Analise de circuitos eletricos

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Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos
 
 
 
 
Notas
 
Citação
 
Agradecimentos
 
Apresentação
 
Convenções
 
Índice
 
Index
 
Sebenta 
Multimédia
 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/0%20capa.htm (1 of 2)3/16/2009 5:47:47 PM
Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos
 
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Índice
 
 
Capítulo 1 Capítulo 2
 1 Grandezas Eléctricas
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico
1.1.1 Carga Eléctrica
1.1.2 Força Eléctrica
1.1.3 Campo Eléctrico
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica
1.2.1 Energia Potencial Eléctrica
1.2.2 Tensão Eléctrica
1.3 Corrente e Potência Eléctrica
1.3.1 Corrente Eléctrica
1.3.2 Potência Eléctrica
1.4 Sinais Eléctricos
1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal
1.6 Instrumentos de Medida
1.6.1 Voltímetro
1.6.2 Amperímetro
1.6.3 Wattímetro
1.6.4 Multímetro
1.6.5 Osciloscópio
Sumário
Exercícios de Aplicação
 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
2.1.1 Definições
2.1.2 Componentes Fundamentais
2.2 Componentes Lineares e Não Lineares
2.2.1 Linearidade
2.2.2 Distorção Harmónica
2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 3 Capítulo 4
 3 Resistência Eléctrica
3.1 Lei de Ohm
3.2 Lei de Joule
3.3 Tipos de Resistências
3.3.1 Resistências de Carvão
3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina
3.3.3 Resistências Bobinadas
3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino
3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis
3.3.6 Características Técnicas das Resistências
3.4 Varístores
3.5 Efeitos da Temperatura
3.6 Sensores Resistivos
3.6.1 Termo-resistências e Termístores
3.6.2 Foto-resistências
3.6.3 Outros Sensores Resistivos
3.7 Ohmímetro
Sumário
Exercícios de Aplicação
 4 Leis de Kirchhoff
4.1 Leis de Kirchhoff
4.1.1 Lei de Kirchhoff das Tensões
4.1.2 Lei de Kirchhoff das Correntes
4.2 Associação de Resistências
4.2.1 Associação em Série
4.2.2 Associação em Paralelo
4.2.3 Associação Série-Paralelo
4.3 Divisores de Tensão e de Corrente
4.3.1 Divisor de Tensão
4.3.2 Divisor de Corrente
4.3.3 Curto-circuito e Circuito Aberto
4.4 Resistência Interna das Fontes
4.4.1 Fonte de Tensão
4.4.2 Fonte de Corrente
4.5 Transformação de Fonte
4.6 Associação de Fontes
4.6.1 Associação de Fontes de Tensão
4.6.2 Associação de Fontes de Corrente
4.7 Exemplos de Aplicação
4.7.1 Exemplo de Aplicação-1
4.7.2 Exemplo de Aplicação-2
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/00indice.htm (1 of 4)3/16/2009 5:47:50 PM
Índice
4.7.3 Exemplo de Aplicação-3
4.7.4 Exemplo de Aplicação-4
4.7.5 Exemplo de Aplicação-5
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 5 Capítulo 6
 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos
5.1 Método dos Nós
5.1.1 Fontes de Corrente Independentes
5.1.2 Fontes de Tensão Independentes
5.1.3 Fontes de Corrente Dependentes
5.1.4 Fontes de Tensão Dependentes
5.2 Exemplos de Aplicação
5.2.1 Exemplo de Aplicação-1
5.2.2 Exemplo de Aplicação-2
5.3 Método das Malhas
5.3.1 Fontes de Tensão Independentes
5.3.2 Fontes de Corrente Independentes
5.3.3 Fontes de Tensão Dependentes
5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes
5.4 Exemplos de Aplicação
5.4.1 Exemplo de Aplicação-1
5.4.2 Exemplo de Aplicação-2
Sumário
Exercícios de Aplicação
 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos
6.1 Teorema da Sobreposição das Fontes
6.2 Teorema de Thévenin
6.3 Equivalente de Norton
6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência
6.5 Teorema de Millman
6.6 Teorema de Miller
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 7 Capítulo 8
 7 Condensador e Capacidade Eléctrica
7.1 Capacidade Eléctrica
7.2 Característica Tensão-Corrente
7.2.1 Características i(v) e v(i)
7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada
7.2.3 Exemplos de Aplicação
7.3 Associação de Condensadores
7.3.1 Associação em Paralelo
7.3.2 Associação em Série
7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão
7.5 Tipos de Condensadores
7.5.1 Condensadores de Mica
7.5.2 Condensadores de Película ou Folha
7.5.3 Condensadores Cerâmicos
7.5.4 Condensadores Electrolíticos
7.5.5 Condensadores Híbridos
7.5.6 Condensadores Variáveis
7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores
7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores
7.6 Sensores Capacitivos
7.7 Instrumentos de Medida da Capacidade
Sumário
Exercícios de Aplicação
 8 Bobina e Indutância Electromagnética
8.1 Grandezas Magnéticas
8.1.1 Força e Campo Magnético
8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético
8.1.3 Materiais Magnéticos
8.1.4 Indutância
8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética
8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua
8.2 Característica Tensão-Corrente
8.2.1 Características v(i) e i(v) 
8.2.2 Energia Magnética Armazenada
8.3 Associação de Bobinas
8.3.1 Associação em Série
8.3.2 Associação em Paralelo
8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente
8.5 Tipos de Bobinas
8.6 Sensores Indutivos
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 9 Capítulo 10
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Índice
 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem
9.1 Solução Natural
9.1.1 Circuitos RC e RL
9.1.2 Solução Natural
9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade
9.1.4 Solução Natural Comutada
9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada
9.2 Solução Forçada
9.2.1 Circuitos RC e RL
9.2.2 Soluções Natural e Forçada
9.2.3 Solução Forçada Constante
9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal
9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes
9.4 Exemplos de Aplicação
9.4.1 Exemplo de Aplicação-1
9.4.2 Exemplo de Aplicação-2
9.4.3 Exemplo de Aplicação-3
9.4.4 Exemplo de Aplicação-4
 Sumário
 Exercícios de Aplicação
10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem
10.1 Topologias Básicas
10.2 Formulação das Equações
10.2.1 Método da Substituição
10.2.2 Método do Operador-s
10.2.3 Método das Variáveis de Estado
10.3 Solução Natural
10.3.1 Soluções Naturais Alternativas
10.3.2 Solução Sobre-amortecida
10.3.3 Solução Criticamente Amortecida
10.3.4 Solução Sub-amortecida
10.3.5 Solução Oscilatória
10.4 Solução Forçada
10.4.1 Solução Forçada Constante
10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 11 Capítulo 12
11 Impedância Eléctrica
11.1 Fasor e Impedância
11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais
11.1.2 Fasor
11.1.3 Impedância Eléctrica
11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial
11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial
11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial
11.4.1 Transformação de Fonte
11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton
11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes
11.4.4 Teorema de Millman
 11.4.5 Teorema de Miller
11.5 Potência
11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L
11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL
11.5.3
Potências Activa, Reactiva e Aparente
11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência
Sumário
Exercícios de Aplicação
12 Análise da Resposta em Frequência
12.1 Resposta em Frequência
12.1.1 Circuito RC
12.1.2 Diagramas de Bode
12.1.3 Exemplo de Aplicação
12.2 Circuitos Ressonantes
12.2.1 Circuito Ressonante Série
12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo
12.3 Notação de Laplace
12.3.1 Função de Transferência
12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos
12.4 Filtros Eléctricos
12.4.1 Filtros Passa-Baixo
12.4.2 Filtros Passa-Alto
12.4.3 Filtros Passa-Banda
12.4.4 Filtros Rejeita-Banda
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 13 Capítulo 14
13 Bobinas Acopladas e Transformadores
13.1 Bobinas Acopladas
13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua
13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas
13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente
13.2 Transformador Ideal
13.2.1 Transformador Ideal em Vazio
13.2.2 Transformador Ideal em Carga
13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente
13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores
13.3.1 Auto-Transformador
13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos
13.3.3 Transformadores de Medida
14 Diportos Eléctricos
14.1 Diportos
14.1.1 Definições
14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes
14.1.3 Exemplos de Aplicação
14.2 Associação de Diportos
14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Modo Híbrido
14.2.2 Exemplos de Aplicação
14.3 Diportos Amplificadores
14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída
14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente
14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata
Sumário
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Índice
13.3.4 Transformadores de Sinal
13.3.5 Transformadores de Potência
13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos
Sumário
Exercícios de Aplicação
Exercícios de Aplicação
 
Capítulo 15 Capítulo 16
15 Amplificador Operacional
15.1 AmpOp Ideal
15.2 Montagens Básicas
15.2.1 Montagem Inversora
15.2.2 Montagem Não-Inversora
15.3 Circuitos com AmpOps
15.3.1 Seguidor de Tensão
15.3.2 Somador Inversor
15.3.3 Amplificador Inversor
15.3.4 Amplificador da Diferença
15.3.5 Amplificador de Instrumentação
15.3.6 Filtros Activos
15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente
15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps
15.4.1 Ganho e Largura de Banda
15.4.2 Taxa de Inflexão
15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída
15.4.4 Ganho de Modo Comum
15.4.5 Tensões de Saturação
15.4.6 Tensão de Desvio (offset)
15.4.7 Correntes de Polarização
15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais
Sumário
Exercícios de Aplicação
16 Transferidor de Tensão e Corrente
16.1 Transferidor Ideal
16.2 Montagens Básicas
16.2.1 Seguidor de Tensão
16.2.2 Seguidor de Corrente
16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente
16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão
16.2.5 Amplificador de Corrente
16.2.6 Amplificador de Tensão
16.3 Circuitos com Transferidores
16.3.1 Amplificador Diferencial
16.3.2 Somador
16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão
16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão
16.3.5 Conversores de Impedâncias
16.3.6 Filtros Activos
16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores
16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída
16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização
16.4.3 Largura de Banda
Sumário
Exercícios de Aplicação
 
