C6 cursoD Matematica prof 25aulas

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FRENTE 1 – ÁLGEBRA
– 101
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1. Dado o número complexo z = – 3 ���3 + 3i, obter
a) o módulo de z;
b) o argumento principal de z;
c) a forma trigonométrica de z.
RESOLUÇÃO:
 
Para z = – 3���3 + 3i = a + bi (a, b ∈ �), temos a = – 3���3 e b = 3
 
a) | z | = ρ = ��������a2 + b2 = ���������������(– 3���3 )2 + 32 = ��������� 27 + 9 = 6
 0 ≤ θ < 2π
� a – 3���3 – ���3 b) cos θ = ––– = ––––––– = ––––– 5π ρ 6 2 ⇒ θ = –––– 6
 b 3 1 
 sen θ = ––– = ––– = –––
 ρ 6 2
c) z = ρ (cos θ + i sen θ) 
 
5π 5π
z = 6 (cos ––– + i sen –––)
 6 6
2. Na figura, os pontos P e Q são, respectivamente, os afixos dos
números complexos z e w, no plano Argand-Gauss.
a) Obtenha z e w.
b) Calcule o módulo de z – w.
RESOLUÇÃO:
 
a)
 
⇒
 
⇒ ⇒
b) z – w = 3 – i ���3 e �z – w� = �������������32 + (���3 )2 = ����12
3. (UNESP) – Considere os números complexos w = 4 + 2i e 
z = 3a + 4ai, em que a é um número real positivo e i indica a unidade
imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é �z� e a base
é a parte real de z.w, determine a de modo que a área do triângulo seja 
90 cm2.
RESOLUÇÃO:
1) ⇒ zw = 4a + 22ai ⇒ Re(zw) = 4a
2) �z� = �������������(3a)2+(4a)2 = 5a
3) A área do triângulo, em centímetros quadrados, é igual a:
 
 
= = 10a2
 Assim: 10a2 = 90 ⇔ a2 = 9 ⇔ a = 3, pois a é positivo
Resposta: a = 3 cm
4. Sendo z = ρ . [cos θ + i sen θ], então 
zn = ρn . [cos (n . θ) + i . sen(n . θ)], em que n ∈ �.
Nestas condições, se z = ���3 + i, então z12 é igual a:
a) – 4 096 b) – 4 096i c) 4 096
d) 4 096i e) 4 096 + 4 096i
RESOLUÇÃO:
1) z = ���3 + i ⇒ ρ = 2 e θ = 30°
2) z = 2 . [cos 30° + i sen 30°] ⇒ z12 = 212 . [cos 360° + i sen 360°] = 4096
Resposta: C
MÓDULO 24
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA 
DE UM NÚMERO COMPLEXO
� z = 2(cos 60° + i sen 60°)w = 4(cos 120° + i sen 120°)
�
 1 ���3
z = 2�–– + i–––– �
 2 2
 1 ���3
w = 4�– –– + i–––– �
 2 2
� z = 1 + i���3w = – 2 + i 2���3
z = 3a + 4ai
w = 4 + 2i�
5a . 4a
–––––––––
2
�z� . Re(zw)
–––––––––––––
2
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102 –
1. Considere o polinômio de coeficientes reais
P(x) = (m2– 4)x3–(m3 – 3m)x2 + (m2 – 1)x + (2m–2).
Sabendo que m é raiz de P(x), determine
a) o valor de m;
b) o grau de P;
c) o termo independente de P(x).
RESOLUÇÃO:
a) m é raiz de P(x) ⇔ P(m) = 0 ⇔ 
 ⇔ (m2 – 4)m3 – (m3 – 3m)m2 + (m2 – 1)m + 2m – 2 = 0 ⇔
 ⇔ m5 – 4m3 – m5 + 3m3 + m3 – m + 2m – 2 = 0 ⇔ m – 2 = 0 ⇔ m = 2
b) m = 2 ⇒ P(x) = 0x3 – 2x2 + 3x + 2 ⇒ gr(P) = 2
c) P(0) = 2
Respostas: a) m = 2 b) gr(P) = 2 c) P(0) = 2
2. Considere o polinômio de coeficientes reais
P(x) = x3 – (m3 – 3m)x2 + (m3 – 1)x + 2m – 15. Sabendo que 1 é raiz
de P(x), então é correto concluir que m é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
Se 1 é raiz de P(x), então P(1) = 0 e, portanto,
13 – (m3 – 3m) . 12 + (m3 – 1) . 1 + 2m – 15 = 0 ⇔
⇔ 1 – m3 + 3m + m3 – 1 + 2m – 15 = 0 ⇔ 5m = 15 ⇔ m = 3
Resposta: C
3. O coeficiente de x3 de um polinômio P(x), do 3o. grau, é igual a 1.
Sabe-se que P(1) = P(2) = 0 e P(0) = 6. O valor de P(3) é:
a) 0 b) 2 c) 6 d) 12 e) 18
RESOLUÇÃO:
⇒ (– 1) . (– 2) . (– r) = 6 ⇒ r = – 3
Então, P(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) e P(3) = (2) . (1) . (6) = 12
Resposta: D
4. (ESPM) – Se = + para 
qualquer x real não nulo, o valor da expressão (b – c)a é igual a:
a) 2 b) – 1 c) ���2 d) –
 
e) 
RESOLUÇÃO:
= + ⇔
⇔ = ⇔
⇔ 1 = ax2 + 2ax + 2a + bx2 + cx ⇔ 1 = (a + b)x2 + (2a + c)x + 2a ⇔
⇔ ⇔
Logo, (b – c)a = – + 1 = = = 
Resposta: E
MÓDULO 25
FUNÇÃO POLINOMIAL
P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – r)
P(0) = 6�
bx + c
–––––––––––
x2 + 2x + 2
a
–––
x
1
–––––––––––––
x3 + 2x2 + 2x
���2
––––
2
1
–––2
bx + c
–––––––––––
x2 + 2x + 2
a
–––
x
1
––––––––––––
x3 + 2x2 + 2x
a(x2 + 2x + 2) + x(bx + c)
––––––––––––––––––––––––
x(x2 + 2x + 2)
1
––––––––––––
x(x2 + 2x + 2)
1
a = –––
2
1
b = – –––
2
c = – 1
�a + b = 02a + c = 02a = 1�
���2
––––
2
1
–––
2
1
–––
2
�1–––2�
1
–––
2
�1–––2�
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– 103
1. Dividir A(x) = 6x4 + 9x3 – 15x + 9 por B(x) = x2 – x – 2 utilizando
o método da chave.
RESOLUÇÃO:
––––––––––––––––––––––––––
 15x3 + 12x2 – 15x + 9
 –15x3 + 15x2 + 30x
 ––––––––––––––––––––––
 27x2 + 15x + 9
 – 27x2 + 27x + 54
 ––––––––––––––––––
 42x + 63
Resposta: Q(x) = 6x2 + 15x + 27 R(x) = 42x + 63
2. Sabe-se que o polinômio P(x) = x5 + mx + n (m, n ∈ �) é divisível
por x2 + 1. Então, o valor de m + n é
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
RESOLUÇÃO:
Dividindo P(x) por x2 + 1, utilizando o método da chave, resulta:
 
