atividades de geometria ensino médio

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APÊNDICE A - CADERNO DE OFICINA COM ATIVIDADES DE GEOMETRIA 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA 
 
 
CADERNO DE OFICINA COM 
ATIVIDADES DE GEOMETRIA 
 
AUTORES: 
Lúcia Helena da Cunha Ferreira 
João Bosco Laudares 
 
 
Colaboradores: 
Adilson Tadeu da Cunha Ferreira 
Ayllana da Cunha Ferreira 
Thiago Freire Alves Ferreira 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2010 
PREFÁCIO 
 
 
Esse produto é resultado de uma pesquisa realizada no mestrado de Ciências e Matemática da 
PUC - Minas e componente da Dissertação de Mestrado da Professora Lúcia Helena da Cunha Ferreira 
e orientada pelo Professor Dr. João Bosco Laudares. 
As atividades apresentadas nesse caderno de oficina se referem ao desenvolvimento do 
pensamento geométrico com o estudo de “vistas“ de uma figura e sua perspectiva, exploração dos 
sólidos de revolução na obtenção pelos alunos da habilidade de visualização. 
Este material constitui um produto criado a partir de atividades referenciadas na “Teoria de 
van Hiele” (1986) e elaboradas segundo os parâmetros de João Pedro da Ponte (2003) para a 
“atividade investigativa” em oficinas pedagógicas. 
Os métodos de ensino e aprendizagem utilizados privilegiaram a manipulação de material 
concreto e o uso de um software livre denominado POLY. 
O objetivo geral é de proporcionar um percurso para o estudante estudar Geometria a partir do 
domínio de espaço e manipulação de figura, quanto a sua identificação, o reconhecimento de suas 
propriedades seja pela descoberta por meio da investigação, seja pela dedução, consoante aos níveis 
crescente de dificuldade de van Hiele (1986). 
A estrutura do conteúdo trabalhado foi organizada por quatro oficinas constituída pela 
sequência de atividades seguintes: 
1ª- Identificação de figuras nos espaços bi e tri dimensionais e cálculo de área de figuras 
planas e espaciais (revisão); 
2ª- Representação de vistas de uma figura e sua perspectiva; 
3ª- Geração de sólidos de revolução com o uso de material concreto; 
4ª- O uso do software POLY no trabalho com poliedros. 
 
 
Os autores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro leitor, 
 
As atividades disponibilizadas neste livro foram elaboradas especialmente para desenvolver a 
criatividade e a visualização espacial para o desenvolvimento do pensamento geométrico. 
Cada seqüência apresenta-se seguida de seus objetivos para que o leitor possa compreender a 
lógica utilizada no desenvolvimento das tarefas. Contudo, outros focos podem ser estabelecidos de 
acordo com o nível de ensino aplicado e/ou objetivos delimitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
OFICINA I ....................................................................................................................... 101 
Atividade 1.1..................................................................................................................... 102 
Atividade 1.2..................................................................................................................... 103 
Atividade 1.3..................................................................................................................... 103 
Atividade 1.4..................................................................................................................... 104 
Atividade 1.5..................................................................................................................... 106 
Área do Retângulo ........................................................................................................... 106 
Área do Quadrado ........................................................................................................... 107 
Área do paralelogramo .................................................................................................... 108 
Área do triângulo ............................................................................................................. 108 
Área do hexágono regular ............................................................................................... 110 
Área do losango ................................................................................................................ 111 
Área do trapézio ............................................................................................................... 112 
Atividade 1.6..................................................................................................................... 112 
 
 
OFICINA II ...................................................................................................................... 115 
Atividade 2.1..................................................................................................................... 115 
Atividade 2.2..................................................................................................................... 118 
Atividade 2.3..................................................................................................................... 120 
Atividade 2.4..................................................................................................................... 122 
 
 
OFICINA III .................................................................................................................... 124 
Atividade 3.1..................................................................................................................... 124 
Atividade 3.2..................................................................................................................... 126 
Atividade 3.3..................................................................................................................... 127 
Atividade 3.4..................................................................................................................... 128 
 
