1_Geo Des-Ponto Novo

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1Claudio Bergamini
IFAL – Engenharia Civil
Geometria Descritiva
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Sumário da apresentação
1- Conceitos Primitivos
2- Sistema Mongeano de projeção
3. As projeções do ponto
4. As coordenadas do ponto
5. Notação
6. Estudo do ponto
7. Posições genéricas do ponto
8. Simetria do Ponto
9. Projeção lateral do ponto
10. Referências bibliográficas
Geometria Descritiva
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Geometria Descritiva
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1.Conceitos primitivos
- forma e dimensão
- ponto, reta e plano (elementos fundamentais)
- linha e superfície
- espaço
PROPOSIÇÕES BÁSICAS
1º) Há no espaço um número infinito de pontos, retas e planos.
2º) Um ponto pertence a um número infinito de retas e a um número infinito de
planos.
3º) Uma reta contém um número infinito de pontos e pertence a um número
infinito de planos.
4º) Um plano contém um número infinito de pontos e um número infinito de retas.
São também consideradas postulados básicos as seguintes afirmações:
5º) Dois pontos são suficientes para determinar uma reta.
6º) Três pontos não colineares são suficientes para determinar um plano.
7º) Dois planos determinam uma reta que pertence, simultaneamente, a ambos.
8º) Três planos, que não contém uma mesma reta, determinam um ponto comum.
9º) Um plano e uma reta que não lhe pertence, determinam um ponto comum.
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1. Conceitos Primitivos
PROPOSIÇÕES DECORRENTES
Se uma reta define uma determinada direção, a 5ª proposição básica permite
afirmar que:
1º) Duas retas distintas (portanto, não coincidentes) são paralelas quando têm a
mesma direção.
Da 5ª e da 6ª proposição básica pode-se deduzir de imediato que:
2º) Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
3º) Duas retas coplanares (portanto, que pertencem a um mesmo plano)
determinam um ponto comum.
4º) Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos
pertencem ao plano.
5º) Para que uma reta seja paralela a um plano, basta que seja paralela a uma reta
desse plano.
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2.Sistema Mongeano de Projeção
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, 
onde 2 planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo 
portanto, em função de suas posições, perpendiculares entre si. A intersecção desses 
planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT). Esses planos determinam 
no espaço 4 diedros numerados no sentido anti-horário. .
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2.Sistema Mongeano de Projeção
Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, foi acrescentado por Gino Loria
um terceiro plano de projeção para melhor localização de objetos no espaço.
Este terceiro plano de projeção, denominado plano Lateral, forma com o diedro 
conhecido um triedro trirretângulo, sendo portanto, perpendicular aos planos 
Horizontal e Vertical de projeção. O plano lateral fornecerá uma terceira projeção do 
objeto. 
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2.Sistema Mongeano de Projeção
Até agora representamos os objetos no espaço. Para representarmos esses objetos 
no plano bidimensional do papel ou da tela, é necessário que o plano horizontal e 
vertical coincidam em uma única superfície plana. Monge, utiliza um artifício, rotaciona 
o plano horizontal em 90°, fazendo com que o plano horizontal coincida com o vertical. 
Esse procedimento chama-se rebatimento.
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2.Sistema Mongeano de Projeção
Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma 
mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é denominada linha de chamada. A 
distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que 
em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção vertical até a 
linha de terra.
A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO do 
ponto; que em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção 
horizontal até a linha de terra.
Geometria Descritiva
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2.Sistema Mongeano de Projeção
DIEDRO - é formado por dois planos de projeção 
ortogonais - um horizontal, um vertical.
LINHA DE TERRA - reta determinada pela 
intersecção dos planos Horizontal e Vertical de 
projeção.
REBATIMENTO – rotação do PH em 90°para 
obtenção da épura.
ÉPURA - representação de figuras no plano 
bidimensional, por suas projeções.
LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha 
de terra, que liga as projeções horizontais e 
verticais de pontos. 
COTA – distância de um ponto ao PH.
AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV.
VERDADEIRA GRANDEZA - V.G. - diz-se que uma 
projeção está em V.G. quando o objeto está 
paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo 
com sua real superfície. 
Geometria Descritiva
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2.Sistema Mongeano de Projeção
Planos de Projeção
Plano vertical ou Plano Frontal de Projeção (PFP), ou (pi linha) o outro é horizontal 
e designa-se por Plano Horizontal de Projeção (PHP), ou (pi). Esses planos 
cruzam-se numa reta que se designa por eixo x.