APÊNDICE-A APÊNDICE-B
Código de Identificação de Resistências Matrizes e Determinantes
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/00indice.htm (4 of 4)3/16/2009 5:47:50 PM
Sumário
Sumário
A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. A carga é uma 
propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma força, cuja intensidade é estabelecida 
pela Lei de Coulomb.
O estudo da Ciência Eléctrica envolve um conjunto variado de conceitos e grandezas, de entre as quais se 
salientam a corrente e a tensão eléctrica. Estas duas grandezas são designadas por variáveis operatórias dos 
circuitos eléctricos.
Um sinal eléctrico é uma função matemática representativa da variação temporal de uma grandeza eléctrica. 
A grandeza tanto pode ser a tensão eléctrica entre os terminais de uma bateria, como a corrente entre dois 
pontos de um circuito, como ainda a carga armazenada, a energia libertada, etc. As formas mais comuns 
dos sinais eléctricos são a constante, a sinusoidal, a rectangular, a triangular, o escalão e a exponencial.
As fontes podem ser de tensão ou de corrente, e de alimentação ou de sinal. Uma tensão eléctrica pode ser 
gerada a partir de três mecanismos básicos: através de uma reacção química, através do fenómeno da 
indução electromagnética e através do efeito foto-eléctrico.
Existem diversos instrumentos de medida das grandezas eléctricas. No âmbito desta disciplina destacam-se 
o voltímetro, o amperímetro, o wattímetro, o multímetro e o osciloscópio. O osciloscópio é um instrumento 
de medida que permite visualizar em tempo real a amplitude de uma tensão eléctrica variável no tempo.
 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.0%20sumar_01.htm3/16/2009 5:47:46 PM
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico
1.1.1 Carga Eléctrica
A carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria. As partículas elementares detentoras desta 
propriedade são o electrão e o protão, ambas constituintes do átomo, localizando-se os protões no núcleo e 
os electrões em órbitas envolventes do mesmo. Além dos protões, o núcleo dos átomos é também 
constituído por neutrões, neutros do ponto de vista eléctrico.
As cargas eléctricas do protão, do electrão e do neutrão são, respectivamente, 
Qp = e = 1.6*10-19 C, coulomb (1.1)
Q
e
 = -e = -1.6*10-19 (1.2)
Q
n
 = 0 (1.3)
as massas em repouso são
mp » mn = 1.672*10
-24 g, grama (1.4)
m
e
 = 9.11*10-28 (1.5)
e os raios, assumindo-as esféricas, são
rp » rn » re = 2.81*10
-15 m, metro (1.6) 
Os valores apresentados em (1.1) a (1.6) indicam que os protões e os neutrões são aproximadamente 2000 
vezes mais densos que os electrões.
Os átomos neutros contêm o mesmo número de electrões e de protões. São exemplos de neutralidade 
eléctrica o átomo de hidrogénio, que contém um protão e um electrão, o átomo de hélio, que contém dois 
protões, dois electrões e dois neutrões, etc. Os átomos não neutros são designados por iões. Um átomo 
torna-se num ião negativo quando captura electrões numa das suas órbitas, e positivo quando os perde. Os 
protões, os electrões e em geral os iões são as entidades responsáveis pelo fenómeno da força eléctrica.
1.1.2 Força Eléctrica
A Lei de Coulomb estabelece que duas cargas eléctricas pontuais se atraem ou repelem com uma força cuja 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.1%20cargafor.htm (1 of 3)3/16/2009 5:46:30 PM
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico
intensidade é
N, newton (1.7)
em que e0 define a permitividade do vazio, e Qx, Qy e r representam, respectivamente, os valores absolutos 
das cargas eléctricas e a distância entre as mesmas.
A força eléctrica é uma grandeza vectorial com intensidade, direcção e sentido. A direcção coincide com a 
recta que une as duas cargas, e o sentido é estabelecido pelo sinal das cargas em presença. A força é de 
atracção quando as cargas apresentam sinais contrários, como é o caso da força de atracção existente entre 
electrões e protões nos átomos, e de repulsão nos casos contrários. Em geral, num espaço preenchido por 
múltiplas cargas pontuais a força eléctrica exercida sobre cada uma delas resulta da soma vectorial de 
contribuições parciais.
Na Figura 1.1 apresentam-se alguns exemplos elucidativos da intensidade, direcção 
e sentido da força exercida entre cargas eléctricas.
Figura 1.1 Força eléctrica exercida por um protão sobre um electrão (a), entre electrões (b) e por múltiplos 
electrões sobre um electrão (c) (as cargas positivas e negativas são representadas a branco e a cheio, 
respectivamente)
1.1.3 Campo Eléctrico
O campo eléctrico é uma medida da acção que uma carga exerce sobre as cargas eléctricas localizadas no 
seu raio de acção. A intensidade do campo eléctrico criado por uma carga pontual é expressa por
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.1%20cargafor.htm (2 of 3)3/16/2009 5:46:30 PM
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico
V/m, volt por metro (1.8)
a qual, tendo em conta (1.7), permite constatar que
(1.9)
isto é, que a intensidade da força mais não é do que o produto da intensidade do campo criado pela carga 
Q
x
, E
x
, multiplicado pelo valor absoluto da carga nele imerso, Qy. O campo eléctrico define uma grandeza 
de tipo vectorial. A direcção do vector campo eléctrico criado por uma carga eléctrica pontual é radial. 
Cargas positivas têm sentido divergente e cargas negativas têm sentido convergente (Figura 1.2). O produto 
indicado em (1.9) é válido ao nível vectorial, ou seja, o vector força eléctrica coincide com o produto do 
escalar carga pelo vector campo. Por exemplo, o vector campo eléctrico divergente criado por uma carga 
positiva quando multiplicado pelo sinal de uma carga negativa conduz, como se esperava, a um vector força 
eléctrica de atracção.
Figura 1.2 Campo eléctrico criado por cargas eléctricas pontuais
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.1%20cargafor.htm (3 of 3)3/16/2009 5:46:30 PM
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica
1.2.1 Energia Potencial Eléctrica
Por definição, energia é a capacidade de realizar trabalho. Realiza-se trabalho quando se desloca uma massa 
num campo gravitacional, por exemplo quando se eleva uma massa de 1 kg desde o nível do mar até à 
altitude de 10 m, mas também quando se desloca uma carga eléctrica entre dois pontos cujas amplitudes 
dos campos eléctricos diferem. Considere-se, a título de exemplo, o caso da queda de uma massa num 
campo gravitacional. O trabalho é realizado pelo campo gravitacional e é dado pelo integral ao longo da 
trajectória do produto interno entre a força e o deslocamento,
J, joule (1.10)
No caso particular em que a força é constante e a direcção coincidente com o deslocamento, a energia 
libertada é expressa pelo produto 
(1.11)
em que g, m e h definem, respectivamente, a constante de gravitação terrestre, a massa do corpo e o 
deslocamento. De acordo com (1.10), o deslocamento de uma massa no sentido da força (a queda) conduz à 
libertação de energia por parte do sistema, ou seja, à realização de um trabalho que se define como 
negativo, ao passo que o deslocamento da mesma no sentido contrário ao da força (a elevação) corresponde 
ao fornecimento de energia ao sistema e, por definição, à realização de um trabalho positivo.
Considere-se então um átomo de hidrogénio, constituído, como se disse, por um protão e por um electrão. 
A força eléctrica entre o protão e o electrão é radial e atractiva, sendo a intensidade respectiva uma função 
do raio da órbita. Em face da existência de uma força de atracção entre as duas cargas, o deslocamento do 
electrão entre órbitas envolve a realização de um trabalho cujo módulo é
(1.12)
em que ri e rf definem, respectivamente, os raios das órbitas inicial e final do electrão. O afastamento do 
electrão em relação ao núcleo exige o fornecimento de energia ao sistema, ao passo que a aproximação ao 
núcleo envolve a libertação de energia.
A definição de energia potencial eléctrica aplica-se a qualquer conjunto de cargas eléctricas sujeitas à acção 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.2%20energia.htm (1 of 3)3/16/2009 5:47:15 PM
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica
de um campo eléctrico. Se se considerar o caso particular representado na Figura 1.3, em que se admite um 
campo eléctrico constante ao longo do fio condutor que une os terminais positivo e negativo, verifica-se 
que:
(i) o transporte de um electrão do terminal negativo para o terminal positivo envolve a 
libertação de energia, o que permite dizer que o sistema, à partida, dispunha de energia 
(eléctrica) armazenada (Figura 1.3.a);
(ii) o transporte de um electrão do terminal positivo para o terminal negativo exige o 
fornecimento de energia ao sistema, operação que neste caso corresponde ao 
armazenamento de energia potencial (Figura 1.3.b).
Em qualquer destes casos, o trabalho é sempre dado pelo integral da força eléctrica ao longo da trajectória 
das cargas eléctricas. Por outro lado, a energia eléctrica em jogo é proporcional à quantidade de cargas 
transportadas, ou seja, o transporte de n cargas entre os dois terminais envolve uma energia n-vezes 
superior àquela envolvida no transporte de uma única carga eléctrica.
Figura 1.3 Descarga (a) e carga (b) de uma bateria
Um reservatório de cargas eléctricas positivas e negativas fisicamente separadas constitui a fonte de energia 
eléctrica vulgarmente designada por bateria. O fornecimento de energia por parte da bateria corresponde ao 
deslocamento das cargas eléctricas negativas do terminal negativo para o terminal positivo, ao passo que a 
regeneração corresponde à sua separação física.
1.2.2 Tensão Eléctrica