 
OFICINA IV .................................................................................................................... 130 
Poliedros ........................................................................................................................... 131 
Atividade 4.1..................................................................................................................... 133 
 
 
 
 
 
 
101 
 
OFICINA I 
 
 
 
Identificação de figuras nos espaços bidimensional e tridimensional e cálculo de área de figuras planas 
e espaciais (revisão) 
 
 
- Objetivos 
. Estabelecer relações do cotidiano do aluno com as formas geométricas; 
. Desenvolver a capacidade de observar diferenças ou semelhança da forma dos objetos; 
. Calcular a área das principais figuras planas; 
. Visualizar as figuras planas e espaciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
Atividade 1.1 
 
 
Os objetos desenhados abaixo podem receber o nome de figuras geométricas bidimensionais ou 
tridimensionais. Complete com o nome geométrico correto. Se você souber outros nomes para a 
mesma figura, escreva-os também. Utilize o espaço destinado para o nome. Classifique também em 
bidimensional e tridimensional: 
 
 
OBJETO NOME 
BIDIMENSIONAL 
OU 
TRIDIMENSIONAL 
OBJETO NOME 
BIDIMENSIONAL 
OU 
TRIDIMENSIONA
L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
Atividade 1.2 
 
 
A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares:AB, BC, CD, DE e 
EA, contidos num mesmo plano. Eles não se cruzam e formam uma figura fechada. 
 
 
 
POLÍGONO Nº DE VÉRTICES Nº DE LADOS 
Nº DE ÂNGULOS 
INTERNOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 1.3 
 
 
1.3.1 Desenhe os seguintes polígonos: quadrilátero, hexágono, pentágono e octógono; 
 
 
1.3.2 A partir de um dos vértices trace todas as diagonais possíveis. 
A 
B 
C 
E D 
104 
 
1.3.3 Quantos triângulos que foram formados em cada um dos polígonos? 
Quadrilátero: ______________________________________________________________ 
Hexágono: ______________________________________________________________ 
Pentágono: ______________________________________________________________ 
Octógono: ______________________________________________________________ 
 
 
1.3.4 Discuta com seu colega e verifique qual a relação entre o número de lados e o número de 
triângulos que foi formado em cada um dos polígonos. Registre suas conclusões: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
1.3.5 Calcule a soma dos ângulos internos de cada polígono e registre no espaço abaixo. Lembre-se 
que a soma dos ângulos internos de cada triângulo é de 180°. 
 
 
1.3.6 Sendo n o número de lados, escreva a fórmula que nos permite calcular a soma dos ângulos 
internos de cada polígono? Registre a maneira que você usou para chegar a fórmula: 
 
 
Atividade 1.4 
 
 
Medir uma área é compará-la com uma unidade de área. 
Para medir uma área: 
 
 
1º passo - Escolhemos uma área para unidade de medida. Como por exemplo, a unidade a seguir: 
 
 
 
 
 
 
105 
 
2º passo - Determina-se o número de vezes que a unidade escolhida cabe nessa área. Esse número é a 
medida da área. 
 
 
 
 
 
1.4.1 No quadriculado, a medida do lado de cada quadradinho é 1,0 cm. 
Observe o espaço ocupado pelas figuras desenhadas nesse quadriculado e calcule a sua área. 
 
 
 
 
 
 
A medida da área é de 3 unidades 
106 
 
1.4.2 Enumere as figuras anteriores e registre as áreas encontradas: 
 
 
Figura 1 
 
 
Figura 2 
 
 
Figura 3 
 
 
Figura 4 
 
 
Figura 5 
 
 
Atividade 1.5 
 
 
- Área do Retângulo 
 
 
Usualmente chama-se um dos lados de um retângulo de comprimento (ou base) e o outro de 
largura (ou altura) e indica-se da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
107 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que esse retângulo contém 4 vezes 2 quadradinhos de 1cm de lado. 
 
