Grandezas Escalares e Vetoriais

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GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 
 Uma grandeza é escalar quando fica perfeitamente definida através 
de seu valor numérico e uma unidade. Para estudar estas grandezas 
usamos o conjunto dos números reais. 
 Exemplos: comprimento, área, volume, massa, tempo, temperatura, 
trabalho, energia, pressão, etc... 
 
 Uma grandeza é vetorial quando exige na sua caracterização, além 
de sua intensidade (valor numérico e unidade), também a sua 
orientação, isto é, a sua direção e o sentido. Para estudar estas 
grandezas usamos os vetores. 
 Exemplos: posição, deslocamento, velocidade, aceleração, força, 
impulso, quantidade de movimento, campo elétrico, etc... 
 
VETORES 
 
 É um ente puramente matemático (não possui existência física real) 
capaz de expressar simultaneamente o módulo (intensidade), a direção e 
o sentido de uma grandeza vetorial. 
 O vetor é representado graficamente por um segmento de reta 
orientado. Os elementos principais que caracterizam um vetor são: 
 
1) Módulo ou intensidade: é o comprimento do segmento, sendo 
proporcional a intensidade da grandeza vetorial. Para representar o 
módulo do vetor, utilizam-se barras verticais, porém se não houver 
dúvidas quanto à natureza vetorial da grandeza, basta retirar a seta 
da letra. 
2) Direção: é a da reta suporte que contém o vetor. 
3) Sentido: é a orientação do segmento (da origem para a 
extremidade). 
 
 r (reta suporte) 
 (extremidade) B Sentido: dado pela extremidade do vetor 
v
 
 
 
v
 
 
 Módulo:
v
 = V 
 (origem) A 
 
 Direção: reta r 
Obs.: 
1- Vetores Eqüipolentes: são aqueles que possuem o mesmo módulo, 
a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 r 
 
a
 s 
 
b
 
a
 = 
b
 
 
 
2- Vetores Simétricos: são aqueles que possuem o mesmo módulo, a 
mesma direção e sentido opostos. 
 r 
 
a
 s 
 
b
 
a
 = -
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soma Vetorial 
 
 Na determinação gráfica da soma vetorial podemos utilizar os 
seguintes processos: 
1) Regra do polígono: Desenhamos um dos vetores e a partir da 
extremidade desse vetor construímos um outro e, assim 
sucessivamente, até traçarmos todos, usando vetores eqüipolentes. 
A soma vetorial é o vetor cuja origem coincide com a origem do 
primeiro e cuja extremidade coincide com a extremidade do último 
vetor. 
 
 
 
a
 
d
 
 
s
 
 
 
s
 = 
a
 +
b
+
c
+
d
 
 
 
 
 
b
 
 
c
 
Obs.: 
1- A soma vetorial é uma operação geométrica, portanto não significa 
somar os módulos dos vetores. 
2- A soma vetorial é comutativa e associativa, isto é: 
a
+
b
=
b
+
a
 e (
a
+
b
) + 
c
=
a
+(
b
+
c
). 
3- Utilizando-se a regra do polígono, se a extremidade do último vetor 
coincidir com a origem do primeiro, a soma será nula. 
 
a
 
b
 
s
= 
a
+
b
+ 
c
= 
0
 
 
 
 
c
 
2) Regra do paralelogramo: Desenhamos dois vetores concorrentes a 
partir da mesma origem. Pela extremidade de cada um, traçamos 
uma reta paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. A soma 
vetorial é a diagonal desse paralelogramo com origem na origem 
comum aos vetores e extremidade no ponto de encontro das 
paralelas traçadas. 
 
 
 
a
 
s
 
s
= 
a
+
b
 
 
   
 
 
b
 
 Na determinação analítica da soma vetorial dos dois vetores somados 
pela regra do paralelogramo acima, sabendo-se que o ângulo formado 
entre eles é , utilizamos a lei dos cossenos: 
 
S2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos  
 como  +  = 1800  cos  = – cos  
S2 = a2 + b2 – 2 . a . b . (– cos ) 
S2 = a2 + b2 + 2 . a . b . cos  
 
Casos particulares: 
1)  = o0  S = a + b (máxima) 
2)  = 1800  S = a – b (mínima), sendo ab 
Obs.: a - b  S  a + b 
3)  = 900  S2 = a2 + b2 (Teorema de Pitágoras) 
4)  = 1200 e a = b  S = a = b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
. 
Diferença Vetorial 
 
