Geometria Espacial - Pirâmides - Matemática Para Vestibulares Militares - Exercícios Com Respostas - Proj. Futuro Militar

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Geometria Espacial - Pirâmides 
 
1) (Fuvest) 
 
No sólido S representado na figura a cima, a base ABCD é 
um retângulo de lados AB = 2x e AD = x; as faces ABEF e 
DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos 
equiláteros e o segmento EF tem comprimento x. 
Determinar, em função de x, o volume de S. 
 
2) (AFA) A área total da pirâmide regular de apótema A2, 
onde A1 e 2p são, respectivamente, apótema e perímetro 
de sua base, é 
 
a) p(A1 + A2) 
b) p2 (A1 + A2) 
c) 2p(A1 + A2) 
d) p(A1 + 
A2
2 ) 
 
3) (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o 
volume e a área total do poliedro cujos vértices são os 
centros das faces do cubo será: 
a) (
9
3 )x cm 
b) (
18
3 )x cm 
c) (
6
3 )x cm 
d) (
3
3 )x cm 
e) (
2
3 )x cm 
 
 
4) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um 
retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos 
ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 e 2 37 . 
Calcule o volume da pirâmide. 
 
 
 
 
5) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo 
eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A= 
4cm. 
a) Calcule a altura da pirâmide. 
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? 
 
 
6) (Fuvest) A base de uma pirâmide regular é um quadrado 
ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. A distância de seu 
vértice E ao plano que contém a base é 4. 
a) Determine o volume do tetraedro ABDE. 
b) Determine a distância do ponto B ao plano que contém 
a face ADE. 
 
 
7) (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado 
cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide 
medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 
a) 520. 
b) 640. 
c) 680. 
d) 750. 
e) 780. 
 
 
8) (UECE) A face ABC do tetraedro VABC é um triângulo 
equilátero de lado 3cm e a reta passando pelo vértice V e 
perpendicular a esta face intercepta-a em seu centro O. Se 
a aresta VA do tetraedro é 5cm então a medida, em cm, do 
segmento VO é: 
 
a) 15 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
 
9) (Fuvest) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de 
base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. 
 
 
 
 
2 
 
Sendo G o ponto médio da altura EF e a medida do 
ângulo AGB, então cos vale: 
a) 2
1
 
b) 3
1
 
c) 4
1
 
d) 5
1
 
e) 6
1
 
 
 
10) (Fuvest) A figura abaixo representa uma pirâmide de 
base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são 
triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio 
do segmento AB. Se a medida do ângulo VMC é 60°, então 
o volume da pirâmide é: 
 
a) 
3l
4
3
 
b) 
3l
8
3
 
c) 
3l
12
3
 
d) 
3l
16
3
 
e) 
3l
18
3
 
 
11) (UERJ) A figura do R3 representa uma pirâmide de base 
quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B 
(4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais. 
 
A partir da análise dos dados fornecidos, determine: 
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta 
de base; 
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando 
que o volume da pirâmide é igual a 72. 
 
 
 
12) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-
retângulo de dimensões 
2
 x 
2
 x 
7
 , sendo A, B, C e 
D quatro de seus vértices. 
 
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a 
a) 
4
11 
b) 
4
14 
c) 
2
11 
d) 
2
13 
e) 
2
73 
 
 
 
 
 
 
3 
13) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-
retângulo de dimensões 5x5x4, em centímetros, sendo A, 
B, C e D quatro dos seus vértices. 
 
a) Calcule a área do triângulo ABC. 
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que 
contém o triângulo ABC. 
 
14) (FMTM) A figura mostra um pedaço de papel recortado 
de forma a se poder construir uma pirâmide reta de base 
quadrada. As linhas internas indicam onde devem ser 
feitas as dobraduras. Os quatro triângulos são eqüiláteros, 
com medida do lado igual a 10 cm. A pirâmide construída 
terá volume, em cm3, igual a 
 
a) 25. 
b) 23
500
. 
c) 50. 
d) 32
125
 
e) 3
250
. 
 
