Volume 6 Complexos e Polinômios (Aluno) Fundamentos da matemática elementar parte 2

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QUESTÕES DE VESTIBULARES
203. (UF-GO) Considere o polinómio p(x) = x3 - 9x2 + 25x - 25. Sabendo-se que o número
complexo z = 2 + i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as rafzes de p, pode
ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:
a) d) yy*
5iC
+ + >*ÿ2 X
-1—
1
+ + X-2b) y*
e)i
1--+ t-2 2
2 X
-1-2
C) y4
1
+Tt 2 X
-1--
204. (Unifesp-SP) Seja x = V 2 + + V 2 - Võ. Elevando ambos os termos ao cubo, tere¬
mos x3 = 4 - 3x. Seja p(x) = x3 + 3x - 4. Como p(l) = 0, p(x) é divisfvel por x -1e,
então, p(x) = (x- 1) • q(x), onde q é um polinómio.
a) Mostre que q(x) possui como zeros somente números complexos não reais e, portan¬
to, que o número x =1é o único zero real de p(x).
b) Mostre que + Võ + é um número inteiro.
205. (ITA-SP) Considere o polinómio p(x) = x3 - (a + l)x + a, onde a e Z. 0 conjunto de todos
os valores de a, para os quais o polinómio p(x) só admite rafzes inteiras, é:
d) {n(n + 1), n G N}
e) N
a) {2n, neN)
b) {4n2, n G N}
c) {6n2 - 4n, n G N}
B I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
206. (FGV-SP) Sendopeq as raízes irracionais da equação 2x4+ 3x3- 6x2- 6x + 4= 0,p •q
é igual a:
. Vã9) — e)-fd) -Vãb) -Vã c) -2
207. (ITA-SP) Com respeito à equação polinomial 2x4 - 3x3 - 3x2 + 6x - 2 = 0 é correto
afirmar que:
a) todas as raízes estão em <Q.
b) uma única raiz está em Z e as demais estão em <Q> - Z.
c) duas raízes estão em Q e as demais têm parte imaginária não nula.
d) não é divisível por 2x - 1.
e) uma única raiz está em <0 - Z e pelo menos uma das demais está em IR - <0.
208. (FGV-SP) Ao copiar da lousa uma equação polinomial de 39 grau e de coeficientes intei¬
ros, Carlos escreveu errado o termo em x e o termo que não tem fator x. Resolvendo-a,
duas das raízes que encontrou foram -i e 2. A professora já havia adiantado que uma
das raízes da equação original era 2i.
a) Qual é a equação original?
b) Quais são as outras raízes da equação original?
209. (ITA-SP) Mostre que um polinómio de 49 grau e coeficientes inteiros não possui raízes
inteiras se p(0) e p(l) forem ímpares.
210. (FGV-SP) Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial 3x4 + 2x3mx2 -
1
7T. Nessas condi-4- 4x = 0, na incógnita x, que possui uma raiz racional entre —— e5
ções, a menor raiz irracional da equação é igual a:
. VãC) —
~2-
b) -Vã d) Vãa) -V3 e) V3
211. (ITA-SP) Sobre o polinómio p(x) = x5 - 5x3 + 4x2 - 3x - 2 podemos afirmar que:
a) x = 2 não é raiz de p.
b) p só admite reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.
c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.
d) p só admite raízes reais sendo duas delas inteiras.
e) p admite somente três raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.
212. (PUC-SP) Sabe-se que a equação x4 + x3 - 4x2 + x + 1= 0 admite raízes inteiras.
A
Se m é a maior das raízes não inteiras dessa equação, então o valor de m + — é:m
e) 2V5d) V5a) -6 b) -3 c) 0
SB Fundamentos de Matemática Elementar I 6
QUESTÕES DE VESTIBULARES
6
= X anxn, com coeficientes reais, sendo a0 + 0213. (ITA-SP) Considere o polinómio p(x)
e a6 = 1. Sabe-se que se r é raiz de p, -r também é raiz de p. Analise a veracidade ou
falsidade das afirmações:
I. Se rí e r2, |rj + |r2|, são raízes reais e r3 é raiz não real de p, então r3 é imaginário
puro.
II.Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro.
