52291-Cartografia_Geral__2_2014

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2014
IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS 
Cartografia Geral – Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1. Introdução ............................................................................................................................ 6 
1.1 Definições ........................................................................................................................ 6 
1.2 Generalidades sobre Cartas. ............................................................................................ 6 
1.3 Características das Cartas ................................................................................................ 9 
1.4 Classificação .................................................................................................................... 9 
1.4.1 Quanto à finalidade (ABNT*) ..................................................................................... 9 
1.4.2 Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) ......... 10 
2. Processo Cartográfico ....................................................................................................... 11 
2.1 Aquisição de Mapas ...................................................................................................... 11 
3. Superfícies de referência usadas em cartografia. .............................................................. 16 
3.1 Superfície de referência geoidal .................................................................................... 16 
3.2 Superfície de referência esférica ................................................................................... 16 
3.3 Superfície de referência elipsoidal ................................................................................ 17 
3.4 O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal. ............................... 18 
4. Geometria do Elipsóide. .................................................................................................... 19 
4.1 Raios de curvatura do elipsóide de revolução. .................................................................. 20 
4.2 Comprimento de um arco de meridiano (S) ...................................................................... 22 
4.3 Área de um setor elipsóidico (A) ...................................................................................... 23 
4.4 Área de um quadrilátero elipsóidico (T) ........................................................................... 24 
4.5 Aproximação esférica. ....................................................................................................... 24 
5. Sistemas de Referência ...................................................................................................... 25 
5.1 Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas .................................................... 25 
5.2 Latitudes Geocêntrica e Reduzida. ................................................................................ 27 
5.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ............................................... 28 
5.4 Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. ..................................... 29 
5.5 Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas ...................................... 29 
6. Datum. ............................................................................................................................... 30 
6.1 Datum Horizontal .......................................................................................................... 30 
6.2 Mudança de Datum. ...................................................................................................... 33 
6.2.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais ...... 33 
6.2.2 Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas ...... 34 
6.3 Datum vertical. .............................................................................................................. 35 
7. Projeções Cartográficas ..................................................................................................... 36 
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7.1 Introdução ...................................................................................................................... 36 
7.2 Superfícies de projeção ................................................................................................. 36 
7.3 Introdução ao conceito de distorção .............................................................................. 38 
7.3.1 Escala principal. ........................................................................................................ 40 
7.3.2 Escalas particulares ................................................................................................... 40 
7.3.3 Fator de deformação ao longo dos meridianos (h). ................................................... 42 
7.3.4 Fator de deformação ao longo dos paralelos (k). ...................................................... 43 
7.3.5 Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot ............................................................ 44 
7.3.6 Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b) ........................................................ 47 
7.3.7 Fator de deformação de área (p). ............................................................................... 48 
7.3.8 Fator de deformação angular máximo (ω). ............................................................... 48 
7.3.9 Propriedades especiais das projeções ........................................................................ 49 
8. Análise de uma projeção sob a ótica da teoria das distorções. .......................................... 51 
9. Construção prática das Projeções Cartográficas. .............................................................. 62 
9.1 Projeções Azimutais ...................................................................................................... 63 
9.2 Projeções cônicas .......................................................................................................... 78 
9.3 Projeções cilíndricas ...................................................................................................... 91 
10. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) .......................................... 97 
11. A Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM) ..................................................... 98 
11.1 As projeções TM ........................................................................................................... 98 
11.2 Transformação de coordenadas Geográficas para TM .................................................. 99 
11.3 Transformação de coordenadas TM para Geográficas ................................................ 101 
11.4 Modificação das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM ........................................ 103 
11.5 O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ............................................... 104 
12. Utilização de Cartas Topográficas .................................................................................. 106 
12.1 Articulação das folhas ................................................................................................. 106 
12.2 Extração de informações quantitativas das cartas topográficas. ................................. 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice de Figuras 
Figura 1 – Representação esquemática da finalidade das cartas. .................................................... 6Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny . ...................................... 7 
FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1 ..................................................... 12 
Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 2 ...................................................... 13 
Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 3 ...................................................... 14 
Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 4 ...................................................... 14 
Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 5 ...................................................... 15 
Figura 8 – Superfície de referência esférica. ................................................................................. 16 
Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal. .............................................................................. 17 
Figura 10 – Relacionamento entre as superfícies física (topográfica), elipsoidal e geoidal. ........ 18 
Figura 11 – Grande normal e pequena normal. ............................................................................. 20 
Figura 12 – Raio de um paralelo elipsóidico. ................................................................................ 21 
Figura 13 – Área de um setor elipsóidico. .................................................................................... 23 
Figura 14 – Área de um quadrilátero elipsóidico. ......................................................................... 24 
Figura 15 – Sistema de coordenadas geográficas. ......................................................................... 25 
Figura 16 – Sistema de coordenadas geodésicas. .......................................................................... 26 
Figura 17 – Latitude geocêntrica. .................................................................................................. 27 
Figura 18 – Latitude reduzida. ...................................................................................................... 27 
Figura 19 – Sistema cartesiano tridimensional. ............................................................................ 28 
Figura 16 – Estudo de sinal para a longitude. ............................................................................... 29 
Figura 21 – Representação gráfica da definição de projeção cartográfica. ................................... 36 
Figura 22 – Superfícies de projeção em função da forma, aspecto e classe. ................................ 37 
Figura 23 – Representação cartográfica descontínua. ................................................................... 38 
Figura 24 – Representação cartográfica contínua. ........................................................................ 39 
Figura 25 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de referência (esfera) e na superfície 
de projeção. ................................................................................................................ 41 
Figura 26 – Significados das deformações na transformação da superfície referência de 
projeção para a de projeção. ....................................................................................... 41 
Figura 27 – Raio do paralelo em função da latitude. .................................................................... 43 
Figura 28 – Indicatriz de Tissot (elipse das distorções) ................................................................ 44 
Figura 29 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de projeção. ................................................ 45 
Figura 30 – Pontos e Linhas de distorção Zero. ............................................................................ 49 
Figura 31 – Propriedades especiais das projeções cartográficas. .................................................. 49 
Figura 32 – Deformações sofridas pela Projeção Sinusoidal ou Projeção de Sansom-
Flamsteed. ................................................................................................................... 50 
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Figura 33 – Projeção Cilíndrica de Plate Carrée. Atribuída a Anaximander (550 a.C.) ............... 56 
Figura 34 – Projeção Azimutal Estereográfica. Atribuída a Hiparcus (160 - 125 a.C.) ............... 57 
Figura 35 – Projeção Azimutal Gnomônica. Atribuída a Thales (636 - 546 a.C.) ........................ 57 
Figura 36 – Projeção Azimutal Ortográfica. Atribuída a Apolônio (240 a.C.) ............................. 58 
Figura 37 – Projeção Azimutal de Postel. Conhecida desde 1426. ............................................... 58 
Figura 38 – Projeção Azimutal de Lambert. Descrita em 1772. ................................................... 59 
Figura 39 – Projeção Cônica Conforme de Lambert. Descrita em 1772. ..................................... 59 
Figura 40 – Projeção Cônica Equivalente de Lambert. Descrita em 1772. .................................. 60 
Figura 41 – Projeção Cilíndrica de Mercator. Utilizada por Mercator (1569). ............................. 60 
Figura 42 – Projeção Pseudo Cilíndrica. Descrita em 1890. ......................................................... 61 
Figura 43 – Aspectos geométricos envolvidos numa projeção azimutal. ..................................... 64 
Figura 44 – Eixos cartesianos nas projeções azimutais. ................................................................ 65 
Figura 45 – Projeção Gnomônica. ................................................................................................. 66 
Figura 46 – Projeção Estereográfica. ............................................................................................ 67 
Figura 47 – Projeção Ortográfica. ................................................................................................. 68 
Figura 48 – Dimensões uteis numa folha de papel........................................................................ 69 
Figura 49 – Definição da área útil na folha de papel A4. .............................................................. 71 
Figura 50 –Canevá da Projeção Azimutal Gnomônica em um papel formato A4 (210 mm x 
297 mmm) .................................................................................................................. 73 
Figura 51 –Canevá da Projeção Azimutal Estereográfica em um papel formato A4 (210 
mm x 297 mmm) ........................................................................................................ 76 
Figura 52 – Aspectos geométricos envolvidos nas projeções cônicas. ......................................... 79 
Figura 53 – Eixos cartesianos nas projeções cônicas. ................................................................... 80 
Figura 54 – Projeções cônicas - Caso a - θMáx > 90º ..................................................................... 81 
Figura 55 – Projeções cônicas - Caso b - θMáx < 90º ..................................................................... 82 
Figura 56 – Definição da área útil. ................................................................................................ 84 
Figura 57 – Canevá da Projeção Cônica Conforme de Lambert. .................................................. 86 
Figura 58 – Canevá da Projeção Cônica Equidistante de Ptolomeu.. ........................................... 89 
Figura 59 – Definição da área útil no papel A4 rotacionado de 90°. ............................................ 90 
Figura 60 – Aspectos geométricos envolvidos nas projeções cilíndricas ..................................... 92 
Figura 61 – Definição da área útil no papel rotacionado de 90°. .................................................. 94 
Figura 62 – Canevá da Projeção Cilíndrica Conforme de Mercator. ............................................96 
Figura 63 – Diferenças entre reticulado e quadriculado. .............................................................. 97 
Figura 64 - Reticulado de um hemisfério na projeção Transversa de Mercator. .......................... 98 
Figura 65 – Latitude aproximada φ1. ........................................................................................... 101 
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Figura 66 – Concepção da Projeção UTM (cilindro transverso e fusos) .................................... 104 
Figura 67 – Fuso UTM ................................................................................................................ 105 
Figura 68 – Faixas da articulação do mundo ao milionésimo. .................................................... 106 
Figura 69 – Folha SF-22 da Carta do Mundo ao Milionésimo. .................................................. 107 
Figura 70 – Articulação das folhas do mapeamento sistemático brasileiro. ............................... 108 
Figura 71 – Mapa do Brasil com a articulação na escala 1 : 1 000 000. ..................................... 109 
Figura 72 – Exemplo de escala gráfica. ...................................................................................... 110 
Figura 73 – Exemplo de extração de coordenadas de pontos em cartas topográficas. ............... 112 
 
