1 PROCESSOS DE PENSAMENTO LÓGICO MATEMÁTICO

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SANTA CRUZ DO SUL - RS 
PROCESSOS DE PENSAMENTO 
LÓGICO MATEMÁTICO 
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU 
NÚCLEO DE PÓS-GRADUAÇÃO E EXTENSÃO – DOM ALBERTO 
 
 
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A ARTE DOS ENIGMAS MATEMÁTICOS 
 
Texto adaptado de Heitor Monteiro de Medeiros e 
Daniella Lima Silva 
 
http://www.mundosimples.com.br/gifs/quiz-logica-volume1-298.gif 
 
É muito comum ouvirmos dos alunos o quanto é difícil aprender 
matemática. Essa afirmação nos traz algumas inquietações. O que é aprender 
matemática? Quando essa aprendizagem é significativa? Enquanto professores, 
que papel devemos assumir no processo de ensino-aprendizagem desta 
disciplina? Que motivações se podem trazer para sala de aula? 
Em consonância com a concepção construtivista, ao ensinar matemática 
devemos entender que o papel do professor é ajudar ao aluno a identificar os 
conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o 
mundo à sua volta, percebendo o caráter de jogo intelectual, característico da 
matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de 
investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. 
Nessa apostila, iremos tratar a matemática como matemática, onde devemos 
estimular nossos alunos através da curiosidade. 
 
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No contexto da educação matemática, um problema, ainda que simples, 
pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar a curiosidade e 
proporcionar ao aluno o prazer pela descoberta da resolução. Neste sentido, os 
problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo interessar-se pela 
matemática. 
 
http://www.jb.com.br/media/fotos/2012/01/06/300w/segundo-o-estudo-poder-de-raciocinio-e-compreensao-decai-a-
partir-dos-45.jpg 
 
Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o 
pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. 
Como educadores matemáticos, devemos procurar alternativas para aumentar 
a motivação para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, 
concentração, atenção, raciocínio lógico-dedutivo e o senso cooperativo. 
Na linha dessas ideias seguem pensamentos tais como o de Ausubel 
(1978), segundo o qual, o principal no processo de ensino é que a aprendizagem 
seja significativa. Isto é, o material a ser aprendido precisa fazer algum sentido 
para o aluno. Isto acontece quando a nova informação “ancora-se” nos conceitos 
relevantes já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz. 
O aluno precisa ter uma disposição para aprender, ou seja, o autoconceito 
que ele possui deve estar receptivo para a proposta da atividade, que por sua 
vez deve ter sentido para o mesmo. 
 
3 
 
Segundo Borin (1996) ao trabalharmos com a matemática e curiosidades 
no ensino da matemática tem - se o objetivo de fazer com que os alunos gostem 
de aprender esta disciplina, mudando a rotina da sala de aula e permitindo a 
formulação de problemas desafiantes que incentivem o aprender mais. 
De acordo com Imenes (1988) as experiências vivenciadas pelos alunos 
são importantes na construção do sentimento da matemática. 
Moura (1991) afirma que a matemática aproxima-se da matemática via 
desenvolvimento de habilidades de resoluções de problemas. 
A matemática é encarada como uma estratégia em que o professor propõe 
ao aluno desafios interessantes, caracterizados por investigação e exploração 
de alguns conceitos matemáticos. Nessa metodologia, o aluno pode formular 
problemas, tornando a matemática um conhecimento mais próximo dele mesmo. 
 
https://unieducar.org.br/sites/default/files/cursos/imagens/raciociniologico.png 
 
Nessa intenção, a matemática, aqui é definida como o prazer de aprender 
matemática trazendo mais uma maneira interessante de abordar assuntos, tais 
 
4 
 
como: divisibilidade, propriedades das operações numéricas e mudança de 
base, além de revisitar alguns aspectos do sistema de numeração decimal. 
 
CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Sentença 
 
Frase, expressão que encerra um sentido geral. 
 
Proposição 
 
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou 
símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo 
contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de 
verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, 
confirmada ou negada. 
Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; 
quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. 
 
Observação: 
Não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras formas de 
sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas, embora 
elas também expressem juízos. 
Exemplos de proposições: 
 “O número 5 é ímpar” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 “Todo homem é mortal” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 “
15127 
” – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
 
5 
 
 “Nenhum peixe sabe ler” - é uma declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
Exemplos de sentenças que não são proposições: (sentenças 
abertas) 
 “Qual o seu nome?” – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é 
uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “Que dia lindo!” – é uma sentença exclamativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou 
F). 
 “Ana, vá estudar sua lição” – é uma sentença imperativa, e não uma 
declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor 
lógico (V ou F). 
 “
2013 x
” – é uma sentença aberta, e não uma declaração. Portanto, não é 
uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
 
Proposição simples 
 
 
http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-6(76).jpg 
 
Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer 
outra proposição como sua componente. 
 
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Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição 
simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em 
partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. 
Exemplo: 
 A sentença “Júlio gosta de esporte” é uma proposição simples, pois não 
é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. 
 
Outros exemplos: 
“Júlio fala inglês” 
“Laranja é uma fruta” 
“Todos os ricos são homens” 
 
 
Proposição composta 
 
Uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma 
nova proposição. 
Exemplo: 
 A sentença “Paulo é irmão de Ana e de César” é uma proposição 
composta, pois é possível retirar-se dela outras proposições: “Paulo e irmão de 
Ana” e “Paulo é irmão de César”. 
 
Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas) 
 
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de 
modo a criar novas proposições. 
 Alguns dos conectivos são: 
 
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Exemplo: 
A sentença “Se Talita não bebe, então Carlos vai ao clube ou Bruna toma 
café”. É uma proposição composta na qual podemos observar alguns conectivos 
lógicos (“não”, “se..., então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições 
simples “Talita não bebe”, “Carlos vai ao clube” e “Bruna toma café”. 
 
 
Operações com proposições 
 
Assim como na Álgebra tradicional existem as operações comnúmeros 
(adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as 
proposições. 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende 
somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da 
forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. 
 
Exemplo 
 
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Tabela - verdade 
 
 É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. 
Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus 
valores lógicos possíveis. 
 
1º- Conjunção: “A e B” (Representação:). 
 
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas às proposições simples: 
A: Marta é mãe de Beto. 
B: Marta é mãe de Carlos. 
 
A conjunção “A e B” pode ser escrita como: 
BA
: Marta é mãe de Beto e de Carlos. 
 
2º- Disjunção: “A ou B” (Representação:). 
 
 
9 
 
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas às proposições simples: 
A: Tiago fala Francês. 
B: Tiago é universitário. 
 
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: 
BA
: Tiago fala Francês ou é universitário. 
 
3º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” (Representação:). 
 
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo 
“ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas às proposições simples: 
A: O número 7 é par. 
B: O número 7 é ímpar. 
 
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como: 
BA
: Ou o número 7 é par ou o número 7 é ímpar. 
 
4º- Implicação (Condicional): “Se A, então B” (Representação:). 
 
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se..., então” ou por 
uma de suas formas equivalentes. 
Exemplo: 
 
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Dadas as proposições simples: 
A: Lucas é goiano. 
B: Lucas é brasileiro. 
 
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como: 
BA
: Se Lucas é goiano, então Lucas é brasileiro. 
 
5º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A se e somente se B” 
(Representação:). 
 
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Sérgio é meu tio. 
B: Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
A bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como: 
 
BA
: Sérgio é meu tio se e somente se Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
6º- Negação: “Não A” (Representação:) 
 
Definição 
Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então 
a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é 
obrigatoriamente verdadeira. 
 
Modos de Negação de uma Proposição Simples 
 
 
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1) Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. 
Exemplo: 
“Beto gosta de futebol”. 
“Beto não gosta de futebol”. 
 
2) Retirando-se a negação antes do verbo. 
Exemplo: 
“Ítalo não é irmão de Maria”. 
“Ítalo é irmão de Maria”. 
 
3) Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. 
Exemplo: 
“n é um número ímpar”. 
“n é um número par”. 
 
Observação 
 
“Este lápis é verde” contradiz, mas não é a negação de “Este lápis é azul”, 
porque a negação desta “Este lápis não é azul” não obriga a que a cor do lápis 
seja verde. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas. 
 
 
Tautologia 
 
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http://4.bp.blogspot.com/-SFVMToc-
VXk/UhgXWBqP18I/AAAAAAAAAQs/0csS66Hcoys/s1600/Racioc%C3%ADnio+L%C3%B3gico.jpg 
 
 
Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre 
verdadeira independentemente dos valores lógicos das proposições que a 
compõem. 
 
Exemplos 
 
1º- A proposição “
 AA 
” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
2º- A proposição “
   BABA 
” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de A e de B. Veja na tabela-verdade a 
seguir: 
 
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Contradição 
 
Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa 
independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. 
 
Exemplo 
1º- A proposição “
 AA 
” é uma contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
 
Observação 
 
 A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. 
 A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. 
 
O exemplo citado mostra que uma proposição qualquer 
A
 e sua negação 
A
 nunca serão ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
 
As três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico 
 
1º- Princípio da Identidade 
Se um enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. 
Em símbolos: 
pp
 
 
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2º- Princípio da Não Contradição 
Nenhum enunciado pode ser verdadeiro e também ser falso. 
Em símbolos: 
 pp 
 
 
3º- Princípio do Terceiro Excluído 
Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. 
Em símbolos: 
pp 
 
 
 
ENIGMAS MATEMÁTICOS 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/_ABXaxuoUMNk/Spp1PfcbJ8I/AAAAAAAAAHg/NWWaFfKk-B0/s320/CRIATIVIDADE+2.JPG 
 
 
Enquanto você pensa em pizza, eu descubro a sua idade! 
Vá lendo aos poucos, conforme for calculando. É rápido, gasta menos que um 
minuto. 
1. Primeiro de tudo, pense no número de vezes por semana que você sente 
vontade de comer pizza (tente pensar em mais de uma vez, mas menos que 
dez); 
 
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2. Multiplique esse número por 2; 
3. Some 5; 
4. Multiplique o resultado por 50; 
5. Se você já fez aniversário este ano, some 1766, se ainda não fez, some 1765; 
6. Agora, subtraia os quatro dígitos do ano que você nasceu do resultado que 
obteve; 
7. Você deve ter obtido um resultado de três dígitos... 
O primeiro dígito desse resultado foi seu número original (o número de vezes 
que você pensa em comer pizza na semana) 
Os dois últimos números são SUA IDADE!!! 
 
Adivinhando seu pensamento! 
 
1. Escolha um número qualquer (dezena, centena, milhar, etc.) 
2. Faça uma permutação dos algarismos deste número, criando um novo 
número. 
3. Subtraia os dois números, o original e o permutado; 
4. Selecione um algarismo não nulo do resultado da subtração; 
5. Dite os outros algarismos, em qualquer ordem; Eu direi qual algarismo você 
selecionou. 
 
A Magia dos Números 
1. Escreva uma centena. 
2. Inverta a ordem dos dígitos, isto é: os algarismos da unidade e da centena 
trocam de lugares. 
 