 
 
–––––––––––––––––––––––––
 – x3 + 0x2 + mx + n
 + x3 + x
––––––––––––––––––––––
 (m + 1)x + n 
 
Para (m + 1)x + n � 0, tem-se m = –1 e n = 0 
Logo, m + n = –1 + 0 = –1
Resposta: A
3. (UFGO) – Na divisão do polinômio 
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d pelo polinômio 
D(x) = x2 + 1, encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1
e para resto o polinômio R(x) = x + 1. Então P(x) é o polinômio:
a) x3 – x2 + x + 1 b) 2x3 – x2 + 1 
c) 2x3 – x2 – x + 1 d) 2x3 – x2 + 3x 
e) x3 – x2 – 1
RESOLUÇÃO:
Do enunciado, tem-se:
⇔ P(x) = D(x) . Q(x) + R(x), ou seja, 
P(x) = (x2 + 1) . (2x – 1) + x + 1
Assim: P(x) = 2x3 – x2 + 3x
Resposta: D
4. 
a) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 3 por x2 + 1. 
b) Resolver, em �, a equação P(x) = 0
RESOLUÇÃO:
a) 
–––––––––––––––––––––––
– 4x3 + 3x2 – 4x + 3
+ 4x3 + 4x
–––––––––––––––––––––
 3x2 + 3
 – 3x2 – 3
 –––––––––––––––
 0
Assim, quociente = x2 – 4x + 3 e o resto = 0.
b) P(x) = 0 ⇔ (x2 + 1).(x2 – 4x + 3) = 0 ⇔ x2 + 1 = 0 ou x2 – 4x + 3 = 0 ⇔
 ⇔ x = ± i ou x = 1 ou x = 3
 Assim, V = {± i; 1; 3}
Respostas: a) quociente = x2 – 4x + 3 e resto = 0
 b) V = {± i; 1; 3}
MÓDULO 26
POLINÔMIOS: DIVISÃO
x2 – x – 2
6x2 + 15x + 27
6x4 + 9x3 + 0x2 – 15x + 9
– 6x4 + 6x3 + 12x2
x2 + 1
x3 – x 
x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + mx + n
– x5 – x3
D(x) = x2 + 1
Q(x) = 2x – 1
P(x)
R(x) = x + 1
x2 + 1
x2 – 4x + 3
x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 3
– x4 – x2
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104 –
Nas questões de 1 a 4, calcular o quociente e o resto das divisões dos
polinômios, utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini.1. 2x4 – 11x3 + 26x + 3 por x – 5
RESOLUÇÃO:
Resposta: Q(x) = 2x3 – x2 – 5x + 1 e r = 8 
 
2. 
RESOLUÇÃO:
Resposta: Q(x) = x4 + 3x3 – 6x2 + 2x – 4 e r = 23
3. 
RESOLUÇÃO:
 
 
Resposta: Q(x) = x3 + x2 – x + = x3 + x2 – 5x + 2
 
 r = – 11 
4. (UEPG) – Na divisão do polinômio p(x) = x5 – 3x3 – 6 por 
s(x) = x – 2, obtêm-se quociente q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e e
resto r(x) = f. Isto posto, assinale o que for correto.
01) a = c 02) b = d 04) a + b = 4
08) f = 2 16) b + d = e
RESOLUÇÃO:
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para obter q(x) e r(x),
temos:
Assim, ∀x ∈ �, resulta x4 + 2x3 + x2 + 2x + 4 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
e r(x) = f = 2 ⇔ 
As afirmações verdadeiras são 01, 02, 08 e 16.
5. (FEI) – O polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 8x + m é divisível por 
(x – 1). O valor de m é:
a) 4 b) 2 c) 14 d) – 2 e) – 4
RESOLUÇÃO:
⇒ P(1) = 0 ⇒ 13 – 5 . 12 + 8 . 1 + m = 0 ⇒
⇒ 1 – 5 + 8 + m = 0 ⇒ m = – 4
 Resposta: E
6. (FUVEST) – O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são
números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1,
respectivamente. Assim, o valor de a é
a) – 6 b) – 7 c) – 8 d) – 9 e) – 10 
 
RESOLUÇÃO:
Se os restos das divisões de p(x) = x3 + ax2 + bx por x – 2 e por x – 1 são,
respectivamente, iguais a 2 e 4, então:
⇔ ⇔
Resposta: A
MÓDULO 27
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI –
TEOREMA DO RESTO
2
2
– 11
– 1
0
– 5
26
1
3
8
5
x5 + 5x4 – 10x2 + 15 x + 2 
1
1
5
3
0
– 6
– 10
2
0
– 4
15
23
– 2
2x4 + 5x3 – 7x2 – 11x – 5 2x + 3
2
2
5
2
– 7
– 10
– 11
4
– 5
– 11
3
– ––2
2
––
2
2
––
2
10
–––
2
4
––
2
P(x) 
 
0 
x – 1
Q(x)
� p(2) = 2p(1) = 4 �
8 + 4a + 2b = 2
1 + a + b = 4 � a = – 6b = 9
1 0 – 3 0 0 – 6 2
1 2 1 2 4 2 
�
a = 1
b = 2
c = 1
d = 2
e = 4
f = 2
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FRENTE 2 – ÁLGEBRA
1. Dados os números 4, 54 e 125, determine as médias
a) aritmética, A; b) geométrica, G.
RESOLUÇÃO:
 