Índice de Tabelas 
Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003) ............................................. 11 
Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000 .......................................................................................... 32 
Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. ................................................... 34 
Tabela 4 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Mercator (aspecto normal) ............ 53 
Tabela 5 – Tabela de deformação da Projeção Conforme Azimutal Estereográfica (aspecto 
normal) ....................................................................................................................... 54 
Tabela 6 – Tabela de deformação da Projeção Afilática Azimutal Gnomônica (aspecto 
normal) ....................................................................................................................... 54 
Tabela 7 – Tabela de deformação da Projeção Equidistante nos Meridianos Azimutal de 
Poste (aspecto normal) ............................................................................................... 55 
Tabela 8 – Tabela de deformação da Projeção Equivalente Azimutal de Lambert (aspecto 
normal) ....................................................................................................................... 55 
Tabela 9 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Plate Carrée - Eqüidistante ao 
longo dos meridianos. ................................................................................................. 56 
Tabela 10 - Raios dos paralelos – Projeção Azimutal Gnomônica .............................. 72 
Tabela 11 - Raios dos paralelos – Projeção Azimutal Estereográfica. ...................... 75 
Tabela 12 - Raios dos paralelos - Cônica conforme de Lambert ................................. 85 
Tabela 13 - Ângulos para os meridianos da Projeção Cônica Conforme de Lambert ................. 85 
Tabela 14 - Raios dos paralelos - Cônica Equidistante de Ptolomeu ......................... 88 
Tabela 15 - Ângulos para os meridianos da Projeção Cônica Equidistante de Ptolomeu ........... 88 
Tabela 16 - Cilíndrica Conforme de Mercator – ordenadas .......................................... 95 
Tabela 17 – Cilíndrica Conforme de Mercator – abscissas .......................................................... 95 
Tabela 18 – Variações mais usuais da projeção TM ................................................................. 103 
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CARTOGRAFIA 
1. Introdução 
1.1 Definições 
Cartografia : 
 “Arte de levantamento, construção e edição de cartas de qualquer natureza, e a ciência 
na qual repousa.” 
ou 
“Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geográficos, dos métodos para 
sua produção e reprodução, e de seu uso.” 
 Nestas definições aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa. 
 A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappa 
que significa pano. Observa-se então que a diferença vem da origem do material com que eram 
produzidos. 
 No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em função ou da escala ou da 
fidedignidade das informações. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando o 
documento é confeccionado em escalas grandes ou médias e de mapa quando a escala é pequena. 
O problema desse enfoque é estabelecer qual o limiar entre escala média e pequena. 
 Com respeito à confiabilidade das informações, costuma-se chamar de carta os produtos 
elaborados com rigor geométrico de modo a se poder tomar medidas confiáveis sobre eles e de 
mapa, aqueles que funcionam apenas como ilustração. 
 
1.2 Generalidades sobre Cartas. 
Carta (mapa): 
“Representação visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da 
superfície da Terra ou de outro objeto.” 
 A finalidade básica de uma carta é transmitir informações específicas a respeito de uma 
área cartografada para o usuário (Figura 1). 
 
Figura 1 – Representação esquemática da finalidade das cartas. 
 
 
INFORMAÇÃO MAPA USUÁRIO
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Um mapa ou carta é um produto de comunicação e, portanto, os conceitos de semiologia gráfica 
estão presentes na sua construção. Define-se semiologia gráfica ao estudo dos símbolos gráficos, 
suas propriedades e suas relações com os elementos da informação que eles revelam (Oliveira, 
1980). Vários autores têm apresentado suas idéias e teorias sobre a comunicação cartográfica. 
Um desses autores é o cartógrafo Tcheco Salachtchev Kolácny, que destaca: 
 
• a confecção e utilização de mapas deve ser encarada como um todo. 
• cartógrafos devem se preocupar com o uso tanto quanto com a sua construção. 
 
Esse cartógrafo apresenta em 1969 um modelo de comunicação cartográfico (Figura 2) onde os 
elementos envolvidos na construção de mapas estão descritos. 
 
Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny . 
C O N T E Ú D O
D A M E N T E
D O
C A R T Ó G R A F O
LIN G U AG E M
CARTOGRÁFICA
T R A N S F O R M A Ç Õ E S IN T E L E C T U A IS
MAPA
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C
.
3
45
1
2 3
4 5
2
1’
 
1 - Tarefa objeto; 1’ - Necessidades, interesses e 
2 - Conhecimento e experiência; objetivos. 
3 - Habilidades e propriedades; 
4 - Processos psicológicos; 
5 - Condições externas. 
 
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Com respeito às informações cartografadas, essas podem ser qualitativas ou quantitativas. 
 
 natureza 
Qualitativas: forma feições 
 distribuição 
 
 posições geográficas 
 altitudes 
Quantitativas: distâncias 
 direções 
 áreas, volumes 
 
As feições representadas podem ser : 
 
da superfície 
terrestre 
 
 
 
naturais 
visíveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas 
 
invisíveis : 
 
climas, correntes, campos (magnético, 
gravitacional, etc.) 
 
artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantações, aeroportos, barragens, portos 
 
 
 
 
 
 
 
 
de outros 
objetos 
 
 
 
 
 
esfera celeste : estrelas e planetas 
 
 
 
Lua : crateras, “mares”... 
corpos celestes Sol : manchas solares ... 
 
 
Planetas : montanhas, formação de nuvens 
 
órgãos do corpo humano 
 
prédios históricos ... 
 