III. a0 < 0.
n =0
214. (ITA-SP) Considere a equação:
1+ i 1- IV
1- i 1+ i)
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é:
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
215. (ITA-SP) Se z é uma solução da equação em €,
z-z+ |z|2 = -[(V2 + 0(ÿ3"1 ’ + lYP2- i , pode-se afirmar que:3
e) |z + y|c) |z| e [5, 6]
d) |z| G [6, 7]
a) i(z - z) < 0
b) i(z - z) > 0
> 8
216. (UF-PR) Um modo de procurar soluções de uma equação ax3 + bx2 + cx + d = 0 é
fazer uma substituição da forma x = y + r, escolher o número r de modo que o coefi¬
ciente de y2 seja nulo, resolver a nova equação na variável y e determinar as soluções
da equação original. Nesta questão, você deverá aplicar esse método à equação
8x3 + 12x2 - 66x - 35 = 0.
a) Faça a substituição x = y + r e encontre o número r que anula o coeficiente de y2.
b) Resolva a equação obtida no item (a) e encontre as soluções da equação original.
Transformações
1 í
217. (FGV-SP) Sendo x um número positivo tal que x2 + = 14, o valor de x3 +“
c) 56
d) 58
218. (ITA-SP) É dada a equação polinomial (a + c + 2)x3 + (b + 3c + l)x2 + (c - a)x +
+ (a + b + 4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de pri¬
meira espécie e que1é uma raiz, então o produto abc é igual a:
a) -2
é:
e) 60a) 52
b) 54
c) 6 e) 12
b) 4 d) 9
B I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
Raízes múltiplas e raízes comuns
219. (ITA-SP) Seja p um polinómio com coeficientes reais, de grau 7, que admite1- i como
raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são,
respectivamente,10 e -40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e
formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são:
VÍ93aJ_il93 3
’ 2 6 ,3, 2 ' 6
b) 2 - 4ÿ13, 2, 2 + 4Vl3
c) -4, 2, 8
d) -2,3,8
e) -1,2,5
220. (ITA-SP) Sejam a, p, 7 £ IR. Considere 0 polinómio p(x) dado por
x5- 9x4 + (a - P - 27)x3 + (a + 2p + 27 -2)x2+ (a - p - 7 + l)x + (2a + p + 7 -1).
Encontre todos os valores de a, p e 7 de modo que x = 0 seja uma raiz com multiplici¬
dade 3 de p(x).
5
221. (ITA-SP) Um polinómio real -pr = 2 anxn, com a5 = 4, tem três raízes reais distintas,W n=0
a, b e c, que satisfazem o sistema
a + 2b + 5c = 0
a + 4b + 2c = 6
2a + 2b + 2c = 5
Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se
afirmar que p(l) é igual a:
a) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 6
222. (ITA-SP) Se1é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a
b £ IR, então a2 - b3 é igual a:
b) -36a) -64 c) -28 d) 18 e) 27
223. (UF-RS) Se x =1é raiz de multiplicidade 3 do polinómio x3 + ax2 + bx + c, então
a) a = -3, b = 3, c = -1
b) a = -3,b = -3, c =1
c) a = 0, b = 0, c = -1
d) a = -1,b = 1, c = -1
e) a = -1,b= -1, c =1
224. (ITA-SP) Calcule os números reais a e b para que as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e
x3 + bx + 12 = 0 tenham duas raízes em comum.
225. (ITA-SP) Considere as funções f(x) = x4 + 2x3- 2x-1e g(x) = x2 - 2x + 1. A multiplici¬
dade das raízes não reais da função composta f°g é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
KM Fundamentos de Matemática Elementar I 6
QUESTÕES DE VESTIBULARES
226. (UF-ES) Considere os polinómios p(x) = 2x3 - x2 - lOx + 5 e q(x) = p(x)p(-x). Determi¬
ne:
a) as raízes de p(x);
b) as raízes de q(x) e suas respectivas multiplicidades;
c) os valores reais de x para os quais q(x) > 0.
227. (ITA-SP) Suponha que os coeficientes reais aeb da equação x4 + ax3 + bx2 + ax +1= 0
são tais que a equação admite solução não real r com |r| ¥= 1. Das seguintes afirmações:
I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.
