w sa˜o vetores colineares.
Proposic¸a˜o 4.1.2 (Norma associada) Seja 〈 , 〉 : Rn × Rn → R o produto in-
terno. A aplicac¸a˜o ‖ ‖ : Rn → R, ‖v‖ = √< v, v >, e´ uma norma.
4.2 Aˆngulo entre vetores
A desigualdade de Cauchy-Schwarz, permite demonstrar que a norma associada ao
produto interno e´ de fato uma norma. Com a norma transpomos para o Rn a ide´ia
de comprimento. Mas a desigualdade de Cauchy-Schwarz tambe´m permite definir
medida de aˆngulos. A u´nica informac¸a˜o extra que necessitaremos e´ bem conhecida,
para cada t ∈ [−1, 1] existe um u´nico θ ∈ [0, π] tal que cos θ = t.
4.2. AˆNGULO ENTRE VETORES 35
Dados dois vetores na˜o nulos v e w em Rn, desde que ‖v‖ 
= 0 e ‖w‖ 
= 0, a
desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser reescrita, neste caso, como∣∣〈v,w〉∣∣
‖v‖‖w‖ ≤ 1. ou equivalentemente, − 1 ≤
〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1.
Logo, podemos garantir que existe um u´nico θ ∈ [0, π], o qual sera´ chamado de
medida do aˆngulo entre os vetores na˜o nulos v e w, tal que
cos θ =
〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ .
Portanto, para dois vetores na˜o nulos, v e w, podemos escrever uma fo´rmula que
relaciona produto interno, norma (comprimento) e medida do aˆngulo,
〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖cosθ,
onde θ ∈ [0, π] e´ a medida do aˆngulo entre os dois vetores. Muitas vezes, para deixar
claro que o aˆngulo considerado e´ aquele formado pelos vetores v e w, escrevemos
θ(v,w).
Diremos que dois vetores v e w em Rn sa˜o perpendiculares, ou ortogonais, e
escrevemos v ⊥ w, quando o produto interno entre eles e´ nulo, 〈v,w〉 = 0. O vetor
nulo e´ perpendicular a qualquer outro vetor. Conve´m observar que quando tais
vetores sa˜o na˜o nulos estamos exigindo que o aˆngulo entre eles seja um aˆngulo reto,
pois se ‖v‖ e ‖w‖ sa˜o diferentes de zero, as igualdades
〈v,w〉 = ‖v‖‖w‖ cos θ = 0
implicam que cos θ = 0. Como θ ∈ [0, π], conclu´ımos que o aˆngulo entre os dois
vetores e´ reto, θ = π/2.
Um processo pra´tico para construir um vetor perpendicular a um vetor na˜o nulo
v = (a, b) ∈ R2 e´ considerar o vetor v⊥ = (−b, a) ∈ R2 ou qualquer um de seus
mu´ltiplos por um escalar, λv⊥.
Recordamos que temos apresentado subespac¸os pro´prios do R2 como conjuntos
definidos por uma equac¸a˜o linear homogeˆnea. Examinemos a relac¸a˜o desta equac¸a˜o
com o produto interno.
Exemplo 4.2.1 Seja Γ = {(x, y) ∈ R2; 2x− 5y = 0}. Denotando por η = (2,−5) o
vetor formado pelos coeficientes da equac¸a˜o, podemos definir o subespac¸o de modo
equivalente: Γ e´ o conjunto formado pelos vetores v = (x, y) ∈ R2 tais que v e´
ortogonal a η = (2,−5). De fato, efetuando o produto interno 〈v, η〉 = 0 obtemos
2x− 5y = 0. Logo, Γ = {(x, y) ∈ R2; 〈v, η〉 = 0}. O vetor η = (2,−5) e´ chamado de
vetor normal ao subespac¸o. �
36 CAPI´TULO 4. PRODUTO INTERNO
Exemplo 4.2.2 Seja Γ ⊂ R3, definido por uma equac¸a˜o linear homogeˆnea, agora
com treˆs varia´veis. Por exemplo, examinemos o subespac¸o Γ = {(x, y, z) ∈ R3;x−
3y+7z = 0}. Denotando por η = (1,−3, 7) o vetor do R3 formado pelos coeficientes
da equac¸a˜o, o subespac¸o pode ser descrito como sendo aquele formado por todos
vetores v = (x, y, z) que sa˜o ortogonais ao vetor η. Explicitamente, Γ = {v =
(x, y, z) ∈ R3; 〈v, η〉 = 0}. Novamente, o vetor η e´ dito ser o vetor normal ao
subespac¸o Γ. �
Deixaremos para a pro´xima sec¸a˜o o estudo de subespac¸os pro´pios do R3 definidos
por duas equac¸o˜es lineares homogeˆneas. Recordamos que o s´ımbolo δij chama-se
delta de Kronecker e seu significado e´
δij =
{
1 se i = j
0 se i 
= j .