 
 
 
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1.3 Características das Cartas 
 
• Permitem a coleta das informações em gabinete; 
• Apresentam informações não visíveis no terreno: toponímia, fronteiras fisicamente 
indefinidas; 
• Codificam informações através de símbolos; 
• Exigem uma atualização permanente – certas feições variam em função do tempo; 
• Representam um modo de armazenamento de informações conveniente ao manuseio; 
• São necessárias à visualização e compreensão de fenômenos espaciais e de sua 
distribuição e relacionamento; 
• Constituem um dos elementos básicos do planejamento das atividades sócio-econômicas 
das comunidades humanas. 
 
1.4 Classificação 
1.4.1 Quanto à finalidade (ABNT*) 
 
Geográficas: Topográficas Planimétricas 
 
 
Cadastrais, plantas 
 
 
Aeronáuticas 
 Navegação 
Náuticas 
 
 
Especiais : geológicas, geomorfológicas, meteorológicas, de solos, de 
vegetação, de uso da terra, geofísicas, globos. 
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1.4.2 Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) 
 
quanto a precisão topográficas - satisfazem as normas técnicas em vigor; 
- obtidas por métodos de levantamentos regulares. 
preliminares - obtidas por métodos de levantamento menos precisos que os regulares 
 
 
 
 
quanto ao caráter 
informativo 
gerais : - com informações genéricas, de uso particularizado. 
 
 
especiais: - com informações específicas, destinadas em particular 
a uma única classe de usuários. 
 
 
temáticas: - com uma ou mais assuntos específicos, servindo apenas para situar o tema. 
 
Outros 
documentos 
cartográficos 
Cartas de 
compilação 
- obtidas pela redução de folhas em escalas maiores; 
- obtidas pela reunião e consolidação de diversos 
documentos cartográficos. 
 
 
 
 
 
mosaicos 
não-controlados : fotos montadas sem apoio em pontos de 
coordenadas conhecidas 
Semi-controlados : fotos montadas com apoio em pontos de 
coordenadas conhecidas 
Controlados : fotos retificadas montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas 
Fotocartas : mosaico (controlado ou não) com quadriculado, moldura, nomenclatura 
Ortofoto 
imagem formada por várias fotografias aéreas 
justapostas de uma região onde a perspectiva 
central é trocada por uma ortogonal 
foto-índice : 
mapa índice realizado através da montagem das 
fotografias aéreas individuais reduzidas em 
escala, numeras e colocadas nas suas posições 
relativas de modo a permitir saber quais as 
fotografias que abrangem determinada região 
fotografada. 
 
folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura, 
Quadriculado, legendas, etc) 
 
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2. Processo Cartográfico 
Entende-se por mapeamento a aplicação do processo cartográfico sobre uma coleção de 
dados ou informações, com vistas à obtenção de uma representação gráfica da realidade 
perceptível, comunicada a partir da associação de símbolos e outros recursos gráficos que 
caracterizam a linguagem cartográfica. 
O planejamento de qualquer atividade que de alguma forma se relaciona com o espaço 
físico que habitamos requer, inicialmente, o conhecimento deste espaço. Neste contexto, passa a 
ser necessária alguma forma de visualização da região da superfície física do planeta, onde 
desejamos desenvolver nossa atividade. Para alcançar este objetivo, lançamos mão do processo 
cartográfico. 
Pode-se dividir, no processo cartográfico em três fases distintas: a concepção, a produção e 
a interpretação ou utilização. As três fases admitem uma só origem, os levantamentos dos dados 
necessários à descrição de uma realidade a ser comunicada através da representação cartográfica. 
No caso do mapa compilado a documentação coletada terá vital importância na atualização 
da base cartográfica compilada. 
 
2.1 Aquisição de Mapas 
 O Brasil, país de dimensões continentais, tem o seu território recoberto pelo mapeamento 
sistemático brasileiro que adota a mesma articulação da Carta do Mundo ao Milionésimo, a qual 
divide a Terra em fusos de 6º de amplitude em longitude e em faixas 4º de amplitude em latitude 
Por outro lado, sabe-se que 90% da cartografia nacional foi produzida entre as décadas de 60 e 
80. A partir de então, o governo brasileiro não investiu recursos nessa área, provocando uma 
defasagem nas informações contidas nos mapas. A Tabela 1 mostra o número de folhas do 
mapeamento sistemático existente, em função da escala. Esta tabela foi adaptada incluindo-se a 
área de abrangência das folhas em relação à amplitude em latitude e longitude. Observa-se que 
grande parte do território nacional é coberto por cartas na escala 1:100.000 e menores. 
 
Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003) 
Escalas Área Coberta (Latitude x longitude) Total de Folhas 
Porcentagem do 
Mapeamento (%) 
1:1.000.000 4º x 6º 46 100,00 
1:500.000 2º x 3º 68 36,90 
1:250.000 1º x 1º30’ 444 80,72 
1:100.000 30’ x 30’ 2.289 75,39 
1:50.000 15’ x 15’ 1.647 13,90 
1:25.000 7’30” x 7’30” 492 1,01 
fonte: http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028 (adaptado) 
Atualmente com o uso de imagens orbitais com resolução média (2,5 m) o problema da 
atualização cartográfica está gradativamente sendo resolvido. No entanto, para muitos trabalhos, 
o acesso as cartas é a solução. 
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12
Para se adquirir mapas em papel (formato analógico), basta visitar alguma loja do IBGE e 
adquirir uma cópia do mapa. Se a utilização do documento for diretamente sobre o papel, o 
problema do usuário está resolvido. Porém, se o usuário desejar utilizar o mapa em ambiente 
computacional, será necessário digitalizá-lo. Isto pode ser feito utilizando-se scanners ou mesas 
digitalizadoras, que é um processo geralmente lento e oneroso devido as etapas de vetorização e 
edição. Para resolver este problema, atualmente o IBGE vem disponibilizando mapas em 
formato digital gratuitamente na Internet. 
Para adquirir gratuitamente os mapas digitais disponibilizados pelo IBGE, o usuário deve 
acessar o site do IBGE através do seguinte endereço http://www.ibge.gov.br/home/, em seguida 
é necessário clicar em Geociências/Cartografia(FIGURA 3) 
 
FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1 
 
 
 Após isso, o usuário deve acessar o link Produtos sob a opção Mapeamento 
Topográfico, conforme se pode observar na Figura 4: 
 
 
 
 
 
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13
 
Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 2 
 
 
 O passo seguinte é acessar o ícone de download, na forma de um disquete, localizado 
logo a frente de “Cartas Topográficas Vetoriais do Mapeamento Sistemático” (Figura 5). Ao 
clicar sobre o disquete, é aberta outra tela para que o usuário forneça seu e-mail (Figura 6), caso 
o usuário não esteja cadastrado no site do IBGE, este deverá fazer seu cadastro, para então 
conseguir acessar os mapas (Figura 7). 
 Para preencher o cadastro o usuário deverá possuir um endereço de e-mail e então 
preencher pelo menos todos os campos assinalados com um asterisco vermelho. Depois de 
cumprida esta etapa, o usuário pode realizar a aquisição gratuita de qualquer mapa, nas escalas 
1:25.000, até 1:250.000. Cada carta é acessada pelo nome da região mapeada e então um arquivo 
compactado (ZIP) é acessado para aquisição. Após isso, o usuário deve descompactar o arquivo 
e então utilizar os arquivos da carta em um programa de computação gráfica, tal como ArcView, 
Spring, Microstation, Geomedia, Bentley View, etc. 
 