 
Então a área deste retângulo é igual a _______________________ 
 
 
1.5.1 Calcula-se a área, multiplicando-se: _____________ x _____________. 
 
 
1.5.2 Daí a fórmula da área do retângulo é: A = ___ x ___. 
 
 
- Área do Quadrado 
 
 
Todo quadrado é um retângulo cujos lados possuem medidas iguais. Assim, chamamos de l a medida 
do lado do quadrado. 
 b 
h 
 
 
b = medida do comprimento (ou da base) 
h = medida da largura (ou altura) 
Cubra o retângulo a seguir com quadradinhos de 1 cm de lado, ou seja, com 
quadrados de 1 cm
2
 de área. 
108 
 
1.5.3 Área do quadrado é: A = _____ x ______ ou A = ______. 
 
 
- Área do paralelogramo 
 
 
Observe paralelogramo: 
 
 
 
 
 
1.5.4 A partir de suas observações e conclusões, qual a fórmula que nos permite calcular a área do 
paralelogramo, sendo b(base) e h(altura)? A = __________ 
 
 
- Área do triângulo 
 
 
1.5.5 Desenhe um triângulo qualquer. 
 
 
1.5.6 Qual a relação entre a área do retângulo e a área do triângulo? 
 
 
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
1.5.7 Podemos afirmar então que a área do triângulo é __________ da área do retângulo. 
 
 
109 
 
1.5.8 Sendo b(base) e h(altura), escreva a fórmula que nos permite calcular a área do triângulo: 
A = ___________________________________________________________. 
 
 
Observe agora o triângulo eqüilátero: 
 
 
 
 
 
1.5.9 Que tipo especial é o triângulo AHC e ABH?_______________________________________ 
 
 
1.5.10 Obtenha a altura do triangulo ABC:h=________________________________________(1) 
 
 
1.5.11 Substitua a altura que você encontrou no item anterior na fórmula encontrada para área de 
triângulo: 
 
 
A área do triângulo eqüilátero será dada pela fórmula: 
A = __________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
110 
 
- Área do hexágono regular 
 
 
 
 
 
1.5.12 Qual a medida de cada ângulo central do hexágono regular? 
 
 
1.5.13 Qual a relação entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular e a medida do seu 
lado? 
 
 
1.5.14 O hexágono regular é formado por 6 triângulos do tipo ___________ 
 
 
 
1.5.15 Sendo a o lado do hexágono regular, a sua área será dada pela fórmula: 
A = ___________. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
111 
 
- Área do losango: 
 
 
 
 
 
Observe o losango ABCD e responda: 
 
 
1.5.16 Observe os triângulos: ANB, AOB, BOC, BQC, COD, DPC, AOD E AMD e registre as suas 
conclusões. 
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
1.5.17 Qual a relação entre a diagonal DB e a base do retângulo PQ e a diagonal AC e a altura do 
retângulo?____________________________________________________________________ 
 
 
1.5.18 Qual a relação entre a área do losango ABCD e o retângulo MNQP? 
____________________________________________________________________________ 
 
 
1.5.19 Se D (diagonal maior) e d ( diagonal menor) do losango, qual a fórmula da área do losango: A 
= ___________________________________________________________________________ 
 
 
112 
 
- Área do trapézio: 
 
 
Agora você mesmo vai construir um trapézio. Não se esqueça de relacioná-lo a um dos polígonos que 
já estudamos. 
 
 
1.5.20 A partir da sua intuição e dos seus conhecimentos matemáticos, escreva a fórmula da área de 
um trapézio. A = __________. 
 
 
Atividade 1.6 
 
 
Resolva os problemas usando os conhecimentos adquiridos nestas atividades: 
 
 
1.6.1 Determina a área total da superfície do embrulho representado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
1.6.2 Os embrulhos da figura seguinte foram feitos com papel e atados com um fio. Cada um deles 
contém oito cubos todos iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Em qual dos embrulhos se gastou maior quantidade de fio? 
 
 
b) E em qual se gastou maior quantidade de papel ? 
 
 
c) Quantos embrulhos diferentes você conseguirá fazer se você tiver que embrulhar 12 cubos? 
. 
 
d) Com 8 cubos podemos fazer três tipos de embrulho. Que quantidade de cubos permite fazer apenas 
um só tipo de embrulho? 
 