A diferença entre vetores pode ser transformada numa soma vetorial 
entre um vetor e o vetor simétrico do outro. 
D
=
a
– 
b
= 
a
 + ( – 
b
) 
 
 
a
 
a
 
 
D
 
D
= 
ba 
 
  
 
 -
b
 
b
 
b
 
A diferença vetorial também pode ser obtida geometricamente, 
representando-se os dois vetores com a mesma origem e unindo-se as 
extremidades. 
 A diferença vetorial tem origem no subtraendo e extremidade no 
minuendo. 
 Para a obtenção do módulo da diferença vetorial basta aplicarmos a 
lei dos cossenos: D2 = a2 + b2 – 2. a . b . cos  
 
Produto de um Escalar por um Vetor 
 
 O produto 
p
=n.
v
 é um vetor com as seguintes características: 
1) Módulo: 
p
 = n . 
v
 
2) Direção: é a mesma de 
v
 
3) Sentido: é o mesmo de 
v
 se n  0 (positivo) e oposto de 
v
 se 
n  0 (negativo). 
Ex.: 
3
v
= 
3
1
.
v
 
 
 
Componentes Ortogonais de um Vetor 
 
Decompor um vetor 
v
 segundo duas direções x e y perpendiculares 
é obter dois novos vetores 
v
x e 
v
y, chamados componentes nessas 
direções, cuja soma resulte igual a 
v
. 
 
 y 
 
 
 
v
y 
v
 
 
 
 0 
v
x x 
 
Obs.:i 
 A intensidade de um vetor mede quantas vezes a grandeza vetorial 
contém um vetor unitário, chamado versor, usado para definir uma 
direção e sentido. Assim, definindo 
 i 
 como versor do eixo 0x e 
 j 
 
como versor do eixo 0y, temos: 
 
v
 = 
x
v
+
y
v
 = vx . 
 i 
 + vy . 
 j 
  v2 = vx2 + vy2 
 
Exercícios de Fixação 
 
1- A respeito das grandezas físicas escalares e vetoriais, analise as 
proposições a seguir: 
(01) As escalares ficam perfeitamente definidas, mediante um valor 
numérico acompañado da respectiva unidade de medida. 
(02) As vetorias, além de exigirem na sua definição um valor 
numérico, denominado módulo ou intensidade, acompanhado da 
respectiva unidade de medida, requerem, ainda, uma direção e um 
sentido. 
(04) Comprimento, área, volume, tempo e massa são grandezas 
escalares. 
(08) Deslocamento, velocidade, aceleração e força são grandezasvetoriais. 
Dê como resposta a soma dos números associados às proposições 
corretas. 
 
2- 
M
e
N
são vetores de módulo iguais (
MNM 
). O vetor 
M
é 
fixo e o vetor 
N
pode girar em torno do ponto O (veja na figura) no 
plano formado por 
M
e 
N
. Sendo 
R
=
NM 
, indique, entre os 
gráficos abaixo, aquele que pode representar a variação de 
R
 
como função do ângulo 

 entre 
M
e
N
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Qual é a relação entre os vetores 
M
, 
N
, 
P
 e 
R
 representados? 
a) 
M
 + 
N
 + 
P
 + 
R
 = 
O
 
b) 
P
 + 
M
 = 
R
 + 
N
 
c) 
P
 + 
R
 = 
M
 + 
N
 
d) 
P
 + 
R
 = 
M
 – 
N
 
e) 
P
 + 
R
 + 
N
 = 
M
 
 
 
4- Um paciente é submetido a uma tração conforme indicada na figura, 
onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no 
mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a 
intensidade da força resultante, aplicada no queixo do paciente, vale 
aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 12 kgf. 
b) 22 kgf. 
c) 32 kgf. 
d) 42 kgf. 
e) 52 kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
. 
v
= 
v
x +
v
y 
 
cos  = 
V
Vx
  vx = v . cos  
 
sen  = 
V
Vy
  vy = v . sen  
 
 
 