 
 
 
 
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14
Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 3 
 
 
Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 4 
 
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15
 
Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 5 
 
 
 
 
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16
3. Superfícies de referência usadas em cartografia. 
 Para se mapear a superfície da Terra, antes é necessário conhecer a sua forma e 
dimensões. Sabe-se que a Terra é um corpo esférico irregular e que não possui uma descrição 
geométrica. Então é necessária a utilização de modelos adequados para sua descrição de acordo 
com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos. 
3.1 Superfície de referência geoidal 
 O geóide é definido como uma superfície equipotencial (potencial gravitacional 
constante) materializada pelo nível médio dos mares. A força da gravidade que gera essa 
superfície equipotencial é resultante de uma interação entre massas. Sabe-se que existe uma 
relação direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variação na 
constituição densimétrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste 
modo, essa superfície equipotencial não apresenta uma forma regular. Há ainda que se 
considerar, a questão dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando 
variações constantes nesta superfície. 
 Alguns autores definem como sendo a forma do geóide a que corresponde a forma da 
Terra real. Contudo, como essa superfície não tem uma definição geométrica, este postulado não 
tem muito sentido, quando o objetivo, esta na busca de um modelo para o mapeamento. Não 
obstante, esta superfície é extremamente importante no estabelecimento das altitudes. 
3.2 Superfície de referência esférica 
 Se a área a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfície total da Terra, 
adota-se o modelo esférico para a superfície da Terra (Figura 8). 
 
Figura 8 – Superfície de referência esférica. 
 
Esta modelo implica em: 
Levantamento : Geodésia 
Cálculos: Trigonometria esférica 
Uso: mapas de formato pequeno mostrando grandes porções da superfície terrestre 
Escala : escalas pequenas não maiores que 1:5.000.000 
Mapas: Utilização de projeções cartográficas 
Monte Evereste
Fossa das Marianas
nível médio
dos mares
Terra esférica Modelo reduzido
≈ 9 Km
≈ 11 Km
6 cm
0,2 mm
6.3
78 
km
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17
 
3.3 Superfície de referência elipsoidal 
 Se a área a ser levantada e mapeada não for pequena e nem muito extensa, o modelo que 
melhor representa a superfície da Terra é o elipsóide de revolução, que possui uma formulação 
matemática razoavelmente simples (Figura 9). Neste modelamento leva-se em conta o 
achatamento dos polos. 
 O elipsóide de revolução é definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b) ou pelo 
semi-eixo maior e o achatamento (f). 
 
Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal. 
 
 
 
 
Por exemplo : a = 6.378 km 
 b = 6.356 km 
 
f = 1/298,25 onde : 
a
baf −= 
 
Este modelo implica em: 
Levantamento : Geodésia 
Cálculos: Geodésicos 
Medidas: Reduzidas ao elipsóide de revolução 
Uso: cartas topográficas (mapeamento sistemático), náuticas, aeronáuticas. 
Escala : médias (1:1.000.000 a 1:5.000) 
Mapas: Utilização de projeções cartográficas 
 
 Independentemente do modelo adotado, tanto o esférico como o elipsóidico possuem 
várias propostas para os seus parâmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor). 
 
 
 
a
a
b
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18
3.4 O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal. 
 
 Embora se utilizem modelos geométricos para descrever a superfície física da Terra na 
tarefa de mapeamento, as medições são executadas na superfície topográfica, ou simplesmente 
física. É importante então, definir-se alguns elementos deste relacionamento (Figura 10). 
 
Figura 10 – Relacionamento entre as superfícies física (topográfica), elipsoidal e geoidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura aparecem as superfícies física (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separação 
entre as superfícies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulação do geóide e é representado 
pela letra N. 
 Um ponto P, na superfície física, sendo projetado segundo a direção da vertical (linha de 
prumo) e da direção da normal (reta ortogonal a superfície do elipsóide) geram os pontos P’ e 
P’’. Ao segmento 'PP corresponde a altitude ortométrica (H), e ao segmento "PP corresponde 
a altitude geométrica ou elipsoidal (h). O ângulo formado entre a vertical e a normal é definido 
como desvio da vertical (i). Este ângulo é da ordem do segundo de arco e deste modo é possível 
se fazer uma relação entre as superfícies sem incorrer em erro significativo. 
 
 
NHh +=
 
 
S.F.
S.E.
S.G.
vn
H
h
i
P
P’
P”
N
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19
4. Geometria do Elipsóide. 
 
 O elipsóide de revolução é a forma geométrica obtida pela rotação de uma semi-elípse ao 
redor de seu eixo menor. Por ser uma das formas geométricas utilizadas nas operações de 
mapeamento, o estudo da sua geometria é extremamente importante. 
 
 Um elipsóide fica perfeitamente definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b). 
Entretanto em geodésia é comum se estabelecer a definição pelo semi-eixo maior (a) associado 
ao achatamento (f). A relação matemática que estabelece o vínculo entre estas grandezasesta 
explicitada na seguinte equação. 
 
 
 
a
baf −= 
 
 
 Um outro elemento importante no estudo do elipsóide é a excentricidade, que 
pode ser dividida em primeira e segunda. Estes valores são calculados pelas seguintes equações: 
 
 
 2
22
2
a
ba
e
−
=
 ou 22 2 ffe −= (primeira excentricidade) ; 
 
e 
 2
22
2
'
b
ba
e
−
=
 (segunda excentricidade). 
 
 
 Analogamente à excentricidade se pode estabelecer o segundo achatamento que é 
definido pela seguinte equação: 
 
 
 
b
baf −='
 
 
Existem outras relações que devem ser conhecidas. 
 
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20
 Na Figura 11, observa-se um ponto P na superfície do elipsóide. Por este ponto passa a 
reta normal (ortogonal ao plano tangente em P) que cruza o eixo de rotação no ponto O. Esta 
mesma reta gera o ponto Q quando cruza o plano do equador, formando um ângulo φ (latitude) 
com este. Ao segmento OP dá-se o nome de grande normal e referencia-se pela letra N; e ao 
segmento QP dá-se o nome de pequena normal e representa-se pelo símbolo N’. 
 
Figura 11 – Grande normal e pequena normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo destas quantidades é feito pelas seguintes equações: 
 
 
φ221 sene
aN
−
=
 e ( )21' eNN −=
 
 
 
 
4.1 Raios de curvatura do elipsóide de revolução. 
 
 Ao contrário da esfera que possui apenas um raio de curvatura, o elipsóide de revolução 
por possuir semi-eixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores máximo (a) 
e mínimo (b). Portanto, é necessário que se conheça a formulação matemática que permita o 
cálculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfície elipsóidica. 
 
 Existem infinitos planos que contém a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipsóide 
de revolução, gera o que se denomina seção normal. A cada uma destas seções, corresponde um 
raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois são de especial interesse, o raio de curvatura 
da seção 1º vertical e o raio da seção meridiana. Ao primeiro corresponde o raio máximo e ao 
segundo o raio mínimo. 
 
P
PN
PS
Equador
Normal
N
N'
o
Q
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21
 Numericamente o raio da seção 1º vertical é equivalente ao valor da grande normal e 
utiliza a mesma formulação para o seu cálculo. No entanto o raio de curvatura da seção 
meridiana é calculado pela equação: 
 
 
( )322
2
1
)1(
φsene
eaM
−
−
=
 
 
 A junção destes dois valores nos permite calcular o raio médio de curvatura. 
 
 MNR ⋅=0 
 
 e através do teorema de Euler, o raio de curvatura de uma seção normal qualquer 
 
 
N
sen
MR
αα 22cos1
+=
 
 
 onde : α – azimute da seção meridiana 
 
 
 No elipsóide de revolução os paralelos são circunferências e o raio é calculado pela 
equação dada na Figura 12: 
Figura 12 – Raio de um paralelo elipsóidico. 
 
 
 
φcosNr = 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
φ
PN
PS
Equador
Normal
o
N
r
φ
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22
 Além destes valores, pode-se necessitar conhecer o comprimento de um arco de 
meridiano, a área de um setor elíptico ou a de um quadrilátero elíptico. Pela constante variação 
da curvatura, a determinação das fórmulas não é trivial, e exige a adoção de desenvolvimento em 
série. 
 
