c3lista4-2014.2

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Comenta´rios. Antes de resolver as questo˜es da Lista 4, sera´ u´til ler as observac¸o˜es
abaixo, que sera˜o justificadas na pro´xima aula (06/10).
1. Qualquer que seja a regia˜o D (no plano ou no espac¸o), as noc¸o˜es de campo gra-
diente e campo conservativo em D sa˜o equivalentes.
2. Temos o seguinte resultado para campos vetoriais no plano:
• Seja F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) um campo vetorial (de classe C1) definido em uma
regia˜o D do plano xy. Se F e´ conservativo em D, enta˜o Qx = Py.
A igualdade das derivadas parciais Qx e Py e´, portanto, uma condic¸a˜o necessa´ria para que
um campo vetorial em uma regia˜o do plano seja conservativo. Em geral, esta condic¸a˜o
na˜o e´ suficiente; pore´m, se a regia˜o D for todo o plano, um retaˆngulo ou um disco, vale
a rec´ıproca.
Ha´ um resultado ana´logo para campos vetoriais definidos em regio˜es tridimensionais,
envolvendo o vetor rotacional , que entretanto so´ sera´ visto na segunda unidade.
3. Se F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) e´ um campo conservativo, a func¸a˜o potencial φ
pode ser obtida por integrac¸o˜es sucessivas: sendo F = ∇φ, temos φx = P ; φy = Q. A
primeira equac¸a˜o pode ser resolvida integrando em relac¸a˜o a x; note que a “constante de
integrac¸a˜o”e´, de fato, uma func¸a˜o g(y) da varia´vel y que “congelamos”para integrar em
relac¸a˜o a x. A seguir, substitu´ımos a expressa˜o encontrada para φ na segunda equac¸a˜o,
a fim de determinarmos g(y). Vale procedimento ana´logo para campos conservativos
F(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) no espac¸o, sendo que agora ha´ treˆs equac¸o˜es
a considerar (a primeira determina φ em termos de uma func¸a˜o a determinar g(y, z) etc.).
A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 4 da primeira unidade
1. Se φ(x, y, z) = x3y + (y − 1)ex cos(piz) e C e´ a curva parametrizada por r(t) = (t, t2, t3)
para 1 ≤ t ≤ 2, calcule o valor de ∫
C
∇φ · dr.
2. (a) Quais dos seguintes campos vetoriais definidos em R2 sa˜o conservativos? Em caso
afirmativo, deˆ exemplo de uma func¸a˜o potencial.
F1(x, y) = (x, 0); F2(x, y) = (0, x); F3(x, y) = (2xy sen (x
2y), ey + x2 sen (x2y)).
(b) Fac¸a um desenho para o campo F1(x, y) = (x, 0) e procure ilustrar o fato que o campo
e´ conservativo considerando a integral de linha ao longo da fronteira de um retaˆngulo (com
lados paralelos aos eixos, mas na˜o necessariamente com centro na origem); na˜o e´ preciso
fazer ca´lculos: entenda pela figura por que uma tal integral de linha se anula.
3. (a) Se C e´ a elipse x
2
9
+ y
2
4
= 1, e F1(x, y) = (y + arctgx, x + ln(y
4 + 1)), calcule
(rapidamente!)
∫
C
F1 · dr. Justifique.
(b) Se F2(x, y) = (y+ arctgx, 2x+ ln(y
4 + 1)), use o fato que F2(x, y) = F1(x, y) + (0, x)
para calcular
∫
C
F2 · dr.
EXERCI´CIO RESOLVIDO. Seja F o campo vetorial em R3 dado por
F(x, y, z) = (ez + 2xy, cos z + x2, xez − y sen z + z
1 + z2
).
(a) Justifique: se A, B sa˜o pontos do R3 e γ, η sa˜o caminhos com ponto inicial A e ponto
final B, enta˜o
∫
γ
F · dr = ∫
η
F · dr.
(b) Se P0 = (1, 0, 1), P1 = (2, 3, 7), P2 = (1, 1, 2), P3 = (3, 2, 5) e P4 = (0, 3, 0), qual e´ o
valor da integral de linha de F sobre a poligonal P0P1P2P3P4?
(c) Se C e´ o arco da curva obtida pela intersec¸a˜o do cone z2 = x2+y2 com o plano z = 1+y,
compreendido entre o ponto inicial P1 = (0,−1/2, 1/2) e o ponto final P2 = (1, 0, 1),
calcule
∫
C
F · dr.