II. As raízes podem ser duplas.
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.
é (são) verdadeira(s):
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) nenhuma.
&B I Fundamentas de Matemática Elementar
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f
Respostas
das questões
de westibulares
1. 25 2. b 24. d23. a 48.
A3. C 4. b 25. d 26. e 1 l5. c 6. b 27. V, F, F, V 7>A \ /7. a) z3 = -2 + 2i e
z4 = -4 + Oi
b) a = -4, b = 6,
c = -4
28. c 29. e \
30. c 31. e
tt32. a 33. a
34. e
36. b
38. b
40. z2 = -72 + 72'Í3\
42. b
44. b
35. e8. V, F, V, F
37. b9. d
49. e39. a10. e
5°. z = -|+
52. a
11. A = {i}
12. d
13. x = 3 ou -3;
41. b 51. a
43. b 53. c 54. b
1 1A = tr OU -TT 45. e
46. a) |zI =1
b) z4 + w4 = -1
47.a) 36 u.a.
b) A'(0, 3), B'(—6, 0),
C'(0, -3), D'(6, 0)
55. d 56. c33
57. d 58. C15. e14. c
59. b 60. c16. b 17. a
19. d 61. c18. c
20. a = 3 cm 62. 01, 04, 08 e 16
21. e 22. d c) i 63. e 64. a
6 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES
1 Vã
2 2
106. c105. d65. a = -4 Z = -=•
107. 10 108. a66.1
135. (2, 1)
137. e
134. c109. e67. V, F, F, F, V
1 136. a17110. K = — ea = — ou68. 32 64 139. a138. b69. a) 0; 2; -2 5ira = —r—6 140. 2a e -ab) a4
111. c 142. c141. a-170. — 2 112. V, V, V, F 144. b143. 5
71. 2i; —2i; -Vã + i;
-Vã - i
17114. b113. d 145. 0 < a < —3
115. e 147. a146. d
72. e 73. a
116. a) 149. c148. a
74. c 75. e q(x)i
151. e150. a-12ab
76. b 77. c
Õ V 2 Á 152. a 153. aX78. c 79. 2
155. b154. d
80. a) A = 1, B = -1,
C = 2
b) Demonstração
b) abx(x- l)(x-3)(x — 4);
raízes: 0,1, 3 e 4
118. b
156. t = 9 e t = 18
157. e 158. c
117. b81. e 159. a 160. d
119. d 120. 7882. a) Demonstração
b) f(x) = x3 - x2 - x +1
84. d
161. e 162. e
122. a121. a
163. a 164. d
123. e 124. c83. b 165. b
166. a = -1, b = -17
c = -15
126. e125. d86. b85. b
127. c 128. c87. (x2 - l)(x3 + x + 1)
89. d 129. b
130. -2 < m < -V2
131. y = -5 ± 2V42
132. a) x2 - x
1+ V5
88. 51 1G7-a> -!ÿ!ÿ¥
91. e90. b
73b)93. b92. b 5
1 = 0;95. b94. e 168. -210
96. b 97. b 2 169. 64
98. e 99. b b) F(10) = 55;
F(ll) = 89; 1,6
170. b 171. a
172. a) 2, 4 e 8
b) k = 56
100. k = 2
133. Z = -1ou
7 i , Vã .Z =I+ —IOU
101. d 102. a
103. b 104. a 173. b 174. a
Fundamentos de Matemática Elementar I B
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES
192. S = {X G U | X —1 OU
X 5= 2}
193. V, V, F, V, V
194. F, V, V, F, V
195. a
197. b
198. V, V, V, V
199. a0 = 27, a1 = -4 e
a2=-5
175. 3, -3,4 214. b 215. e
1176. C 216. a) r = ~2
177. 5;1+ 2i;1- 2i
179. 16VI
kl 15 7b) 2' 2 e 2
217. a 218. e
178. a
196. b180. 45
219. e181. c 182. e
220. a = 0, p =l— me
7 = m
com m G IR e
m ¥= -1.