4.2 Comprimento de um arco de meridiano (S) 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ]10sen10sen
10
18sen8sen
8
16sen6sen
6
1
4sen4sen
4
12sen2sen
2
1)([)1(
121212
121212
2
L−−⋅+−⋅−−⋅−
−⋅+−⋅−−⋅⋅−=
φφφφφφ
φφφφφφ
FED
CBAeaS
 
 
onde : 
 
L 
65536
43659
 
16384
11025
 
256
175
 
64
45
 
4
3
 1 108642 ++++++= eeeeeA 
 
L 
65536
72765
 
2048
2205
 
512
525
 
16
15
 
4
3
 
108642 +++++= eeeeeB 
 
L 
16384
10395
 
4096
2205
 
256
105
 
64
15
 
10864 ++++= eeeeC 
 
L 
131072
31185
 
2048
315
 
512
35
 
1086 +++= eeeD 
 
L 
65536
3465
 
16384
315
 
108 ++= eeE 
 
L 
131072
693
 
10 += eF 
 
 
 
 
 
 
 
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23
 
4.3 Área de um setor elipsóidico (A) 
 
 A área de um setor elipsóidico (Figura 13) pode ser calculado pela fórmula: 
 
Figura 13 – Área de um setor elipsóidico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]L−⋅∆⋅+⋅∆⋅−⋅∆⋅⋅⋅= mmm CBAA φφφφφφpiφφ 5cos5sen'3cos3sen'cossen'b4 221
 
 
 onde : 
 
 
2
12 φφφ −=∆ e 
2
12 φφφ +=m 
 
 
L 
256
63
 
28
35
 
16
5
 
8
3
 
2
3
 1 ' 108642 ++++++= eeeeeA 
 
 
L 
256
45
 
192
35
 
16
3
 
16
3
 
6
1
 '
108642 +++++= eeeeeB 
 
 
L 
512
45
 
64
5
 
16
1
 
80
3
 '
10864 ++++= eeeeC 
 
 
 
 
PN
PS
Equador
φ1
φ2
A
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24
4.4 Área de um quadrilátero elipsóidico (T) 
 
 A área de um quadrilátero elipsóidico (Figura 14) pode ser calculado pela fórmula: 
Figura 14 – Área de um quadrilátero elipsóidico. 
 
 
 
 
 
 
 
( )L+⋅∆⋅+⋅∆⋅−⋅∆⋅⋅∆⋅⋅= mmm CBAbT φφφφφφλ 5cos5sen'3cos3sen'cossen'2 2 
 onde : 
 
2
12 λλλ −=∆ 
 
4.5 Aproximação esférica. 
 Em alguns problemas o cálculo através de uma aproximação esférica é suficiente, e nesta 
situação, existem três formas clássicas de aproximação. 
 
 a) Média aritmética dos três eixos 
 
 )
3
1(
3
2 f
a
baR −=+= 
 
 b) Raio da esfera de mesma área superficial que o elipsóide 
 
 





−−−−= L
3024
67
360
17
6
1
642 eee
aRA 
 
 c) Raio da esfera com mesmo volume que o elipsóide. 
 
 





−−−−= L
1296
55
72
5
6
1
642 eee
aRV 
PN
PS
Equador
φ1
φ2
T λ2 λ1
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25
5. Sistemas de Referência 
 
 A posição de um ponto na superfície da Terra é determinada a partir de um sistema de 
coordenadas ou de referência. Estes sistemas estão associados a uma superfície de referência que 
se aproxima do formato da Terra. É o caso, por exemplo, do elipsóide de revolução. 
 Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esféricas e 
o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram às 
coordenadas geográficas e geodésicas. 
 
5.1 Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas 
 
O sistema de coordenadas geográficas divide o mundo nos hemisférios norte e sul, que utiliza o 
equador como plano de divisão, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich 
como fronteira (Figura 15). Neste sistema um ponto na superfície terrestre fica determinado pela 
sua latitude e longitude. 
 
Figura 15 – Sistema de coordenadas geográficas. 
 
 
Latitude (ϕ) – define-se latitude de um lugar como sendo o ângulo formado entre a 
vertical do lugar e o plano do equador, ou a distância angular contada 
sobre o meridiano deste, desde o equador até ele. A latitude varia de 0º 
a ± 90º sendo considerada negativa no hemisfério sul. 
Longitude (L) – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado 
pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a 
distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem 
(Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a ±180º 
sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério 
ocidental). 
 
Meridiano 
de 
Greenwich
ϕ 
 L
P
Equador
Meridiano de P
Paralelo de P
PN
PS
Vertical
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26
 
 Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para 
a Terra o elipsóide de revolução (Figura 16). Este sistema de coordenadas é conhecido como 
Sistema de Coordenadas Geodésicas 
 
Figura 16 – Sistema de coordenadas geodésicas. 
 
 
Latitude (φ) – define-se latitude geodésica de um lugar como sendo o ângulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. 
A latitude varia de 0º a ± 90º sendo considerada negativa no 
hemisfério sul. 
 
Longitude (λ) – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do 
lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o 
meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude 
varia de 0º a ±180º sendo considerada negativa a oeste de Greenwich 
(hemisfério ocidental). 
 
 Neste sistema pode-se associar a altitude geométrica ou elipsoidal (distância sobre a 
normal desde o elipsóide até o ponto na superfície topográfica). Nesta situação o ponto fica 
assim referenciado (φ, λ , h). 
 
 
 
 
 
 
 
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27
5.2 Latitudes Geocêntrica e Reduzida. 
 
 Nos problemas práticos de Geodésia somente o conhecimento da latitude geodésica não é 
suficiente, é comum se necessitar determinar as latitudes geocêntricas (Figura 17) e a reduzida 
(Figura 18). 
 
 Define-se latitude geocêntrica ψ de um ponto P na superfície do elipsóide ao ângulo que 
o raio vetor CP deste ponto, forma com a sua projeção no plano do equador. 
Figura 17 – Latitude geocêntrica. 
 
A relação entre a latitude geodésica e a 
geocêntrica é estabelecida pela seguinte 
fórmula: 
 
 
 
φψ tgetg ⋅−= )1( 2
 
 
 
 No caso da latitude reduzida, é necessário observar a Figura 18 antes de se poder definir. 
Na ilustração, aparece um dos círculos principais da elipse que contém P, o circulo cujo raio é 
igual ao semi-eixo maior (a). Então, a partir de P se constrói uma reta paralela ao eixo de 
rotação. Esta reta cruza a circunferência em P’. Define-se como latitude reduzida, ao ângulo 
formado pelo raio vetor 'CP e sua projeção no plano do equador. 
 
Figura 18 – Latitude reduzida. 
 
A relação entre a latitude geodésica e a 
reduzida é estabelecida pela seguinte fórmula: 
 
 
φtgetgu ⋅−= )1( 2
 
 
P
φ
PN
PS
Equador
Normal
o
ψ
c
P
φ
PN
PS
Equador
o
uc
P’
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28
5.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. 
 
 Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos (X, Y e Z), 
ortogonais entre si (Figura 19). A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da 
Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico. As características deste sistema são as 
seguintes: 
 
• o eixo X é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich com o plano do 
equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior. 
 
• o eixo Y é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude 90º Leste com o 
plano equatorial. 
 
 
• o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado positivamente na direção do 
Pólo Norte. 
 
 
Figura 19 – Sistema cartesiano tridimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Este é um sistema dextrógiro. 
 
 
 
 
 
Meridiano de 
Greenwich
Equador
λ = 90º EPN Z
X Y
PS
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29
5.4 Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. 
No sistema de coordenadas geográficas o modelo que é utilizado para representar a Terra é 
o modelo esférico. Assim, a transformação de coordenadas é dada pelas seguintes equações: 
 
222 zyxR ++= ; 
22 yx
z
arctg
+
=ϕ ; 
x
y
arctgL = 
onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real; 
 ϕ - Latitude geográfica; 
 L - Longitude geográfica. 
 