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3. Subtraia uma centena da outra (Maior – Menor) 
4. Se você me informar o algarismo das unidades, eu digo o resultado desta 
subtração. 
Veja o meu exemplo: Escrevo 149; inverto obtendo 941; subtraindo (941 – 149) 
encontro 792. 
Agora escreva o seu número: 
 
 
Mil e Oitenta e Nove 
1. Desta vez eu irei acertar sem nenhuma informação. 
2. Escolha uma centena não simétrica (141, 505, 959, 333 são exemplos de 
centenas simétricas), repita os passos da mágica anterior. 
3. Inverta o resultado da subtração e soma com o mesmo. 
Você encontrou como resposta o número:_______ 
 
 
O Número da Sorte 
Você é supersticioso? Você tem um número da sorte? 
1. Escolha um dos algarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. 
2. Realizea seguinte multiplicação: 
12.345.679 
 X 
____________________ 
3. Você tem uma dezena da sorte? Escolha uma dezena e realize a seguinte 
multiplicação: 
 
17 
 
 3.367 
 X 
___________ 
 
 
Surpresa Matemática 
1. Diga-me um número de quatro algarismos; 
2. Espere eu lhe entregar um papel; 
3. Diga-me outro número de quatro algarismos; 
4. Minha vez de dizer um número; 
5. Escreva outro número; 
6. Minha vez de novo; 
7. Some todos os números; 
8. Agora abra o papel. 
 
 
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Cartelas Mágicas 
1. Escolha um número qualquer das cartelas; 
2. Depois, diga em quais cartelas o número aparece; 
Rapidamente lhe direi o número que você escolheu. 
 
Nº1 
01 03 05 09 07 11 
13 15 17 19 21 23 
25 27 29 31 33 35 
37 39 41 43 45 47 
49 51 53 55 57 59 
61 63 
Nº2 
02 03 06 07 10 11 
14 15 18 19 22 23 
26 27 30 31 34 35 
38 39 42 43 46 47 
50 51 54 55 58 59 
62 63 
Nº3 
04 05 06 07 12 13 
14 15 20 21 22 23 
28 29 30 31 36 37 
38 39 44 45 46 47 
52 53 54 55 60 61 
62 63 
Nº4 
08 09 10 11 12 13 
14 15 24 25 26 27 
28 29 30 31 40 41 
42 43 44 45 46 47 
56 57 58 59 60 61 
62 63 
 
19 
 
Nº5 
16 17 18 19 20 21 
22 23 24 25 26 27 
28 29 30 31 48 49 
50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 
62 63 
Nº6 
32 33 34 35 36 37 
38 39 40 41 42 43 
44 45 46 47 48 49 
50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 
62 63 
 
COMENTÁRIOS PEDAGÓGICOS 
 
http://docenciainloco.com/wp-content/uploads/2012/11/questoes-de-concurso-de-raciocinio-logico.jpg 
 
 
 
 
 
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Enquanto você pensa em pizza eu descubro a sua idade! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Ao formular uma equação algébrica que represente o respectivo problema, 
utilizando-se do raciocínio lógico, estimulamos o aluno a trabalhar com a 
linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre 
duas ou mais grandezas. 
 Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade) 
Ao ensinar Funções (1ºano do ensino médio), Equações algébricas (7ª série 
do Ensino Fundamental), ou mesmo na resolução de problemas que introduzam 
o cálculo algébrico, como a partir da situação em que os alunos se encontram a 
par desses assuntos. 
 
 
Adivinhando seu pensamento! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Trabalhamos o critério de divisibilidade por nove, manipulações 
numéricas, múltiplos de nove, operações fundamentais e formulação de equação 
algébrica através do raciocínio lógico e por subsídios da linguagem matemática 
do respectivo desafio. 
 Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade? 
A partir do momento que se ensina Múltiplos e Divisores (5ª série do 
ensino fundamental). 
 
 
 
 
 
21 
 
A Magia dos números! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Assim como no Mil e oitenta e nove, trabalharemos a Decomposição 
decimal, além da estruturação de uma equação numérica tendo em vista a 
linguagem matemática do problema em questão. 
 Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade? 
A partir do momento em que o aluno faça bom uso do Sistema de 
Numeração Decimal, Expressão Algébrica, e Operações fundamentais. (5ª série 
do ensino fundamental). 
 
Mil e oitenta e nove! 
 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Buscar resoluções, não por atitudes mecânicas e de memorização, mas 
pelo raciocínio lógico que, como educadores, tanto valorizamos. Decomposição 
decimal e construção de expressão algébrica a partir do problema descrito. 
 
Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade? 
A partir do momento em que o aluno saiba sistema de numeração decimal, 
expressões algébricas, e operações fundamentais. O queremos passar nessa 
atividade é a decomposição decimal dos números e a partir daí ensinar ao aluno 
a operar com o número decomposto. 
 
O Número da sorte! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
 
22 
 
Propriedade associativa da multiplicação. 
 Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade? 
A partir do instante que os alunos tenham o conceito das propriedades da 
operação. Essa atividade mostra alguns múltiplos interessantes de 3 e de 9, 
através da propriedade associativa da multiplicação. 
 
