04 Estática dos Fluidos Parte 2

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Mecânica dos Fluidos A 
Aula 4 
Estática dos Fluidos 
Parte 2 
Sumário 
• Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa. 
• Exercícios. 
• Referências. 
Mecânica dos Fluidos A 1 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A estática dos fluidos em geral é chamada de hidrostática 
quando o fluido em repouso é um líquido. 
• A única tensão com a qual tratamos na hidrostática é a 
tensão normal, que é a pressão, e a variação da pressão 
só é devida ao peso do fluido. 
Mecânica dos Fluidos A 2 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A descrição completa da força hidrostática resultante que 
age sobre uma superfície submersa exige a determinação 
da intensidade, do sentido e da linha de ação da força. 
Mecânica dos Fluidos A 3 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Numa superfície plana, as forças hidrostáticas formam um 
sistema de forças paralelas, e com frequência é necessária 
a determinação da intensidade da força e do seu ponto de 
aplicação (centro de pressão). 
Mecânica dos Fluidos A 4 
Pressão 
manométrica 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Considere a superfície superior de uma placa plana de 
forma arbitrária completamente submersa em um líquido. 
Mecânica dos Fluidos A 5 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Considere a superfície superior de uma placa plana de 
forma arbitrária completamente submersa em um líquido. 
Mecânica dos Fluidos A 6 
A
RF pdA 
R CF p A
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A pressão absoluta em qualquer ponto da placa é dada 
por: 
 
• Sendo que: 
– 𝑝0 é a pressão absoluta acima do líquido. 
– ℎ é a distância vertical entre o ponto e a superfície livre. 
– 𝑦 é a distância entre o ponto e o eixo 𝑥 (ponto 𝑂). 
 
 
Mecânica dos Fluidos A 7 
0 0 senp p g h p g y     
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A força hidrostática resultante, 𝐹𝑅 , que age sobre a 
superfície é determinada pela integração da força 𝑝𝑑𝐴 
que age numa área diferencial 𝑑𝐴 em toda a área da 
superfície: 
 
 
• Ou ainda: 
Mecânica dos Fluidos A 8 
R
A
F pdA 
 0 0sen senR
A A
F p gy dA p A g y dA       
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• O primeiro momentum da área está relacionado à 
coordenada 𝑦 do centroide (ou centro) da superfície, 𝑦𝐶 , 
através da expressão: 
 
 
• Com isso: 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos A 9 
1
C
A
y y dA
A
 
 0 0R C
A
F p A g sen y dA p g y sen A      
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Ou ainda: 
Mecânica dos Fluidos A 10 
 0R C C médF p gh A p A p A   
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A magnitude da força resultante que age sobre uma 
superfície plana de uma placa completamente submersa 
em um fluido homogêneo (massa específica constante) é 
igual ao produto da pressão no centroide 𝑝𝐶 da superfície 
e da área 𝐴 da superfície. 
Mecânica dos Fluidos A 11 
R CF p A
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• A linha de ação da força hidrostática resultante, em geral, 
não passa pelo centroide da superfície – ela fica abaixo, 
onde a pressão é maior. O ponto de intersecção entre a 
linha de ação da força resultante e a superfície é o centro 
de pressão. 
Mecânica dos Fluidos A 12 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• O local vertical da linha de ação é determinado igualando 
o momentum da força resultante e o momentum da força 
de pressão distribuída com relação ao eixo 𝑥. 
 
 
• Ou ainda: 
Mecânica dos Fluidos A 13 
 0P R
A A
y F y p dA y p g y sen dA    
2
0P R
A A
y F p y dA g sen y dA   
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Ou ainda: 
 
• Sendo que: 
– 𝑦𝑃 é a distância do centro de pressão ao eixo 𝑥 (ponto 𝑂) 
– 𝐼𝑥𝑥,𝑂 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴 é o segundo momentum de área (momentum 
de inércia de área) com relação ao eixo 𝑥. 
Mecânica dos Fluidos A 14 
0 ,P R C xx Oy F p y A g sen I  
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Os segundos momentum's da área com relação aos eixos 
paralelos estão relacionados entre si pelo teorema do eixo 
paralelo, que neste caso é expresso por 
 