 
1.6.3 A Francisca está construindo uma barra em que o padrão é formado por triângulos e quadrados, 
tal como está representado na figura seguinte. 
 
 
 
114 
 
a) Quantos quadrados e quantos triângulos cinzentos são necessários para obter uma barra com 78 cm 
de comprimento? 
 
 
b) De quantos quadrados e quantos triângulos cinzentosnecessitaria a Francisca se quisesse construir 
uma barra para colocar à volta de uma toalha com 1,08 m por 1,98 m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
115 
 
 OFICINA II 
 
 
Representação de vistas de uma figura e sua perspectiva 
 
- Objetivos 
 
. Visualizar a figura em suas diferentes formas; 
. Possibilitar ao aluno uma desenvoltura tanto nas suas formas de pensar e visualizar; 
. Desenvolver a sua noção de espaço e perspectivas; 
. Representar as vistas de um objeto dado na sua totalidade; 
. Reconhecer figuras geométricas idênticas em diversas posições; 
. Construir uma figura completa, através das vistas. 
 
 
 Atividade 2.1 
 
 
2.1.1 Observe o desenho da casa a seguir: 
 
 
 
 
 
Um engenheiro realizou os seguintes desenhos dessa casa nas diferentes posições (P,Q e R) conforme 
apresentação a seguir: 
 
116 
 
 
(P) 
 
 
 
(Q) 
 
 
 
(R) 
 
Complete a tabela identificando qual a posição do engenheiro ao fazer o desenho 
 
DESENHO P Q R 
POSIÇÃO 
 
 
2.1.3 Os sólidos seguintes têm as arestas escondidas. Trace a figura completa, à direita de cada um 
deles e traceje as arestas escondidas. 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
 
2.1.4 Três objetos diferentes estão representados, pela vista superior, como ilustração a seguir. 
Sabendo que ele foi construído utilizando cubos, descubra-os e registre as características de cada um 
deles. 
 
 
A parte em negrito está vazia: 
 
 
 
 
 
Atividade 2.2 
 
 
2.2.1 Observe as figuras espaciais a seguir: 
 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________________ 
 1 2 3 
119 
 
 
 
 
2.2.2 Apenas utilizando a visualização, quantos cubinhos há em cada sólido? 
 
 
(a) _________________ (c)__________________ 
 
(b)_________________ (d)__________________ 
 
 
2.2.3 Identifique os sólidos que não têm a forma de um cubo e registre quantos cubinhos faltam para 
completar as figuras? 
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
2.2.4 Existe relação entre o número de cubinho de uma das dimensões (largura, altura ou 
comprimento) do cubo com o total de cubinhos que formam o cubo? 
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
120 
 
2.2.5 Dos objetos dados, existe a possibilidade de encaixe entre eles? Se existir, quais são elas? 
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
2.2.6 Dos sólidos dados, desenhe de cada um deles, as vistas (como o objeto é visto): 
 
 
CIMA BAIXO 
LATERAL 
ESQUERDO 
LATERAL 
DIREITO 
FRENTE TRÁS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2.3 
 
As embalagens, a seguir, são as representações de alguns sólidos geométricos: 
 
121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.1 Desenhe as embalagens, dadas anteriormente, usando apenas os contornos delas: 
 
 
2.3.2 Imagine essas embalagens descoladas (abertas). Desenhe, no espaço a seguir, as superfícies 
planas de cada uma das embalagens acima. 
 