Surpresa matemática! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Este curioso desafio além de permitir uma dinâmica de grupo, aguça nos 
alunos a investigação e o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo. 
Envolvendo conceitos e propriedades sobre operações. 
 Que momentos são possíveis de trabalhar essa atividade? 
A partir do momento em que o educando já tenha conhecimento das 
operações fundamentais, e realize problemas de cálculo numérico Essa 
atividade mostra que somar 19998 é a mesma coisa que somar 20000 e subtrair 
2. 
Cartelas Mágicas! 
 O que trabalharemos com essa atividade? 
Sistema de Numeração Decimal, Conversão da base decimal para 
binária, Potência e operações numéricas. 
 Em que momentos podemos trabalhar com essa atividade? 
Já que o assunto de mudança de base não é mais abordado na escola, 
colocamos as cartelas mágicas a título de curiosidade para os professores, pois 
 
23 
 
julgamos a maneira de abordar a mudança de base com as cartelas mágicas, 
muito interessante. 
O QUE É LÓGICA: 
Lógica, originalmente, é a ciência formal que estuda as leis necessárias à 
construção de um raciocínio perfeito. 
 
Lógica no dia-a-dia: 
 Quando falamos, estamos pensando. Quando escrevemos, estamos 
pensando. Quando pensamos, a lógica nos acompanha. A lógica é importante 
nas nossas vidas, pois quando queremos pensar, falar, escrever corretamente, 
devemos ordenar nosso pensamento, ou seja, utilizar lógica. 
 Desde o início dos tempos, o ser humano tem procurado criar máquinas 
que o auxiliem em seus trabalhos, diminuindo esforços e economizando tempo, 
a isso chamamos tecnologia. Uma das principais máquinas criadas foi o 
computador, pois podem executar diversas atividades, porém dependem do 
homem fornece as instruções (as ordens) para executar as atividades. A 
finalidade de um computador é receber, manipular e armazenar dados através 
de programas, gerando informações. Dados são fenômenos fornecidos sem 
significado, que através do processamento do computador, são transformados 
em resultados com significados, ou seja, informações. 
 
Sequência Lógica: 
Todo ser humano antes de realizar uma atividade tende a pensar antes 
como vai realizá-la. Estes pensamentos podem ser descritos como uma 
sequência de instruções, que devem ser seguidas para se cumprir uma 
determinada tarefa. Então, Sequência Lógica são passos executados até atingir 
um objetivo ou solução de um problema. 
 
24 
 
 Ordem sequencial lógica: 
 Se quisermos fazer uma omelete com bacon, precisaremos colocar em 
prática uma série de instruções: fritar o bacon, quebrar os ovos, bater, etc. É 
evidente que essas instruções têm que ser executadas em uma ordem adequada 
– não se pode bater os ovos e depois quebrá-los. Dessa maneira, uma instruçãotomada em separado não tem muito sentido. Para obtermos o resultado, 
precisamos colocar em prática o conjunto de todas as instruções, na ordem 
correta. 
 
Algoritmo: 
 Algoritmo é uma sequência de instruções organizadas de forma lógica e 
estruturada (sem desvios), expressas em linguagem natural (português 
estruturado), que tem por finalidade resolver um problema ou descrever uma 
tarefa. Outras definições: 
 “Um conjunto finito de regras que provê uma sequência de operações 
para resolver um tipo de problema específico” [KNUTH] 
 “Sequência ordenada, e não ambígua, de passos que levam à solução 
de um dado problema” [TREMBLAY] 
Exemplos de Algoritmo: 
 As operações matemáticas (adição, multiplicação, divisão, 
subtração, radiciação e potência de números reais). 
 Qual o valor da expressão numérica: 
{4 + [(4 x 5 - 19) - (10 - 32) + 113] - (28:2 - 10) - 1} 
 Manual de instalação de certo aparelho eletrônico. 
 
25 
 
 Chupar uma bala: Pegar a bala. Retirar o papel. Colocar a bala 
na boca. Chupar a bala. Jogar o papel no lixo. 
 Receita de Bolo: 
Bolo de chocolate 
Ingredientes: 
4 xícaras (chá) de farinha de trigo 2 xícaras (chá) de açúcar 
cristal 2 xícaras (chá) de achocolatado 2 colheres (sopa) de fermento 
em pó 1 pitada de sal 3 ovos 2 xícaras (chá) de água morna 1 xícara 
(chá) de óleo para untar Farinha de trigo para polvilhar Mas, somente 
os ingredientes são suficientes para preparar o bolo de chocolate? 
Pode preparar de qualquer maneira? 
Modo de preparo: 
Numa vasilha, misture 4 xícaras (chá) de farinha de trigo ,2 
xícaras(chá) de açúcar cristal, 2 xícaras(chá) de achocolatado, 2 
colheres(sopa) de fermento em pó e1 pitada de sal. Junte 3 ovos, 2 
xícaras(chá) de água morna e 1 xícara(chá) de óleo. Misture bem. 
Unte uma forma retangular com óleo e polvilhe farinha de trigo e 
despeje amassa. Asse em temperatura média (de170Ca180C) por 
30 minutos 
 Escovar os dentes pela manhã: 
Pegar a escova e o creme dental. Colocar creme dental na escova. 
Escovar os dentes. Enxaguar a boca com água. 
 
NOÇÕES DE LÓGICA 
Proposição é toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que 
pode ser valorada como verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
26 
 
Estas sentenças devem ser declarativas, pois as interrogativas, as 
exclamativas ou outras não podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. 
Exemplos: 
 O Brasil é um país da América do Sul. 
 2 é um número par. 
 