A tensão é uma medida da energia envolvida no transporte de uma carga elementar entre dois pontos de um 
campo eléctrico. Existe tensão eléctrica entre dois pontos de um campo sempre que o transporte de carga 
entre esses mesmos dois pontos envolve libertação ou absorção de energia eléctrica por parte do sistema. 
Retomando o exemplo da Figura 1.3.a, verifica-se que o transporte de uma carga elementar negativa, Q=-e, 
corresponde à libertação de uma energia W=eV joule, que o transporte de duas, três … N cargas envolve a 
libertação das energias 2 eV, 3 eV … N eV joule. A quantidade V, que coincide com o cociente entre a 
energia libertada e a quantidade de carga transportada
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.2%20energia.htm (2 of 3)3/16/2009 5:47:15 PM
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica
V, volt (1.13)
designa-se por tensão eléctrica. É a normalização relativamente à quantidade de carga transportada que 
torna a tensão eléctrica numa das duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos. Por outro lado, tendo 
em atenção as relações entre trabalho, força e campo eléctrico, verifica-se que
(1.14)
isto é, que a tensão eléctrica mais não é do que o integral do campo eléctrico experimentado pelas cargas 
eléctricas no seu transporte entre as posições inicial e final. O transporte de um electrão entre os terminais 
negativo e positivo de uma bateria é efectuado no sentido da força, portanto no sentido contrário ao do 
campo eléctrico, envolve a libertação de energia (realização de um trabalho negativo) e indica a presença de 
uma tensão eléctrica positiva, no sentido do terminal positivo para o terminal negativo.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.2%20energia.htm (3 of 3)3/16/2009 5:47:15 PM
1.3 Corrente e Potência Eléctrica
1.3 Corrente e Potência Eléctrica
1.3.1 Corrente Eléctrica
Define-se corrente média como a quantidade de carga eléctrica que na unidade de tempo atravessa uma 
dada superfície
A, ampere (1.15)
e valor instantâneo da mesma à derivada
(1.16)
A relação complementar de (1.16)
(1.17)
permite contabilizar a quantidade de carga que ao longo do tempo atravessou, num dado sentido e desde um 
instante de tempo infinitamente longínquo, a superfície em questão.
Por convenção, o sentido positivo da corrente eléctrica coincide com o do movimento das cargas positivas. 
Considerando
o exemplo representado na Figura 1.3.a, constata-se que o movimento dos electrões do 
terminal negativo para o positivo de uma bateria corresponde, por definição, a uma corrente eléctrica no 
sentido do terminal positivo para o negativo.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.3%20corrente.htm (1 of 3)3/16/2009 5:48:59 PM
1.3 Corrente e Potência Eléctrica
Figura 1.4 Sentido positivo da corrente eléctrica
1.3.2 Potência Eléctrica
A potência é uma medida do ritmo a que se dissipa ou acumula energia eléctrica. As expressões da potência 
média e instantânea são, respectivamente,
W, watt (1.18)
e
(1.19)
podendo também expressar-se a energia em função da potência instantânea através de
(1.20)
Por outro lado, tendo em conta as relações entre trabalho, tensão, carga, tempo e corrente eléctrica, verifica-
se que
(1.21)
ou seja, que a potência mais não é do que o produto da tensão pela corrente eléctrica, as duas variáveis 
operatórias dos circuitos eléctricos.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.3%20corrente.htm (2 of 3)3/16/2009 5:48:59 PM
1.3 Corrente e Potência Eléctrica
Figura 1.5 Quadro sinóptico das principais grandezas eléctricas
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.3%20corrente.htm (3 of 3)3/16/2009 5:48:59 PM
1.4 Sinais Eléctricos
1.4 Sinais Eléctricos
Na figura 1.6 apresentam-se alguns dos sinais eléctricos mais comuns na análise de circuitos. São eles, a 
saber:
(i) constantes no tempo (Figura 1.6.a), designados pela sigla d.c. (direct-current);
(ii) sinusoidais (Figura 1.6.b), designados por a.c.(alternate-current);
(iii) rectangulares (Figura 1.6.c);
(iv) exponenciais decrescentes ou crescentes (Figura 1.6.d);
(v) escalões (Figura 1.6.e);
(vi) triangulares (Figura 1.6.f).
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.4%20sinaisel.htm (1 of 2)3/16/2009 5:48:46 PM
1.4 Sinais Eléctricos
Figura 1.6 Sinais eléctricos
 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.4%20sinaisel.htm (2 of 2)3/16/2009 5:48:46 PM
1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal
1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal
As fontes de tensão e de corrente são componentes essenciais de qualquer circuito eléctrico. As fontes 
podem ser agrupadas em duas classes essencialmente distintas:
(i) de alimentação, como é o caso das baterias e dos geradores electromecânicos, cuja 
função principal é fornecer energia aos circuitos eléctricos nas formas d.c. ou a.c.;
(ii) e de sinal.
Figura 1.7 Fontes de tensão de alimentação e de sinal
As fontes de sinal existentes no mercado são em geral dotadas da capacidade de gerar um conjunto variado 
de formas de onda, em particular de tipo sinusoidal, triangular e rectangular. Estes instrumentos 
possibilitam também o controlo da amplitude, da frequência e da fase dos sinais gerados. Na Figura 1.7 
ilustram-se algumas das fontes de tensão de alimentação e de sinal existentes.
A tensão eléctrica pode ser gerada a partir de três mecanismos básicos:
(i) reacção química, subjacente ao funcionamento das baterias;
(ii) acção conjunta de uma força mecânica e de um campo magnético, designadamente 
através da indução electromagnética, processo que é subjacente ao funcionamento dos 
geradores electromecânicos designados por dínamo (d.c.) e alternador (a.c.);
(iii) efeito fotoeléctrico, nomeadamente pela conversão de uma radiação electromagnética 
(fotões) em electrões livres, processo que se encontra na base do funcionamento das células 
foto-voltaicas vulgarmente designadas por células solares.
A forma e a amplitude de uma tensão eléctrica podem ser alteradas mediante a utilização de dispositivos e 
circuitos eléctricos e electrónicos adequados. Por exemplo, uma fonte de tensão de alimentação a.c. pode 
ser convertida numa fonte d.c pela intervenção de um circuito rectificador; a amplitude de uma tensão 
sinusoidal pode ser aumentada ou diminuída por intermédio de um transformador; a amplitude de uma 
fonte de tensão constante pode ser aumentada ou diminuída usando um conversor d.c.-d.c.; a frequência de 
oscilação de uma fonte de tensão sinusoidal pode ser alterada com um conversor a.c.-a.c.; etc. Apesar de 
constituírem apenas conversores da forma de onda da tensão ou corrente eléctrica, estes aparelhos são 
vulgarmente designados por fontes de alimentação. Por exemplo, nas aulas práticas de laboratório utilizar-
se-ão fontes de tensão de alimentação constantes cuja energia provém da rede de distribuição eléctrica, e 
em cujo interior se encontra um circuito rectificador de tensão, constituído, entre outros, por um 
transformador, uma ponte rectificadora e um estabilizador.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.5%20fontesal.htm (1 of 2)3/16/2009 5:48:46 PM
1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal
Na Figura 1.8.a representa-se o símbolo de uma fonte de tensão de alimentação constante. Uma fonte de 
tensão fornece energia quando os electrões circulam (pelo exterior) do terminal negativo para o terminal 
positivo, isto é, quando a corrente flui do terminal positivo para o terminal negativo. A potência fornecida 
ao circuito é positiva quando a corrente abandona a fonte pelo terminal positivo (Figura 1.8.b), e negativa 
no caso contrário (Figura 1.8.c). Nas Figuras 1.8.d, 1.8.e e 1.8.f ilustram-se os símbolos utilizados na 
representação das fontes de sinal de tensão e de corrente, respectivamente. Os símbolos indicados em (f) 
são utilizados para representar a referência da tensão eléctrica.
Figura 1.8 Fonte de tensão de alimentação (a); a fonte fornece energia (b); a fonte acumula energia (c); 
fonte de tensão de sinal (d); fonte de corrente (e); símbolos alternativos da referência da tensão eléctrica (f)
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.5%20fontesal.htm (2 of 2)3/16/2009 5:48:46 PM
1.6 Instrumentos de Medida
1.6 Instrumentos de Medida
Nas aulas de laboratório das disciplinas de electrónica os alunos vão tomar contacto com dois tipos de 
instrumentos de medida de grandezas eléctricas: de grandezas constantes no tempo, como é o caso do 
voltímetro, do amperímetro, do wattímetro e do multímetro; e de medição de grandezas variáveis no tempo, 
isto é, de sinais eléctricos, como é o caso do osciloscópio.
1.6.1 Voltímetro
O voltímetro é um instrumento de medida da amplitude da tensão eléctrica. É dotado de duas pontas de 
prova de acesso ao exterior (Figura 1.9.a), através das quais se pode medir a tensão aos terminais de uma 
fonte de tensão constante, entre dois quaisquer pontos de um circuito eléctrico, ou ainda entre um qualquer 
ponto e a referência.
A ligação de um voltímetro ao circuito é de tipo paralelo. O mesmo é dizer que durante a medição o 
instrumento constitui um caminho paralelo ao elemento ou circuito a diagnosticar. No entanto, um 
voltímetro ideal procede à medição da tensão sem absorver qualquer corrente eléctrica (apresenta, por isso, 
uma resistência eléctrica de entrada infinita), característica que garante a não interferência do aparelho no 
funcionamento do circuito.
No passado, todos os voltímetros eram de tipo analógico. Nos aparelhos deste tipo, a amplitude da tensão é 
indicada através da posição de um ponteiro sobre uma escala graduada, cuja selecção condiz com a 
amplitude prevista para a tensão. Actualmente existe uma grande variedade de voltímetros analógicos e 