 
2.3.3 Observe os desenhos a seguir das vistas ( superior, inferior,frente,trás e lateral) de algumas 
figuras espaciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
122 
 
CIMA BAIXO LATERAL 
ESQUERDO 
LATERAL 
DIREITO 
FRENTE TRÁS 
a 
 
 
 
 
b 
 
 
 
c 
 
 
 
 
 
2.3.4 Desenhe, no espaço a seguir, as figuras geométricas resultante de cada uma delas: 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
Atividade 2.4 
 
 
Na figura a seguir, pequenos cubos estão unidos uns aos outros pelas faces, formando diversas figuras 
tridimensionais. Algumas dessas figuras são iguais entre si (iguais significa aqui congruentes, ou seja, 
123 
 
que se podem levar a superposição). Utilizando as letras de cada uma das figuras, liste as que são 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
124 
 
OFICINA III 
 
 
Geração de sólidos de revolução com o uso de material concreto 
 
- Objetivos 
 
. Estabelecer o conceito de sólidos de revolução através de manipulação (rotação) de figuras planas; 
. Desenvolver a capacidade de associar uma figura gerada com o sólido de revolução; 
. Reconhecer um sólido quando representado por “vistas” ou seu desenvolvimento no plano. 
 
- Materiais das atividades 
 
. Pedaço de isopor (20 cm x 20 cm) 
. Conjunto de bandeirinhas 
. Objetos do cotidiano: que lembrem sólidos geométricos, tais como: rolo de papel higiênico, latas, 
caixas, etc 
. Sólidos geométricos: com forma de cilindro, cilindro vazado, cone, tronco de cone, esfera, 
confeccionado em isopor ou papel cartão. 
. Rampa: construída com papelão ou madeira, com uma inclinação de cerca de 45°; 
. Folha com figuras planas que compõem a superfície do cilindro, do cone e demais sólidos que serão 
apresentados nas atividades. 
 
 
Atividade 3.1 
 
 
Nesta atividade serão utilizados alguns objetos do cotidiano, as bandeirinhas abaixo e a rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
125 
 
Conjunto de bandeirinhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.1 Encaixe cada uma das bandeirinhas no isopor e gire 360°. Identifique as figuras espaciais 
formadas pelo giro das bandeirinhas e as desenhe no espaço abaixo. 
 
 
3.1.2 Dentre os objetos do cotidiano que se encontram sobre a mesa, separe aqueles que se parece 
com as figuras espaciais que você viu ao girar a bandeirinha. Chame esse conjunto de A e o conjunto 
formado pelos objetos restantes chame de B. 
 
 
3.1.3 Coloque sobre a rampa cada um dos objetos A. É possível fazê-lo rolar sobre essa rampa? 
Registre sua opinião: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
3.1.4 Repita o que foi feito no item anterior, usando agora os elementos do conjunto B, isto é, 
aqueles que você não conseguiu associar a nenhuma bandeirinha. 
 
 
3.1.5 Discuta com seus colegas se existe alguma característica comum quanto à superfície externa 
dos objetos dos conjuntos A e B. Registre as suas conclusões. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
126 
 
3.1.6 Observando os objetos do conjunto B, você consegue desenhar alguma bandeirinha que gere 
cada um deles? 
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
3.1.7 Considerando que as bandeirinhas quando rotacionadas geram os sólidos de revolução, ponha 
uma bandeirinha de cada vez fixada no isopor e tente localizar dentre os sólidos a sua frente, aquele 
que corresponde ao gerado pela bandeirinha. 
 
 
3.1.8 Coloque sobre cada desenho da folha recebida, o sólido correspondente ao gerado pela 
bandeirinha. 
 
 
3.1.9 Discuta com seus colegas o que vocês observam quanto a posição do sólido gerado quando altera 
a posição do mastro da bandeirinha de vertical para horizontal em relação a fixação no isopor. Registre 
as suas conclusões. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
Atividade 3.2 
 
 
Agora, serão utilizadas as bandeirinhas abaixo: 
 
 
 
 
127 
 
3.2.1 Existe alguma característica comum aos retângulos que formam as bandeirinhas? E quanto à 
posição em que as figuras geométricas planas forma fixadas no mastro? Registre sua opinião: 
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
3.2.2 Discuta com seus colegas se as três bandeirinhas retangulares geram sólidos de revolução 
iguais, e que tenham as mesmas medidas. Registre as suas conclusões. 
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
Atividade 3.3 
 
Utilizaremos agora as seguintes bandeirinhas: 
 
 
 
 
 
