AulaTeo9 - processos politropicos

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11/Mar/2013 - Aula 8 
13/Mar/2013 – Aula 9 
Processos Politrópicos 
 Relações politrópicas num gás ideal 
 Trabalho: aplicação aos gases perfeitos 
 Calor: aplicação aos gases perfeitos 
 Calor específico politrópico 
 Variação de entropia 
 
Gases reais (não-ideais) 
 Equação de van der Waals 
 Outras equações de estado 
 Isotérmicas, diagramas e transições de fase 
 Constantes críticas. Diagramas PT e PVT 
 Exemplo: fluidos supercríticos 
 Factor de compressão e variáveis reduzidas 
 Princípio e equação dos Estados Correspondentes 
isocórica   
0isobárica  
1isotérmica  
adiabática   
P
V
2 
Condições em que o comportamento dos gases não é explicável pela 
lei dos gases ideais: pressões elevadas e/ou temperaturas baixas. 
1) Pressões elevadas 
O volume disponível para o gás é efectivamente inferior ao volume do 
contentor (as moléculas ocupam espaço): 
Gases reais (não-ideais) 
Lei dos gases ideais : P  1/ V , 
quando P aumenta  V 0 
Quanto maior é a pressão P, 
mais significativo é o volume V 
ocupado pelas moléculas 
Aula anterior 
3 
Dependendo das moléculas que constituem o gás, as interacções entre 
elas podem tornar-se significativas: 
2) Temperaturas baixas 
Gases reais (não-ideais) (cont.) 
Comportamento ideal para pressões baixas, temperaturas elevadas. 
Comportamento não-ideal para pressões altas, temperaturas baixas. 
As forças de atracção intermoleculares 
tendem a diminuir a força das colisões nas 
paredes (nem toda a energia é cinética) 
Este efeito é mais pronunciado quanto 
menor for a temperatura, onde se registam 
experimentalmente pressões inferiores às 
que a lei dos gases ideais prevê. 
Potencial de interacção simulação 
Aula anterior 
4 
Equação de van der Waals 
  TRnbnV
V
an
P
2
2







correcção a Pideal 
(devido às forças 
intermoleculares) 
correcção a Videal 
(devido ao espaço ocupado 
pelas moléculas) 
Eq. de van der Waals simulação 
Aula anterior 
5 
Isotérmicas dos gases reais 
• a temperaturas altas 
(acima dum valor crítico Tc , 
as isotérmicas são 
semelhantes às do gás ideal 
(Lei de Boyle); 
• substâncias diferentes 
mostram diagramas PV 
diferentes; 
• numa certa zona existem duas 
fases em equilíbrio (vapor e líquido) 
 pressão de vapor. 
Líquido 
Coexistência de 
líquido e gás (vapor) 
Pontos críticos 
Aula anterior 
6 
Isotérmica crítica (Tc ) 
- acima de Tc não é 
possível formar uma fase 
líquida. 
 
Pressão crítica (Pc ) 
- pressão necessária para 
condensar o gás a Tc . 
 
Volume crítico (Vc ) 
-volume ocupado pelo gás 
a Pc , Tc . 
Ponto crítico (*)  constantes críticas: 
Constantes críticas Temperaturas críticas 
para várias substâncias 
Aula anterior 
7 
Princípio dos Estados Correspondentes 
Experiência de van der Waals  dois gases reais diferentes 
confinados no mesmo volume reduzido e à mesma temperatura 
reduzida  mesma pressão reduzida. 
Princípio dos Estados Correspondentes 
 gases reais diferentes têm os mesmos factores de compressão 
se tiverem as mesmas variáveis reduzidas; 
 gases reais diferentes no mesmo volume e temperatura 
reduzidos têm a mesma pressão reduzida. 
Aplica-se melhor a gases de moléculas esféricas: moléculas 
polares conduzem a desvios maiores. 
Aula anterior 
Equação dos Estados 
Correspondentes: rr2
r
r T
3
8
3
1
V
V
3
P 












8 
Os processos reais, como a compressão de um gás numa máquina, por 
exemplo, não são normalmente nem isotérmicos nem adiabáticos puros, 
mas sim algo (politrópico) entre estes, que pode ser descrito por . 
1   
Processo politrópico 
Qualquer processo reversível que satisfaça a equação . 
PV constante 
Processos politrópicos 
 ↔ expoente politrópico 
 ,  
Os processos isotérmicos, adiabáticos, isocóricos e isobáricos são casos 
particulares dos politrópicos. 
9 
S 
V 
P T 
P,  =0 
V,  
=∞ 
V,  =∞ 
T,  =1 
S,  = 
S,  =k 
0<  <1 
0<  <1 
1<  <k 
1<  <k 
 >  >k 
P,  =0 T, =1 
Processos politrópicos 
Isobárico (pressão constante):  = 0. 
Isotérmico (temperatura constante):  =1. 
Adiabático (entropia constante):  =. 
Isocórico (volume constante):  =. 
PV constante 
10 
Relações politrópicas num gás ideal 
     , , ,P V T V T P
PV n RT
1 1 1
1 1 2 2. .
nRT
V Cte TV Cte TV T V
V
        
nRT
P
V

1 2
1 1 2 2
2 1
.
P V
PV Cte PV P V
P V
        
 
1
1 2
2 1
T V
T V

 
  