digitais, sendo em geral uma das múltiplas funções disponibilizadas pelo multímetro.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.6%20instrume.htm (1 of 3)3/16/2009 5:48:46 PM
1.6 Instrumentos de Medida
Figura 1.9 Voltímetro (a), amperímetro (b) e wattímetro (c)
1.6.2 Amperímetro
O amperímetro é um instrumento de medida da amplitude da corrente eléctrica. Como se indica na Figura 
1.9.b, e ao contrário do processo de medição da tensão, a medição de uma corrente eléctrica obriga a que o 
instrumento seja percorrido pela grandeza
a diagnosticar. Um amperímetro ideal caracteriza-se pela 
capacidade de medir a corrente sem incorrer em qualquer queda de tensão entre os seus dois terminais.
1.6.3 Wattímetro
O wattímetro é um instrumento que permite medir a potência eléctrica fornecida ou dissipada por um 
elemento. O wattímetro implementa o produto das grandezas tensão e corrente eléctrica no elemento, razão 
pela qual a sua ligação ao circuito é feita simultaneamente em série e em paralelo (Figura 1.9.c). Assim, 
dois dos terminais são ligados em paralelo com o elemento, efectuando a medição da tensão, e os dois 
restantes são interpostos no caminho da corrente. Tal como o voltímetro e o amperímetro, o wattímetro 
ideal mede a tensão sem desvio de qualquer fluxo de corrente, e mede a corrente sem introduzir qualquer 
queda de tensão aos seus terminais.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.6%20instrume.htm (2 of 3)3/16/2009 5:48:46 PM
1.6 Instrumentos de Medida
1.6.4 Multímetro
O multímetro é um instrumento de medida multifuncional que congrega, entre outras, as funções de 
voltímetro e de amperímetro. Actualmente existe no mercado uma enorme variedade de multímetros: de 
tipo analógico ou digital; de pequenas (bolso) ou grandes dimensões; de baixa ou elevada precisão; de baixo 
ou elevado preço.
Figura 1.10 Multímetros
1.6.5 Osciloscópio
O osciloscópio é um instrumento de medida que permite visualizar em tempo real a amplitude de uma 
tensão eléctrica variável no tempo. O osciloscópio é de todos os instrumentos o de maior utilidade e 
complexidade, designadamente devido à necessidade de associar à medição a dimensão do tempo (Figura 
1.11). Os osciloscópios actualmente existentes no mercado dispõem de diversos canais de leitura 
simultânea, em geral dois ou quatro, podendo ser de tipo analógico ou digital. Os osciloscópios digitais são 
os de maior funcionalidade, permitindo designadamente somar e subtrair sinais entre canais, calcular 
valores médios, máximos e mínimos, determinar períodos e frequências de oscilação dos sinais medidos, 
suspender, memorizar e recuperar sinais, imprimir ou transferir para um computador o conteúdo do visor, 
etc. Os osciloscópios são dotados de uma ponta de prova por canal, cujos dois terminais devem ser ligados 
em paralelo com o elemento cuja tensão aos terminais se pretende medir. Na Figura 1.11 ilustram-se alguns 
osciloscópios actualmente comercializados.
Figura 1.11 Osciloscópios
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.6%20instrume.htm (3 of 3)3/16/2009 5:48:46 PM
Exercícios de Aplicação
Exercícios de Aplicação
1.1 Determine o número de cargas eléctricas elementares existentes numa carga de 1 C.
1.2 Considere as cargas eléctricas positivas e negativas representadas na Figura E1.2. Determine a 
intensidade da força de atracção ou repulsão existente entre cada par de cargas nos casos em que r=1 m, 
r=10 m e r=100 m. Indique também a direcção e o sentido da força eléctrica (εo=8.85419*10-12 F/m).
Figura E1.2
1.3 Determine a intensidade da força eléctrica de atracção existente entre o núcleo de um átomo de 
hidrogénio e um electrão em órbita à distância r=0.5*10-10m.
1.4 Represente graficamente e em função da distância a intensidade da força eléctrica existente entre cargas 
de valor absoluto 1 µC. Considere o metro como a unidade elementar de representação do eixo das abcissas.
1.5 Determine a intensidade, a direcção e o sentido do campo eléctrico gerado pelo protão do átomo de 
hidrogénio à distância da primeira órbita possível para o electrão (r=0.5*10-10 m).
1.6 Determine a intensidade, a direcção e o sentido do campo eléctrico existente nos pontos (X) indicados 
na Figura E1.6 (o módulo das cargas positivas e negativas é 1 µC).
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.7%20exapl_01.htm (1 of 3)3/16/2009 5:48:55 PM
Exercícios de Aplicação
Figura E.1.6
Energia Potencial e Tensão Eléctrica
1.7 Sabendo que o transporte de 625*1016 electrões entre dois pontos envolve a dissipação de 1 J, 
determine o valor da tensão eléctrica existente entre esses dois pontos.
1.8 Determine o valor da energia eléctrica libertada durante o transporte de uma carga de 1 C entre os dois 
terminais de uma bateria de 12 V.
1.9 Considere as fontes de tensão eléctrica representadas na Figura E1.9. Indique quais de entre elas 
fornecem energia.
Figura E1.9
1.10 Sabendo que a energia necessária para afastar para o infinito um electrão de um protão é de 1.6*10-18 
J, determine qual a distância a que eles se encontram inicialmente (admita as duas partículas inicialmente 
em repouso).
Corrente e Potência Eléctrica
1.11 Considere um fio condutor no qual o fluxo de corrente é de 1 mA. Determine a quantidade de carga 
que atravessa a sua secção na unidade de tempo.
1.12 A diferença de potencial entre os terminais de uma bateria eléctrica é de 12 V. Se a energia dissipada 
durante um intervalo de tempo de 1 ms for 1 J, determine a quantidade de carga, a corrente eléctrica e a 
potência eléctrica envolvidas no processo. 
1.13 Sabendo que a carga que entra no terminal positivo de uma bateria é dada pela expressão q(t)=10*e-t 
µC, determine a expressão e o sentido da corrente eléctrica instantânea.
1.14 Considere uma fonte cuja corrente e tensão instantânea fornecida são dadas pelas expressões i(t)=sin
(wt) mA e v(t)=12sin(wt) V, respectivamente. O facto de a corrente de saída da fonte ser positiva e negativa 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.7%20exapl_01.htm (2 of 3)3/16/2009 5:48:55 PM
Exercícios de Aplicação
ao longo do tempo significa que a fonte alternadamente fornece e acumula energia? Justifique a sua 
resposta.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/1.7%20exapl_01.htm (3 of 3)3/16/2009 5:48:55 PM
2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos
Componentes Fundamentais dos 
Circuitos Eléctricos
As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas eléctricas. Uma vez em 
movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e variadíssimos obstáculos, como por exemplo 
resistências, que lhes impõem um limite máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos, 
que implementam válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecha ou 
modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designam-se genericamente por 
componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos 
componentes interligados com um fim determinado.
Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificar-se um conjunto 
restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente fundamental. São eles, a saber: a 
resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e as fontes independentes e dependentes de tensão e de 
corrente, por outro. Estes elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos 
dispositivos electrónicos.
A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a imposição da 
característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um conjunto de leis ao nível da rede de 
elementos (leis de circuito) e, finalmente, a resolução conjunta das equações. Exemplos de características 
tensão-corrente são a Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis de 
circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente estes três passos, o 
presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das características tensão-corrente das 
fontes e dos elementos resistência, condensador e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das 
metodologias de análise sistemática do conjunto de equações resultante.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2%20compfund.htm3/16/2009 5:48:42 PM
Sumário
Sumário
Um circuito eléctrico
consiste na interligação criteriosa de um conjunto de componentes através dos quais 
circulam cargas eléctricas. Os componentes fundamentais dos circuitos eléctricos são a resistência, o 
condensador, a bobina e as fontes de tensão e de corrente independentes e dependentes.
Os nossos métodos de análise aplicam-se a redes lineares ou linearizáveis por troços. Os elementos são 
lineares quando verificam simultaneamente as propriedades da sobreposição e da homogeneidade. A 
principal consequência da não-linearidade de um componente é a distorção harmónica. A linearização de 
um elemento não-linear comporta dois passos: determinação do ponto de funcionamento em repouso e 
determinação do modelo de sinais fracos.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.0%20sumar_02.htm3/16/2009 5:48:44 PM
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
2.1.1 Definições
Um circuito eléctrico consiste na interligação criteriosa de um conjunto de componentes através dos quais 
circulam cargas eléctricas. Os circuitos visam a realização de um objectivo pré-determinado, que tanto pode 
ser o transporte ou a transformação de energia, como o processamento de informação representada sob a 
forma de um sinal eléctrico. No caso dos circuitos que visam o processamento de informação, os sinais 
podem constituir uma representação de uma grandeza não eléctrica, como por exemplo a temperatura, a 
pressão, a intensidade luminosa, a velocidade, um código, etc.
 