3.3.1 Existe alguma característica comum aos triângulos que formam as bandeirinhas? E quanto à 
posição em que as figuras foram fixadas ao mastro? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
3.3.2 Coloque essas três bandeirinhas para rotacionar com o mastro fixado ao isopor. Discuta com os 
seus colegas se existe alguma característica comum com relação aos sólidos gerados. Você conseguiria 
128 
 
dividir em conjuntos estes sólidos gerados considerando aqueles que representam apenas uma forma 
pontiaguda? Registre as suas conclusões. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
Atividade 3.4 
 
 
Utilizaremos agora as seguintes bandeirinhas: 
 
 
 
 
 
3.4.1 Existe alguma característica comum à duas figuras com a forma de semicírculo que formam as 
bandeirinhas? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
3.4.2 Coloque as três bandeirinhas com o mastro fixado no isopor e gire. Os sólidos gerados são os 
mesmos? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
129 
 
3.4.3 O que você pode afirmar com relação aos sólidos de revolução gerados pelas duas bandeirinhas 
congruentes, ou seja, pelos dois semicírculos? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
3.4.4 Discuta com seus colegas se existe alguma semelhança quanto aos sólidos de revolução gerados 
pela bandeirinha com a forma de semicírculo, cujo eixo de rotação encontra-se na extremidade reta da 
mesma, e a bandeirinha com a forma de um círculo. Registre as suas conclusões. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
3.4.5 Crie uma bandeirinha, cole no mastro em diversas posições e identifique a figura espacial 
gerada. Faça o seu desenho no espaço a seguir. (das bandeirinhas e das figuras espaciais formadas) 
3.4.6 A partir de suas observações e conclusões como você definiria os seguintes sólidos de revolução: 
 
 
CONE:________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
CILINDRO:________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
ESFERA:__________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
 
 
 OFICINA IV 
 
O uso do software POLY no trabalho com poliedros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
131 
 
- Objetivos 
 
 
. Estimular a percepção visual dos figuras espaciais através da planificação de uma figura 
tridimensional usando o software POLY; 
. Introduzir os conceitos de vértice, arestas e faces deduzindo a relação de Euler; 
. Reconhecer os sólidos de Arquimedes e deduzir a relação entre arestas e vértice da base. 
 
 
- Poliedros 
 
 
1- Definições 
 
Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, de tal forma que a interseção de 
dois polígonos distintos seja uma aresta comum, um vértice comum, ou vazia (LIMA, 1991). Os 
polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se 
respectivamente, arestas e vértices do poliedro. 
 
 
 B P 
 
 
 
 
 
 
132 
 
A 
 
 
Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo, 
dois pontos (LIMA, et. al., 2002). Ou, equivalentemente, um poliedro é convexo quando cada lado de 
um polígono é também lado de um, e apenas um outro polígono e, além disso, o plano que contém um 
desses polígonos deixa todos os outros em um mesmo semi -espaço (Figura P e A). Existem poliedros 
não-convexos, como por exemplo, o da figura B. 
 
Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo, 
dois pontos (LIMA, et. al., 2002). Ou, equivalentemente, um poliedro é convexo quando cada lado de 
um polígono é também lado de um, e apenas um outro polígono e, além disso, o plano que contém um 
desses polígonos deixa todos os outros em um mesmo semi -espaço ( figura P e A). Existem poliedros 
não-convexos, como por exemplo, o da figura B. 
 
 
2- Classificação de Poliedros 
 
 
O software Poly permite visualizar poliedros convexos, além de planificá-los e rotacioná-los. Os 
poliedros são apresentados nas seguintes categorias: platônicos, sólidos de Arquimedes, prismas e 
anti-prismas, sólidos de Jonhson, deltaedros, sólidos de Catalan, dipirâmides e deltoedros, esferas e 
domos geodésicos. A facilidade oferecidapelo software em copiar e colar figuras em um editor de 
texto é outro fator positivo do mesmo. 
 