a) A = = 61
b) G3 = 4 . 54 . 125 ⇒ G = 2 . 3 . 5 = 30
Respostas: a) 61 b) 30
2. (UNESP) – Durante o ano letivo, um professor de matemática
aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas
obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas
realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. 
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3,
calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova
IV foi: 
a) 9,0. b) 8,5. c) 8,3. d) 8,0. e) 7,5. 
RESOLUÇÃO:
Sendo x a nota desse aluno na prova IV temos que
= 7,3 ⇔
⇔ 56 + 2x = 73 ⇔ 2x = 17 ⇔ x = 8,5
Resposta: B
3. (UFABC) – A média aritmética das idades de um grupo de x
pessoas é 25 anos. Com a entrada de mais uma pessoa no grupo, a
nova média passou a ser 26 anos. Determine a idade do novo
integrante do grupo em função de x.
RESOLUÇÃO:
Seja S a soma de todas as idades das x pessoas.
Então = 25 ⇔ S = 25x
Com a entrada do novo integrante no grupo, de ida de a, em anos, resulta
= 26 ⇔ 25x + a = 26x + 26 ⇔ a = x + 26
Resposta: x + 26
4. (U.F.CEARÁ) – A média aritmética de 50 números é 40. Entre
estes números, estão os números 75, 125 e 155, os quais são supri -
midos. A média aritmética dos 47 números restantes é:
a) 39 b) 37 c) 35 d) 33
RESOLUÇÃO:
M50 = = 40 ⇒ S50 = 2000
M47 = = = = 35
Resposta: C
MÓDULO 24
NOÇÃO GERAL DE MÉDIA
4 + 54 + 125
––––––––––––
3
S50
––––––
50
1645
––––––
47
2000 – 355
––––––––––
47
S50 – 75 – 125 – 155
–––––––––––––––––––
47
1 . 6,5 + 2 . 7,3 + 3 . 7,5 + 2 . x + 2 . 6,2 
––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + 2 + 3 + 2 + 2
Prova I II III IV V
Nota 6,5 7,3 7,5 ? 6,2
Peso 1 2 3 2 2
S
–––
x
25x + a
––––––––
x + 1
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106 –
5. (ENEM) – Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces
numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número
obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição
de frequências.
A média, mediana e moda dessa distribuição de frequên cias são,
respectivamente
a) 3, 2 e 1 b) 3, 3 e 1 c) 3, 4 e 2
d) 5, 4 e 2 e) 6, 2 e 4
RESOLUÇÃO:
Senhor Professor, utilize esta questão para mostrar o que é a moda e o que
é a mediana.
Colocados em ordem crescente, os resultados obtidos foram 
1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5 e 6
A média foi = = 3
A mediana (média entre os dois elementos centrais do rol) é 
= 3
A moda, elemento de maior frequência, é 1.
Resposta: B
1. (FGV) – Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao
custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida.
Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo mensal de 
R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa 
R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção
men sal é de 1 200 unidades. O custo médio mensal mínimo por uni -
dade vale:
a) R$ 150,00 b) R$ 187,50 c) R$ 225,00
d) R$ 262,50 e) R$ 300,00
RESOLUÇÃO:
O custo médio mensal mínimo por unidade é:
= 225
Resposta: C
2. (VUNESP) – Nos horários de pico, os vagões do metrô de São
Paulo passaram a receber até 8,6 passageiros por m². O limite
“suportável”, segundo padrões internacionais, é que cada pessoa dis -
ponha, no mínimo, de uma área quadrada de lado igual a 40 cm.
Considerando-se o número de passageiros, por m², pode-se afirmar
que a lotação atual do metrô de São Paulo, nos horários de pico,
supera o limite “suportável” estabelecido pelos padrões internacionais
em
a) 23,5% b) 37,6% c) 44,6% 
d) 58,5% e) 72,7%
RESOLUÇÃO:
Um quadrado de lado 40 cm possui área de 40 cm x 40 cm = 1600 cm2 =
0,16m2.
Uma pessoa por quadrado de 40 cm de lado corresponde a uma pessoa
por cada 0,16m2, equivalente a = 6,25 pessoas por m2.
O metrô transporta 8,6 – 6,25 = 2,35 pessoas a mais por m2. Esse valor
corresponde a = 0,376 = 37,6% a mais que o suportável.
Resposta: B
Número obtido Frequência
1 4
2 1
4 2
5 2
6 1
30
–––
10
4 . 1 + 2 + 2 . 4 + 2 . 5 + 6
––––––––––––––––––––––––
10
2 + 4
–––––––
2
MÓDULO 25
RAZÕES E PROPORÇÕES
90000 + 150 . 1200
–––––––––––––––––
1200
1
––––
0,16
2,35
–––––
6,25
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– 107
3. (UF-VIÇOSA) – Uma herança de R$ 120.000,00 deve ser
repartida entre três irmãos, de modo que cada um receba uma quantia
diretamente proporcional à sua idade. Se as idades são 12, 16 e 22
anos, é correto afirmar que:
a) o filho de 12 anos receberá R$ 38.400,00.
b) o filho de 16 anos receberá R$ 28.800,00.
c) o filho de 16 anos receberá R$ 52.800,00.
d) o filho de 22 anos receberá R$ 38.400,00.
e) o filho de 12 anos receberá R$ 28.800,00.
RESOLUÇÃO:
Sejam a, b e c, as quantias recebidas por cada um dos três filhos,
respectivamente.
Dessa forma, em reais, temos:
⇔
Resposta: E
4. (UNICAMP) – A quantia de R$ 1.280,00 de verá ser dividida entre
3 pessoas. Quanto receberá cada uma se
a) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? 
b) a divisão for feita em partes inversamente propor cio nais a 5, 2 e
10?
RESOLUÇÃO:
Se a, b, c forem os valores que as três pessoas receberão, então:
a) = = = = = 64 ⇒
 ⇒
b) = = = = = 1600 ⇒
 
 ⇒ ⇒
Respostas: a) R$ 512,00, R$ 320,00 e R$ 448,00 
 b) R$ 320,00, R$ 800,00 e R$ 160,00
1. (UEM) – Uma fábrica necessita diminuir o tempo de empacota -
mento de sua produção diária. Para isso, adquire uma nova máquina
com a capacidade de empacotar sua produção diária em 2 horas. A
máquina antiga, para o mesmo trabalho, emprega 3 horas. Assinale o
que for correto.
01.As duas máquinas juntas empacotam, em 1 hora, da produção
diária.
02.As duas máquinas juntas levam 1 hora e dois minutos para
empacotar a produção diária.
04.Se a fábrica triplicar a produção diária, as duas máquinas juntas
realizarão o trabalho de empacotamento em 4 horas.
08.Fazendo as duas máquinas operarem juntas durante 6 horas
diárias, a fábrica poderá multiplicar a sua produção diária por 5.
16.Se a meta da fábrica fosse, com duas máquinas, empacotar a pro -
dução diária em 1 hora, deveria ter comprado uma máquina que
empacotasse sua produção diária em 1 hora e 45 minutos.
RESOLUÇÃO:
Sendo P a produção diária, a máquina nova empacota por hora,
enquanto a máquina antiga empacota por hora.
01) Verdadeira, pois juntas empacotam + = por hora.
02) Falsa, pois juntas levam = de hora para empacotar a
 produção diária e de hora equivale a uma hora e doze minutos.
04) Falsa, pois se a fábrica triplicar a produção as máquinas juntas
levarão = = 3,6 horas.
08) Verdadeira, pois trabalhando juntas durante 6 horas empacotam
6 . = 5p.
16) Falsa, pois se a máquina comprada empacotar a produção diária em
x horas então
 + = p ⇔ x = = 1,5 horas.
Resposta: são verdadeiras 01 e 08.
 
