(OK) Aula 08 Probabilidade

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Aula 08
Probabilidade
Estatística
Prof. MSc. Éder Baroni da Silveira
edersilveira@umc.br
Engenharias – 2018
Probabilidade
Experimento aleatório: Experimento que, quando repetido em
iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja,
são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e
possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo
de experimento aleatório [1].
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Probabilidade
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.
Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço 
amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
Escreva explicitamente os seguintes eventos:
A={caras e um número par aparece}
B={um número primo aparece}
C={coroas e um número ímpar aparecem}
Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
d) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
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Probabilidade
Resolução:
Para obter A, escolhe-se os elementos de S constituídos de um K e um 
número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhe-se os pontos de S constituídos de números primos: 
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5};
Para obter C, escolhe-se os pontos de S constituídos de um R e um número
ímpar: C={R1,R3,R5}.
(a) A ou B = A U B = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C:
஼ ஼={K3,K5,R2}
(a) A e C são mutuamente exclusivos, porque 
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AC é o evento complementar de A, é formado por todos os elementos do espaço amostral 
que não pertencem a A.
Conceito de Probabilidade
Dois eventos são eventos mutuamente exclusivos se eles não
podem ocorrer ao mesmo tempo. Exemplo: lançamento de uma
moeda, o qual pode resultar em cara ou coroa, mas não ambos.
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Conceito de Probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis,
então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
No lançamento de um dado, um número impar pode ocorrer de 3 maneiras
diferentes dentre os 6 números igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2
= 50%.
Um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos
elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral
equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é
sempre:
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Conceito de Probabilidade
Algumas propriedades importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P(A) + P(A') = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0
(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do
evento certo).
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Probabilidade
Exercícios: Lançando um tetraedro (com lados de cor azul, verde, vermelho,
amarelo) e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído
pelos 24 elementos:
S = {?}
Escreva explicitamente os seguintes eventos:
A={azul e um número qualquer do dado}
B={vermelho e um múltiplo de dois aparece}
C={amarelo e um número ímpar aparecem}
Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
d) Há eventos complementares?
e) Há eventos mutuamente exclusivos?
f) Qual a probabilidade de ocorrência de cada evento?
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Exercícios para entregar
Exercícios: Crie uma situação prática na engenharia
em que o conteúdo tratado nesta aula seja possível
de aplicar.
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Referências bibliográficas
Só matemática. CD-ROM
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Trabalho para próxima aula
Questão 01 – Defina o que são centis, quartiz e decis? Qual sua
utilidade para a engenharia? Cite dois exemplos.
Questão 02 – O que é o polígono de frequência? Qual
procedimento devo seguir para obtê-lo a partir de um
histograma? Em quais situações na engenharia recomenda-se
utilizar essa ferramenta gráfica?
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Aula 09
Eventos independentes
Modelo de distribuição binomial
Estatística
Prof. MSc. Éder Baroni da Silveira
edersilveira@umc.br
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Eventos independentes
E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a
probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os
outros terem ou não terem ocorrido [1].
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Problema exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas
e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser
vermelha e a segunda ser azul?
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Eventos independentes
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na
primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das
probabilidades de cada condição:
P(A e B) = P(A) . P(B)
A probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul
na segunda retirada 20/30. Utilizando a regra do produto, têm-se:
10/30 . 20/30 = 2/9
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois
houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na
primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na
urna.
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Modelo de distribuição binomial
Corresponde a distribuição de probabilidade discreta do número de
sucessos numa sequência de “n” tentativas. Suas características podem ser
citadas abaixo:
• Para cada tentativa, tem-se como resultado exclusivamente duas
possibilidades, sucesso ou fracasso, cara ou corroa (binomial);
• Cada tentativa independe das demais
• “p” é a probabilidade de sucesso de cada tentativa, que permanece
constante e independente das demais tentativas;
• A variável de interesse é o número de sucessos “k” nas “n” tentativas.
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Modelo de distribuição binomial
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que
resultam em sucesso tem uma distribuição binomial, cujos
parâmetros sejam “n” e “p” escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade
de ter exatamente “k” sucessos é obtida pela função de
probabilidade:
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Modelo de distribuição binomial
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que
resultam em sucesso tem uma distribuição binomial, cujos
parâmetros sejam “n” e “p” escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade
de ter exatamente “k” sucessos é obtida pela função de
probabilidade:
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Ordenações possíveis
Modelo de distribuição binomial
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que
resultam em sucesso tem uma distribuição binomial, cujos
parâmetros sejam “n” e “p” escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade
de ter exatamente “k” sucessos é obtida pela função de
probabilidade:
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Ordenações possíveis
Número de sucesso
Modelo de distribuição binomial
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que
resultam em sucesso tem uma distribuição binomial, cujos
parâmetros sejam “n” e “p” escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade
de ter exatamente “k” sucessos é obtida pela função de
probabilidade:
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Ordenações possíveis Probabilidade de fracasso
Número de sucesso
Exercícios exemplo
Em 12 lançamentos de uma moeda, qual a probabilidade de sair 
5 caras? (Resposta: 0,19)
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De uma forma geral, podemos adotar para f(k ; n , p)
k = probabilidade a ser alcançada;
n = número de eventos;
p = probabilidade para o evento.
Exercícios exemplo
Ao lançar três dados comuns e honestos, Qual a probabilidade de que
o número 6 seja obtido mais de uma vez?
Raciocínio: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a
probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição
binomial deprobabilidade:
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Dica: Calcula-se primeiramente f(2 , 3 , 1/6) e depois f (3 , 3 , 1/6).
Resposta: 2/27 = 0,074 
Referências bibliográficas
SóMatemática
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC)
Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/binomial.html
Instituto de Matemática e Estatística (IME) – Universidade de São Paulo
Disponível em:
https://www.ime.usp.br/~yambar/MAE116-
Quimica/Aula%205%20Distribui%E7%E3o%20Binomial/Aula%205%20-
%20Distribui%E7%E3o%20Binomial.pdf
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