AULA 5 Empuxo

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2º semestre de 2018
FENÔMENOS DE
TRANSPORTE I
Prof. Karina Klock da Costa
1
Empuxo
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Classificação dos Escoamentos
• Escoamento viscoso vs não viscoso
• Escoamento interno vs externo
• Escoamento compressível vs incompressível
• Escoamento laminar vs turbulento
• Escoamento natural vs forçado
• Escoamento uni, bi e tridimensionais
• Escoamento estacionário vs não estacionário
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Cinemática dos Fluidos
Descrição do movimento dos fluidos sem a
necessidade de considerar as forças e os momentos
que causam o movimento.
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Lagrange vs Euler
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Aumentando 2 grau por 
hora
Diminuindo 1 grau 
por hora
Adaptado de: Fonte
Sistema e Volume de Controle
Quando se trabalha com a abordagem Euleriana,
tem-se que avaliar o domínio do escoamento.
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Sistema
Fronteira
Vizinhança
Sistema e Volume de Controle
Volume de Controle é uma parte do sistema
determinada para estudo.
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Fronteira
Móvel
Fronteira
Fixa
Sistema e Volume de Controle
A fronteira pode ser real ou imaginária, fixa ou
móvel.
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Fronteira
imaginária Fronteira Real
Fronteira 
Móvel
Fronteira 
Fixa
Vazão
Quantidade de massa ou volume que passa por uma
área definida:
Pela unidade, é possível determinar o cálculo da
mesma:
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Fluxo
m
Q
s
3 
=  
 
Vazão 
volumétrica
Vazão volumétrica
Pela unidade, é possível determinar o cálculo da
mesma:
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Volume V
Q
Tempo t
= =
Vazão 
volumétrica
m
Q m
s
2 =   
Q vA=
Vazão mássica
O mesmo conceito é aplicado, porém, com unidades
de massa:
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Massa m
m
Tempo t
= =kgm
s
 
=   
Vazão 
mássica
Conversão entre vazões
É possível converter vazões mássicas em volumétricas
e vice versa por:
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m Q=
m
Q

=
kg m m
s kg s
3 3 
= 
 
m kg kg
s m s
3
3
 
= 
 
Campo de velocidade
A velocidade de um escoamento real é uma variável
vetorial, ou seja:
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
Ou seja, tem-se um Campo de Velocidade.
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A velocidade é função de x, y, z e t.
Campos no interior do escoamento
Da mesma forma, tem-se um campo de pressão:
𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
E um campo de aceleração:
Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
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Campo de velocidade
A velocidade pode ser representada em coordenadas
cartesianas como:
Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦, 𝑣𝑧
Ou ainda, em algumas referências:
Ԧ𝑣 = 𝑢, 𝑣, 𝑤
Sendo que os três componentes da velocidade variam
com o tempo e com as coordenadas.
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Campo de velocidade
Com a nomenclatura vetorial:
Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦, 𝑣𝑧
Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑣𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 Ԧ𝑗+ 𝑣𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘
A partir destas representações, é possível converter a 
representação lagrangeana em euleriana.
A segunda é mais conveniente em engenharia. Fe
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Campo de aceleração
As equações do movimento do escoamento de fluidos,
como a 2ª Lei de Newton, são escritas para uma
partícula de fluido, que também chamamos de
partícula material.
2ª Lei de Newton:
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partícula partícula partículaF m a=
Campo de aceleração
A aceleração é a derivativa no tempo da velocidade:
A velocidade em qualquer instante de tempo é igual
ao valor do campo de velocidade local, ou seja:
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partículadva
dt
=
partículav t v x t y t z t( ) ( ( ) ( ) ( ))= + +
Campo de aceleração
Para chegar a derivada da equação da aceleração,
utiliza-se a regra da cadeia:
Ԧ𝑎 =
𝑑 Ԧ𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝑑𝑡
Ԧ𝑎 =
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
A taxa de variação da posição x da partícula de
fluido com relação ao tempo é:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥
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Campo de aceleração
Da mesma forma para as direções x e z, chega-se a:
Ԧ𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 =
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑥
𝑣𝑥 +
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑦
𝑣𝑦 +
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑧
𝑣𝑧
Operador gradiente ou operador del, é definido para
coordenadas cartesianos como:
∇=
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
= Ԧ𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
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Campo de aceleração
Logo, para a aceleração:
Ԧ𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 =
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
+ Ԧ𝑣 ∙ ∇ Ԧ𝑣
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Aceleração local
Aceleração convectiva
Campo de aceleração
A aceleração pode ser obtida para as três
coordenadas, por:
𝑎𝑥 =
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
𝑎𝑦 =
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑧 =
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
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Exemplos: vazão
1. Uma mangueira é conectada em um tanque com
capacidade de 1000 m³. O tempo gasto para
encher o tanque é de 500 minutos. Qual a vazão
volumétrica máxima da mangueira?
2. Tem-se uma torneira com água escoando à uma
velocidade de 2 m/s. O bocal da torneira possui
diâmetro de 2 cm e a massa específica da água é
998 kg/m³. Quais as vazões mássica e volumétrica
de água.
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Exemplo
Um engenheiro está lavando seu carro com um bocal
semelhante à figura. O bocal tem 9,91 cm de
comprimento, com um diâmetro de entrada de 1,07
cm e um diâmetro de saída de 0,46 cm. Ver próxima
imagem. A vazão de volume através da mangueira de
jardim é de 52,95 cm³/s e o escoamento é
estacionário. Estime o módulo da aceleração do fluido
no eixo central do bocal.
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Exemplo
Um engenheiro está lavando seu carro com um bocal
semelhante à figura. O bocal tem 9,91 cm de comprimento,
com um diâmetro de entrada de 1,07 cm e um diâmetro de
saída de 0,46 cm. Ver próxima imagem. A vazão de volume
através da mangueira de jardim é de 52,95 cm³/s e o
escoamento é estacionário. Estime o módulo da aceleração do
fluido no eixo central do bocal.
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Dentrada Dsaída
Resposta:
ax = 49,53 m/s²
Referências
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos:
Fundamentos e aplicações. 3ª Ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. ISBN:
978-85-8055-490-8.
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2008. ISBN ISBN 978-85-7605-182-4.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de
Janeiro, RJ: LTC, 2018.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Coleção Schaum: Mecânica dos
Fluidos. Porto Alegre: Bookman, 2018. ISBN ISBN 978-85-8260-454-0.
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Fenômenos de Transporte I
Prof. Karina Klock da Costa