LOGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMATICA

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INSTITUTO PEDAGÓGICO DE 
MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lógica e Fundamentos da Matemática 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
 
Desde tempos imemoriais observamos os acontecimentos naturais.. 
2 
Milhares de anos ensinam que contar é comparar entre dois conjuntos qual é o 
que tem maior ou menor quantidade de objetos e a idéia de um conjunto de números 
naturais associado às necessidades da contagem faz parte de todas as culturas. 
Aprendemos a reconhecer sucessões naturais através de ciclos como o das 
estações do ano, a mudança das fases da lua, a disposição das folhas nas plantas, a 
freqüência dos batimentos cardíacos ou o ritmo da respiração. 
Das possibilidades de leituras do mundo e suas complexidades leituras binárias 
tais como dia ou noite, sim ou não, nascer e morrer, quente ou frio, certo ou errado, ou, 
verdadeiro ou falso. A apreensão da realidade qualifica-se sob dois estados 
mutuamente excludentes cujo fundamento é a constante mudança. 
No século IV a.C. a leitura das dualidades empreendida pelo filósofo grego 
Aristóteles sistematiza os procedimentos que orientam a razão na busca da verdade e 
da validade dos argumentos através de uma disciplina que veio a se denominar Lógica. 
Tida como criação do espírito helênico através dos filósofos Parmênides, Zenão 
de Eléia e os Sofistas, as raízes da ciência da lógica originam-se também na antiga 
Índia. Entretanto é a partir de Aristóteles, cujas idéias se mantiveram predominantes na 
construção do pensamento durante mais de vinte séculos, que a lógica toma forma de 
um corpo estruturado do conhecimento e forma de todas as ciências. 
A partir de Aristóteles os enunciados ganham em clareza e simplicidade. 
A conceituação aristotélica ensina que as sentenças que expressam um juízo 
devem ter a forma sujeito-verbo ser - predicado onde um termo, o sujeito – a idéia da 
qual se afirma algo, – liga-se ao outro, o predicado – a idéia que se afirma do sujeito – 
num nível de concordância tal que a asserção ou será verdadeira ou será falsa. Assim 
excluem-se concordância lógica as frases exclamativas, interrogativas ou imperativas, 
pois estas não podem se classificar em verdadeiras ou falsas. 
A conceituação aristotélica vai se tornar a grande intermediária da 
linguagem matemática, pois sempre foi óbvio não só aos matemáticos que há 
uma mediação entre o que é verdadeiro ou falso nos modos de análise das 
regras do discurso e da demonstração. 
 
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INTRODUÇÃO AOS ELEMENTOS 
DA 
LÓGICA MATEMÁTICA I 
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SUMÁRIO 
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INTRODUÇÃO .................................................................................................................. ......................................... 2 
ELEMENTOS HISTÓRICOS I ................................................................................................................................. 5 
ELEMENTOS HISTÓRICOS II ............................................................................................................................. 10 
PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS III ........................................................................................... 15 
PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS IV ........................................................................................... 21 
AS PROPOSIÇÕES SIMPLES OU CATEGÓRICAS .......................................................................................... 27 
DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO ................................................................................................................. 39 
LEITURAS DE UM ARGUMENTO ...................................................................................................................... 47 
PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 61 
OS CONECTIVOS E, OU E A NEGAÇÃO NÃO ................................................................................................. 67 
AS CONDICIONAIS ................................................................................................................................................ 81 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................................ 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ELEMENTOS HISTÓRICOS I 
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Desde os tempos de Tales de Mileto e Pitágoras, Platão, Aristóteles e 
considerando a obra escrita em Alexandria pelo matemático grego Euclides por volta 
de 300 a.C. como início do processo de sistematização do estudo axiomático da 
matemática, as fronteiras entre a lógica e a matemática nunca foram delimitadas. 
Entre 600 e 300 a.C. o raciocínio como seqüência de deduções fundamentadas 
a partir de proposições tomadas como verdadeiras foi sendo assumido como legítimo 
pelos pensadores gregos. O conceito é simples: derivar o que é desconhecido daquilo 
considerado conhecido ou compor o todo se conhecendo as partes. O processo 
contrário, chamado análise, procura decompor o todo em seus elementos constituintes. 
A conseqüência desses procedimentos, tornada uma das bases de sustentação da 
fundamentação matemática contemporânea, ficou conhecida como Método Axiomático. 
Preconizado por Euclides o método axiomático foi problematizado como base de 
pesquisa fundamental respectivamente em 1882 e em 1889 pelos geômetras alemães 
Moritz Pasch (1862 - 1930) e David Hilbert (1862 - 1943). Entretanto, desde os tempos 
de Euclides, tornou-se intuitivo aceitar não só o raciocínio matemático, mas todo 
raciocínio axiomático como matemático. 
E é relativamente fácil dizer por que, pois para estabelecer uma proposição num 
sistema dedutivo é necessário mostrar que ela é conseqüência de certas afirmaçõespreviamente conhecidas ou assim admitidas. Mas cada uma destas afirmações está, 
por sua vez, na dependência de afirmações que também deverão estar estabelecidas. 
Entretanto, como o sistema que está sendo articulado não pode retroceder numa 
seqüência interminável de dependências, concluíram os gregos antigos, um número 
finito de afirmações tomadas como verdadeiros chamados axiomas, deve ser o ponto 
de partida para fundamentar as proposições que devem integrar o sistema. 
Esse modo de raciocínio, precursor do método axiomático contemporâneo, 
também chamado Axiomática, ao abstrair o significado inicial de certas afirmações ou 
das relações entre essas afirmações, conduz as conseqüências que podem ser 
deduzidas por um mesmo tratamento. A segunda importante razão, como instrumento 
 
 
 
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de trabalho matemático, permite pesquisar problemas acerca da interdependência ou 
independência das afirmações que compõe o sistema. 
 
 
§ 1. PRIMÓRDIOS I 
 
 
Do século VI ao século III a.C., durante os 300 primeiros anos de 
desenvolvimento da matemática grega, os conceitos matemáticos foram estudados 
através das razões lógicas neles contidas e das implicações entre os seus inter- 
relacionamentos. 
Esse processo, iniciado com Tales e continuidade com Pitágoras, organiza-se 
por volta de 300 a.C com os Elementos, obra que procurou coligir todo o conhecimento 
sobre geometria e a teoria dos números grega. Sem se limitar por aspectos práticos e 
pesquisando os princípios sobre o espaço, eles revelam a verdadeira natureza de uma 
demonstração: suas aplicações onde às afirmações não são tão evidentes. 
Tales, nascido em Mileto, é dos mais antigos dos grandes pensadores gregos. 
De volta a Mileto, após morar no Egito, indo além dos os conhecimentos que aprendera 
inicia uma transformação no pensamento quando ensina que as proposições devem 
ser demonstradas e não aceitas por algum aspecto prático ou utilitário. 
Responsável pelo estudo da geometria na Grécia antiga, as idéias de Tales 
tanto contribuem à compreensão da geometria que a ele é creditada a primeira 
demonstração da história da matemática: o diâmetro de um círculo divide o circulo em 
duas partes iguais. Essa demonstração, diga-se, contém mais do que a evidência: 
mostra que as demonstrações não só são possíveis, mas também necessárias. 
E mais ainda. Quando demonstra que a soma dos ângulos internos de qualquer 
triângulo é dois ângulos retos torna implícito tratar de uma propriedade de todos os 
triângulos que não decorre de medições em certos triângulos. Todo desenvolvimento 
matemático segue os procedimentos de Tales e Pitágoras, pioneiros do raciocínio 
dedutivo na matemática, e todo formalismo que exercitamos é originalmente euclidiano. 
 Ao conceito de Tales que toda verdade deve ser demonstrada, Euclides inclui 
verdades aceitas sem demonstração ao sistematizar a geometria: aquelas chamadas 
axiomas, de enunciado evidente e comum a todas as ciências, como por exemplo, o 
todo é igual à soma de suas partes, e aquelas que se denominam postulados. 
 
 
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Significando o que se pede ou está concedido, o que se supõe ou não é 
obrigado a demonstrar, os postulados foram usados para as questões da geometria. 
 Os axiomas, palavra grega que quer dizer juízo, dogma ou noções comuns, 
conceito introduzido no raciocínio lógico, segundo se acredita, por Aristóteles, foram 
utilizados para denominar todo principio aceito como evidente sobre comparações 
entre grandezas. 
 