183. A(0) + B(l) = 5
185. c184. c
186. e 187. a 200. e 201. e
221. a 222. c188. a) 0 202. a 203. a
223. ab) +i, -i e3
204. a) As raízes de q(x) são
-l±Vl5i 224. a =1e b = 2189. a) a = -2,b = -2,
c = 8
b) Q(x) = ax4 + 2ax3 -
- 4ax2- 2ax + 3a,
a E IR*
225. C2
b) Prova-se que
x =1G Z. 226. a) -VI,VI
b) -VI,VI.
Com multiplicidade um:
1 1
2 6 T
com multiplicidade dois:
-VIeVI
205. d
207. e
208. a) x3-2x2+ 4x — 8=0
b) —2i e 2
209. Demonstração
211. e
206. c
190. e
191. a) x = 12 ~' e
-1+ ix = 2
V2 210. b
[_ÍT]b) X —r- OU2 C)212. bV20 *£ X =S-r-2 213. V, F, F 227. a
(SiI Fundamentos de Matemática Elementar
Significado das siglas de vestibulares
FEI-SP — Faculdade de Engenharia Industrial, São Paulo
FGV-SP — Fundação Getúlio Vargas, São Paulo
FGV-RJ — Fundação Getúlio Vargas, Rio de Janeiro
Fuvest-SP — Fundação para o Vestibular da Universidade de São Paulo
ITA-SP — Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São Paulo
Mackenzie-SP — Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo
PUC-MG — Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
PUC-RJ — Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
PUC-RS — Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
PUC-SP — Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
UE-CE — Universidade Estadual do Ceará
UE-GO — Universidade Estadual de Goiás
U. E. Ponta Grossa-PR — Universidade Estadual de Ponta Grossa, Paraná
UE-RJ — Universidade do Estado do Rio de Janeiro
UF-AL — Universidade Federal de Alagoas
UF-AM — Universidade Federal do Amazonas
UF-BA — Universidade Federal da Bahia
UF-CE — Universidade Federal do Ceará
UF-ES — Universidade Federal do Espírito Santo
UFF-RJ — Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro
UF-GO — Universidade Federal de Goiás
U. F. Juiz de Fora-MG — Universidade Federal de Juiz de Fora, Minas Gerais
UF-MS — Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
UF-MT — Universidade Federal do Mato Grosso
UF-PB — Universidade Federal da Paraíba
UF-PE — Universidade Federal de Pernambuco
UF-PI — Universidade Federal do Piauí
UF-PR — Universidade Federal do Paraná
UF-RS — Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UF-RN — Universidade Federal do Rio Grande do Norte
UF-SE — Universidade Federal de Sergipe
U. F. Uberlândia-MG — Universidade Federal de Uberlândia, Minas Gerais
Unesp-SP — Universidade Estadual Paulista, São Paulo
Unicamp-SP — Universidade Estadual de Campinas, São Paulo
Unifesp-SP — Universidade Federal de São Paulo
Vunesp-SP — Fundação para o Vestibular da Universidade Estadual Paulista, São Paulo
Fundamentos de Matemática Elementar I B
 
t’
/
f
- I
 
'
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
é uma coleção consagrada ao longo dos
anos por oferecer ao estudante o mais
completo conteúdo de Matemática
elementar. Os volumes estão organizados
da seguinte forma:
VOLUME 1 conjuntos, funções
VOLUME 2 logaritmos
VOLUME 3 trigonometria
VOLUME 4 secluências' matrizes,determinantes, sistemas
combinatória,
probabilidade
complexos, polinómios,
equações
VOLUME 7 geometria analítica
limites, derivadas,
VOLUME 6
Os volumes contêm teoria e
exercícios de aplicação, além
de uma seção de questões de
vestibulares, acompanhadas de
respostas. Há ainda uma série
de artigos sobre história da
Matemática relacionados aos
temas abordados.
VOLUME 10 geometria espacial
I matemática comercial,
VOLUME 11 matemática financeira,
I estatística descritiva
Na presente edição, a seção
de questões de vestibulares foi
atualizada, apresentando novos
testes e questões dissertativas
selecionados a partir dos
melhores vestibulares do país.
A coleção atende a alunos do ensino
médio que procuram uma formação
mais aprofundada, estudantes em fase
pré-vestibular e também universitários que
necessitam rever a Matemática elementar.
JN 978-85-357-175
MAtual
Editora 8 8 5 3