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2.Sistema Mongeano de Projeção
Planos bissetores
Os planos bissetores dividem os diedros em espaços iguais, chamados octantes. 
Como se pode verificar, planos de projeção e planos bissetores cruzam-se no eixo x. 
Chama-se β1/3 ao bissetor dos diedros ímpares e β2/4 ao bissetor dos diedros pares. 
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3.As projeções do ponto 
Na Geometria Descritiva trabalha-se com projeções ortogonais, o que significa que as figuras 
geométricas são projetadas do espaço para os planos de projeção através de retas que lhes 
são perpendiculares. 
Rodando em torno do eixo x, os planos de projeção ficam 
coincidentes, esse movimento é designado por 
rebatimento.
Os pontos são projetados do espaço para os 
planos de projeção através de retas que são 
perpendiculares aos planos, designadas por 
projetantes. 
Geometria Descritiva
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3.As projeções do ponto 
Depois de projetados os pontos e de efetuado o rebatimento, as representações finais 
dos pontos ficam como mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se 
situam nos diedros I, II, III e IV, respectivamente. 
Geometria Descritiva
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4.As coordenadas do ponto 
Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três 
coordenadas: abcissa, afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o 
afastamento e a cota. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x.
Geometria Descritiva
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4.As coordenadas do ponto 
Os pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos planos de 
projeção vistos de lado, na primeira imagem; nesta estão representados pelas suas 
projeções. 
Como se pode verificar, cotas positivas e afastamentos negativos originam projeções 
para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam projeções 
para baixo do eixo x. 
Geometria Descritiva
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
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4.As três coordenadas do ponto.
Geometria Descritiva
O plano de referência para a 
abcissa é o plano lateral de 
projeção. 
À esquerda desse plano as abcissas 
têm valores positivos, à direita 
têm valores negativos.
Nas projeções é a reta y≡z que 
serve de referência para a 
marcação das abcissas. 
Quando são dadas as três 
coordenadas de um ponto isso 
não significa que se tem de 
representar as três projeções. 
O valor da abcissa serve para situar 
o ponto ao longo do eixo x, à 
esquerda ou à direita de y≡z, ou 
de um ponto de referência 
marcado no eixo x.
Coordenadas dos pontos representados: 
A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2) 
F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1) 
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Geometria Descritiva
5.Notação
NOTAÇÃO
Elemento Convenção Exemplos
Objetivo Projeção 
horizontal
Projeção 
vertical
Projeção 
lateral
Ponto Letra latina maiúscula(P) P P’ Pº
Reta Letra latina minúscula (r) r r’ rº
Plano Horizontal PH
Plano Vertical ou 
Frontal
PV ou PF
Plano Lateral PL
Planos Letra grega minúscula (α) hα fα lα
Linha de Terra ou 
LT
Linha com traço curto nas 
extremidades 
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Geometria Descritiva
5.Notação
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6.Estudo do Ponto
Para determinarmos a posição de um 
ponto no espaço, é necessário
projetá-lo sobre os dois planos de 
projeção ortogonais – plano de projeção
horizontal (X,Y) e plano de projeção 
frontal (X,Z). O ponto é representado por
suas coordenadas descritivas.
P (x, y, z)
Geometria Descritiva
P (x, y) – projeção de P no plano horizontal
P’ (x, z) – projeção de P no plano frontal
Pº (y, z) – projeção de P no plano auxiliar
LINHA DE TERRA – interseção do plano horizontal e frontal de projeção
PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE P: P1, P2, P0
PROJETANTE - é a perpendicular traçada do ponto do espaço à sua 
projeção ortogonal ( PP2, PP1, PP0) 
LINHA DE PROJEÇÃO OU LINHA DE CHAMADA - é toda linha 
perpendicular a linha de terra, que une as projeções de um mesmo ponto, ou 
seja, é a projeção das projetantes.
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6.Estudo do Ponto
Estas coordenadas descritivas dos elementos na geometria descritiva 
correspondem a largura, profundidade e altura de um objeto.
Geometria Descritiva
Abscissa (x) Afastamento (y) Cota (z)
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano lateral de 
projeção, ou seja, o quanto o 
ponto se afasta da origem do 
sistema
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano vertical de 
projeção, ou seja, o quanto o 
ponto se afasta do PV.
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano horizontal 
de projeção, ou seja, é a altura 
em relação ao PH.
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Exercícios de fixação.