 
 
§ 2. PRIMÓRDIOS II 
 
 
Para os gregos antigos era inconcebível que alguém duvidasse dos 
postulados, mas dúvidas em relação aos axiomas eram tacitamente consentidas. 
Quando afirmavam que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é 
igual a dois ângulos retos, não incluíam leis como existe o triângulo, pois entendiam 
tratar-se de uma propriedade válida e demonstrável para todos os triângulos. 
 Considerando aceitar a existência hipotética dos objetos geométricos, exigiam 
em relação às quantidades que elas se afirmassem pela existência e unicidade. Para 
ilustrar, observe que se x e y são dois números tais que xy = yx é intuitivo ponderar se 
tais números existem. Ou, se existe um número a tal que a + x = a, deve existir um 
objeto chamado elemento nulo que deve ser único. Enquanto as quantificações exigem 
que as questões da existência ou unicidade estejam resolvidas, as leis geométricas 
aceitam uma existência hipotética. 
Quando Euclides enuncia que o ponto é aquilo que não tem partes a existência 
de tal ob-jectum, ou o que está adiante, é solicitado evidente. O ponto assim imaginado 
não pode ser dividido, não tem espessura e nem dimensão. Pode-se associá-lo às 
representações da marca da grafite de um lápis sobre uma folha de papel ou a visão 
que temos da Terra de uma estrela, mas o ponto não existe. O que existe é a idéia de 
ponto: uma abstração elementar da construção da estrutura conceitual da geometria. O 
espaço, imaginado conjunto de todos os pontos, surge como abstração decorrente 
onde a idéia de ponto é o elemento fundamental de construção. 
Segundo Proclo, filosofo grego do século V e primeiro historiador da matemática 
pela obra Comentário sobre Euclides, que descreve a geometria grega desde seus 
primórdios, elemento significava entre os gregos antigos, proposição de uso amplo e 
 
 
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geral no desenvolvimento de um estudo dedutivo. Assim Aristóteles ensina no livro V 
da obra Metafísica: elemento é o primeiro componente imanente do qual é constituída 
uma coisa e que é indivisível em outras espécies. E diz: dentre as proposições 
geométricas chamaremos de elementos aquelas cujas demonstrações estão contidas 
nas demonstrações de todas ou quase todas essas proposições. Para Aristóteles, tudo 
aquilo entendido por ser um e pequeno pode servir a muitas coisas explica a certeza 
adquirida de que as idéias que são mais universais são mais elementos, pois estão 
presentes em muitas coisas ou na maioria delas. Dessa convicção decorre que o um e 
o ponto são elementos, pois são considerados de gêneros universais e indivisíveis. 
 
 
 
§ 3. PRIMÓRDIOS III 
 
 
A expressão todos os pontos, lida como tantos quantos puder imaginar, toma 
por evidente que o espaço se define através de infinitos pontos. 
Segundo os gregos antigos, desde que o espaço se constitui de infinitos pontos 
podem-se imaginar dois ou mais pontos sendo ligados de muitos modos através de 
linhas. Linhas são figuras que não tem espessura e largura, mas tem comprimento e 
podem se estenderem indefinidamente. Euclides considera e define as linhas retas, 
toda linha traçada uniformemente com os pontos sobre si e as superfícies planas, toda 
superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si como construções 
fundamentais para iniciar o processo de construção da geometria.. 
Desde que o espaço se constitui de infinitos pontos Euclides denominou figura 
geométrica ou simplesmente figura a tudo aquilo delimitado por qualquer fronteira ou 
fronteiras. Assim toda figura se compreende como um conjunto de infinitos pontos e opróprio espaço pode ser lido como uma figura geométrica. Na lógica euclidiana se um 
triângulo é definido como um polígono de três lados, então polígono deve ser entendido 
como uma figura e as figuras como objetos constituídos por linhas. Como linha é uma 
construção fundamental, o processo de definição se interrompe aí. 
Embora Euclides tenha reconhecido pela necessidade das propriedades não 
demonstráveis, axiomas e postulados, ele não considerou a importância lógica dos 
termos não-definidos ou, de acordo com a concepção contemporânea dos matemáticos 
Bertrand Russel (1872-1970), e Giuseppe Peano (1858–1932) dos conceitos primitivos. 
 
 
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Euclides procura definir todos os termos que utiliza e assim idéias como ponto, reta ou 
superfície estão na lista de definições. 
Como não se faz mais distinção entre postulados e axiomas, elas se tornaram 
sinônimas e se consideram no sentido euclidiano ou, como fizeram Peano e Russel, 
significando propriedades intuitivamente evidentes, aceitas independentes de qualquer 
comprovação, propriedades não – demonstráveis ou propriedades primitivas. 
No sentido que Aristóteles atribui às idéias que são mais universais são mais 
elementos, podem se destacar a idéia de ponto na geometria e a idéia de número na 
aritmética. Como também se aceita que os objetos matemáticos se organizem em 
conjuntos, a idéia de conjunto, um conceito tornado fundamental para todos os ramos 
da Matemática, tem o significado de coleção e os seus objetos, quaisquer que sejam, 
dizem-se elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ELEMENTOS HISTÓRICOS II 
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A partir de cinco axiomas e cinco postulados Euclides organizou um sistema 
contendo 465 proposições distribuídas em 13 livros que correspondem aos conteúdos 
da geometria plana e espacial da escola média contemporânea. 
Segundo especialistas, embora não se conheça nenhum original dos Elementos, 
as cópias que nos chegaram parecem ter conservado a autenticidade original, pois as 
proposições e demonstrações foram essencialmente mantidas como foram escritos. 
A primeira tradução latina completa é de 1120 do filósofo inglês Adelardo de 
Bath a partir de uma versão que os árabes fizeram no século VIII das traduções dos 
manuscritos bizantinos dos trabalhos gregos. 
Desde a invenção da imprensa e até o século XX não só pelas suas mais de 
1000 edições, mas por ter sido mantido sem alterações substanciais por quase 23 
séculos, os Elementos é o mais influente livro de matemática editado. 
A impressão que os seus aspectos formais causaram fez dos Elementos modelo 
da forma de apresentação das idéias em ciências e matemática. 
Principalmente como idealização de uma estrutura sistêmica fundamentada 
pelos processos de raciocínio que se tornaram referência de construção da forma das 
teorias matemáticas e modelo do que deve orientar uma demonstração. 
Para se ter uma idéia do tratamento dado aos conteúdos desenvolvidos pelos 
gregos no estudo do espaço, no espaço geométrico definido por Euclides, 
contemporaneamente chamado espaço euclidiano, as figuras são estudadas num 
ambiente onde as distancias são preservadas e o movimento é tratado sem 
implicações: qualquer figura pode ser deslocada sem alteração de forma ou tamanho. 
Os objetos das experimentações espaciais como cordas esticadas, retângulos, 
quadrados, triângulos, círculos ou elipses interpretam-se considerando: 
I. As formas dos objetos convertidas em abstrações chamadas figuras; 
II. As relações entre as figuras são enunciadas através de axiomas e postulados; 
III. Definições, axiomas e postulados fixam um sistema ou modelo; 
IV. Intermediada pela lógica uma teoria é construída contendo um conjunto de 
resultados compatíveis entre si. 
 
 
 
 
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A teoria euclidiana consolida-se através das interações entre um conjunto de 
axiomas ou postulados e uma lógica de procedimentos. 
 
 
§ 1. ORIGENS I 
 
 
No espaço euclidiano, onde inexistem obstáculos e as relações de inclusão 
estão claramente estabelecidas, as proposições tem caráter universal, as 
demonstrações não lidam com experimentações e são dedutivas. 
Desde os tempos de Euclides as leituras da geometria procuram dar uma 
descrição do mundo justificadas por um modelo de estruturas dedutivas precisas. 
Nossas experiências diárias contribuem para autenticar o modelo, pois a primeira 
leitura que aprendemos do espaço ao nosso redor é conceitualmente euclidiana. 
A partir dos Elementos, duas importantes escolas passam a contribuir para 
construção do pensamento: aquelas representadas pelos modelos matemáticos do 
Egito, Babilônia, Oriente antigo e Índia, predominantemente algorítmica, e a escola 
estritamente lógica e dedutiva, originada com os gregos. Enquanto na matemática 
grega as estruturas são rigorosamente lógicas e os objetos se caracterizam por 
determinadas propriedades, na matemática algorítmica as regras operacionais podem 
variar de acordo com as técnicas, instrumentos ou a urgência de um problema. A 
matemática grega, organizada sob a forma de um sistema axiomático, trata 
fundamentalmente do estudo do espaço. A matemática algorítmica, apresentada sob a 
forma de coleções de regras computacionais, trata fundamentalmente dos números. 
A matemática dos números tem suas origens com os babilônios, hindus e os 
árabes. Os gregos deram aos problemas numéricos conotações geométricas: as 
comparações entre quantidades são associadas aos problemas sobre comprimentos 
de dois segmentos ou comparações entre áreas. Os babilônios, os hindus e os árabes, 
introduzindo símbolos e regras operacionais ao raciocínio tornam possível descrever e 
tratar das grandezas em outros níveis de abstração e eficiência da matemática grega. 
Mas, característica da cultura matemática oriental, os babilônios, os hindus e os 
árabes, que não se preocupavam em demasia com demonstrações, não organizaram 
seus conhecimentos acerca dos números num modelo axiomático. 
 