 
 
v
 
x
= 2 . 
v
 
y
 = 
 
M N
P
R
5- A soma de dois vetores, de módulos respectivamente iguais a 12 u e 
16 u é igual a 
s
. Podemos afirmar que: 
a) 
s
= 20 u 
b) 
s
 20 u 
c) 
s
= 28 u 
d) 4 u  
s
  28 u 
e) 
s
 20 u 
 
6- Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, 
respectivamente, 1cm e 2cm. Supondo que cada ponteiro do relógio 
é um vetor que sai do centro do relógio e aponta na direção dos 
números na extremidade do relógio, determine o vetor resultante da 
soma dos dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e 
minuto quando o relógio marca 6 horas. 
a) O vetor tem módulo 1cm e aponta na direção do número 12 do 
relógio. 
b) O vetor tem módulo 2cm e aponta na direção do número 12 do 
relógio. 
c) O vetor tem módulo 1cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
d) O vetor tem módulo 2cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
e) O vetor tem módulo 1,5cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
 
7- No gráfico anexo estão representados os vetores 
a
, 
b
, 
c
 e os 
vetores de módulos unitários 
i
 e 
j
. Assinale a expressão errada. 
a) 
a
= 3
i
 
b) 
c
= 2
i
 + 2
j
 
c) 
a
+ 
b
= 
c
 
d) 
c
 = 2
2
 
e) 
b
= 2
j
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1- As grandezas físicas podem ser classificadas em escalares e 
vetoriais. A alternativa que contém apenas grandezas vetoriais é: 
a) empuxo/aceleração/pressão. 
b) empuxo/impulso/aceleração. 
c) trabalho mecânico/impulso /pressão. 
d) potencial elétrico/trabalho mecânico/pressão. 
e) potencial elétrico/trabalho mecânico/aceleração. 
 
2- No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadas 
em duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas 
definidas apenas por um número e uma unidade de medida; as 
grandezas da segunda categoria requerem, além disso, o 
conhecimento de sua direção e de seu sentido. 
a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência 
apresentada? 
b) Copie a tabela seguinte em seu caderno de respostas e 
preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza 
física da área de mecânica e outra de área de eletricidade, para 
cada uma dessas categorias. 
 
Área 1a Categoria 2a Categoria 
Mecânica .............................. .............................. 
Eletricidade .............................. .............................. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Para o diagrama vetorial ao lado, a única igualdade correta é: 
a) 
a
 + 
b
 = 
c
 
a
 
b) 
b
 - 
a
 = 
c
 
c) 
a
 - 
b
 = 
c
 
b
 
c
 
d) 
b
 + 
c
 = -
a
 
e) 
c
 - 
b
 = 
a
 
 
4- 
 F3=6,0N 
 
 
 
 
 
 F2=4,0N F4=8,0N 
 
 
 
 F1=3,0N 
Quatro forças, cujos módulos, direções e sentidos são indicados na 
figura anterior, atuam sobre uma partícula. A ação conjunta dessas 
forças é equivalente à de uma única força de intensidade igual a: 
a) 3,0 N 
b) 5,0 N 
c) 7,0 N 
d) 15 N 
e) 21 N 
 
5- Um martelo faz sobre um prego cravado na parede uma força de 10 
kgf, com um ângulo de 300 em relação ao eixo do prego. A 
componente que arranca o prego e a que o entorta valem 
respectivamente: 
a) 5,0 kgf e 5,0 kgf 
b) 10 kgf e zero 
c) 5,0 kgf e 8,7 kgf 
d) 8,7 kgf e 5,0 kgf 
e) 17,3 kgf e 5,7 kgf 
 
6- Três forças concorrentes de módulos: 
F1 = 10 kgf 
F2 = 30 kgf 
F3 = 30 kgf 
formam um sistema 
 
Determine o módulo da resultante entre elas. (em kgf). 
a) 10 kgf 
b) 20 kgf 
c) 30 kgf 
d) 70 kgf 
e) 120 kgf 
 
 
 
 
7- Uma pequena esfera executa um movimento cujas posições nos 
instantes t0 a t8 estão representadas na figura abaixo. Os vetores 
velocidades nos instantes t1 e t6 estão representados na figura pelos 
vetores 
1V
 e 
6V
, desenhados na mesma escala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1 
t0 
t1 
t2 
t3 
t4 
t5 t6 
t7 
t8 
V 6 
V 1 
 
j
 
 
a
 
 
b
 
 
c
 
 
i
 
A 
B 
C 
O 
r 
v 
→ 
w 
→ h 
→ 
O vetor que melhor representa a variação do vetor velocidade 
 V
 
=
6V
- 
1V
, entre os instantes t1 e t 6 , é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8- A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, 
um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a: 
a) 4,0 
b) um valor compreendido entre 12 e 16. 
c) 20 
d) 28 
e) um valor maior que 28. 
 