a = 320
b = 800
c = 160�
5a = 1600 
2b = 1600 
10c = 1600 �
1280
––––––
4
–––
5
a + b + c
–––––––––
8
––––
10
c
–––
1
––
10
b
–––
1
––
2
a
–––
1
––
5
a = 64 . 8 = 512
b = 64 . 5 = 320
c = 64 . 7 = 448�
1280
––––––
20
a + b + c
–––––––––
8 + 5 + 7
c
–––
7
b
–––
5
a
–––
8
a + b + c = 120000
a b c a + b + c 120000
–––– = –––– = –––– = ––––––––––––– = ––––––––– = 2400
12 16 22 12 + 16 + 22 50 
�
�
a
–––– = 2400 ⇒ a = 28800
12
b
–––– = 2400 ⇒ b = 38400
16
c
–––– = 2400 ⇒ c = 52800
22
MÓDULO 26
REGRA DE TRÊS SIMPLES
5
––
6
p
––
2p
––
3
5p
–––
6
p
––
3
p
––
2
6
––
5
p
––––––
5p
––––––
66
––
5
18
–––
5
3p
––––––
5p
––––––
6
5p
–––
6
3
––
2
p
––
x
p
––
3
⇔
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
C6_D_MAT_EX_Prof_Rose 15/04/11 13:23 Página 107
108 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
2. (FED.PERNAMBUCO) – Júnior sobe, em 40 segundos, os de -
graus de uma escada rolante parada. Em funcionamento, a escada
rolante leva uma pessoa imóvel na escada, do piso ao andar acima, em
60 segundos. Se a escada rolante está em funcionamento, em quantos
segundos Júnior sobe do piso ao andar de cima, caminhando sobre os
degraus da escada?
a) 24 segundos b) 26 segundos c) 28 segundos
d) 30 segundos e) 32 segundos
RESOLUÇÃO:
Seja h a altura da escada e t o tempo, em segundos, que juntos, subiram a
escada.
Júnior sozinho
Sobe em 40 segundos → em 1 segundo, sobe 
Escada sozinha
Sobe em 60 segundos → em 1 segundo, sobe .
Juntos
Sobem em t segundos → em 1 segundo, sobem , sendo
= + ⇒ + ⇒ t = 24 segundos
Resposta: A
3. (UFG) – Segundo uma reportagem publicada pelo jornal Folha de
S. Paulo (20/9/2009, p. C1), o Metrô de São Paulo pretende trocar as
escadas rolantes das suas estações, substituindo as atuais, com
velocidades fixas de 0,5 ou 0,65 m/s, por novos equipamentos com
velocidade de até 0,75 m/s.
A reportagem ainda informa que, em uma escada de 15 m com
velocidade de 0,5 m/s, a capacidade de transporte em uma hora é de
9.000 pessoas, em média.
Uma das maneiras de aumentar a capacidade de transporte em uma
escada é reduzir o tempo do percurso, aumentando a sua velocidade.
De acordo com estes dados, para que a capacidade de transporte em
uma escada de 15 m seja de 12.780 pessoas em uma hora, em média,
cal cule qual será o tempo gasto por uma pessoa para subir essa
escada.
RESOLUÇÃO:
Como o comprimento da escada não mudou (15m), deve-se compor
apenas a velocidade com a capacidade de transporte.
 Velocidade (m/s) Capacidade (pessoa/hora)
 
 
= ⇒ v = 0,71 m/s
O tempo gasto por uma pessoa para subir a escada é t = ≅ 21 s
Resposta: Aproximadamente 21 s.
4. (UNESP) – Uma torneira completamente aberta leva 1 1/5 minuto
para encher 2/3 da capacidade total de um balde. Para encher
totalmente 5 baldes iguais a esse, ela gasta um tempo total de 
a) 15 min. b) 10 min. c) 9 min.
d) 4 min. e) 3 min.
RESOLUÇÃO:
 Tempo de abertura Quantidade de baldes enchidos
 
 
…………… 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ x = 15
Resposta: A
5. (U.F.MATO GROSSO) – Denomina-se carro flex aquele que
pode ser abastecido com mais de um tipo de combustível diferente ou
ainda com uma mistura de combustíveis. Suponha que um desses
carros, abastecido com uma mistura de álcool e gasolina, na pro -
porção de 1 para 3, faça, na estrada, 12 km/�. Se a proporção for de
1 para 4 e levando-se em conta que o rendimento é inversamente
proporcional à quantidade de álcool na mistura, o rendimento desse
mesmo carro, na estrada, será: 
a) 14 km/� b) 15 km/� c) 9,6 km/�
d) 10,8 km/� e) 11 km/�
RESOLUÇÃO:
Sendo v o volume de combustível do tanque, na proporção de 1 para 
3, temos v de álcool e, na proporção de 1 para 4, temos v de álcool. 
Dessa forma, se o rendimento é inversamente proporcional à quantidade
de álcool da mistura, então:
 Álcool Rendimento
 
 
 
= ⇒ = ⇒ x = 15 km/�
Resposta: B
h
–––
40
h
–––
60
h
–––
t
5h
––––
120
h
–––
t
h
–––
60
h
–––
40
h
–––
t
9000
12780
0,5 m/s
v
9000
–––––
12780
0,5
––––
v
15m
––––––––
0,71 m/s
11 –– min 
5
x min
2
––
5
5
1
––5
3
––
x
2
––
5
––––
5
6
––
5
––––
x
2
––
5
––––
5
11 ––
5
––––––
x
1
––
5
1
––
4
12 km/�
x
1
––v
4
1
––v
5
4
––
5
12 km/�
––––––––
x
1
––v
5
–––––
1
––v
4
12 km/�
––––––––
x
C6_D_MAT_EX_Prof_Rose 15/04/11 13:23 Página 108
– 109
1. (UFPE) – Diluindo, em água, três copos de concentrado de
laranja, podemos fazer sete copos de suco. Para produzirmos treze
copos de refresco, diluímos cinco copos de concentrado em água.
Quantos m� de água devemos adicionar a 700 m� de suco para
obtermos refresco?
RESOLUÇÃO:
Sendo x m� a quantidade de concentrado para produzir 700 m� de suco e 
y m� a quantidade de refresco produzida com x m� de concentrado,
temos:
Concentrado Suco
 