 
 
 
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Assim dos métodos e técnicas das culturas matemáticas gregas e orientais 
decorre, por respeito ou circunstância, uma tradição que se estende aos primórdios da 
era contemporânea: a geometria é ensinada sob o formato dado por Euclides nos 
Elementos e a matemática das quantidades é ensinada como uma coleção de leis e 
regras operacionais característicos do ensino da Álgebra ou do Cálculo. 
 
 
§ 2. ORIGENS II 
 
 
O processo de adoção dos procedimentos axiomáticos pelos gregos 
antigos, segundo se credita, está ligado à primeira das três grandes crises que a 
matemática experimentou ao longo de sua história. 
No século V a.C. se descobre que nem todas as grandezas geométricas da 
mesma espécie são comensuráveis: existem grandezas que não são múltiplas inteiras 
de uma outra tomada comounidade de medida. A diagonal d e o lado a do quadrado, 
por exemplo, não admitem uma unidade de medida comum, pois d = a 2 e 2 não é 
um número racional. A descoberta da existência dos números irracionais pelos 
pitagóricos obrigou uma revisão que só foi superada por volta de 370 a.C. com a Teoria 
das Proporções de Eudoxo. É a leitura dos incomensuráveis que dá a base necessária 
para construção do sistema dos números reais no século XIX por Richard Dedekind e 
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 
A segunda grande crise advém da criação do Cálculo Diferencial e Integral, uma 
concepção de Leibnitz e do físico inglês Isaac Newton através de estudos 
independentes. Entretanto as origens do Cálculo estão no século V a.C. quando os 
paradoxos de Zenão, discípulo de Parmênides e considerado por Aristóteles o criador 
da dialética, procuram reduzir ao absurdo os conceitos de multiplicidade e movimento. 
A terceira grande crise é conseqüência dos paradoxos descobertos na teoria dos 
conjuntos. Desde 1872 quando Cantor começa a usar a idéia de conjunto para tratar 
das questões ligadas ao Infinito os conceitos da teoria dos conjuntos sistematicamente 
são absorvidos pela Lógica e pela Álgebra como meio de expressão da linguagem 
matemática. Intuitiva, a idéia de conjunto é associada a tudo que percebemos como 
lista, coleção, grupo ou classes de objetos, genericamente denominados elementos, 
que podem ser números, pontos, pessoas, letras, fatos ou figuras. Exercendo papel 
 
 
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unificador e influenciando concepções relativas aos fundamentos da matemática, a 
descoberta de paradoxos colocou sob suspeita os alicerces da própria matemática. 
A partir do final do século XIX, o advento de novas geometrias ou a descoberta 
da existência de outras estruturas lógicas e as possibilidades de leituras dos números 
naturais ou a geometria euclidiana como modelos fundamentais se consolidam através 
do século XX pela organização dos objetos matemáticos em denominações bem 
características: conjuntos, grupos, anéis, figuras, números, funções, espaços vetoriais 
ou espaços topológicos. 
 
 
 
§ 3. ORIGENS III 
 
 
Como mostra a experiência, as crises se revelam interessantes quando 
permitem que os conteúdos se reformulem pelos processos de reconstrução dos 
conceitos. 
O conhecimento é confrontado pela busca de sentidos e ordem ao caos em que 
às idéias parecem estar e todo caminho se assemelha à desordem natural da 
experiência. Mas, encontrando diferenças que normalmente não se percebe e relações 
entre os agentes da experiência, permite desenvolver raciocínios que se conformam 
como escolas do pensamento. 
Certamente os estudos para superação das crises na Matemática e as formas 
de visão do pensamento matemático estão de muitos modos conjugados. Assim, até 
por volta de 1930 os estudos da lógica e da fundamentação matemática foram 
compartilhados pelas escolas logicista, intuicionista e formalista, que muitas influências 
emprestaram ao pensamento. Daí em diante as três escolas se aproximam, inúmeras 
correntes surgem e as especialidades se multiplicam. Até porque na Matemática as 
dinâmicas das transformações parecem estar em sintonia com a percepção de Cantor 
quando ele afirma que a essência da matemática reside em sua liberdade. 
Certamente Cantor solicita que procuremos ver o conhecimento matemático 
como de fato ele é: falível, corrigível, tentativo e evolutivo. Numa definição apropriada 
dos dicionários a matemática é a ciência das quantidades e do espaço. 
Esta declaração, entretanto, apenas toca o cerne das preocupações de grande 
parte dos estudantes sobre o que é matemática ou qual é a finalidade da matemática, 
 
 
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pois cada geração procura uma resposta e cada resposta é confrontada por elementos 
tanto individuais quanto coletivos. O matemático francês Jacques Hadamard (1865- 
1963) observava que a matemática não é só a mais simples de todas as ciências, mas 
também a mais perfeita e a mais antiga. 
Certamente a matemática é humanística enquanto arte. É científico-tecnológico 
quando aplicada. É platônica se imaginamos que os seus objetos de estudo existem 
independentes das pessoas. 
É construtivista, quando consideramos como objeto matemático somente 
aqueles que podem ser obtidos por uma seqüência finita de construções. 
É formalista, quando se enuncia através dos conceitos primitivos, axiomas, 
postulados, definições e teoremas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS III 
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O filósofo grego Aristóteles é considerado o primeiro pensador a sistematizar 
as regras que orientam a razão na busca da verdade e da validade dos argumentos. 
Discípulo de Platão, com quem estudou dos 17 aos 37 anos, Aristóteles, fundou 
em Atenas no ano de 355 a.C. o Liceu, sistema educacional que ficava próximo ao 
templo dedicado ao deus Apolo Lício. As despesas do Liceu eram asseguradas pelas 
contribuições de particulares e da corte macedônica, pois dos discípulos nada se 
cobrava. Da corte macedônica, através de Alexandre o Grande, de quem Aristóteles foi 
tutor, em respeito e afinidade ao preceptor de sua juventude, chegavam também 
valiosas contribuições de materiais que os estudiosos que acompanhavam as 
campanhas de Alexandre iam recolhendo. 
Também chamada escola peripatética, pois Aristóteles costumava expor suas 
idéias ao ar livre passeando com os alunos sob a sombra das árvores das avenidas de 
que dispunha o local, o sistema educacional do Liceu, voltado para as pesquisas das 
ciências, ensinava a desenvolver a investigação dos fenômenos naturais com base na 
experimentação. O ensinamento de Aristóteles, que aborda vastos campos do 
conhecimento, é proveniente das anotações dos seus alunos organizados em quatro 
grandes grupos de obras. Uma delas, sob a denominação Organon, inaugura o estudo 
da disciplina que os séculos denominaram Lógica. 
Aristóteles organizou, sistematizou e ampliou o conhecimento cientifico da 
Antiguidade através de modelos que se tornaram as principais bases de visão do 
universo. A Lógica Matemática e as lógicas contemporâneas fundamentam-se ou 
surgiram como crítica a lógica aristotélica, também chamada Clássica. 
Embora todos tenham motivações para descobrir a verdade e uma aptidão 
natural que se revela como bom senso, através da lógica pode-se aprender a 
determinar a partir das informações disponíveis sobre um dado assunto, se as 
conclusões que inferimos são válidas e o que pode ser entendido como verdade. 
Melhor se temos como converter as informações para a linguagem que lhe é própria. 
Apesar da variedade dos elementos da lógica contemporânea, o estudo das 
estruturas lógicas da Matemática desenvolve-se através dos conceitos, juízos ou 
relações e o raciocínio. Estes, por sua vez, representam-se, quaisquer que sejam os 
 
 
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meios, como termo, proposição e argumento. Assim, enquanto a proposição é a 
expressão de um juízo, o argumento é a expressão de um raciocínio. 
 