 
 
 
15) (FUVEST) A figura representa uma pirâmide ABCDE, 
cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que 
 
AB = CD = 
2
3 
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1 
AP = DQ = 
2
1
 
 
Nessas condições, determine: 
a) A medida de BP. 
b) A área do trapézio BCQP. 
c) O volume da pirâmide BPQCE. 
 
 
16) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice 
E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto 
médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC , 
então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 2 
d) 2,5 
e) 3 
 
17) (IBMEC) A tenda de um circo é sustentada por um 
único pilar vertical, com suas pontas amarradas a quatro 
estacas fixadas no chão, dando ao circo a forma de uma 
pirâmide de base retangular. Para manter o pilar sempre 
perpendicular ao chão e a tenda esticada, quatro cabos de 
aço foram presos da ponta do pilar a cada uma das 
estacas, formando assim as arestas laterais da pirâmide. 
Na figura ao lado, estão representados o pilar (CD) e dois 
cabos de aço (AC e BC) presos a estacas não pertencentes 
ao mesmo lado do retângulo da base da pirâmide. 
 
a) Fascinado com um número em que um trapezista pula 
do alto do pilar e é apanhado bem perto do chão, um 
garoto se interessou em calcular a altura do pilar. Para 
isso, ele obteve as medidas AD =40 m, BD = 90m e 
constatou que os ângulos BÂC e ABC são complementares. 
Determine para o garoto a altura do pilar. 
b) Durante a apresentação conjunta do homem que cospe 
fogo com os malabaristas incendiários, o garoto ficou 
assustado com a quantidade de fumaça que estava sendo 
emitida, e resolveu calcular o volume interno do circo, 
para saber quanto ar havia lá dentro para a fumaça se 
diluir. Para isso, o garoto constatou que o menor lado da 
base retangular do circo mede 50m. Calcule para o garoto 
o volume da pirâmide que delimita o espaço interno do 
circo. 
 
 
18) (UFC) ABCDA1B1C1D1 é um paralelepípedo reto-
retângulo de bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais 
AA1, BB1, CC1 e DD1. Calcule a razão entre os volumes do 
tetraedro A1BC1D e do paralelepípedo ABCDA1B1C1D1. 
 
 
 
 
 
 
4 
19) (UFSCar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE 
e ADGFE são retângulos e estão em planos 
perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma 
pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, e 
que ADE é face lateral comum às duas pirâmides. 
 
Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume 
da pirâmide ADGFE, em cm3, é 
a) 67,2. 
b) 80. 
c) 89,6. 
d) 92,8. 
e) 96. 
 
 
20) (FGV) As figuras A e B indicam, respectivamente, 
planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, 
com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando 
por V1 e V2 os volumes do prisma e da pirâmide, 
respectivamente, conclui-se que V1 representa de V2 
 
 
a) 25%. 
b) 45%. 
c) 50%. 
d) 65%. 
e) 75%. 
 
 
21) (UEL) As superfícies de um cubo e de um octaedro 
regular interpenetram-se, dando origem à figura F 
mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se 
pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma 
de triângulos eqüiláteros. Os vértices das bases das 
pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas 
do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede 2 cm. Qual 
o volume do sólido limitado pela figura F ? 
 
a) 12 cm3 
b) 14 cm3 
c) 16 cm3 
d) 18 cm3 
e) 20 cm3 
 
 
22) (Vunesp) Cada aresta de um tetraedro regular de 
vértices A, B, C e D mede 1dm. M é um ponto da aresta AB, 
e N é um ponto da aresta CD. 
 
a) Calcule a área total da superfície do tetraedro. 
b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de 
M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas. 
Obtenhao valor dessa distância mínima. 
 
 
23) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede 
6 cm. Para este tetraedro, calcule: 
 
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas 
arestas que não têm ponto comum; 
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro. 
 