⇒ = ⇒ x = 300
 
 Concentrado Refresco
 
⇒ = ⇒ y = 780
Assim, para que os 700 m� de suco virem refresco, devemos acrescentar 
(780 – 700)m� = 80 m� de água.
2. (UFLA) – Na última eleição o período previsto para votação foi
das 8 horas às 17 horas, porém uma determinada seção teve que
estender esse período em três horas para atender a todos os eleitores.
Essa seção trabalhou com duas urnase cada eleitor levou, em média
3 minutos para votar. Se a seção tivesse trabalhando com três urnas e
cada eleitor levasse, em média 3 minutos e 18 segundos para votar,
todos os eleitores teriam votado:
a) exatamente no período previsto.
b) em uma hora a mais que o previsto.
c) em meia hora a menos do que o previsto.
d) em 20 minutos a mais do que o previsto.
e) em 12 minutos a menos do que o previsto.
RESOLUÇÃO:
Observando que 3 minutos equivalem a 180 segundos e que 3 minutos e
18 segundos equivalem a 198 segundos, temos:
 Nº de urnas Tempo Médio Tempo Total
 
⇔ x = 8,8 horas.
Terminariam a votação em (9 – 8,8) horas antes do prazo previsto, ou seja
0,2 h = 12 minutos antes.
Resposta: E
3. (UNESP) – Trabalhando 10 horas no sábado e mais 5 horas no
domingo, 6 operários pintaram as 20 salas de aula de uma escola, cada
um com 30 m2 de área para pintura. Considerando-se que cada um
pintou o mesmo número de m2, que todos trabalharam com o mesmo
ritmo, e que o ritmo de trabalho no domingo foi 2/3 do ritmo de
trabalho no sábado, pode-se concluir que a área que cada operário
pintou no domingo foi 
a) 16 m2 b) 18 m2 c) 20 m2 
d) 24 m2 e) 25 m2
RESOLUÇÃO:
Sendo s a área pintada no sábado, d a área pintada no domingo, em m2, e
r o ritmo do sábado, temos:
Horas/dia Área Ritmo (rendimento)
 
= . ⇔ s = 3d 
Além disso, s + d = 20 × 30 (m2)
Desta forma
⇒
No domingo, cada operário pintou = 25 m2.
Resposta: E
4. (ESPM) – Certo número de funcionários realizava um trabalho em
6 horas. Descobriu-se que, se eles fossem 40% mais eficientes, com 
2 funcionários a menos esse trabalho seria feito em 5 horas. O número
de funcionários em questão é:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
RESOLUÇÃO:
Funcionários Horas Eficiência
 
n 
 
6 100% 
n – 2 5 140%
= . ⇒ 60n = 70(n – 2) ⇒ 140 = 10n ⇔ n = 14 
Resposta: E
140
–––––
100
5
–––
6
n
––––––
n – 2
r
2r
–––3
s
d
10
5
r
–––––
2r
–––
3
10
––––
5
s
––
d
s + d = 600
s = 3d� �
d = 150 m2
s = 450 m2
150
––––
6
2
3
180 s
198 s
12 h
x h
12 180
10 
3 12
4 
30 
10
5
–––– = –––––– . ––– ⇔ –––– = ––––––––––
x 198
11 
2 x 2211
MÓDULO 27
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
7
––––
700
3
–––
x	
7 copos
700 ml
3 copos
x ml
13
–––
y
5
––––
300	
13 copos
y ml
5 copos
300 ml
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
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110 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA
1. (UFOP) – A curva C, a seguir, é gráfico da função f(x) = 2x. A
equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é:
a) 3x + 2y + 2 = 0 b) 3x – 2y – 2 = 0
c) 2x + 3y – 1 = 0 d) 3x – 2y + 2 = 0
e) 2x + 3y – 2 = 0 
RESOLUÇÃO:
Na função y = f(x) = 2x, temos:
y = f(0) = 20 = 1 → P(0;1)
y = f(2) = 22 = 4 → Q(2;4)
A reta que passa pelos pontos P e Q tem equação:
= 0 ⇔ 3x – 2y + 2 = 0 
Resposta: D
2. (UERJ)
Sabedoria egípcia
 Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no
chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um
tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas
sempre ao meio-dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias,
aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento
máximo, ela recuava até perto da vareta.
As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas,
com dias quentes.
(Adaptado da Revista Galileu, janeiro de 2001.)
Um estudante fez experiências semelhantes à descrita no texto,
utilizando uma vareta AO de 2 metros de comprimento. No início do
inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, em sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas,
no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham,
respectivamente, o segmento de reta que representava a vareta e os
segmentos que representavam a sombra que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que
contém o segmento AB:
a) y = 8 – 4x b) x = 8 – 4y c) y = 6 – 3x
d) x = 6 – 3y e) y = 6 – 4x
RESOLUÇÃO:
Temos A(0; 2) e B(8; 0).
A reta que contém —AB é tal que sua equação é
= 0 ⇔ x = 8 – 4y
Resposta: B
MÓDULO 24
EQUAÇÃO GERAL DE UMA RETA
x
0
2
y
1
4
1
1
1
x
0
8
y
2
0
1
1
1
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– 111
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
3. Represente graficamente as equações
a) x + y = 2 b) 2x – 10 = 0 
c) x2 – 2x + 1 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0
RESOLUÇÃO: 
a) 
b) 
c) 
d) 
1. Determine o coeficiente angular de cada reta nos seguintes casos:
a) 
RESOLUÇÃO:
a) mr = tg 60° = ���3
b) 
RESOLUÇÃO:
 
b) ms = = 
 
 
c) (t) : x + 2y – 1 = 0
RESOLUÇÃO:
c) mt = 
 
– 2
––––
3
3 – (–1)
––––––––
– 1 – 5
– 1
––––
2
MÓDULO 25
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
C6_D_MAT_EX_Prof_Rose 15/04/11 13:23 Página 111
112 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
2. Escrever a equação reduzida das retas abaixo re pre sen tadas.
a) 
 
RESOLUÇÃO:
I) mr = tg 30° =
 
II) hr = 2
III)a equação reduzida da reta r é y = x + 2
 
 
b) 
 