 
§ 1. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA I 
 
 
A preocupação fundamental da Lógica foi compreender a análise do 
raciocínio desde a formação da idéia até a elaboração dos argumentos. 
Quando alguém afirma que a porta está aberta, está implícito que a idéia de 
porta e o conceito de estar aberto são evidentes. Mas, ao se afirmar que a medida da 
circunferência da Terra é, aproximadamente, 40.000 km ou, que toda função limitada e 
contínua por partes num intervalo fechado [a, b] é Riemann-Integrável neste intervalo, 
pressupõe que os conceitos constituintes estão claramente estabelecidos. 
Certamente algumas idéias são aceitas com tanta naturalidade que dispensam 
explicações ou definição. Entretanto, quando as sentenças procuram descrever ou 
argumentar, elas transmitem informações que podem exigir justificativas. Enquanto a 
sentença a porta está aberta pode dispensar qualquer explicação, a afirmação que 
declara o valor da medida da circunferência da Terra requer comprovação. 
Comprovar uma sentença é estabelecer uma conexão entre a afirmativa 
elaborada a partir de outras previamente conhecidas. Mais precisamente, é construir 
um conjunto de nome argumento, constituído de n+1 sentenças, cada uma delas 
chamada premissa, de modo que aquela que requer justificativa é chamada conclusão. 
Mais detalhadamente, designando por P1, P2, . . . , Pn e C, n + 1 sentenças dadas, um 
argumento é toda seqüência finita de premissas P1, P2, P3, . . . , Pn, onde C, 
conseqüência de P1, P2, P3,... é a conclusão. 
Para usar uma expressão do lógico matemático norte-americano Alfred Tarski 
(1902–1983), pode-se distinguir na elaboração de um argumento dois níveis de 
discurso: a linguagem da qual se fala, chamada linguagem-objeto, e a linguagem com a 
qual se fala, denominada metalinguagem. 
Na Matemática, onde as conclusões se apresentam como conseqüência de 
certas premissas admitidas como verdadeiras chamadas hipóteses [hypo (subjazer) + 
thesis (idéia, teoria)] ou conjunto de dados, os pensamentos, expressos numa 
 
 
 
 
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linguagem própria e característica, necessitam de uma linguagem auxiliar, ou 
metalinguagem, para tornarem-se compreensíveis. 
A parte de uma linguagem usual como metalinguagem que apresenta interesse 
para expressar os conceitos matemáticos na construção de uma hipótese é 
exatamente aquela constituída por sentenças declarativas que podem ser classificadas, 
segundo um, e somente um, dos valores lógico verdadeiro ou falso. 
 
 
§ 2. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA II 
 
 
Nas vertentes do desenvolvimento da lógica, os megáricos, da escola de 
Mégara (Sicilia, 450 a.C–380 a.C), fundada pelo filósofo grego Euclides, o Socrático, e 
os estóicos, da escola Estóica, fundada por Zênon de Cítio (335 a.C - 264 a.C), 
discípulo de Euclides o Socrático, empregaram nomenclaturas e desenvolveram 
estudos considerados continuidade dos ensinamentos que não se encontravam em 
Aristóteles. 
 No entanto, rivalidades entre estóicos e aristotélicos impediram que essas 
abordagens se reunissem numa só teoria. Após o período estóico segue-se longo 
período ao qual se credita dedicado ao aperfeiçoamento das técnicas e ensino da 
Lógica com destaque aos elementos de união entre as lógicas aristotélica e estóica. 
 No período medieval ocidental as tradições se dão mais pelos conteúdos que as 
controvérsias teológicas significaram. Predominante até o século XVII, as tradições 
medievais dividiram o estudo da Lógica em dois grandes grupos: Lógica Menor ou 
Formal e Lógica Maior ou Material. A Lógica Menor, absorvida pelas ciências e filosofia, 
estuda a forma dos argumentos. A Lógica Maior se ocupa em determinar o conteúdo 
ou a veracidade das proposições contidas num argumento. 
Entretanto, às idéias de Aristóteles pouco se acrescentou até o século XVI. 
Coube ao matemático alemão Gottfried Wilhem Leibnitz (1646–1716) as 
primeiras antecipações dos estudos que viriam a se tornar no século XIX, 
fundamentalmente devido aos trabalhos do matemático inglês Geoge Boole (1815 - 
1864), do matemático inglês de origem hindu Augustus de Morgan (1806 - 1871) e do 
matemático alemão Gottlob Frege (1848 - 1925), uma nova forma de lógica: a Lógica 
Simbólica Clássica, Lógica Abstrata ou Lógica Matemática. 
 
 
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Leibniz, um dos precursores do sistema binário, a partir de 1666 propõe idéias 
inovadoras às quais chamou lógica matemática e utilizou em vários trabalhos. Mas, 
como não as publicou, sua importância passou ignorada por seus contemporâneos. 
 Leibnitz construiu a primeira máquina calculadora que realizava multiplicações. 
Projetada para operar com números na base 10, não chegou a ser convertida para 
operar no sistema de base 2. 
Números na base 2, diga-se, comportam muitos algarismos 0 e 1. Por exemplo, 
o número 10 na base 2, (10)2,escreve-se como 1010 (leia-se um zero um zero), (100)2 
=1100100; (533)2=1011011101; (15752)2= 1110110001000. 
 
 
§ 3. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA III 
 
 
É Leibnitz quem vê que a Lógica é uma Álgebra ou que a Álgebra é uma 
Lógica. 
Critico da lógica aristotélica ao considerar que ela mostra verdades conhecidas, 
mas não revela novas verdades, Leibnitz foi o primeiro pensador a perceber que as leis 
do pensamento contêm decodificações essencialmente algébricas ou que a lógica é 
uma espécie de álgebra ou que a álgebra é uma lógica. 
As preocupações de Leibnitz na busca de uma linguagem matemática 
logicamente universal iniciam procedimentos de criação de símbolos universais num 
simbolismo reduzido com o objetivo de orientar o processo do raciocínio formulando 
conceitos que facilitem as operações lógicas. 
Por tudo isso é importante que se note que até então, desde os tempos de 
Aristóteles, o raciocínio lógico era totalmente desenvolvido com o uso da linguagem 
corrente e Leibnitz foi o primeiro pensador a ter a idéia de usar uma linguagem artificial 
para significar a estrutura dos pensamentos. 
Para tanto observe que uma linguagem, ou todo sistema de símbolos utilizados 
como meio de comunicação, pode ser classificada em linguagens naturais ou línguas, 
como o português, o francês ou o inglês, em linguagens artificiais, como a linguagem 
da geometria, da álgebra ou as linguagens que comunicam instruções a uma máquina. 
Enquanto as línguas surgem e se desenvolvem a partir de um grupo de 
indivíduos e estão sempre em transformação, as linguagens artificiais, aquelas onde as 
 
 
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palavras ou os conceitos são substituídos por símbolos, possuem uma gramática que 
não se altera com o passar do tempo. 
Para exemplificar mais de acordo com Tarski, considere o argumento: 
As raízes da equação x
2 3x + 2 = 0 são x = 1 ou x = 2. 
Os termos x2 3x + 2 = 0, x = 1 e x = 2 são termos da linguagem matemática, 
que atua como linguagem – objeto, e a língua portuguesa, que contém a mensagem 
transmitida, atuam como metalinguagem.Como é grande o interesse contemporâneo pelas metodologias de construção e 
análise dos argumentos, o estudo das linguagens artificiais que atuem como 
linguagens-objeto, como é o caso próprio da Matemática, torna-se cada vez mais 
requisitado. 
 
 
 
§ 4. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA IV 
 
 
Desde o simbolismo de Leibnitz a idealização de uma álgebra da lógica 
começa a formar contornos em 1847 e 1848 quando, respectivamente, De Morgan e 
Boole publicam Lógica Formal ou Cálculo de Inferência e Análise Matemática da 
Lógica. 
Em Análise Matemática da Lógica Boole diz: Poderíamos, com justiça, tomar 
como característica definitiva de uma verdadeira Matemática, que é uma forma de 
raciocinar baseada no uso de símbolos, o uso combinatório destes como interpretação 
consistente do mundo em que vivemos. E é baseando-se nesse principio geral que eu 
pretendo estabelecer o Cálculo da Lógica e que reivindico para ele um lugar entre as 
formas reconhecidas da Análise Matemática. 
Boole percebeu que o estudo da Lógica se dividia em três estágios: lógica grega, 
lógica escolástica, ensino filosófico do século X ao século XVI que relacionava dogmas 
cristãos à filosofia tradicional, e lógica matemática. Em 1854, em Pesquisas sobre as 
leis do pensamento, Boole dá forma às percepções de Leibnitz . 
As preocupações de Leibnitz também se fazem presente entre 1879 e 1903 nos 
estudos de Gottlob Frege, Cantor, Peano, e em 1910 na obra Principia Mathematica de 
Bertrand Russel e Alfred North Whitehead. Em 1880 Peano e sua escola desenvolvem 
uma linguagem artificial que dá uma visão universal dos mecanismos lógicos das 
 
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teorias matemáticas. Com 3 conceitos primitivos e 5 axiomas ampliam os domínios da 
axiomática matemática desenvolvendo a Teoria dos Números Naturais. Completando o 
ciclo axiomático fundamental Frege elabora um conjunto de princípios que orientem as 
regras da demonstração e caracterize o que é uma demonstração matemática. 
Certamente uma proposição está demonstrada se ela decorre de proposições 
cuja verdade esta estabelecida. A questão, a saber, é: o que garante a verdade das 
premissas? Embora estudantes de Matemática treinem para lidar com este dilema na 
geometria e aritmética, este treinamento, como Frege observou, não dá garantias, pois 
podemos acreditar ter demonstrado aquilo que não estava terminado. 
As idéias de Frege, baseada na simbologia matemática e na análise 
formal do discurso, organiza o raciocínio numa espécie de gramática empregada 
em diversas linguagens, como a proposicional, que estuda a relação dos juízos 
entre si ou a de predicados, que analisa a estrutura das sentenças. Favorecendo 
reavaliações no estudo da lógica, a partir daí a lógica aristotélica adquire a 
denominação Lógica Clássica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS IV 
21 
 
