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FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS 
Cálculo Diferencial e Integral II – Memória de Aula - Resumo e Exercícios - 01
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MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
Dada uma função o valor da função derivada no ponto , denotada por , (lê-se: linha de , no ponto ) é igual ao valor do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à curva no ponto de abscissa .
SINAL DA PRIMEIRA DERIVADA
Imaginemos uma função com derivada positiva em todos os pontos de um intervalo I. Como é a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto (interpretação geométrica da derivada), então a hipótese feita significa, do ponto de vista geométrico, que qualquer reta tangente ao gráfico no trecho correspondente ao intervalo I tem inclinação positiva; logo, o gráfico só pode subir quando aumenta, percorrendo I. Com argumentação análoga, se para todo do intervalo I, então é decrescente no intervalo I .
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES – SINAL DA PRIMEIRA DERIVADA
Critério da derivada de primeira ordem para crescimento e decrescimento
Suponhamos derivável (contínua) em todos os pontos de um intervalo. Tem-se:
Se para todo do interior do intervalo I, então é crescente em I.
Se para todo do interior do intervalo I, então é decrescente em I.
SINAL DA SEGUNDA DERIVADA 
Seja I um intervalo em cujos pontos a função é derivável.
Dizemos que tem concavidade (boca) para cima no intervalo I se, para cada de I, a parte do gráfico de correspondente a I, exceto o ponto de tangência, fica acima da reta tangente. 
 Dizemos que tem concavidade (boca) para baixo no intervalo I se, para cada de I, a parte do gráfico de correspondente a I, exceto o ponto de tangência, fica abaixo da reta tangente. 
CONCAVIDADE – SINAL DA SEGUNDA DERIVADA
Critério da derivada segunda para concavidade 
Sendo uma função derivável (contínua) duas vezes em todos os pontos de um intervalo I, tem-se:
 Se para todo do interior de I então concavidade para cima em I.
 Se para todo do interior de I então concavidade para baixo em I.
PONTO DE INFLEXÃO DA FUNÇÃO
Um ponto do domínio de uma função em relação ao qual há uma mudança de concavidade chama-se ponto de inflexão da função.
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO
Suponha que uma função tem concavidade para cima no seu domínio I, um intervalo, e que um ponto tem-se , ou seja, a reta tangente ao gráfico de no ponto é horizontal. Por definição de concavidade para cima, todos os outros pontos do gráfico de estão acima dessa tangente, o que significa que é ponto de mínimo de em I. Quando a concavidade é para baixo, e a derivada se anula em um ponto, esse ponto é ponto de máximo.
Se tem concavidade para cima em um intervalo I, e para algum de I, então é ponto de mínimo em I.
Se tem concavidade para baixo em um intervalo I, e para algum de I, então é ponto de máximo em I.
Exemplo: Encontre os pontos de máximos e mínimos da função 
Temos que , impondo que , teremos: , cuja solução é ou .
Por outro lado, . Assim: 
 tem concavidade voltada para baixo e, portanto é ponto de máximo. tem concavidade para cima e, portanto é ponto de mínimo.
EXERCÍCIOS
Dadas as funções abaixo, obter os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de máximo e de mínimo, caso existam, utilizando apenas a primeira derivada. 
Estude a função quanto à concavidade, nos seguintes casos:
 
Estude quanto à concavidade, dando os eventuais pontos de inflexão:
Bibliografia:
BOULOS, Paulo. Cálculo Diferencial e Integral Vol.1 + Pré-Cálculo. 1ª Edição. São Paulo: Makron, 2006.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Vol. 1. 1ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2008.
THOMAS, George B. Cálculo Vol. 1. 11ª Edição. São Paulo: Addison Wesley, 2008
DERIVADAS
Estudo Completo de uma Função
Aplicação de Máximos e Mínimos de uma Função
A construção do gráfico de uma função é um dos objetivos importantes do estudo de derivadas. Os elementos necessários para tal fim constam do roteiro a seguir:
Determinação do domínio da função.
Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e de possíveis pontos de máximo e mínimo.
Determinação dos intervalos em que a função tem concavidade para cima ou para baixo, e possíveis pontos de inflexão.
Determinação dos limites nos extremos do domínio.
Determinação das intersecções do gráfico da função com os eixos, quando possível.
Fazer um esboço do gráfico
EXERCÍCIOS
Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções:
Deseja-se construir uma área de lazer, com formato retangular, e 1600 metros quadrados de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
A receita mensal de vendas de um produto é e seu custo é . Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro.
Suponha que a função receita seja e a função custo seja . Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO: INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Nem sempre é possível obter a integral indefinida de uma função usando-se as primitivas imediatas (fórmulas de integração) das principais funções. Algumas vezes temos de recorrer a algumas técnicas específicas.
Integração por substituição
Esta técnica consiste em substituir a variável da função a ser integrada de modo a obter uma integral imediata, ou que seja mais simples de calcular.
Exemplo 1. Para calcular a integral abaixo. Notamos inicialmente que não há uma fórmula imediata para o cálculo dessa integral. Porém, se fizermos e derivando em relação a variável utilizando a notação de Leibniz, teremos 
Assim, a integral pode ser escrita sob a forma
 