Figura 2.1 Circuito eléctrico
Na Figura 2.1 ilustra-se um circuito eléctrico constituído por fontes de corrente e de tensão de alimentação 
e de sinal, resistências, condensadores, bobinas, transformadores, díodos e transístores. É comum, apesar de 
não rigoroso, distinguir os circuitos eléctricos dos electrónicos com base no tipo de componentes utilizados. 
Por exemplo, é vulgar referir que um circuito é eléctrico quando integra apenas elementos de tipo passivo, 
como a resistência, o condensador, a bobina e o transformador, todos eles elementos que apenas dissipam 
ou, no máximo, armazenam energia eléctrica ou magnética, e classificar como circuitos electrónicos 
aqueles que integram dispositivos semicondutores, como é o caso do díodo, do transístor, do LED, da 
célula foto-voltaica, etc. É também comum designar por dispositivos activos os elementos capazes de 
amplificar a energia associada aos sinais, ou seja, que possibilitam a conversão de energia eléctrica bruta 
em energia com conteúdo informativo, e passivos os elementos que apenas dissipam energia. No entanto, 
alguns autores definem como elementos activos aqueles capazes de fornecer energia, neste caso apenas as 
fontes, definindo como passivos todos aqueles que dissipam energia. De acordo com esta definição, 
elementos passivos seriam tanto a resistência, a bobina e o condensador, como também o díodo, o 
transístor, etc. Na verdade, nenhuma destas definições de circuito eléctrico ou electrónico e de elemento 
passivo ou activo é exactamente rigorosa, o que, de resto, não constitui óbice a uma compreensão dos 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.1%20circuito.htm (1 of 5)3/16/2009 5:48:56 PM
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
tópicos tratados ao longo deste livro. O que verdadeiramente importa é distinguir quais os elementos 
fundamentais dos circuitos.
2.1.2 Componentes Fundamentais
Na Figura 2.2 representam-se os símbolos e a designação mais comum dos nove componentes 
fundamentais dos circuitos eléctricos. São eles a resistência, o condensador e a bobina, as fontes de tensão e 
de corrente independentes e as fontes dependentes. Os elementos resistência, condensador e bobina serão 
abordados em pormenor nos Capítulos 3, 7 e 8, respectivamente.
Figura 2.2 Componentes fundamentais dos circuitos eléctricos
As fontes agrupam-se em duas classes essencialmente distintas: fontes independentes, de tensão ou de 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.1%20circuito.htm (2 of 5)3/16/2009 5:48:56 PM
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
corrente, e fontes dependentes. Uma fonte dependente é um elemento cuja tensão ou corrente imposta aos 
terminais é controlada pela tensão ou corrente num outro elemento ou nó do circuito. Estas fontes são 
essenciais na modelação do comportamento eléctrico de dispositivos electrónicos como os transístores 
bipolares e de efeito de campo (a introduzir nas disciplinas de Electrónica).
As fontes de tensão caracterizam-se por duas relações:
vAB = v e iBA = ? (2.1)
indicando assim que a fonte impõe a tensão aos seus terminais, mas que, pelo contrário, fornece uma 
corrente cujo valor é apenas função do circuito ao qual se encontra ligada. Por exemplo, no caso figurado 
em 2.3.a, a fonte de tensão impõe a relação vAB=5 V, ao passo que a característica tensão-corrente do 
elemento resistência estabelece que i=5/R=5 mA.
Figura 2.3 Circuito com fonte de tensão (a) e fonte de corrente (b)
Em complementaridade com a fonte de tensão, as fontes de corrente caracterizam-se pelas seguintes duas 
relações:
iAB = i e vAB =? (2.2)
Estas impõem a corrente no circuito e deixam a cargo deste a definição da tensão aos seus terminais. Por 
exemplo, e referindo agora ao exemplo representado na Figura 2.3.b, a imposição de uma corrente de 1 A a 
uma resistência de 100 Ω conduz a uma tensão de 100 V aos terminais da fonte de corrente (v=Ri).
As fontes controladas podem ser de quatro tipos principais:
(i) de tensão controlada por tensão, FTCT;
(ii) de tensão controlada por corrente, FTCC;
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.1%20circuito.htm (3 of 5)3/16/2009 5:48:56 PM
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
(iii) de corrente controlada por corrente, FCCC;
(iv) de corrente controlada por tensão, FCCT.
O coeficiente de ligação entre as variáveis de controlo e controlada pode ser adimensional, ou ter as 
dimensões de ohm (V/A) ou de siemens (A/V). Na Figura 2.4 dão-se exemplos de circuitos que contém no 
seu seio fontes de corrente e de tensão controladas. Em cada uma das figuras indica-se a solução para a 
tensão e para a corrente aos terminais de cada uma das fontes representadas.
Figura 2.4 Corrente e tensão fornecidas por um conjunto de fontes controladas
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.1%20circuito.htm (4 of 5)3/16/2009 5:48:56 PM
2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.1%20circuito.htm (5 of 5)3/16/2009 5:48:56 PM
2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares
2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares
2.2.1 Linearidade
Os métodos de análise apresentados ao longo deste livro aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares ou 
linearizáveis por troços. Um circuito é linear quando todos os elementos utilizados satisfazem 
simultaneamente as propriedades da sobreposição e da homogeneidade. Quando a linearidade não é 
verificada, pelo menos para determinada gama de valores da tensão e da corrente, procede-se à linearização 
dos elementos, ou seja, procede-se à consideração de intervalos de valores dentro dos quais a característica 
tensão-corrente de cada um dos elementos pode, sem grande erro, ser aproximada por uma recta com 
declive dado pela derivada no ponto central do intervalo. Diz-se então que a característica tensão-corrente 
do elemento foi linearizada em torno do ponto considerado. Por exemplo, na análise de circuitos com 
transístores, os quais, como se verá, são dispositivos fortemente não-lineares, o ponto intermédio do 
intervalo é designado por ponto de funcionamento em repouso, sendo o modelo de cada dispositivo e a 
análise do circuito correspondente designadas, respectivamente, por modelo e análise de sinais fracos.
Um elemento goza da propriedade da sobreposição quando a característica tensão-corrente satisfaz, para 
todo e qualquer par de valores(i,v), as relações:
se
i1 = g(v1) (2.3)
e
i2 = g(v2) (2.4)
então
g(v1+ v2) = i1+ i2 (2.5)
Por outro lado, um elemento goza da propriedade da homogeneidade quando, para o mesmo conjunto de 
pontos (i,v), satisfaz as seguintes relações:
se
i1 = g(v1) (2.6)
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.2%20compline.htm (1 of 4)3/16/2009 5:48:55 PM
2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares
então
g(kv1) = ki1 (2.7)
para todo e qualquer k real. As relações (2.3) a (2.5) indicam que é linear todo e qualquer elemento cuja 
característica tensão-corrente apresente a forma da equação de uma recta, isto é, i=gv+cte ou, em 
alternativa, v=ri+cte.
Na Figura 2.5 representam-se as características tensão-corrente da resistência e do transístor de efeito de 
campo, respectivamente. A inspecção das características indica que a resistência é um componente linear, e 
que o transístor constitui um dispositivo não-linear. Com efeito, aplicando a definição de linearidade à 
resistência verifica-se que v1=Ri1, v2=Ri2 e que (v1+ v2)=(Ri1+ Ri2)=R(i1+ i2), o que demonstra a 
propriedade da sobreposição, e ainda que se v1=Ri1 então v2=R(ki1)=kRi1=kv1, igualdade que demonstra a 
propriedade da homogeneidade. Pode facilmente demonstrar-se que a característica do transístor
(2.8)
não verifica nem a propriedade da sobreposição, nem a da homogeneidade.
Figura 2.5 Característica tensão-corrente de uma resistência (a) e de um transístor de efeito de campo na 
zona de saturação (b)
2.2.2 Distorção Harmónica
O principal efeito causado pela não-linearidade de um componente é a distorção harmónica. Esta encontra-
se presente, por exemplo, quando o volume de som de um amplificador audio é colocado no máximo da sua 
escala, fazendo-se sentir, designadamente, através da geração de sinais agudos cuja frequência se encontra 
no limite da escala audível. É vulgar a distorção harmónica constituir um dos parâmetros determinantes do 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.2%20compline.htm (2 of 4)3/16/2009 5:48:55 PM
2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares
desempenho de um determinado circuito ou sistema electrónico.
Considere-se então a característica tensão-corrente
i = A(v - B)2 (2.9)
em que A e B são duas constantes. Admita-se ainda que a relação (2.9) é válida para valores positivos e 
negativos da tensão aplicada, v, e que esta toma a forma sinusoidal
v = V
m
cos(2pft) (2.10)
Nestas condições, a corrente no componente é dada por
i = A(V
m
cos(2pft) - B)2 (2.11)
que, por aplicação da relação cos2(f)=(0.5)[1+cos(2f)], permite efectuar a expansão
i = A(0.5V2
m
+ B)2 - 2ABV
m
cos(2pft) + 0.5AV
m
cos(4pft) (2.12)
Como se pode verificar em (2.12), a corrente no circuito é constituída por um termo constante, o primeiro, 
por um termo à frequência do sinal, o segundo, e por um termo à frequência dupla, o terceiro, designado 
por segunda harmónica. A distorção harmónica consiste na relação entre as amplitudes das sinusóides às 