9- Assinale a alternativa errada. 
Dado o número real k e o vetor 
v
, então: 
a) O vetor 
u
= k
v
 tem o mesmo sentido de 
v
 se k  0. 
b) O vetor 
w
 = k
v
 tem sentido contrário de 
v
 se k  0. 
c) A direção de 
g
= k
v
 é sempre igual à direção de 
v
 qualquer 
que seja k  0. 
d) Se a direção de 
g
 = k
v
 é diferente da direção de 
v
, k  0. 
 
10- No gráfico ao lado estão representados os vetores, 
a
, 
b
, e 
c
. Os 
vetores 
 i 
 e 
 j 
 são unitários. Analise as expressões: 
I) 
a
= 2
 i 
+3
 j 
 
II) 
b
= 2
 j 
 
III) 
b
 + 
c
 = 
 i 
 
 
 
 
Podemos afirmar que: 
a) são corretas apenas a I e a II. 
b) são corretas apenas a II e a III. 
c) são corretas apenas a I e a III. 
d) são todas corretas. 
e) há apenas uma correta. 
11- Para os vetores 
a
, 
b
, 
c
 e 
d
 representados abaixo de módulos a 
= 1 u, b = 3 u, c = 5 u e d = 7 u, o módulo da resultante é equivalente 
a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 2,0 u 
b) 2
5
 u 
c) 2
7
 u 
d) 2
9
 u 
e) 2
13
 u 
12- As afirmações contidas abaixo fazem referência ao produto de um 
número real k por um vetor 
v
 v. Assinale a alternativa errada. 
a) O vetor 
vka .
 terá o mesmo sentido de 
v
 se k > 0; 
b) O vetor 
vkb .
 terá sentido contrário de 
v
 se k < 0; 
c) O vetor 
vkc .
 terá a mesma direção de 
vqualquer que 
seja k 

 0; 
d) O vetor 
vkd .
 será um vetor nulo se k = 0; 
e) O vetor 
vke .
 terá direção diferente de 
v
 se k < 0. 
 
13- Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, 
respectivamente, 1cm e 2cm. Supondo que cada ponteiro do relógio 
é um vetor que sai do centro do relógio e aponta na direção dos 
números na extremidade do relógio, determine o vetor resultante da 
soma dos dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e 
minuto quando o relógio marca 6 horas. 
a) O vetor tem módulo 1cm e aponta na direção do número 12 do 
relógio. 
b) O vetor tem módulo 2cm e aponta na direção do número 12 do 
relógio. 
c) O vetor tem módulo 1cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
d) O vetor tem módulo 2cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
e) O vetor tem módulo 1,5cm e aponta na direção do número 6 do 
relógio. 
 
14- Os pontos A, B e C estão sobre uma reta r e B está entre A e C. 
Sendo O um ponto fora de r, considere os vetores h = AO. v = OC e 
w = OB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo que BC = 4  AB, determine x e y de forma que: 
 w = x  h + y  v 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1- B 
2- 
a) 1a Categoria: Grandezas escalares 
 2a Categoria: Grandezas vetoriais 
 b) 
Área 1a Categoria 2a Categoria 
Mecânica Energia Força 
Eletricidade Potencial elétrico Campo elétrico 
3- B 
4- B 
5- D 
6- B 
7- A 
8- C 
9- D 
10- D 
11- C 
12- E 
13- A 
14- x = 
5
4
 e y = 
5
1
 
 
 
 
 
 
 
→ → → → → → 
→ → → 
 
j
 
 
a
 
 
b
 
 
c
 
 
i
 
a) b) c) d) e) 
 
a
 b 
 
c
 
d
 
120º 
	Vetores
	Soma Vetorial
	Diferença Vetorial
	Produto de um Escalar por um Vetor
	Componentes Ortogonais de um Vetor
	Exercícios de Fixação
	Exercícios Propostos
	Respostas dos exercícios propostos