 
 
Os trabalhos de Boole, De Morgan e Frege promovem a autonomia da Lógica 
Clássica destacando-a da Filosofia. 
Boole e De Morgan desenvolvem a álgebra da lógica, os trabalhos de Frege 
influenciam as pesquisas de Russel e Whitehead, que adotam o simbolismo de Peano, 
mais simples que o de Frege. Hilbert elabora os critérios que permitem separar nos 
sistemas lógicos a metalógica destes sistemas. 
Entretanto apesar da variedade dos elementos da lógica contemporânea, o 
estudo das estruturas lógicas da Matemática desenvolve-se através dos conceitos, 
juízos ou relações e o raciocínio. Estes, por sua vez, representam-se, quaisquer que 
sejam os meios, como termo, proposição e argumento. 
Enquanto termo é a expressão do conceito, a proposição expressa um juízo e o 
argumento é a expressão do raciocínio. A leitura de cada um desses seis elementos 
tem interesse para facilitar a compreensão das estruturas lógicas da Matemática. 
Segundo Aristóteles, a percepção de um objeto tal como ele é, como forma ou 
imagem, constitui o primeiro plano de expressão de uma idéia. É uma operação de 
simples apreensão que produz um conceito. A palavra idéia, do grego idea, forma, 
imagem, significa noção e conceito, do latim conceptium, aquilo concebido na mente. 
Quando o espírito, do latim spiritus, sopro, faculdade de compreender, conhecer, 
imaginar, apreende duas idéias de um conjunto de idéias e as aproxima, ele as 
compara. Conseqüentemente uma avaliação entre elas é estabelecida. Deste 
processo, segundo Jacques Maritain, professor do Instituto Católico de Paris (1882 – 
1973), decorre um juízo: ato do espírito pelo qual ele une quando afirma ou separa 
quando nega. Portanto, um juízo é uma operação pela qual formamos uma sentença 
afirmando ou negando algo a respeito de um sujeito. 
Para Aristóteles, a sentença que expressa um juízo deve ter a forma sujeito- 
verbo ser - predicado num nível de concordância tal que a asserção ou será verdadeira 
ou será falsa. O sujeito e o predicado são termos que expressam um conceito portador 
de significado com determinada realidade. O verbo ser, ligando o sujeito ao predicado, 
indica a qualidade atribuída ao sujeito ou, qual comparação ou relação que está sendo 
estabelecida entre o sujeito e o predicado. 
 
 
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A idéia de relação inclui-se na categoria dos conceitos que aprendemos a 
denominar como primitivos ou aqueles aceitos independentes de definição. 
 
 
§ 1. REPRESENTAÇÃO DE UM CONCEITO 
 
 
A representação material ou simbólica de um conceito ocorre através dos 
termos, partes ou sinais sensíveis da expressão de uma idéia. 
Por exemplo, números são idéias representadas através de símbolos chamados 
numerais. Assim 2, dois, II,..., - -, 8 - 6, deux, two,... , são numerais de um mesmo 
número: representam à mesma idéia de quantidade. Para outro exemplo, círculos, 
quadrados, triângulos também se representam naturalmente. Entretanto, idéias como 
infinito, existência ou eternidade, para as quais não há imagem interior, se representam 
pelo sentido ou significação de que são portadoras. 
Enquanto conceitos como liberdade, dignidade, sexualidade, propriedade ou 
divindade, variam de significado entre os povos ou se alteram no tempo, os conceitos 
matemáticos procuram a universalidade e perfeição. A versão original da demonstração 
do teorema de Pitágoras, a idéia de círculo ou o conceito de número primo, por 
exemplo, desde os tempos de Euclides jamais sofreram correções, mas extensões. 
Um conceito é tanto mais perfeito quando procura corresponder de forma exata 
ao objeto apreendido. Assim ele poderá ser claro ou distinto. Será claro se os 
elementos apreendidos pela mente são capazes de distingui-lo em qualquer outra 
classe de conceito. Enquanto a idéia de triângulo é clara, pois os elementos percebidos 
são suficientes para distingui-lo de qualquer outro conceito, como tigres ou círculos, a 
idéia de polígono está obscura, pois não oferece elementos distintivos para diferenciá- 
lo, já que um polígono pode ser um triângulo, um quadrado, um losango,... 
Um conceito será distinto quandoapresenta todos os elementos necessários à 
sua individuação. Certamente, se um conceito é distinto, ele será claro. Mas nem todo 
conceito claro é necessariamente distinto. Enquanto a idéia de triângulo retângulo é 
distinta e clara, a idéia de triângulo é clara, mas não é distinta. 
Os conceitos podem ser singulares, particulares ou universais. Será singular se 
representa um só elemento distinto. Por exemplo, o conceito de número cinco ou 
Pitágoras é um matemático do século V a.C. Será particular quando representa alguns 
 
 
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elementos de determinado conjunto. O conceito de número impar no contexto dos 
números inteiros positivos ou o conceito de triângulo retângulo no universo dos 
triângulos são exemplos. 
Será universal quando representar toda uma classe. 
 
 
§ 2. EXTENSÃO OU COMPREENSÃO I 
 
 
Segundo Maritain, a extensão de um conceito é a sua amplitude em relação 
aos objetos do pensamento aos quais se aplica e agrupa em sua unidade. 
Em geral a extensão se dá pelos desdobramentos aos qual a idéia convém ou 
se aplica, sendo tanto maior de acordo com o número de objetos abrangidos. Assim ela 
é identificada com a quantidade. A idéia de número inteiro, por exemplo, têm extensão 
universal, pois abrange, citando algumas extensões, os números inteiros: positivos, 
negativos, não positivos, não negativos, não nulos, os pares, ímpares, primos, 
múltiplos, divisores, ou as operações algébricas. A idéia de triângulo também tem 
extensão universal, pois se compõe pelos triângulos: eqüiláteros, aqueles de lados 
iguais ou congruentes; isósceles, que tem dois lados iguais; escalenos, de lados com 
medidas diferentes; acutângulos, aqueles com ângulos internos agudos; obtusângulos, 
ângulo interno obtuso e dois agudos; retângulos, ângulo interno reto e dois agudos; 
triângulos inscritos, circunscritos, pitagóricos,... 
Quando dois conceitos têm a mesma extensão eles se dizem equivalentes. Os 
conceitos triângulo eqüilátero e triângulo eqüiângulo são equivalentes, pois o triângulo 
eqüilátero, tendo todos os lados de mesma medida, terá todos os ângulos iguais. 
A compreensão de um conceito, por sua vez, se dá pelos elementos nele 
contidos ou o conteúdo da idéia: é a amplitude do conceito em relação aos elementos 
que o caracterizam ou da identificação do seu significado quanto à qualidade. Por 
exemplo, uma restrição na extensão da idéia de polígono para figura poligonal 
triangular, aumenta a compreensão, pois diz que a figura é um triângulo. Uma nova 
redução para figura poligonal regular determina um triangulo eqüilátero. Através de 
sucessivas restrições na extensão, digamos figura geométrica, é possível passar para 
um conceito particular, digamos, triângulo eqüilátero. 
 
 
 
 
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Enquanto a extensão torna-se cada vez menor, a compreensão em cada etapa é 
cada vez maior. Por exemplo, os conceitos número cinco, número impar, número 
inteiro, número racional, numero real estão em ordem crescente de extensão e em 
ordem decrescente de compreensão. 
Portanto, qualidade e quantidade relacionam-se do seguinte modo: quanto maior 
a extensão, menor será a compreensão e, quanto maior a compreensão, menor a 
extensão. 
 
 
§ 3. EXTENSÃO OU COMPREENSÃO II 
 
 
 Os conceitos matemáticos são de extensão infinita. 
Mas as propriedades que definem o objeto matemático, ou sua compreensão, 
são em número limitado e bem caracterizado. O conceito de figura geométrica (F), por 
exemplo, é mais extenso que o conceito de polígono (P). O conceito de polígono é 
mais extenso que o conceito de quadrilátero (Q) que é mais extenso que o conceito de 
retângulo (R). Assim Figura Geométrica tem compreensão menor que o conceito de 
polígono. Polígono tem compreensão menor que o conceito de quadrilátero que tem 
menor compreensão que o conceito de retângulo. Enquanto o conceito cresce em 
extensão ele decresce em compreensão. 
 
 
 F 
 P 
 Q 
 R 
 
 
 
I 
 
 
 
 
 
 
Desde que as extensões de dois conceitos A e B estejam contidas em um 
conceito mais geral C, os conceitos A e B dizem-se coordenados em relação a C. 
Os conceitos de retângulo, quadrado, quadrilátero e paralelogramo, estão 
coordenados em relação ao conceito de polígono. 
 