 A latitude é um ângulo que varia de 0º a ± 90º e o sinal da equação indica se o ponto está 
no hemisfério norte ou sul. Entretanto, a longitude é um ângulo que tem uma variabilidade maior 
(0º a ± 180º) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal indicado no quadro da Figura 
20. 
Figura 20 – Estudo de sinal para a longitude. 
x y longitude hemisfério 
+ + L Leste 
- + L + 180° 
+ - L Oeste 
- - 
L - 180° 
 
5.5 Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas 
A transformação das coordenadas geográficas em cartesianas é conseguida pela aplicação 
das seguintes equações: 
 
ϕ
ϕ
ϕ
sen
;sencos
;coscos
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
Rz
LRy
LRx
 
 
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30
6. Datum. 
 
Datum é o conjunto de parâmetros que definem o sistema geodésico/cartográfico de um País. 
 
 Por parâmetros, se subentende a figura geométrica adotada para representar a Terra, as 
especificações relativas ao ponto origem, a orientação do sistema de coordenadas, e a posição da 
superfície elipsoidal em relação à física e a geoidal, entre outros parâmetros. 
6.1 Datum Horizontal 
 De 1950 até meados da década de 70, o Brasil adotava o Datum de Córrego Alegre. EsteDatum utiliza como superfície de referência, o Elipsóide de Hayford (1924) que teve a sua 
origem (centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajustá-lo à superfície 
topográfica. Este procedimento tornou o sistema topocêntrico. Por questões de simplificação 
adotou-se ondulação nula (N = 0 – distância medida sobre a vertical do local entre o elipsóide e o 
geóide). A seguir são listados os parâmetros definidores deste sistema. 
Ponto origem: Vértice Córrego Alegre 
Coordenadas: φ = -19º 50’ 14,91’’ 
 λ = -48º 57’ 41,98’’ 
 h = 683,81m 
Superfície de referência: Elipsóide internacional de Hayford 1924. 
Parâmetros: a = 6.378.388,000 m 
 b = 6.356.911,946 m 
 f = 1/297 
Ondulação Geoidal: N = 0 Valor adotado 
 Posteriormente, por um breve período o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodésico 
de Chuá, que mudou o ponto origem do vértice de Córrego Alegre para o vértice de Chuá. Este 
Datum foi um ensaio para a adoção do Datum SAD-69. 
 
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31
 O Datum SAD-69 (South American Data) é um sistema regional, que teve a sua 
recomendação indicada em 1969 na XI Reunião pan-americana de Consulta sobre Cartografia. 
Nem todos os países do continente seguiram a recomendação e oficialmente somente em 1979, o 
Brasil o adotou. 
 Os dados que caracterizam este Datum estão discriminados a seguir. 
 Ponto origem: Vértice Chuá 
Coordenadas: φ = -19º 45’ 41,6527’’ 
 λ = -48º 06’ 04,0639’’ 
 H = 763,28 m altitude ortométrica 
Superfície de referência: Elipsóide internacional de Referência 
1967. 
Parâmetros: a = 6.378.160,000 m 
 b = 6.356.774,719 m 
 f = 1/298,25 
Ondulação Geoidal: N = 0 determinada 
Azimute geodésico: Az = 271º30’04,05” (Chuá-Uberaba) 
 
 Esta concepção de Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, é 
considerada uma solução clássica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GNSS, a idéia 
passou a ser a adoção de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que dão suporte ao 
mapeamento. 
 Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, através da resolução IBGE nº 1/2005 o 
presidente daquela instituição, resolveu alterar a caracterização do referencial geodésico 
brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as 
Américas) época 2000,4. 
 O projeto SIRGAS foi criado na Conferência Internacional para Definição de um Sistema 
Referencial Geocêntrico para a América do Sul, realizada em Assunção-Paraguai em 1993. Os 
primeiros resultados foram apresentados na reunião científica da International Association of 
Geodesy (IAG) no Rio de Janeiro em 1997, que se traduziram em uma das redes de referência 
continentais mais precisas do mundo. O SIRGAS proposto é composto por 58 estações 
distribuídas pelo continente, com coordenadas determinadas por GPS e referidas a rede de 
referência internacional mais precisa daquela época (ITRF94 época 1995,4). Destas 58 estações, 
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32
11 estão no território brasileiro e nove coincidem com estações da Rede Brasileira de 
Monitoramento Contínuo do Sistema GPS (RBMC). 
 Atualmente a figura geométrica adotada é o elipsóide de revolução geocêntrico 
usado pelo Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parâmetros são os seguintes: 
a = 6.378.137,0000000000 m 
b = 6.356.752,3141403558 m 
f = 1/298,257222101 
 Este sistema está materializado por 21 estações geodésicas distribuídas no território 
nacional, cujos valores estão na Tabela 2. 
Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000 
Estação 
Coordenadas Geodésicas Coordenadas Cartesianas 
φ λ 
Altitude 
elipsoidal 
(m) 
X (m) Y (m) Z(m) 
BRAZ 15º 56’ 50,9112” S 47º 52’ 40,3283” W 1.106,020 4.115.014,085 -4.550.641,549 -1.741.444,019 
BOMJ 13º 15’ 20,0103” S 43º 25’ 18,2468” W 419,401 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300 
CAC1 22º 41’ 14,5337” S 44º 59’ 08,8606” W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407 -2.445.051,218 
CANA 25º 01’ 12,8597” S 47º 55’ 29,8847” W 3,688 3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718 
CORU 19º 00’ 01,0131” S 57º 37’ 46,6130” W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898 
CRAT 07º 14’ 16,8673” S 39º 24’ 56,1798” W 436,051 4.888.826,036 -4.017.957,454 -798.309,017 
CUIB 15º 33’ 18,9468” S 56º 04’ 11,5196” W 237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931 
FOR1 03º 43’ 34,3800” S 38º 28’ 28,6040” W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539 -411.742,293 
FORT 03º 52’ 38,8046” S 38º 25’ 32,2051” W 19,451 4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440 
IMBI 28º 14’ 11,8080” S 48º 39’ 21,8825” W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883 
IMPZ 05º 29’ 30,3584” S 47º 29’ 50,0445” W 105,008 4.289.656,441 -4.680.884,944 -606.347,331 
MANA 03º 06’ 58,1415” S 60º 03’ 21,7105” W 40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823 
MCAE 22º 22’ 10,3989” S 41º 47’ 04,2080” W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322 
PARA 25º 26’ 54,1269” S 49º 13’ 51,4373” W 925,765 3.763.751,652 -4.365.113,803 -2.724.404,694 
POAL 30º 04’ 26,5528” S 51º 07’ 11,1532” W 76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730 
PSAN 00º 03’ 26,4338” S 51º 10’ 50,3285” W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526 -6.340,615 
RECF 08º 03’ 03,4697” S 34º 57’ 05,4591” W 20,180 5.176588,653 -3.618.162,163 -887.363,920 
RIOD 22º 49’ 04,2399” S 43º 18’ 22,5958” W 8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380 
SALV 13º 00’ 31,2116” S 38º 30’ 44,4928” W 35,756 4.863.495,731 -3.870.312,351 -1.426.347,813 
UEPP 22º 07’ 11,6571” S 51º 24’ 30,7223” W 430,950 3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343 
VICO 20º 45’ 41,4020” S 42º 52’ 11,9622” W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728 
SMAR 29º 43’ 08,1260” S 53º 42’ 59,7353” W 113,107 3.280.748,410 -4.468.909,741 -3.143.408,684 
Fonte: Resolução n° 1 de fevereiro de 2005 (IBGE) adaptada. 
 Está incluída nesta Tabela 2 a estação SMAR, pertencente a Rede Brasileira de 
Monitoramento Continuo do Sistema GPS (RBMC) e cujas coordenadas foram determinadas 
pelo IBGE posteriormente à campanha GPS/SIRGAS 2000. 
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33
 
6.2 Mudança de Datum. 
 Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligação íntima com o Datum 
adotado, a utilização de um parâmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistência de 
dados. Deve-se então, tomar o cuidado de verificar em qual Datum está referenciado o 
mapeamento e fazer as adequações necessárias à compatibilização. 
 Com a difusão da utilização da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado 
deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parâmetros do sistema WGS-84. 
 O IBGE através da Resolução nº 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critérios 
oficiais para transformações de sistemas geodésicos (mudança de Datum). A Resolução nº 
1/2005 complementa no que concerne à mudança para o SIRGAS 2000. 
 A resolução recomenda que se utilize a transformação das coordenadas geodésicas em 
tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformação e posteriormente se retorne ao 
sistema geodésico. Até essa Resolução aplicavam-se as fórmulas simplificadas de Molodeski. 
 