• Sendo que, 𝐼𝑥𝑥,𝐶 é o segundo momentum de área com 
relação ao eixo 𝑥 que passa através do centroide da área 
e 𝑦𝐶 (a coordenada 𝑦 do centroide) é a distância entre os 
dois eixos paralelos. 
Mecânica dos Fluidos A 15 
2
, ,xx O xx C CI I y A 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Com isso, obtém-se que: 
 
 
 
• Para 𝑝0 = 0, que em geral é o caso quando a pressão 
atmosférica é ignorada, tem-se que: 
Mecânica dos Fluidos A 16 
,
0
xx C
P C
C
I
y y
p
y A
g sen 
 
 
 
 
,xx C
P C
C
I
y y
y A
 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Para áreas que possuem simetria com relação ao eixo 𝑦, o 
centro da pressão está neste eixo diretamente abaixo do 
centroide. 
• Caso contrário, uma análise similar pode ser feita para 
calcular 𝑥𝑃, a coordenada 𝑥 do centro de pressão da 
aplicação da força resultante sobre a superfície. 
Mecânica dos Fluidos A 17 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 18 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície 
submersa plana – 
Aplicação 1: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e 
largura 𝑤 alinhada com o 
plano horizontal e 
posicionada a uma 
profundidade ℎ no fluido. 
– Observa-se que esta 
solução é simplesmente a 
pressão na profundidade ℎ 
multiplicada pela área da 
placa. 
Mecânica dos Fluidos A 19 
 p atmF p gh Lw 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície 
submersa plana – Aplicação 
2: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e largura 
𝑤, com origem na superfície e 
alinhada com o eixo 𝑧. Neste 
caso, observa-se que 𝑧′ = 𝑧. 
– Nesta expressão observa-se o 
efeito de uma pressão 
constante aplicada sobre a 
placa, 𝑝𝑎𝑡𝑚𝐿𝑤, superposto ao 
efeito da pressão variável com 
a profundidade. 
Mecânica dos Fluidos A 20 
2
2
p atm
gL w
F p Lw

 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície 
submersa plana – Aplicação 
3: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e largura 
𝑤 , com origem a uma 
profundidade 𝑧0 , e alinhada 
com o eixo 𝑧. 
– Novamente, observa-se o 
efeito de uma pressão 
constante aplicada sobre a 
placa, (𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧0) , 
superposto ao efeito da 
pressão variável com a 
profundidade. 
Mecânica dos Fluidos A 21 
 
2
0
2
p atm
gL w
F p gz Lw
  
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície 
submersa plana – Aplicação 
4: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e largura 
𝑤 , com origem a uma 
profundidade 𝑧0 , e alinhada 
com o eixo 𝑧. 
– Novamente, observa-se o 
efeito de uma pressão 
constante aplicada sobre a 
placa, 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧0 , 
superposto ao efeito da 
pressão variável com a 
profundidade. 
Mecânica dos Fluidos A 22 
 
2
0
2
p atm
gL sen w
F p gz Lw
   
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre superfície submersa plana: 
Mecânicados Fluidos A 23 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 24 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre superfície 
submersa plana – Aplicação 
1: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e largura 
𝑤 alinhada com o plano 
horizontal e posicionada a 
uma profundidade ℎ no fluido. 
Neste caso, para a coordenada 
𝑧’ ao longo da superfície com 
origem no ponto 𝑂, tem-se: 
– A força de magnitude 
(𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ)𝐿𝑤 aplica um 
momento com braço de 
alavanca 𝐿/2. 
 
 
Mecânica dos Fluidos A 25 
 
2
o atm
L
M p gh Lw 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre 
superfície submersa plana 
– Aplicação 2: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e 
largura 𝑤 alinhada com o 
eixo 𝑧, sendo a origem 𝑂 
posicionada em uma 
profundidade 𝐿. 
Mecânica dos Fluidos A 26 
 
2 3
0
2 3
atm
L w gL w
M p gL
  
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre superfície 
submersa plana – Aplicação 
2: 
– A primeira parcela é uma força 
uniforme, 𝑝𝑎𝑡𝑚𝐿𝑤 , aplicada 
no centro da superfície 
exercendo um momento 
através do braço de alavanca 
𝐿/2. 
– A segunda parcela, é um 
momento realizado por uma 
força distribuída com módulo 
(𝜌𝑔𝐿/2)𝐿𝑤 aplicada em um 
braço de alavanca de 𝐿/3. 
Mecânica dos Fluidos A 27 
2 3
0
2 6
atm
L w gL w
M p