Proposição simples ou atômica é quando a proposição não contém 
qualquer outra proposição. 
Proposição composta ou molecular é quando se pode extrair dela uma 
outra proposição. 
Exemplos: 
 Proposição simples: A terra é redonda. 
 Proposição Composta: Eduarda é filha de Luís e Cláudia. Dessa 
proposição pode se extrair as proposições: Eduarda é filha de Luís 
e Eduarda é filha de Cláudia. 
CONECTIVOS LÓGICOS 
 Conectivos lógicos são palavras ou expressões que frequentemente 
estão presentes nas proposições. São eles: “não”,” e”,” “ou, “se …então”,” se e 
somente se”. 
Exemplo: Se Luís Felipe não é adulto então ele é criança ou adolescente. 
Essa é uma proposição composta com os conectivos lógicos “não”, “se … 
então”, e “ou”. 
Os conectivos agem sobre as proposições compostas a que estão ligados 
de modo que seu valor lógico (verdadeiro ou falso) depende somente: 
 
27 
 
 Do valor lógico de cada uma das proposições componentes; 
 E da forma como essas preposições estão ligadas pelos conectivos 
lógicos utilizados. 
Exemplo 
Proposições Valor Lógico 
3 é um número primo V 
3 é um número fracionário F 
3 é um número primo e fracionário F 
3 é um número primo ou fracionário V 
 
PRINCIPAIS ESTRUTURAS LÓGICAS E SUAS 
DENOMINAÇÕES 
Estruturas 
Fundamentais 
Denominações Representações Exemplos 
Não A Negação ∼A 10 não é um 
número par 
A ou B Disjunção A ∨ B 10 é um número par 
ou é um número 
primo 
Ou A ou B Disjunção Exclusiva A ∨ B Ou 10 é um número 
par ou 10 é um 
número primo 
A e B Conjunção A ∧ B 10 é um número par 
e 10 é um não 
primo 
Se A, então B Condicional A → B Se 10 é um número 
par então 10 é um 
número primo 
 
28 
 
A se e somente se B Bicondicional A ↔ B 10 é um número par 
se e somente se 10 
é um número primo. 
 
TABELAS-VERDADE DAS ESTRUTURAS 
FUNDAMENTAIS 
 
Negação (∼A, A , ¬A) 
Dada uma proposição: A chama-se negação de A à preposição A 
acrescida do conectivo “não” ou de outro equivalente. 
Exemplo: 
 A: 10 é um número par 
 ∼ A: 10 não é um número par. 
Outras formas de se expressar a negação: 
 Não é verdade que A 
 É falso que A 
 Tabela-verdade da negação 
A ∼A 
V F 
F V 
 
Disjunção (A ∨ B) 
 
29 
 
Disjunção é a proposição composta formada por duas preposições 
quaisquer que estão ligadas pelo conectivo “ou”. 
Exemplo: 
 A: 5 é um número primo 
 B: 10 é um número ímpar 
 A ∨ B 5 é um número primo ou 10 é um número ímpar. 
 Tabela-verdade da disjunção (A ∨ B) 
A B A ∨ B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Exemplos: 
 A B A ∨ B 
5 é um número primo (V) 10 é um número par (V) 5 é um número primo ou 10 é 
um número par (V) 
5 é um número primo (V) 10 é um número ímpar (F) 5 é um número primo ou 10 é 
um número ímpar (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) 5 é um número par ou 10 é 
um número par (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número ímpar (F) 5 é número par ou 10 é um 
número ímpar (F) 
CONCLUSÃO: Para uma disjunção ser verdadeira basta uma das proposições ser verdadeira. 
 
 
30 
 
Disjunção Exclusiva (A) 
Disjunção exclusiva é uma preposição composta formadas por duas 
preposições quaisquer em cada uma delas tem está precedida pelo conectivo 
“ou”. 
Exemplo: 
 A: 5 é um número primo 
 B: 10 é um número par 
 A B: Ou 5 é um número primo ou 10 é um número par. 
 Tabela-verdade da disjunção (A) 
 A B A B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Exemplo: 
A B A ∨ B 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número par (V) Ou 5 é um número ímpar ou 
10 é um número par (F) 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número ímpar (F) Ou 5 é um número ímpar ou 
10 é um número é ímpar (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) Ou 5 é um número par ou 10 
é um número par (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número ímpar (F) Ou 5 é um número par ou 10 
é um número ímpar (F) 
 
31 
 
CONCLUSÃO: Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando as preposições têm valores lógicos 
contrários. 
 
Conjunção (A ∧ B) 
Conjunção é a preposição composta por duas preposições quaisquer 
ligadas pelo conectivo “e”. 
Exemplo: 
 A: 5 é um número primo 
 B: 10 é um número par 
 A ∧ B: 5 é um número primo e 10 é um número par. 
 
Tabela-verdade da conjunção (A ∧ B) 
A B A ∧ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Exemplo: 
A B A ∧ B 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número par (V) 5 é um número ímpar e 10 é 
um número par (V) 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número ímpar (F) 5 é um número ímpar e 10 é 
um número ímpar (F) 
 
32 
 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) 5 é um número par e 10 é um 
número par (F) 
5 é um número par (F) 10 é um número ímpar (F) 5 é um número par e 10 é um 
número ímpar (F) 
CONCLUSÃO: Uma conjunção só é verdadeira se as duas preposições são verdadeiras. 
 