 
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Os conceitos de Número Par (P) e Número Ímpar ( I ) - veja Diagrama 1 - estão 
coordenados em relação ao conceito de Numero Inteiro Positivo. Os conceitos de 
triangulo retângulo (TR) e de triangulo isósceles (TI ) estão coordenados em relação ao 
conceito de triangulo. Ilustrado pelo Diagrama 2, pode existir um triângulo retângulo e 
isósceles embora o triângulo isósceles não seja, necessariamente, retângulo. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
P 
 
 
 
 
 
 
I 
 
 
TR 
 
 
TI 
 
 Diagrama 1 Diagrama 2 
 
 
§ 4. REPRESENTAÇÃO DE UM TERMO OU CONCEITO II 
 
 
O termo é a representação material ou simbólica de um conceito. 
O termo significa o conceito: ele o substitui. A idéia deixa de ser uma operação 
mental para se transformar num sinal através de palavras, sons ou figuras. Assim as 
idéias podem ser registradas, compartilhadas e comunicadas. 
O termo deve ser considerado segundo a compreensão, função e extensão. 
Segundo a compreensão, ele é unívoco quando substitui a idéia de um único 
objeto ou a idéia de uma classe de objetos. São exemplos: o desenho da figura de um 
círculo, a idéia de ponto e a idéia de conjunto quando representadas por uma letra 
maiúscula do alfabeto latino ou a idéia de reta representada por uma letra minúscula. 
Ainda segundo a compreensão será análogo se aplicado a idéias relacionadas 
por semelhança ou linguagem figurada e será equivoco se estiver se referindo, por 
exemplo, a conceitos como rosa, cor e rosa, flor. 
Segundo Aristóteles, o termo exerce a função sujeito ou função predicado de 
acordo com a extensão ou aos objetos aos quais se refere. Assim o sujeito é universal 
se ele identifica todos ou nenhum elemento de um conjunto. É particular se faz 
referência a apenas alguns elementos e singular quando trata apenas de um elemento. 
O predicado, segundo a extensão, depende da qualidade do enunciado ou dele ser 
 
 
 
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afirmativo ou negativo. Assim, enquanto as sentenças afirmativas têm predicado 
particular, as sentenças negativas têm predicado universal. 
Na sentença todos os triângulos (A) são triláteros (B), o sujeito triângulo é 
tomado em sentido universal. O predicado trilátero tem sentido particular, pois não se 
afirma todos os triláteros são triângulos, mas somente alguns triláteros são triângulos, 
conforme o Diagrama 1, abaixo a esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama 1 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
 B 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama 2 
 
 
AB 
Na sentença negativa alguns triláteros não são triângulos, veja Diagrama 2, 
enquanto o sujeito é tomado em sentido particular, o predicado tem sentido universal, 
pois o ser triângulo é negado a todos os triláteros aos quais faz referência. 
Do mesmo modo se for dito que nenhum triangulo é trilátero, nega-se a todos os 
triângulos a possibilidade de pertencer ao conjunto dos triláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AS PROPOSIÇÕES SIMPLES OU CATEGÓRICAS 
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Aristóteles ensinava que a sentença que expressa um juízo deve ter a forma 
sujeito-verbo ser - predicado onde um termo, o sujeito, a idéia da qual se afirma algo, – 
liga-se ao outro, o predicado, a idéia que se afirma do sujeito, num nível de 
concordância tal que a asserção ou será verdadeira ou será falsa. 
Decorre da conceituação aristotélica que se excluem de concordância lógica as 
frases exclamativas, interrogativas ou imperativas, pois estas não se classificam em 
verdadeiras ou falsas. Também se devem excluir frases com mais de um sentido. 
De fato. A frase as rosas são vermelhas é ambígua, pois tanto pode significar 
que algumas rosas são vermelhas quanto todas as rosas são vermelhas. Deve se 
também evitar dizer frases como as rosas não são vermelhas, pois a ela tanto pode ser 
entendida como algumas rosas não são vermelhas quanto nenhuma rosa é vermelha. 
Toda proposição enuncia a inclusão ou exclusão do predicado no sujeito: se o 
atributo dado ao sujeito faz parte ou não da compreensão deste sujeito. O sujeito e o 
predicado são termos que expressam um conceito portador de significado com 
determinada realidade. O verbo ser, ou qualquer outro verbo que faz a ligação entre o 
sujeito e o predicado, indicando a qualidade atribuída ao sujeito ou, qual comparação 
ou, qual relação existe entre eles, é chamado conceito relacionante ou relação. 
Nos enunciados: 2 é número par; y = x2 - 3x + 2 ; x + y = 7; Guilherme François 
L Hospital escreveu em 1696 Analysis dês Infiniment Petits, o primeiro livro texto de 
Cálculo publicado no mundo, cada uma dessas sentenças contém um modo de 
relacionamento entre o sujeito e o predicado. Como Júlia e Luciana se relacionam? 
São primas. Qual relação existe entre x + y e 7? São iguais. 
A idéia de relação ocorre quando elementos de certos conjuntos, que podem ser 
números, idéias, pessoas, fatos,... , estão ligados por expressões do tipo... é prima de 
.., ... é igual a ..., ...é maior do que ..., ... é autor de ... , ... é elemento de ... 
Outras palavras relacionantes são: portanto, assim, ou, então, e, se, entre, nem, 
não, todo, há, existe,... 
 
 
 
 
 
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Para Aristóteles, as sentenças que emitem um juízo devem ser declarativas, pois 
em nome da clareza e da precisão devem enunciar sem ambigüidades a inclusão ou a 
exclusão do predicado no sujeito. 
As sentenças assim entendidas vão se designar como sentenças declarativas, 
proposições simples, atômicas ou categóricas. 
 
 
EXEMPLO 1 - OS ELEMENTO DA CONCEITUAÇÃ ARISTOTÉLICA. 
 
 
E 1 A – Conceito / Termo: .................. Homem, país, grandeza, número, conjunto, 
função, função contínua, triângulo, triângulo retângulo, livro, função seccionalmente 
contínua, polígono regular, polígono regular convexo inscrito em um circulo,,,, 
 Juízo / Proposição: ................ Todo numero racional inteiro é racional; 
 f(x) = x
2
 é uma função contínua; 
 Pingüins são aves,... 
 
 
 
 
 Raciocínio / Argumento:... Toda função diferenciável é contínua. 
 f(x) = x
2
 é uma função diferenciável 
 Logo:.................................... f(x) = x
2
 é contínua. 
 
 
E 1 B - A sentença cinco é maior do que 2, simbolizada 5 > 2 
Através da relação ... é maior do que... , de símbolo “>”, ao comparar as 
quantidades 5 e 2, estabelece uma verdade onde o numeral 5 desempenha o papel de 
sujeito e o numeral 2 significa o predicado. O esquema abaixo ilustra os elementos da 
proposição 5 > 2: 
Idéia = número Idéia = número 
 
 
 
Proposição (juízo) 
 
 
s 
5 
 
 
Termo Sujeito 
> 2 
 
 
Termo Predicado 
 
 
 
Valor lógico verdadeiro 
 
Relação entre o sujeito e o predicado 
 
 
 
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E 1 C - São sentenças declarativas ou proposições: 
P1: 5 é um número inteiro P2:
3
 é um número racional P3: 7 > 3 P4: 12 – 
4 
Comentário: 
29 
Adotaremos a notação L(P) = V para indicar o Valor Lógico Verdadeiro de uma 
proposição ou, L(P) = F, para significar sua falsidade. Assim, L(P1) = V, L(P2) = V, 
L(P3) = V e L(P4) = F. 
Outra notação conveniente é 1 para designar uma proposição verdadeira e 0, se 
a proposição é falsa. Assim, L(P1) = 1, L(P2) = 1, L(P3) = 1 e L(P4) = 0. 
 
 
EXEMPLO 2 – SENTENÇAS ABERTAS I 
 
 
E 2 A SÃO SENTENÇAS DECLARATIVAS : 
Q1: Existe um número inteiro x tal que x > 3 Q2: Existem rosas vermelhas 
Q3: Qualquer que seja x, x
2
3x + 2 = 0 Q4: Para todo x,  (x) = x 
R1: Se um metal é aquecido, ele se dilata. R2: Se a = 3, b = 3 e c = 3 então a = b = c. 
R3: Duas retas se interceptam em um e apenas um ponto. 
R4: Qualquer figura pode ser deslocada sem alteração de forma e tamanho. 
S1: Todos os triângulos são triláteros S2: Nenhum triângulo é quadrilátero 
S3: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180 graus. 
S4: Todos os triláteros são triângulos. 
Comentário: 
 L(Q1) = V, L(Q2) = V, L(Q4) = V. L(Q3) = F, pois uma equação do segundo grau tem no 
máximo dois valores que a satisfazem. Entretanto, se tais números referem-se ao 
conjunto A = {1, 2} então, em relação a este conjunto, a propriedade é verdadeira. 
 L(R1) = V, pois trata de uma propriedade característica dos metais. L(R2) = V, 
L(R3) = V, L(R4) = V, L(S1) = V, L(S2) = V, L(S3) = V, L(S4) = F. 
 