 
24) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide reta de 10m 
de altura, cuja base é um triângulo de lados 4cm, 6cm e 
8cm. 
 
a) 12 15 cm3 
b) 8 5 cm3 
c) 10 15 cm3 
d) 10 3 cm3 
e)20 3 cm3 
 
 
 
 
5 
 
 
25) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base 
quadrada, é correto afirmar: 
01. Cada diagonal de uma face divide-a em dois 
triângulos congruentes. 
02. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares 
de vértices não pertencentes a uma mesma face. 
04. Dadas duas faces não adjacentes e quatro 
vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano 
que contém esses quatro vértices. 
08. Dados dois vértices consecutivos, para cada n 
{1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses 
vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida 
uma única vez. 
16. Se a medida do lado da base e a altura do prisma 
são números inteiros consecutivos, e o volume é um 
número primo p, então p é único. 
32. Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas 
bases são faces do prisma e cujos vértices são também 
vértices do prisma. 
 
 
26) (UFC) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao 
lado. Nele, um besouro se desloca ao longo das suas 
arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa 
por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos 
modos diferentes ele pode fazer isso? 
 
 
 
27) (IBMEC) Considere um cone circular reto de altura 24 e 
raio da base 10. Suponha que o segmento AB seja uma 
corda da circunferência da base que diste 5 do seu centro 
C. Então, sendo V o vértice do cone, o volume do tetraedro 
ABCV é igual a 
a) 200 3 
b) 400 3 
c) 600 3 
d) 800 3 
e) 1000 3 
 
 
28) (Unicamp) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. 
O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é 
um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros 
congruentes. 
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro 
regular. 
b) Calcule o volume do mesmo octaedro. 
 
 
29) (IBMEC) Considere um cubo V1V2V3V4V5V6V7V8 de 
arestas medindo 2cm. De cada vértice do cubo é retirado 
um tetraedro ViAiBiCi (i = 1, 2, …, 8), sendo Ai, Bi e Ci pontos 
das arestas que concorrem em Vi tais que ViAi = ViBi = ViCi = 
x cm. A figura ilustra um dos tetraedros retirados. 
 
Sabendo que o volume do sólido resultante após a retirada 
dos oito tetraedros é igual a 7cm3, pode-se concluir que 
a) x = 3
63
 
b) x = 2
63
 
c) x = 3
33
 
d) x = 2
33
 
e) x = 3
23
 
 
 
30) (UnB) Considere um tetraedro regular com vértices A, 
B, C e D e arestas de comprimento igual a 17 cm, no qual 
M, N, O e P são os pontos médios das arestas AB, BC, CD e 
DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o 
perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P, 
desprezando a parte fracionária de seu trabalho, caso 
exista. 
 
 
31) (UFMG) Considere um tetraedro regular de vértices A, 
B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e 
N são pontos médios das arestas BD e CD, 
respectivamente. 
 
 
 
 
6 
CALCULE a área do triângulo AMN. 
 
 
 
 
32) (Faap) Considere um tetraedro regular e um plano que 
o intercepta. A única alternativa correta é: 
a) a intersecção pode ser um quadrilátero. 
b) a interseção é sempre um triângulo. 
c) a interseção é sempre um triângulo equilátero. 
d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero. 
e) a intersecção nunca é um quadrilátero. 
 
 
33) (IBMEC) Considere uma pirâmide regular de vértice V e 
arestas laterais medindo 6cm, cuja base é um quadrado de 
diagonais 
AC
 e 
BD
. Se a área lateral desta pirâmide 
totaliza 36cm2, então um possível valor para a medida do 
ângulo VAB é 
a) 45º. 
b) 60º. 
c) 75º. 
d) 90 º 
e) 105º. 
 
 
 
34) (Fuvest) De cada uma das quatro pontas de um 
tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro 
regular de aresta a. 
a) Qual o número de vértices, faces e arestas do poliedro 
resultante? 
b) Calcule a área total da superfície desse poliedro. 
 
35) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago 
deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará 
sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de 
comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 
canudos que têm a mesma medida, expressa por um 
número inteiro, diferente das anteriores. 
Veja o modelo abaixo: 
 
A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago 
poderá construir, é: 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
 
 
 
 
36) (FUVEST) Dois planos 
21  e
 se interceptam ao 
longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles 
meça α radianos, 
2
0

 
. Um triângulo equilátero 
ABC, de lado ℓ, está contido em 
2
, de modo que 
AB
 
esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano 
1
, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo 
CÂD, satisfaça 
.
4
6
sen
 
Nessas condições, determine, em função de ℓ, 
a) o valor de α. 
b) a área do triângulo ABD. 
c) o volume do tetraedro ABCD. 
 
 
37) (FEI) Em cada face de um tetraedro regular desenhou-
se um trevo de 3 folhas estilizado, conforme indicado na 
figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das 
áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é: 
 
a) 3 t2/2 
b) 3 t2/3 
c) 3 t2/6 
d) 3 t2/9 
e) 3 t2/12 
 
 
 
38) (ITA) Em relação a um sistema de eixos cartesiano 
ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular 
são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C =(1- 3 ,1+ 3 ). O 
volume do tetraedro é 
 
a) 3
8
 
b) 3 
 
 
 
 
7 
c) 2
33
 
d) 2
35
 
e) 8 
 
 
39) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as 
faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito 
arestas são iguais a 1. 
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide. 
b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da 
pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também 
tangencia as arestas laterais. 
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada 
face lateral da pirâmide. 
 
 
40) (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm 
e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como 
base a face oposta. Se V cm3 é o volume da pirâmide, 
determine V3
1
. 
 
 
 
41) (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular 
de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD , 
respectivamente. Então, o valor de EF é: 
 
a) 2a 
b) 2
2a
 
c) 4
2a
 
d) 2
3a
 
e) 4
3a
 
 
 
42) (Mack) Na figura, a pirâmide de vértice A tem por base 
uma das faces do cubo ao lado k. Se a área lateral dessa 
pirâmide é 4+4 2 , então o volume do sólido contido no 
cubo e externo à pirâmide é: 
 
a) 8 
b) 
3
4
 
c) 
3
16
 
d) 
3
8
 
e) 16 
 
 
43) (Vunesp) Na figura, os planos e são perpendiculares 
e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D, 
com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o 
ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, 
em , o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de 
90° em torno de r, no sentido indicado na figura, até 
coincidir com . 
 
Se AB = 2 3 , calcule o volume do tetraedro APDQ. 
 
 
44) (UFSCar) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de 
um tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do 
tetraedro é 
 
 
 
 
 
8 
 
 
a) 8
27
 
b) 8
399
 
c) 9 
d) 8
1327
 
e) 18 
 
 
 
 
 
 
 
45) (UFBA) Na figura, os quadrados ABCD e A’B’C’D’, cujos 
lados medem 10 u.c., são as bases de um prisma reto dealtura igual a 5 3 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o 
centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com 
base A’B’C’D’. A partir dessas informações, pode-se 
afirmar: 
 
01. Qualquer plano que contenha uma face lateral da 
pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base 
A’B’C’D’. 
02. Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo 
de 60º com o plano da base A’B’C’D’. 
04. Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao 
segmento DD’ e uma aresta da pirâmide que está contida 
numa reta reversa à reta que contém DD’. 
08. A área do triângulo OC’D’ é igual a 50 u.a. 
16. O volume do sólido compreendido entre o prisma 
e a pirâmide é igual a 3
3500
u.v. 
 
 
46) (VUNESP) Na periferia de uma determinada cidade 
brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado, 
que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de 
12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m. 
Considere os dados, apresentados em porcentagem na 
tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos 
no Brasil e no México. 
 
Pais Orgânicos 
(%) 
Metais 
(%) 
Plásticos 
(%) 
Papelão/papel 
(%) 
Vidro 
(%) 
Outros 
(%) 
Brasil 55 2 3 25 2 13 
México 42,6 3,8 6,6 16,0 7,4 23,6 
(Cempre/ Tetra Park América/EPA 2002) 
 
Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, 
determine o volume aproximado de plásticos e vidros 
existente na pirâmide de lixo brasileira e quantos metros 
cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam 
nessa mesma pirâmide caso ela estivesse em território 
mexicano. 
 