RESOLUÇÃO:
I) ms = tg 135° = – 1
II) hr = 3
III) a equação reduzida da reta r é y = – x + 3
3. (E.E.AERONÁUTICA) – Na figura, OABC é um quadrado de
lado 3. Sabendo que o ponto D tem coordenadas (0; 4), o coeficiente
angular da reta r é
a) – 2 
b) – 4
c) – 2/3
d) – 1
e) – 1/3
RESOLUÇÃO:
O ponto B tem coordenadas (3;3).
Assim:
mBD = = = –
Resposta: E
4. (UNIVEST) – O coeficiente linear de uma re ta de ter mi nada pelos
pontos A (3; –1) e B (2; 1) é:
a) 7 b) – c) – 2 d) 6 e) 5
RESOLUÇÃO:
A equação da reta AB é:
= 0 ⇔ 2x + y – 5 = 0 ⇔ y = – 2x + 5
O coeficiente linear é igual a 5.
Resposta: E
1. Dadas as retas:
(r) 2x – 3y + 1 = 0
(s) 2x – 3y + 7 = 0
(u) 6x + 4y – 1 = 0
a) Determine os coeficientes angular e linear de cada uma delas.
b) Determine a posição relativa entre elas, nos se guin tes casos:
I) r e s II) r e u 
RESOLUÇÃO:
a) mr = hr = 
 
 
 ms = hs = 
 
 
 
 mu = – hu = 
 
b) I) Paralelas distintas II) Perpendiculares
2. (BELAS ARTES) – Sabe-se que a reta (s), de equa ção 
ax + by = 0, é paralela à reta (r), de equação 4x – 8y + 6 = 0. Então, 
vale:
a)
 
b) 1 c) – 2 d) – 
 
e) 2
RESOLUÇÃO:
r // s ⇔ = ⇔ = – 
Resposta: D
1
––
2
x
3
2
y
– 1
1
1
1
1
���3
––––
3
���3
––––
3
yD – yB
–––––––––
xD – xB
4 – 3
––––––
0 – 3
1
–––
3
MÓDULO 26
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
1
––
3
2
––
3
7
––
3
2
––
3
1
––4
3
––
2
a
––
b
1
––
2
1
––
2
1
–––
2
a
–––
b
– 4
–––
– 8
– a
–––
b
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– 113
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
3. (FGV) – No plano cartesiano, para que valores de m as retas de
equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e (s) mx – 4y + 5 = 0 são
perpendiculares?
RESOLUÇÃO:
Se r e s são perpendiculares, então:
a1 . a2 + b1 . b2 = 0 ⇒ m . m + 2 . (– 4) = 0 ⇔ m2 = 8 ⇔ m = ± ���8 = ± 2���2
4. (FGV) – No plano cartesiano, os pontos A(–1; 4) e B(3; 6) são
simétricos em relação à reta (r). O coeficiente angular da reta (r) vale
a) – 1 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5
RESOLUÇÃO:
Se A(–1;4) e B(3;6) são simétricos em relação à reta (r), então (r) é a
mediatriz do segmento
—
AB.
Portanto: mr = = = = – 2
Resposta: B
1. Determine a equação geral de uma reta com coe fi cien te angular
igual a 2 e que passa pelo ponto A(2; 3).
RESOLUÇÃO:
y – 3 = 2(x – 2) ⇔ 2x – y – 1 = 0
Resposta: 2x – y – 1 = 0
2. (UNESP) – Dada a reta r de equação 
4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P (2; – 1), determine
a) o coeficiente angular da reta r;
b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P.
RESOLUÇÃO:
Sendo mr e ms, respectivamente, os coeficientes angulares das retas r e s,
temos
 
A reta s passa pelo ponto P(2; – 1) e tem coeficiente angular
; sua equação, portanto, é y + 1 = (x – 2) ⇔ x – 2y – 4 = 0
Respostas: a) – 2
 b) x – 2y – 4 = 0
–1
–––––
1
–––
2
–1
–––––––––
6 – 4
––––––
3 + 1
–1
–––––
mAB––
MÓDULO 27
FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTO
 1
⇔ ms = –––
 2
– 4
mr = –––– = – 22
s � r
�
1
––
2
1
––
2
C6_D_MAT_EX_Prof_Rose 15/04/11 13:23 Página 113
114 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
3. (FGV) – Considere os pontos A = (1; – 2); B = (– 2; 4) e 
C = (3; 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:
a) 2y – x – 3 = 0 b) y – 2x + 3 = 0
c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0
e) 2y + x – 9 = 0
RESOLUÇÃO:
Sendo r a reta que contém a altura do triângulo ABC pelo vér tice C e
sendo mAB e mr, respectivamente, os coe ficientes angulares das retas 
←→
AB e
r, temos:
Dessa forma, a equação da reta r é
y – 3 = (x – 3) ⇒ 2y – x – 3 = 0
Resposta: A
4. (FGV-ADM) – A reta (t) passa pela intersecção das retas 
2x – y = – 2 e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos pontos
A(1; 1) e B(2; – 2). A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto:
a) (0; 17) b) (0; 18) c) (0; 14)
d) (0; 15) e) (0; 16)
RESOLUÇÃO:
1) Se P for a intersecção das retas dadas, então:
 ⇔ ⇔ P (3 ; 8)
2) Se A(1; 1) e B (2; – 2), temos:
 mAB = = – 3
 e, portanto, t // AB↔ tem coeficiente angular 
 mt = mAB = – 3
3) A equação da reta t, que passa pelo ponto de intersecção P (3; 8), com
mt = – 3, resulta:
 y – 8 = – 3 . (x – 3)
 e o ponto de intersecção da reta t com eixo y é o ponto (0; 17)
Resposta: A
2x – y = – 2� x + y = 11
x = 3� y = 8
1 – (–2)
––––––––
1 – 2
1
–––
2
– 2 – 4 
mAB = –––––––– = – 2 
 1 – (– 2) 
 
r ⊥ 
←→
AB
� 1⇒ mr = ––– 2
C6_D_MAT_EX_Prof_Rose 15/04/11 13:23 Página 114
FRENTE 4 – GEOMETRIA DOS SÓLIDOS
1. No tronco de pirâmide regular da figura, calcular
a) o apótema lateral g; 
b) a área lateral;
c) a área total.
 