Condicional (A → B) 
Em uma preposição condicional “SeA, então B” a preposição precedida 
da conjunção “se” é chamada “condição” ou “antecedente”, enquanto a 
preposição B, precedida da proposição “então” é denominada de “conclusão” ou 
“consequente”. 
Exemplo: 
 A: 5 é um número ímpar 
 B: O dobro de 5 é um número par 
 A → B: Se 5 é um número ímpar, então o dobro de 5 é um número 
par. 
Outras formas de expressar a condicional: 
 Se A, B 
 B, se A 
 A implica B 
 A somente se B 
 A é suficiente para B 
 B é necessário para A 
 Tabela-verdade da condicional (A → B) 
A B A → B 
 
33 
 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Exemplo: 
Considere a afirmativa: “Se um número é ímpar seu dobro é par” e as 
seguintes possibilidades: 
A B A → B 
Um número é ímpar (V) O dobro do número é par (V) Se um número é ímpar, então 
seu dobro é par(V) 
Um número é ímpar (V) O dobro do número é ímpar 
(F) 
Se um número é ímpar seu 
dobro é par (F) 
Um número é par (F) O dobro do número é par (V) Se um número é ímpar, então 
seu dobro é par (V) (porque 
nada se disse sobre o dobro de 
um número par. Como uma 
preposição deve ser verdadeira 
ou falsa e essa não é falsa, 
então ela é verdadeira) 
Um número é par (F) O dobro do número é ímpar Se um número é par, então seu 
dobro é ímpar (V) (como o 
dobro do número ser par 
estava condicionado ao fato do 
número ser ímpar e sendo o 
número par não 
necessariamente ele deveria 
ser par, logo a preposição não 
é falsa. Portanto ela é 
verdadeira) 
IMPORTANTE: Usualmente quando se tem uma condicional é necessário 
que as preposições A e B se relacionem de alguma forma ou guardem uma 
 
34 
 
relação de causa ou efeito. Mas, segundo as regras da Lógica, mesmo quando 
não existem essas relações entre A e B, a proposição A → B só é falsa se A é 
verdadeira e B é falsa. 
 
Bicondicional (A ↔ B) 
Bicondicional é uma preposição composta de duas preposições 
quaisquer ligadas pelo conectivo “se e somente se”. 
Exemplo: 
 A: 14 é múltiplo de 7 
 B: 14 é divisível por 7 
 A ↔ B: 14 é múltiplo de 7 se e somente se 14 é divisível por 7 
Outras formas de se expressar a bicondicional: 
 A se e só se B Todo A é b e todo B é A. 
 Todo A é B e reciprocamente. 
 Se A então B e reciprocamente. 
 A é necessário e suficiente para B. 
 A é suficiente para B e B é suficiente para A. 
 A é necessário para B e B é necessário para A. 
 Tabela-verdade da condicional (A ↔ B) 
 A B A ↔ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
35 
 
Exemplo: 
A B A ↔ B 
14 é múltiplo de 7 (V) 14 é divisível por 7 (V) 14 é múltiplo de 7 se e somente se 
14 é divisível por 7 (V) 
14 é múltiplo de 7 (V) 14 não é divisível por 7F 14 é múltiplo de 7 se e somente se 
14 não é divisível por 7 (F) 
14 não é múltiplo de 7 
(F) 
14 é divisível por 7 (V) 14 não é múltiplo de 7 se e 
somente se 14 é múltiplo de 7 (F) 
14 não é múltiplo de 7 
(F) 
14 não é divisível por 7 (F) 14 não é múltiplo de 7 se e 
somente se 14 não é divisível por 7 
(V) 
CONCLUSÃO: Uma preposição bicondicional só é verdadeira se as preposições que a compõem têm o mesmo 
valor lógico. 
OUTRAS DEFINIÇÕES 
 Sentenças abertas: A expressão P(x) é uma sentença aberta na variável 
x se, e somente se, P(x) se tornar uma preposição sempre que substituirmos a 
variável x por qualquer elemento de um certo conjunto denominado universo do 
discurso. 
 Universo do discurso: conjunto de todos os valores que a variável x pode 
assumir. 
 Exemplo: 
 Universo do discurso: Conjunto de todos os números inteiros 
Sentença aberta: O dobro de um número inteiro é igual a 6. 
 Sentença matemática aberta: 2x = 6 
 Observe que a sentença aberta é uma preposição verdadeira para 
x = 3 e falsa para todos os demais números inteiros. Entretanto, a 
preposição conseguida quando se substitui x por todos os valores 
do universo ela não tem necessariamente verdadeira. 
 
36 
 
 
Tautologia: Uma preposição composta é uma tautologia se ela for 
sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das preposições que a 
compõem. 
Exemplo: 
 Se 2 é um número par e primo, então 2 é um número par ou 2 é 
um número primo. 
 Tabela-verdade da tautologia: 
A B A ∧ B A ∨ B A ∧ B→ A ∨ B 
2 é número par 2 é número 2 é um número 2 é um número 
par ou um 
Se 2 é um 
número par e 
(V) primo (V) par e primo (V) número 
 primo 
(V) 
primo, então 2 é 
um número par ou 
um número 
primo (V) 
2 é um número 
par (V) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 é um número 
par e não é 
primo (F) 
2 é um número 
par ou não é um 
número primo 
(V) 
Se 2 é um número 
par e primo então 
2 é um número 
par ou é um 
número primo (V) 
2 não é um 
número par (F) 
2 é um número 
primo (V) 
2 não é um 
número par e é 
um número 
primo (F) 
2 não é um 
número par ou 2 é 
um número 
primo (V) 
Se 2 é um número 
par e primo, então 
2 é um número 
par ou um número 
primo (V) 
 
37 
 
2 não é um 
número par (F) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 não é um 
número par e um 
número 
primo (F) 
2 não é um 
número par ou 2 
não é um número 
primo 
(F) 
Se 2 é um número 
par e primo então 
2 é um número 
par ou um número 
primo (V) 
 
Contradição: Uma proposição composta formada por uma ou mais 
proposições é uma contradição se, e somente se, independente dos valores 
lógicos de suas preposições componentes, ela é sempre falsa. 
Exemplo: 
 Um número é par se e somente se ele não é par. 
Tabela-verdade da Contradição 
A ∼A A ↔ B 
V F F 
F V F 
OBSERVAÇÃO: A negação de uma tautologia é sempre uma contradição e a negação se uma contradição é 
sempre uma tautologia. 
 Contingência: Uma preposição composta é uma contingência se seu 
valor lógico depende dos valores lógicos das preposições que a compõem. 
Proposições equivalentes: Duas proposições são equivalentes se são 
compostas pelas mesmas proposições simples e têm tabelas-verdade idênticas. 
(A ⇔ B). 
 