que é uma Integral imediata, portanto,
Exemplo 2. Calculemos a integral . Notemos que não se trata de uma integral imediata. Chamando , teremos . Assim,
Portanto, a integral procurada é: 
EXERCÍCIOS
1. Calcule as seguintes integrais pelo método da substituição:
a) Resp. 
b) Resp. 
c) Resp. 
d) Resp. 
e) Resp. 
f) Resp. 
g) Resp. 
h) Resp. 
i) Resp. 
j) Resp. 
k) Resp. 
Bibliografia:
ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte – Vol. 1. Trad. Cyro de Carvalho Patarra e Márcia Tamanaha. Porto Alegre: Bookman, 8ª edição, 2007.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo – Vol.1. Porto Alegre: Bookman, 2008.
STEWART, James; CASTRO, Helena. Cálculo - Vol.2. 6ª Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
TABELA DE PRIMITIVAS IMEDIATAS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS
TABELA DE PRIMITIVAS IMEDIATAS
Sejam , e constantes reais.
a) 
b) 
c) 
d)
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
\
Bibliografia:
ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte – Vol. 1. Trad. Cyro de Carvalho Patarra e Márcia Tamanaha. Porto Alegre: Bookman, 8ª edição, 2007.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo – Vol.1. Porto Alegre: Bookman, 2008.
STEWART, James; CASTRO, Helena. Cálculo - Vol.2. 6ª Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
 EXERCÍCI0S PROPOSTOS – Calcule as Integrais Indefinidas
	
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1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20)
RESPOSTAS:INTEGRAL DEFINIDA: CÁLCULO DE ÁREAS
 
Seja uma função contínua em e uma de suas primitivas. Portanto, 
Definimos a integral definida de entre os limites e , como sendo a diferença , e indicamos simbolicamente: 
 
A diferença também costuma ser indicada pelo símbolo .
Essa definição não depende da primitiva considerada, pois, se for outra primitiva de , então a diferença entre e é uma constante; consequentemente .
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DEFINIDA
Seja uma função contínua e não negativa definida em um intervalo . A integral definida representa a área da região compreendida entre o gráfico de , o eixo e as verticais que passam pelos pontos de abscissas e (Figura 1.).
Figura 1. A área destacada representa a integral definida de entre e 
 
Assim, indicando por a área destacada da Figura 1, teremos: 
Exemplo 1. Calcular a área destacada abaixo.
Temos, 
Caso seja negativa no intervalo , a área da região delimitada pelo gráfico de , eixo e as verticais que passam por e , é dada por : 
Exemplo 2. Calcular a área destacada abaixo.
Temos, 
Como a função é negativa no intervalo , a área destacada vale
EXERCÍCIOS
Calcule a área destacada abaixo.
 
Calcule as seguintes integrais definidas:
	
	9
Obtenha as áreas destacadas:
Respostas dos Exercícios:
 
 a) 3 
 b) 12 
 c) 
d) 
e) 
f) 
3. a) 
b) 9
c) 
d) 
e) 
f) 4,5
g) 4
h) 
Bibliografia:
BOULOS, Paulo. Cálculo Diferencial e Integral Vol.1 + Pré-Cálculo. 1ª Edição. São Paulo: Makron, 2006.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Vol. 1. 1ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2008.
THOMAS, George B. Cálculo Vol. 1. 11ª Edição. São Paulo: Addison Wesley, 2008