 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre 
superfície submersa plana 
– Aplicação 3: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e 
largura 𝑤 alinhada com o 
eixo 𝑧, sendo a origem 𝑂 
posicionada em uma 
profundidade 𝑧0. 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos A 28 
 
2 3
0 0
2 3
atm
L w gL w
M p gz
  
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Momentos sobre 
superfície submersa plana 
– Aplicação 4: 
– Superfície plana retangular 
com comprimento 𝐿 e 
largura 𝑤 inclinada em um 
ângulo 𝜃 sendo a origem 𝑂 
posicionada em uma 
profundidade ℎ + 𝑧0. 
Mecânica dos Fluidos A 29 
 
2 3
0 0
2 6
atm
L w gL sen w
M p gz
   
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo 
da força resultante sobre 
uma superfície submersa 
plana: 
Mecânica dos Fluidos A 30 
p
A
F pdA 
' '
p
A
z F pz dA 
' '
p
A
y F py dA 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo 
da força resultante sobre 
uma superfície submersa 
plana: 
Mecânica dos Fluidos A 31 
ˆ ˆ' '
'
yy
c
c
I
z z
z A
 
ˆˆ' '
'
yz
c
c
I
y y
y A
 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Forças sobre superfície submersa plana (semi-esférica): 
Mecânica dos Fluidos A 32 
4 2
3 8
oM gR
    
 
R 
R 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo da força resultante sobre uma 
superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 33 
z 
y 
z 
y 
z 
y 
3
ˆ ˆ,
12
yy
ab
A ab I 
4
2
ˆ ˆ,
4
yy
R
A R I
 
3
ˆ ˆ,
4
yy
ab
A ab I
 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo da força resultante sobre uma 
superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 34 
z 
y 
z 
y 
z 
y 
3
ˆ ˆ,
2 36
yy
ab ab
A I 
2
4
ˆ ˆ, 0,109757
2
yy
R
A I R

  3
ˆ ˆ, 0,109757
2
yy
ab
A I ab

 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo da força resultante sobre uma 
superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 35 
Força hidrostática sobre uma 
superfície plana submersa 
• Generalização do cálculo da força resultante sobre uma 
superfície submersa plana: 
Mecânica dos Fluidos A 36 
Exercícios 
• Problema 3.50 (5ª Ed.), 3.57 (6ª Ed.) ou 3.66 (8ª Ed.) do Fox: 
Mecânica dos Fluidos A 37 
Exercícios 
• Problema 3.51 (5ª Ed.), 3.58 (6ª Ed.) ou 3.65 (8ª Ed.) do Fox: 
Mecânica dos Fluidos A 38 
Exercícios 
• Problema 3.40 (5ª Ed.), 3.45 (6ª Ed.) ou 3.51 (8ª Ed.) do Fox: 
Mecânica dos Fluidos A 39 
Exercícios 
• Problema 3.42 (5ª Ed.), 3.47 (6ª Ed.) ou 3.52 (8ª Ed) do Fox: 
Mecânica dos Fluidos A 40 
Exercícios 
• Problema 3.60 (6ª Ed.) ou 3.68 (8ª Ed) do Fox: 
Mecânica dos Fluidos A 41 
Exercícios 
• Problemas (recomendados) do Çengel (1ª Ed.): 
– 3-56. 
– 3-59. 
– 3-60. 
– 3-61. 
– 3-120. 
Mecânica dos Fluidos A 42 
Referências 
• FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. 
Introdução à mecânica dos fluidos. 7. ed. Rio de Janeiro, 
RJ: LTC, 2010. 710 p. ISBN 9788521617570. 
• ÇENGEL, Yunus A; CIMBALA, John M. Mecânica dos 
fluidos: fundamentos e aplicações. São Paulo, SP: 
McGraw-Hill, Bookman, AMGH, 2007. xxvi, 816 p. ISBN 
9788586804588. 
Mecânica dos Fluidos A 43