frequências 2f e f. A deterioração da qualidade do som na saída do amplificador encontra-se, portanto, 
associada à geração de tons espúrios às frequências múltiplas daquela aplicada na entrada. Em geral, os 
elementos não-lineares são modelados por polinómios de ordem superior àquela considerada na relação 
(2.9), conduzindo assim à geração de harmónicas superiores à segunda, designadamente terceira, quarta, etc.
2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso
O ponto de funcionamento em repouso (PFR) e a aproximação de sinais fracos constituem os dois passos 
principais da análise de um circuito com componentes não-lineares.
Considere-se o elemento não-linear representado na Figura 2.6, e admita-se que aos terminais do mesmo se 
aplica uma tensão
v = V + v
sf (2.13)
em que V define uma tensão constante de amplitude razoavelmente elevada, designada por tensão de 
polarização, e vsf um sinal de amplitude relativamente pequena comparada com V, designado por sinal 
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.2%20compline.htm (3 of 4)3/16/2009 5:48:55 PM
2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares
fraco. Como se indica na própria figura, à excursão fraca v
sf corresponde uma variação isf na corrente no 
componente. Assim,
i = I + i
sf (2.14)
sendo o ponto (V,I) designado por ponto de funcionamento em repouso do circuito. A constatação de que o 
sinal v
sf constitui uma pequena variação em torno de uma determinada tensão de polarização, V, permite 
aproximar a característica i=g(v) pela sua derivada e escrever
i
sf = gvsf (2.15)
em que g define o declive da característica no PFR considerado. Neste caso, e admitindo sempre que as 
variações em torno do PFR são suficientemente fracas, a relação entre i
sf e vsf é de tipo linear, podendo o 
respectivo elemento ser substituído por um dos elementos lineares definidos anteriormente. A aproximação 
efectuada é designada por aproximação de sinais fracos, sendo o modelo linear resultante designado por 
modelo de sinais fracos do dispositivo. Naturalmente que o coeficiente g definido em (2.15) é uma função 
do ponto de funcionamento em repouso estabelecido para o elemento.
Figura 2.6 Ponto de funcionamento em repouso e regime de sinais fracos
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.2%20compline.htm (4 of 4)3/16/2009 5:48:55 PM
Exercícios de Aplicação
Exercícios de Aplicação
Circuitos e Componentes Eléctricos
2.1 Desenhe os símbolos e indique a característica tensão-corrente das quatro fontes dependentes.
2.2 Desenhe os símbolos dos elementos resistência, condensador e bobina.
2.3 Determine o valor da corrente nas resistências dos circuitos representados na Figura E2.3.
Figura E2.3
2.4 Para cada um dos circuitos representados na Figura E2.3, determine a potência dissipada nas 
resistências. Qual a energia dissipada durante uma hora?
Componentes Lineares e Não-lineares
2.5 Considere as características tensão-corrente representados na Figura E2.5. Quais de entre elas são 
lineares?
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.3%20exapl_02.htm (1 of 2)3/16/2009 5:48:52 PM
Exercícios de Aplicação
Figura E2.5
2.6 Considere um dispositivo electrónico cuja característica tensão-corrente é iD=K(vGS -Vth)2, para 
vGS>Vth, e com K=10
-3A/V2 e V
th=1 V, e ao qual é aplicada uma tensão vGS=V+vsf, em que V=2 V define 
uma tensão constante e v
sf um sinal sinusoidal de amplitude 1 mV. Determine:
(a) o ponto de funcionamento em repouso do dispositivo;
(b) a expressão do parâmetro que liga as amplitudes fracas v
sf e isf ;
(c) a amplitude da sinusóide de corrente, i
sf .
2.7 Considere um dispositivo cuja característica tensão-corrente é iC=Is(e
vBE/VT
-1), em que I
s
=10-15 A e 
VT=25 mV. Determine a expressão do parâmetro que liga as amplitudes fracas da tensão e da corrente (vBE, 
iC).
2.8 Considere um elemento cuja característica tensão-corrente aos terminais é v=Ri+α2i2+α3i3, em que 
R=1000 Ω e α2=α3=1. Admitindo que a corrente é sinusoidal de amplitude 1 mV e frequência 10 kHz, 
determine a amplitude das harmónicas da tensão v às frequências 20 kHz e 30 kHz.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/2.3%20exapl_02.htm (2 of 2)3/16/2009 5:48:52 PM
3 Resistência Eléctrica
Resistência Eléctrica
A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. Os 
materiais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores conforme a oposição que oferecem 
seja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm
v = R i (3.1)
estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de uma resistência. O 
parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm (note-se que na língua inglesa se 
distinguem parâmetro resistance do elemento resistor).
A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos sistemas mecânicos. Por 
exemplo, e ao contrário
do vácuo, a aplicação de um campo eléctrico constante (força constante) sobre uma 
carga eléctrica conduz a uma velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de 
energia potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja expressão da 
potência dissipada é
p = Ri2 (3.2)
A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências fixas, variáveis e 
ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas, resistências cuja função é a conversão de 
grandezas não eléctricas em grandezas eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências 
sensíveis à temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis ao fluxo 
luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezo-resistências, químio-resistências, 
etc.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3%20resistel.htm3/16/2009 5:48:46 PM
Sumário
Sumário
Define-se resistência eléctrica como a oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. A 
Lei de Ohm estabelece a relação existente entre tensão, corrente e resistência eléctrica. A resistência 
eléctrica é uma função da resistividade do material e das dimensões físicas do elemento, sendo a 
resistividade inversamente proporcional à densidade de portadores livres e à respectiva mobilidade.
A Lei de Joule estabelece a relação entre potência eléctrica, amplitude da corrente (ou tensão) e resistência 
eléctrica.
As resistências podem ser fixas, ajustáveis ou variáveis. No que respeita aos materiais e processos de 
fabrico, podem ser de carvão, de película fina, de fio bobinado, de filme espesso ou fino, e integradas.
Existem resistências com uma variação do valor nominal com a tensão, a temperatura, a luminosidade, o 
campo magnético, o esforço mecânico, a humidade (em geral a densidade de certos agentes químicos), etc. 
Esta dependência é utilizada na realização de sensores resistivos.
A resistência eléctrica mede-se com um ohmímetro.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.0%20sumar_03.htm3/16/2009 5:48:44 PM
3.1 Lei de Ohm
3.1 Lei de Ohm
O fluxo ordenado de cargas eléctricas através de um material, activado pela aplicação de uma diferença de 
potencial, é limitado pela estrutura interna do mesmo.
Antes de derivar a expressão que relaciona resistência eléctrica e parâmetros físicos, talvez seja conveniente 
explorar um pouco mais a analogia existente entre os sistemas mecânicos e os circuitos eléctricos.
Considere-se então uma massa em queda sob a acção de um campo gravitacional constante, num primeiro 
caso num espaço sem atmosfera e num segundo num espaço com atmosfera. Admita-se ainda que 
inicialmente o corpo se encontra a uma altitude h, isto é, que possui uma energia potencial EP-ini=mgh e 
uma energia cinética EC-ini=0. Nestas condições, a força actuante sobre a massa é F=mg, a intensidade do 
campo gravítico é E=g e, já agora, a diferenca de potencial gravítico é V=gh. A força e o campo são 
constantes ao longo de toda a trajectória do corpo, sendo o potencial gravítico tanto mais elevado quanto 
maior for a altitude inicial do corpo. Ao longo da queda, o corpo troca energia potencial por energia 
cinética. A troca entre energias verifica a relação
(3.3)
em que xe v definem a posição e a velocidade entretanto adquiridas pelo corpo. A velocidade do corpo é 
expressa por
m/s, metro por segundo (3.4)
admitindo naturalmente que se verifica sempre v<<c, em que c define a velocidade da luz. No espaço sem 
atmosfera o corpo atinge a velocidade máxima para x=h, ou seja, quando EP=0.
No caso em que o corpo se move num espaço com atmosfera, portanto com atrito, a troca de energia 
potencial por energia cinética faz-se com perdas. Outra consequência da força de atrito é o facto de, a partir 
de uma determinado instante, o corpo se deslocar com uma velocidade constante, designada velocidade 
limite. A partir desse instante efectua-se uma troca integral entre energia potencial e calor, e o ritmo de 
troca de energia na unidade de tempo é constante.
Considere-se agora o circuito eléctrico representado na Figura 3.1.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (1 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.1 Lei de Ohm
Figura 3.1 Resistência eléctrica
Admita-se que a diferença de potencial aos terminais da bateria é V e que a intensidade do campo eléctrico 
ao longo do fio condutor é constante
(3.5)
Tal como o corpo em queda livre, as cargas negativas perdem energia potencial ao dirigirem-se do terminal 
negativo para o terminal positivo da bateria (energia convertida em energia cinética e calor). As cargas 
eléctricas atravessam o fio condutor com uma velocidade constante, basicamente fixada no valor médio das 