 
 ,P V
 ,T V
 
 
Politrópico: 
Gás ideal: 
11 
Relações politrópicas num gás ideal 
 
n RT
V
P
PV n RT
1 1
1
1 21 2. .
nRT
P Cte T P Cte T P T P
P
     
 
     
 
1
1 2
2 1
T P
T P



 
  
 
 ,T P
Gás ideal: 
12 
Trabalho num processo politrópico 
2
12 1
dW PdV W P dV  
1 1 1 1PV P V P P V V
     
Nota: P1 e V1 são constantes. 
 
2
1
V
1
2 2
12 1 1 1 1 1 11 1
V
2 2 1 1
V
W P V V dV P V V dV P V
1
P V PV
1
1
    



 
 
 
    
   

  

 
Geral: 
Politrópico: 
13 
Trabalho num processo politrópico 
 
 
2
1
2 2 V
12 1 1 1 1 1 1 V1 1
2
1 1
1
1 1
W P V dV P V dV P V lnV
V V
V
P V ln 1
V

   
 
   
 
 Se 1: 
   
 
2 2 1 1
12 2 1
2
12 1
1
P V PV n R
W T T 1
1 1
V
W n RT ln 1
V

 


    
 
 
   
 
Nota: =1 → isotérmico 
14 
Calor num processo politrópico 
dU TdS PdV 
:P, V, T
 
T V
U U
U=U V, T dU dV dT
V T
    
    
    
Identidade fundamental: 
Energia interna dependente de duas das variáveis 
V
V
U
C
T
 
  
 
(definição de CV) 
T V
U P
T P
V T
    
    
    
(das Relações de Maxwell) 
V V
V V
P P
dU C dT T P dV C dT T dV W
T T
     
         
     
15 
Calor num processo politrópico 
Substituindo na equação , obtém-se: 
Q dU W  
V
V
P
Q C dT T dV
T
 
    
 
  2
1
V
12 V 2 1 V
V
P
Q C T T T dV
T
 
    
 

16 
Calor num processo politrópico de um gás ideal 
PV n RT nRT
P
V

Politrópico: 
Gás ideal: 
2 2
1 1
12
V V
V V
V V V
P n R P P
T P T dV P dV W
T V T T
       
        
       
 
  2
1
V
12 V 2 1 V
V
P
Q C T T T dV
T
 
    
 

 12 V 2 1 12 12 12Q C T T W U W     
   
   
12 V 2 1 2 1
V 2 1
n R
Q nc T T T T
1
R
n c T T 1
1
    

 
     
 



17 
   
 
     
 
12 V 2 1
R
Q n c T T 1
1
Capacidade calorífica 
específica politrópica: 
X V
R
C C
1 
 
  
 
P VR C C 
Dado que 
P V
X V
C C
C C
1 

 

X VC C
1
 

 
  
 
  12 X 2 1Q C T T
Calor específico politrópico de um gás ideal 
18 
Calor específico politrópico de um gás ideal 
Caso 
particular 
ExpoenteCapacidade
calorífica 
específica 
Calor 
Adiabático 
Isobárico 
Isocórico 
 
0 
  
XC 0
X PC C
12Q 0
X VC C
 12 PQ C T
 12 VQ C T
X VC C
1
 

 
  
 
19 
Variação de entropia num processo politrópico 
Q
dS
T


Definição: 
2
12 X
1
T
S C ln
T
 
   
 
  12 X 2 1Q C T T XQ C dT 
20 
Mostre que quando →∞ se tem um processo isocórico (V=constante). 
Diferenciando esta expressão: 
PV cte. 
    1d PV d cte. dPV P V dV 0     
dP dV
0
P V
 
Separando os termos: 
dV 1 dP
V P
 
Quando →∞: dV 1 dP
0
V P
  

Para qualquer sistema com um volume finito, a expressão anterior é 
válida se dV=0. Portanto, quando →∞, o volume mantém-se constante. 
21 
Considere um processo termodinâmico em que a relação entre a 
pressão e o volume é dada por PV 1,3 = constante. Determine o trabalho 
realizado ao longo do processo. 
 
Dados: Pinicial=200 kPa Vinicial=0,04 m
3 Vfinal=0,1 m
3 
Processo politrópico,  = 1,3: 
1,3
i
f i
f
V 0,04
P P 200 60,8 kPa
0,1V


 
   
 
i i i iPV P V P P V V
     Nota: Pi e Vi são constantes. 
PV cte. 
i i f fP V P V
 
f f f
i i i
2
1
V V V
i i i i
V V V
V
1
f f i i
i i
V
W P dV P V V dV P V V dV
P V PVV
P V 6,4 kJ
1 1
   


 
 
 
   
  
   
    
  