 
E 2 B - NÃO SÃO SENTENÇAS DECLARATIVAS: 
X1: Que dia é hoje? X2: Proibido ultrapassar. X3 : Feche a porta. X4: Ah! 
 
 
 
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X6: Esplendido! X7: As rosas são vermelhas. W1: x + 5 = 7 W2: x + 3 > 5 
 
W3: x
3
 = 5 x
2
W4: x
2
– 3x + 2  0 W5: sen x = 
 
Comentário: 
 
3 , W6: sen x = 0,866025403 
2 
Decorre da conceituação aristotélica que se excluem de concordância lógica frases 
interrogativas (X1), exclamativas (X4 e X6), imperativas (X2 e X3) e ambíguas (X7). 
 
As sentenças W1, W2, W3, W4, W5 e W6, chamadas sentenças abertas ou 
sentenças abertas simbolizadas, também se excluem de concordância lógica, pois elas 
representam grandezas variáveis como igualdades ou desigualdades,e assim não são 
susceptíveis de se classificarem em verdadeiras ou falsas. 
 
 
 
§ 1. SENTENÇAS ABERTAS I 
 
 
As grandezas podem ser constantes ou variáveis. 
São simbolizadas pelas letras iniciais do alfabeto, se elas conservam sempre o 
mesmo valor, ou pelas últimas letras se elas são variáveis, segundo uma tradição 
iniciada, pode-se dizer, pelo matemático, físico e filósofo francês René Descartes (1596 
– 1650), que costumava representar as incógnitas ou variáveis de um problema pelas 
últimas letras do alfabeto latino, sempre utilizando a letra x minúscula. 
Na Matemática as sentenças abertas representam-se sob a forma de equações 
ou inequações. A palavra equação, do latim aequatio, designando toda sentença aberta 
que expressa uma igualdade, tem a mesma raiz de igual, do latim aequalis, e 
igualdade, do latim aequalitas, aequalitatis. Por igual deve-se entender tudo aquilo que 
tem a mesma natureza, qualidade ou quantidade. 
Numa sentença aberta, um ou mais símbolos, cada deles denominado variável, 
guardam o lugar onde certos elementos podem ser colocados. Algumas substituições 
dão afirmativas verdadeiras e outras, afirmativas verdadeiras. O conjunto de todos os 
números, ou de um modo geral, elementos de um dado Conjunto Universal U, também 
chamado Conjunto Universo, que podem ser substituídos numa sentença aberta é 
chamado Domínio D de definição da sentença. O conjunto de todos os números, ou 
 
 
 
 
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elementos, de D que satisfazem a sentença aberta – isto é, aqueles que a tornam uma 
sentença verdadeira - constituem o conjunto Solução, de símbolo S. 
Na pesquisa do conjunto-solução S de uma sentença aberta em relação a um 
dado conjunto universo U pode ocorrer que nenhum elemento do conjunto U satisfaz a 
sentença, e neste caso S é chamado conjunto vazio e simbolizado por S = ou S = { }. 
Pode ocorrer também que S se constitui de apenas um elemento de U ou S se constitui 
mais de um elemento conjunto U. Se todos os elementos, ou números, de U satisfazem 
à sentença, isto é S = U, então ela se diz uma identidade, uma lei ou uma tautologia. 
Por exemplo, dado U = {1, 2}, observa-se que todos os elementos de U podem 
ser substituídos na sentença x + 5 = 7. Assim o domínio D de definição da sentença é 
D = U e para x = 2 obtemos uma sentença declarativa verdadeira, que é falsa para o 
outro valor de D. Assim S = {2}. Analogamente, substituindo x por 1 ou x por 2 na 
sentença x
2
 3x + 2 = 0, observamos que cada um deles produz uma sentença 
verdadeira. Como S = U= {1.2} essa equação se diz uma identidade. 
 
 
§ 2. SENTENÇAS ABERTAS II 
 
 
Quer represente fatos, conceitos ou idéias, determinar os elementos que satisfazem 
uma sentença aberta ou resolvê-la em relação a um dado conjunto universo U é 
procurar expressões mais simples e equivalentes à situação original. 
Assim a resolução de uma sentença acarreta substituições de termos por outros 
que lhe são equivalentes numa seqüência tal que os elementos que a satisfazem, ou 
que transformam numa sentença verdadeira, tornam-se perfeitamente identificáveis. 
Portanto x + 5 = 7 equivale a x + 5 – 5 = 7 – 5 ou x = 2. Logo x + 5 = 7 é 
verdadeira para x = 2 e falsa para qualquer outro valor atribuído à variável x. 
Analogamente a equação x2 - 3x +2 = 0, através de manipulações 
algébricas adequadas, pode ser substituída por (x – 2)(x – 3) = 0. De acordo 
com o principio: se o produto entre duas quantidades é nulo então pelo menos 
uma das quantidades é nula, segue-se que (x – 2)(x – 3) = 0 equivale a afirmar 
que x – 2 = 0 ou x – 3 = 0. Daí decorre ser x = 2 ou x = 3 os elementos que 
 
 
 
 
 
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satisfazem a sentença x2 - 3x +2 = 0 e pode-se observar que qualquer que seja o 
conjunto universo U, D = U e S = { 2, 3 }. 
 
 Muitas deduções, entretanto, podem ser simplificadas através de uma fórmula: 
toda equação que expressa uma regra, principio ou fato geral. 
 
É o que ocorre com a equação do 1º grau a x + b = 0, com a  0. O elemento 
b . 
que a satisfaz é dado pela da fórmula x = -a 
Analogamente a determinação dos elementos que satisfazem a equação do 2º 
  2 4 
grau ax
2
+ bx + c = 0, é simplificada pela fórmula 
são números quaisquer. 
x  b b 
2a 
ac , onde a  0, b e c 
 
 
 
 
 
 
E 3 A – 
 
 
EXEMPLO 3 - SENTENÇAS ABERTAS II 
A Sentença 5x - 8 = 4 (2x - 6) - 3x + 7 é falsa para qualquer valor de x. 
De fato. De 5x - 8 = 8x - 24 - 3x + 7 decorre 5x - 8 = 5x – 17. 
Daí, 5x - 5x = -17 + 8 ou 0 = -11. A equação é chamada Contraditória, pois 
nenhum número, qualquer que seja, jamais a verifica. 
Em termos do conjunto-solução S diz-se que ele é vazio: S = 
E 3 B - 
A sentença 5x - 8 = 4 (2x - 6) - 3x + 16 é verdadeira para qualquer x. De fato. 
De 8 = 8x - 24 - 3x + 16 decorre 5x - 8 = 5x – 8. Daí 5x - 5x = 8 – 8 ou 0 = 0. 
A equação é chamada uma identidade. Ela sempre se verifica qualquer que seja 
o valor de x em qualquer conjunto numérico U: S = U. 
E 3 C – 
Verifica-se que nenhum número x do conjunto N = {0, 1, 2, 3,...} satisfaz a 
equação x2- 3x + 1 = 0. De fato. 
Através da fórmula de resolução da equação ax
2
+ bx + c = 0, onde a  0, b e c 
  2 4 
são números quaisquer e x 
 
b24ac  (3)2
 b b 
2a 

ac , temos a = 1, b = - 3 e c =1. Daí, 
4.(1).(1)  9 4 5 . Portanto, os valores de x que tornam a 
 
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sentença dada numa sentença verdadeira são dados por x 
3
 5 oux 
3
 5 , que 
2 2 
não são elementos do conjunto N. Assim S = . 
E 3 D - 
 
Considerando que o conjunto universo da equação 
 
N = {1, 2, 3, 4,...}, observamos: 
161 
x 5 = 7 é o conjunto N, 
(1) x = 5 não pode ser substituído na equação, pois gera a indeterminação
161
= 
0 
7. Assim, o valor x = 5 deve ser excluído do domínio D de definição da equação. 
(2) Qualquer valor diferente de 5 gera afirmativas que podem ser classificadas 
em verdadeiras ou falsas; 
(3) O domínio D de definição da equação vai se constituir, portanto, de todos os 
valores de x diferentes de 5: D = N – { 5 }. 
(4) Resolvendo a equação encontramos que o único elemento de D que torna a 
sentença aberta numa sentença verdadeira é x = 28. Daí S = {28}. 
E 3 E – 
São Exemplos de Identidades: 
I) x + 2x = 3x II) 2x + 5 = 5x +10 – 3x – 5 
III) (x + 1)
2
 = x
2
 + 2x + 1 
V) x
2
– 4 = (x – 2) (x + 2) 
IV) (x – 3)
2
 = x
2
– 6x + 9 
VI) x
3
 - 3
2
 = (x – 3) (x
2
 + 3x + 9) VII) x
5
– 2
5
 = (x – 2) (x
4
 + 2x
3
 + 4x
2
 
VIII) – (–x) = x 
 
 
§ 3. QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS 
 
 
Embora as sentenças abertas jamais se classifiquem como verdadeiras ou falsas, se 
quantificadas elas podem ser qualificadas ou tornarem-se sentenças declarativas. 
Os quantificadores matemáticos são o quantificador universal, de símbolo “”, 
lido como para todo... ou qualquer que seja..., o quantificador existencial “”, que se lê 
existe..., existe algum..., têm o sentido de mais de um ou muitos, mas não todos e o 
quantificadorexistencial especial “ ! ” que lido como existe apenas um .... 
 