RESOLUÇÃO:
a) 
g2 = 32 + 42 ⇔ g = 5
 4 . (10 + 4) . g 4 . (10 + 4) . 5 
b) AL = 4 . ABCHG = –––––––––––––– = ––––––––––––––– ⇒ AL = 140
 2 2
c) AT = AB + Ab + AL ⇔ AT = 102 + 42 + 140 ⇔ AT = 256
Respostas: a) g = 5 b) AL = 140 c) AT = 256
2. (UNESP) – Com o fenômeno do efeito estufa e consequente au -
mento da temperatura média da Terra, há o despren dimento de
icebergs (enormes blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para
calcular o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo
com sólidos geométricos conhecidos. Suponha que o sólido da figura,
formado por dois troncos de pirâmi des regu lares de base quadrada
simétricos e justapos tos pela base maior, represente aproxima damente
um iceberg.
As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem,
respectivamente, 40 dam e 30 dam e a altura mede 12 dam.
Sabendo que o volume VS da parte submersa do iceberg corresponde
a aproximadamente 7/8 do volu me total V, determine VS.
RESOLUÇÃO:
1) O volume V, em decâmetros cúbicos, do iceberg é dado por:
 V = 2 . (402 + 302 + ���������402 . 302 ) =
 = 8 . (1600 + 900 + 1200) = 8 . 3700 = 29600
2) O volume VS, em decâmetros cúbicos, da parte submersa do iceberg é
dado por:
 VS = . (8 . 3700) = 25 900
 Resposta: 25 900 decâmetros cúbicos
MÓDULO 24
TETRAEDRO REGULAR E TRONCO DE PIRÂMIDE
12
–––
3
7
–––
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3. (UNESP) – Calcular a altura de um tetraedro regu lar de aresta a.
RESOLUÇÃO:
 
1) AM = 
2) OM = . = 
 
3) (AO)2 + (OM)2 = (AM)2 ⇔ h2 = ( )2–( )2 ⇔
⇔ h2 = ⇔ h2 = ⇔ h = 
Resposta: 
4. (MACKENZIE) – Um objeto, que tem a forma de um tetraedro
regular reto de aresta 20 cm, será recoberto com placas de ouro nas
faces laterais e com placa de prata na base. Se o preço do ouro é 
R$ 30,00 por cm2 e o da prata, R$ 5,00 por cm2, das alternativas
dadas, assinale o valor mais próximo, em reais, do custo desse reco -
bri men to.
a) 24 000 b) 12 000 c) 16 000 
d) 18 000 e) 14 000
RESOLUÇÃO:
 
Seja o tetraedro regular VABC, de base ABC.
I) As faces laterais VAB, VAC, VBC e a base ABC pos suem áreas iguais a:
 AVAB = AVAC = AVBC = AABC = = 100���3 cm2
II) Se as faces laterais serão recobertas de ouro a R$ 30,00 por cm2 e a
base, de prata, a R$ 5,00 por cm2, o valor P desse recobrimento será:
 P = 3 . (100���3 ) . R$ 30,00 + (100���3) . R$ 5,00
 P 
 300 . 1,7 . R$ 30,00 + 100 . 1,7 . R$ 5,00
 P = R$ 16150,00
Resposta: C
202 . ���3
–––––––––
4
a ���3
––––––
2
a ���3
––––––
6
a ���3
––––––
2
1
––
3
a ���3
––––––
6
a ���3
––––––
2
a ���6
––––––
3
6 a2
––––
9
24 a2
–––––
36
a ���6
––––––
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1. (FATEC – MODELO ENEM) – Um tanque para depósito de
combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 10m de altura e
12m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação dele,
pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma lata
de tinta pintam-se 14m2 da superfície. Nessas condições, é verdade
que a menor quantidade de latas que será necessária para a pintura da
superfície lateral do tanque é:
a) 14 b) 23 c) 27 d) 34 e) 54
RESOLUÇÃO:
A área lateral de um cilindro circular reto de raio 6m e altura 10m, em m2,
é: 
Slateral = 2 . π . 6 . 10 = 120 π
A menor quantidade de latas de tinta necessária para a pintura desta
superfície lateral é:
Slateral 120π 120 x 3,14 
n = –––––––– = –––––– 
 ––––––––––– 
 26,91
 14 m2 14 14
Logo, a menor quantidade de latas é 27.
Resposta: C 
2. (UNESP – MODELO ENEM) – A base metálica de umdos
tanques de armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos
cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram
12 mil litros de látex. Considerando a aproximação π = 3, e que 1 000
litros correspondem a 1 m3, se utilizássemos vasi lha mes na forma de
um cilindro circular reto com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a
quantidade de látex derramado daria para encher exatamente quantos
vasilhames? 
a) 12 b) 20 c) 22 d) 25 e) 30 
RESOLUÇÃO:
1) O volume de cada vasilhame, em metros cúbicos, e supondo π = 3, é: 
 V = 3 . (0,4)2 . 1 = 0,48
2) A quantidade de vasilhames para armazenar os 12 m3 de látex é 
12 ÷ 0,48 = 25
Resposta: D
3. (ENEM) – Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo,
formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo.
Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma
redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus
volumes, respectiva mente. Se as formas têm a mesma altura h, para
que elas comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual é a
relação entre r e L?
a) L = r b) L = 2r c) L = 3r 
d) L = r���π e) L = (π r2)/2 
 