6.2.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais 
( ) ;sen)1(
;sencos)(
;coscos)(
11
2
111
11111
11111
φ
λφ
λφ
heNZ
hNY
hNX
+−=
+=
+=
 
onde : φ1 = Latitude geodésica do ponto 
 
λ1 = Longitude geodésica do ponto 
 
N1 = raio de curvatura da seção 1º vertical (grande normal) 
 
h1 = altitude geométrica ou elipsoidal 
 
Transformaçãode sistema 
 Considerando que o Datum de Córrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 são 
paralelos entre si, à transformação neste caso, envolve apenas translação de eixos. 
X2 = X1 + ∆X12 
Y2 = Y1 + ∆Y12 
Z2 = Z1 + ∆Z12 
 
onde: ∆X, ∆Y e ∆Z são parâmetros de transformação, definidos na resolução e estão listados na 
Tabela 3. 
 
 
 
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6.2.2 Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
22
2
cos
cos
sen'
N
YXh
X
Y
arctg
uaeYX
ubeZ
arctg
−
+
=






=








⋅⋅−+
⋅⋅+
=
φ
λ
φ
 
 
onde: 
 
 
utg
tgu
u
21
sen
+
= ; 
utg
u
21
1
cos
+
= ; 
2
2
2
2
2
2
2
b
a
YX
Z
tgu ⋅
+
= 
 
Os parâmetros de transformação encontram-se na Tabela 3 . 
 
Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. 
Parâmetros de 
Transformação 
Córr. Alegre 
- 
SAD 69 
SAD 69 
- 
Córr. Alegre 
SAD 69 
- 
SIRGAS 
2000 
SIRGAS 
2000 
– 
SAD 69 
SAD 69 
– 
WGS 84 
WGS 84 
– 
SAD 69 
∆X -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m - 66,87 m ± 0,43m 66,87 m ± 0,43m 
∆Y 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m 4,37 m ± 0,44m - 4,37 m ± 0,44m 
∆Z 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m -38,52 m ± 0,40m 38,52 m ± 0,40m 
 obs: Dados obtidos do Boletim de Serviço Nº 1602 (suplemento) e nas resolução Nº 23/89 e Nº 1/2005 – IBGE. 
 
 Os parâmetros que definem o elipsóide utilizado pelo sistema WGS 84 são os seguintes: 
 
 a = 6.378.137,000 m 
WGS 84 b = 6.356.752,314 m 
 f = 1/298,257223563 
 
 
 
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 Em decorrência da evolução tecnológica, o WGS84 já passou por três atualizações: 
WGS84(G730); WGS84(G873) e WGS84(G1150). Desta forma, os parâmetros de transformação 
da Tabela 3 entre SAD 69 e WGS84, devem ser usados para levantamentos GPS antes de 1994. 
Após esta data os parâmetros indicados são os da transformação entre SAD 69 e SIRGAS 2000 
uma vez que os dois sistemas (WGS84 e SIRGAS 2000) são compatíveis ao nível do centímetro. 
 No site do IBGE é possível ter acesso a dois programas de transformação de Datum, O 
TCGeo e o PROGRID. 
 O TCGeo utiliza a formulação apresentada na resolução nº 23 de 21 de fevereiro1989 e 
os parâmetros de transformação da resolução nº 1 de 25 de fevereiro de 2005. 
 
Este programa faz a transformação e não leva em consideração a distorção da rede geodésica, 
originada pelo transporte de coordenadas feitas através da triangulação geodésica. 
O PROGRID é um programa mais abrangente que utiliza um “grid” de referência que procura 
modelar as distorções da rede ao mesmo tempo em que proporciona a mudança de Datum. 
Nenhum desses programas melhora a qualidade do dado original quanto a precisão. 
 
6.3 Datum vertical. 
 
 O referencial altimétrico brasileiro coincide com a superfície equipotencial do campo da 
gravidade da terrestre que contém o nível médio do mar (Geóide) definido pelas observações 
maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do estado de Santa Catarina de 1949 a 
1957. 
 
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7. Projeções Cartográficas 
7.1 Introdução 
 Define-se projeção cartográfica como sendo qualquer arranjo sistemático de meridianos e 
paralelos descrevendo a superfície curva da esfera ou elipsóide em um plano. Em outras palavras 
é a representação da superfície física da Terra no plano do papel (Figura 21). 
Essa relação entre a superfície física e a do papel se dá através de funções matemáticas de tal 
modo que cada projeção possui equações únicas. 
 
x = f1(φ,λ) ρ = f3(φ,λ) 
 ou 
y = f2(φ,λ) θ = f4(φ,λ) 
 Estas equações tanto servem para definir a projeção como para construí-la. 
 
Figura 21 – Representação gráfica da definição de projeção cartográfica. 
 
 
 
7.2 Superfícies de projeção 
 
 A Terra é um corpo plástico que sofre deformações percebidas pela maré terrestre. Sua 
forma é aproximadamente esférica, mas não tem uma forma geométrica definida. Por essa razão, 
são utilizados modelos para representá-la (esférico e elipsóidico). A partir desse modelamento é 
que se estabelecem as relações matemáticas, contudo, a correspondência entre os pontos da 
superfície e do mapa não é exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser 
considerado e em segundo lugar é impossível transformar uma superfície curva em uma plana 
sem provocar deformações (estiramentos, descontinuidades). O que se procura fazer é eleger 
alguma área da superfície e então minimizar os efeitos da distorção nesta região. 
 
TERRA MAPA
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37
 É dentro dessa lógica que foram imaginadas três superfícies de projeção para tentar 
contornar o problema: a superfície plana, a cônica e a cilíndrica. Estas três superfícies também 
servem como um dos parâmetros classificatórios das projeções, ou seja: 
 
Projeções azimutais plana 
Projeções cônicas superfície cônica 
Projeções Cilíndricas cilíndrica 
 Qualquer uma destas superfícies pode estar na posição normal, transversa ou 
oblíqua, dependendo da necessidade (Figura 22). 
 
Figura 22 – Superfícies de projeção em função da forma, aspecto e classe. 
N O R M A L T R A N S V E R S O OBLÍQUO
S
 U
 P
 E
 R
 F
 Í
 C
 I
 E
 S
 
 D
 E
 
 
P
 R
 O
 J
 E
 Ç
 Ã
 O
C
 I
 L
 Í
 N
 D
 R
 I 
C
 A
C 
Ô
 N
 I
 C
 A
P 
L 
A
 N
 A
C
 L
 A
 S
 S
 E
 S
 
 
D
 A
 S
 
 
P
 R
 O
 J
 E
 Ç
 Õ
 E
 S
C
 I
 L
 Í
 N
 D
 R
 I 
C
 A
C 
Ô
 N
 I
 C
 A
A
 Z
 I
 M
 U
 T
 A
 L
A S P E C T O D A S P R O J E Ç Õ E S
 
 
 
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38
7.3 Introdução ao conceito de distorção 
 A representação de um trecho ou totalidade da superfície física da Terra remete a idéia de 
escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder 
ser representado no papel. Contudo, este valor deve ser entendido como sendo um valor médio 
porque diferentes pontos do mapa sofrem diferentes deformações. Este fato é causado pela 
transformação da superfície curva da Terra para a superfície plana do mapa e varia seu valor em 
função da projeção cartográfica que se está utilizando. 
 Em cartografia pode-se pensar em representar a superfície da Terra de duas maneiras: 
a) Cortando a superfície do globo ao longo de certos paralelos e meridianos. Este 
procedimento minimiza as distorções, contudo apresenta o inconveniente de se 
representar o mesmo paralelo e meridiano duas vezes, além de haver descontinuidade 
no mapa (Figura 23). 
Figura 23 – Representação cartográfica descontínua. 
 