 
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EXEMPLO 4 - QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS EM 
U =  = { 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
E 4 A SENTENÇAS QUANTIFICADAS VERDADEIRAS I 
i) x, (x + 1)
2
 = x
2
 + 2x + 1 : para todo x, (x + 1)
2
 = x
2
 + 2x + 1 
ii) x  N / x + 2 = 5 : existe pelo menos um x  N tal que x + 2 = 5 
iii) |x  N / x + 2 = 5 : existe apenas um x  N tal que x + 2 = 5 
iv) x  N, x
2
 + 1 > 0 : qualquer que seja x, x
2
 + 1 > 0 
v) x  N,  (x) = x : para cada x,  (x) = x 
vi) x  N / x
3
 = 5x
2
 : existe algum x  N tal que x
3
 = 5x
2
. 
34 
Se o conjunto universo U não for explicitado, como em (i), conjeturamos que a 
sentença tem validade qualquer que seja o conjunto universo. 
 
 
 
E 4 B SENTENÇAS QUANTIFICADAS VERDADEIRAS II 
i) x  N, x + 2 = 5 
iii) |x  N / x
3
 = 5x
2
 
v) x  N / x
2
 + 1 > 0 
ii) x  N, x
3
 = 5x
2
 
iv) x  N / (x + 1)
2
 = x
2
 + 2x + 1 
vi) x  N / (x) = x 
 
 
 
E 4 C AVALIAÇÃO LÓGICA DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS 
i) x  N/ x + 3 = 10 (F) ii) x  N / x + 3 = 5 
 
 
 
 
 
(V) 
iii) x  N / x + 3 < 10 (V) iv) x  N / x + 3  5 
 
(V) 
v) x  N / x + 3  7 (F) 
vii) x  N / x
2
 = 4 (V) 
vi) x  N / x
2
 = 4 (F) 
 
 
EXEMPLO 5 - QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS PARA U =  = { 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
E 5 A – As soluções da sentença x2 3x + 2 = 0 são x = 1 ou x = 2. Assim: 
i) x  N, x
2
 3x + 2 = 0 (F) 
 
 
 
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ii)  x  N / x
2
 3x + 2 = 0 : Existe elemento que não pertence ao conjunto N que é 
solução da equação x2 3x + 2 = 0 (F) 
iii)  x  N, x
2
 3x + 2 = 0 (F) iv) | x  N / x
2
 3x + 2 = 0 (F) 
v) x  N / x
2
 3x + 2 = 0 (V). 
E 5 B – A sentença 5x + 2  12 
i) x  N, 5x + 2  12 (F) ii) x  N / 5x + 2  1 
(V) 
iii) |x  N / 5x + 2  12 (F) iv) x  N , 5x + 2  12 
(F) 
Note-se: 
(1) Adicionando-se 2 a ambos os membros da desigualdade 5x + 2  12, 
decorre 5x + 2  2  12  2 e ela se preserva como 5x  10; 
(2) Dividindo-se ambos os membros de 5x  10 por 5, segue-se x  2. 
Portanto, os números x de N que satisfazem x  2 são S = {0, 1, 2}. 
Note-se que está implícito neste raciocínio, como em todo raciocínio 
matemático, um interessante lema matemático: o melhor modo de resolver um 
problema novo é procurar reduzi-lo a um, ou mais problemas já conhecidos. 
Assim através das conseqüências técnicas decorrentes dos Axiomas que 
Euclides enuncia nos Elementos, 5x + 2  12 tornou-se equivalente a x  2. 
E 5 C - 
i) x  N, x (x + 1) = x
2
 + x (V) ii) x  N / x (x + 1) = x
2
 
+ x 
(F) 
 
iii) |x  N / x (x + 1) = x
2
 + x (F) iv) 
x  N / 
1 
x  3 (V) 
2 
 
v) |x  N / 
1 
  N (V). Note-se que esta expressão só é verificada para x = 0. 
x 1 
x x x 
i) x  N, 2 
x 
  (F). Note-se que se x = 0, encontramos 0 0. 
3 5 
x x 
ii) x  N / 2   (V) 
3 5 
x x x 
iii) |x  N / 2   (F). Observe-se que a expressão não se verifica para x = 0. 
3 5 
 
 
 
 
 
 
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§ 3. O CONTEÚDO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES I 
36 
 
 
As proposições simples, chamadas por Aristóteles de categóricas, classificam- 
se quanto a extensão ou quantidade e a qualidade. 
A qualidade de uma proposição é identificada pela forma como é enunciada: se 
é afirmativa ou negativa. Assim as proposições qualitativas ou são afirmativas, se o 
sujeito e o predicado concordam entre si, ou negativas, quando o predicado é negado 
ao sujeito. 
São exemplos de proposições categóricas quanto à qualidade: 
 
 
AFIRMATIVAS 
 
 
 
NEGATIVAS 
 
 
Todos os triângulos são triláteros 
 
 Alguns triângulos são retângulos. 
Nenhum triangulo é quadrado 
 
Alguns triângulos não são isósceles. 
 
 
As proposições quantitativas são do tipo Universal se o sujeito é afirmado em 
toda a sua extensão. Se o sujeito se afirma em extensão restrita as proposições 
quantitativas são chamadas Particulares. Se estiverem se referindo a um só elemento 
são chamadas Singulares. 
Como a extensão de uma proposição está subordinada à extensão do termo 
sujeito, isto significa que para determinar a extensão de uma proposição, basta analisar 
os quantificadores do sujeito. 
Assim, são exemplos de proposições categóricas quanto à extensão: 
 
 
 
UNIVERSAIS 
 
 
 
PARTICULARES 
 
 
 
SINGULARES 
 
 
 
 Todos os triângulos são triláteros 
 
 Nenhum triângulo é quadrado. 
Alguns triângulos são retângulos 
 
Alguns triângulos não são isósceles. 
O Triangulo ABC é retângulo. 
 
O Triangulo ABC não é isósceles. 
 
 
 
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§ 4. O CONTEÚDO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES II 
37 
 
 
Desde que a conceituação aristotélica formulou os quatro modos de apresentação das 
proposições lógicas, convencionou-se classificá-las de acordo com a combinação dos 
critérios da qualidade e da extensão em A, E, I, O. 
A e I são as duas primeiras vogais da palavra afirmo. 
E e O são as vogais de nego. 
Os quadros abaixo resumem os quatro tipos de proposições categóricas da 
formulação aristotélica 
TIPO EXTENSÃO 
A UNIVERSAL 
E UNIVERSAL 
QUALIDADE 
AFIRMATIVA 
NEGATIVA 
FORMA GERAL 
TODO A É B 
NENHUMA A É B 
I PARTICULAR AFIRMATIVA ALGUM A É B 
O PARTICULAR NEGATIVA ALGUM NÃO É B 
 
 
A partir do quadro geral acima se pode observar como o termo sujeito e o termo 
predicado é distribuído para cada tipo de proposição. 
A partir do quadro geral abaixo pode-se verificar a distribuição o sujeito e do 
predicado para cada tipo de proposição: 
1. As proposições do tipo A e E tornam o sujeito universal e as sentenças do tipo 
E, O torna o predicado universal; 
2. As proposições do tipo I e O não distribuem o sujeito e as proposições do tipo 
A e I não distribuem o predicado. 
 
 
 
TIPO EXTENSÃO 
 
A UNIVERSAL 
 
E UNIVERSAL 
 
 
 
QUALIDADE 
 
AFIRMATIVA 
 
NEGATIVA 
 
 
 
EXTENSÃO 
DO SUJEITO 
UNIVERSAL 
 
UNIVERSAL 
 
 
 
EXTENSÃO DO 
PREDICADO 
PARTICULAR 
 
UNIVERSAL 
I PARTICULAR 
O PARTICULAR 
AFIRMATIVA 
NEGATIVA 
PARTICULAR PARTICULAR 
PARTICULAR UNIVERSAL 
 
 
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E 6 A - 
AFIRMAÇÃO 
 
 
 
EXEMPLO 6 - PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
38 
 
UNIVERSAL Todos os astronautas