47) (Fuvest) No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos 
médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a 
pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. 
Calcule, em função de a: 
 
a) o comprimento do segmento XY. 
b) a área da base da pirâmide. 
c) o volume da pirâmide. 
 
 
48) (UFBA) No cubo representado , AB = 3 u.c., AI = 
3
1
 AE, 
e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x. 
 
 
 
 
9 
 
 
49) (UEL) Num cubo, considere os seguintes pontos: 
- M, determinado pela intersecção das diagonais AC e BD 
de uma das faces; 
- E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M. 
Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e 
EFGH, é correto afirmar que: 
a) se trata de um poliedro com 12 arestas. 
b) se trata de um prisma de base triangular. 
c) seu volume é a terça parte do volume do cubo. 
d) seu volume é metade do volume do cubo. 
e) se trata de um tetraedro. 
 
 
50) (UFC) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB 
= DC = a e o triângulo ABC é eqüilátero com AB = b. O 
comprimento da altura do tetraedro baixada do vértice A é 
igual a: 
a) 2
ba 
 
b) ab 
c) a
ba3b 22 
 
d) 22
22
ba4
ba3
.b


 
e) ba
ba4
.a
22


 
 
51) (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma 
aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede 
22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é: 
a) 7 2 
b) 8 2 
c) 9 2 
d) 10 2 
 
 
52) (FGV) O ângulo indicado na figura B, é igual a 
 
a) arccos - 5
1
 
b) arccos 5
1
 
c) arccos - 25
24
 
d) arcsen 25
24
 
e) arcsen 1 
 
 
53) (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base 
hexagonal, é 9 3 cm. Se a sua área lateral é o triplo da 
área de sua base, então, o seu volume, em cm3, é 
 
a) 
3 323
4 . 
b) 
81 35
4 . 
c) 81 3 . 
d) 324 2 . 
 
 
 
54) (FUVEST) O cubo ABCDEFGH possui arestas de 
comprimento a. 
O ponto M está na aresta AE e AM = 3 ME. 
 
Calcule: 
a) O volume do tetraedro BCGM. 
 
 
 
 
10 
b) A área do triângulo BCM. 
c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento 
CM. 
 
 
55) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma 
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide 
possui: 
 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
 
56) (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar 
em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que 
será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita 
de concreto maciço, como mostra a figura. 
 
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e 
que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto 
(em m3) necessário para a construção da pirâmide será 
a) 36. 
b) 27. 
c) 18. 
d) 12. 
e) 4. 
 
57) (Unicamp) O sólido da figura ao lado é um cubo cuja 
aresta mede 2cm. 
 
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1. 
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos 
pontos B, C e D1. 
 
58) (UFMG) Observe a figura. 
 
Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado 
inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão 
entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta 
ordem, é: 
a) /4 
b) /2 
c) 
d) 2 
e) 2 /2 
 
 
59) (UERJ) Observe as figuras a seguir: 
 
(I) 
 
(II) 
A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a 
figura II, sua respectiva planificação, composta por dois 
trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. 
Calcule: 
a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; 
b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, 
mostrado na figura I, em função de h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
60) (UFMG) Observe esta figura: 
 
Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas 
medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC , que possui 
três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se 
sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os 
segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, 
respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 
1 cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO 
afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm3 
 
a) 6
1
 
b) 4
1
 
c) 2
1
 
d) 8
1
 
 
 
61) (PASUSP) Os papiros mostram que os egípcios antigos 
possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles 
sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do 
volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, 
Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura 
aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com 
lados medindo aproximadamente 230 metros. Logo, o 
volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente 
(em milhões de metros cúbicos): 
 
a) 1,2 
b) 2,5 
c) 5 
d) 7,5 
e) 15 
 
62) (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, 
colocou-o sobre um copo, de maneira que 
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, 
conforme ilustra a foto; 
- os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um 
triângulo eqüilátero. 
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de 
raio 2
3
 cm , determine o volume da parte do cubo 
que ficou no interior do copo. 
 
 
 
63) (UNIFESP) Quatro dos oito vértices de um cubo de 
aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As 
arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, 
conforme mostra a figura. 
 