velocidades atingidas nos intervalos entre colisões com os átomos.
Admita-se que o material é caracterizado por uma densidade de electrões livres por unidade de volume,
n = número de electrões por metro cúbico (3.6)
ou que a densidade de carga livre por metro cúbico é q=ne (valor absoluto). Por exemplo, os materiais 
condutores são caracterizados por possuírem uma elevada densidade de electrões livres, que lhes permite 
suportar o mecanismo da condução eléctrica, ao passo que os materiais isoladores são caracterizados por 
valores bastante reduzidos deste mesmo parâmetro. Por outro lado, cada par material-tipo de carga 
caracteriza-se por uma relação velocidade-campo
(3.7)
em que m se designa por mobilidade das cargas em questão. Este parâmetro é em geral uma função do tipo 
de carga, da temperatura e do tipo de material. A quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa a 
superfície perpendicular ao fluxo é (Figura 3.2)
(3.8)
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (2 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.1 Lei de Ohm
Figura 3.2 Corrente eléctrica 
a qual, tendo em conta a relação (3.7), permite escrever
(3.9)
em que
S/m, siemens por metro (3.10)
se designa condutividade eléctrica do material, ou ainda
(3.11)
em que
S, siemens (3.12)
se diz condutância eléctrica do condutor. Expressando a tensão em função da corrente, obtém-se
(3.13)
e
(3.14)
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (3 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.1 Lei de Ohm
em que
Ω.m, ohm-metro (3.15)
se designa por resistividade eléctrica do material e
Ω, ohm (3.16)
por resistência eléctrica do condutor. As expressões (3.9), (3,13) e (3.14) são indistintamente designadas 
por Lei de Ohm.
De acordo com a expressão (3.16), a resistência eléctrica de um condutor é directamente proporcional ao 
seu comprimento, e inversamente proporcional à sua secção, à densidade e à mobilidade das cargas 
eléctricas livres existentes no seu seio. Na Figura 3.3 ilustram-se alguns casos da relação existente entre a 
resistência eléctrica e o comprimento, a secção e a resistividade, enquanto na Tabela 3.1 se apresentam os 
valores da resistividade eléctrica de alguns materiais condutores, semicondutores e isoladores, medidos à 
temperatura de referência de 20 ºC.
Figura 3.3 Resistência eléctrica de fios condutores com comprimentos, secções e resistividades variadas
MATERIAL RESISTIVIDADE (@ 20ºC)
prata 1.645*10-8 Ω.m
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (4 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.1 Lei de Ohm
cobre 1.723*10-8 Ω.m
ouro 2.443*10-8 Ω.m
alumínio 2.825*10-8 Ω.m
tungsténio 5.485*10-8 Ω.m
níquel 7.811*10-8 Ω.m
ferro 1.229*10-7 Ω.m
constantan 4.899*10-7 Ω.m
nicrómio 9.972*10-7 Ω.m
carbono 3.5*10-5 Ω.m
silício 2.3*103 Ω.m
polystirene ~ 1016 Ω.m
Tabela 3.1 Resistividade eléctrica de diversos materiais condutores, semicondutores e isoladores (a 20 ºC)
A Lei de Ohm permite três interpretações distintas:
(i) para uma determinada tensão aplicada, a corrente
é inversamente proporcional à 
resistência eléctrica do elemento;
(ii) para uma determinada corrente aplicada, a tensão desenvolvida aos terminais do 
elemento é proporcional à resistência;
(iii) a resistência de um elemento é dada pelo cociente entre a tensão e a corrente aos seus 
terminais.
Por exemplo, no caso dos circuitos representados na Figura 3.4 verifica-se que em (b) a corrente na 
resistência é dada por I=V/R=5 A, que em (c) a tensão aos terminais da resistência é V=RI=5 V e que em 
(d) o valor da resistência é R=V/I=10 Ω.
Figura 3.4 Símbolo da resistência e Lei de Ohm
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (5 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.1 Lei de Ohm
A representação gráfica da Lei de Ohm consiste numa recta com ordenada nula na origem e declive 
coincidente com o parâmetro R (ou G) (Figura 3.5). Apesar de elementar e evidente, é importante associar 
esta relação linear tensão-corrente à presença de um elemento do tipo resistência, mesmo em dispositivos 
electrónicos relativamente complexos como o transístor. Num dos seus modos de funcionamento, por 
exemplo, o transístor apresenta uma relação tensão-corrente semelhante àquela indicada na Figura 3.5, o 
que indica, portanto, que nessa mesma zona o transístor é, para todos os efeitos, uma resistência.
Figura 3.5 Lei de Ohm
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.1%20leiohm.htm (6 of 6)3/16/2009 5:49:00 PM
3.2 Lei de Joule
3.2 Lei de Joule
A potência eléctrica dissipada numa resistência é dada pelo produto da tensão pela corrente (neste caso 
adopta-se a representação dos valores instantâneos das grandezas)
W, watt (3.17)
No entanto, por substituição da Lei de Ohm,
(3.18)
ou ainda
(3.19)
todas elas indistintamente associadas ao enunciado da Lei de Joule. Na Figura 3.6 representam-se 
graficamente as expressões (3.18) e (3.19).
Figura 3.6 Potência dissipada numa resistência
A energia eléctrica dissipada numa resistência é dada pelo produto da potência pelo intervalo de tempo
w = Ri2Dt J, joule (3.20)
No entanto, a unidade de energia eléctrica utilizada nas redes de produção, transporte e consumo de energia 
eléctrica é o watt-hora (Wh) ou, então, um dos seus múltiplos como o kWh, o MWh, ou mesmo o GWh. A 
regra de conversão entre watt-hora e joule é
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.2%20leijoule.htm (1 of 2)3/16/2009 5:48:58 PM
3.2 Lei de Joule
(3.21)
A quantidade expressa pelas relações (3.17) a (3.19), na unidade de tempo, ou (3.18) ao longo do tempo, é 
dissipada sob a forma calor. Como tal, um dos parâmetros de uma resistência é a sua capacidade de dissipar 
convenientemente o calor gerado por efeito de Joule. O desrespeito desta característica pode comprometer a 
funcionalidade da resistência. Com efeito, o fusível é um dispositivo que explora as consequências do 
efeito de Joule, o qual, como se indica na Figura 3.7, tem por objectivo limitar a potência fornecida a um 
determinado circuito eléctrico. Neste caso, quando a corrente absorvida pelo circuito supera um valor limite 
pré-estabelecido, I
max
, o calor gerado por efeito de Joule é suficiente para fundir o filamento e interromper 
o fornecimento de corrente ao circuito. Existem fusíveis para diversos tipos de aplicações: de valor máximo 
de corrente, de actuação rápida (sensíveis aos picos de corrente) ou lenta (sensíveis ao valor médio da 
corrente), etc. A programação das memórias ROM constitui uma das aplicações mais interessantes do 
princípio de funcionamento do fusível. Neste caso, os fusíveis são constituídos por uma fita de alumínio 
depositada na superfície da pastilha de silício, fusíveis que são posteriormente fundidos, ou não, de acordo 
com o código a programar na memória.
Figura 3.7 Fusível
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.2%20leijoule.htm (2 of 2)3/16/2009 5:48:58 PM
3.3 Tipos de Resistências
3.3 Tipos de Resistências
Em função da tecnologia subjacente à sua construção e das aplicações visadas, as resistências podem ser 
agrupadas em três classes principais:
(i) resistências discretas, utilizadas para construir circuitos com componentes discretos em 
placas de circuito impresso ou de montagem;
(ii) resistências híbridas, utilizadas na construção de circuitos híbridos discreto-integrados;
(iii) resistências integradas, neste caso com dimensões micrométricas e utilizadas na 
realização de circuitos integrados em tecnologia de silício.
Este livro limita-se a estudar os grupos de resistências discretas e híbridas, deixando a cargo da disciplina 
Electrónica dos Sistemas Integrados a apresentação das múltiplas alternativas em matéria de resistências 
integradas.
Para além da tecnologia subjacente à sua construção, é comum classificar as resistências discretas em fixas, 
ajustáveis e variáveis. O valor nominal de uma resistência fixa é pré-estabelecido durante o processo de 
fabricação da mesma, ao passo que aquele relativo às resistências ajustáveis e variáveis pode ser alterado 
pelo utilizador. A distinção entre resistência ajustável e variável é mínima. Esta depende essencialmente da 
aplicação a que se destinam: as resistências ajustáveis são normalmente inacessíveis ao utilizador comum e 
são utilizadas no ajuste fino do desempenho dos circuitos, que em regra é feito imediatamente após a sua 
produção, ao passo que, pelo contrário, as resistências variáveis destinam-se a ser acessíveis ao utilizador 
comum e são usadas, por exemplo, no controlo do volume de som de um rádio, do brilho ou do contraste de 
um aparelho de televisão, etc.
Apesar da sua enorme variedade, as resistências discretas mais utilizadas na prática são as seguintes:
(i) as de carvão, na realidade de pasta de aglomerados de grafite;
(ii) as de película ou camada fina de material metálico ou de carvão;
(iii) as de fio metálico bobinado.
Para além das diferenças tecnológicas de construção, é comum utilizarem-se adjectivos como: resistências 
de montagem superficial (resistências de pequenas dimensões para montagem superficial sobre a placa de 
circuito impresso), redes ou agregados de resistências (encapsuladas em invólucros semelhantes aos dos 
circuitos integrados), resistências de potência, etc.
3.3.1 Resistências de Carvão
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.3%20tiposres.htm (1 of 5)3/16/2009 5:48:57 PM
3.3 Tipos de Resistências