RESOLUÇÃO:
Os volumes V1 e V2 do bolo na forma de paralelepí pedo e do bolo na
forma de cilindro são tais que: V1 = V2 ⇒ L2 . h = π r2 h ⇒ L = r���π
Resposta: D
4. (ENEM) – Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por
dois cilindros, um de raio r e altura h1, e o outro de raio R e altura h2.
O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro.
Se R = r ���2 e h2 = e, para encher o cilindro 
do meio, foram necessários 30 minutos, então,
para se conseguir encher essa fonte e o segundo
cilindro, de modo que fique completamente
cheio, serão necessários
a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 40 minutos. 
d) 50 minutos. e) 60 minutos. 
RESOLUÇÃO:
O volume do cilindro mais alto é Va = π . r2 . h1
O volume do cilindro mais baixo é
Vb = π . R2 . h2 = π . (r ��2 )2 . =
O volume da parte interna ao cilindro mais baixo e externa ao cilindro
mais alto é
Ve = Vb – Va = – . π . r
2
. h1 = = 
Dessa forma, se para completar Va são neces sá rios 30 minutos, para
completar Ve são neces sários = 10 minutos. Assim, para encher a 
fonte são necessários (30 + 10) = 40 minutos.
MÓDULO 25
CILINDROS
h1
–––
3
2π r2 h1
––––––––
3
h1
–––
3
Va
–––
3
π r2 h1
–––––––
3
1
––
3
2π r2h1
–––––––––
3
1
––
3
30
––––
3
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 D 1. (UNI-RIO) – Uma tulipa de chope tem a forma cônica, como
mostra a figura abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100π m�,
a altura é igual a:
 a) 20 cm 
 b) 16 cm 
 c) 12 cm
 d) 8 cm 
 e) 4 cm
RESOLUÇÃO:
I) 100π m� = 100π cm3
II) V = 100π ⇔ π . 52 . h = 100π ⇒ h = 12 cm
Resposta: C
2. (FATEC) – A altura de um cone circular mede o triplo da medida
do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 
8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
a) 64π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π
RESOLUÇÃO:
1) 2 π R = 8 π cm ⇒ R = 4 cm
2) h = 3R = 3 . 4 cm = 12 cm
3) V = =
 = = 64 π cm3
Resposta: A
3. (UEL) – Um reservatório de água possui a forma de um cone
circular reto com a base voltada para cima e na horizontal. Sua
profundidade é de 15 m e seu diâmetro máximo é de 20 m. Se o nível
da água estiver a 9 metros do vértice, qual é a porcentagem da sua
capacidade total ocupada pelo volume de água? (Despreze a espessura
do material.)
a) 10,3% b) 15,4% c) 21,6%
d) 26,7% e) 31,5%
RESOLUÇÃO:
Sejam:
Vc o volume, em metros cúbicos, do reservatório.
Va o volume, em metros cúbicos, de água dentro do reservatório.
r o raio, em metros, da superfície da água.
Assim:
1) = ⇒ r = 6
2) = ⇔ = = 21,6%
Resposta: C
π R2h
–––––––
3
π . (4 cm)2 . 12 cm
–––––––––––––––––
3
9
–––
15
r
–––
10
108
––––
500
Va
–––
Vc
1
–– . π . 62 . 9
3
––––––––––––––––
1
–– . π . 102 . 15
3
Va
–––
Vc
1
–––
3
MÓDULO 26
CONES
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4. (UNESP – MODELO ENEM) – Um paciente recebe, por via
intravenosa, um medica mento à taxa constante de 1,5 m�/min. O
frasco do medicamento é formado
por uma parte cilíndrica e uma parte
cônica, cujas medidas são dadas na
figura, e estava cheio quando se
iniciou a medicação.
Após 4h de administração contí nua,
a medicação foi interrompida. Dado
que 1 cm3 = 1 m�, e usando a apro -
xi mação π = 3, o volume, em m�,
do medi ca mento restante no frasco
após a in ter rupção da medi cação é,
a pro xi ma da mente,
a) 120 b) 150 c) 160 d) 240 e) 360
RESOLUÇÃO:
Cada hora tem 60 min. Em 4 horas, têm-se 4 . 60 = 240 min. Se 1,5 m� de
medica mento é ministrado por minuto, o volume de medicamento
ministrado é de 1,5 m� . 240 = 360 m�.
O recipiente é constituído por um cilindro circular reto com 9 cm de
altura e um cone, também circular reto, de 3 cm de altura. Sendo o raio
da base de ambos de 4 cm, o volume do recipiente é igual a:
V = π . 42 . 9 + . π . 42 . 3 = 160π cm3 ⇔
⇔ V = 160 . 3 cm3 = 480 cm3 = 480 m�
Descontada a quantidade ministrada, restaram
(480 – 360)m� = 120 m� de medicamento.
Resposta: A
1. (MACKENZIE) – Uma xícara de chá tem a forma de um tronco
de cone reto, conforme a figura. Supondo π = 3, o volume máximo de
líquido que ela pode conter é:
a) 168 cm3 
b) 172 cm3 
c) 166 cm3
d) 176 cm3 
e) 164 cm3
RESOLUÇÃO:
O volume máximo de líquido que a xícara pode conter é o volume do
tronco do cone dado por
V = . (π . 42 + π . 22 + ��������������π. 42 . π . 22 ) cm3 =
= 2(16π + 4π + 8π) cm3 = 56π cm3
Supondo π = 3, resulta V = 56 . 3 cm3 = 168 cm3
Resposta: A
2. (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Um frasco de perfume,
que tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios 1 cm e 
3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em um
recipiente que tem a forma de um cilindro circular reto de raio 4 cm,
como mostra a figura.
Se d é a altura da parte não preenchida do recipiente cilíndrico e,
adotando-se π = 3, o valor de d é
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
RESOLUÇÃO:
Sendo VL o volume do líquido, em centímetros cúbicos, temos:
1) No tronco de cone:
 VL = (π . 32 + π . 12 + ��������������π . 32 . π . 12) = 
MÓDULO 27
TRONCO DE CONE
6
–––
3
1
–––
3
14
–––
6
13
–––
6
12
–––
6
11
–––
6
10
–––
6
104π
–––––
3
8
–––
3
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2) No cilindro: VL = π . 42 . h = 16π h
 Assim, 16π h = ⇒ h = e, portanto, 
 d = 4 – = 
Resposta: B
3. (FUVEST-SP) – Um copo tem a forma de cone com altura 8 cm
e raio de base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de
suco e de água. Para que isso seja possível, a altura x atingida pelo
primeiro líquido colocado deve ser:
a) cm
b) 6 cm
c) 4 cm
d) 4 ���3 cm
e) 4 
3
���4 cm
RESOLUÇÃO:
O volume do suco será igual à metade do volume do copo.
= 
3
⇔ = 
3
⇔
⇔ x3 = 256 ⇔ x =
3
�������256 ⇒ x = 4
3
���4 cm
Resposta: E
4. (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Uma mistura de leite
batido com sorvete é servida em um copo, como na figura.Se na parte
superior do copo há uma camada de espuma de 4 cm de altura, então
a por cen tagem do volume do copo ocupada pela espuma está mais
bem aproximada na alternativa:
 a) 65% 
 b) 60% 
 c) 50% 
 d) 45% 
 e) 70%
RESOLUÇÃO:
Sejam VE , VS e VC , respec tiva mente, os volumes da espuma, da parte
consistente de sorvete e do copo.
Da semelhança dos sólidos VAB e VCD, conforme a figura, temos:
= � �
3
⇔ VS = . VC
Como VE = VC – VS = VC – . VC = . VC = 0,488 . VC
tem-se: VE = 48,8% . VC 
 50% . VC
Resposta: C
64
––––
125
16
––––
20
VS
––––
VC
61
––––
125
64
––––
125
8
–––
3
vsuco
––––––
Vcopo
1
––
2�
x
––
8 � �
x
––
8 �
11
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6
13
–––
6
13
–––
6
104π
–––––
3
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