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual 
a dois terços da diagonal do cubo. 
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do 
tetraedro. 
 
 
64) (Mack) Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide 
triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, um sólido de 
volume: 
 
 
 
 
12 
 
a) 
3
14
 
b) 
5
11
 
c) 
5
18
 
d) 
3
20
 
e) 
5
16
 
 
65) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. 
Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 
30cm2 e no outro plano um ponto qualquer O. O volume 
do tetraedro ABCO é: 
a) 10cm3 
b) 20cm3 
c) 30cm3 
d) 40cm3 
e) 50cm3 
 
 
66) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas 
tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de 
figuras espaciais cujos nomes são:a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
 
 
67) (FEI) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os 
pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. 
Considere as afirmações: 
I. O triângulo XCD é isósceles 
II. O triângulo XBD é retângulo 
III. O triângulo XYA é equilátero 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a I e II são verdadeiras. 
b) Somente a I e III são verdadeiras. 
c) Somente II e III são verdadeiras. 
d) Todas são verdadeiras. 
e) Somente I é verdadeira. 
 
 
68) (Unicamp) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos 
vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 
8cm e 9,6cm. Sendo d(P, A) = 10cm, calcule: 
 
a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; 
b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto 
P e cuja base é o triângulo ABC. 
 
 
69) (AFA) Seja uma pirâmide de base quadrada com 
arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as 
faces laterais que se interceptam numa aresta é 
 
a) -
3
2
 
b) -
3
1
 
c) 
3
1
 
d) 
3
2
 
 
70) (UFC) Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a 
um tetraedro regular. Sejam d1, a soma das distâncias de 
P1 às faces do tetraedro regular, e d2, a soma das distâncias 
de P2 às faces do tetraedro regular. Mostre que d1 = d2. 
 
71) (NOVO ENEM) Um artesão construiu peças de 
artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada 
com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças 
que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter 
uma das faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do 
artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e 
a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas 
arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono 
de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces 
triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, 
 
 
 
 
13 
divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um 
dos polígonos tem 4 lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a 
interseção de uma face com um plano é um segmento de 
reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o 
polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao 
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 
faces, o polígono tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido 
interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao 
número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide 
tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 
 
72) (PUC-SP) Um imperador de uma antiga civilização 
mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu 
túmulo. As características dessa pirâmide são 
1°) Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 
2°) Sua altura é de 100 m. 
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 
m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, 
em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo 
necessário para a construção da pirâmide, medido em 
anos de 360 dias, foi de 
a) 40 anos. 
b) 50 anos. 
c) 60 anos. 
d) 90 anos. 
e) 150 anos. 
 
 
73) (Mack) Um objeto, que tem a forma de um tetraedro 
regular reto de aresta 20cm, será recoberto com placas de 
ouro nas faces laterais e com placa de prata na base. Se o 
preço do ouro é R$ 30,00 por cm2 e o da prata, R$ 5,00 por 
cm2, das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, 
em reais, do custo desse recobrimento. 
a) 24000 
b) 12000 
c) 16000 
d) 18000 
e) 14000 
 
 
74) (UNIFESP) Um poliedro é construído a partir de um 
cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus 
cantos uma pirâmide regular de base triangular eqüilateral 
(os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por 
x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das pirâmides cortadas. 
 
a) Dê o número de faces do poliedro construído. 
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a/2, para o qual o volume 
do poliedro construído fique igual a cinco sextos do 
volume do cubo original. A altura de cada pirâmide 
cortada, relativa à base eqüilateral, é x
3
. 
 
75) (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm 
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a 
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: 
a) H/6 
b) H/3 
c) 2H 
d) 3H 
e) 6H 
 
 
76) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral 
de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da 
base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para 
cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 
1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas 
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de 
lotes de telhas a ser comprado é: 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 130 
 
 
77) (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo 
6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a: 
a) 21 cm 
b) 1 cm 
c) 23 cm 
d) 2 cm 
e) 25 cm 
 
78) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas 
medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, 
B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face 
 
 
 
 
14 
BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, 
nos pontos R, S e T. 
a) Calcule a altura do tetraedro ABCD. 
b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro 
regular. 
c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 
centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento 
das arestas do tetraedro ARST. 
 