As resistências de carvão são construídas a partir de uma massa homogénea de grafite misturada com um 
elemento aglutinador. A massa é prensada com o formato desejado, encapsulada num invólucro isolante de 
material plástico e ligada ao exterior através de um material bom condutor. Na Figura 3.8 ilustram-se 
alguns detalhes relativos à construção deste tipo de resistências.
Figura 3.8 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de carvão
O valor nominal de uma resistência de carvão é uma função das dimensões físicas e da percentagem, maior 
ou menor, de grafite utilizada no aglomerado (mais grafite é igual a menor resistência). As resistências de 
carvão existem numa gama muito variada de valores, designadamente no intervalo compreendido entre 2.7 
Ω e 22 MΩ, e para diversos valores da potência máxima dissipável, tipicamente ¼ W, ½ W, 1 W e 2 W.
3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina
As resistências de película fina são construídas a partir da deposição de uma finíssima camada de carvão ou 
metal resistivo (níquel-crómio, óxido de estanho, etc.) sobre um corpo cilíndrico de material isolante. Nas 
resistências de menor valor absoluto, tipicamente inferiores a 10 kΩ, o material resistivo é depositado sob a 
forma de uma camada contínua que une os respectivos terminais de acesso (Figura 3.9.a), ao passo que nas 
de maior valor se adopta a solução de construir uma espiral de filme em torno do corpo cilíndrico (Figura 
3.9.b). Em qualquer dos casos, a composição e a espessura
da camada determinam o valor nominal da 
resistência eléctrica implementada. O corpo da resistência é constituído por um material isolante, em geral 
um material vítreo ou cerâmico, sendo o conjunto protegido do exterior através de uma tinta isolante. As 
resistências de película fina existem numa gama de valores nominais e de máxima potência dissipável 
muito variada. Por exemplo, as resistências de filme fino de carvão existem para os valores estandardizados 
de 1/10 W, ¼ W, 1/3 W, ½ W, 2/3 W, 1 W, 3/2 W e 2 W.
Figura 3.9 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de película ou camada fina
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.3%20tiposres.htm (2 of 5)3/16/2009 5:48:57 PM
3.3 Tipos de Resistências
3.3.3 Resistências Bobinadas
As resistências bobinadas são construídas a partir do enrolamento de um fio metálico resistivo em torno de 
um núcleo cilíndrico de material isolante (Figura 3.10.a). O material resistivo mais utilizado é o constantan, 
que consiste basicamente numa liga metálica de níquel, cobre e manganésio. Em alguns casos, as 
extremidades do fio bobinado são ligadas a braçadeiras que permitem a ligação e a fixação da resistência ao 
circuito. No que respeita ao isolamento, as resistências bobinadas podem ser esmaltadas, vitrificadas ou 
cimentadas, sendo em geral o conjunto protegido mecanicamente do exterior por um invólucro de material 
cerâmico selado com silicone (Figura 3.10.b). As resistências de fio bobinado são comercializadas em 
gamas de valores nominais inferiores a 100 kΩ, cobrindo no entanto uma gama de máxima potência 
dissipável razoavelmente elevada (tipicamente até uma a duas dezenas de watt). Existem resistências 
bobinadas cujas dimensões vão desde alguns milímetros até vários centímetros.
Figura 3.10 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de fio bobinado
3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino
As resistências de filme espesso e de filme fino são utilizadas na realização de circuitos híbridos discreto-
integrados. As resistências deste tipo são construídas por deposição de uma fita de material resistivo sobre 
um substrato isolante (alumina, magnesia, quartzo, vidro, safira, etc.), fitas cuja espessura é da ordem das 
dezenas de µm na tecnologia de filme espesso e inferior ao µm (até algumas dezenas de angstrom) no caso 
das tecnologias de filme fino. Os materiais resistivos mais utilizados são os compostos de ruténio, irídio, e 
rénio, no caso das resistências de filme espesso, e o níquel crómio, o nitrato de tântalo e o dióxido de 
estanho no caso das de filme fino. Em face das aplicações a que se destinam, a dimensão deste tipo de 
resistências é relativamente reduzida (da ordem do milímetro), intermédia entre aquelas características dos 
componentes discretos e integrados. Existem também resistências de filme espesso encapsuladas em 
suportes semelhantes aos utilizados para os circuitos integrados, disponibilizando neste caso um conjunto 
variado de resistências independentes ou com terminais comuns.
Na Figura 3.11 ilustra-se um conjunto variado de resistências fixas actualmente existentes no mercado.
Figura 3.11 Algumas resistências fixas actualmente existentes no mercado
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.3%20tiposres.htm (3 of 5)3/16/2009 5:48:57 PM
3.3 Tipos de Resistências
3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis
As resistências ajustáveis e variáveis, também designadas por reóstatos, potenciómetros ou, em adaptação 
da designação em língua inglesa, trimmers, são utilizadas em aplicações nas quais se exige a afinação ou a 
variação continuada do valor nominal de uma resistência. Exemplos da aplicação de resistências variáveis 
são o controlo do volume de som de um rádio, o controlo do brilho ou contraste de um monitor TV, o ajuste 
do período de oscilação em circuitos temporizadores, etc. Na Figura 3.12 representa-se o símbolo, o 
esquema de ligações e um croqui do mecanismo de controlo utilizado. Existem resistências com controlo 
por tubo rotativo, manípulo ou ranhura, com escala linear ou logarítmica, simples ou em tandem, 
multivoltas ou de volta única, de carvão ou de metal, encapsuladas ou desprotegidas, etc. Na base da Figura 
3.12 encontrará algumas das soluções actualmente comercializadas.
Figura 3.12 Algumas resistências variáveis e ajustáveis actualmente disponíveis
3.3.6 Características Técnicas das Resistências
A selecção e utilização de resistências em circuitos nos quais a precisão é um dos factores decisivos do 
desempenho, deve ser acompanhada de precauções técnicas, quanto:
(i) à tolerância do valor nominal e à sua estabilidade em função das condições de 
armazenamento e de funcionamento (por exemplo, as resistências mais estáveis são as de fio 
bobinado, seguindo-se-lhes, por ordem, as de película fina metálica, de carvão e as 
aglomeradas);
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.3%20tiposres.htm (4 of 5)3/16/2009 5:48:57 PM
3.3 Tipos de Resistências
(ii) à potência máxima dissipável;
(iii) ao coeficiente de temperatura;
(iv) à tensão máxima aos terminais;
(v) ao ruído de fundo;
(vi) à gama de frequências recomendada, fora da qual se tornam significativas as 
capacidades e as indutâncias parasitas associadas, seja ao corpo, seja aos terminais de 
acesso;
(vii) à linearidade.
A não consideração de algumas destas características, em particular a tolerância, a máxima potência 
dissipável e o coeficiente de temperatura, pode conduzir a desempenhos bastante diferentes daqueles 
previstos no projecto.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.3%20tiposres.htm (5 of 5)3/16/2009 5:48:57 PM
3.4 Varístores
3.4 Varístores
O varístor, em inglês VDR, voltage dependent resistor, é uma resistência cujo valor nominal é uma função 
da própria tensão aplicada aos terminais (Figura 3.13 a e b). A elevada não linearidade do varístor é 
vulgarmente utilizada na eliminação de picos de tensão introduzidos nas linhas de alimentação durante as 
operações de ligação e desactivação de aparelhos, descargas atmosféricas, accionamento de termostatos, 
fundição de fusíveis, etc. Os varístores são em geral ligados em paralelo com o circuito cuja protecção 
garantem. Quando um transitório ocorre, o valor nominal da resistência reduz-se drasticamente, absorvendo 
assim os eventuais picos de corrente que, caso contrário, seriam injectados no circuito. Os varístores 
encontram aplicação em computadores, televisores, automóveis, brinquedos, etc. Um dos materiais 
vulgarmente utilizados na construção dos varístores é o óxido de zinco (ZnO), o qual apresenta uma 
característica tensão-corrente cuja forma é (Figura 3.13.b)
(3.22)
em que C e b são duas constantes características do material. Por exemplo, um varístor cujos parâmetros C 
e b valem, respectivamente, 230 e 0.035, apresenta aos seus terminais uma tensão de 230 V quando a 
corrente é 1 mA, e 270 V quando a corrente ascende a 100 A. Na Figura 3.13.c apresenta-se um circuito 
que exemplifica a função de um varístor na protecção de um circuito.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.4%20varistor.htm (1 of 3)3/16/2009 5:48:52 PM
3.4 Varístores
Figura 3.13 Símbolo (a), características tensão-corrente típicas de um varistor (b), exemplo 
de aplicação (c) e fotografia de um varístor comercializado
Admita-se que em condições normais a tensão aos terminais da fonte de alimentação é
V
s 
= VR + Vo = RI + CI
b
mas que em condições anormais apresenta um pico de amplitude ∆V
s
 tal, que
V
s 
+DV
s
 = R(I + ∆I) + C(I + ∆I)b ≈ R(I + ∆I) + CIb
No entanto, uma vez que b <<1
V
s 
+∆V
s
 ≈ R(I + ∆I) + CIb
 
e o pico de tensão é quase na íntegra absorvido pela resistência R, protegendo assim o circuito a jusante.
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.4%20varistor.htm (2 of 3)3/16/2009 5:48:52 PM
3.4 Varístores
file:///D|/apostilas/Benson%20xwave/3.4%20varistor.htm