Resumo unidade01 1

Prévia do material em texto

MA22 - Unidade 1 - Resumo 1
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
Sequências de Números Reais
Definição (Sequência)
Uma sequência de números reais é uma função x : N −→ R que a
cada número natural n associa um número real x
n
= x(n),
chamado o n-ésimo termo da sequência.
Denotamos por (x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
, . . .), ou por (x
n
)
n∈N, ou
simplesmente por (x
n
), a sequência x : N −→ R.
Exemplos
1 (n);
2
(
1
2
n
)
;
3
( (−1)n
n
)
;
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 2/10
Operações com sequências
Como as sequências são funções reais, elas podem ser somadas,
subtraídas e multiplicadas.
Dadas as sequências (x
n
) e (y
n
), podemos formar as sequências
(x
n
± y
n
), (x
n
y
n
) e
(
x
n
y
n
)
, desde que, nesta última, y
n
6= 0 para todo
n ∈ N.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 3/10
Sequências Limitadas
Definições (Sequência Limitadas)
1
Uma sequência (x
n
) é dita limitada superiormente
(respectivamente, inferiormente), se existe c > 0 tal que
x
n
≤ c (respectivamente, x
n
≥ c), para todo n ∈ N.
2
Dizemos que x
n
é limitada quando é limitada inferiormente e
superiormente, isto é, se existe c > 0 tal que |x
n
| < c , para
todo n ∈ N.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 4/10
Sequências crescentes e decrescentes
Definições
1
Uma sequência (x
n
) será dita decrescente se x
n+1 < xn para
todo n ∈ N.
2
Diremos que a sequência é não crescente, se x
n+1 ≤ xn para
todo n ∈ N.
3
Uma sequência (x
n
) será dita crescente se x
n+1 > xn para todo
n ∈ N.
4
Diremos que a sequência é não decrescente, se x
n+1 ≥ xn para
todo n ∈ N.
As sequências crescentes, não decrescentes, decrescentes ou não
crescentes são chamadas de sequências monótonas.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 5/10
Subsequências
Definição (Subsequência)
Dada uma sequência (x
n
)
n∈N de números reais, uma subsequência
de (x
n
) é a restrição da função x a um subconjunto infinito
N
1
= {n
1
< n
2
< n
3
< · · · < n
k
< · · · }.
Denotamos a subsequência por (x
n
)
n∈N
1
, ou (x
n
i
)
i∈N ou ainda
(x
n
1
, x
n
2
, x
n
3
, · · · , x
n
k
, · · · ).
Exemplos
As sequências (x
n
) =
( (−1)n+1
n
)
e (y
n
) =
(
n
(−1)n)
admitem as
seguintes subsequências:
1 (x
2n
) =
(−1
2
, −1
4
, · · · −1
2n
, · · · );
2 (y
2n−1) =
(
1, 1
3
, 1
5
, 1
7
, · · · , 1
2n−1 , · · ·
)
;
3 (x
n
2
) =
(
1, −1
4
, 1
9
, −1
16
, · · · ).
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 6/10
Séries
Dada uma sequência (x
n
), podemos considerar uma nova
sequência, denotada por (s
n
), cujo termo geral é a soma dos n
primeiros termos da sequência original (x
n
):
s
n
= x
1
+ x
2
+ x
3
+ . . .+ x
n
=
n∑
i=1
x
i
.
A sequência s
n
é o que chamamos uma série.
Exemplo
Se x
n
= 1
2
n
, temos
s
1
=
1
2
, s
2
=
1
2
+
1
4
, s
3
=
1
2
+
1
4
+
1
8
, . . .
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 7/10
Exercício
Descubra o termo geral da série associada as sequências(
x
n
= sen
(
npi
2
))
e (y
n
= 2n − 1).
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 8/10
Definição Educada de Subsequência
Pode-se definir a noção de subsequência de uma sequência como a
composição de duas sequências. De fato, suponha dada uma
sequência x : N→ R e uma sequência crescente n : N→ N. A
subsequência (x
n
i
) =
(
x
n
1
, x
n
2
, . . .
)
é precisamente x ◦ n : N→ R.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 9/10
Exercício
Seja (x
n
= (−1)
n
n
) e n : N→ N a função definida por n 7→ 2n + 1.
Descreva as subsequências obtidas por x ◦ n e x ◦ n ◦ n.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 10/10