 
79) (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma 
de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir 
todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular 
regular com altura de 12 cm e apótema de base medindo 5 
cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em 
conta que não houve desperdício de papel, a fração 
percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde 
a: 
a) 20% 
b) 16% 
c) 15% 
d) 12% 
e) 10% 
 
 
80) (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como 
mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é 
de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a: 
 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
 
 
 
81) (PUCCamp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é 
tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros 
cúbicos, é: 
a) 24 3 
b) 36 3 
c) 48 3 
d) 72 3 
e) 144 3 
 
 
82) (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado 
de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo 
eqüilátero. Então, a área do quadrado, que tem como 
vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é 
igual a 
a) 
9
5
 
b) 
9
4
 
c) 
3
1
 
d) 
9
2
 
e) 
9
1
 
 
 
 
 
 
 
15 
Gabarito 
 
1) V(x) = 12
x25 3
. 
 
2) Alternativa: A 
 
3) Alternativa: B 
 
4) 24 
 
 
5) a) 2cm 
b) 4cm 
 
6) a) A = 24 
b) d = 4,8 
 
7) Alternativa: B 
 
8) Alternativa: D 
 
9) Alternativa: B 
 
10) d) Como o triângulo VAB é eqüilátero de lado l, VM é 
altura e vale 2
3l
. Então a altura h da pirâmide pode ser 
obtida pelo sen60o: sen60o = VM
h
 h = VM.sen60o 
h= 2
3l
 
2
3
= 4
3l
. Então o volume da pirâmide é 
4
3l
4
3l
3
1
2
= 16
3l3
 
 
 
11) a) D = (–4, 4, 2) 
b) V = (2, 7, –1) ou V = (–2, –1, 7) 
 
Padrão de resposta oficial: 
a) Coordenadas de D: 
AD = BC  D = (-4, 4, 2) 
Medida de cada lado  |AB| = 6 
 
b) V = 72 => h = 6  |VH| = 6 
 
VH perpendicular ao plano do quadrado e |VH| = 6 
H = (A+C)/2 = (0, 3, 3). VH // AD x AB = (12, 24, -24) 
VH = (-2, -4, 4) ou VH = (2, 4, -4)  V (2, 7, -1) ou V (-2, -1, 
7) 
 
 
12) Alternativa: B 
 
13) 
a) 
2
575 cm
2 
 
b)57
5720 cm 
 
14) Alternativa: B 
 
15) a) 
4
10 
b) 
16
9
 
c) 
64
33 
 
16) Alternativa: B 
Note que a nova altura é metade da altura original e a 
nova base é 3/4 da base original. Assim, o novo volume é 
2
1
 .
4
3
 .4 = 1,5. 
 
 
 
17) a) 60m (use h2 = m.n) 
b) 120.000m3 (lembre-se que AB = 130m é uma diagonal 
da base da pirâmide, e não um lado) 
 
 
 
18) 
 
 
 
 
 
 
16 
)(
)(
1111
11
DCBABCDAV
DBCAV
 = 
3
13/

xyz
xyz
 
 
19) Alternativa: C 
 
20) Alternativa: E 
 
21) Alternativa: A 
 
22) a) A área é 3 dm2. 
b) O valor da distância mínima é 2
2
dm. 
 
 
23) a) 3 2 cm 
b) r = cm2
6
 
 
24) Alternativa: B 
 
25) Resposta: 57 
 
26) Resp: 28 
Resolução: Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos 
B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos, 
saindo de A e passando por B, chegam até F: 
 
Percebe-se que há 7 caminhos diferentes. Analogamente, 
há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até 
F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D, 
até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por 
E, até F. Logo, há 7.4 = 28 caminhos diferentes de A para F, 
nas condições do problema. 
 