 
Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.
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39
b) Estirando a superfície em alguma direção. Na Figura 24, por exemplo, a Projeção 
Policônica – Hassler 1820 (Eqüidistante segundo os paralelos) existe um estiramento 
na direção dos meridianos. Observa-se que a deformação vai aumentando na medida 
em que se aproxima do limite do mapa; a distância entre dois paralelos cresce a partir 
do centro; a separação entre dois meridianos quaisquer permanece praticamente 
constante; não há descontinuidade. 
 
Figura 24 – Representação cartográfica contínua. 
 
 
 Em qualquer um dos casos têm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, 
aplica-se uma solução ou outra. 
 Em termos práticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da área a ser 
mapeado, caso da projeção UTM que está contida em fusos de 6° de amplitude. Este valor foi 
adotado porque além desse limite a deformação passa a ter um valor significativo. Entende-se 
por significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalímetro num mapa, ou seja, 
qualquer deformação maior que o erro gráfico (0,2 mm). 
 
 
 
Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.
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40
7.3.1 Escala principal. 
 Escala é definida como a razão entre um comprimento no mapa e o seu valor real no 
terreno. Normalmente utiliza-se a relação: 
 
1
E
d
D= 
onde : d - distância no mapa; 
 D - distância real. 
Todavia pode-se usar outra formulação mais adequada para cartografia. Essa nova 
equação tem relação direta com o conceito de esfera modelo ou globo gerador. 
 
Define-se esfera modelo como o modelo reduzido da Terra Real. Essa entidade 
matemática tem raio unitário. 
 
Então a partir dessa conceituação pode-se definir escala principal de um mapa como a 
relação entre o raio da esfera modelo com o da Terra real. 
 
TR
R
E
=
1
 
onde : R - raio da esfera modelo; 
 D - raio da Terra real. 
Normalmente as escalas em cartografia são representadas na forma de fração onde o 
numerador é unitário, assim: 
 
1
� =
1
��
�
 
 
7.3.2 Escalas particulares 
 Observando-se ainda o mapa da Figura 24, pode-se intuir que dependendo da direção 
tomada têm-se valores diferentes para a deformação. Este fato real implica no conceito de 
escalas particulares que é definido como sendo uma taxa de variação da escala principal ao longo 
de uma direção infinitamente curta. Esta taxa de variação varia conforme a direção escolhida. 
Supondo um quadrilátero infinitesimal ABCD sobre a superfície de referencia esférica 
(esfera modelo) construído a partir do ponto A de coordenadas φ e λ (Figura 25). 
 Esse quadrilátero ao ser transportado para a superfície de projeção sofre distorções 
fazendo com que os pontos B, C, e D sejam deslocados, gerando o quadrilátero A’B’C’D’. Esta 
situação pode ser visualizada na Figura 25. 
 
 
 
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41
Figura 25 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de referência (esfera) e na superfície de projeção. 
Superfície
de 
Referência
Superfície
de 
Projeção
ds’
α’
γ’
A’
B’
C’
D’
P’
R’
S’
Q’
γ’
α’
θ’
θ’
dx
dy
X
Y
A
B C
D
ds
φ
φ + φd
λ λ + dλ
Quadrilátero
infinitesimal
A
R
φ
λ dλ
rp
dφ
 
 Estes deslocamentos têm significado geométrico e podem ser representados 
simbolicamente por uma notação de derivadas parciais, que estão explicitados No quadro da 
Figura 26. 
Figura 26 – Significados das deformações na transformação da superfície referência de projeção para a de projeção. 
Deslocamento Significado Símbolo 
A’P’ 
Incremento na direção de Y ocasionado por uma variação 
infinitesimal da latitude (dφ) ϕϕ d
y
∂
∂
 
P’B’ 
Incremento na direção de X ocasionado por uma variação 
infinitesimal da latitude (dφ) ϕϕ d
x
∂
∂
 
A’S’ 
Incremento na direção de X ocasionado por uma variação 
infinitesimal da longitude (dλ) λλ d
x
∂
∂
 
S’D’ 
Incremento na direção de Y ocasionado por uma variação 
infinitesimal da longitude (dλ) λλ d
y
∂
∂
 
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 O incremento é calculado por uma derivada parcial da função que representa a 
transformação da superfície de referência (esférica ou elipsóidica) para a superfície de projeção 
(plana, cônica ou cilíndrica) em relação a latitude e longitude. 
 Escala é uma relação entre o comprimento real e o representado, assim as escalas 
particulares podem ser calculadas como sendo as relações entre os comprimentos dos segmentos 
na esfera e os seus correspondentes no plano de projeção. Esta variação pode ser entendida como 
um fator de deformação que varia ao longo de toda superfície de projeção. Então se pode 
determinar o fator de deformação ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos, em uma 
direção qualquer, segundo um azimute e assim por diante. 
 
7.3.3 Fator de deformação ao longo dos meridianos (h). 
 O fator de deformação ao longo dos meridianos é representado pela letra h. É definido 
pela relação: 
h = 
AB
BA '' ; 
 
Analisando o quadrilátero infinitesimal da Figura 25 tem-se que A’B’ é a hipotenusa de um 
triângulo retângulo, ou seja: 
 
22
'''''' BPPABA += 
 
 substituído os segmentos pelos seus significados (Figura 26) 
 
2
2
2
2
'' ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
dxdyBA 





∂
∂
+





∂
∂
= => 2
22
'' ϕ
ϕϕ
dxyBA














∂
∂
+





∂
∂
= 
 
Chamando a quantidade ��	�
�
�
+ 	 ����
�
� = � vem �’�’	 = √��� 
 
AB é o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude dφ, ou seja: 
 
AB = R.dφ ⇒ considerando uma esfera de raio unitário ⇒ AB = dφ 
Finalmente 
h = φ
φ
d
dE
 ⇒ h = E ; 
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7.3.4 Fator de deformação ao longo dos paralelos (k). 
 O fator de deformação ao longo dos paralelos é representado pela letra k. É definido pela 
relação: 
k = 
AD
DA '' ; 
 Analisando novamente o quadrilátero infinitesimal da Figura 25 tem-se que A’D’ é a 
hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja: 
 
22
'''''' DSSADA +=
 
 substituído os segmentos pelos seus significados (Figura 26) 
2
2
2
2
'' λλλλ d
ydxDA 





∂
∂
+





∂
∂
= => 2
22
'' λλλ d
yxBA 













∂
∂
+





∂
∂
=
 
 
Chamando a quantidade ��	���
� +	������
� = � vem �’�’	 = √��� 
 
AD é o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude dλ (Figura 27): 
 
Figura 27 – Raio do paralelo em função da latitude. 
R
rp
φ
dλ
A D
R
rp =cos Rφ.
φ
A
 
 
AD = R.cosφ.dλ ⇒ considerando uma esfera de raio unitário ⇒ AD = cosφ.dλ 
Finalmente 
k = λφ
λ
d
dG
⋅cos
 ⇒ k = φsecG ; 
 
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7.3.5 Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot 
 
Uma circunferência na superfície da esfera, infinitamente