 
 
38 
 
LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO 
 
1ª Lei: Princípio da Identidade: Se uma preposição qualquer é verdadeira 
então ela é verdadeira. (P → P) 
2ª Lei: Princípio da não contradição: Nenhuma preposição pode ser 
verdadeira e também falsa. ∼(P ∧ ∼P) 
3ª Lei: Princípio do terceiro excluído: Uma proposição ou verdadeira ou é 
falsa. (ou P ou ∼P) 
 
REGRAS DE EQUIVALÊNCIAS 
 
Leis da Comutatividade: 
 A ∧ B ⇔ B ∧ A 
 A ∨ B ⇔ B ∨ A 
 A ∨ B ⇔ B ∨ A 
 A ↔ B ⇔ B ↔ B 
 
Leis de Associatividade: 
 (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) 
 (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) 
 
Leis da Distributividade: 
 
39 
 
 A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 
 A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 
 
Lei da dupla negação: 
 ∼ (∼ A) ⇔ A 
 
Lei das Equivalências da Condicional: 
 A → B ⇔ ∼A ∨ B 
 A → B ⇔ ∼B → ∼A 
 
Leis das Equivalências da Bicondicional: 
 A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) 
 A ↔ B ⇔ (A ∧ B) ∨ (∼B ∧ ∼A) 
 A ↔ B ⇔ B) 
 
TABELA DAS NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES 
COMPOSTAS 
Proposição Negação direta Equivalente da negação 
A e B Não (A e B) Não A e não B 
A ou B Não (A ou B) Não A ou não B 
Se A então B Não (se A então B) A e não B 
 
40 
 
A se e somente se B Não (A se e somente se B) Ou A ou B 
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B 
Algum A é BNão (algum A é B) Nenhum A é B 
 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 Na Lógica clássica (aristotélica) usa-se apenas quatro tipos de 
proposições, denominadas proposições categóricas. Elas podem ser universais 
ou particulares e são 
 Afirmativas Negativas 
Universais Todo A é B Nenhum A é B 
Particulares Algum A é B Algum A não é B 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 Diagrama lógico é um esquema de representação das relações entre as 
diversas partes que compõem uma proposição. O modelo mais usados são os 
diagramas de Venn-Euler. 
Nesses modelos, o universo do discurso (conjunto de tudo que se admite 
como possível em um dado contexto) é representado por um retângulo e cada 
proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo do discurso. 
 
41 
 
 
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região e 
falsa em todos os demais pontos do universo. Assim, na região 1 do diagrama 
ao lado A é verdadeira e na região B ela é falsa. 
 Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama, somente as 
regiões para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada 
for verdadeiro serão sombreadas. 
 
DIAGRAMA DA NEGAÇÃO 
 
Se a proposição for representada pelo conjunto A, então a negação “não 
A” corresponderá ao conjunto complementar de A. 
 
 
 
 
 
42 
 
DIAGRAMA DA CONJUNÇÃO 
 
 
DIAGRAMA DA DISJUNÇÃO 
 
 
DIAGRAMA DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
 
 
 
A B 
 
A ∧ B corresponde à interseção A ∩ B 
A B A 
 
A ∨ B corresponde à união A ∪ B 
 
43 
 
DIAGRAMA DA CONDICIONAL 
 
Sombreando somente as regiões correspondentes aos resultados V da 
tabela-verdade da proposição condicional. 
 
Como a inclusão do conjunto A no conjunto B 
 
DIAGRAMA DA BICONDICIONAL 
 
 
 
 
A ↔ B corresponde à igualdade dos conjuntos A e B 
 
 
A 
A=B 
 
44 
 
A (V) e B (V) 
 
 A (V) e B (V) 
 → A ↔ B (V) ~ A (F) e ~B(F) 
 
PRICÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO 
 Em análise Combinatória há dois princípios fundamentais – 
 Princípio Aditivo e o 
 Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem 
Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princípio aditivo 
para resolvê-lo. 
 Em uma escola foi feita uma enquete para saber quem prefere futebol ou 
vôlei. O resultado foi o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de 
vôlei e 80 alunos gostam dos dois esportes. Quantos alunos tem essa escola? 
 Em princípio parecem ser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, há 
que se observar que entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos 
que também gostam de vôlei, portanto, o número de alunos que gostam somente 
de futebol é 230 – 80 = 150. Da mesma maneira, o número de alunos que gostam 
somente de vôlei é 150 – 80 = 70. Sendo assim, o número de alunos da escola 
será: 
 
45 
 
 Número de alunos que gostam só de futebol + número de alunos que 
gostam só de vôlei + número de alunos que gostam de futebol e vôlei, ou seja, 
150 + 70 + 80 = 300 alunos. 
 Isto porque, segundo o teorema: 
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por: 
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(AnB); 
em que n() representa o número de elemento de um conjunto. 
Exemplo: Em uma confeitaria existem 5 tipos de salgados - empada, 
coxinha, pastel, quibe e casulo - e 3 tipos de suco – de uva, de laranja e abacaxi. 
Se Flávia vai lanchar e só pode comer um salgado e tomar um suco, quantos 
são os possíveis pedidos que ela pode fazer? 
Ora, ela pode escolher um entre os 5 salgados e um entre os 3 sucos, 
logo, ela poderá fazer 8 tipos de pedidos. 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO OU PRINCÍPIO 
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Considere o seguinte problema: 
 “Quero ir da cidade A à cidade C, passando pela cidade B. Sabendo-se 
que há 3 caminhos para ir de A à B e 4 caminhos para ir de B a C, de quantos 
maneira possíveis posso fazer essa viagem?” 
 Uma das maneiras de se resolvê-lo é usando a árvore de possibilidades. 
Sejam B1, B2, B3 os três caminhos para ir de A a B e C1, C2, C3 e C4 os 
caminhos para ir de B a C. 
 