 
27) Alternativa: A 
 
28) a) 5 2 cm 
b) 3
500
cm3 
 
29) Alternativa: B 
 
30) Perímetro = 34cm 
 
31) A = 16
11r 2
 (o triângulo AMN é isósceles, com AN = 
AM = altura das faces equiláteras e MN base média) 
 
32) Alternativa: A 
 
33) Alternativa: C 
 
34) a) F = 8, V = 12, A = 18 
b) AT = 7a2 3 
 
35) Alternativa: A 
 
36) a) 4

 
b) 8
62
 
c) 
16
3 
 
37) Alternativa: B 
 
38) Alternativa: A 
 
39) a) h = 2
2
 e V = 
6
2
 
b) Basta mostrar que a distância do centro da base é a 
mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às 
4 arestas da base é R = 
2
1
. Além disso, a distância do 
centro da base à qualquer vértice é 2
2
pois essa distância 
ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base. 
Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a 
altura do triângulo isósceles de lados 2
2
, 2
2
e 1, que 
além de tudo é retângulo. Essa altura vale 
2
1
 também. 
c) R = 
6
3
 
 
40) Resposta: 81cm3 
 
 
41) Alternativa: B 
 
42) Alternativa: C 
 
43) V = 3 
 
44) Alternativa: C 
 
 
 
 
17 
 
45) Resposta: 13 
 
46) Resposta: 2000m3 e 3600m3 
 
47) a) XY = a 2 
b) área da base = 2
6a2
 
c) Volume = 4
2a3
 
 
48) x = 3 u.v. 
 
49) Alternativa: C 
 
50) Alternativa: D 
 
51) Alternativa: B 
 
52) Alternativa: A 
 
53) Alternativa: D 
 
54) a) 
6
3a
 
 
b) 
8
5 2a
 
 
c) 
41
415a 
 
 
 
55) Alternativa: E 
 
56) Alternativa: D 
 
57) a) V = 
3
4
 cm3 
b) 2 cm 
 
 
58) Alternativa: D 
 
59) a) 
 
 
m 7,1
2
4,3
BM  
m 5,1
2
3
M'B  
h'BB 
h2 + 1,52 = 1,72 h = 0,8 m 
 
 
b) 
 
 
 
volume = V = V(prisma) + V(pirâmide) 
h
3
32
AB
2
h3
V 

 h242
h3
V  8hV 
 
 
 
60) Alternativa: B 
 
61) Alternativa: B 
 
62) 9
2
cm3 
 
63) a) h =
3
32
 portanto, equivale a 
3
2
 da diagonal, que é 
3
. 
b) razão = 3 
 
 
64) Alternativa: D 
 
65) Alternativa: E 
 
66) Alternativa: E 
 
67) Alternativa: D 
 
68) a) R = 5cm 
b) h = 5 3 cm (note que o pé da altura pedida coincide 
com o circuncentro O do triângulo) 
 
69) Alternativa: B 
 
 
 
 
18 
 
70) Solução: Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um 
ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as 
pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes 
dessas quatro pirâmides é igual ao volume do tetraedro. 
Sejam h1, h2, h3 e h4, respectivamente, as alturas dessas 
pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos: 
.
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
4321 hShShShShS ABCACDBCDABDABC 
 
Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e 
ACD são todos congruentes. Logo 
h1 + h2 + h3 + h4 = h. 
Como h1, h2, h3 e h4 são as distâncias de P às quatro faces 
do tetraedro, provamos que independente da posição de P 
essa soma é constante e igual à altura do tetraedro. 
 
Assim, sendo P1 e P2 pontos quaisquer no interior do 
tetraedro, d1 = d2 = h 
 
71) Alternativa: C 
 
72) Alternativa: B 
 
73) Alternativa: C 
 
74) a) 14 
b) 
2
a
 
 
75) Alternativa: E 
 
76) Alternativa: A 
 
77) Alternativa: D 
 
78) a) 3 6 cm 
b) se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC, 
ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS 
são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é 
tetraedro regular. 
 
 
c) 9 - 6 cm 
 
 
79) Alternativa: E 
 
80) Alternativa: D 
 
81) Alternativa: C 
 
82) Alternativa: D