Um conjunto ordenado γ = {v1, v2, ..., vk} ∈ Rn e´ dito ser um conjunto orto-
normal quando para todos 1 ≤ i, j ≤ k vale 〈vi, vj〉 = δij . Em outras palavras, o
conjunto e´ formado por vetores unita´rios dois a dois ortogonais. Quando o conjunto
ordenado γ e´ uma base ordenada de Rn (portanto k = n), chamaremos γ de base
ortonormal . Por exemplo, a base canoˆnica do Rn e´ ortonormal.
4.3 Produto vetorial em R3
O espac¸o Euclidiano R3 admite uma operac¸a˜o especial entre dois vetores chamado
de produto vetorial. Sejam v e w vetores de R3. O produto vetorial de v por w,
denotado por v × w, e´ o vetor em R3 tal que para qualquer vetor u ∈ R3, vale a
identidade
〈u, v × w〉 = det[u, v,w].
O produto vetorial goza de va´rias propriedades importantes. A seguir, relacionare-
mos algumas delas e um algoritmo para calcular o produto vetorial de dois vetores.
Proposic¸a˜o 4.3.1 Sejam v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) vetores de R3. Enta˜o:
i) v × w e´ perpendicular aos vetores v e w, simultaneamente;
ii) o produto vetorial de v por w e´ calculado pelo algoritmo
v × w =
(
det
[
v2 w2
v3 w3
]
,− det
[
v1 w1
v3 w3
]
,det
[
v1 w1
v2 w2
])
;
iii) ‖v × w‖2 = det[v,w, v × w] ≥ 0.
4.3. PRODUTO VETORIAL EM R3 37
Exemplo 4.3.1 Apresentaremos um outro algoritmo para avaliar mais rapida-
mente o produto vetorial e diminuir erros de ca´lculo. Sejam v = (3, 1,−4) e
w = (0, 2, 1) dois vetores do R3. Para avaliarmos v × w, calculamos, formalmente,
o determinante de uma matriz do tipo [e, v, w], onde este s´ımbolo significa
[e, v, w] =
 e1 3 0e2 1 2
e3 −4 1
 .
Portanto, ao desenvolver o determinante pela primeira coluna e´ obtido
v × w = det[e, v, w] = 9e1 − 3e2 + 6e3 = (9,−3, 6).
Verifica-se facilmente que 〈v, v × v〉 = 0 e que 〈w, v × w〉 = 0.
Examinemos o conteu´do geome´trico do item iii)
da proposic¸a˜o, ‖v×w‖2 = det[v,w, v×w] = 126.
Como comentado no cap´ıtulo anterior, o valor
absoluto de det[v,w, v × w] e´ o volume do pa-
ralelep´ıpedo no espac¸o Cartesiano constru´ıdo de
tal forma que as arestas sa˜o segmentos orientados
representando os vetores v, w e v × w. Observe
que o segmento orientado representando o vetor
v×w e´ perpendicular a` base e esta base e´ o para-
lelogramo cujos lados sa˜o segmentos orientados
representando os vetores v e w.
Sendo assim, como o volume e´ a a´rea da base multiplicado pela altura h = ‖v×w‖
e o volume e´ ||v ×w||2, segue que, geometricamente, a norma do vetor ‖v ×w‖ e´ a
a´rea do paralelogramo