46 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 Intuitivamente, permutar significa misturar e essa é a ideia que usamos 
para resolver problemas de permutação simples. 
Considere o seguinte problema: 
 “Com os algarismos 3,5,7,9 e sem repeti-los, quantos números de quatro 
algarismos podem ser formados.” 
Pelo princípio multiplicativo, temos que o total de possibilidades é: 
4 x 3 x 2 x 1 = 24 
Observe que nesse exercício, a ordem dos algarismos é muito importante. 
Todos os números se diferem pela ordem de seus algarismos. 
Portanto, se temos n elementos distintos, então o número de 
agrupamentos ordenados que podemos obter é dado por: 
n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1 
 Esses agrupamentos ordenados (que diferem pela ordem) são chamados 
permutação simples e representados por: 
Pn = n(n-1)(n-2)(n-3)….3.2.1 
 
O número n(n-1)(n-2)(n-3)….3.2.1 é chamado fatorial de n e representado 
por n! 
 
 
 
 
 
47 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 Vejamos agora a seguinte situação: 
 
 “Considere os números 1,2,3,4. Quantos e quais são os números 
formados por dois algarismos?” 
 Temos como solução os números 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 
42, 43, perfazendo um total de 12 números. 
O que fizemos foi arranjarmos 4 algarismos agrupados 2 a 2. 
Esse tipo de agrupamento é chamado arranjo simples e representado por 
A4,2 
Nesse problema temos que A4,2 = 4.3 
De modo geral temos 
Arranjo simples de n elementos tomados p a p (n ≤ p) são agrupamentos 
ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. 
Matematicamente representamos: 
 
 
 
 
 A n,p = n(n - 1)( n - 2) … (n - p+1) 
ou 
A n,p = 
n! 
 
 
48 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
 Em Análise Combinatória, intuitivamente o conceito de combinação está 
associado à noção de escolher subconjuntos. 
Considere o problema de combinação simples: 
 
 “Um time de basquete é formado por Luís Felipe, Flávio, André, Pedro e 
Diogo. Em uma apresentação, três deles deve representar o time. Quais e 
quantas são as possibilidades de representar essa equipe?” 
 As representações possíveis são: 
 Luís Felipe, Flávio e Pedro 
 Luís Felipe, Flávio e Diogo 
 Luís Felipe, Pedro e Diogo 
 Flávio, André e Pedro 
 Flávio, André e Diogo André, Pedro e Diogo 
Em um total de 6 representações, pois todos os outros subconjuntos são 
ņ iguais a esses, já que conjuntos com os mesmos elementos são iguais 
independentemente da ordem. 
Escrevemos C5,3 = 6 
De modo geral temos: 
 Combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) 
são os subconjuntos de exatamente p elementos que se podem formar com os 
n elementos dados. 
Indicamos a combinação simples de n elementos tomados p a p por: 
 
 
 
49 
 
 ou ou 
 
O número total de combinações simples que se pode formar com n 
elementos tomados p a p é dado por 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 Seja o problema 
 “Quantos são os anagramas da palavra SAPATO?” 
 Anagrama é uma palavra obtida a partir de outra pela mudança de 
posição de suas letras. 
Se as letras A fossem diferentes, teríamos: S, A1, P, A2, T, O e o número 
de anagramas possíveis seria P6. Como a mudança de localização dos As não 
produzirá um novo anagrama, é necessário que se divida P6 por P2. 
Assim, a solução correta do problema é 
P6 = 6! = 6 x5x4x3x 2! = 360___ ___ ____________ 
 P2 2! 2! 
 
 
 
 
 
 
C n,p = 
p)! p!(n 
n! 
− 
 = C n,p = 
p! p)! ( n 
n! 
− 
 
 
ou 
 
A 
 
50 
 
ARRANJOS COM REPETIÇÃO 
 Definição: 
 Seja A um conjunto com n elementos distintos. Chama-se arranjo com 
repetição dos n elementos tomados p a p, aos grupamentos contendo n 
elementos distintos ou não, de modo que dois agrupamentos sejam diferentes 
pela ordem ou pela natureza de seus elementos. 
 Representamos o arranjo com repetição de n elementos tomados p a p 
por (AR)p n 
 O número de agrupamentos possíveis é dado por 
 
 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto A = {1,2,3,4}. Qual o número total de combinações com 
repetição dos elementos de A, tomados 2 a 2? 
 Solução: 
Os agrupamentos possíveis são: 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 
totalizando 10 agrupamentos. 
Usando a fórmula temos 
(CR)24 = = =10 
p n(n+1)(n+ 2)...(n = 
(CR)n 
p! 
 
A permutação de n elementos dos quais a são de um tipo, b de outro e c de outro tipo, com 
a+b+c=n é dada por 
 c! b! a! 
n! 
 P 
a,b,c 
n = 
 
51 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
AUSUBEL, D.; NOVAK, J. & HANESIAN, H. Educational psychology: A cognitive 
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