Geometria Descritiva
1. Representar em épura as projeções dos seguintes pontos:
A (2;-1;3) B (4;2;2) C (-3;5;3) D (-4;-2;3) E (0;3;4) e faça a sua 
análise no espaço.
2. Representar em épura os pontos D (0;0;4), E (-1;2;0) e F (2;-1;0) e
indicar a sua posição em relação aos planos de projeção. 
3. Determine o ponto F, simétrico de G (2;3;-2), em relação ao plano
vertical.
4. Determine o ponto H simétrico do ponto I (1;2;3), em relação ao plano
Horizontal.
5. Determinar as coordenadas de um ponto J simétrico a K (1;4;6) em
relação à linha de terra. 
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7.Posições genéricas do ponto
Geometria Descritiva
As coordenadas destes 
pontos são: 
A(3;1)
B(2;2) 
C(1;3) 
D(0;4) 
E(-1;3) 
F(-2;2) 
G(-3;1)
H(-4,0) 
I(-3;-1) 
J(-2;-2) 
K(-1;-3)
L(0;-4) 
M(1;-3) 
N(2;-2) 
O(3;-1) 
P(4;0) 
Q(0;0) 
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8.Simetria do ponto.
Geometria Descritiva
Determinação de pontos simétricos 
Os pontos de referência utilizados nesta 
imagem são os seguintes: 
A(1;3) P(-4;2) 
Os simétricos de A são: 
B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP 
C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP 
D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3 
E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4 
F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo x 
Os simétricos de P são: 
Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP 
R(4;2) - simétrico em relação ao PFP 
S(-2;4) - simétrico em relação ao β2/4 
T(2;-4) - simétrico em relação ao β1/3 
U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x 
As coordenadas dos pontos simétricos 
mantêm os valores absolutos dos do 
pon-to de referência. 
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9.Projeção lateral do ponto.
Geometria Descritiva
As três projeções de um 
ponto em perspectiva 
O ponto P é projetado no PHP 
em P1, 
no PFP em P2 
e no PLP em P3. 
Depois de feitas as projeções, 
os planos rebatem 
conforme mostram as 
setas. 
O primeiro rebatimento a 
considerar é o do PHP, só 
depois de faz o 
rebatimento do PLP. 
Do primeiro rebatimento 
resulta a coincidência dos 
eixos y e z. 
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9.Projeção lateral do Ponto.
Geometria Descritiva
A projeção lateral de um 
ponto 
A projeção lateral obtém-se 
com linhas de chamada 
paralelas ao eixo x e com 
uma rotação feita com o 
compasso colocado no 
ponto de cruzamento dos 
eixos. 
A rotação do compasso faz-se 
sempre no sentido inverso 
ao dos ponteiros do 
relógio. 
O ponto P corresponde ao que 
está representado em 
perspectiva.
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10.Referências bibliográficas
Geometria Descritiva
Esta apresentação em PowerPoint foi 
elaborada pelo Prof. Cláudio Bergamini para 
disciplina de Geometria Descritiva do curso de 
Engenharia Civil do IFAL em 2013, pode ser 
utilizada para fins didáticos, desde que citadas 
as fontes.
Príncipe Junior, Alfredo dos Reis. Noções de 
Geometria Descritiva - Volume 1, São Paulo: 
Nobel, 1983.
Príncipe Junior, Alfredo dos Reis. Noções de 
Geometria Descritiva - Volume 2, São Paulo: 
Nobel, 1983.
Montenegro, Gildo Aparecido. Geometria 
Descritiva - Volume I. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1991.
Pinheiro, Virgilio Athaide. Noções de 
Geometria Descritiva I. Rio de Janeiro: Ao 
Livro Técnico SA, 1972.
Pinheiro, Virgilio Athaide. Noções de 
Geometria Descritiva II. Rio de Janeiro: Ao 
Livro Técnico SA, 1972.
Rodrigues, Álvaro J.. Geometria Descritiva, 
Operações fundamentais e poliedros. Rio de 
Janeiro: Ao Livro Técnico, 1970.
Apostilas.
Manual de Geometria Descritiva
Prof. Antônio Galrinho.
Geometria Descritiva IIA – UFRGS
Prof. Anelise Todeschini Hoffmann, JoceliseJacques de 
Jacques e Fábio Golçalves Teixeira.
Internet
Apostila completa Desenho Técnico –
TELECURSO 2000 – disponível em www.4shared.com
Projeções ortográficas no 1º e 3º Diedros - Leonardo 
Araújo – disponível em www.cefala.org
Geometria Descritiva - conceitos – disponível em 
www.papelmod.com.br