 
 
133 
 
Atividade 4.1 
 
 
1 Explore livremente o programa do software Poly. 
 
 
2 Clique no botão que permite visualizar Sólidos Platônicos. Na tela já aparecerá um tetraedro ( 
tetraedro regular). Com o botão direito ( ou esquerdo) do mouse pressionado, movimente o sólido e: 
 
 
 2.1 Determine: 
- Número de faces (F)_____________________________________________________________ 
- Número de arestas: (A) _________________________________________________________ 
- Número de vértices: ( V)________________________________________________________ 
 
 
 2.2 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
2.3 Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas 
 
 
3 Repita a atividade 2 para : 
 
 
3.1 Cubo: 
 
 
3.1.1 Determine: 
- número de faces (F)_____________________________________________________________ 
- número de arestas: (A) _________________________________________________________ 
- Número de vértices: ( V)________________________________________________________ 
 
 
134 
 
3.1.2 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 3.1.3 Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas. 
 
 
3.2 Octaedro: 
 
 
3.2.1 Determine: 
- número de faces (F)_____________________________________________________________ 
- número de arestas: (A) _________________________________________________________ 
- Número de vértices: ( V)________________________________________________________ 
 
 
 3.2.2 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 3.2.3 Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas. 
 
 
3.3 Dodecaedro: 
 
 
3.3.1 Determine: 
- número de faces (F)_________________________________________________________________ 
- número de arestas: (A) ___________________________________________________________ 
- Número de vértices: ( V)__________________________________________________________ 
 
 
 
135 
 
 3.3.2.Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 3.3.3 Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas 
 
 
4 Discuta suas observações a respeito do número de vértices, faces e arestas e formalize a relação que 
você encontrou entre esses elementos. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
Essa relação que você encontrou é chamada de RELAÇÃO DE EULER; 
 
 
5 Clique em sólidos platônicos e selecione Icosaedro. Observe que este sólido é composto de 20 
triângulos eqüiláteros. 
 
 
5.1 Determine o número de arestas deste sólido, sem contar uma a uma. Registre o número 
encontrado: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
5.2 Utilize a Relação de Euler e determine o número de vértices: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
6 Clique em Sólidos de Arquimedes. Na tela aparecerá um tetraedro truncado. Observe que este 
sólido é composto de 4 triângulos eqüiláteros e 4 hexágonos regulares. 
136 
 
6.1 Determine o número de arestas deste sólido, sem contar uma a uma e registre o número que você 
encontrou: 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
6.2 Utilize a Relação de Euler e determine o número de vértices. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
7 Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas e confira a sua 
resposta 
 
 
8 Clique em Prismas e Antiprismas . Na tela aparecera um prisma triangular. Observe o sólido e 
determine: 
 
 
8.1 número de faces(F)_______________________________________________________ 
 
 
8.2 número de arestas: (A) ________________________________________________________ 
 
8.3 número de vértices: (V)_______________________________________________________ 
 
8.4 Verifique se a relação de Euler é válida para o sólido analisado. Registre o que você observou: 
 
 
9 A partir da visualização (software Poly), dos prismas indicados a seguir, preencha a seguinte tabela: 
 
 
 
 
137 
 
Número de arestas da base de um prisma 3 5 6 8 10 
Número de vértice de um prisma 
Número de arestas de um prisma 
Número de faces de um prisma 
 
 
9.1 Determine uma relação entre o número de arestas da base, o número de vértices, arestas laterais, 
faces e registre o que você observou a partir da tabela dada: 
 
 
9.2 Considere um prisma cujo número de arestas da base é n. 
Expresse, em função de n, o número de: 
Faces:________________________________________________________________________ 
Arestas:______________________________________________________________________ 
Vértices:______________________________________________________________________ 
 
 
9.3 A partir das relações estabelecidas anteriormente, identifique o prisma que possui: 
14 vértices:___________________________________________________________________ 
8 faces:______________________________________________________________________ 
12 arestas.: ___________________________________________________________________ 
 
 
9.4 A partir das relações estabelecidas anteriormente, identifique o prisma que possui: 
14 vértices:____________________________________________________________________ 
 8 faces:_____________________________________________________________________ 
 12 arestas: __________________________________________________________________